Metode Numerik 1 - Universitas Indonesia

staff.fisika.ui.ac.id

Metode Numerik 1 - Universitas Indonesia

Metode Numerik 1Imam FachruddinDepartemen Fisika, Universitas IndonesiaDaftar Pustaka:• P. L. DeVries, A First Course in Computational Physics (John Wiley &Sons, Inc., New York, 1994)• W. H. Press, et. al., Numerical Recipes in Fortran 77, 2 nd Ed. (CambridgeUniversity Press, New York, 1992)(online / free download: http://www.nrbook.com/a/bookfpdf.php)


iiiIsi• akar fungsi• solusi sistem persamaan linear• fitting dengan least square• interpolasi• integrasi• persamaan differensial11729394961


Akar Fungsi1f(x) = 0 x = ?akar fungsi f(x)Contoh:1x - = 0x 2 = 1xx = 1 dan -13x 2 = 6-7x3x 2 + 7x -6 = (3x -2)(x + 3) = 0Pada dua contoh di atas akar fungsi dapatdicari secara analitik.x = 2/3 dan -3Secara umum, tidak selalu begitu keadaannya.


2Problem:Sebuah lampu dipasang di pinggir sebuah piringan berjari-jari 10 cm.Sebuah plat bercelah sempit diletakkan di dekat piringan itu. Tepat dibelakang celah itu dipasang sebuah sensor cahaya yang menghadap tegaklurus ke celah. Piringan diputar konstan 1 rad/s dan plat beserta sensordigeser lurus konstan 10 cm/s. Saat ini posisi celah dan lampu seperti padagambar 1. Kapan sensor cahaya menerima cahaya terbanyak?Sensor menerima cahaya terbanyak pada saat posisi lampu dan celahmembentuk garis tegak lurus terhadap plat, seperti pada gambar 2.x = r cos (ωt) = vtrlampugambar 1 gambar 2ωcelahplatvsensorcos (t) = t?


3Plot cos(x) dan x:Grafik inimenunjukkanbahwa cos(x) = xpada x sedikitkurang dari 0.75.Bisakah lebih akurat lagi?Cari secara numerik akar fungsi darif(x) = cos(x) - x


4BisectionPrinsip: Kurung akar fungsi di antara dua batas, lalu paruh batas ituterus menerus sampai batas itu sedemikian sempit dan dengandemikian lokasi akar fungsi diketahui dengan keakuratan tertentu.Langkah:1. Perkirakan akar fungsi (bisadengan cara memplot fungsi).akar fungsi2. Tentukan batas awal yangmengurung akar fungsi.3. Belah dua daerah berisi akar fungsiitu.adfecb4. Tentukan daerah yang berisi akarfungsi.5. Ulangi langkah 3 dan 4 sampaidianggap cukup.6. Tentukan akar fungsi.Batas e, f ataunilai ditengahnya bisadipilih sebagaiakar fungsi.


5• Menentukan daerah yang berisi akar fungsi:Jika z merupakan akar fungsi, makaf(x < z) dan f(x > z) saling berbedatanda.f(a)*f(c) negatif, berarti di antara a & cada akar fungsi.f(b)*f(c) positif, berarti di antara b & ctidak ada akar fungsif(x)a c bzx• Menentukan kapan proses pencarian akar fungsi berhenti:Proses pencarian akar fungsi dihentikan setelah keakuratan yangdiinginkan dicapai, yang dapat diketahui dari kesalahan relatif semu.kesalahan relatif semu =perkiraan sebelum - perkiraan berikutperkiraan berikut


6Kesalahankesalahan mutlak = | perkiraan – nilai sebenarnya |kesalahan relatif =perkiraan – nilai sebenarnyanilai sebenarnyaDalam perhitungan numerik, nilai sebenarnya justru sering tidak diketahui, yangdidapat hanya perkiraan terbaik. Karena perkiraan langkah berikut dianggap lebihakurat, yaitu lebih mendekati nilai sebenarnya, maka kesalahan yang dihitungyaitu:kesalahan mutlak semu = | perkiraan sebelum – perkiraan berikut |kesalahan relatif semu =perkiraan sebelum - perkiraan berikutperkiraan berikut


7Newton-RaphsonPrinsip: Buat garis singgung kurva f(x) di titik di sekitar akar fungsi.Titik tempat garis singgung itu memotong garis nol ditentukansebagai akar fungsi.f(x)akar fungsi yang diperolehaakar fungsi sebenarnyaxp(x) = garis singgung kurvaf(x) di titik f(a)


8f(x)cxap(x)Diperoleh:p(x)=f(a) + (x − a)f'(a)(f’(a) turunan pertama f(x) pada x = a)p(c) = 0c=a −f(a)f'(a)


9Langkah:f(x)1. Perkirakan akar fungsi.2. Buat garis singgung pada titiksesuai akar fungsi yangdiperkirakan itu, lalu carititik potongnya dengan garisnol.aakar fungsisebenarnyacx3. Titik potong itu merupakanperkiraan akar fungsi baru.4. Ulangi langkah 2 dan 3 sampaidianggap cukup.f(x)5. Titik potong garis nol dangaris singgung kurva yangterakhir dinyatakan sebagaiakar fungsi.c=a −f(a)f'(a)cax


10Contoh perkiraan akarfungsi awal yang baik perkiraan akar fungsimakin mendekati akarfungsi sebenarnya.f(x)1x2Contoh perkiraan akarfungsi awal yang buruk perkiraan akar fungsimakin menjauhi akarfungsi sebenarnya.f(x)1x2


11Menghitung akar fungsi dengan metode Newton-Raphson:f(xi)x+ 1= xi−0f'(x )( i = 0,1,2,...; x a)i=ikesalahan relatif semu:∆rel=xi− xxi+1i+1Penghitungan dihentikan jika kesalahan relatif semu sudahmencapai / melampaui batas yang diinginkan.


12Kecepatan KonvergensiPencarian akar fungsi dimulai dengan perkiraan akar fungsi yangpertama, lalu diikuti oleh perkiraan berikutnya dan seterusnya sampaiperkiraan yang terakhir, yang kemudian dinyatakan sebagai akar fungsihasil perhitungan tersebut. Proses itu harus bersifat konvergen yaitu,selisih perkiraan sebelum dari yang setelahnya makin lama makin kecil.Setelah dianggap cukup, proses pencarian akar fungsi berhenti.x2 − x1> x3− x2> x4− x3... xn− xn−1≤ ε(ε = bilangan kecil)Kecepatan konvergensi sebuah proses yaitu, kecepatan proses itu untuksampai pada hasil akhir.


13Contoh pencarian akar fungsi dengan metode Bisection:akar fungsixax 1bx 3x 4x 2Jikaεiεxi1− x≡ +, maka dari gambar diperoleh:i1= x2− x1, ε2= x3− x2, ε3= x4− x3ε =112=2ε1,ε32ε2Kecepatan konvergensi bersifat linear:ε =i+112εi


14Pada metode Newton-Raphson:xi+1= xif(xi)−f'(x )iεf(xi)f(xi+1)≡ xi− xi+ 1εi + 1= = ?f'(x )f'(x )i=1 2ekspansi deret Taylor: f(x ) = f(x −ε ) = f(x ) −εf'(x ) + ε f''(x ) −...i+1iiiiiii+1f' (xi + 1)= f'(xi−ε i)= f'(xi)−εf''(x i i)+ ...2iiεi+1=≅≅f(x ) −εf'(x ) +iif''(xi)ε2f'(x )iif(x ) −εf'(x ) +ii2iiiif'(x )i1212ε2if'(x ) −εf''(x ) + ...εi2if''(x ) −...if''(x )iKecepatan konvergensi pada metode Newton-Raphsonbersifat kurang lebih kuadratik:εi+1≅f''(xi)ε2f'(x )i2iDengan begitu, metode Newton-Raphson lebih cepat dari metode Bisection.


15Contoh hasil pencarian akar fungsi untuk soal cos(x) = x:metodeakarf(akar)jumlah langkahBisection0.73907959.3692161E-0612Newton-Raphson0.7390851-7.7470244E-094Keterangan: • Pencarian akar berhenti jika kesalahan relatif semusama atau kurang dari 1.0E-05.• Batas awal kiri dan kanan untuk metode Bisection0.72 dan 0.75.• Perkiraan akar fungsi pertama untuk metodeNewton-Raphson 0.72.


Solusi SistemPersamaan Linear17Sistem persamaan linear:aaaa112131n1xxxx1111+ a+ a+ a+ a122232n2xxxx2222+ a+ a+ a+ a132333⋮ ⋮ ⋮n3xxxx3333⋯⋯⋯⋱⋯+ a+ a+ a+ a1n2n3n⋮nnxxxxnnnn= b1= b2= b⋮3= bnn buahpersamaandengan n buahunknownx jabij danidiketahuii, j = 1, 2, …, nx j= ?


18Soal:2x −3y+ 2z = −6− x + 2y −3z= 2x + y − z = 0(1)(2)(3)3 persamaan dan3 unknownJawab:2x − 3y + 2z = −60.5y −2z= −12.5y −2z= 3(1)(2)(3)eliminasi x:pers. (2) + 0.5 pers. (1)pers. (3) – 0.5 pers. (1)2x − 3y + 2z = −60.5y −2z= −18z = 8(1)(2)(3)eliminasi y:pers. (3) – 5 pers. (2)z = 1−1+ 2zy = = 20.5− 6 + 3y −2zx =2= −1substitusi mundur:pers. (3) mencari zpers. (2) mencari ypers. (1) mencari x


Dalam bentuk matriks:Soal:Jawab:⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−026zyx111321232⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−316zyx22.5020.50232⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−816zyx80020.50232122z3y6x20.52z1y1z= −−+−==+−==19


Eliminasi GaussMetode Eliminasi Gauss mencari solusi sebuah sistem persamaan lineardengan cara seperti ditunjukkan pada contoh sebelum ini:⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛n321n321nnn3n2n13n3332312n2322211n131211bbbbxxxxaaaaaaaaaaaaaaaa⋮⋮⋯⋮⋱⋮⋮⋮⋯⋯⋯k,...,n)1,...,n;jki1;1,...,n(kbaabbaaaaabb,aa1)(kk(k-1)kk(k-1)ik1)(ki(k)i(k-1)kj(k-1)kk(k-1)ik(k-1)ij(k)iji(0)iij(0)ij=+=−=−=−===−−⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛(n-1)n(2)3(1)2(0)1n321(n-1)nn(2)3n(2)33(1)2n(1)23(1)22(0)1n(0)13(0)12(0)11bbbbxxxxa000aa00aaa0aaaa⋮⋮⋯⋮⋱⋮⋮⋮⋯⋯⋯halaman berikutiij(m)i(m)ijbaba ,, ≡pada langkah ke m20


1)1,...,n(jaxabxabx(n-j-1)n-j,n-jn1n-jkk(n-j-1)n-j,k(n-j-1)n-jjn(n-1)nn(n-1)nn−=−==∑+=−⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛(n-1)n(2)3(1)2(0)1n321(n-1)nn(2)3n(2)33(1)2n(1)23(1)22(0)1n(0)13(0)12(0)11bbbbxxxxa000aa00aaa0aaaa⋮⋮⋯⋮⋱⋮⋮⋮⋯⋯⋯Substitusi mundur:21


Metode Eliminasi Gauss:25• rumus triangulasi:a(0)ij=aij,b(0)ir= bir(i, j = 1,...,n;r= 1,...,m)a(k)ij=a(k-1)ij−aa(k-1)ik(k-1)kka(k-1)kj(k= 1,...,n −1;i= k + 1,...,n;a , b ≡ a , b(m)ij(m)irijirpada langkah ke mb(k)ir= b(k−1)ir−aa(k-1)ik(k-1)kkb(k−1)krj = k,...,n;r= 1,...,m)• rumus substitusi mundur:xnr=ba(n-1)nr(n-1)nn(r= 1,...,m)xn−j,r=b(n-j-1)n-j,r−n(n-j-1)∑an-j,kk=n-j+1a(n-j-1)n-j,n-jxkr(j = 1,...,n −1;r= 1,...,m)


26Catatan:Dalam rumus-rumus metode Eliminasi Gauss terdapatpembagian oleh elemen diagonal matriks yaitu, oleh elemendiagonal matriks A.Jika secara kebetulan elemen diagonal itu nol, maka akantimbul error.Karena itu, pada setiap langkah dalam proses triangulasimatriks A perlu dilakukan pemeriksaan, apakah elemenmatriks A yang bersangkutan sama dengan nol.Jika bernilai nol, maka baris berisi elemen diagonal nol ituharus ditukar dengan salah satu baris setelahnya, sehinggaelemen diagonal menjadi bukan nol. Perubahan baris padamatriks A harus disertai perubahan baris yang sama padamatriks B.


Soal:Jawab:⎛ 2 -4 1 3⎞⎛x1⎞ ⎛2⎞⎜ ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎜-1 2 3 -2⎟⎜x2⎟ ⎜2= ⎟⎜ 3 -4 1 2⎟⎜x ⎟ ⎜ ⎟32⎜ ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎝ 1 -3 -1 5⎠⎝x4⎠ ⎝2⎠⎛ 2 -4 1 3 ⎞⎛x1⎞ ⎛ 2⎞⎜ ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎜0 0 3.5 -0.5⎟⎜x2⎟ ⎜3= ⎟⎜0 2 -0.5 -2.5⎟⎜x ⎟ ⎜ ⎟3-1⎜ ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎝0 -1 -1.5 3.5⎠⎝x4⎠ ⎝ 1⎠⎛ 2 -4 1 3 ⎞⎛x1⎞ ⎛ 2⎞⎜ ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎜0 2 -0.5 -2.5⎟⎜x2⎟ ⎜-1= ⎟⎜0 0 3.5 -0.5⎟⎜x ⎟ ⎜ ⎟33⎜ ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎝0 0 0 2 ⎠⎝x4⎠ ⎝ 2⎠baris 2 ditukardengan baris 3⎛ 2 -4 1 3 ⎞⎛x1⎞ ⎛ 2⎞⎜ ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎜0 2 -0.5 -2.5⎟⎜x2⎟ ⎜-1= ⎟⎜0 0 3.5 -0.5⎟⎜x ⎟ ⎜ ⎟33⎜ ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎝0 -1 -1.5 3.5⎠⎝x4⎠ ⎝ 1⎠⎛ 2 -4 1 3 ⎞⎛x1⎞ ⎛ 2 ⎞⎜ ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎜0 2 -0.5 -2.5⎟⎜x2⎟ ⎜-1= ⎟⎜0 0 3.5 -0.5 ⎟⎜x ⎟ ⎜ ⎟33⎜ ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎝0 0 -1.75 2.25⎠⎝x4⎠ ⎝ 0.5⎠27xx43= 13+0.5x=3.54= 1xx21−1+ 0.5x3+ 2.5x=22 + 4x2− x3−3x4=24= 1= 1


Data Fitting denganMetode Least Square29f(x)Keterangan:p(x)x i• f( ) mewakili data;i = 1, …, N;N = jumlah data• p(x) merupakan fungsiyang dicocokkan (fitted)terhadap data f( )x ixSifat fitting:tidak selalu p( xi) = f( xi)untuk semua .x i


30Prinsip penentuan fungsi p(x):• p(x) merupakan polinomial orde m:p(x)=am2 3mj0+ a1x+ a2x+ a3x+ ... + amx= ∑ ajxj=0(Secara umum, p(x) juga bisa merupakan polinomial bentuk yanglain seperti, polinomial Legendre.)• Selisih antara p(x) dan f(x) untuk titik data tertentu:j∆i = f(xi)− p(xi)= f(xi)−∑ajxi=mj=0( i 1,...,N)• Jumlah kuadrat selisih antara p(x) dan f(x) untuk semua titik data:S =N∑i=1∆2i=N2∑( f(x − ) = ∑⎜i)p(xi)f(xi)−∑i=1N⎛⎜⎝mi= 1j=0ajxji⎞⎟⎠2Fungsi p(x) ditentukan dengan mencari nilaiS bernilai minimum.a j(j = 0, …, m) yang membuat


Titik Minimum31g(x)g(a) merupakan titik minimum jika:dg(x)dxx=adg(x)dxx=a= 0dand2g(x)dx2x=a> 0axSpesial: fungsi kuadratikg(x) =ax2+ bx + cdg(x)= 2ax + bdx2d g(x)= 2a2dx⎫⎪⎬⎪⎭g(x) memiliki satu titik minimun jika a > 0 atausebaliknya satu titik maksimum jika a < 0.


32S merupakan fungsi kuadratik dalama j(j = 0, …, m):N ⎛m ⎞ N ⎛ mj2 2j( a ,..., a ) = ⎜f(x ) − a x ⎟ = ⎜ ( a x + )∑∑∑ ∑S ...⎝⎠ ⎝20 m⎜ij i⎟ ⎜j if (xi)i= 1j=0i= 1 j=02+⎞⎟⎠∂S( a ,..., a )0∂akm= −2N∑⎛⎜f(xi)−⎝m∑i= 1j=0a xjji⎞⎟x⎠ki( k = 0,...,m)∂2S( a ,..., a )N0 m2k= 2 xi> 0∂a=2k∑i=1( k 0,...,m)S memiliki satu titik minimum pada nilaia j(j = 0, …, m) tertentu.


Mencaria j(j = 0, …, m):33∂S( a ,..., a )0∂akm= −2N∑⎛⎜f(xi)−⎝m∑i= 1j=0a xjji⎞⎟x⎠ki= 0( k = 0,...,m)m⎛⎜⎝N∑ ∑j= 0 i=1Nj+k ⎞kxi ⎟aj= ∑f(x i)xi=⎠ i=1( k 0,...,m)Definisikan:cNNj+kkkj≡ ∑xibk≡ ∑f(xi)xii=1i=1maka diperoleh sebuah sistem persamaan linear: c a = b ( k 0,...,m)m∑j=0kj j k=dalam bentuk matrik: C A = B atau CA = BJadi, (j = 0, …, m) diperoleh sebagai solusi persamaan linear CA = B.a j


34Contoh: Terdapat tiga data f(x) yaitu, f(1) = 30, f(2) = 70 dan f(3) = 120.Cari fungsi p(x) yang dapat melukiskan data itu.Dari data itu jelas p(x) bukan fungsi linear.Jadi, dicoba fungsi kuadratik:p(x) = a +20+ a1xa2xSistem persamaan linier untuk mencari a j:12070f(x)p(x)⎛3⎜⎜0⎜⎝0610⎛ 3⎜⎜ 6⎜⎝1414⎞⎛a⎟⎜4 ⎟⎜a1 ⎟⎜⎠⎝a01261436⎞ ⎛⎟ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎠ ⎝14 ⎞⎛a⎟⎜36⎟⎜a98⎟⎜⎠⎝a220455⎞⎟⎟⎟⎠012⎞ ⎛ 220 ⎞⎟ ⎜ ⎟⎟ = ⎜ 530 ⎟⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝1390⎠⎛a⎜⎜ a⎜⎝ a012⎞ ⎛ 0 ⎞⎟ ⎜ ⎟⎟ = ⎜25⎟⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ 5 ⎠301 2 3xJadi, p(x) 5x( x + 5)= Cek: p(1) = 30, p(2) = 70,p(3) = 120OK!


35Contoh: Kuat medan listrik E di sekitar sebuah benda berbentuk lempengdiukur pada jarak 10 cm dari pusat massanya dan arah yangbervariasi. Arah dinyatakan dalam sudut θ terhadap sumbu y yangditetapkan sebelum pengukuran. Diperoleh data sebagai berikut:θ [derajat]E [V/cm]y10 0.0179477515 0.0380899720 0.0551622525 0.0559828130 0.0479562935 0.0480748540 0.0627356645 0.0785398250 0.0739544255 0.04201338θECari fungsi p(x) yang dapat melukiskan data itu.


36Dicoba beberapa polinomial dengan orde berbeda, diperoleh:aa01m = 3: a2= 3.487808787880805E - 05m = 5:a = -8.085809790211842E - 073= 8.983713484853211E - 03= 1.324478388111303E - 03S = 1.0339E - 03aaaaaa012345= -3.557800654975570E - 02= 1.061996221844471E - 03= 8.802185976358352E - 04= -5.862332690401015E - 05= 1.362046192596346E - 06= -1.063951754163944E - 08S =8.1573E - 05m = 9:a0= -1.757260839248139E - 02a1= 1.596300085173997E - 02a2= -3.402768734407800E - 03a3= 3.358961098305538E - 04a4= -1.368895999268855E - 05a5= 1.132254508386570E - 07a6= 8.262829873458547E - 09a7= -2.741786330789355E -10a8= 3.317446724324134E -12a9= -1.459511835946927E -14S = 1.7528E -11m = 7:a0= 1.864754537649403E - 01a1= - 4.631839872868015E - 02a2= 4.007658091692495E - 03a3= -8.985715636865594E - 05a4= -3.230489224228010E - 06a5= 1.912806006890119E - 07a6= -3.252863805243949E - 09a7= 1.876184315740421E -11S = 3.1629E - 07


39Interpolasif(x)Keterangan:p(x)x i• f( ) mewakili data;i = 1, …, N;N = jumlah data• p(x) merupakan fungsiinterpolasi berdasarkandata f( )x ixSifat interpolasi:p( xi) = f( xi)untuk semua .x i


40Interpolasi LagrangeDigunakan p(x), suatu polinomial berorde m = N – 1, dengan N = jumlah data:p(x)=2N-1a0 + a1x+ a2x+ ... + aN-1x≅f(x)Nilaidata:a i(i = 0, …, N-1) ditetukan dengan menetapkan bahwa untuk semua titikJadi, diperoleh persamaan linear:p(x ) = ap(xp(x...p(x123N) = a) = a) = ap(xi ) = f(xi)=0000+ a x1+ a x1+ a x1+ a x1123+ aN2+ a+ a22+ axxx2212223x( i 1,...,N)+ ... + a2N+ ... + a+ ... + aN-1N-1+ ... + aN-1xxxN-1N-11N-12N-13xN-1N= f(x )1= f(x= f(x23= f(x))N)dana i(i = 0, …, N-1) diperoleh sebagai solusi dari persamaan linear itu.


N = 2:212112121120xx)f(x)f(xaxx)x f(x)f(xxa−−=−−= −)f(xa xa)p(x)f(xa xap(x )2210211101=+==+=)f(xxxxx)f(xxxxxp(x) 21211212⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=N = 3:)f(xxaa xa)p(x)f(xxaa xa)p(x)f(xxaa xap(x )323231032222210212121101=++==++==++=232122132132321213132223212213213232221221231232212321221321323212121313132320)xx(x)xx(x)xx(x))f(xx(x)x )f(x(x))f(xx(xa)xx(xx )x(x)xx(x))f(xx(x))f(xx(x))f(xx(xa)xx(xx )x(x)xx(x)f(x)x xx(x)x f(x)xx(x)f(xx)xx(xa−+−+−−+−+−=−+−+−−+−+−= −−+−+−−+−+−=)f(xxxxxxxxx)f(xxxxxxxxx)f(xxxxxxxxxp(x) 323213123231211313212⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=41


42Secara umum, untuk N datarumus interpolasi Lagrange:p(x)=N∑i=1l(x,x )f(xi i)l(x, x )i=∏j≠i⎛ x − x⎜⎝xi− xjj⎞⎟⎠Untukx = x k(k = 1, …, N):l(xk,x )i=∏j≠i⎛ x⎜⎝xki− x− xjj⎞⎟⎠=⎧ ⎛ x ⎞i− xj⎪∏⎜⎟⎪j≠i⎝xi− xj⎠⎨⎪ ⎛ ⎞⎜xk− xk⎟⎪... ...⎩ ⎝xi− xj⎠= 1,= 0,(i = k)(i ≠ k)l(xk ,xi)= δikp(xk) =f(xk)


Perlukah memakai semua N data yang ada?43Pada bagian sebelum ini interpolasi menggunakan seluruh N data f( ) yangtersedia, yang berarti menggunakan polinomial p(x) berorde N-1.x iKini, misal N = 4 dan x berada di sekitarx 4, maka diperoleh:l(x, x1)⎛ x − x=⎜⎝ x1− x22⎞⎛x − x⎟⎜⎠⎝x1− x33⎞⎛x − x⎟⎜⎠⎝x1− x44⎞⎟⎠l(x, x2)⎛ x − x1=⎜⎝ x2− x1⎞⎛x − x⎟⎜⎠⎝x2− x33⎞⎛x − x⎟⎜⎠⎝x2− x44⎞⎟⎠l(x, x3)⎛ x − x1=⎜⎝ x3− x1⎞⎛x − x⎟⎜⎠⎝x3− x22⎞⎛x − x⎟⎜⎠⎝x3− x44⎞⎟⎠l(x, x4)⎛ x − x1=⎜⎝ x4− x1⎞⎛x − x2⎟⎜⎠⎝x4− x2⎞⎛x − x3⎟⎜⎠⎝x4− x3⎞⎟⎠Dapat dilihat bahwa, l(x, x1 ) < l(x, x2) < l(x, x3) < l(x, x4).Ini berarti, semakin jauh dari x pengaruh data f( ) semakin kecil dalammenentukan nilai p(x). Data yang penting yaitu yang berada di sekitar titik x.Karena itu, cukup data-data di sekitar titik x yang digunakan.Dengan kata lain, untuk interpolasi cukup digunakan polinomial p(x) berorderendah, contoh berorde 3 (fungsi kubik).x i


44Interpolasi Lagrange KubikInterpolasi Lagrange Kubik menggunakan polinomial p(x) berorde 3 sebagaifungsi interpolasi:p(x)=2 3a0 + a1x+ a2x+ a3x≅f(x)a jUntuk mencari nilai (j = 0, 1, 2, 3) diperlukan 4 data f( ) di sekitar x:( x ≤ x ≤ x ; x = x ,x = x ,x = x ,x )f(x+0),f(x1), f(x2), f(x3)ii+ 1 0 i-1 1 i 2 i+1 3= xiuntuk membentuk sistem persamaan linear:2 3a0 + a1xj+ a2xj+ a3xj= f(xj)=x i( j 0,1,2,3)Langkah pertama dengan begitu, menentukan x j(j = 0, 1, 2, 3) denganmelihat posisi x di antara titik data (i = 1, …, N).x i2Diperolehp(x)=3∑∏⎜kl(x, x=⎟ j)f(xj)l(x,xj)j= 0k≠jxj− xk⎠⎛⎝x − x⎞


45Interpolasi MultidimensiJika data bergantung pada lebih dari satu variabel, maka dilakukan interpolasimultidimensi. Metode interpolasi yang telah disampaikan bisa dipakai untukmelakukan interpolasi multidimensi. Sebagai contoh di sini ditunjukkaninterpolasi 2 dimensi. Untuk dimensi lebih tinggi berlaku cara yang sama.p(x, y)=nmS(x,xi) ∑S(y, yj)f(x i,yj)i= 1j=1∑Pada contoh di atas, interpolasi menggunakan (n x m) data f(x,y). Interpolasidilakukan per dimensi: Untuk satu titik data x tertentu dilakukan interpolasi disepanjang sumbu y, hal yang sama dilakukan untuk semua titik data x yang lain.Prinsip yang sama berlaku untuk interpolasi berdimensi lebih tinggi.


46Contoh, interpolasi Lagrange kubik:p(x, y) =l(x,xi)=l(y, y ) =j3∑∏k≠i∏s≠jl(x,x )∑ii= 0j=0⎛ x − x⎜⎝ xi− xkk⎛⎜y − y⎝yj− ys3s⎞⎟⎠⎞⎟⎠l(y, y )f(x , y )jij


Kembali ke contoh problem least square:Kuat medan listrik E di sekitar sebuah benda berbentuk lempengdiukur pada jarak 10 cm dari pusat massanya dan arah yangbervariasi. Arah dinyatakan dalam sudut θ terhadap sumbu y yangditetapkan sebelum pengukuran. Diperoleh data sebagai berikut:47θ [derajat]E [V/cm]y10 0.0179477515 0.0380899720 0.0551622525 0.0559828130 0.0479562935 0.0480748540 0.0627356645 0.0785398250 0.0739544255 0.04201338θEDengan interpolasi, cari nilai p(x) di sepanjang titik data.


Integrasi49Menghitung luas daerah di bawah kurva:f(x)f(x)analitiknumerikb∫ f(x)dxa∑iw f(xi i)abxabxI=bN∫ f(x)dx ≅ai=1∑w f(x )iiIntegral numerik sering disebut juga sebagaiquadrature; integrasi numerik disebut sebagaiintegrasi dgn menjumlah quadrature.


50Meski tidak terlihat pada rumus akhir, pada integrasi numerik integrandf(x) diinterpolasi dengan suatu polinomial:I=bN∫ f(x)dx ≅ai=1∑w f(x )iif(x) ≅p(x)polinomialAkan dibahas:• quadrature trapezoid• quadrature Simpson


Quadrature Trapezoid51Kurva integrand f(x) diinterpolasi dengan sebuah garis lurus (f(x) diinterpolasidengan fungsi linier / polinomial orde 1):IbbN∫ ∫aai=1= f(x)dx ≅ p(x)dx = ∑wip(x i),p(x)= r + sxf(x)Untuk menarik garis lurusdiperlukan minimal 2 titik,dipilih titik f(a) dan f(b):p(x)p(a) = f(a), p(b) =f(b)b∫ p(x)dxaabx


52Dengan diketahui hanya p(a) dan p(b) (r dan s tidak dicari), maka integrasinumerik dikerjakan untuk N = 2:b2∫ai=1p(x) dx = ∑wip(x i)= w1p(x 1)+ w2p(x2) = w1p(a)+ w2p(b)w 1,w 2=?Mencari dan w :p(x) = r +w12sxb∫1r(b- a) + s(b2a(r + sx)dx2− a2)= w (r + sa) + w1= r(w1+ w22) + s(aw(r + sb)1+ bw2)waw11+w+ bw22= b - a1= (b22− a2)w = w21(b21= −a)Rumus quadrature trapezoid:Ibh= ∫ f(x)dx ≅ ( f(a) + f(b) ) (h = b − a)2aluas trapezoid (lihat gambar)


Quadrature Simpson & Boole53Cara yang sama seperti pada quadrature trapezoid bisa dipakai untuk polinomialp(x) orde lebih tinggi. Contoh, quadrature Simpson memakai p(x) fungsikuadratik / polinomial orde 2 untuk menginterpolasi integrand f(x):ccN∫ f(x)dx ≅ ∫ p(x)dx =aai=1I = ∑wip(x i),p(x) = r + sx + txf(x)2Untuk membuat kurvakuadratik diperlukanminimal 3 titik, dipilih titikf(a), f(b) dan f(c):p(x)p(a) = f(a), p(b) = f(b),p(c) = f(c)dengan b =a + c2ab∫ p(x)dxabcx


54Integrasi numerik dikerjakan untuk N = 3:c3∫ai=1p(x) = r + sx +p(x) dx = ∑wip(x i)= w1p(a)+ w2p(b)+ w3p(c)Mencari w ,w , :1 2w32txw ,w2,w31=?r(c - a) +12s(c2c∫a− a(r + sx + tx2) +13t(c32)dx− a3)==w (r + sa + ta1+ wr(w31+ t(a(r + sc + tc+ w2w12+ w+ b223w) + w)) + s(aw22+ c22(r + sb + tbw31)+ bw22)+ cw3)a2awww111++ bw+ b2ww222++ cw+ c2ww333= c - a1= (c21= (c323− a− a23))ww12= w=323=16(c − a)(c − a)


Diperoleh Rumus quadrature Simpson: I f(x)dx ≅ ( f(a) + 4f(b) + f(c) )c= ∫ah355c − adengan h = yaitu jarak antar titik x tempat f(x) dihitung:i2h= b − a= c −bDengan cara yang sama, menggunakan p(x) polinomial orde 3 diperoleh rumus3quadrature Simpson 8 :Id3h= f(x)dx ≅ ( f(a) + 3f(b) + 3f(c) + f(d) )⎛ d- a⎞∫ ⎜h= = b − a = c −b= d − c⎟ 8a⎝ 3⎠dan dengan p(x) polinomial orde 4 rumus quadrature Boole:Ie= ∫ f(x)dxa≅2h45( 7f(a) + 32f(b) + 12f(c) + 32f(d) + 7f(e) )⎛⎜h⎜⎜⎜⎜⎝=e - a4====⎞b − a⎟⎟c −b⎟d − c⎟⎟e − d⎠


56Integrasi KompositPolinomial orde rendah memadai untuk menginterpolasi sebuah fungsi dalamdaerah yang sempit. Untuk daerah yang lebar diperlukan orde yang lebih tinggi.Alternatif lain yaitu, membagi daerah fungsi yang lebar itu dalam beberapadaerah yang sempit, lalu di tiap daerah yang sempit itu digunakan polinomialorde rendah untuk interpolasi.Quadrature trapezoid dan Simpson pada dasarnya memadai untuk daerahintegrasi yang sempit, namun dengan membagi daerah integrasi dalam beberapadaerah yang sempit, maka quadrature trapezoid dan Simpson bisa dipakai jugauntuk daerah integrasi yang lebar. Integral total merupakan jumlah semuaintegral untuk daerah yang sempit. Integrasi seperti ini disebut integrasikomposit.Bergantung pada integrand f(x), daerah integrasi yang lebar bisa dibagi dalambeberapa daerah sempit yang sama atau berbeda panjang. Juga, semua integraluntuk daerah yang sempit bisa dihitung menurut rumus quadrature yang sama,misal semuanya trapezoid, atau berbeda-beda, sesuai kurva di tiap daerahsempit itu. Kasus sederhana yaitu, bila daerah integrasi dibagi sama panjangdan untuk tiap daerah digunakan rumus quadrature yang sama.


Contoh, daerah integrasi [a,b] dibagi dalam N bagian sama panjang.57Iba+da+2d= ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx + ... + ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dxaaa+db-db-2dbb-d⎛⎜d=⎝b − aN⎞⎟⎠• integrasi komposit menggunakan quadrature trapezoidIb= ∫ f(x)dx ≅ ha1[ ( f + f ) + f + f + ... + f ]20b − ah = , fi = f(a + ih), i = 0,...,NNN12N−1• integrasi komposit menggunakan quadrature SimpsonIb= ∫ f(x)dxa≅2h31[ ( f + f ) + 2( f + f + ... + f ) + f + f + ... f ]202N1b − ah = , fi = f(a + ih), i = 0,...,2N2N32N− 1 2 4+2N−2


58Integrasi komposit trapezoid untuk daerah integrasi [a,b] yang dibagi 8sama panjang:f(x)ba1[ ( f + f ) + f + f + f + f + f + f f ]I = ∫ f(x)dx ≅ h2 0 8 1 2 3 4 5 6+7ahbx


59Integrasi komposit yang menggunakan quadrature trapezoid dan Simpson;daerah integrasi [a,b] yang dibagi 3:f(x)bh1h2= ∫ f(x)dx ≅a a+h1 cc c+h223a( f + 2f + f ) + ( f + 4f f )I +trapezoidbSimpsonacbxh1 h1 2h2


60Integrasi Monte CarloMungkin saja cara-cara integrasi numerik yang sudah disampaikan sulit atautidak bisa diterapkan untuk mengevaluasi suatu integral. Pada keadaan ini,integrasi Monte Carlo dapat dipilih.Integrasi Monte Carlo tidak menggunakan interpolasi seperti pada cara-caraintegrasi numerik sebelum ini. Integral dianggap sebagai satu persegi panjang,dengan lebar daerah integrasi dan tinggi nilai rata-rata integrand f(x), yangdiperoleh melalui statistik dengan memanfaatkan bilangan acak:f(x)n1< f(x) >= ∑f(x i)nxii=1= bilangan acak :a≤ xi≤ b(b-a)I=bn1∫ f(x)dx ≅ (b- a)nai=1∑f(x )iabx


61Persamaan DifferensialPersamaan differensial (PD) yang dimaksud yaitu persamaan differensialbiasa, bukan persamaan differensial parsial, untuk orde 1 dan 2.Dua masalah yang akan dibahas yaitu:• PD dengan syarat awal• PD dengan syarat batas


62PD dengan Syarat AwaldyBentuk umum PD orde 1: y' = = f(x, y)dxDiketahui:y(x0)= y 0y(x) = ?Integrasi:y∫ dy =x∫y0x0y(x) = yf(x, y)dx0+x∫x0f(x, y)dxMasalah persamaandifferensialberubah menjadimasalah persamaanintegral.Dicari y(x) pada titik x = x + 0h :y(x0+ h)=y0+x + h0∫x0f(x, y)dxSetelah y(x 0+ h) didapat, selanjutnya dicari y(x 0+ 2h) . Demikian seterusnya.


Metode Euler63Menurut metode Euler:f(x,y)f(x0,y0)f(x,y) dianggapkonstan dandihitung pada x = x 0.x0x 0+ hxDiperoleh:y(x)y(x 0+h)yg diperolehy(x0+ h) ≅ y0+ f(x0,y0)∫dx≅y0+ hf(x0, y0x + h0)x0y 0x0x 0+ hxy(x 0+h)sebenarnya


64Metode Euler yang Dimodifikasif(x,y)11Modifikasi dilakukan dalam memilihf(x0 +2h, y(x0+2h))nilai f(x,y) yang dianggap konstan.Dipilih f(x,y) pada titik x = x + 1h :0 2x11f(x0 +2h, y(x0+2h))x0x 0+ h1dengan y(x + 1h) dihitung memakaix + 0h0 22metode Euler:y(x 0+h)11y(x h) y hf(x , y )y(x)0+2≅0+2 0 0yg diperolehDiperoleh:y(x0+ h) ≅≅yy00+ hf(x+ hf(x00++1212h, y(xh, y0+012+12h))hf(x0, y0))y 0x0x 0+ hxy(x 0+h)sebenarnyax + 1h 0 2


65Metode Euler yang Lebih Baik (Improved)Kali ini dipakai nilai f(x,y) yang merupakan rata-rata dari dua nilai f(x,y),masing-masing pada titik x dan x 0+ h :0[ , y ) + f(x + h, y(x h)) ]1 f(x +2 0 0 00Ini sama dengan menggunakan quadrature trapezoiduntuk mengevaluasi integral:f(x,y)x + h0∫x0[ , y ) + f(x + h, y(x + h)) ]1f(x, y)dx ≅ h f(x00 002x0x 0+ hxdengany(x 0+h)dihitung memakai metode Euler:y(x0 + h) ≅ y0+ hf(x0,y0)Diperoleh:y(x0+ h)≅≅yy00++1212[0,y0)+ f(x0+ h, y(x0+ h)) ][ , y ) + f(x + h, y + hf(x , y ))]h f(xh f(x000000


66PD Orde 22d yBentuk umum PD orde 2: y' ' = = f(x, y, y' )2dxDiketahui:y(x =0)= y0,y'(x0) y'0y(x) = ?Definisikan fungsi baru u:u = y'u 0= y' 0y' = u(x, y)u' = f(x, y,u)Masalah PD orde 2berubah menjadimasalah PD orde 1.


Contoh penyelesaian dengan metode Euler yang lebih baik (improved):67u' = f(x, y,u)y' = u(x, y)u(x0+ h)f0f1= u0+= f(x= f(x0012, y1( + f ) y(x + h) = y + h( u + u )h f00,u0+ h, y0)1+ hu0,u1)0u0u1== u0y'002+ hf001Alur perhitungan:y0,u 0f 0u1f1 , y(x0+ h), u(x0+ h)x0+ h → x0,u(x0+ h) → u0,y(x0+ h) → y0


68PD dengan Syarat BatasContoh, gelombang yang merambat di sepanjang tali bisa digambarkan dengan PDorde 2. Jika ujung-ujung tali itu diikat sehingga tidak bisa bergerak, maka kitatemui kasus PD dengan syarat batas.terikatterikatBentuk umum PD orde 1 & 2 linear:(1)(2)y' = f(x, y) = d(x) − e(x)yy'' = g(x, y, y') = a(x) −b(x)y− c(x)y'Diketahui:x0y(x≤ x ≤ x0y(x ) = yn) =y0nny(x) = ?xn x0Dicari y = y(x ) pada titik xi= x0+ ih (i = 1,...,n −1)dengan h =−i i.n


Metode Finite Differences69(1)(2)y' + e(x)y = d(x)y'' + c(x)y' + b(x)y = a(x)(1)(2)y'i+1 ii+ i i=iy''i≅2y'' + c y' + byie yiidii= aiy' ≅iyyi+1− yi−12h−2yh+ yi−1(1)(2)yyi+1i+1− yhi−12h−2yi2+ e y+ yii−1i≅ d+ ciiyi+1− y2hi−1+ byii≅aiJadi, pada akhirnya ditemui masalah sistem persamaan linear:(1)(2)− yi−1+ 2ehy⎛ chi ⎞⎜1− ⎟ y⎝ 2 ⎠ii−1i−+ yi+1≅ 2dh2 ⎛ chi ⎞2( 2 − bh ) y + ⎜1+ ⎟y≅ ahyang dapat diselesaikan menggunakan metode, contoh, Eliminasi Gauss.iii⎝2⎠i+1i

More magazines by this user
Similar magazines