ST Penyelesaian Soal UTS 2010 - istiarto

prob(H < h)p H (h)P HP H1 2 1751003h 200h h 1h 200h h2 250075100Interval h ≥ 100 mmP Hh 1Persamaan pdf dan cdf curah hujan harian maximum.Curah hujan harianH [mm]pdfh ≤ 0 p Hh 0h 0175 1 h75501000 ≤ h ≤ 50 mm p Hhh h50 mm ≤ h ≤ 100 mm h p Hh ≥ 100 mm p Hh 0 1cdfP H1P H751P 2002 H h hh 250075100h P H 10.050.80.6cdf0.040.030.40.2pdf0.020.01000 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100hujan harian, H [mm] 11 1 50 1 50 210050H 50 12505075 752 75 3 350 H 39mmCurah hujan rata-rataCurah hujan rata-rata merupakan nilai expektasi curah hujan, E(H), yang merupakan momenpertama terhadap sumbu ordinat pada pdf.Memperhatikan bentuk geometri pdf yang berupa trapesium, maka momen pertama terhadapsumbu ordinat pdf dapat dihitung dengan cara sebagai berikut (lihat sketsa pada gambar dibawah):9Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 2010 3

p H (h)aH50/250/30 50 100H [mm]Momen pertama terhadap sumbu ordinat dapat dihitung pula dengan cara sebagai berikut:E50100112H hpHh dhh dh 100h h 1 2 h752 15075250 1 100 h7550250 1 20050 3 75 50 650 8 1 3 6 70018 39 mm0207575501 h3 1 100100 0 75 50 22 5023210050dh1005022 1 100 75 50 333503Simpangan baku curah hujanSimpangan baku curah hujan, s H , merupakan akar kuadrat varian. Nilai varian dihitung sebagainilai momen kedua terhadap nilai rata-rata:varE2 2 2 EHEHH E HH501002 21 212 3Hh pHhdhh pHhdh 100h h 1 5075 3175175375 1 100 7550 31 153 15 35050 5075 3 4 60075503 3 1 4 4100 50 100 50 3 50 1 14 2 4 1 4 1 4 100 50 100 503 75 50 3 3 4 4 13 16 3 2 3 16 3 1 350 50 50 50 5033 3 4 4 3504dhIstiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 2010 4

prob(H < h)p H (h)vars H35060 700 18 22H 570.9877 mm570.9877 23.8954 24 mmProbabilitas curah hujan antara 40 s.d. 60 mmprob 40 H 60 probH 60probH 40 6040P H P H17510011207519750.252 12006060 250040 3625407510.050.80.040.6cdfprob(40 < H < 60)0.030.4pdf0.020.2prob(40 < H < 60)0.01000 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100hujan harian, H [mm]Probabilitas curah hujan tidak akan pernah melampaui 70 mm dalam kurun 10tahun ke depanDengan asumsi bahwa pdf dan cdf bersifat konstan, maka probabilitas curah hujan tidakmelampaui 70 mm dalam kurun 10 tahun dapat dihitung memakai persamaan distribusibinomial:fXn xx nxx;n,p p 1 p Persamaan di atas menyatakan frekuensi terjadi curah hujan melebihi 70 mm sejumlah x kalidalam kurun n tahun apabila probabilitas curah hujan melebihi 70 mm per tahun adalah p.Probabilitas curah hujan melebihi 70 mm, p, adalah:Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 2010 5

p 1 PH701 1 20070707510066 1 759 3 75 25 0.122 2500Dengan demikian, probabilitas curah hujan tidak pernah melampaui 70 mm dalam kurun 10tahun adalah:f X10 0 00;10,0.12 0.121 0.12SOAL B 1 1 0.88 0.278510100Pengukuran evaporasi harian (dalam mm) selama 40 hari dari suatu stasiun menunjukkan nilaievaporasi harian sebagai berikut:3 8 12 9 9 11 4 9 7 18 11 5 13 11 11 10 11 7 98 15 8 7 10 5 7 6 9 1013 11 7 10 13 13 5 10 12 151. Buatlah tabel frekuensi dan histogram (frekuensi, bukan frekuensi relatif) data evaporasiharian tersebut. Lebar klas 2 mm dengan batas bawah klas pertama 0 mm (rentang klaspertama 0 - 2 mm).2. Hitunglah nilai rata-rata dan simpangan baku evaporasi harian tersebut. Bulatkan keduanilai kedalam milimeter terdekat.3. Hitunglah frekuensi (bukan frekuensi relatif) data evaporasi harian dalam setiap klas datamenurut distribusi normal.4. Buatlah gambar perbandingan antara frekuensi data dan frekuensi teoretik menurutdistribusi normal (bukan frekuensi relatif).5. Hitunglah rentang keyakinan nilai rata-rata evaporasi harian dengan tingkat keyakinan90%.6. Hitunglah tingkat keyakinan yang dimiliki seseorang yang menyatakan bahwa nilai ratarataevaporasi harian adalah antara 8 mm s.d. 11 mm.7. Lakukan uji hipotesis bahwa nilai rata-rata evaporasi harian adalah 10 mm dengan tingkatkeyakinan 80%.PENYELESAIANTabel frekuensi dan histogramPenyelesaian soal ini dapat dilakukan dengan cepat dengan menggunakan bantuan MSExcel.Hitungan disajikan dalam bentuk tabel frekuensi.Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 2010 6

fEe 2 9 0 9 PZ PZ 3 3 PZ2.3333 P 3 0.00980.0013 0.0085ZNilai P Z (z) selain dapat diperoleh dari tabel distribusi normal standar, dapat pula diperolehdengan perintah =NORMSDIST(…) dalam MSExcel: P Z (−2.3333) = NORMSDIST(−2.3333) dan .P Z (−3) = NORMSDIST(−3).Apabila menggunakan MSExcel, nilai P E (e) dapat langsung dihitung dengan perintah=NORMDIST(...). Untuk klas pertama, frekuensi teoretik dihitung sebagai berikut:fEe PEebatasatasPEebatas bawah PE2 PE0 NORMDIST2,9,3,TRUENORMDIST0,9,3,TRUE 0.00980.0013 0.0085Dengan ukuran sampel 40 buah, maka frekuensi teoretik pada klas pertama adalah0.0085 × 40 ≈ 0. Frekuensi teoretik untuk seluruh klas interval disajikan pada tabel di bawahini.Distribusi frekuensi evaporasi harian di suatu stasiun menurut distribusi normal.DataDistribusi NormalKlas E (mm)FrekFrekKlas Z PfZ (z) f Z (z)f0 − 2 1 -3.0000 – -2.3333 0.0013 – 0.0098 0.0085 02 − 4 2 -2.3333 – -1.6667 0.0098 – 0.0478 0.0380 24 − 6 4 -1.6667 – -1.0000 0.0478 – 0.1587 0.1109 46 − 8 9 -1.0000 – -0.3333 0.1587 – 0.3694 0.2108 88 − 10 10 -0.3333 – 0.3333 0.3694 – 0.6306 0.2611 1010 − 12 8 0.3333 – 1.0000 0.6306 – 0.8413 0.2108 812 − 14 4 1.0000 – 1.6667 0.8413 – 0.9522 0.1109 414 − 16 2 1.6667 – 2.3333 0.9522 – 0.9902 0.0380 2∑ 40 ∑ 38Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 2010 8

sn dan u E t sn E t2 , E12, E.Dengan nilai degrees of freedom = n – 1 = 39 dan tingkat keyakinan 1 = 0.90 (/2 = 0.05dan 1 /2 = 0.95), maka dengan memakai tabel distribusi t atau fungsi =TINV(...), diperolehnilai-nilai sebagai berikut:prob(T < t 0.05,39 ) = 0.05 t 0.05,39 = 1.6849 danprob(T < t 0.95,39 ) = 0.95 t 0.95,39 = 1.6849.Dengan demikian, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan evaporasi harian rata-rataadalah: 408mm dan u 91.6849340 10mm 91.6849 3sehingga: 8 mm E 10mm.Tingkat keyakinan yang dimiliki seseorang yang menyatakan bahwa nilai rata-rataevaporasi harian adalah antara 8 mm s.d. 11 mmBatas bawah dan batas atas rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata dinyatakan denganpersamaan berikut:sn dan u E t sn E t, E ,Jikaa 8mm, maka8 9 tt , aa , a 2.1082 0.0207340dan untuk u = 11 mm, maka119 tt , bb , b 4.2164 7.1103540b Dengan demikian, tingkat keyakinan rentang keyakinan tersebut adalah:1 − = 1 – ( a + b ) = 0.9792 ≈ 98%.EUji hipotesis bahwa nilai rata-rata evaporasi harian adalah 10 mm dengan tingkatkeyakinan 80%Uji hipotesis ini dilakukan dengan hipotesis sebagai berikut:H 0 : = 10 mmH a : ≠ 10 mmKarena varian populasi tidak diketahui, maka statistik uji dalam uji hipotesis ini adalah:Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 2010 10

T nsEE 40 9103 2.1082Dengan tingkat keyakinan 1 = 0.80, maka batas penerimaan hipotesis adalah:t12, t0.90,39 1.3036 TINV 2* 1- 0.90 ,39Karena |T| > t 1/2,39 , maka H 0 ditolak.-o0o-Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 2010 11