Heat Equation - Fisika Komputasi - Fisika Universitas Padjadjaran

Heat EquationBoundary Value ProblemExplicit SchemeImplicit SchemeCrank-Nicholson MethodHeat EquationFisika KomputasiIrwan Ary DharmawanJurusan Fisika Universitas Padjadjaranhttp://phys.unpad.ac.id/jurusan/staff/dharmawanemail : dharmawan@phys.unpad.ac.idIrwan Ary DharmawanHeat Equation

Heat EquationBoundary Value ProblemExplicit SchemeImplicit SchemeCrank-Nicholson Method1 Heat Equation2 Boundary Value Problem3 Explicit Scheme4 Implicit Scheme5 Crank-Nicholson MethodIrwan Ary DharmawanHeat Equation

Heat EquationBoundary Value ProblemExplicit SchemeImplicit SchemeCrank-Nicholson MethodMisalkan sebuah batang logam tipis satu dimensi dengan panjangL memenuhi persamaan berikut∂u∂t = k∂2 u∂x 2 (1)dengan u and k menyatakan suhu dan konduktivitas termal.Interpretasi secara fisis untuk persamaan ini bisa dilihat pada slideFisika Matematika III.Irwan Ary DharmawanHeat Equation

Heat EquationBoundary Value ProblemExplicit SchemeImplicit SchemeCrank-Nicholson MethodMasalah Syarat Batas∂u∂t = uk∂2 ∂x 2 + f(x, t), 0 x Lu(x,0) = f(x)u(0, t) = 0u(L, t) = 0dengan f(x, t) menyatakan sumber.Irwan Ary DharmawanHeat Equation

Heat EquationBoundary Value ProblemExplicit SchemeImplicit SchemeCrank-Nicholson MethodPendekatan Forward Euler (Explicit Scheme) , untuk derivatifterhadap waktu∂u∂t ≃ u(n+1) i− u (n)i∆tuntuk derivatif terhadap koordinat spasial(2)∂ 2 u∂x 2 ≃ ku(n) i−1 − 2u(n) i+ u (n)i+1(∆x) 2 (3)Irwan Ary DharmawanHeat Equation

Heat EquationBoundary Value ProblemExplicit SchemeImplicit SchemeCrank-Nicholson MethodExplicit Schemeu (n+1)i∆t− u (n)i= k u(n) i−1 − 2u(n) i+ u (n)i+1(∆x) 2 + f i (4)Dapat ditulis kembali menjadiu (n+1)i= u (n)i+ γ(u (n)i−1 − 2u(n) i+ u (n)i+1 ) + ∆tf i (5)denganγ = k ∆t∆x 2Irwan Ary DharmawanHeat Equation

Heat EquationBoundary Value ProblemExplicit SchemeImplicit SchemeCrank-Nicholson MethodDengan analisis (PR) diperoleh bahwa syarat stabilitas untukmetoda ekplisit adalahatau∆t 0.5∆x2kγ 0.5Irwan Ary DharmawanHeat Equation

Heat EquationBoundary Value ProblemExplicit SchemeImplicit SchemeCrank-Nicholson MethodPendekatan Backward Euler (Implicit Scheme) , untuk derivatifterhadap waktu∂u∂t ≃ u(n+1) i− u (n)i(6)∆tuntuk derivatif terhadap koordinat spasial∂ 2 u∂x 2 ≃ ku(n+1) i−1− 2u (n+1)i+ u (n+1)i+1(∆x) 2 (7)Irwan Ary DharmawanHeat Equation

Heat EquationBoundary Value ProblemExplicit SchemeImplicit SchemeCrank-Nicholson MethodImplicit Schemeu (n+1)i∆t− u (n)i= k u(n+1) i−1− 2u (n+1)i+ u (n+1)i+1(∆x) 2 + f i (8)Dapat ditulis kembali menjadi−γu (n+1)i−1+ (1 + 2γ)u (n+1)i− γu (n+1)i+1= u (n)i+ ∆tf i (9)denganγ = k ∆t∆x 2Irwan Ary DharmawanHeat Equation

Heat EquationBoundary Value ProblemExplicit SchemeImplicit SchemeCrank-Nicholson MethodDengan analisis (PR) diperoleh bahwa metoda implisit selalu stabiluntuk setiap ukuran ∆tIrwan Ary DharmawanHeat Equation

Heat EquationBoundary Value ProblemExplicit SchemeImplicit SchemeCrank-Nicholson MethodMetoda ini diturunkan menggunakan Modified Euler Method dandapat dituliskan menjadiu (n+1)i∆t− u (n)i=k[2(∆x) 2 (u (n+1)i−1− 2u (n+1)i+ u (n+1)i+1)+ (u (n)i−1 − 2u(n) i+ u (n)i+1 ) + f i(10)Irwan Ary DharmawanHeat Equation