STAT5 Distribusi Normal - istiarto

Distribusi Binomial (2)• Ilustrasi contoh pemilihan kegiatan Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihanacak untuk menetapkan alokasi dana kepada 1dari 4 kegiatan (A,B,C,D). Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masingkegiatan memiliki peluang yang sama untukterpilih (mendapatkan dana). Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkandana 5×, 4×, 3×, 2×, 1×, 0×?Statistika Distribusi Normal 3Distribusi Binomial (3)• Setiap kali pemilihan prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilihprob(As) = ¼ = 0.25 = p prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilihprob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q• Dalam 5 kali pemilihanpeluang terpilih (sukses) 3 kali adalahfX⎛5⎞⎝3⎠3 2( x;n,p) f ( 3;5,0.25) = ⎜ ⎟ 0.25 0.75 = 0. 088= XStatistika Distribusi Normal 42

Distribusi Binomial (4)• Dalam 5 kali pemilihan (n = 5)jumlah sukses jumlah kejadian01152103104551∑ =peluang terjadi0.2370.3960.2640.0880.0150.0011.000koefisienbinomialStatistika Distribusi Normal 50.450.400.350.40Distribusi probabilitasKegiatan A mendapatkan danaprobabilitas0.300.250.200.150.100.240.260.09n = 5 tahun0.050.000.010.000 1 2 3 4 5frekuensi perolehan danaStatistika Distribusi Normal 63

Distribusi Binomial• Apabila pemilihan dilakukan untuk waktuyang lebih panjang 10 tahun 20 tahun n tahun• diperoleh n + 1 kemungkinan hasil• Kegiatan A dapat memperoleh dana sejumlahn kali, n – 1 kali, ... 0 kaliStatistika Distribusi Normal 70.300.280.250.25Distribusi probabilitasKegiatan A mendapatkan dana0.200.19probabilitas0.150.100.050.060.150.06n = 10 tahun0.020.000.00 0.00 0.00 0.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10frekuensi perolehan danaStatistika Distribusi Normal 84

0.250.200.200.190.17Distribusi probabilitasKegiatan A mendapatkan danaprobabilitas0.150.100.050.000.130.070.020.000.110.060.03n = 20 tahun0.01 0.00 0.000.000.000.000.000.000.000.000.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20frekuensi perolehan danaStatistika Distribusi Normal 9Distribusi Binomial vsKurva Normal• Apabila pemilihan (experimen) dilakukansejumlah n kali dan n >> histogram distribusi probabilitas sukses (KegiatanA memperoleh dana) memiliki interval kecil garis yang melewati puncak-puncak histogram →kurva mulus berbentuk seperti loncengKurva NormalStatistika Distribusi Normal 105

0.250.20Distribusi probabilitasKegiatan A mendapatkan danaprobabilitas0.150.100.05n = 20 tahun0.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20frekuensi perolehan danaStatistika Distribusi Normal 11Kurva NormalDistribusi Normal• Kurva Normal berbentuk seperti lonceng dengan karakteristik tertentu tidak setiap kurva berbentuk seperti lonceng adalah kurva normal• Kurva Normal menggambarkan suatu distribusi yang disebutDistribusi Normal• Permasalahan distribusi binomial dapat diselesaikan denganpendekatan distribusi normal• Lebih mudah dilakukan karena karakteristik distribusi normaltelah diketahui (didefinisikan) tabel distribusi normal perintah dalam MS ExcelStatistika Distribusi Normal 126

Distribusi Normal• Karakteristik simetri terhadap nilai rata-rata (mean) score mengumpul di sekitar nilai rata-rata kisaran score tak terbatas, namun sangat sedikityang berada di luar kisaran 3 kali simpangan bakudari nilai rata-rataStatistika Distribusi Normal 13Distribusi NormalLuas = 1–∞ +∞μ−4σ μ−3σ μ−2σ μ−σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ+4σ XStatistika Distribusi Normal 147

Distribusi NormalLuas = 0.00135Luas = 0.9973–∞ +∞Luas = 0.00135μ−3σ μ−2σμ−σμ μ+σ μ+2σ μ+3σXStatistika Distribusi Normal 15pdfp X (x)Ν(μ,σ 2 )–∞ μ+∞pX−1222 −12( ) ( 2 )( x−μ) σx = πσ eStatistika Distribusi Normal 168

pdfp X (x)Ν(μ 1 ,σ 12 )Ν(μ 2 ,σ 22 )μ 1 = μ 2 = μ 3σ 1 < σ 2 < σ 3Ν(μ 3 ,σ 32 )–∞ μ+∞Statistika Distribusi Normal 17pdfΝ(μ 1 ,σ 12 ) Ν(μ 2 ,σ 22 ) Ν(μ 3 ,σ 32 )p X (x)μ 1 < μ 2 < μ 3σ 1 = σ 2 = σ 3–∞ μ+∞Statistika Distribusi Normal 189

Distribusi Normal• Jika X berdistribusi normal, N(μ,σ 2 ), makaprobabilitas X ≤ x dapat dicari dengan:probx∫−∞−122 −12( ) ( ) ( )( t−μX ≤ x = P x = 2πσe)X2σ2dtluas di bawah kurva pdf cdfStatistika Distribusi Normal 19pdf - cdfp X (x)cdfP X (x)1pdf–∞μ0+∞Statistika Distribusi Normal 2010

Distribusi Normal• Luas di bawah kurvamenunjukkan probabilitas suatu eventmenunjukkan percentile rank prob(X ≤ x) = prob(–∞ ≤ X ≤ x)= luas di bawah kurva antara –∞ s.d. x prob(–∞ ≤ X ≤ +∞) = 1= luas di bawah kurva antara –∞ s.d. +∞ prob(X ≥ x) = prob(+∞ ≥X ≥ x)= luas di bawah kurva antara x s.d. +∞= 1 – prob(X ≤ x)Statistika Distribusi Normal 21Distribusi Normal• Probabilitas prob(X ≤μ) = prob(X ≥ μ) = 0.50 prob(μ−x ≤ X ≤μ) = prob(μ ≤X ≤μ+x)Statistika Distribusi Normal 2211

Distribusi Normal• Probabilitas prob(X = x) = luas di bawah kurva antara x s.d. x= 0 prob(X ≤ x) = prob(X < x) prob(X ≥ x) = prob(X > x) prob(x a ≤ X ≤ x b ) = prob(x a < X < x b )Statistika Distribusi Normal 23Distribusi Normal Standar• Distribusi normal umumnya disajikan dalambentuk distribusi normal standardipakai nilai z scoresz = X −μXσZ berdistribusi normal dengan μ = 0 dan σ = 1, N(0,1) distribusi normal standarStatistika Distribusi Normal 2412

Distribusi Normal StandarpZ12−z2( z) = e −∞ ≤ z ≤ +∞2πprob( Z ≤ z) = PZ( z) = ∫z−∞1e2π−t22dtStatistika Distribusi Normal 25Distribusi Normal Standar–∞ +∞−3 −2 −1 0 1 2 3 Zμ−3σ μ−2σ μ−σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ XStatistika Distribusi Normal 2613

Tabel Distribusi Normal Standar• Tabel zvsordinat kurva normal standar zvsordinat pdf (probability density function)• Tabel zvsluas di bawah kurva zvscdf (cumulative distribution function) luas kurva dari 0 s.d. z x luas kurva dari –∞ s.d. z xStatistika Distribusi Normal 27Perintah (Fungsi) MS Excel• Distribusi NormalNORMDIST(x,mean,standard_dev,cumulative)• x = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusi normalnya• mean = nilai rata-rata (aritmetik)• standard_dev = nilai simpangan baku• cumulative = TRUE atau FALSE; TRUE jika ingin menghitungcdf, FALSE jika ingin menghitung pdfNORMINV(probability,mean,standard_dev)• probability = probabilitas suatu distribusi normal• mean = nilai rata-rata (aritmetik)• standar_dev = nilai simpangan bakuStatistika Distribusi Normal 2814

Perintah (Fungsi) MS Excel• Distribusi Normal Standar• IngatNORMSDIST(z)• menghitung nilai cdf distribusi normal standarNORMSINV(probability)• kebalikan dari NORMSDIST(z)• mencari nilai z apabila probabilitasnya diketahuiDistribusi Normal Standar• mean = 0• simpangan baku = 1Statistika Distribusi Normal 29Perintah (Fungsi) MS Excel• Contoh 1 NORMDIST(15,12,3,TRUE)• rata-rata = 12• simpangan baku = 3• prob(X < 15) = NORMDIST(15,12,3,TRUE) = 0.841 NORMINV(0.8,12,3)• prob(X < x) = 0.8• x = NORMINV(0.8,12,3) = 14.52Statistika Distribusi Normal 3015

Perintah (Fungsi) MS Excel• Contoh 2NORMSDIST(3)• rata-rata = 0• simpangan baku = 1• prob(Z < 3) = NORMSDIST(3) = 0.9987• prob(0 < Z < 3) = NORMSDIST(3) – 0.5 = 0.4987• prob(1 < Z < 3) = NORMSDIST(3) – NORMSDIST(1)• prob(Z > 1.5) = 1 – NORMSDIST(1.5)NORMSINV(0.65)• prob(Z < z) = 0.65• z = NORMSINV(0.65) = 0.385Statistika Distribusi Normal 31Perintah (Fungsi) MS Excel• Tugas Buatlah tabel distribusi normal standar• tabel pdf• tabel cdf Dapat memakai perintah MS Excel untukmengerjakannyaStatistika Distribusi Normal 3216

Fungsi Linear Distribusi NormalVariabel random X berdistribusi normal, N(μ,σ 2 )Jika Y = a + b X, maka Y berdistribusi normalN(a + b μ, b 2 σ 2 )Statistika Distribusi Normal 33Teorema Limit SentralX i, i = 1,2,…,n masing-masing variabelrandom yang berdistribusin normal N(μ,σ 2 )s n = X i∑i=1Jika n →∞ distribusi s nmendekati(asimtotis) distribusi normalN(nμ,nσ 2 )Statistika Distribusi Normal 3417

Kurva Normal Data Pengamatan• Perbandingan antara data pengamatan vsdistribusi normal• Contoh data debit maximum (lihat tabel) klas ke-2: 200 – 300 m 3 /s 250 m 3 /s debit rata-rata 659 m 3 /s ≈ 660 m 3 /s simpangan baku debit 212 m 3 /s ≈ 210 m 3 /sStatistika Distribusi Normal 35Data Debit Puncak Sungai XYZTahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s)1 473 23 1110 45 8432 544 24 717 46 4503 872 25 961 47 2844 657 26 925 48 4605 915 27 341 49 8046 535 28 690 50 5507 678 29 734 51 7298 700 30 991 52 7129 669 31 792 53 46810 347 32 626 54 84111 580 33 937 55 61312 470 34 687 56 87113 663 35 801 57 70514 809 36 323 58 77715 800 37 431 59 44216 523 38 770 60 20617 580 39 536 61 85018 672 40 708 62 82919 115 41 894 63 88720 461 42 626 64 60221 524 43 1120 65 40322 943 44 440 66 505Statistika Distribusi Normal 3618

Debit puncak Sungai XYZ selama 66 tahun12001000800Debit (m 3 /s)60040020000 10 20 30 40 50 60 70Tahun ke-Statistika Distribusi Normal 37Histogram Data PengamatanDebit Puncak Sungai XYZ selama 66 tahunFrekuensi Relatif0.200.180.160.140.120.100.080.060.040.020.00100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200m 3 /sStatistika Distribusi Normal 3819

Pengamatan vs TeoretikDebit Puncak Sungai XYZ selama 66 tahun0.20Frekuensi Relatif0.180.160.140.120.100.080.06Distribusi Normal TeoretikData Pengamatan0.040.020.00100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200m 3 /sStatistika Distribusi Normal 39Pengamatan vs Teoretik• Expektasi frekuensi relatifklas ke-2fQ3002 − 2( )( = 250 ) = ( 2π) 1 q−Qqs e=∫200300∫200= F2 −( 2 210 ) 1 2( q−660⋅ π ⋅ e)Q= 0.0293Q−12−12( 300 ) − F ( 200 )Q⎛ 300 − 660 ⎞= FZ⎜ ⎟ − F⎝ 210 ⎠= 0.4857 − 0.4564Z2 2sQd q2 2210⎛ 200 − 660⎜⎝ 210⎞⎟⎠d qStatistika Distribusi Normal 4020

Pengamatan vs Teoretik• Cara lain untuk memperkirakan frekuensi relatifdalam suatu interval klasfpQQ( q ) = Δq⋅ p ( q )i( q ) = p ( z )iZiiQid z=d qpZσ( z )QiStatistika Distribusi Normal 41Pengamatan vs Teoretik• Cara lain … (lanjutan)i = 2:ΔqqipfZQi= 100m= 250 m( z )i33s → z= 0.0593⎛ 0.0593⎞⎜ ⎟⎝ 210 ⎠250−660= = −1.95210( q ) = 100 = 0. 028isiStatistika Distribusi Normal 4221

Hitungan dan Penggambaran• Hitungan dan penggambaran dilakukandengan spreadsheet: ST Contoh Data DebitStatistika Distribusi Normal 43Distribusi Normal vs DistribusiRandom Kontinu• Umumnya distribusi normal cukup baik untukmendekati distribusi-distribusi yang lain, baikdistribusi diskrit atau kontinukhususnya di bagian tengah distribusikurang baik di sisi pinggir (tail)• Apabila distribusi kontinu dipakai untuk mendekatidistribusi diskrit, diperlukan koreksikoreksi tengah interval, x –½, x + ½ misal: prob(X = x) prob(x –½< X < x + ½)Statistika Distribusi Normal 4422

Distribusi Normal vs DistribusiRandom KontinuDiskritKontinuX = xx ≤ X ≤ yX ≤ xX ≥ xX < xX > xx − ½ ≤ X ≤ x + ½x − ½< X < y + ½X < x − ½X > x + ½X ≤ x − ½X ≥ x + ½Statistika Distribusi Normal 4523