Optik Moderen

I. Gelombang EMII. Interaksi Gelombang EM dengan MateriIII. Refleksi dan Refraksi Gelombang BidangIV. MEDIA BERLAPIS ISOTROPIKV. MEDIA BERLAPIS PERIODIK 1-D7. GELOMBANG TERPANDU DALAM MEDIABERLAPIS8. OPTIK NONLINIER2

1.1 Persamaan Maxwellrr ∂B(1) ∇xE= −∂trr ∂Dr(2) ∇xH= + J∂tr(3) ∇ • D = ρr(4) ∇ • B = 0ρ = rapatmuatanI. Gelombang EM( 5 )(6 )rDrB==rε Erμ HrrE = vektor medan listrik; H = vektor medan magnetrD = vektor pergeseran listrik dalam bahan; ε = permittivitas listrik bahanrB = vektor medan magnet induksi dalam bahan; μ = permeabilitas magnet bahanrJ = rapat aruslistrik3

Bahan optik bersifat dielektrik, isolator dan nonmagnetik:ρ=0, J=0rr ∂B(1) ∇xE= −∂trr ∂D(2) ∇xH=∂tr(3) ∇ • D = 0r(4) ∇ • B = 0(5 )(6 )rDrB==rε Erμ Ho1ν = ; kecepatancahayadalam bahan dielektrikεμo1c = ; kecepatancahayadalam ruang hampaεoμoεεr= ; tetapan dielektrikbahanεon = ε ; indeks bias bahanrcν = , kecepatancahayadalambahann4

1.2 Syarat Batas di batas dua bahan dielektriknˆDivergensi Gauss:rnr( B•1−rB ) = 0 → B21⊥∫∇= B2⊥r• FdV=∫rF• nˆ dS2 1rn• (rD1−rD ) = 0 →εE211⊥= ε E22⊥nˆTeorema Stokes:rnˆx ( E2−rE1∫) = 0 →r∇xFE• ndS =1 //ˆ=E∫2 //rFr• dl2 1rnˆx ( H2−Hˆ1)=0→B1 //=B2 //5

Gelombang bidangrErH= uˆ1= uˆE2oHeor ri(ω t−k.)er ri(ω t−k.)E odan H oadalah amplitudo kompleks, konstan dalam ruang dan waktu.∇∇r• E = 0 →uˆ1r• H = 0 →uˆ2r• k = 0r• k = 0Artinya, amplitudo tegak lurus terhadap arah penjalaran.Dari pers. Maxwell (1):û 2û 1k rurk x uˆ= dank1ˆ2 rη =μoεεH o= Eμ1=nμεoooo377Ω≈nAdalah impedansi material; impedansi ruangvakum=377Ω7

1.4 Rapat energi dan Fluks energiCahaya membawa energidalam bentuk radiasi gelombang EM.Dua aspek penting dari elektromagnet:1. Rapat energi yang tersimpan dalam gelombang EM,2. Fluks energi terkait dengan gelombang EM tersebut.Dari pers.Maxwell (2):r r v r vJ. E = E.( ∇xH) − E.∂r r r r v rIdentitas vektor: ∇. ( ExH) = H.( ∇xE)− E.( ∇xH)trDsehingga:r r r r rJ. E = −∇.( ExH) − H.∂r= −∇ S −∂ U.ttr vB − E ∂.trD8

∇.S + ∂tU= −J.E∂Ur r v r r r v r= H. ∂tB + E.∂tD→U= H.B + E.D∂tr r rS = E x HRapat energi (Joule/m 3 )Fluks energi atau vektorpoynting (Watt/m 2 ).∇.S rmerupakan daya EM yang mengalir keluar dari unit volum.r r r∇. S + ∂tU= −J.EMerupakan persamaan kontinuitas, atau hukumkekekalan energi untuk gelombang EM.9

II. Interaksi Gelombang EM dengan Materi2.1 Konstanta dielektrik, indeks biasKehadiran medan listrik dalam bahan menyebabkan pergeseran posisi muatanpositip dan muatan negatif dalam setiap atom.Dalam bahan dielektrik, pergeseran itu menginduksikan momen dipol:r rp = α E α=polarizabilitas atomJika N=jumlah atom/unit volum, maka polarisasi listrik yang terjadi adalah:r r rP = N p = N α E Nαr rχ = χ=suseptibilitas listrik bahanP = ε χ EεKonstanta dielektrik bahan:Indeks bias: n 2 =ε r =ε/ε oo⎛ Nα⎟ ⎞ε = ε + =⎜o(1χ)εo1 +⎝ εo⎠n = 1+χ = 1+oNαεo10

2.2 Indeks bias dengan model elektronMisalkan medan listrik yang mengenai atom:E=E o eiωtKarena keelastisan elektron, persamaan geraknya:2d x dx 2m + mγ+ mωox = −eEoe2dt dtx=posisi elektron relatif terhadap inti atom, m=massa elektron, ω o= frekuensieigen dari elektron, γ=koefisien redaman.iωtSolusi stasioner:x=− eE2 2m(ω −ωiγω)o+Momen dipol terinduksi:p= −ex=2eE2 2m(ω −ω+ iγωo)Jadi, polarizabilitas atom:α =2m(ωe22o−ω+iγω)11

Indeks bias bahan:n=Ne21 +2ε m(ω ω2o o− +iγω)Jika suku ke dua dalam tanda akar sangat kecil terhadap 1, makan≈Ne21 +22εm(ω ω2o o− +iγω)1. N dan ω obergantung pada bahan. Jelas bahwa indeks bias bergantungpada frekuensi cahaya ω.2. Jika ω dinaikkan mendekati ω o, indeks bias juga akan naik. Ini berlakupada semua bahan transparan. Indeks bias untuk cahaya biru > indeksbias untuk cahaya merah. Fenomena ini disebut dispersi.3. Karena iγω, indeks bias menjadi kompleks:2 2 2Ne ( ωo−ω)n ≈ 1+2 2 2 2 22εom(ωo−ω) + γ ω1444 44 2444443ril2Ne γω− i2 2 2 2 22εom(ωo−ω) + γ ω14444244443imajiner12

Tuliskan: n=n’-in”Tinjau gelombang EM menjalar sepanjang sb-z:E=iE oe( ω t−kz)k= nko= ( n ' − in " ) ko; ko=2πλE=Eoe−n" k z i(ω t−n'k z)oeoKomponen imajiner dari indeks bias menyebabkan atenuasi amplitudosepanjang penjalarannya.13

2.3 Indeks bias logamDi dalam logam terdapat banyak elektron bebas; dengan medan listrikelektron-elektron bebas bergerak. Jadi ω o=0, dan indeks bias menjadi:n=Ne21 −ε m(ω2o− iγω)Jika γω p: n ril, gelombang menjalar bebas dalam logam.Untuk ω

2.4 Pulsa optik dan kecepatan grupDalam berbagai aplikasi, laser diopersikan dalam bentuk pulsa.Penjalaran pulsa laser dalam bahan linier (P=ε oχE), bisa dinyatakan sebagaisuperposisi dari gelombang-gelombang bidang dengan berbagai frekuensi.Misalkan A(k) menyatakan amplitudo dari komponen gelombang bidangdengan k=bilangan gelombang. Pulsa dapat dituliskan:ψ(z,t)di mana dimisalkan k dan ω(k) ril.∞i ( ωt−kz)= ∫ A(k)e dk−∞Hubungan antara ω dan k disebut hubungan dispersi.Misalkan ω o= pusat frekuensi dengan k o= bilangan gelombangnya, dan Δωdisekitar ω oadalah pelebaran frekuensi dengan Δk pelebaran bilangangelombangnya. Ekspansi Taylor dari ω(k) adalah:⎛ dω⎞ω(k)= ωo+ ⎜ ⎟ ( k −ko)+ .......... 14243 .......... 4.⎝ dk ⎠0abaikan15

Substitusikan ke ψ(z,t):ψ ( z,t)≈e∞i ( ω t − k z )i[(dω/ dk ) t − z ]( k − k )oo∫−∞A(k ) eoodkψ(z,0)zIntegral di atas merupakan fungsi envelop,dan dituliskan:E[z−ψ ( z,t)=( dω/ dk )eoi ( ω t − koot]z )=∞∫−∞E[zA(k ) ei[(dω/ dk )− ( dω/ dk )oot]t − z ]( k − ko)dkA(k)k okvgvf⎛ d ⎞= ⎜ω ⎟ disebut kecepatan grup dari pulsa⎝ dk ⎠ωooo= disebut kecepatan fasa≠kecepatan grupk16

Dispersi materialBilangan gelombang:Kecepatan fasa :ωk = nccv f=nKecepatan grup:vg⎛ d= ⎜ω ⎝ dkv = gon+ω dn / dω⎟⎠⎞cJadi, kecepatan fasa > kecepatan grup.Kecepatan grup bergantung pada frekuensi cahaya.serat optikPelebaran pulsa17

III. Refleksi dan Refraksi Gelombang Bidang3.1 Hukum SnelliusrErErieer ri ( ω t − kr ri ( ω t − k .)ir . )k rk rirθrθ izn 1n 2rr ri ( ω t − k t .)Etek rtθtxkrii= krrrr r rk , k , kt= n1ωcrk t= n2ωcyang disebut bidang datang.Komponen tangensial ketiga medan itusama:rkkiiizsinθ=rkrziterletak dalam bidang-xzr r= k sinθ= k sinθ=ikθ = θ ; n sinθ=tzrirnHk. Snelliusttsinθtt18

3.2 Refleksi dan TransmisiTE atau gel-szTM atau gel-pzn 1n 2n 1n 2H’ 1E’ 1E 2E’ H’ + E 211H 2Hθ 22θ 2θ x1θH’ 12E’EE’ + 221E 1H’ 2H 1Solusi umum dari persamaan gelombang dalam setiap medium merupakansuperposisi dari gelombang datang dan gelombang pantul:rr ⎪⎧( E1eE = ⎨ r⎪⎩ ( E2er r−ik.1r r−ik.2r+ E'1er+ E'e2r r−ik' .1r r−ik' .2) e) eiωtiωt; x; x00H 1rHi= ωμor∇ x Ex19

EE’ 2 1TE atau gel-s⎛ 1 1 ⎞D ( ) si⎜;cos cos⎟⎝niθi− niθi⎠i = 1, 2Kontinuitas E ydan H zdi x=0:zn 1n E2y: E1s+ E'1s= E2s+ E'2sH’ 1Hz: n1( E1s− E'1s)cosθ1= n2( E2s− E'2s)cosθ2E 2E’ 1Hθ2⎛E1s ⎞ ⎛E2s⎞2D⎜⎟ =⎜⎟s(1) Ds(2)θ x1⎝E'1s⎠ ⎝E'2s⎠H’ 2disebut matriks dinamis dari gel-s.20

21Koefisien refleksi:iiixxxxxEsssnkkkkknnnnEErsθλπθθθθcos2coscoscoscos'2121221122110'112=+−=+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==Koefisien transmisi:xxxEssskkknnnEEts2112211110'122coscoscos22+=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==θθθReflektansi:2s r sR =Transmittans:xxsskktT122=

TM atau gel-pzKontinuitas E zdan H ydi x=0:Ez: ( E1p+ E'1 p) cosθ1= ( E2p+ E'2 p) cosθ2n 1n 2Hy: n1( E1p− E'1 p) = n2( E2p− E'2 p)E’ 1H’ + E 21 ⎛ E1p ⎞ ⎛ E2p ⎞Hθ 2D ⎜ ⎟ ⎜ ⎟p(1) = Dp(2)2⎝ E'1p⎠ ⎝ E'2 p ⎠θ x1E’ + 2cos cosE 1H’ 2 ( ); 1, 2H = ⎛ θiθi⎞D i⎜⎟ =1⎝ n − nipii ⎠disebut matriks dinamis dari gel-p.22

23Koefisien refleksi:xxxxEpppknknknknnnnnEErp122221122221122112210'11coscoscoscos'2+−=+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==θθθθKoefisien transmisi:xxxEpppknknknnnnnEEtp1222211211221110'122coscoscos22+=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==θθθReflektansi:2p r pR =Transmittans:xxppkktT122=

Reflektans dielektrik-dielektrik, n 1

3.3 Refleksi total internalk r1'k r 12Jika n 1>n 2: θ2> θ1n 1>n 2n 2θ 1θ 2k rzn =1sin θ1n2sinθAgar θ 2=90 o −1, θ1 → θc= sin ( n2/ n1)2xJika θ 1>θ cterjadi refleksi total dari semua energi cahaya. Sudut θ 2menjadi:sin θ2=nn12sin θ1=sin θsin θ1c> 1cos θ2⎛ sin θ ⎞1= 1 −⎜sin θ⎟⎝ c ⎠2⎛ sin θ ⎞1= −i⎜sin θ⎟⎝ c ⎠2− 1 =−icos θCos θ 2berharga imajiner; transmisi meluruh eksponensial terhadap x.E2∝ er ri(ωt−k.)=e−qxei(ω t−k2z sin2 θ 2)25

Reflektans dielektrik-dielektrik, n 1 >n 2 .θ c1TIRn 1=1,7n 2= 1θ 1xzReflektans0.80.60.4θ > θ = sinn11c= 1.7,n2−1⎛ n⎜⎝ n21⎞⎟;⎠nc> n= 1.0 →θ= 3612o0.2spθ c =55,4 o00 10 20 30 40 50 60 70 80 90Sudut datangTotal internal reflection terjadi pada θ 1 >θ c .Penjalaran gelombang dalam serat optik berlangsung dengan TIR.26

Koefisien refleksi pada saat refleksi total:rs=nn11cosθ+ in1cosθ− in122cosθcosθ22;rp=− in1− in1cosθcosθ22− n+ n22cosθ1cosθ1rs=rp= 1Semua energi cahaya direfleksikan secara total.Perbedaan sinar datang dan sinar terpantulhanya pada fasa.Misalkan r∼e iφ , maka10.90.80.7nn12= 1.7= 1.0φ p+πφs=2tg−122⎛ sin θ1− sin θ ⎞c⎜21 sin⎟⎝ − φ1⎠1/ 2Fasa/pi0.60.50.40.3φ sφp= −π+ 2tg−1⎡ 22⎛ sin θ ⎞1− sin θc⎢⎜⎟⎢2⎣⎝1−sin φ1⎠1/ 2⎛ n⎜⎝ n12⎞⎟⎠2⎤⎥⎥⎦0.20.100 10 20 30 40 50 60 70 80 90Sudut datang27

3.4 Gelombang evanesenBerkas cahaya transmisi:Er rk2. = k2( z sin θ2+ x cos θ2)2∝i ( t k r2 .r− )eωn =2sinθ2n1sinθ1k =2sinθ2k1sinθ1Saat berlangsung refleksi total:22cosθ2= 1−(sinθ1/ sinθc) = −i (sinθ1/ sinθc) −1E 2zq=c2 1/ 2ik2 cosθ2= k2[(sinθ1/ sinθ) −1]>0xE2∝e− qx ( ω t ke i −z sin1 θ 1)qxe −5 −1n1 = 1.7, n2= 1.4, λ = 630 nm → q = 7.388 x10 m . Untuk qx = 1 → x = 1. 35μmE 2menjalar diperbatasan sepanjang sb-z, dengan amplitudo yang mengalamipengecilan eksponensial terhadap x. Gelombang ini disebut gelombangevanesen.28

ErH2∝=eii ( t k r2 .rω − )∇rE=2x22xωμoωμorS =1rkrEr r 11 2 Re[ E x H *] =2ωμRe2or⎡k⎢⎣2rE22⎤ e⎥⎦− 2 qxHarga rata-rata komponen-x dari vektor poynting:Sx=2ωμrk = k zˆsin θ +rxˆ . k2=k2= −ik2r1 22 qxRe ⎡ xˆ. k2E ⎤ −2e⎢⎣ ⎥⎦oxˆ .( zˆ sin θ(sin θ / sin θ )1xˆcos2 2(2θ22cr+ xˆcos θ ) =2)2− 1k2= −iqcos θ2xˆẑSx=0Artinya, pada saat refleksi total tidak ada transmisi cahaya melalui perbatasan.29

3.5 Reflektans permukaan bahan penyerapBahan penyerap seperti logam mempunyai indeks bias kompleks: n = n' −in"θ 1n1= ;1 n = n − in2'2Snellius: sinθ"2' "1= ( n2− in2) sinθ2n 1n 2 θ 2xKoefisien refleksi:nr 1 1= s n1cosθ+ 1ncosθ− ncos θ−r 1 2= p n1cos θ + 2n22nn22zcosθcosθ22cos θ1cos θ1Reflektans1.00510.9950.990.9850.980.9750.970.965n 1 =1.0n 2 =0.05-i 2.87 (Ag 500 nm)sp0.960 10 20 30 40 50 60 70 80 90Sudut datang30

Surface PlasmonReflectance10.980.960.940.920.90.880 20 40 60 80Incident angle (degree)spPada sudut di mana reflektansgelombang-p minimum, foton-fotoncahaya dari gelombang evanesenterpakai untuk menggerakkanelektron-elektron bebas di permukaanlogam; dengan itu terbentukgelombang kerapatan elektron.Gelombang kerapatan elektron inidisebut surface plasmon.Karena frekuensi foton sama dengan frekuensi eigen plasmon, makafenomena ini disebut Surface Plasmon Resonance (SPR).31

Penjelasan Surface Plasmonx=-dx=0xH rE r 0selubungterasselubungn 1n coren 2zTinjau gelombang-s (TE):Ey( x,z,t)= Ey( x)ei ( ω t − β z )β=komponen-z dari vektor gelombang.∇2nE2y2ω2c2 2n ωc2n−c22∂− β− β2E∂t222y>

Dengan menggunakan syarat kontinuitas di x=0 dan x=-d dari E ydan H z,akan diperoleh solusi persamaan gelombang:Ey( x)=− px⎧Ce;⎪⎨C[coshx − ( p / h)sinhx],⎪⎩C[coshd + ( p / h)sinhd]eq(x+d ),x > 0− d < x

Tinjau gelombang-p (TM):Hy( x,z,t)=Hy( x)ei(ω t − β z )EExzi( x,z,t)= ∂zHyωεi( x,z,t)= − ∂xHωεyDengan menggunakan syarat kontinuitas di x=0 dan x=-d dari H ydan E z,akan diperoleh solusi persamaan gelombang:Hy( x)=− px⎧−( h / p)Ce ;⎪⎨C[−(h / p) cos hx + sin hx],⎪⎩−C[(h / p) cos hd + sin hd ] eq(x+d ),x−>dx0

Sistem 2-lapisan, d=0:x0n 1n 2zGel − s : p + q = 0 tidak mungkin terjadi karena p, q >Gel p q−p:+2n n221= 0;0Karena22n1> 0 maka n2< 0→ n 2imajiner(?)⎛ nβ =⎜2⎝ n121n2222+ n⎞⎟⎠1/ 2ωcp2=4−n2n + n2122⎛⎜⎝ωc⎞⎟⎠24 22 −n1⎛ω⎞; q =2 2⎜ ⎟n1+ n2⎝ c ⎠Karena2β > 0 → n + n21 2

36⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=−−−00),,()()(xeC exeC etzxHztipxztiqxyβωβω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=−−−00),,()(22)(21xeCenxeCentzxEztipxoztiqxoxβωβωωεβωεβ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥−≤=−−−00),,()(22)(21xeCenipxeCeniqtzxEztipxoztiqxozβωβωωεωε

Komponen2 E x dan E z membentukpolarisasi ellips di atas bidang-xz dekatdengan batas dielektrik-logam.E(x0)zKetiga komponen medan menjalar diperbatasan dielektrik/ logam sepanjang sbz;amplitudo masing2 mengecil secaraeksponensial di dalam dielektrik dan logam.xqxen 1Karena p>q>0, maka amplitudo itu lebihcepat padam di dalam logam.n 2xe −pxz37

Kebanyakan logam memiliki tetapan dielektrik (n 2 ) yang kompleks.Penjalaran gelombang permukaan pada perbatasan antara logamdan bahan dielektrik mengalami hambatan ohmik.Oleh sebab itu penjalaran akan mengalami atenuasi sepanjangsumbu-z.n ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′2 2 22= n2− in2→ n2= n2− n2− i2n2n21/ 22 2⎛ n ⎞1n2ωβ = ⎜⎟ → β = β ′ − iβ′2 2⎝ n1+ n2⎠ c38

39xzn 1n 2qxee −px[ ] cnnnnnnnncnnnnnnωβωβ 21/32222212222312221/222221222221))((;)()(′′−′+′′−′′′′=′′⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′−′+′′−′=′Konstanta penjalaransepanjang sb-z.Konstanta atenuasisepanjang sb-z.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤∝−′′−00,,xexeeEEHpxqxzzxyβ

3.6 Lapisan homogen dan isotropikH rE rx=-d/2x=d/2xkix=( n ω / c)i2− β2n 1n 2n 3= ( ω / c)nizTinjau gelombang-s (TE):rEy( x,z,t)= yE ˆy( x)ei ( ω t − β z )β=komponen-z dari vektor gelombang.⎧Ae⎪Ey( x)= ⎨Ce⎪⎩Fecos θi−ik−ik−ik1x2 x3 xxxx+ Be+ Deik1xikx2 x, x < −d/ 2x, − d / 2 < x < d / 2, x > d / 2Medan magnet bisa ditentukan dengan:r i rH ∇ x EHH=yωμoβi(ω t −βz )x( x,z,t)= − Ey( x)eωμoii(ω t −βz )z( x,z,t)= ∂xEy( x)eωμo;40

41)()()()(),,(ztizztixozexHexEitzxHβωβωωμ−−=∂=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>

42dkixxxxxxxxdikxxxxekkkkkkkkekkAF2223221322121))(())((4−−−−+++=dkixxxxxxxxdkixxxxxxxxxxekkkkkkkkekkkkkkkkAB22232213221232213221))(())(())(())((−−−−+++−+++−=Koefisien refleksi 2-lapisan:xxxxxxxxkkkkrkkkkr323223212112 ;+−=+−=Koefisien transmisi 2-lapisan:xxxxxxknknknntknknknnt22332223223122221121122;2+=+=Koefisien refleksi dan transmisi sistem 3-lapisan di atasAFtABr == ;

43dkidikdkixxxxxxxxdikxxxxxxerrettekkkkkkkkekkAFt2222223122312232213221211))(())((4−−−−++=−−+++==Jadi untuk sistem 3-lapisan di atas:dkidkidkixxxxxxxxdkixxxxxxxxxxxxerrerrekkkkkkkkekkkkkkkkABr222222312223122322132212322132211))(())(())(())((−−−−++=−−+++−+++−==xxxxknknknknr22222122222112+−=xxxxknknknknr22332222332223+−=xxxknknknnt223322232232+=xxxknknknnt122221121122+=Untuk gel-p, rumusan di atas tetap berlaku dengan:

Reflektans, transmittans dan absorptans:2 n3cos θ3 2R = r ; T = t ; A = 1 − ( R + T )n cos θ11n =1sinθ1= n2sinθ2n3sinθ344

3.7 Attenuation Total Reflection (ATR)Gunakan gelombang-pθ 1dθ 2n 1n 2rr+rep p − i 2 φ12 23=p p − i 2 φ1 + r12r23eθ 3n 3R=r2xφ =2πn2dcos θ2λ45

12=nn11cosθcosθ22−+nn22cosθ1cosθ1r23=nn22cosθcosθ33−+nn33cosθcosθ22cosθ⎛ n= ⎜ θ2⎝ n2121 − sin⎟ ⎞⎠2cosθ⎛ n= −⎜ θ2⎝ n3231 sin⎞⎟⎠2Dengan rumusan di atas telah dibuat program komputer untuk R.46

Hasil-hasil perhitungan:1.41.21n 1 =1.723n 2 =1.6n 3 =11.41.21n 1 =1.723n 2 =2.0n 3 =1Reflektans0.80.6Reflektans0.80.60.40.40.20.200 10 20 30 40 50 60 70 80 90Sudut datangλ=633 nm0 10 20 30 40 50 60 70 80 90Sudut datangn 2n 1 θ1n 30d=50nm47

Surface plasmon1n 1 θ1n 2n 3n 1 =1.723n 2 =0.173+i 3.422(Au pada 633nm)d=50 nmn 3 =1dReflectance0.80.60.40.200 20 40 60 80 100Incident angle (degree)48

10.8Reflectance0.60.4n 3 =10.2035 36 37 38 39 40Incident angle (degree)49

10.8Reflectance0.60.4n 3 =1.0050.2035 36 37 38 39 40Incident angle (degree)50

IV. MEDIA BERLAPIS ISOTROPIK4.1 Perumusan MatriksPerhatikan lapisan medium dielektrik ini.Karena setiap lapisan itu homogensepanjang sumbu-z, maka gelombangbidang yang memenuhi persamaanMaxwell adalah (untuk gel-s):Ey( x,z,t)=Ey( x)ei ( ω t − β z )n 1zB 1B’ 2B 2B’ 3A 1n 2A’ A 2 2n 3A’ 3x=0 x=dxβadalah komponen-z dari vektor gelombang. Untuk gel-p, ganti E ydengan H y.E y(x) dapat dinayatakan sebagai superposisi gelombang menjalar ke kanan danke kiri; pada setiap lapis berlaku:Ey−ikx ik x x( x)= R ex + L e = A(x)+ B(x)di setiap perbatasan dua medium51

52Sesuai dengan rumusan refleksi-transmisi (hal.19):⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−'2'212'2'221111'2'22111~~~~~BADBADDBABADBADPenjalaran:⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛222'2'2 ~BAPBA⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−'3'323'3'331222'3'33222~~~~~BADBADDBABADBADxzn 1A 1B 1 n 2A’ 2 A 2B’ 2 B 2 n 3A’ 3B’ 3x=0 x=dSecara keseluruhan:⎟ ⎟ ⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−'3'323212'3'3212221111 ~~~~~~~~BADPDBADDPDDBA

53⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=− 2200~2 φφiieeP32,1,pgeluntukcoscossgeluntukcoscos11~=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=innnnDiiiiiiiiiθθθθdkcnkcnxiiixii 22,cos,sin === φθωθωβ

Catatan:~ −1−1Dc~D~= I (identitas )~ ~C T = Tranpos dari C= kofaktordari~→ Dijd ij=~ TC~det D~ T( C ) = cijjiMisalkan~D=⎛d⎜⎜d⎜⎝d112131ddd122232ddd132333⎞⎟⎟⎟⎠Kofaktor dari d ij=(-1) i+j M ij; M ij=minor dari d ij.d21d23Kofaktor dari d 12= - M 12 M12=d31d33d21d23c12= − =d d3133T( C ) 21d12d13Kofaktor dari d 31= M 31M31=d22d23d12d13c31= =d d2223T( C ) 1354

55⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=⎟ →⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=11coscos~coscos11~ iiiiiiiiinnCnnDθθθθ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=iiiiiiiiinnCnnDθθθθcoscos~coscos~⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=1cos1cos~iiiiTnnCθθ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−= −−1cos1coscos21~ 1 iiiiiiinnnDθθθ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=iiiiTnnCθθcoscos~⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−= −−iiiiiiinnnDθθθcoscoscos21~ 1Gel-s:Gel-p:Cek:⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−1001~~ 1 iD i D

56== − 21112~~~DDDsgelnnnnnnnn−⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ −⎟ ⎟ ⎠⎞⎜⎜⎝⎛ −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ + 1122112211221122coscos121coscos121coscos121coscos121θθθθθθθθ== − 21112~~~DDDpgelnnnnnnnn−⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ −⎟ ⎟ ⎠⎞⎜⎜⎝⎛ −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ + 2112211221122112coscos121coscos121coscos121coscos121θθθθθθθθ

4.2 Perumusan untuk Sistem Multilapisn on 1n 2n N-1A oA 1A 2 ……. A N-1B N-1n NA NB Nn sA’ sB’ sxn(x)⎧no,⎪⎪n1,⎪n2,= ⎨⎪....⎪nN,⎪⎩ns,x < xx1N −1< x < x< x < x................xxxoN

58)()(ztiexEEω −β=Misalkan solusi persamaan gelombang adalah gelombang bidang:NlxxeBeAxxxB eA exxeBA exENxxxiksxxxiksllxxxiklxxxikloxxxikoxxxikossxssxllxllxooxoox......,2,1,,.,'',,)()()(1)()()()(=⎪⎩⎪⎨⎧

59⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛''22211211ssooBAMMMMBAslllNloDD P DDMMMM ~~ ~~~ 11122211211⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−∏NlnnnnDlllllllll......,2,1,puntuk gelcoscossuntuk gelcoscos11~=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=θθθθ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−lliileePφφ00~llxldk=φ

60Untuk 3 lapisann 1A 1B 1 n 2A 2B 2 n 3A 3B 3x⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛332221121111BAMMMMBA312221122211211 ~~~~~DD P DDMMMM−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛d⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ += ⎟ ⎟ ⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ −= ⎟ ⎟ ⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ −= ⎟ ⎟ ⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ += 22331122113322223311221133212233112211331222331122113311coscoscoscossin21coscoscos121coscoscoscossin21coscoscos121coscoscoscossin21coscoscos121coscoscoscossin21coscoscos121θθθθφφθθθθθθφφθθθθθθφφθθθθθθφφθθnnnninnMnnnninnMnnnninnMnnnninnMGel-s

61⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=12232132131322122321321313211223213213131212232132131311coscoscoscossin21coscoscos21coscoscoscossin21coscoscos21coscoscoscossin21coscoscos21coscoscoscossin21coscoscos21θθθθφφθθθθθθφφθθθθθθφφθθθθθθφφθθnnnninnMnnnninnMnnnninnMnnnninnMGel-pKoefisien refleksi dan transmissi:1111112111211coscos1MnnTMtMMRMMroossθθ=→==→=

Sistem lapisan ¼ gelombangN pasangan lapisan dengan n 1d 1=n 2d 2=λ/41 2 ……………. Nn on 1n 2n 1n 2d 1d 2d 1d 2n s~ ~ ~ −1~ ~ ~ N[ D1P1D1D2P2D2] Ds⎛M 11M12⎞ ~ −1−1~⎜ = DoM21M⎟⎝22 ⎠62

V. MEDIA BERLAPIS PERIODIK 1-D5.1 Media berlapis periodik 1-dimensiKristal fotonik 1-Dn 1n 2n 1n 2 n 1 n 2d 1d 2d 1d 2 d 1 d 2n 1n 2n 1n 2 n 1 n 2d 1d 2d 1d 2 d 1 d 2abn−1n−1cdnnabnnxx=(n-2)Λx=(n-1)Λx=nΛunit sel ke-nn( x)= n(x + Λ);Λ = d + d21=perioda63

64Misalkan solusi persamaan gelombang:)()(ztiexEEω −β=⎪⎩⎪⎨⎧Λ−

65⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ −⎟ ⎟ ⎠⎞⎜⎜⎝⎛ −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ +=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−nnxxdikxxdikxxdikxxdiknndckkekkekkekkebaxxxx121212121111112122222222Untuk gelombang-s:⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ −⎟ ⎟ ⎠⎞⎜⎜⎝⎛ −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ +=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−nnxxdikxxdikxxdikxxdiknnbakkekkekkekkedcxxxx2121212111112111111111⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−nnnnbaDCBAba11

66⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=−−222112212222211221222112212221122122sincossin;sin;sincos11111111dkkkkkidkeDdkkkkkieCdkkkkkieBdkkkkkidkeAxxxxxxdikxxxxxdikxxxxxdikxxxxxxdikxxxx⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−nnnnbaDCBAba11⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫AD− BC =1⎟⎠⎞⎜⎝⎛DCBAdisebut matriks translasi unit selMatriks translasi itu menghubungkan medan-medan dari dua lapisan yangsama maka AD-BC=1.

67⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=−−2222112212222121221122122221221122211122122221221122211122221122122221212211sincossin;sin;sincosdkknknknknidkeDdkknknknknieCdkknknknknieBdkknknknknidkeAxxxxxxx dikxxxxxxdikxxxxxxdikxxxxxxxdikUntuk gelombang-p:

68⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−nnnnbaDCBAba11⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛221111baDCBAbabaDCBAbaoo⎪⎭⎪⎬⎫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛222baDCBAbaoo⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−oobaDCBAba222⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−ooNooNNNbaACBDbaDCBAba

5.2 Gelombang Bloch dan struktur pitaMengambil konsep zat padat, medium periodik ekivalen dengan kisi 1-dimensiyang invarian terhadap translasi kisi.n( x)= n(x + Λ);Λ =periodaBerdasarkan teorema Floquet, solusi persamaan gelombang untuk mediumberlapis periodik adalah:di manaEK( x,z)=EK( x)e−iβze−iKxE( x+Λ)E ( x)K=KIndeks K menyatakan fungsi E K(x) bergantung pada K. Konsanta Kdisebut bilangan gelombang Bloch.69

70Menentukan K dan E K (x)iKxziKKeexEzxE−−=β)(),(Λ−Λ−−−+ Λ−−+ Λ−−===Λ+=Λ+iKKiKiKxziKxiKziKxiKziKKezxEeeexEeexEeexEzxE),()()()(),()()(βββDalam bentuk matriks,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Λ−−−−Λ−nniKnnnniKnnbaebabaeba1111atau⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−nnnnbaDCBAba11Tapi,

⎛⎜⎝ACB ⎞⎛a⎟⎜D ⎠⎝bnn⎞⎟⎠=eiKΛ⎛ a⎜⎝ bnn⎞⎟⎠Jadi, exp(iKΛ) adalah harga eigen dari matriks translasi.Untuk itu berlaku:AC−eiKΛDB−eiKΛ=0Jadi, harga-harga eigen itu adalahe iK Λ=1 2 ( A + D)±cos KΛ =12 ( A + D)1 −1K = cos 2 +Λ14( A[1( A D)]+D)2− 171

72Selanjutnya, dengan vektor-vektor eigen ditentukan sbb:⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛ΛooiKoobaebaDCBA( )AeBbaiKoo−= Λ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ΛAeBQbaiKooQ=konstanta⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ooNNNbaACBDba

Hubungan dispersi:eiKΛ=12( A+D)±14( A +D)2imajiner− 1cosKΛ =12( A+D)=cosk1xd1cosk2 xd2−12⎛⎜⎝kk2 x1x+kk1x2 x⎞⎟sin⎠k1xd1sink2 xd2kix2⎛ niω⎞ 2 niω= ⎜ ⎟ − β = cos θi;i⎝ c ⎠ c= 1,2Harga cos KΛ ditentukan oleh ω dan β. Kurva ω vs βdisebut kurva dispersi.73

1 2( A + D)< 11 2( A + D)> 1harga K ril, artinya gelombang Bloch dapat menjalar melaluimedium berlapis.K merupakan kompleks sehingga gelombang mengalamievanescen; artinya gelombang Bloch tak dapat melaluimedium berlapis atau disebut pita terlarangBand gaprefleksi74

ωβ = 0gapgapgapK2π/ΛCahaya bisa lewatCahaya tak bisa lewat (band gap)75

76⎪⎩⎪⎨⎧Λ−

5.3 Reflektor BraggMedium berlapis dari N buah unit sel.b on 2n 1d 2d 1a Na oΛN buah unit selJika gelombang Bloch jatuh dalam band gap, gelombang itu terevanesendan tak bisa menjalar dalam medium.Jadi, gelombang itu terpantul; medium bersifat sebagai reflektor yangdisebut reflektor Bragg.77

78Koefisien refleksi:=0⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=b NooNabr⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛NNNoobaDCBAbaKarena matriks unimodular:ΛΛ+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−−−KKNuuDuCuBuuAuDCBANNNNNNNNsin1)sin(,211121[ ])(cos 211DAK +=Λ−122110 / −−−−−= −=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=NNNNNbooNuuACuAuCuabrN2122/ −−−==NNNuuACrR

TE (s); n 1=3,0 n 2=3,6 d 1=d 2=2um θ o=0 o N=3010.90.80.7Reflektans0.60.50.40.30.2N=150.101 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 31Lamda (um)0.90.8Reflektans0.70.60.50.40.30.20.101 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3Lamda (um)79

N=15, n 2=3,6 d 1=d 2=2 um θ o=0 o n 1=3,010.90.80.7Reflektans0.60.50.40.30.20.10.801 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3Lamda (um)0.70.6Reflektans0.50.40.3n 1=3,30.20.101 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3Lamda (um)80

N=15, n 1=3,0 n 2=3,6 d 1=d 2=2 um10.90.8Reflektans0.70.60.50.40.3θ o=0 o0.20.101 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 310.9Lamda (um)Reflektans0.80.70.60.50.40.3θ o=60 o0.20.101 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3Lamda (um)81

Reflektor Bragg dengan Reflektans tinggiCermin dengan reflektans tinggi diperlukan dalam berbagai aplikasi. Cermindengan bahan logam bisa memiliki reflektans 99% dan yang 1% diabsorp.Jika cermin dpakai untuk laser daya tinggi, cermin logam menjadi panas.Untuk mengatasinya, digunakan refektor Bragg dari bahan dielektrik,misalnya dengan lapisan-lapisan n 1d 1=n 2d 2=λ o/4.k 1xd 1=k 0n 1d 1=(2π/λ)(λ/4)=90 o →exp(ik 1xd 1)=ik 2xd 2=k 0n 2d 2=(2π/λ)(λ/4)=90 o →cos k 2xd 2=0A =eik22⎡⎛ n k ⎞xn k1xd11 2 2 1x⎢cosk+⎜ +⎟xd12 2 2isin k2 2⎣⎝ n2k1xn1k2x⎠2xd2⎤⎥⎦= −12⎛⎜⎝nn2122kk2x1x+nn2221kk1x2x⎞⎟⎠C=eik22⎡ ⎛ n k⎞xn k1xd1x⎢−1 2 1 1 22 i⎜ − −⎟sin22⎣ ⎝ n1k2 xn2k1x⎠k2 xd2⎤⎥⎦=12⎛⎜⎝nn2221kk1x2 x−nn2122kk2 x1x⎞⎟⎠rN⎛ b=⎜⎝ aoo⎞⎟⎠CuN−1=Au −uC=A−u/ u⎛= −⎜⎝4 2 4 2( n − )( ) ⎟ ⎞2k1xn1k2x4 2 4 2n1k2x+ n2k1+ ⎠121b = 0 −1−2−2−12NN NN Nx182

10.90.8n1=1.5n2=2.5λ o=0,6 umN=30Reflektans0.70.60.50.40.30.20.100.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Lamda (um)83

Reflektor Bragg Sinusoida HomogenA(0)ΛA(L)B(0)A 2(L)=0z=0 z=L2πn ( z)

85( )[ ] 0)cos(2221222222222=+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−ziziooziziBeAeGznnnceBdzdBidzBdeAdzdAidzAdββββωββββAsumsikan amplitudo gelombang berubah pelan-pelan (SVA):dzdBdzBddzdAdzAdββ

86Kalikan dengan exp(iβz)Lakukan perata-rataan spasial:( ) zGizGizGizizieeeeGzGze)( 221)( 2)( 22122)cos(0,)cos(0;−−+≈+===βββββ)[ ] 0cos(2222122222222222=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎥ +⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−zioziooBeAGznnceBncdzdBiAncdzdAiββωβωββωβ02)(21222222=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+∂∂−−zGiooBenncAnczAiβωβωβ

dA− 2iβdz2⎛ ω+⎜2⎝ cn2o22 ⎞ ω− β⎟A+2⎠ cnon1Bei(2β−G)z=0Dengan cara yang sama diperoleh:dB2iβdz2+ ( n ω2o/ c22− β ) B + non12ω2cAei(2β−G)z= 0Misalkanlah β=G/2=n oω B/c; maka denganω−ω Bcukup kecil diperolehδ =n2oω2/ c22β− β2=( noω / c + β )( n2βoω / c − β )≈noc( ω − ω )BωB=Goc2no=π cn Λoω Bdisebut frekuensi Bragg, dan δ disebut frecuency detuning.87

κ =non ω1β22/ c n≈12noGParameter koplingλB2πc= = 2noΛωBPanjang gelombang BraggdAdzdBdz+ iδA− iδ B == −iκBiκA⎪ ⎭⎪ ⎬⎫disebut persamaan terkopelCara penyelesaian persamaan terkopel:a(z)iδz= A(z)e ; b(z)= B(z)e−iδz88

89ziziaeidzdbbeidzdaδδκκ22;−== −02222=−−adzdaidzadκδ;)sinhcosh( 21zieszCszCaδ+= 022≥−= δκs[ ]{ [ ]} zizieszCszCszsCszC sidzdaeibδδδκκ−−+−+==sinhcoshcoshsinh 21212

A ( z ) = ( C1cosh sz + C2sinh sz )iB z)= [ C s sinh sz + C2scosh sz]− δκ{ [ C cosh sz C sinh sz]}(1 1+2Dengan menerapkan syarat batas A (0)=A o, dan B(L)=0,A(z)=Aos cosh s(L − z)+ iδsinhs cosh sL + iδsinhs(L −sLz)B ( z)=Aoiκsinh s(L − z)s cosh sL + iδsinhsLr=B(0)A(0)=iκsinh sLs cosh sL + iδsinhsLR =r2=s2κcosh22sinh22sLsL + δ sinh2sL90

RκL = 10.70.60.50.40.30.20.10-15 -10 -5 0 5 10 15δL0.9κL = 20.80.70.60.50.40.30.20.10-15 -10 -5 0 5 10 15RδLκL = 210.8κL = 61.21R0.60.4RBand gap0.80.60.40.20.20-15 -10 -5 0 5 10 15δLSide lobe0-15 -10 -5 0 5 10 15δL91

κL = 61.21Misalkan:n o= 3,n1 = 0,1, Λ =0,2μmRBand gap0.80.60.40.2λ = 2 Λ = 1,2μm; f =Bno B25 0 THzn1 −1κ ≈ G = 0,5μm ; L 12μm2n=o0-15 -10 -5 0 5 10 15δLLebar pitanoδ cδ ≈ ( ω − ωB) → ω − ωB=cnf−fB=20THzo=1,25 μmδL=-15 sd 15 δ=-1,25 sd 1,25 μm -1-1x3x1038ms−1= 1,25 x1014s-1Δf=2x20THz= 40THz ; fB=250THz2cλf = → Δλ= Δf;λc12 −140 x10s x(1,2μm)Δλ=8 −13x10ms2=0,19 μm;λB= 1,2μm92

Reflektor Bragg sinusoida dengan apodisasiSide lobe = Refleksi yang bervariasi di luar band gap.Side lobe itu dapat dihilangkan dengan cara apodisasi.κ(z)=Go2non1( z)= κoe−γ( z / L)2κ =non ω1β22/ c n≈12noGdadz= −iκ( z)bei2δz;dbdz=iκ( z)ae−i2δzMisalkan:B(z)r( z,δ ) =A(z)rb(z)a(z)drdzi2δz= e2= i2δr + iκ(1 + r )drdz⎛ dρ⎝ dzdρdzi2δzi2δz i2δz( z,δ ) = ρ(z)e= ⎜ + i2δ ρ⎟e= e + i2δr⎞⎠dρ≈dziκ( z)e−i 2δz,r2

94∫−=Lziezdzi02)()(0,δκδρ∫−=Lziezdzir02)()(0,δκδ)((0,)(0,222202)/(22 2qpedzerRoLziLzo +=== ∫−−κκδδδγ∫∫−−==LLzLLzdzzeqdzzep0)/(0)/()sin( 2)cos( 222δδγγ

10.810.8γ=50.60.4Reflektans0.60.40.20.20-15 -10 -5 0 5 10 150-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5DeltaL=10 umκ o=0,5 um -1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Reflektans0.50.40.30.2γ=100.10Delta95

Reflektor Bragg sinusoida dengan chirpReflektor Bragg yang memiliki lebar pita yang besar.Reflektror ini merupakan deretan sejumlah reflektror Bragg yang tersusunmulai dari yang berperioda besar dan diakhiri dengan perioda kecil.Λ 1 Λ 2Λ 3Λ 4 Λ 5Λ1 > Λ2 > Λ3 > Λ4 > Λ5RλB= 2noΛλ B5λ B4λ B3λ B2λ B1λ96

97o n onzzGnnzn

Untuk linear chirp:FFG( z)− Go = z → φ(z)= z2 2LL2F disebut parameter chirpKeadaan phase match terjadi jika 2δ z-φ(z)=0.z2LF2LnFc22o( δ ) = δ = ( ω − ωB) Jadi, cahaya berfrekuensi tinggi memerlukanωB=Goc2no=π cn Λojarak resonansi lebih besar.z=-L/2z=0z=L/2zω = ωB−Fc4Lnoω = ω Bω = ωB+Fc4Lno98

99)(2)()()()()(),(φδφδ−−==ziziezazbezAzBzr )(122rirdzdidzdr++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−= κφδ)(2)(),(φδρδ−=ziezzr)(2)(2φδφδρ−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=zierdzdidzddzdr))(2( zzieidzdφδκρ−−≈∫−−−=−2// 2))((2)/2,(LLzziedziLφδκδρ)(2,/()2,/(22222/2/))((222qpdzeLrLRLLzzi+==−=−∫−−−κκδδφδ∫∫−−−=−=2/2/2/2/))(sin( 2;))(cos( 2LLLLdzzzqdzzzpφδφδ∫−−−−−=−)]([(22)]/(2/2[)2,/(zziLLiedzeiLrφδφδκδ

0.80.7Reflektans0.60.50.40.30.2L=10 μmκ=0,5 μm -1F=400.10-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10Delta0.70.6L=10 μmκ=0,5 μm -1F=50Reflektans0.50.40.30.20.10-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10Delta100

101Reflekror Bragg dengan chirp dan apodisasi∫−−−−=−2/2/))((2)/(22)/2,(LLzzizLoedzeiLφδγκδρ)(2,/()2,/(22222/2/))((2)/(22 22qpedz eLrLRoLLzzizLo +==−=−∫−−−−κκδδφδγ∫∫−−−−−=−=2/2/)/(2/2/)/())(sin( 2;))(cos( 22222LLzLLLzLdzzzeqdzzzepφδφδγγ∫−−−−−−=−)]([(2)/(2)]/(2/2[22)2,/(zzizLLLioedzeeiLrφδγφδκδ

L=10 μmκ=0.5 μm -1γ=8;F=400.50.450.40.35Reflektans0.30.250.20.150.10.050-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10Delta102

7. GELOMBANG TERPANDU DALAM MEDIA BERLAPIS7.1 Pandu Gelombang Lapisanx0n 1n 2zn(x)=⎧n1,⎪⎨n2,⎪⎩n3,x>0− t < xx < −t

⎡ d⎢⎣dx22⎤ r+ ⎥ mx⎦2 2( nω/ c) − β E ( ) = 0β=komponen-z dari vektor gelombang,m=nomor modus[( ) ]2 2nω / c − β > 0[( ) ]2 2nω / c − β < 0Solusi adalah periodik, menjalar.Solusi adalah eksponensial menurun.Jadi, agar gelombang terpandu, harus dipenuhi:n ω c < β < n / c3/2ωAda dua macam penjalaran gelombang terpandu, TE(s) dan TM(p):104

Gelombang terpandu TEEy( x,z,t)=Em( x)ei(ω t −β z )Em( x)=− qx⎧C e ,⎪⎨Asinhx⎪ px⎩D e ,+B coshx,x ≥ 0− t ≤ x ≤ 0x ≤ − th =( nc2 222222ω / c)− β ; q = β −(n1ω/ c); p = β −(n3ω/ )m=bilangan yang menyatakan nomor modus, terkait dengan β m.Untuk A, B, C, D, gunakan syarat kontinuitas E ydan H zkontinu di batasbataslapisan.Hzi ∂E= ωμ ∂xy105

Emdan( x)⎧⎪ − qxC e ,⎪⎪ ⎛= ⎨C⎜ cos hx −⎪ ⎝⎪ ⎛⎪C⎜ cos ht +⎩ ⎝qhqhsinsin⎞hx ⎟,⎠ht⎞⎟⎠p + qtan( ht)=2h(1− pq / h )Ini disebut persamaanmodus.ep ( x + t )0 ≤ x− t ≤ x ≤ 0, x ≤ − t3.5β/(ω/c)TE oTE 1TE 2TE3Dengan suatu set harga n 1, n 2dan n 3serta tebal t, persamaanmodus memberikan sejumlahharga β. Modus-modus ituortogonal satu sama lain.3.20 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 t/λ{{1 modus 2 modus106

Gelombang terpandu TEn 3=3.2n 2=3.5E o (x)n 1=1xE 1 (x)xE 2 (x)x107

Normalisasi C dipilih sehingga medan E m(x) sesuai dengan alirandaya 1watt sepanjang sb-z.Jadi, modus E y=AE m(x) berkaitan dengan aliran daya ⎢A⎢ 2 W/m.Syarat normaliasi:r r∞∞* β= 1 ∫Re[x *] =−1m2S 2 E H dx 2 ∫ E H dx=∫[E ( x)]= 12dxzzy xmωμSubstitusi E m(x) menghasilkan:−∞−∞Cm=2hm⎧⎨⎩βm[t+ (1/ qmωμ) + (1/ pm)]( h2m+ q2m⎫⎬) ⎭1/ 2Ortonormalisasi modus-modus dituliskan:∞∫− ∞EmE*ldxωμ= 2 δβmml108

Gelombang terpandu TMHy( x,z,t)=Hm( x)ei(ω t −β z )Syarat kontinuitas H ydan E zkontinu di batas-batas lapisan.Ez=i ∂H−ωε ∂xyHm( x)=⎧ h − qx⎪−C e ,⎪ q⎪ ⎛ q ⎞⎨C⎜ cos hx − sin hx ⎟,⎪ ⎝ h ⎠⎪ ⎛ h⎞⎪−C ⎜ cos ht + sin ht ⎟ e⎪⎩⎝ q⎠p ( x + t )−,t0 ≤ x≤ x ≤ 0x ≤ − t109

tan( ht )=p + qh(1− pq / h2; p = p ;2)⎛ n⎜⎝ n3⎞⎟⎠2q=⎛q⎜⎝nn21⎟ ⎞⎠23.5TE oTE 1TE 2 TE 3β/(ω/c)TM oTM 1TM 2 TM33.20 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 t/λ{{1 modus 2 modus110

111)()(1)()]([2*]xRe[22*2121xnxdxxxEdxEHdxEHSommxyzzεεεωβ===== ∫∫∫∞−∞∞−∞rrSubstitusi H m (x) menghasilkan:effmomtCβωε= 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++=pnhphpqnhqhqntqhqt eff 23222221222222222)()(21/22))]((1/)(1/[2⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++=mmmmmmmqhpqthCβωμ

β cut offDari persyaratann ω c < β < n / c3/2ωsuatu modus disebut terpandu jika β m>β cut offβcutoff= n3ω/ c atau p=0Harga cut off dari t/λ:p + q1 ⎡tan( ht)=→ ( t / λ)=⎢ + tan2 TEmπh(1− pq / h )2 22πn − ⎢2n3⎣−1⎛⎜⎝nn2322−−nn2123⎞⎟⎠1/ 2⎤⎥⎥⎦p + q1 ⎡tan( ht)=→ ( t / λ)=⎢ + tan2 TMmπh(1− pq / h )2 22πn − ⎢2n3⎣−1nn2221⎛⎜⎝nn2322−−nn2123⎞⎟⎠1/ 2⎤⎥⎥⎦112

7.2 Sifat umum pandu gelombang dielektrikxzySelama penjalaran gelombang dalam pandu gelombang, aliran energi hanyasepanjang pandu gelombang, tidak pada arah tegak lurus. Untuk itu indeksbias teras > indeks bias cladding.Jika keseluruhan struktur dielektrik homogen sepanjang sb-z, gelombangbidang adalah:Er= Erm( x,y)ei(ω t−βz )rr22 ∂ ESubstitusi ke persamaan gelombang: ∇ E − μoε= 02∂ t113

⎧⎨∇⎩2t2 2⎡ωn2( x,y)⎫2⎤ r+ ⎢ − β2 ⎥⎬E⎣ c ⎦⎭m( x,y)= 0∇2t=∂∂x22+∂∂y22ω nc2 2cl22< βω n

Gunakan teorema Green:lim∫C→∞Cr2 2( E •∇ E − E •∇ E ) dl = ( β − β ) E • E dx dy1trr22 2∫ ( β2− β1) E2• E1dxdy = 0rr2tr1∫Untuk keadaan terpandu baik, E 1dan E 2→0 maka fihak kiri=0r rKarena β 1≠β 2maka E • E dx dy 0Normalisasi:r∫r22 1=∫ E dxl• Emdy =12ωμδβmr2r1→ E 1dan E 2ortogonallmUntuk keadaan degenerate, β 1=β 2,lakukan ortogonalisasi Schmidtr r r r'E = E1+ cE2→∫Er∫ E1• E2dxdyc = − rE • E dxdy22r• E dxdy ='1 1 20∫115

7.3 Teori Perturbasi dan kopling modusModus-modus terpandu bisa dijalarkan secara bebas satu sama lainsepanjang pandu gelombang (sb-z) jika fungsi dielektrik ε(x,y)=ε on 2 (x,y)tidak bergantung pada z.Jika ada ketidak sempurnaan dielektrik Δε(x,y,z) maka modus-modus akanterkopel satu sama lain. Oleh sebab itu, terjadi perpindahan daya dari satumodus ke modus lainnya.Misalkan: ε(x,y,z)=ε o(x,y)+Δε(x,y,z)Misalkan pula, di z=0 dimasukkan sembarang medan berfrekuensi ω, makagelombang yang menjalar dalam pandu gelombang yang tak sempurna itudapat dinyatakan sebagai:r ri(ω t−βz)E = A ( z)E ( x,y)e∑mA m(z)=amplitudo modus yang berganung z.mm116

∇2rEr2∂ E− μoε2∂ t=02 2{ ∇ + ω μ[ ε ( x,y)+ Δε( x,y)]} E = 0orTetapi E m(x,y) e i(ωt-βz) memenuhi pers.gelombang juga:Jadi:2 22[ ∇ + ω με ( x,y)− β ] E ( x,y)= 0tomrm∑m2⎛ d A⎜⎝ dzm2− 2iβmdAdzm⎞ r⎟E⎠m( x,y)e−iβzm2+ ω μ∑mΔε( x,y,z)AmrEme−iβzm= 0117

Andaikan perturbasi itu lemah sehingga variasi amplitudo sepanjangsb-z agak pelan dan memenuhi:2d A2dzm

dAk iωβk*−i(βm−βk) z= − ∑ Am∫ EkΔε( x,y,z)Em( x,y)dx dy edz 4 βk mIni menggambarkan evolusi amplitudo A k(z) sepanjang sb-z. Persamaanitu merupakan suatu set persamaan-persamaan differensial yangterkopel.7.3.1 Perturbasi uniformΔε=Δε(x,y); ∂(Δε)/∂z=0i(t z)Misalkan modus-modus tanpa perturbasi: Erω −β= Erm(x,y)er2 22∇ + ω με ( x,y)− β E ( x,y)=dengan E m(x,y) memenuhi: [ ] 0Modus-modus ini memebentuk set ortonormal.tSelanjutnya, andaikan dampak perturbasi Δε=Δε(x,y) hanya menimbulkanperubahan δE mpada E mdan δβ m2pada β m2.omm119

2 222 2[ ∇ + ω με + ω μ Δε](E + δE) = ( β + δβ )( E + δE)tKarenaoserta abaikanrm2 22[ ∇ + ω με ( x,y)− β ] E ( x,y)= 0tro2 2222[ ∇t+ ω μεo] δEm+ ω μ ΔεEm= βmδEm+ δβmEm2mrrmr rΔεδE m, δβ δEUntuk menyelesaikannya, misalkan∑laml2 2[ ∇ + ω με ]torElmmr2+ ω μ ΔεEmrmrmmaka= βrδE2mm∑l=ammlr∑lrElrmamlrEl2mrmr+ δβ Em∑laml( β2lr− β ) E2ml= ( δβ2mr2−ωμ Δε) EKalikan dari kiri dengan E m* lalu diintegral:m120

∑lδβa2mml( β2l− β )rEr r*∫ EmΔεE dxdy2m= ω μ r r*∫ EmEmdxdyr r=1*ωβ E ΔεE dxdy2m2m∫∫m*mrE dxdy =lm∫rE*m( δβ2mr2−ωμ Δε) EmdxdyKarena β m→β m+ δβ mdanβ → β + δβ2m2m2mmakaJadiδβ 2β2 m=mδβr rδβm =1 *4ω∫ EmΔεEmmdxdy121

Untuk memperoleh δE mkalikan E k* dengan k≠m pada persamaan:∑l∑alamkrδEmlamml( β2l( β2lr− β ) E2m2− β )∫ω βk=2 22( β − β )=∑kammkDidefenisikanrEmkk=l= ( δβrE∫∑k*krE2mrE dxdyl*krΔεEr2−ωμ Δε) Em=∫rEdxdy⎡ ωβk⎢ 2 2⎣2(βm− βk)*k∫( δβrEr rκkm =1 *4ω∫ EkΔεE*km2mrΔεEr ⎡ 2β⎤kκrkmδE m= ∑ ⎢ 2 2 ⎥ Ek ( ≠m) ⎣ ( βm− βk) ⎦δβm= κ mmmr2−ωμ Δε) Emdxdyk⎤ rdxdy⎥E⎦kmdxdysebagai koefisien kopling, maka122

7.3.2 Perturbasi dielektrik secara periodikMisalkan sepanjang pandu gelombang ada perturbasi dielektrik dalambentuk sinusoida:Δ ε =ε 1cosKzdi mana ε 1adalah amplitudo perturbasi dan bisa sebagai fungsi x dan y,sedangkan K adalah:K= 2πΛΛadalah perioda perturbasi. Substitusi ke persamaan terkoppel yang lalu:rdAk iωβk*−i(βm−βk) z= − ∑ Am∫ EkΔε( x,y,z)Em( x,y)dx dy edz 4 βk mdAk iωβ rkm k )= − ∑ Amk 1 mdz 4 β ∫km[ ]*−i(β −βzE ε E ( x,y)dxdy cos( Kz)e123

dAk iωr)k 1 mdz= − ∑ Am8∫m[*−i(βm−βk+ K ) z −i(βm−βk−KzE ε E ( x,y)dxdy ][ e + e ]Terlihat, kopling menjadi signifikan jika:β m− β k±K= 0Jika ini tak terpenuhi, maka fasa akan berubah cepat dan kontribusinyaterhadap terhadap integal menjadi hilang.Oleh sebab itu β m-β k±K=0 disebut keadaan phase-matching.Untuk dua modus, dengan mengabaikan yang lain:dAdz1dAdz2= −i= −iβ1β1β2β2κ12*κ12A e2A e1iΔβz−iΔβzκω r r*= ∫ E1ε1E2dxdyΔβ= β1− β2− K412;124

Tanda dari faktor β1 / β1dan β2/ β2menentukan sifat dari kopling.dalam persamaan terkopel penting danTanda ini menentukan aah penjalaran dari modus-modus terkopel. Adadua kategori:1. Codirectional coupling, kedua modus searah,2. Contra directional coupling, kedua modus berlawanan.125

7.4 Kopling antara dua pandugelombangzn sn an sn bn sn2( x,y)= n2s( x,y)+ Δn2a( x,y)+ Δn2b( x,y)xMisalkan gelombang pada masing-masingpandugelombang jika jarak cukup berjauhan :Ea( x,y)ei ( ω t − β z )a;Eb( x,y)ei ( ω t − β z )bdddan berlaku persamaan gelombang pada masing-masing pandugelombag:⎧ ∂⎨⎩∂x22+∂∂y222ω+2c222 ⎫[ n ( x,y)+ Δn( x,y)− ] E ( x,y)= 0sαβ α⎬⎭αα= a, b126

zn sn an sn bn sJika kedua pandugelombang berdekatan, terjadi kopelantara kedua gelombang. Gelombang di pandugelombang a2mengalami perturbasi dielektrik ε oΔn b( x,y)demikian pulasebaliknya, sehingga total gelombang menjadi:xE(x,y,z,t)=A(z)Ea( x,y)ei(ω t−βz)a+B(z)Eb( x,y)ei(ω t−βz)bdsdGelombang ini memenuhi persamaan gelombang:⎧ ∂⎨⎩∂x22+∂∂y22+∂∂z222ω+2c222 ⎫[ n ( x,y)+ Δn( x,y)+ Δn( x,y)] E(x,y,z,t)= 0sab⎬⎭2⎛ ∂ E⎜⎝ ∂xa22⎛∂E+⎜⎝ ∂x2∂ E+∂yb2a22∂ E+∂y⎞⎟Ae⎠b2−iβz⎞⎟Be⎠a−iβz2⎡∂A ∂A2 ⎤+ ⎢ −2iβ−2 aβaA⎥Eae⎣ ∂z∂z⎦b−iβz2⎡∂B ∂B2 ⎤+ ⎢ −2iβ−2 bβbB⎥Ebe⎣ ∂z∂z⎦a−iβz2ω+2cb2ω+2c( n2s( n+Δn2s2a+Δn+Δn2a2b+Δn) AE e2ba) BE eb−iβza−iβzb= 0127

1280)(2)(2222222=Δ+−Δ+−−−−−zibazibbziabziaabbaaeBEncE edzdBiAE encE edzdAiββββωβωβKalikan denganlalu integral:ziaaeEβ* 0)(2)(22*)(22*)(2*22*=Δ+−Δ+−∫∫∫∫−−−−E dxdynEBecE dxdyEedzdBiE dxdynEAcE dxdyEdzdAibaazibazibabaaaaababββββωβωβdxdyEEdxdyEEdxdyEEaabaaoaa∫∫∫

1290)()(22*)(222*22=Δ+Δ+∂∂−∫∫−−dxdyEnEBecdxdyEnEAczAibaaziabaaoaβ b β aωωβωμβ∫∫Δ=Δ=−= −−−dxdyEyxnEdxdyEyxnEBeiAidzdAbaaoababaoaaziabaaab),(4;),(4;2*2*)(ωεκωεκκκββJika dikalikan denganlalu diintegral:zibbeEβ* ∫∫Δ=Δ=−= −−dxdyEyxnEdxdyEyxnEAeiBidzdBabbobababobbzibabbab),(4;),(4;2*2*)(ωεκωεκκκββ

130ziabziabaaveidzduBeiAidzdAabβββκκκΔ−−= −→−= −)(zibazibabbueidzdvAeiBidzdBabβββκκκΔ−−= −→−= −)(Misalkan:zizibbaaeBvAeuκκ== dan)()( bbbaaaκβκββ +−+=Δ0222222=+Δ−= −= −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Δ−→= −Δ−Δ−Δ−udzduidzuduedzdviedzduidzudviedzduziziziκβκκβκβββ222212;)cossin()( κββ+⎟⎠⎞⎜⎝⎛ Δ=+=ΔseszCszCzuzi2/2121 )]sincos()cossin(2[)/)(/(zizieszsCszsCiszCszCedzduivββκκβκΔ−Δ−−++Δ−==Misalkan κ ab =κ ba =κ

A(z)=( C1sinsz+ C2cos sz)( / 2 ) ze i Δβ −κ aa;B(z)Δ= [ −2κβ i−i(Δβ/ 2+κ( C1 sin sz + C2cossz)+ ( C1scossz− C2ssinsz)]eκbb) zMisalkan, A(0)=A odan B(0)=0.C 2=A 0; C 1= -iA o(Δβ/2s)A(z)=AoB(z)= −iADaya: P(0)∼A o2Δβ(cos sz − i sin2sκ −i(Δβ/ 2+κosinszessz)ebb) zi(Δβ/ 2−κaa) zPa( z)= PP ( z)= Pboo− P ( z)2κb2κ+ ( Δβ/ 2)2sin2{[ ] }122 2κ + ( Δβ/ 2) z131

PPab( z)( z)==PPoo−κP2b( z)2κ+ ( Δβ/ 2)2sin2{[ ] }122 2κ + ( Δβ/ 2) z1P/Po0.80.60.40.2κ=4 cm -1PaPb}Pa}PbΔβ=0Δβ=5 cm -100 0.2 0.4 0.6 0.8 1z (cm)DividerDirectional coupler132

8. OPTIK NONLINIER8.1 Pengertian Nonlinier OptikSifat optik nonlinier suatu bahan diungkapkan melalui hubungan antara polarisasilistrik terinduksi dalam bahan dengan medan listrik cahaya yang melalui bahan itu.P ( z,ω ) = ε χ E ( z,ω )oε o– permittivitas ruang hampa, χ eff- susseptibilitas listrik efektif.Secara umum, susseptibilitas listrik efektif adalah :effχeff(1) (2)(3)= χ + χ E(z,ω)+ χ E(z,ω)2+ ........Jadi, secara umum hubungan antara polarizabilitas listrik dan medan listrik adalah:[ ](1) (2)(3)2χ + χ E(z,ω)+ χ E(z,ω)......... E(z,ω)P(z,ω)= εo +Jika intensitas cahaya cukup kecil:(1)P(z,ω ) = εoχ E ( z,ω ) → Bahan disebut linier133

Jadi sifat nonlinier bahan muncul jika intensitas cahaya cukup tinggi.χ (2) dan χ (3) ……disebut suseptibilitas order-2 dan order-3, yangmenyebabkan nonlinieritas; dampaknya hanya teramati jika intensitascahaya cukup tinggi.Pada tingkat molekuler, dikenal polarizabilitas order-1(α), polarizabilitasorder-2 (β), dan polarizabilitas order-3 (γ). Dengan itu maka:χ(1)∝N αBahan linierχχ( 2 )( 3 )∝∝N βN γBahan nonlinier order-2Bahan nonlinier order-3N adalah kerapatan molekul dalam bahan. α, β, γ dari suatu molekul dapatdihitung dengan menggunakan sesuatu metoda perhitung kuantum molekul.Indeks bias bahan:n2Δn= n22o+ Δn(2)⎪⎧χ= ⎨⎪⎩ 3χ(3)2E(z,ωE(z,ω)2Bahan nonlinier order-2Bahan nonlinier order-3134

n≅no+χ(2)E(z,ω)2noBahan nonlinier order-2n≅no+3χ(3)E(z,ω)2no2Bahan nonlinier order-3Intensitas cahaya:nocI ( z,t)= E(z,t)2π2Berdasarkan:i( , ) ( , ω)ω tE z t = E z e + cc → E(z,t)= 2 E(z,ω)22nocI( z,t)= E(z,ω)πUntuk order tiga, bisa juga dituliskan:2n2= nn≅no2o3π+ χn c+ n I;2o(3)n2I=3πχ2nc2o(3)135

8.2 Efek Pockel dan Efek Kerr (elektro-optik)dVVE =dnn≅≅nnoo++χ(2)3χ(3)E(z,ω)2noE(z,ω)2no=2no= nχ+2no(2)oVd3χ+2n(3)o⎛⎜⎝Vd2⎞⎟⎠Efek PockelEfek Kerr}Elektro-optikElektro-optik: perubahan indeks bias bahan karena teganganlistrik dc ataufrekuensi rendah.Contoh bahan: NH 4H 2PO 4(ADP), KH 2PO 4(KDP)LiNbO 3, LiTaO 3, CdTe136

Modulatorφ iLdφ oVφo= φ +i= φ +i2πnLλ2πL⎛⎜nλ ⎝o+n Vd(2)⎞ 1 ⎟;n1=χ⎠ 2noI iBSLn o½I i½I iLV I on o+n 1V/dMBSMInterferometerMach-ZehnderIIoo=12= TIIii+12→ TIicosϕ= I= cos2icos2ϕ / 2 = cos( ϕ / 2)2⎛ πL⎜⎝ λdn V1⎞⎟⎠137

T10.90.80.70.60.50.40.30.20.1V o01 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5VModulasi: Tegangan diatur pada posisi linier, yakni V=V oTegangan itu dimodulasi dengan informasi, maka T mengalami modulasi138

Fungsi Logika XORaPolarisasi cahaya ┴ bidangPolariasi cahaya // bidangabzc000+z101b-011110Untuk clock saja: tegangan diatur agar beda fasa di z samadengan 180 osehingga tidak ada keluaran.Jika ada pulsa di a, tidak di b: intensitas pulsa a menambah indeks bias cabangatas; pulsa clock keluar di z karena beda fasa tak samadengan 180 o . Demikiansebaliknya.Jika ada pulsa di a dan di b: tambahan indeks bias, sama di kedua cabangsehingga pulsa clock mengalami beda fasa 180 o tak bisa keluar.139

8.3 Proses Optik-optikSecond and third harmonics generationωω2ω3ωSHGTHG[ ](1) (2)(3)2χ + χ E(z,ω)+ χ E(z,ω)......... E(z,ω)P(z,ω)= εo +Misalkan:E( z,ω)=E(z)cosωtP(z,ω)= εo= εoχχ+(1)(1)E(z)cosωt+ ε12E(z)cosωtεoχ(2)E2oχ(2)E( z)cos( z)(1+ cos2ωt) +2142ωt+ εεoχ(3)oEχ2(3)E2( z)cos( z)(3cosωt+ cos3ωt)3ωtJadi, suatu bahan optik nonlinier dapat melipatgandakan frekuensi.140

141Penguat Optik),(),(),(2(2)(1)ωχεωχεωzEzEzPoo +=Misalkan:spppsstzEtzEzEωωωωω >+= ;)cos()cos(),(]))cos(()())cos(()()cos 2)(1()cos 2)(1([])cos()cos([]cos)cos()(2)cos()cos([])cos()cos([),(2212(2)21(1)2222(2)(1)tzEzEtzEzEtzEtzEtzEtzEttzEzEtzEtzEtzEtzEzPpspssppsppssoppssopspsppssoppssoωωωωωωχεωωχεωωωωχεωωχεω++−++++++=+++++=

Medan2 yang dihasilkan oleh komponen2 polarisasidan(2)(2)PI =12εoχ EpEscos( ωp− ωs) tP(1)p= εoχ(1)Epcosωtpakan berinteraksi didalam bahan dan menghasilkan polarisasi yang baru:P(2)b=C2εoχ(2)E2pEscos[ ωp− ( ωp− ω )] ts=C2εoχ(2)E2pEscosωtsJadi, bahan itu akan menghasilakan cahaya berfrekuensi ω syang diperkuatdengan faktor penguatan yang sebanding intensitas sinar-p.χ (2) ω pω sω s142

SwitchingFebry-PerotI oI oI iI iBahan nonlinierSusah diaplikasikan pada serat optik.Distributed feed backε ( z)= εo+ Δεcos( Gz)+ η E2143

144( )( ) BFBFBzFBFBFzEEEEEiEEEEEi222222++=∂++=∂−ακακSolusinya:( ){ }LEEEEIEEILILmLIRR mndIIccBFocFiooioακκκ32;;(0))(/()(;)(2122222222222=−==+=+=+=ziBziFeEeEzEββ−+=)(21/22222;2;2 oBoBBGcGcGcεωηεωαεωκ ==Δ=κLI iI o

145