Hamburan Partikel Ber-Spin 0 dan Dalam Basis Momentum-Helicity

staff.fisika.ui.ac.id

Hamburan Partikel Ber-Spin 0 dan Dalam Basis Momentum-Helicity

Hamburan Partikel Ber-Spin 0 dan 1 2 DalamBasis Momentum-Helicityoleh:Irga Abdulrahman0301020336Departemen FisikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas IndonesiaDepok2006


Halaman PersetujuanJudul Skripsi : Hamburan Partikel Ber-Spin 0 dan 1 2Nama : Irga AbdulrahmanNPM : 0301020336Dalam Basis Momentum-HelicitySkripsi ini telah diperiksa dan disetujuiDepok, 22 Mei 2006MengesahkanPembimbingDr. I. FachruddinPenguji IPenguji IIDr. Anto SulaksonoDr. Agus SalamTanggal Lulus Ujian Sarjana : 22 Mei 2006Penguji I : Dr. Anto SulaksonoPenguji II : Dr. Agus Salami


Kata PengantarAlhammdulillah, penuh rasa syukur, penulis agungkan nama-Mu yang Maha Suci.Tugas ini adalah representasi dari sebagian pengetahuan yang penulis dapatkanselama berguru pada, ”orang-orang luar biasa”, Dosen-dosen Fisika UI.Ucapan terima kasih penulis ucapkan pada :Dr Imam Fachruddin, sebagai pembimbing, yang telah sangat-sangat penulisrepotkan dengan berbagai kemalasan dan ketidaktahuan penulis. tanpa bimbingannya(yang sangat komperhensif) penulis merasa tidak akan mampu menyelesaikantugas ini. Dr Anto Sulaksono dan Dr Agus Salam sebagai penguji. DosendosenFisika Nuklir dan Partikel : Dr. Terry Mart, Dr. LT Handoko, dan lainnya.Drs Djonaedi Soleh sebagi Pembibing Akademis penulis, Dr.rer.nat Rosari Saleh,serta seluruh dosen fisika UI.Dr. Djoko Sasmita (Isiteks) semoga Imogiri kembali tetap sama.Papa, mumku, dan keluarga, yang mau mengerti bahwa salah satu anggotanyasementara ’hilang’, tenggelam dalam tumpukan kertas-kertas. Tante Merry, atasdukungan finansial.Teman-teman di Lab Teori : Handika, Adriana Arum, Zu(zu)hrianda, Freddy,Anton, Ardy, Nita, Nowo, dan lainnya. Seluruh teman-teman Fisika UI 2001(Aulia, Yudho, Zicko, Justo, Mba Dita, Ivo)Mbak Ratna, yang mau mengerti ketidakdisiplinan penulis dalam urusan administrasi.”Pemandu sorak” yang tidak pernah berhenti berteriak(mengomel) memberisemangat : Anindya(FEUI), R Artistik(Usakti), Rheny, Annisa(Unpad).Dengan selesainya tugas ini tidak berarti topik ini selesai, pembahasan lebihlanjut serta berbagai aplikasi, masih sangat terbuka untuk dikerjakan.ii


AbstrakHamburan 2 partikel berspin 0 dan 1 dijabarkan dengan teknik perhitungan2yang menggunakan basis momentum-helicity. Dengan cara yang disebut tekniktiga dimensi (3D) ini, elemen matriks T dihitung sebagai solusi dari persamaanLippmann-Schwinger, demikian pula penampang lintang differensial dan polarisasi.Sebagai input digunakan sebuah model potensial spin-orbit sederhana. Efekkinematika relativistik juga dipelajari.Kata kunci: hamburan, persamaan Lippmann-Schwinger, teknik 3D, kinematikarelativistik, potensial spin-orbit.vi+67 hlm.; lamp.Daftar Acuan: 10 (1957-2003)AbstractScattering of 2 particles of spin 0 and 1 is evaluated by means of a technique,2which uses momentum-helicity basis. Using this so called three dimensional (3D)technique, the T-matrix elements are calculated as solution of the Lippmann-Schwinger equation, as well as differential cross section and polarization. Asinput a simple spin-orbit potential model is used. Relativistic kinematics effectsare also investigated.Keywords: scattering, Lippmann-Schwinger equation, 3D technique,relativistickinematics, spin-orbit potential.vi+67 pp.; appendices.References: 10 (1957-2003)iii


Daftar IsiHalaman PersetujuanKata PengantarAbstrakDaftar IsiDaftar Gambariiiiiiivvi1 Pendahuluan 11.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Hamburan Dua Partikel 32.1 Kinematika Hamburan Dua Partikel . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Persamaan Lippmann-Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Persamaan Lippman-Schwinger Dalam Basis Gelombang Parsial . 123 Formulasi Tiga Dimensi 153.1 Basis Momentum-Helicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Struktur Umum Potensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Persamaan Lippmann-Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Elemen Matriks M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26iv


3.5 Hubungan Dengan Elemen Matriks-T Dalam Basis GelombangParsial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.6 Kinematika Relativistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Aplikasi 404.1 Potensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Hasil Dan Diskusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 Kesimpulan Dan Saran 53A Basis Gelombang Parsial 55B Matriks Rotasi 58C Transformasi Potensial 60D Penyelesaian Numerik 63D.1 Integrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63D.2 Eliminisasi Singularitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64D.3 Persamaan Lippmann-Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Daftar Acuan 67v


Daftar Gambar2.1 Hamburan dalam kerangka laboratorium dan kerangka P.M. . . . 42.2 Diagram hamburan dua partikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Titik pengamatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1 Potensial Malfliet-Tjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Penampang Lintang Differensial Pada Beberapa Nilai Energi . . . 424.3 Polarisasi Pada Beberapa Nilai Energi . . . . . . . . . . . . . . . 434.4 Penampang lintang differensial pada energi Lab. 30 MeV . . . . . 454.5 Polarisasi pada energi Lab. 30 MeV . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.6 I 0 pada energi Lab. 30 MeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.7 Faktor Ruang Fase pada energi Lab. 30 MeV . . . . . . . . . . . 464.8 Penampang lintang differensial pada energi Lab. 100 MeV . . . . 474.9 Polarisasi pada energi Lab. 100 MeV . . . . . . . . . . . . . . . . 474.10 I 0 pada energi Lab. 100 MeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.11 Faktor Ruang Fase pada energi Lab. 100 MeV . . . . . . . . . . . 484.12 Penampang lintang differensial pada energi Lab. 300 MeV . . . . 494.13 Polarisasi pada energi Lab. 300 MeV . . . . . . . . . . . . . . . . 494.14 I 0 pada energi Lab. 300 MeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.15 Faktor Ruang Fase pada energi Lab. 300 MeV . . . . . . . . . . . 504.16 Penampang lintang differensial pada energi Lab. 1 GeV . . . . . . 514.17 Polarisasi pada energi Lab. 1 GeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.18 I 0 pada energi Lab. 1 GeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.19 Faktor Ruang Fase pada energi Lab. 1 GeV . . . . . . . . . . . . 52vi


Bab 1Pendahuluan1.1 Latar BelakangSebagian besar dari yang kita ketahui tentang berbagai gaya dan interaksi antarpartikel diperoleh melalui eksperimen hamburan. Secara garis besar eksperimenhamburan dilakukan dengan membombardir target, yang dapat berupa atom, intiatom atau partikel, dengan partikel lain. Sifat-sifat dan kondisi awal dari partikelproyektil dan target diketahui. Setelah tumbukan, proyektil akan dihamburkanoleh target ke suatu arah.Dalam bidang few-body nuclear physics perhitungan biasa dilakukan dalambasis eigenstate momentum angular total. Ini bisa dimengerti mengingat gayanuklir bersifat short range, sehingga untuk energi rendah sebuah proses hamburanbisa dijelaskan dengan memperhitungkan hanya beberapa momentum angulartotal terendah. Namun, pada energi yang lebih tinggi diperlukan jumlah momentumangular yang lebih banyak, sehingga perumusan dan perhitungan numerikmenjadi berat. Karena itu, diperlukan suatu teknik perhitungan yang lain, yangtidak berbasis pada eigenstate momentum angular. Dalam ruang momentum pilihannyayaitu memakai state vektor momentum sebagai basis. Teknik sepertiini dikenal dengan nama teknik 3D (3 Dimensi). Untuk sistem 2 partikel identiktanpa spin, penggunaan teknik ini dapat ditemukan pada [1], sedangkan untuksistem nukleon-nukleon pada, contohnya, [2] dan [3].1


1.2 Perumusan MasalahDalam penelitian ini akan dikembangkan teknik perhitungan berbasis state vektormomentum dan helicity, selanjutnya disebut basis state momentum-helicity,untuk sistem dua partikel berspin 0 dan 1 . Mengingat perhitungan dengan teknik23D lebih bermanfaat untuk energi tinggi, maka efek relativitas juga perlu dipertimbangkan,karena itu kinematika relativistik juga akan digunakan, mengikutiformulasi dalam Ref. [4].1.3 Metode PenelitianMula-mula dikerjakan formulasi persamaan Lippmann-Schwinger dalam basismomentum-helicity. Kemudian untuk dapat menyelesaikan persamaan Lippmann-Schwinger tersebut, dilakukan perhitungan numerik menggunakan metode-metodenumerik yaitu dekomposisi LU dan kuadratur Gauss-Legendre.1.4 TujuanMenghasilkan suatu formulasi hamburan 2 partikel, yang satu bespin 0 dan yanglain berspin 1 , yang bermanfaat terlebih lagi untuk energi tinggi, dengan memilih2vektor momentum dan helicity sebagai basis.2


Bab 2Hamburan Dua PartikelHamburan adalah fenomena yang sudah lama dikenal, khususnya dalam fisikanuklir, sehingga penjelasan tentang fenomena ini telah banyak menjadi topikdalam berbagai buku teks fisika kuantum dan fisika nuklir. Penjelasan tentanghamburan dalam bab ini hanya bersifat singkat sebagai dasar untuk formulasipada bab-bab selanjutnya.2.1 Kinematika Hamburan Dua PartikelDalam eksperimen hamburan besaran-besaran seperti energi, momentum dansudut hambur diamati dalam kerangka pengamat, atau biasa disebut kerangkalaboratorium.Dalam formulasi teoritis akan sangat membantu bila kerangkayang digunakan adalah kerangka pusat massa kedua partikel (kerangka P.M.).Sebut k i sebagai momentum awal partikel ke-i dalam kerangka laboratoriumdan k ′ i adalah momentum akhir. Selanjutnya tanda ” ’ ” melambangkan keadaanakhir.Besarnya momentum relatif dalam Kerangka P.M. p dihitung sebagaimomentum Jacobi:p = m 2k 1 − m 1 k 2m 1 + m 2, (2.1)dengan m i massa partikel-i. Pada keadaan awal, salah satu partikel dalamkeadaan diam (target), k 2 = 0, maka:dengan µ adalah massa tereduksi:p = µ m 1k 1 , (2.2)µ = m 1 m 2m 1 + m 2. (2.3)3


Gambar 2.1: Hamburan dalam kerangka laboratorium dan kerangka P.M.Energi total dalam kerangka laboratorium dan kerangkan P.M.:E Lab. = E 1 = E ′ 1 + E ′ 2 (2.4)E Lab. = k2 2 21= k′ 1+ k′ 2(2.5)2m 1 2m 1 2m 2E P.M. = p22µ = p′ 22µ. (2.6)Besarnya energi awal dan energi akhir sama, karena hamburan bersifat elastik.Perbandingan antara E Lab. dan E P.M. :E P.M. = p22µ = µ2m 2 1k 2 1= µ m 1E Lab. . (2.7)Selain itu perlu dicari hubungan antara sudut hambur dalam kedua kerangka.Sudut hambur adalah besarnya sudut antara vektor momentum awal danakhir dari proyektil. Dengan menentukan momentum awal searah sumbu-z sertahamburan pada bidang ˆx − ẑ, seperti pada gambar 2.1, vektor momentum akhirdalam kerangka P.M. yaitu:p ′ = p ′ xˆx + p′ zẑdan dapat juga dinyatakan sebagai:= p sin θ P.M. ˆx + p cos θ P.M. ẑ , (2.8)p ′ = m 2k ′ 1 − m 1 k ′ 2m 1 + m 2. (2.9)4


Schrödinger (2.14) dengan menggunakan ansazt (2.15):sehingga:dengan G 0 (E) merupakan Free Propagator:E |χ〉 = H 0 |χ〉 + V |φ〉 + V |χ〉1|χ〉 = V |ψ〉 , (2.16)E − H 01|ψ〉 = |φ〉 + V |ψ〉E − H 0= |φ〉 + G 0 (E)V |ψ〉 , (2.17)G 0 (E) =1E − H 0. (2.18)Solusi pada persamaan (2.17) memiliki titik singular, yaitu pada E = H 0 , sehinggauntuk menghindari singularitas ini nilai E dibuat sedikit kompleks, yaituE → E ± iɛ, dengan ɛ ≈ 0 [5]. maka persamaan (2.17) menjadi:dengan:|ψ〉 = |φ〉 + limɛ→01E ± iɛ − H 0V |ψ〉= |φ〉 + G ± 0 (E)V |ψ〉 , (2.19)G ± 0 (E) = limɛ→01E ± iɛ − H 0(2.20)Persamaan (2.19) disebut sebagai persamaan Lippmann-Schwinger untuk fungsigelombang.Untuk menunjukan transisi dari keadaan awal ke keadaan akhir pada proseshamburan, maka didefinisikan operator transisi, yaitu matriks-T:T |φ〉 ≡ V |ψ〉 . (2.21)Dengan memasukkan |ψ〉 pada persamaan (2.19) ke persamaan (2.21) diperoleh:T |φ〉 = V |φ〉 + V G ± 0 (E)T |φ〉 (2.22)Maka didapatkan persamaan Lippmann-Schwinger untuk matriks-T:T = V + V G ± 0 (E)T (2.23)6


Gambar 2.2: Diagram hamburan dua partikelMenurut persamaan (2.23) matriks-T merupakan deret tak hingga dari V ,T = V + V G ± 0 V + V G ± 0 V G ± 0 V + V G ± 0 V G ± 0 V G ± 0 V + · · · (2.24)yang menunjukan bahwa hamburan yang terjadi tidak hanya hamburan tunggal,namun juga hamburan berganda (multiple scattering). Lihat gambar (2.2) untukilustrasi.Keadaan hamburan |ψ〉 pada persamaan (2.19) bisa dievaluasi pada pilihanbasis tertentu, contohnya basis ruang konfigurasi:〈r|ψ〉 = 〈r|p〉 + 〈 r ∣ G±0 (E)V ∣ 〉ψ∫〈 ∣= 〈r|p〉 + dr ′ r G ± 0 (E) ∣ r ′〉 〈r ′ |V | ψ〉 . (2.25)} {{ }Green ′ s F unctionSuku pertama persamaan di atas merupakan fungsi gelombang bebas berupafungsi gelombang bidang:〈r|p〉 =1(2π) 3/2 eip·r . (2.26)Representasi free propagator dalam ruang konfigurasi dikenal sebagai Fungsi Greenpartikel bebas [5]:〈r∣ ∣G ±0 (E) ∣ ∣ r′ 〉 = − 2µ4πe ±ip′ |r−r ′ ||r − r ′ |(2.27)Karena pada eksperimen hamburan titik pengamatan (detektor) diletakkan jauh7


Gambar 2.3: Titik pengamatandari target, atau dalam skala partikel jarak titik pengamatan menuju tak hingga,r → ∞, maka bisa dituliskan |r − r ′ | ≃ r − ˆr · r ′ , (lihat gambar 2.3). Makapersamaan (2.27) menjadi:〈r∣ ∣ G ± 0 (E) ∣ ∣ r ′〉 = − 2µ4πe ±iprre ∓ip′· r ′ . (2.28)Masukan persamaan (2.26) dan (2.28) ke persamaan (2.25) maka diperoleh:[1ψ(r) = e ip· r − µ √ ∫]2π e±iprdr ′ e ∓ip′· r ′ 〈r ′ |T | φ〉 (2.29)(2π) 3/2 rFungsi gelombang di atas memiliki dua suku. Suku pertama ialah fungsi gelombangdatang, yang merupakan fungsi gelombang bidang. Sedangkan suku keduamerupakan fungsi gelombang radial, yang harus menunjukan fungsi gelombangterhambur. Karena fungsi gelombang terhambur haruslah mengarah keluar (outwards),maka solusi yang digunakan adalah solusi untuk E + iɛ. Oleh karena itu,8


propagator yang digunakan dalam formulasi selanjutnya adalah G + 0 (E).[1ψ(r) = e ip· r − µ √ ∫]2π eiprdr ′ e −ip′· r ′ 〈r ′ |T | φ〉(2π) 3/2 r[∫]1= e ip· r − 4µπ 2 eiprdr ′ 1e−ip′· r ′ 〈r ′ |T | φ〉(2π) 3/2 r (2π) 3/2[∫]1= e ip· r − 4µπ 2 eiprdr ′ 〈p ′ |r ′ 〉 〈r ′ |T | φ〉(2π) 3/2 r[]1= e ip· r − 4µπ 2 eipr(2π) 3/2 r 〈p′ |T | p〉 , (2.30)|φ〉 merupakan keadaan bebas sistem dengan momentum p. Karena itu, padabaris terakhir persamaan (2.30) |φ〉 diganti |p〉.Pada persamaan (2.30) terdapat suku 〈p ′ |T | p〉 yang merupakan elemen matriks-T dalam basis vektor momentum, ini merupakan matriks yang akan kami hitung.Bila didefinisikan amplitudo hamburan f(p ′ , p) sebagai berikut:maka fungsi gelombang (2.30) menjadi:f(p ′ , p) ≡ −4µπ 2 〈p ′ |T | p〉 , (2.31)ψ(r) =[1e ip·r + eipr(2π) 3/2 r]f(p ′ , p)(2.32)Formulasi di atas dikerjakan tanpa memasukan spin. Spin turut dimasukandalam perhitungan dengan menambahkan keadaan spin, baik pada keadaan bebasmaupun pada keadaan hamburan. Untuk sistem 2 partikel berspin 0 dan 1 2 ,diperoleh spin total s = 1 . Maka pada keadaan bebas dan keadaan hamburan2ditambahkan keadaan spin |n〉 sebagai berikut:keadaan bebas: |φn〉 ≡ |φ〉 |n〉 (2.33)keadaan hamburan: |ψn〉 ≡ |ψ〉 |n〉 , (2.34)dengan |n〉 merupakan kombinasi linier dari ∣ ∣ 12 λ〉 , dengan λ = ± 1 2 merupakanproyeksi spin pada sumbu kuantisasi (bilangan kuantum magnetik spin):|n〉 =12∑λ=− 1 2a n λ∣ 12 λ〉 (2.35)9


Setelah ditambah komponen spin, maka persamaan (2.19) menjadi:|ψn〉 = |φn〉 + G + 0 (E)V |ψn〉 . (2.36)Bila keadaan hamburan dengan spin pada persamaan (2.36) direpresentasikan keruang spasial:〈r|ψn〉 = 〈r|φn〉 + ∑ ∫dr 〈 ′ r ∣ ∣G + 0 (E) ∣ r ′ λ ′〉 〈r ′ λ ′ |T | φn〉 , (2.37)λ ′karena propagator tidak bergantung pada keadaan spin, maka:dengan:ψ(r) |n〉 =eip·r(2π) 3/2 |n〉 + ∑ λ ′ ∣ ∣ 12 , λ′〉 ∫ dr ′ 〈 r ∣ ∣ G+0 (E) ∣ ∣ r′ 〉 〈r ′ λ ′ |T | pn〉eip·r=(2π) |n〉 − µ√ 2π eipr ∑ ∣ 13/2 r, λ′〉 〈p ′ λ ′ |T | pn〉2λ ′∑]=[1e ip·r |n〉 + eipr(2π) 3/2 rλ ′ ∣ ∣ 12 , λ′〉 f λ ′(p ′ , p), (2.38)f λ ′(p ′ , p) ≡ −4µπ 2 〈p ′ λ ′ |T | pn〉 . (2.39)Bergantung pada potensial, dalam proses hamburan proyeksi spin pada sumbukuantisasi dapat berubah, sementara besar spin itu sendiri tetap, 1 2 .2.3 ObservableMatriks-T berhubungan dengan matriks hamburan M sebagai berikut:M λ ′ λ(p ′ , p) ≡ −4µπ 2 〈p ′ λ ′ |T | pλ〉 , (2.40)sehingga amplitudo hamburan berhubungan dengan matriks hamburan M sebagai:f λ ′(p ′ , p) =12∑λ=− 1 2a n λ M λ ′ λ(p ′ , p) . (2.41)Observable proses hamburan diperoleh dari amplitudo hamburan. Karena hamburanbersifat elastik, maka p ′ = p, sehingga:f λ ′(p ′ , p) = f λ ′(pˆp ′ , pẑ) (2.42)10


Obervable dihitung menggunakan observable spin umum (gunakan cara dalamRef.[6] namun untuk sistem partikel berspin 0 dan 1) yaitu:2I 〈σ µ 〉 f= 1 ∑〈σ α 〉2iT r { }Mσ α M † σ µ . (2.43)αdengan:σ 0 =( ) 1 00 1σ 1 =( ) 0 11 0σ 2 =( ) 0 −ii 0σ 3 =( ) 1 00 −1(2.44)Apabila spin proyektil tidak terpolarisasi, dan keadaan spin partikel terhamburtidak diukur, maka diperoleh:I 0 = 1 2 T r{ MM †} , (2.45)yang disebut sebagai penampang lintang diferensial yang dirata-ratakan terhadapspin (spin averaged differential cross section).Sedangkan untuk mengetahuiapakah proses hamburan menyebabkan proyektil yang semula tidak terpolarisasimenjadi terpolarisasi, maka spin partikel terhambur diukur. Menurut persamaan(2.43) didapatkan:I 〈σ µ 〉 f= 1 2 T r{ MM † σ µ}(µ = 1, 2, 3) , (2.46)dan polarisasi partikel terhambur didefinisikan sebagai:P µ = 12I 0T r { MM † σ µ}. (2.47)Bila arah proyektil mula-mula ditentukan pada arah sumbu-z dan bidang hamburanpada bidang ˆx-ẑ, maka sesuai sifat invarian proses hamburan terhadapparitas, polarisasi hanya ada pada arah normal hamburan [6], yaitu:Sehingga polarisasi pada arah normal (ŷ) ialah:ˆn ≡ k′ × k|k ′ × k| = ŷ . (2.48)P y = 12I 0T r { MM † σ y}(σy = σ 2 ) . (2.49)11


2.4 Persamaan Lippman-Schwinger Dalam BasisGelombang ParsialDalam fisika nuklir, khususnya bidang few body problem, representasi yang biasadigunakan untuk menyelesaikan persamaan Lippmann - Schwinger yaitu representasigelombang parsial, dengan basis state ∣ ∣ p(l12 ); jm〉 . Pada basis ini nilaimomentum angular total J:J = L + S , (2.50)dan nilai m adalah proyeksi J pada sumbu-z. Lebih lanjut mengenai basis inidapat dilihat pada Lampiran A.Elemen matriks-T dan potensial pada basis gelombang parsial:〈p ′ (l ′ 1 2 ); j′ m ′ |T | p(l 1 2 ); jm〉 (2.51)〈p ′ (l ′ 1 2 ); j′ m ′ |V | p(l 1 2 ); jm〉 (2.52)Karena konservasi momentum angular total J, maka baik matriks pontensialmaupun matriks-T, bersifat diagonal untuk j dan m:dengan:〈p ′ (l ′ 1 2 ); j′ m ′ |V | p(l 1 2 ); jm〉 = δ jj ′ δ mm ′V jml ′ l(p ′ , p) (2.53)〈p ′ (l ′ 1 2 ); j′ m ′ |T | p(l 1 2 ); jm〉 = δ jj ′ δ mm ′T jml ′ l(p ′ , p) , (2.54)V jml ′ l(p ′ , p) ≡ 〈 p ′ (l ′ 1 2 ); jm |V | p(l 1 2 ); jm〉 (2.55)T jml ′ l(p ′ , p) ≡ 〈 p ′ (l ′ 1 2 ); jm |T | p(l 1 2 ); jm〉 . (2.56)Dengan begitu persamaan Lippmann-Schwinger untuk matriks-T, persamaan(2.23), pada basis gelombang parsial menjadi:T jml ′ l(p ′ , p)= V jml ′ l(p ′ , p) + 〈 p ′ (l ′ 1); 2 j′ m ∣ ′ V G+0 (E)T ∣ p(l1); jm〉2= V jml ′ l(p ′ , p) + ∑ ∑dp ′′ dp ′′′ p ′′2 p 〈 ′′′2 p ′ (l ′ 1); 2 j′ m ′ |V | p ′′ (l ′′ 1); 2 j′′ m ′′〉j ′′ l ′′ m ′′∫ ∞j ′′′ l ′′′ m ′′′ 0× 〈 p ′′ (l ′′ 1); 2 j′′ m ∣ ′′ G+0 (E) ∣ p ′′′ (l ′′′ 1); 2 j′′′ m ′′′〉 〈 p ′′′ (l ′′′ 1); 2 j′′′ m ′′′ |T | p(l 1 ); jm〉2(2.57)12


dengan kondisi pada persamaan (2.53) dan (2.54) maka:T jml ′ l(p ′ , p) = V jml ′ l(p ′ , p) + ∑ ∫ ∞l ′′ l ′′′0dp ′′ dp ′′′ p ′′2 p ′′′2 V j′ m ′l ′ l ′′ (p ′ , p ′′ )× 〈 p ′′ (l ′′ 1 2 ); j′ m ′ ∣ ∣ G+0 (E p ) ∣ ∣ p ′′′ (l ′′′ 1 2 ); jm〉 T jml ′′′ l (p′′′ , p) . (2.58)Selanjutnya perlu dicari elemen matriks dari propagator dalam basis gelombangparsial ∣ ∣p(l 1 2 ); jm〉 . Karena propagator tidak berpengaruh pada spin, maka cukupdikerjakan:〈p ′′ (l ′′ 1); 2 j′ m ∣ ′ G+0 (E p ) ∣ p ′′′ (l ′′′ 1 ); jm〉2∫〈= dp ′′ dp ′′′ p ′′ (l ′′ 1); 2 j′ m ′ |p ′′〉 〈p ′′ |G(E p )| p ′′′ 〉 〈 p ′′′ |p ′′′ (l ′′′ 1 ); jm〉2〈= 2µ lim dp ′′ dp ′′′ p ′′ (l ′′ 1); 2 j′ m ′ |p ′′〉〈 ∣ ∣ 〉 ∣∣∣p ′′′ 1 ∣∣∣ 〈pp ′′ ′′′ |p ′′′ (l ′′′ 1 ); jm〉p 2 + iɛ − Ôp2 2= 2µ δ(p′′ − p ′′′ )1δp ′′ p ′′′ j ′ jδ m ′ mδ l ′′′ l ′′ lim(2.59)ɛ→0 p 2 + iɛ − p ′′2ɛ→0∫Dengan memasukan elemen matriks propagator dari persamaan (2.59), persamaan(2.58) menjadi:T jml ′ l(p ′ , p) = V jml ′ l(p ′ , p) + 2µ lim∑∫ ∞ɛ→0l ′′0jmdp ′′ ′′2 Vpl ′ l(p ′ , p ′′ )′′p 2 + iɛ − p′′2Tjml ′′ l (p′′ , p) (2.60)Persamaan di atas merupakan persamaan Lippmann-Schwinger untuk matriks-Tpada basis gelombang parsial.Hubungan antara elemen matriks M λ ′ λ(p ′ , p) dan T jml ′ l(p ′ , p), didapatkan melaluipersamaan (2.40):M λ ′ λ(p ′ , p) = −4µπ 2 ∑∑j ′ m ′ l ′ jmlC(l ′ 1 2 j′ ; m ′ − λ ′ , λ ′ )C(l 1 j; m − λ, λ)2〈p ′ (l ′ 1 2 ); j′ m ′ |T | p(l 1 2 ); jm〉 Y l ′ ,m ′ −λ ′(ˆp′ )Y ∗l,m−λ(ˆp)= −4µπ ∑ 2 C(l ′ 1j; m − 2 λ′ , λ ′ )C(l 1 j; m − λ, λ)2jmll ′T jml ′ l(p ′ , p) Y l ′ ,m−λ ′(ˆp′ )Y ∗l,m−λ(ˆp) . (2.61)Untuk memudahkan pengerjaan maka ditentukan ˆp = ẑ, sehingga:Y ∗l,m−λ(ˆp) = Y l,m−λ (ˆp) =√2l + 14π, (2.62)13


dengan m = λ. Sehingga persamaan (2.61) menjadi:M λ ′ λ(p ′ , pẑ) = −4µπ ∑ √2l + 124π C(l′ 1j; λ − 2 λ′ , λ ′ )C(l 1 j; 0, λ)2jll ′T jλl ′ l (p′ , p) Y l ′ λ−λ ′(ˆp′ ) . (2.63)14


Bab 3Formulasi Tiga DimensiDalam penggunaan metode gelombang parsial, matriks T diselesaikan untuk setiapnilai angular momentum j, dan perhitungan dilakukan hingga suatu nilaij max , dimana perhitungan konvergen. Untuk energi rendah hal ini tidak menjadimasalah berarti, karena banyaknya nilai j yang diperhitungkan sedikit. Namunpada energi tinggi metode gelombang parsial tidak lagi efisien, karena banyaknyaperhitungan yang harus dilakukan. Selain itu terdapatnya fungsi Legendre terasosiasipada formulasi amplitudo hamburan, persamaan (2.63), menyebabkanpenurunan tingkat akurasi perhitungan, karena osilasi yang besar dari fungsiLegendre terasosiasi pada orde tinggi.Dalam bab ini akan diformulasikan suatu teknik penyelesaian persamaan Lippmann- Schwinger dengan menggunakan state vektor momentum |p〉 , sebagai basisuntuk menyelesaikan persamaan Lippmann-Scwhinger. Teknik ini untuk selanjutnyadisebut teknik tiga dimensi (3D). Karena perhitungan dilakukan tanpamenggunakan dekomposisi gelombang parsial, maka masalah diatas dapat dihindari.Dimulai dengan mendefinisikan basis state yang akan digunakan, yaitu basisstate momentum-helicity, serta membahas sifat-sifat basis tersebut. Basis statemomentum-helicity dibentuk dari state vektor momentum dan state helicity yangmerepresentasikan keadaan spin. State helicity digunakan untuk mempermudahpengerjaan [7], karena state ini merupakan eigenstate dari operator helicity σ · ˆp,yang terdapat pada potensial yang diturunkan dalam ruang momentum.15


3.1 Basis Momentum-HelicityBasis state momentum-helicity dibentuk dari state vektor momentum dan statehelicity. Helicity adalah proyeksi spin pada vektor momentum. Eigenstate helicitydidapatkan dengan memutar eigenstate spin, yang dikuantisasi pada arahsumbu-z, ke arah momentumDengan operator rotasi R adalah:∣∣ˆp 1 2 λ〉 = R(ˆp) ∣ ∣ẑ 12 λ〉 , (3.1)R(ˆp) = e −iSzφ e −iSyθ . (3.2)Completness relation dan Orthogonalitas state helicity ini:∑ ∣∣ˆp 1λ〉 〈ˆp 1λ∣ ∣2 2 = 1 (3.3)λ〈ˆp12 λ′ |ˆp 1 2 λ〉 = 〈 ẑ 1 2 λ′ ∣ ∣ R −1 (ˆp)R(ˆp) ∣ ∣ ẑ12 λ〉= 〈 ẑ 1 2 λ′ |ẑ 1 2 λ〉 = δ λ ′ λ . (3.4)Dengan menggabungkan state helicity pada persamaan (3.1) di atas dengan statevektor momentum maka bisa didefinisikan basis momentum-helicity :∣ p; ˆp12 λ〉 ≡ |p〉 ∣ ∣ˆp 1 2 λ〉 (3.5)Tapi basis diatas tidak memiliki paritas yang jelas. Kini perlu didefinisikan basisyang memiliki paritas yang jelas:∣ p; ˆp12 λ〉 π = 1 √2(1 + η π P) ∣ ∣ p; ˆp12 λ〉 . (3.6)dengan eigenvalue paritas η π = ±1. Bila operator paritas dioperasikan ke basistersebut diperoleh:P ∣ ∣p; ˆp 1 2 λ〉 π = 1 √2(P + η π ) ∣ ∣p; ˆp 1 2 λ〉= 1 √2η π (η π P + 1) ∣ ∣ p; ˆp12 λ〉= η π∣ ∣p; ˆp12 λ〉 π. (3.7)16


Persamaan (3.7) membuktikan bahwa basis momentum-helicity pada persamaan(3.6) memiliki paritas yang jelas. Orthogonalitas dari basis ini:〈π p ′ ; ˆp ′ 1 ′ 2 λ′ |p; ˆp 1λ〉 2 π〈p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |(1 + η π ′P)(1 + η π P)| p; ˆp 1λ〉2= 1 2= 1 2= 1 2= 1 2〈 { ∣∣p;p ′ ; ˆp ′ 1λ′∣ ∣2 (1 + ηπ ′P) ˆp1λ〉 ∣ }+ η2 π ∣−p; ˆp1λ〉 2{〈 ∣∣p ′ ; ˆp ′ 1λ′∣ ∣ p; ˆp 1λ〉 ∣+ η2 2 π −p; ˆp 1λ〉 + η2 π ′∣∣−p; ˆp 1 2 λ〉 + η π η π ′∣}∣p; ˆp 1λ〉 2[(1 + η π η π ′) 〈p ′ |p〉 〈ˆp ′ 1 2 λ′ |ˆp 1 2 λ〉 + (η π ′ + η π ) 〈p ′ | − p〉 〈ˆp ′ 1 2 λ′ |ˆp 1 2 λ〉 ] (3.8)Untuk dapat menyelesaikan persamaan (3.8) diperlukan hubungan antara ∣ ∣ −ˆp12 λ〉dan ∣ ∣ˆp 1 2 λ〉 . Dengan menggunakan sifat fungsi-D Wigner[8] berikut:D j m ′ m (ˆr) = i Dj m ′ −m(−ˆr) , (3.9)dengan i = √ −1. Lebih lanjut tetang fungsi-D Wigner dapat dilihat pada lampiranB. Maka bisa didapatkan hubungan:∣ −ˆp1λ〉 = R(−ˆp) ∣ ∣ẑ 1λ〉2 21= ∑ 2Dλ ′ λ (−ˆp) ∣ ∣ẑ 1λ′〉 2λ ′= i ∑ 12Dλ ′ ,−λ (ˆp) ∣ ∣ẑ 1λ′〉 2λ ′= i ∣ ∣ˆp 1 2 , −λ〉 (3.10)Sehingga hubungan Orthogonalitas (3.8) dapat diselesaikan:〈π p ′ ; ˆp ′ 1 ′ 2 λ′ |p; ˆp 1λ〉 2 π[(1 + η π η π ′) 〈p ′ |p〉 〈ˆp ′ 1 2 λ′ |ˆp 1λ〉 − i(η2 π ′ + η π ) 〈p ′ | − p〉 〈ˆp ]′ 1 2 λ′ | − ˆp 1 − λ〉 2= 1 2[]= 1 (1 + η2 π η π ′)δ(p ′ − p)δ λ ′ λ − i(η π ′ + η π )δ(p ′ + p)δ λ ′ ,−λ]= δ ηπ ′ η π[δ(p ′ − p)δ λ ′ λ − i η π δ(p ′ + p)δ λ ′ ,−λ . (3.11)Sedangkan untuk Completness relation, digunakan:∑∫dp ∣ p; ˆp1λ〉 ρ 〈2 π π p; ˆp1λ∣ ∣2 = 1 , (3.12)πλ17


dengan ρ adalah faktor normalisasi, yang nilainya dicari melalui:〈π p ′ ; ˆp ′ 1 ′ 2 λ′ |p; ˆp 1λ〉 2 π= ∑ ∫〈dp ′′ π p ′ ; ˆp ′ 1 ′ 2 λ′ |p ′′ ; ˆp ′′ 1λ′′〉 ρ2 π ′′ π ′′〈p ′′ ; ˆp ′′ 1 2 λ′′ |p; ˆp 1λ〉 2 ππ ′′ λ ′′= ρ ∑ π ′′ λ ′′ ∫dp ′′ π ′ 〈p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |p ′′ ; ˆp ′′ 1 2 λ′′〉 π ′′× δ ηπ ′′η π[δ(p − p ′′ )δ λλ ′′ − i η π ′ δ(p + p ′′ )δ λ,−λ ′′[ 〈 ]= ρπ p ′ ; ˆp ′ 1 ′ 2 λ′ |p; ˆp 1λ〉 − i η 2 π π π ′〈p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ | − p; −ˆp 1 − λ〉 2 π[ 〈 ]= ρπ p ′ ; ˆp ′ 1 ′ 2 λ′ |p; ˆp 1λ〉 − i η 2 π π π ′〈p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |P| p; −ˆp 1 − λ〉 2 π[ 〈 ]= ρπ p ′ ; ˆp ′ 1 ′ 2 λ′ |p; ˆp 1λ〉 − i η 2 π π π ′〈p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |i η π | p; ˆp 1λ〉 2 π= 2ρ π ′〈p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |p; ˆp 1 2 λ〉 π. (3.13)Sehingga didapatkan faktor normalisasi ρ = 1,2∑∫dp ∣ p; ˆp1λ〉 1 〈2 π p; ˆp12 λ∣ ∣ π 2 = 1 (3.14)πλ3.2 Struktur Umum PotensialKami asumsikan V invarian terhadap operasi paritas PV P −1 = V . Elemenmatriks potensial pada basis momentum-helicity, yaitu:V πλ ′ λ(p ′ , p) ≡ π〈p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |V | p; ˆp 1 2 λ〉 π= 1 √2〈p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |(1 + η π P)V | p; ˆp 1 2 λ〉 π= 1 √2〈p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |V (1 + η π P)| p; ˆp 1 2 λ〉 π= √ 2 〈 p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |V | p; ˆp 1 2 λ〉 π, (3.15)Dengan persamaan (3.15) di atas, bisa ditentukan hubungan antara V πλ ′ −λ (p′ , p)]18


dan V πλ ′ λ (p′ , −p) sebagai berikut:V πλ ′ −λ(p ′ , p) = √ 2 〈 p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |V | p; ˆp 1 2 − λ〉 π= 〈 p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |V | p; ˆp 1 2 − λ〉 + η π〈p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |V | − p; ˆp 1 2 − λ〉= −i 〈 p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |V P| − p; −ˆp 1 2 λ〉 − i η π〈p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |V | − p; −ˆp 1 2 λ〉= −i η π[ 〈p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |V η π P| − p; −ˆp 1 2 λ〉 + 〈 p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |V | − p; −ˆp 1 2 λ〉 ]= −i η π√2〈p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |V | − p; −ˆp 1 2 λ〉 π= −i η π V πλ ′ λ(p ′ , −p) . (3.16)Hubungan V π −λ ′ λ (p′ , p) dengan V πλ ′ λ (−p′ , p) diperoleh sebagai berikut:V π −λ ′ λ(p ′ , p) = √ 2 〈 p ′ ; ˆp ′ 1 2 − λ′ |V | p; ˆp 1 2 λ〉 πDengan cara yang sama bisa didapatkan:= √ 2 i 〈 p ′ ; −ˆp ′ 1 2 λ′ ∣ ∣ PV P−1 ∣ ∣ p; ˆp12 λ〉 π= √ 2 i η π〈−p ′ ; −ˆp ′ 1 2 λ′ |V | p; ˆp 1 2 λ〉 π= i η π V πλ ′ λ(−p ′ , p) . (3.17)V π −λ ′ −λ(p ′ , p) = V πλ ′ λ(−p ′ , −p) (3.18)Persamaan (3.16), (3.17) dan (3.18) menunjukan sifat simetri dari matriks potensialdalam basis momentum-helicity. Sifat simetri ini juga berlaku untuk sembarangoperator yang invarian terhadap operasi paritas, seperti matriks T .yaitu:Bentuk potensial yang dipilih di sini adalah salah satu bentuk yang sederhana,V (p ′ , p) = V c (p ′ , p) + V s (p ′ , p) s · (p × p ′ ) , (3.19)yang dalam ruang spasial dapat dituliskan:V (r) = V c (r) + V s (r) l · s , (3.20)dengan l = r × p. Potensial tersebut jelas invarian terhadap rotasi. Bentukpotensial seperti di atas juga invarian terhadap operasi pembalikan waktu (timereversal). Operasi pembalikan waktu akan mengakibatkan: p → −p ′ , p ′ → −pdan s → −s , sehingga:−s · (−p ′ × −p) = s · (p × p ′ ) . (3.21)19


Potensial (3.19) juga invarian terhadap operasi paritas.mengakibatkan: p → −p, p ′ → −p ′ dan s → s, sehingga:Operasi paritas akans · (−p × −p ′ ) = s · (p × p ′ ) . (3.22)Untuk memudahkan pengerjaan, potensial (3.19) di atas perlu diubah kedalambentuk potensial yang terdiri dari operator helicity σ · ˆp, dimana σ merupakanmatriks Pauli. Sebelumnya perlu dikerjakan hubungan antara s · (p × p ′ ) dan(σ · ˆp ′ )(σ · ˆp), yaitu:s · (p × p ′ ) = 1σ · (p × 2 p′ )= −i {}p ′ · p − (σ · p ′ )(σ · p)2= −i {}2 p′ p α ′ − (σ · ˆp ′ )(σ · ˆp), (3.23)dimana α ′ = ˆp ′ · ˆp. Lebih lengkap mengenai transformasi ini bisa dilihat padalampiran C. Dengan hubungan (3.23) di atas maka potensial (3.19) dapatdituliskan sebagai:[ −i{} ]V (p ′ , p) = V c (p ′ , p) + V s (p ′ , p)2 p′ p α ′ − (σ · ˆp ′ )(σ · ˆp)= f cs (p ′ , p) + f s (p ′ , p)(σ · ˆp ′ )(σ · ˆp) , (3.24)dengandan,f cs (p ′ , p) ≡ V c (p ′ , p) − i 2 p′ p α ′ V s (p ′ , p) , (3.25)f s (p ′ , p) ≡ i 2 p′ p V s (p ′ , p) . (3.26)Untuk mencari matriks potensial pada basis momentum-helicity, dikerjakanpotensial (3.24) menggunakan basis pada persamaan (3.5) sebagai permulaan,sehingga didapatkan:V λ ′ λ(p ′ , p) ≡ 〈 p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |V | p; ˆp 1 2 λ〉= 〈ˆp ′ 1 2 λ′ |V (p ′ , p)| ˆp 1 2 λ〉= f cs (p ′ , p, α ′ ) 〈ˆp ′ 1 2 λ′ |ˆp 1λ〉 + f2 s (p ′ , p, α ′ ) 〈ˆp ′ 1 2 λ′ |(σ · ˆp ′ )(σ · ˆp)| ˆp 1λ〉2[= f cs (p ′ , p, α ′ ) + 4f s (p ′ , p, α ′ ) λ λ] 〈ˆp ′ ′ 12 λ′ |ˆp 1λ〉 , (3.27)220


ila didefinisikan:F (p ′ , p, α ′ , λ ′ , λ) ≡ f cs (p ′ , p, α ′ ) + 4λ ′ λ f s (p ′ , p, α ′ ) (3.28)Persamaan (3.27) dapat ditulis:V λ ′ λ(p ′ , p) = F (p ′ , p, α ′ , λ ′ , λ) 〈ˆp ′ 1 2 λ′ |ˆp 1 2 λ〉 . (3.29)Selanjutnya potensial (3.24) dievaluasi menggunakan basis momentum-helicity padapersamaan (3.6), sehingga didapatkan:V πλ ′ λ(p ′ , p) = √ 2 〈 p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |V | p; ˆp 1 2 λ〉 π= 〈 p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |V | p; ˆp 1 2 λ〉 − iη π〈p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |V | − p; −ˆp 1 2 − λ〉= V λ ′ λ(p ′ , p) − i η π V λ ′ ,−λ(p ′ , −p)= F (p ′ , p, α ′ , λ ′ , λ) 〈ˆp ′ λ ′ |ˆpλ〉 − iη π F (p ′ , p, −α ′ , λ ′ , −λ) 〈ˆp ′ λ ′ | − ˆp − λ〉[]= F (p ′ , p, α ′ , λ ′ , λ) + η π F (p ′ , p, −α ′ , λ ′ , −λ) 〈ˆp ′ λ ′ |ˆpλ〉 . (3.30)Dapat dilihat bahwa matriks potensial ini bergantung terhadap sudut melalui α ′dan 〈ˆp ′ λ ′ |ˆpλ〉, seperti ditunjukkan sebagai berikut:α ′ = p ′ · p = cos θ ′ cos θ + sin θ ′ sin θ cos(φ ′ − φ) , (3.31)sedangkan untuk 〈ˆp ′ λ ′ |ˆpλ〉 digunakan fungsi-D Wigner, sehingga didapatkan:〈ˆp ′ λ ′ |ˆpλ〉 = ∑ m1e i m(φ′ −φ) 2dmλ (θ ′ ) d′karena fungsi-D Wigner dapat dituliskan sebagai:12mλ(θ) , (3.32)D j m ′ m (θ, φ) = e−im′φ d j m ′ m(θ) . (3.33)Untuk nilai j = 1 2maka matriks-d ialah [8] :⎛d 1 cos θ 2 − sin θ ⎞22 (θ) = ⎜⎝sin θ cos θ ⎟⎠2 2(3.34)Oleh karena itu, matriks potensial bergantung pada sudut azhimut φ dan φ ′melalui cos(φ ′ − φ) dan e i m(φ′ −φ) . Maka, untuk memperlihatkan kebergantunganmatriks potensial terhadap sudut azimuth, dapat ditulis sebagai:V πλ ′ λ(p ′ , p) = V πλ ′ λ{eim(φ ′ −φ) , cos(φ ′ − φ) } . (3.35)21


3.3 Persamaan Lippmann-SchwingerPada sub-bab sebelumnya telah didapatkan elemen matriks potensial pada basismomentum-helicity, sifat simetrinya dan bagaimana matriks potensial tersebutbergantung pada sudut.Dengan hasil tersebut, pada sub-bab ini kami akanmenghitung elemen matriks-T pada basis momentum-helicity. Elemen matriks-Tpada basis momentum-helicity didefinisikan sebagai:T π λ ′ λ(p ′ , p) ≡ π〈p ′ ; ˆp ′ 1 2 λ′ |T | p; ˆp 1 2 λ〉 π. (3.36)Karena persamaan Lippmann-Schwinger untuk matriks-T dapat dilihat sebagaiekspansi matriks-T dalam potensial V, seperti yang ditunjukan pada persamaan(2.24), maka sifat matriks potensial juga akan dimiliki oleh matriks-T,seperti sifat simetrisitas matriks potensial pada persamaan (3.16), (3.17) dan(3.18) :T π λ ′ −λ(p ′ , p) = −i η π T π λ ′ λ(p ′ , −p) (3.37)T π −λ ′ λ(p ′ , p) = iη π T π λ ′ λ(−p ′ , p) (3.38)T π −λ ′ −λ(p ′ , p) = T π λ ′ λ(−p ′ , −p) , (3.39)Begitu pula untuk kebergantungan matriks-T terhadap sudut, karena propagatortidak bergantung sudut, sama seperti yang dimiliki matriks potensial padapersamaan (3.35). Sehingga kebergantungan matriks-T terhadap sudut azimuthialah:T π λ ′ λ(p ′ , p) = T π λ ′ λ{eim(φ ′ −φ) , cos(φ ′ − φ) } . (3.40)Menggunakan persamaan Lippmann-Schwinger untuk matriks-T persamaan(2.23) dan completeness relation pada persamaan (3.14), didapatkan persamaanLippmann-Schwinger untuk matriks-T pada basis momentum-helicity, sebagaiberikut:〈Tλ π ,λ(p ′ , p) = V π′ λ ,λ(p ′ , p) + ′ π p ′ ; ˆp ∣ ′ 1 2 λ′ ∣V G + 0 (p)T ∣ p; ˆp 1λ〉 2 π= Vλ π,λ(p ′ , p) + 1 ∑∫dp ′′ V ′ λ π2′ ,λ ′′(p′ , p ′′ )G + 0 (p ′′ )Tλ π ,λ(p ′′ , p) (3.41)′′λ ′′Pada persamaan (3.41) di atas nilai λ ′′ = ± 1 . Menggunakan sifat simetri matriks2potensial, yaitu persamaan (3.16), dan sifat simetri matriks-T, yaitu persamaan22


(3.38), bagian integral dari persamaan (3.41) untuk nilai λ ′′ = − 1 , dapat dikerjakansebagai:2∫dp ′′ V πλ ′ ,− 1 (p ′ , p ′′ )G + 0 (p ′′ )T π − 1 , p)22∫,λ(p′′= dp ′′ V πλ ′ , 1 (p ′ , −p ′′ )G + 0 (p ′′ )T 1π , p)∫2 2 ,λ(−p′′= dp ′′ V πλ ′ , 1 (p ′ , p ′′ )G + 0 (p ′′ )T 1π , p) (3.42)2 2 ,λ(p′′Persamaan terakhir didapat karena integral di atas dievaluasi pada seluruh nilaip ′′ . Dengan hasil dari persamaan (3.42), maka persamaan (3.41) dapat disederhanakanmenjadi:T π λ ′ ,λ(p ′ , p) = V πλ ′ ,λ(p ′ , p) +∫dp ′′ V πλ ′ , 1 2(p ′ , p ′′ )G + 0 (p ′′ )T π 12 ,λ(p′′ , p) . (3.43)Persamaan ini adalah persamaan Lippmann-Scwhinger untuk matriks-T padabasis momentum-helicity.Pada kondisi awal kami tentukan ˆp = ẑ. Maka:α ′ = cos θ ′ , (3.44)dan〈ˆp ′ λ ′ |ẑλ〉 = ∑ m1 1e im(φ′) 2dmλ (θ ′ 2) d′ mλ (0)1= e iλφ′ 2dλλ (θ ′ ) ′ , (3.45)sehingga bagian sudut azimuth dari matriks potensial, yang telah didapatkanpada persamaan (3.35), dapat ditulis sebagai:V πλ ′ λ(p ′ , pẑ) = e iλφ′ V πλ ′ λ(p ′ , p, α ′ ) . (3.46)Sedangkan untuk matriks-T, kebergantungannya pada sudut azimuth, yang telahdinyatakan pada persamaan (3.40), menjadi:T π λ ′ λ(p ′ , pẑ) = e iλφ′ T π λ ′ λ(p ′ , p, α ′ ) (3.47)Maka persamaan (3.43) menjadi:∫Tλ π ,λ(p ′ , pẑ) = V π′ λ ,λ(p ′ , pẑ) +′ dp ′′ V πλ ′ , 1 (p ′ , p ′′ ) G + 0 (p ′′ ) T 1π , pẑ)2 2 ,λ(p′′ . (3.48)23


Dengan menggunakan persamaan (3.46), (3.47) dan dengan mendefinisikan:α ′′ = p ′′ · p = cos θ ′′ (3.49)β = p ′′ · p ′ = cos θ ′ cos θ ′′ + sin θ ′ sin θ ′′ cos(φ ′′ − φ ′ )= α ′ α ′′ + √ 1 − α ′2√ 1 − α ′′2 cos(φ ′′ − φ ′ ) , (3.50)persamaan (3.48) menjadi:Tλ π ,λ(p ′ , pẑ) = e ′ iλφ′ Vλ π,λ(p ′ , p, α ′ ) +′× V πλ ′ , 1 2∫ ∞{p ′ , p ′′ , e im(φ′ −φ ′′) , β= e iλφ′ [V πλ ′ ,λ(p ′ , p, α ′ ) +0∫ ∞0∫ 1 ∫ 2πdp ′′ p ′′2 dα ′′ dφ ′′}−1 0G + 0 (p ′′ ) e iλφ′′ T 1π , p, α ′′ )2 ,λ(p′′∫ 1 ∫ 2πdp ′′ p ′′2 dα ′′−10dφ ′′{}]× V πλ ′ , 1 p ′ , p ′′ , e im(φ′ −φ ′′) , β G + 0 (p ′′ ) e iλ(φ′′ −φ ′) T 1π , p, α ′′ )22 ,λ(p′′= e iλφ′ Tλ π λ(p ′ , p, α ′ ) (3.51)′dengan T π λ ′ λ (p′ , p, α ′ ) memenuhi persamaan berikut:Tλ π ,λ(p ′ , pẑ) = V π′ λ ,λ(p ′ , p, α ′ ) +′× V πλ ′ , 1 2∫ ∞{p ′ , p ′′ , e im(φ′ −φ ′′) , β0∫ 1 ∫ 2πdp ′′ p ′′2 dα ′′}−10dφ ′′G + 0 (p ′′ ) e iλ(φ′′ −φ ′) T π 12 ,λ(p′′ , p, α ′′ )(3.52)Pada persamaan (3.51) di atas bagian yang bergantung pada sudut azimuthφ ′′ dapat dipisahkan dengan mendefinisikan:V π λ ′ 1 2(p ′ , p ′′ , α ′ , α ′′ ) ≡∫ 2πDan untuk suku Vλ π ′ ,λ (p′ , p, α ′ ) digunakan:V π λ ′ λ(p ′ , p, α ′ , 1) =∫ 2π00dφ ′′ e iλ(φ′′ −φ ′) V πλ ′ 1 (p ′ , p ′′ ) . (3.53)2dφ ′′ e −iλφ′ V πλ ′ λ(p ′ , pẑ) = (2π)V πλ ′ ,λ(p ′ , p, α ′ ) . (3.54)Sehingga persamaan untuk T π λ ′ λ (p′ , p, α ′ ) pada persamaan (3.51) ialah:Tλ π λ(p ′ , p, α ′ ) = 1′ 2π Vπ λ λ(p ′ , p, α ′ , 1)′+∫ ∞0dp ′′ p ′′2 ∫ 1−1dα ′′ V π λ ′ 1 2(p ′ , p ′′ , α ′ , α ′′ )G + 0 (p ′′ )T π 12 ,λ(p′′ , p, α ′′ )(3.55)24


Persamaan (3.55) merupakan bentuk akhir dari persamaan Lippmann-Schwingeruntuk matriks-T pada basis momentum-helicity yang akan dipecahkan. Untuksetiap keadaan paritas η π diperlukan 2 persamaan, masing-masing untuk mencariT π 112 2(p ′ , p, α ′ ) dan T π 12 ,− 1 2(p ′ , p, α ′ ). Sehingga untuk semua keadaan paritasdiperlukan 4 persamaan. Namun akan kami tunjukan di bawah, bahwa denganmemanfaatkan sifat simetri dari matriks-Tλ π ′ λ (p′ , p, α ′ ) diperlukan hanya 2 persamaansaja.Dengan menggunakan sifat simetri pada persamaan (3.38) pada persamaan(3.47) bisa didapatkan:T−λ π λ(p ′ , p, α ′ ) = e ′ −iλφ′ T−λ π λ(p ′ , pẑ)′= iη π e −iλφ′ Tλ π λ(−p ′ , pẑ)′= iη π e −iλφ′ e iλ(φ′ +π) Tλ π λ(p ′ , p, −α ′ )′= (−) λ iη π Tλ π λ(p ′ , p, −α ′ ) (3.56)′sedangkan dengan menggunakan sifat simetri pada persamaan (3.37) didapatkanhubungan berikut:Tλ π ,−λ(p ′ , p, α ′ ) = e ′ iλφ′ Tλ π ,−λ(p ′ , pẑ)′= −iη π e iλφ′ Tλ π λ(p ′ , −pẑ) , (3.57)′untuk menyelesaikan persamaan (3.57) di atas, maka digunakan sifat seperti yangditunjukan dalam persamaan (3.30) untuk matriks V, dimana bagian dari matriksV (matriks-T) yang bergantung terhadap momentum dan spin dapat dipisahkan.Tλ π λ(p ′ , p) ∼ f π (p ′ , p) 〈ˆp ′ λ ′ |ˆpλ〉 , (3.58)′dengan f π (p ′ , p) merupakan bagian yang bergantung terhadap momentum. Dengansifat ini maka:Tλ π λ(p ′ , −pẑ) ∼ f π (p ′ , −pẑ) 〈ˆp ′ λ ′ | − ẑλ〉 , (3.59)′dan dengan sifat parity invariance dari matriks-T, didapatkan:Tλ π λ(p ′ , −pẑ) ∼ f π (−p ′ , pẑ) 〈ˆp ′ λ ′ | − ẑλ〉 , (3.60)′25


untuk bagian yang bergantung pada spin digunakan:〈ˆp ′ λ ′ | − ẑλ〉 = ∑ m= ∑ m1 1e im(φ′ −π) 2dmλ (θ ′ 2)d ′ mλ (π)1e im(φ′ −π) 2dmλ (θ ′ )(−) − 1 ′ 2 −λ δ −m,λ1= e −iλ(φ′ −π) 2d−λ,λ (θ ′ )(−) − 1 ′ 2 −λ1= e −iλ(φ′ +π) e 2iλπ 2dλ,λ (π − θ ′ )(−) − 1 ′ 2 −λ (−) 1 2 +λ′1= (−)(−) λ′ −λ e −iλ(φ′ +π) 2dλ,λ (π − θ ′ )′1= (−)(−) λ′ e −iλφ′ 2dλ,λ (π − θ ′ ) , (3.61)′dan dengan memasukan kembali ke persamaan (3.60):1Tλ π λ(p ′ , −pẑ) ∼ (−)(−) ′ λ′ e −iλφ′ f π (−p ′ 2, pẑ)dλ,λ (π − θ ′ ) (3.62)′menggunakan persamaan (3.47), maka:T π λ ′ λ(p ′ , −pẑ) = (−)(−) λ′ e −iλφ′ T π λ ′ λ(p ′ , p ′ , −α) . (3.63)Dengan memasukan T π λ ′ λ (p′ , −pẑ) dari persamaan (3.63) kedalam persamaan(3.57) bisa didapatkan hubungan:T π λ ′ ,−λ(p ′ , p, α ′ ) = (−) λ′ iη π T π λ ′ λ(p ′ , p ′ , −α) . (3.64)Dengan menggunakan persamaan (3.56) dan persamaan (3.64), bisa didapatkanhubungan:3.4 Elemen Matriks MT π −λ ′ ,−λ(p ′ , p, α ′ ) = −T π λ ′ ,λ(p ′ , p, α ′ ) . (3.65)Dalam menghitung matriks M pada persamaan (2.40), digunakan sumbu-z sebagaisumbu kuantisasi spin. Maka diperlukan hubungan antara elemen matriks-Tdalam basis momentum-helicity dan elemen matriks-T dalam basis berikut:|pν〉 ≡ |p〉 ∣ ∣ 12 ν〉 , (3.66)26


dengan ∣ ∣ 12 ν〉 yaitu keadaan spin dengan sumbu kuantisasi pada arah ẑ. Elemenmatriks-T dalam basis ini yaitu:T ν ′ ν(p ′ , p) ≡ 〈p ′ ν ′ |T | pν〉 . (3.67)Kemudian, untuk dapat menghubungkannya dengan elemen matriks-T dalambasis momentum-helicity, perlu dikerjakan overlap berikut:1〈ˆp λ|ẑ 1ν〉 = 〈 ẑ 1λ ∣ ∣R −1 (ˆp) ∣ ẑ 1ν〉2 2 2 212 ∗= Dνλ (ˆp)= e iνφ d12νλ(θ) (3.68)Menggunakan hasil dari persamaan (3.68) di atas, serta dengan completness relation(3.14), didapatkan:T ν ′ ν(p ′ , p)= 1 ∑∫〈dp ′′ dp ′′′ p ′ ν ′ |p ′′ ; ˆp ′′ 14λ′〉 T 〈2 π λ π λ(p ′′ , p ′′′ ) ′ π p ′′′ ; ˆp ′′′ 1λ|pν〉2πλ ′ λ= 1 ∑∫ { 〈pdp ′′ dp ′′′ ′ ν ′ |p ′′ ; ˆp ′′ 18λ′〉 〈 }+ η2 π p ′ ν ′ | − p ′′ ; ˆp ′′ 1λ′〉 T2 λ π λ(p ′′ , p ′′′ )′πλ ′ λ{ 〈p×′′′ ; ˆp ′′′ 1λ|pν〉 〈 }+ η2 π −p ′′′ ; ˆp ′′′ 1λ|pν〉 2= 1 ∑∫]1dp ′′ dp[δ(p ′′′ ′ − p ′′ ) + η π δ(p ′ + p ′′ 2) Dν 8′ λ(ˆp ′′ ) T ′ λ π λ(p ′′ , p ′′′ )′πλ ′ λ[]1× δ(p − p ′′′ ) + η π δ(p + p ′′′ 2) D∗νλ (ˆp′′′ )= 1 ∑[112Dν 8′ λ(ˆp ′ ) T ′ λ π λ(p ′ 2, p) D∗11′ νλ (ˆp) + η 2πDν ′ λ(−ˆp ′ ) T ′ λ π λ(−p ′ 2, p) D∗′ νλ (ˆp)πλ ′ λ112+ η π Dν ′ λ(ˆp ′ )T π ′ λ λ(p ′ 2, −p) D∗11]′ νλ (−ˆp) + D 2ν ′ λ(−ˆp ′ ) T π ′ λ λ(−p ′ 2, −p)D∗′ νλ (−ˆp)= 1 ∑ 11 [2Dν 8′ λ(ˆp ′ 2) D∗′ νλ (ˆp) Tλ π λ(p ′ , p) + i η ′ π T−λ π λ(−p ′ , p)′πλ ′ λ]− i η π Tλ π −λ(p ′ , −p) + T π ′ −λ −λ(−p ′ , −p) . (3.69)′Dengan sifat simetri matriks-T, yaitu persamaan (3.37), (3.38) dan (3.39), persamaan(3.69) menjadi:T ν ′ ν(p ′ , p) = 1 2∑πλ ′ λ12D12 ∗ν ′ λ(ˆp ′ ) D′ νλ (ˆp) T λ π λ(p ′ , p) (3.70)′27


Selanjutnya, dengan kondisi ˆp = ẑ, persamaan (3.70) menjadi:T ν ′ ν(p ′ , pẑ) = 1 2 e−iν′ φ ′∑πλ ′ λ12dν ′ λ(θ ′ ) δ ′ λν e iλφ′ Tλ π λ(p ′ , p, α ′ )′1= 1 ∑ −ν)φ ′ 22 e−i(ν′ dν ′ λ(θ ′ ) T ′ λ π ν(p ′ , p, α ′ ) (3.71)′πλ ′Dengan memasukan persamaan (3.71) ke persamaan (2.40), didapatkan elemenmatriks M sebagai berikut:M ν ′ ν(p ′ , pẑ) = −2µπ 2 e −i(ν′ −ν)φ ′ ∑ πλ ′12dν ′ λ(θ ′ ) T π ′ λ ν(p ′ , p, α ′ ) (3.72)′3.5 Hubungan Dengan Elemen Matriks-T DalamBasis Gelombang ParsialPada sub-bab ini kami tunjukan hubungan antara elemen matriks-T dalam basismomentum-helicityT π λ ′ λ (p′ , p) dan elemen matriks-T dalam basis gelombangparsial T jml ′ l(p ′ , p). Dengan menggunakan completness relation basis gelombangparsial, dapat dilihat pada lampiran A, didapatkan hubungan berikut:∫ ∞Tλ π λ(p ′ , p) = ∑ ∑∫ ∞〈p ′′′2 dp ′′′ p ′′2 dp ′′ ′ π p ′ ; ˆp ′ λ ′ |p ′′′ (l ′ 1); 2 j′ m ′〉j ′ l ′ m ′ jlm00〈p ′′′′ (l ′ 1); 2 j′ m ′ |T | p ′′ (l 1); jm〉 〈 p ′′ (l 1); jm|p; ˆpλ〉 . (3.73)2 2 πUntuk mengerjakan persamaan (3.73), perlu diformulasikan overlap antara basismomentum-helicity dengan basis gelombang parsial:〈p(l12 ); jm|p′ ; ˆp ′ λ ′〉 = ∑ µC(l 1 2 j; m − µ, µ) 〈plm − µ|p′ 〉 〈 12 µ|ˆp′ , 1 2 λ′〉= ∑ µC(l 1 2 j; m − µ, µ)δ(p′ − p)p ′ p1lm−µ(ˆp ′ 2) Dµλ (ˆp ′ ) (3.74)′Y ∗28


Dengan overlap pada persamaan (3.74), serta konservasi nilai j dan m, yangdiperlihatkan pada persamaan (2.54), maka didapatkan:T π λ ′ λ(p ′ , p) = 1 2∑∫ ∞jmll ′ 0p ′′′2 dp ′′′ ∫ ∞× ∑ 1C(l ′ 1j; m − 2 µ′ , µ ′ 2)D∗µ ′ λ(ˆp ′ ) ′µ ′× ∑ µ0p ′′2 dp ′′ T jml ′ l(p ′′′ , p ′′ ) δ(p′′′ − p ′ ) δ(p ′′ − p)p ′′′ p ′ p ′′ p[]Y l ′ ,m−µ ′(ˆp′ ) + η π Y l ′ ,m−µ ′(−ˆp′ )1[]C(l 1j; m − µ, µ)D 22 µλ (ˆp) Yl,m−µ(ˆp) ∗ + η π Yl,m−µ(−ˆp)∗(3.75)karena Y lm (−ˆr) = (−) l Y lm (ˆr), maka persamaan (3.75) menjadi:Tλ π λ(p ′ , p) = 1 ∑′ l2′ l(p ′ , p)(1 + η π (−) l′)( )1 + η π (−) ljmll ′ T jm× ∑ 1C(l ′ 1j; m − 2 µ′ , µ ′ 2)D∗µ ′ ,λ(ˆp ′ ) Y ′ l ′ m−µ ′(ˆp′ )µ ′× ∑ µC(l 1 2 j; m − µ, µ)D 12µ,λ (ˆp) Y ∗lm−µ(ˆp) . (3.76)Pada persamaan di atas terdapat syarat, yaitu:η π (−) l = 1 dan η π (−) l′ = 1 , (3.77)maka untuk keadaan paritas ganjil hanya nilai l dan l’ ganjil yang berkontribusi,dan sebaliknya untuk paritas genap, hanya nilai l dan l’ genap yang berkontribusi.))faktor(1+η π (−) l′ dan(1+η π (−) l bersama-sama memberikan nilai 4, sehingapersamaan (3.76) menjadi:Tλ π λ(p ′ , p) = 2 ∑ T jm′ l ′ l(p ′ , p) ∑ 1C(l ′ 1j; m − 2 µ′ , µ ′ 2)D∗µ ′ ,λ(ˆp ′ ) Y ′ l ′ m−µ ′(ˆp′ )jmll ′ µ ′× ∑ µC(l 1 2 j; m − µ, µ)D 12µ,λ (ˆp) Y ∗lm−µ(ˆp) . (3.78)Dengan memasukan kondisi ˆp = ẑ, didapatkan:Tλ π λ(p ′ , pẑ) = 2 ∑ √2l + 1T jλ′ l ′ l (p′ , p) C(l 1 j; 0, λ)24πjll ′× ∑ 1C(l ′ 1j; λ − 2 µ′ , µ ′ 2)D∗µ ′ ,λ(ˆp ′ ) Y ′ l ′ ,λ−µ ′(ˆp′ ) . (3.79)µ ′29


Sebagai pengujian terhadap hubungan (3.79), yang berarti juga pengujianuntuk formulasi elemen matriks-T dalam basis momentum-helicity, persamaan(3.79) dimasukan ke persamaan (3.70), sehingga menghasilkan:T ν ′ ν(p ′ , pẑ) = ∑ jll ′ √2l + 14π∑λ ′ λT jλl ′ l (p′ , p) C(l 1 j; 0, λ)2× ∑ 1C(l ′ 1j; λ − 2 µ′ , µ ′ 2)D∗1µ ′ ,λ(ˆp ′ ) Y ′ l ′ ,λ−µ ′(ˆp′ 2)Dν ′ λ(ˆp ′ ) δ ′ νλ , (3.80)µ ′dengan menggunakan sifat matriks-D Wigner sebagai berikut:∑persamaan (3.80) menjadi:T ν ′ ν(p ′ , pẑ) = ∑ √2l + 1T jνl ′ l (p′ , p)4πjll ′mD j ∗m ′ m (ˆr)Dj m ′′ m (ˆr) = δ m ′′ m ′ , (3.81)C(l 1 2 j; 0, ν)C(l′ 1 2 j; ν − ν′ , ν ′ )Y l ′ ,ν−ν ′(ˆp′ ).Persamaan (3.82) dimasukan ke persamaan (2.40), maka dihasilkan(3.82)M ν ′ ν(p ′ , pẑ) = −4µπ 2 ∑ jll ′√2l + 1T jνl ′ l (p′ , p)4πC(l 1 j; 0, ν)2× C(l ′ 1j; ν − 2 ν′ , ν ′ ) Y l ′ ,ν−ν ′(ˆp′ ) . (3.83)Persamaan (3.83) identik dengan persamaan (2.63). Hal ini menunjukan bahwaelemen matriks-T yang kami hitung, dengan teknik 3D, menghasilkan besaranyang dapat diamati yang sama dengan yang dihasilkan pada teknik gelombangparsial.3.6 Kinematika RelativistikTeknik 3D diformulasi karena kebutuhan akan suatu teknik perhitungan alternatifuntuk hamburan pada energi tinggi. Karena pada energi tinggi efek relativitasberpengaruh cukup signifikan, maka perlu diperhitungkan. Di sini hanya akandilihat efek kinematika relativistik. Untuk memasukan efek kinematika relativistik,digunakan hubungan relativistik energi dan momentum:E 2 = p 2 + m 2 , (3.84)30


serta transformasi Lorentz dari kerangka laboratorium ke kerangka pusat massa(P.M.).Dalam perhitungan yang menggunakan kinematika non-relativistik, elemenmatriks-T dihitung untuk hamburan pada energi E Lab. dalam kerangka laboratorium.Kami dapatkan hubungan antara E Lab. , E P.M. , dan besar momentumrelatif p sebagai berikut:E Lab. = m 1µ E P.M. = m 1 p 22µ 2 , (3.85)lebih jelas dapat dilihat sub-bab 2.1. Karena sebelumnya digunakan hubungannon-relativistik energi dan momentum, E Lab merupakan energi kinetik proyektilE kLab. dalam kerangka laboratorium, dan E P.M. merupakan energi kinetik sistemE kP.M. dalam kerangka P.M. Sehingga hubungan (3.85) dapat ditulis sebagai:E kLab. = m 1µ E kP.M. = m 1 p 22µ 2 , (3.86)Setelah memasukan efek kinematika relativistik hubungan antara E kLab. , E kP.M.dan p harus dicari lagi.Transformasi Lorentz dari kerangka laboratorium ke kerangka P.M. dikerjakansebagaimana pada [4]. Dimulai dengan mendefinisikan momentum four vectors(momentum-4) pada kerangka awal, yaitu kerangka laboratorium, untuk partikelke-i, sebagai berikut:k µ i ≡ (E i , k i ) , (3.87)dengan k i ialah vektor momentum dalam ruang spasial, dan E i ialah energi totalpartikel ke-i dalam kerangka laboratorium. Maka dengan transformasi LorentzL(v), dimana v adalah kecepatan relatif kerangka baru terhadap kerangka lama,didefinisikan:p µ i ≡ L(v) k µ i , (3.88)p µ ialah momentum-4 pada kerangka baru, yaitu kerangka P.M.. p µ didapatmelalui:p 1 = p = k 1 + (γ − 1)(k 1 · ˆv)ˆv − γE 1 v , (3.89)p 2 = −p (3.90)31


dan:E i P.M. = γ(E i − k i · v) , (3.91)dimanaγ ≡1√1 − v2. (3.92)Maka, transformasi sistem dari kerangka laboratorium ke kerangka P.M., dilakukanmenggunakan persamaan (3.88)-(3.92).Energi partikel-1 (proyektil) pada keadaan awal, sesuai persamaan (3.84),ialah:E 1 = (m 2 1 + k 2 1) 1/2 . (3.93)Karena pada keadaan awal target diam (k 2 = 0), maka energinya:E 2 = m 2 . (3.94)Sehingga momentum-4 pada keadaan awal:k µ 1 = (E 1 , k 1 ) (3.95)k µ 2 = (m 2 , 0) , (3.96)maka momentum-4 total pada keadaan awal:k µ = k µ 1 + k µ 2= (E Lab. , k 1 ) , (3.97)dimana E Lab. ialah energi total dalam kerangka laboratorium, E Lab. = E 1 + m 2 .Kecepatan relatif kerangka P.M. terhadap kerangka laboratorium yaitu:v = k k 0= k 1E Lab.. (3.98)Faktor γ didapat dengan memasukan kecepatan v pada persamaan (3.98) kedalampersamaan (3.92), maka didapatkan:γ =k0√kµ k µ= E Lab.M 0, (3.99)32


dengan massa invarian sistem M 0 didefinisikan sebagai:M 0 ≡ √ k µ k µ√= m 2 1 + m 2 2 + 2E 1 m 2 (3.100)Maka momentum relatif p dalam kerangka P.M. menurut transformasi Lorentz,yaitu:dan energi dalam kerangka P.M. :p = k 1 + (γ − 1)(k 1 · ˆv)ˆv − γE 1 v= γ(k 1 − E 1 v)()= E Lab.k 1 − k 1E 1M 0 E Lab.= m 2M 0k 1 , (3.101)E 1 P.M. = γ(E 1 − v · k 1 )()= E Lab.E 1 − k 1k 1M 0 E Lab.E 2 P.M. = γ m 2= m2 1 + m 2 E 1M 0(3.102)= m2 2 + m 2 E 1M 0, (3.103)sehingga momentum-4 dalam kerangka P.M. untuk tiap partikel:p µ 1 = (E 1 P.M. , p) (3.104)p µ 2 = (E 2 P.M. , −p) , (3.105)jadi momemtum-4 total dalam kerangka P.M., yang merupakan energi total dalamkerangka P.M., yaitu:p µ = p µ 1 + p µ 2= E 1 P.M. + E 2 P.M. ≡ E P.M. . (3.106)Karena M 0 invarian terhadap transformasi Lorentz:p µ p µ = k µ k µ , (3.107)33


maka:E P.M. = M 0 . (3.108)Kini kami cari relasi antara E kLab. , E kP.M. dan p. Kami mulai dengan:maka, hubungan antara E kLab. dan E kP.M. yaitu:E 1 = E kLab. + m 1 , (3.109)E kP.M. = E P.M. − (m 1 + m 2 )√= m 2 1 + m 2 2 + 2E 1 m 2 − (m 1 + m 2 )√= m 2 1 + m 2 2 + 2(E kLab. + m 1 )m 2 − (m 1 + m 2 ) . (3.110)Untuk menentukan p (besar momentum p) digunakan persamaan (3.101), dengank 1 didapatkan melalui persamaan (3.93) :sehingga didapatkan:p =k 1 =√E 2 1 − m 2 1= √ E kLab. (E kLab. + 2m 1 ) , (3.111)m 2√EkLab. (E kLab. + 2m 1 )√m21 + m 2 2 + 2(E kLab. + m 1 )m 2(3.112)Untuk menentukan hubungan antara sudut hambur dalam kedua kerangka,maka asumsikan bahwa partikel-1 bergerak pada arah sumbu-z.momentum-4 partikel-1, dalam kerangka laboratorium, ialah:sehinggak µ 1 = (E 1 , 0, 0, k 1 ) , (3.113)sedangkan dalam kerangka P.M., momentum-4 partikel-1 ialah:p µ 1 = (E 1 P.M. , 0, 0, p 1 ) . (3.114)Apabila sudut hambur dalam kerangka P.M. θ P.M , maka momentum-4, dalamkerangka P.M., setelah hamburan p ′ 1:p ′ µ1 = (E 1 P.M , p 1 sin θ P.M. , 0, p 1 cos θ P.M. ) . (3.115)34


Dengan mentransformasikan kembali momentum-4 p ′ µ1 ke kerangka laboratoriummelalui transformasi:k ′ 1 = p ′ + (γ − 1)(p ′ · û)û − γE 1 P.M. u , (3.116)dan:E 1 = γ(E 1 P.M. − p ′ · u) , (3.117)dimana u = −v merupakan kecepatan relatif kerangka laboratorium terhadapkerangka P.M.. Maka setelah transformasi tersebut didapatkan:E 1 = γ(E 1 P.M. + v p 1 cos θ P.M. ) (3.118)()k ′ 1 = p 1 sin θ P.M. , 0, γ(p 1 cos θ P.M. + v E 1 P.M. ) . (3.119)Sudut hambur dalam kerangka laboratorium θ Lab. dapat dihitung dengan (lihatgambar 2.1) :tan θ Lab. = k′ 1xk ′ 1zMaka hubungan antara θ P.M. dan θ Lab. :. (3.120)tan θ Lab =sin θ( P.M.)γ cos θ P.M. + v E 1 P.M. /p 1=sin θ(P.M.) . (3.121)γ cos θ P.M. + E 1 P.M.E 2 P.M.Untuk menghitung penampang lintang dan polarisasi dalam kerangka Lab.kami menggunakan matriks hamburan S, yang dalam kerangka P.M. ialah:S(p ′ , p) = δ(p ′ − p) − 2πi δ(E ′ P.M. − E P.M. ) T (p ′ , p) , (3.122)dan dalam kerangka Lab. ialah:Dengan hubungan:S(k ′ 1, k ′ 2, k 1 , k 2 ) = 〈k ′ 1, k ′ 2 |S| k 1 , k 2 〉 . (3.123)|k 1 , k 2 〉 = J −1/2 (k 1 , k 2 ) |p, K〉 , (3.124)dimana K = k 1 + k 2 , dan J ialah Jacobian dari transformasi tersebut:∂(k 1 , k 2 )J(k 1 , k 2 ) =, (3.125)∣ ∂(p, K) ∣35


dapat dikerjakan hubungan:S(k ′ 1, k ′ 2, k 1 , k 2 ) = J −1/2 (k ′ 1, k ′ 2) J −1/2 (k 1 , k 2 ) S(p ′ , p) 〈K ′ |K〉= δ(K ′ − K) J −1/2 (k ′ 1, k ′ 2) J −1/2 (k 1 , k 2 ) S(p ′ , p)= δ(K ′ − K) J −1/2 (k ′ 1, k ′ 2) J −1/2 (k 1 , k 2 ){}× δ(p ′ − p) − 2πi δ(E P.M. ′ − E P.M. ) T (p ′ , p). (3.126)Dengan menggunakan hubungan:δ(K ′ − K) J −1/2 (k ′ 1, k ′ 2) J −1/2 (k 1 , k 2 ) δ(p ′ − p)= 〈 p ′ , K ′ ∣ ∣ J −1/2 (k ′ 1, k ′ 2) J −1/2 (k 1 , k 2 ) ∣ ∣ p, K〉= 〈k ′ 1, k 1 |k ′ 2, k 2 〉dan menggunakan identitas berikut:= δ(k ′ 1 − k 1 ) δ(k ′ 2 − k 2 ) , (3.127)δ(K ′ −K) δ(E ′ P.M.−E P.M. ) = δ(K ′ −K) δ(E ′ Lab.−E Lab. ) E′ P.M. + E P.M.E ′ Lab. + E Lab., (3.128)persamaan (3.126) menjadi:S(k ′ 1, k ′ 2, k 1 , k 2 ) = δ(k ′ 1−k 1 ) δ(k ′ 2−k 2 )−2πi δ(K ′ −K) δ(E ′ Lab.−E Lab. ) Γ T (p ′ , p)dengan:Γ ≡ J −1/2 (k ′ 1, k ′ 2) J −1/2 (k 1 , k 2 ) E′ P.M. + E P.M.ELab. ′ + E Lab.[E Lab.′ E 1 ′ P.M.=E′ 2 P.M.EP.M.′=E Lab.E 1 Lab. E 2 Lab.E 1 P.M. E 2 P.M.E P.M.(3.129)] 1/2E′P.M. + E P.M.] 1/2E1 ′ Lab. E′ 2 Lab.[ELab. ′ + E Lab.E 1 ′ P.M. E′ 2 P.M. E 1 P.M.E 2 P.M.E1 ′ Lab. E′ 2 Lab. E 1 Lab.E 2 Lab.. (3.130)Karena suku pertama dari matriks-S berasal dari gelombang datang, maka untukmenghitung penampang lintang diambil hanya suku kedua dari matriks-S, yangberasal dari gelombang terhambur.S (2) (k ′ 1, k ′ 2, k 1 , k 2 ) = −2πi δ(K ′ − K) δ(E ′ Lab. − E Lab. ) Γ T (p ′ , p) . (3.131)36


Dari bagian kedua dari matriks-S ini bisa didapatan besarnya probabilitas transisi,yaitu nilai absolutnya:∣∣S (2) (k ′ 1, k ′ 2, k 1 , k 2 ) ∣ ∣ 2 = (2π) 2 (δ(K ′ − K) δ(E ′ Lab. − E Lab. )) 2Γ2 ∣ ∣T (p ′ , p) ∣ ∣ 2 .(3.132)Fungsi delta pada persamaan (3.132) di atas dapat dievaluasi sebagai:δ(K ′ − K) δ(E Lab. ′ − E Lab. ) = 1 ∫∫dr e −i(K′ −K)·r 1dt e i(E′(2π) 3 Lab. −E Lab.)t(2π)sehingga persamaan (3.132) dapat ditulis menjadi:V= 1(2π) 4 V T (3.133)∣ S (2) (k ′ 1, k ′ 2, k 1 , k 2 ) ∣ ∣ 2 = (2π) −2 δ(K ′ − K) δ(E ′ Lab. − E Lab. ) Γ 2 ∣ ∣ T (p ′ , p) ∣ ∣ 2 V T .T(3.134)Laju transisi W dari keadaan awal (k 1 , k 2 ) ke keadaan akhir (k ′ 1, k ′ 2) per satuanvolume, ialah:W =∣ S (2) (k ′ 1, k ′ 2, k 1 , k 2 ) ∣ ∣ 2V T= (2π) −2 δ(K ′ − K) δ(E ′ Lab. − E Lab. ) Γ 2 ∣ ∣ T (p ′ , p) ∣ ∣ 2 . (3.135)Elemen fluks terhambur dengan keadaan akhir momentum (k ′ 1 ±dk ′ 1), (k ′ 2 ±dk ′ 2),yaitu banyaknya partikel yang terhambur dari keadaan (k 1 , k 2 ) ke keadaan akhirmomentum tersebut persatuan waktu dan volume, ialah:dN = W dk ′ 1, dk ′ 2= (2π) −2 δ(K ′ − K) δ(E ′ Lab. − E Lab. ) Γ 2 ∣ ∣ T (p ′ , p) ∣ ∣ 2 dk ′ 1, dk ′ 2 , (3.136)sedangkan fluks datang:j = 1(2π) 3 √(E1 Lab. E 2 Lab. − k 1 · k 2 ) 2 − (m 1 m 2 ) 2E 1 Lab. E 2 Lab.= 1(2π) 3 √(E1 Lab. m 2 ) 2 − (m 1 m 2 ) 2E 1 Lab. m 2= 1(2π) 3 k 1E 1 Lab., (3.137)37


dan densitas target j 0 = (2π) −3 , maka penampang lintang:dσ = dNj 0 j= (2π) 4 E 1 Lab.k 1δ(K ′ − K) δ(E ′ Lab. − E Lab. ) Γ 2 ∣ ∣ T (p ′ , p) ∣ ∣ 2 dk ′ 1, dk ′ 2 .(3.138)dk ′ 1 = k ′ 21 dk ′ 1 dˆk ′ 1 = E ′ 1 Lab. k ′ 1 dE ′ 1 Lab. dˆk ′ 1 (3.139)Karena keadaan akhir yang diamati hanya keadaan akhir partikel-1, maka penampanglintang diintegralkan terhadap seluruh keadaan akhir k ′ 2.dσ= (2π) 4 E ∫1 Lab.dk ′dˆk ′ 2 dE 1 ′ Lab. k 1 ′ E 1 ′ Lab. δ(K ′ − K)k11δ(E Lab. ′ − E Lab. ) Γ ∣ 2 ∣T (p ′ , p) ∣ 2= (2π) 4 E 1 Lab.k 1k ′ 1 E ′ 1 Lab. Γ 2 ∣ ∣T (p ′ , p) ∣ ∣ 2= (2π) 4 k′ 1k 1E 1 Lab. E ′ 1 Lab.= (2π) 4 k′ 1k 1(E 1 P.M. E 2 P.M. ) 2m 2 E ′ 2 Lab.(E 1 P.M. E 2 P.M. ) 2 ∣ ∣T (p ′E1 ′ Lab. E′ 2 Lab. E , p) ∣ 21 Lab.E 2 Lab.∣∣T (p ′ , p) ∣ 2 . (3.140)Maka penampang lintang diferensial yang dirata-ratakan terhadap spin, ialah:dσdˆk ′ 1= (2π) 4 k′ 1k 1(E 1 P.M. E 2 P.M. ) 2m 2 E ′ 2 Lab.12∑∣ Tij (p ′ , p) ∣ 2 . (3.141)Sebagai perbandingan, penampang lintang diferensial dalam kerangka Lab. untukperhitungan tanpa kinematika non-relativistik bisa didapatkan dengan cara sepertiyang telah dikerjakan pada perhitungan relativistik, yaitu persamaan (3.122-3.141), namun dengan memperhatikan bahwa:dan Jacobian transformasi ini:dan identitas:ij∵ |p| ≪ m ∴ E = m , (3.142)J(k ′ 1, k ′ 2) = J(k 1 , k 2 ) = 1 , (3.143)δ(K ′ − K)δ(E ′ P.M. − E P.M. ) = δ(K ′ − K)δ(E ′ Lab. − E Lab. ) (3.144)38


sehingga suku kedua dari matriks-S:S (2) (k ′ 1, k ′ 2, k 1 , k 2 ) = −2πiδ(K ′ − K)δ(E ′ Lab. − E Lab. ) T (p ′ , p) . (3.145)Laju transisi keadaan per-satuan volume ialah:Dengan fluks awal j:W = 1(2π) 2 δ(K′ − K)δ(E ′ Lab. − E Lab. ) ∣ ∣ T (p ′ , p) ∣ ∣ 2 . (3.146)maka penampang lintang differensial:j = 1(2π) 2 k 1m 1(3.147)dσ = (2π) 4 m 1k 1δ(K ′ − K)δ(E ′ Lab. − E Lab. ) ∣ ∣T (p ′ , p) ∣ ∣ 2 dk ′ 1dk ′ 2 (3.148)dimana:dk ′ 1 = k ′ 1 m 1 dE ′ 1 Lab. dˆk ′ 1 (3.149)Penampang lintang differensial untuk kerangka Lab. tanpa menggunakan kinematikarelativistik:dσdˆk ′ 1= (2π) 4 k′ 1k 1m 2 112∑∣ Tij (p ′ , p) ∣ 2 (3.150)ij39


Bab 4AplikasiDalam Bab sebelumnya telah diformulasikan teknik 3D untuk partikel berspin 0dan 1 , selanjutnya dalam bab ini kami tunjukan suatu contoh perhitungan proses2hamburan dengan menggunakan teknik 3D.4.1 PotensialDalam formulasi teknik 3D pada bab sebelumnya, telah ditentukan bentuk potensialyang akan digunakan. Untuk V c (r) dan V s (r) dari persamaan (3.20) kamimemilih bagian radial seperti yang digunakan Malfliet-Tjon [9] sebagai berikut:V (r) = −V ae −µrr+ V be −2µrr. (4.1)Dengan memasukan potensial di atas dalam persamaan (3.20), didapatkan potensialyang akan digunakan, yaitu:V (r) = −V cae −µ crr+ V cbe −2µ crr[e −µ sr+ − V sar]e −2µ sr+ V sb l · s . (4.2)rUntuk parameter potensial pada persamaan (4.2) kami gunakan nilai-nilai yangada dalam [9], sekedar sebagai contoh, sebagai berikut:V ca = 3.22 V cb = 7.39 µ c = 1.55 fm −1 (4.3)V sa = 2.64 V sb = 7.39 µ s = 0.63 fm −1 , (4.4)Dengan pemilihan parameter seperti di atas, kami juga dapat menguji hasil perhitungankami dengan perhitungan yang telah ada sebelumnya [1], untuk kasustanpa spin.40


Gambar 4.1: Potensial Malfliet-TjonPerhitungan dikerjakan dalam ruang momentum, sehingga dibutuhkan potensial(4.2) dalam ruang momentum. Untuk hal itu dilakukan transformasi Fourierterhadap persamaan (4.2), sehingga didapatkan potensial dalam ruang momentumseperti ditunjukan dalam persamaan (3.19), dengan:[]V c (p ′ , p) = 1 −V caV cb+(4.5)2π 2 (p ′ − p) 2 + µ 2 c (p ′ − p) 2 + 4µ 2 cdan:[]V s (p ′ , p) = i −V saπ 2 [(p ′ − p) 2 + µ 2 s] + V sb2 [(p ′ − p) 2 + 4µ 2 s] 2. (4.6)4.2 Hasil Dan DiskusiBentuk persamaan Lippmann-Scwhinger yang akan diselesaikan ialah persamaan(3.55). Sebagai langkah awal kami melakukan perhitungan tanpa memasukanspin. Hasil yang didapat dari perhitungan tanpa spin ini kemudian dibandingkandengan hasil perhitungan dalam Ref. [1]. Selanjutnya dilakukan perhitungandengan memasukan komponen spin. Sebagai pengujian terhadap perhitungan ini,kami membandingkannya dengan perhitungan sebelumnya (tanpa spin), denganterlebih dahulu memberikan nilai nol pada komponen spin dalam potensial (V s =0). Terakhir, kami masukan efek kinematika relavitas kedalam perhitungan.41


1.61.4Penampang Lintang Diferensial50 MeV300 MeV1 GeV1.21dσ/dΩ [barn]0.80.60.40.200 30 60 90 120 150 180θ Lab. [Degree]Gambar 4.2: Penampang Lintang Differensial Pada Beberapa Nilai EnergiMassa partikel yang digunakan dalam perhitungan adalah massa nukloen(938.919 MeV) untuk massa partikel berspin 1 , dan massa kaon (498 MeV) se-2bagai massa partikel berspin 0.Dalam perhitungan dilakukan variasi nilai energi, dari energi 10 MeV hinggaenergi 1 GeV, dengan penambahan 50 MeV untuk energi 10 MeV sampai 500MeV, dan penambahan 100 MeV untuk energi lebih tinggi.Hasil yang kami tampilkan adalah penampang lintang differensial dan polarisasidalam kerangka laboratorium. Gambar (4.2) memperlihatkan penampanglintang differensial, sedangkan Gambar (4.3) memperlihatkan polarisasi, untukenergi 50 MeV, 300 MeV dan 1 GeV. Dapat dilihat bahwa semakin besar energi,penampang lintang semakin dominan pada sudut-sudut kecil, hal ini menunjukanbahwa semakin besar energi, kecenderungan partikel dihamburkan pada sudutmaju (forward angle) semakin tinggi.42


0.40.3Polarisasi50 MeV300 MeV1 GeV0.20.1Polarisasi0-0.1-0.2-0.3-0.40 30 60 90 120 150 180θ Lab. [Degree]Gambar 4.3: Polarisasi Pada Beberapa Nilai EnergiSelanjutnya kami tampilkan hasil yang membandingkan perhitungan nonrelativistikdan perhitungan relativistik.Kami tampilkan penampang lintangdifferensial dan polarisasi. Selain itu, kami juga menampilkan komponen:I 0 = 1 ∑∣ Tij (p ′ , p) ∣ 2 (4.7)2ijdan komponen faktor ruang fase (phase space factor) dari penampang lintangdifferensial, untuk menunjukan bagaimana efek kinematika relativistik mempengaruhihasil perhitungan baik melalui nilai matriks-T maupun faktor ruang fase.Sesuai persamaan (3.141), faktor ruang fase ialah:Π rel = k′ 1 (E 1 P.M. E 2 P.M. ) 2, (4.8)k 1 m 2 E2 ′ Lab.untuk perhitungan relativistik. Sedangkan untuk perhitungan non-relativistik,sesuai dengan persamaan (3.150), faktor ruang fase ialah:Π nonrel = k′ 1k 1m 2 1 . (4.9)Dengan menampilkan perbandingan I 0 dan Π diharapkan dapat dilihat bagaimanaefek kinematika relativistik terhadap masing-masing komponen.43


Hasil yang ditampilkan mula-mula adalah hasil pada energi rendah (30 MeV),ditunjukan pada gambar(4.4) untuk penampang lintang dan gambar(4.5) untukpolarisasi. Untuk polarisasi tidak tampak efek kinematika relativistik, sementarauntuk penampang lintang terdapat efek kinematika relativistik, paling besar∼ 6% pada hamburan sudut kecil. Perbedaan pada kedua penampang lintangtersebut diakibatkan oleh perbedaan nilai faktor ruang fase, seperti ditunjukkandalam gambar(4.7). Pada energi 30 MeV ini tidak ada perbedaan dalam I 0 sepertiditunjukkan dalam gambar(4.6).Selanjutnya ditampilkan hasil pada energi 100 MeV, gambar(4.8) untuk penampanglintang dan gambar(4.9) untuk polarisasi. Pada energi ini efek kinematikarelativistik mulai muncul pada polarisasi meskipun kecil. Untuk penampanglintang, selisih terbesar pada sudut kecil yaitu ∼ 18%, yang diakibatkanoleh perbedaan nilai faktor ruang fase, seperti ditunjukan pada gambar (4.11).Gambar (4.10) menunjukan bahwa pada energi 100 MeV mulai ada perbedaanuntuk I 0 . Perbedaan itu berupa pergeseran ke arah sudut yang lebih kecil.Berikutnya gambar (4.12) dan gambar (4.13) menunjukan efek kinematikarelativistik untuk penampang lintang dan polarisasi pada energi 300 MeV. Padaenergi ini tampak semakin jelas adanya pergeseran ke arah sudut lebih kecil, baikuntuk penampang lintang maupun polarisasi. Untuk penampang lintang selainpergeseran terdapat juga perbedaan tinggi kurva yang semakin besar, yaitu maksimum∼ 42% pada sudut hambur kecil. Perbedaan ini ditimbulkan oleh perbedaannilai faktor ruang fase, seperti ditunjukan dalam gambar (4.15), sementaraI 0 mengakibatkan pergeseran ke arah sudut lebih kecil, seperti yang ditunjukkanpada gambar (4.14). Sampai disini dapat dilihat bahwa efek kinematika relativistikpada faktor ruang fase hanya bersifat menambah nilai penampang lintang,sementara pada I 0 mengakibatkan pergeseran ke arah sudut lebih kecil.Terakhir kami tampilkan hasil pada energi 1 GeV, yaitu penampang lintangpada gambar (4.16), polarisasi pada gambar (4.17), I 0 pada gambar (4.18 danfaktor ruang fase pada gambar (4.19). Seperti telah diduga sebelumnya, efekkinematik relativistik makin berarti pada energi yang makin tinggi.44


1.61.4Penampang Lintang Pada Energi Lab. 30 MeVnon-relrel1.21dσ/dΩ [barn]0.80.60.40.200 30 60 90 120 150 180θ Lab. [Degree]Gambar 4.4: Penampang lintang differensial pada energi Lab. 30 MeV0.40.3Polarisasi Pada Energi Lab. 30 MeVnon-relrel0.20.1Polarisasi0-0.1-0.2-0.3-0.40 30 60 90 120 150 180θ Lab. [Degree]Gambar 4.5: Polarisasi pada energi Lab. 30 MeV45


0.25I 0 Pada Energi Lab. 30 MeVnon-relrel0.20.15I 00.10.0500 30 60 90 120 150 180θ Lab. [Degree]Gambar 4.6: I 0 pada energi Lab. 30 MeV76.5Faktor Ruang Fase Pada Energi Lab. 30 MeVnon-relrel65.554.5Π43.532.521.50 30 60 90 120 150 180θ Lab. [Degree]Gambar 4.7: Faktor Ruang Fase pada energi Lab. 30 MeV46


21.8Penampang Lintang Pada Energi Lab. 100 MeVnon-relrel1.61.4dσ/dΩ [barn]1.210.80.60.40.200 30 60 90 120 150 180θ Lab. [Degree]Gambar 4.8: Penampang lintang differensial pada energi Lab. 100 MeV0.40.3Polarisasi Pada Energi Lab. 100 MeVnon-relrel0.20.1Polarisasi0-0.1-0.2-0.3-0.40 30 60 90 120 150 180θ Lab. [Degree]Gambar 4.9: Polarisasi pada energi Lab. 100 MeV47


0.25I 0 Pada Energi Lab. 100 MeVnon-relrel0.20.15I 00.10.0500 30 60 90 120 150 180θ Lab. [Degree]Gambar 4.10: I 0 pada energi Lab. 100 MeV87Faktor Ruang Fase Pada Energi Lab. 100 MeVnon-relrel65Π43210 30 60 90 120 150 180θ Lab. [Degree]Gambar 4.11: Faktor Ruang Fase pada energi Lab. 100 MeV48


3Penampang Lintang Pada Energi Lab. 300 MeVnon-relrel2.52dσ/dΩ [barn]1.510.500 30 60 90 120 150 180θ Lab. [Degree]Gambar 4.12: Penampang lintang differensial pada energi Lab. 300 MeV0.40.3Polarisasi Pada Energi Lab. 300 MeVnon-relrel0.20.1Polarisasi0-0.1-0.2-0.3-0.40 30 60 90 120 150 180θ Lab. [Degree]Gambar 4.13: Polarisasi pada energi Lab. 300 MeV49


0.25I 0 Pada Energi Lab. 300 MeVnon-relrel0.20.15I 00.10.0500 30 60 90 120 150 180θ Lab. [Degree]Gambar 4.14: I 0 pada energi Lab. 300 MeV1211Faktor Ruang Fase Pada Energi Lab. 300 MeVnon-relrel10987Π6543210 30 60 90 120 150 180θ Lab. [Degree]Gambar 4.15: Faktor Ruang Fase pada energi Lab. 300 MeV50


54.5Penampang Lintang Pada Energi Lab. 1 GeVnon-relrel43.5dσ/dΩ [barn]32.521.510.500 30 60 90 120 150 180θ Lab. [Degree]Gambar 4.16: Penampang lintang differensial pada energi Lab. 1 GeV0.40.3Polarisasi Pada Energi Lab. 1 GeVnon-relrel0.20.1Polarisasi0-0.1-0.2-0.3-0.40 30 60 90 120 150 180θ Lab. [Degree]Gambar 4.17: Polarisasi pada energi Lab. 1 GeV51


0.180.16I 0 Pada Energi Lab. 1 GeVnon-relrel0.140.120.1I 00.080.060.040.0200 30 60 90 120 150 180θ Lab. [Degree]Gambar 4.18: I 0 pada energi Lab. 1 GeV30Faktor Ruang Fase Pada Energi Lab. 1 GeVnon-relrel2520Π1510500 30 60 90 120 150 180θ Lab. [Degree]Gambar 4.19: Faktor Ruang Fase pada energi Lab. 1 GeV52


Bab 5Kesimpulan Dan SaranTelah kami formulasikan teknik 3D untuk hamburan partikel berspin 1 dan 0.2Teknik 3D menggunakan basis state momentum-helicity, oleh karena itu pekerjaanini dimulai dengan mendefinisikan basis momentum-helicity yang akan digunakan.Selanjutnya, dengan basis momentum-helicity tersebut, kami selesaikanpersamaan Lippmann-Schwinger untuk matriks-T. Pada mulanya kamimendapatkan jumlah persamaan Lippmann-Schwinger yang harus diselesaikanuntuk berbagai keadaan spin awal dan spin akhir serta keadaan paritas, ialah 8persamaan. Namun dengan sifat simetri elemen matriks-T, jumlah persamaanLippmann-Schwinger yang harus diselesaikan dapat dikurangi menjadi 2 persamaan,yaitu 1 persamaan untuk setiap keadaan paritas.Dengan teknik 3D ini, maka tidak lagi dibutuhkan dekomposisi gelombangparsial dalam menyelesaikan persamaan Lippmann-Schwinger. Hal ini menjadikanteknik 3D cocok untuk hamburan dengan energi tinggi, dimana dekomposisigelombang parsial tidak lagi efisien karena besarnya jumlah persamaan yangharus diselesaikan. Namun pada energi tinggi efek relativistik perlu diperhitungkandalam formulasi. Dalam pekerjaan ini efek relativistik diselidiki sebatasdengan memasukan efek kinematika relativistik dalam perhitungan.Dengan formulasi yang telah dikerjakan, kami melakukan perhitungan untukberbagai nilai energi. Kami membandingkan hasil perhitungan dengan kinematikanon-relativistik dan hasil perhitungan dengan kinematika relativistik, untukmenunjukan pengaruh efek kinematika relativistik pada berbagai energi. Perbandingankuantitatif hasil perhitungan dengan data eksperimen tidak dapat53


kami lakukan, karena potensial yang kami gunakan dalam pekerjaan ini adalahpotensial spin-orbit sederhana. Kami mengharapkan dapat melanjutkan pekerjaanini dengan menggunakan potensial realistik, yang sesuai dengan hamburanyang akan dihitung.54


Lampiran ABasis Gelombang ParsialBasis gelombang parsial didefinisikan sebagai:∫|plm l 〉 ≡ dˆp |p〉 Y lml (ˆp) . (A.1)Apabila basis vektor momentum diekspansi ke dalam basis gelombang parsial,didapatkan:|p〉 = ∑ lm l|plm l 〉 Y ∗lm l(ˆp)Basis gelombang parsial memiliki sifat orthogonalitas sebagai berikut:∫〈p ′ l ′ m ′ l|plm l 〉 = dˆp 〈p ′ |p〉 Y ∗l ′ m (ˆp)Y ′ lml l(ˆp)dan completeness relation:∑lm l∫ ∞Proyeksi |p〉 pada |plm l 〉 ialah:0= δ(p − p′ )p ′ pδ ll ′δ ml m ′ l(A.2), (A.3)dp p 2 |plm l 〉 〈plm l | = 1 . (A.4)〈plm l |p ′ 〉 = 〈plm l | ∑ l ′ m ′ l|p ′ l ′ m ′ l〉 Y ∗l ′ m ′ l (ˆp′ )= ∑ l ′ m ′ l〈plm l |p ′ l ′ m ′ l〉 Y ∗l ′ m ′ l (ˆp′ )= δ(p − p′ )Y ∗pp ′ lm l(ˆp ′ ) . (A.5)55


Dalam ruang konfigurasi ekspansi fungsi gelombang bidang dalam eigenstatemomentum angular, yaitu:〈r|p〉 =eip·r(2π) 3/2 ≡ √2π∑lm li l j l (pr)Y lml (ˆr)Y ∗lm l(ˆp)(A.6)Maka, representasi |plm l 〉 dalam ruang konfigurasi ialah:∫〈r|plm l 〉 = dq 〈r|q〉 〈q|plm l 〉∫ ∞ ∫= dq q 2 δ(p − q)dˆq 〈r|q〉 Y lml (ˆq)0pq√2 ∑∫= i l′ j l ′(pr) Y lπ′ m ′(ˆr) ll ′ m ′ ldˆq Y ∗l ′ m ′ l (ˆq)Y lm l(ˆq)} {{ }δ ll ′δ ml m ′ l=√2π il j l (pr) Y lml (ˆr) (A.7)Komponen spin dimasukan dalam perhitungan dengan menambahkan keadaanspin total, dalam hal ini 1 2 , ∣ ∣ 12 λ〉 pada keadaan gelombang parsial.|plm l 〉 ∣ ∣ 12 , λ〉 , (A.8)dengan λ = ± 1 merupakan bilangan kuantum magnetik spin. Karena basis (A.8)2hanya merupakan hasil perkalian sederhana dari dua vektor basis yang masingmasingbersifat orthogonal, maka basis (A.8) bersifat orthogonal.〈 12 λ′∣ ∣ 〈p ′ l ′ m ′ l|plm l 〉 ∣ ∣ 12 λ〉 = δ(p′ − p)pp ′ δ ll ′ δ ml ,m ′ l δ λ ′ ,λ . (A.9)Completeness relation untuk basis (A.8) yaitu:∑lm l λ∫ ∞0dp p 2 |plm l 〉 ∣ ∣ 12 λ′〉 〈 12 λ∣ ∣ 〈plml | = 1 (A.10)Selain basis pada persamaan (A.8) di atas, dapat pula dibentuk basis yangmerupakan eigenstate dari operator momentum angular total. Mometum angulartotal ialah penjumlahan momentum angular l dan spin:J = l + s , (A.11)56


yang proyeksinya pada arah sumbu-z:Maka dapat dibentuk basis:m = m l + λ . (A.12)∣ p(l12 ); jm〉 . (A.13)Hubungan basis (A.13) ini dengan basis (A.8) di atas ialah sebagai berikut∣ p(l12 ); jm〉 = ∑ λC(l 1 2 j; m − λ, λ) |plm − λ〉 ∣ ∣ 12 λ〉 . (A.14)Dengan hubungan (A.14) didapatkan ortogonalitas dari basis (A.13) ialah :〈p ′ (l ′ 1); 2 j′ m ′ |p(l 1 ); jm〉2= ∑ λ ′ λ= ∑ λC(l ′ 1 2 j′ ; m ′ − λ ′ , λ ′ )C(l 1 2 j; m − λ, λ) 〈 12 λ| 1 2 λ′〉 〈plm − λ|p ′ l ′ m ′ − λ ′ 〉C(l 1 2 j′ ; m − λ, λ)C(l 1 2 j; m − λ, λ) δ(p′ − p)pp ′ δ ll ′δ m ′ m , (A.15)dengan menggunakan sifat koefisien Clebsch-Gordan berikut [8] :∑m 1 m 2C(j 1 j 2 j; m 1 m 2 m)C(j 1 j 2 j ′ ; m 1 m 2 m ′ ) = δ j ′ j δ m ′ m(A.16)didapatkan :〈p ′ (l ′ 1 2 ); j′ m ′ |p(l 1 2 ); jm〉 = δ(p′ − p)pp ′ δ jj ′δ mm ′δ ll ′ . (A.17)Sedangkan untuk mencari completness relation dari basis (A.13) digunakan completnessrealtion (A.10) dan sifat koefisien Clebsch-Gordan berikut [8] :sehingga didapatkan :∑ljm∫ ∞0= ∑ ljm∑|C(j 1 j 2 j; m 1 m 2 m)| 2 = 1 , (A.18)jmdp p 2 ∣ ∣ p(l12 ); jm〉 〈 p(l 1 2 ); jm∣ ∣∑λ∫ ∞0dp p 2 C(l 1 2 j; m − λ, λ)2 |plm − λ〉 ∣ ∣ 12 λ〉 〈 12 λ∣ ∣ 〈plm − λ|= 1 . (A.19)57


Lampiran BMatriks RotasiState helicity merupakan hasil rotasi state spin kearah vektor momentum:|ˆpλ〉 = R(ˆp) |ẑλ〉= ∑ λ ′ 〈ẑλ ′ |R(ˆp)| ẑλ ′ 〉 |ẑλ ′ 〉= ∑ 12Dλ ′ λ (ˆp) |ẑλ′ 〉 , (B.1)λ ′dengan matriks rotasi:dan matriks-D Wigner:R(ˆp) = e −iS zφ e −iS yθ(B.2)12Dλ ′ λ (ˆp) ≡ 〈ẑλ′ |R(ˆp)| ẑλ ′ 〉= 〈 ẑλ ′ ∣ ∣ e−iS zφ e −iSyθ∣ ∣ ẑλ ′〉1= e −iλ′φ 2dλ λ(θ) . (B.3)12Pada (B.3) matriks-dλ λ(θ), yaitu [8]:⎛1cos θ2dλ λ (θ) = 2 − sin θ ⎞2⎜⎝sin θ cos θ ⎟⎠2 2. (B.4)Dengan operasi paritas maka:12D1λ ′ λ (ˆp) → D 2λ ′ λ (−ˆp)(B.5)58


Operasi paritas mengakibatkan φ → φ + π, dan θ → π − θ, maka:e −iλ′ (φ+π) = (−) −λ′ e −iλ′ φ(B.6)dan:⎛sin θλ ′ λ (π − θ) = 2⎜⎝12d⎞− cos θ 2⎟⎠ = (−) 1 2 +λ′12dλ ′ ,−λ (θ)(B.7)cos θ 2sin θ 2sehingga:12Dλ ′ λ (−ˆp) = (−)−λ′ e −iλ′φ (−) 1 2 +λ′= (−) 1 12 e −iλ′φ 2d12= i Dλ ′ −λ (ˆp)λ ′ ,−λ (θ)12dλ ′ ,−λ (θ)(B.8)dengan i = √ −1.59


Lampiran CTransformasi PotensialDalam Bab 3.2 telah ditentukan bentuk potensial yang digunakan. Sesuai denganpersamaan (3.19), potensial yang akan digunakan ialah:V (p ′ , p) = V c (p ′ , p) + V s (p ′ , p) s · (p × p ′ ) , (C.1)yang kemudian ditransformasi ke bentuk persamaan (3.24) melalui hubungan(3.23). Lebih jelas mengenai hubungan ini ialah:s = 1 2 σ , (C.2)dengan σ adalah matriks pauli, yang memenuhi hubungan komutasi:dan hubungan anti-komutasi:[σ i , σ j ] = 2iɛ ijk σ k , (C.3){σ i , σ j } = 2δ ij . (C.4)Dengan sifat komutasi dan anti-komutasi di atas, bisa didapatkan hubungan:(σ · p ′ )(σ · p) = ∑ j= ∑ jk= ∑ jk∑σ j p ′ j σ k p kk()1{σ 2 j, σ k } + 1[σ 2 j, σ k ](δ jk + iɛ jkl σ l)p ′ jp kp ′ j p k= p ′ · p + iσ · (p ′ × p) . (C.5)60


Sehingga:s · (p × p ′ ) = − 1 σ · 2 (p′ × p)= −i {p′ · p − (σ · p ′ )(σ · p) } (C.6)2Potensial yang ditentukan pada Bab 4 adalah potensial dengan fungsi radialmengambil bentuk Malfliet-Tjon [9]:V (r) = V c (r) + V s (r) l · s[ ] [e −µcr e −2µcre −µsr= − V ca + V cb + − V sar rr]e −2µsr+ V sb l · s . (C.7)rPotensial ini akan ditransformasi ke ruang momentum dengan transformasi Fouriersebagai berikut:V c (p ′ , p) = 1(2π) 3 ∫= 1 ∫ ∞(2π) 30dr V c (r)e −i(p′ −p)·r∫ 1dr r 2 V c (r)= 1 ∫ ∞dr r 2 V(2π) 3 c (r)0= 1 ∫ ∞(2π) 20= 1 ∫ ∞2π 20−1∫ 1−1∫ 2πd cos θ dφe −i(p′ −p)·r0d cos θ e −i|p′ −p|r cos θdr r 2 V c (r) ei|p′ −p|r − e −i|p′ −p|ri|p ′ − p|rdr r 2 V c (r) sin(|p′ − p|r)|p ′ − p|∫ 2π= 1 ∫ ∞dr r (−V2π 2 ca e −µ cr + V cb e −2µ cr ) sin(|p′ − p|r)0|p ′ − p|[]= 1 −V caV cb+2π 2 (p ′ − p) 2 + µ 2 c (p ′ − p) 2 + 4µ 2 cSedangkan untuk V s (p ′ , p) digunakan hubungan:V s (p ′ , p) = 1(2π) 3 ∫l · s = (r × p) · s = (p × s) · r= 1(2π) 3 ∫dr V s (r)(l · s)e −i(p′ −p)·rdr V s (r)(p × s) · re −i(p′ −p)·r0dφ(C.8)(C.9), (C.10)Karena sebelumnya telah dipilih bahwa arah ẑs pada arah p ′ − p, sehingga:(p ′ − p) · r = |p ′ − p|r cos θ (C.11)61


Dengan mendefinisikan θ ps dan φ ps sebagai sudut polar dan sudut azimuth darivektor p × s, maka:V s (p ′ , p) = 1 ∫ ∞(2π) |p × s| 3∫ 2π0dφ0∫ 1dr r 3 V s (r) d cos θ e −i|p′ −p|r cos θ−1][cos θ ps cos θ + sin θ ps sin θ cos(φ ps − φ)= 1(2π) |p × s| cos θ 2 ps= (p × s) z(2π) 2= i(p × s) z2π 2∫ ∞0∫ ∞0∫ ∞0dr r 3 V s (r)= −iπ (p × s) z|p ′ − p|2[= iπ 2 s · (p × p′ )∫ 1dr r 3 V s (r)∫ 1−1−1d cos θ cos θe −i|p′ −p|r cos θd cos θ cos θe −i|p′ −p|r cos θ[ cos(|pdr r 3 ′ − p|r)V s (r)|p ′ − p|r[−V sa[(p′ − p) 2 + µ s] 2 2+−V sa[(p′ − p) 2 + µ 2 s] 2+Baris terakhir didapatkan dengan menggunakan hubungan:(p × s) z = (p × s) · (p′ − p)|p ′ − p|1=|p ′ − p| s · [(p ′ − p) × p ]1=|p ′ − p| s · (p′ × p)− sin(|p′ − p|r)](|p ′ − p|r) 2]V sb[ ](p′ − p) 2 + 4µ 2 2s]V sb[ ](p′ − p) 2 + 4µ 2 2. (C.12)s= −1|p ′ − p| s · (p × p′ ) (C.13)Dengan hubungan (C.6) bisa didapatkan:[]V s (p ′ , p) = 1 −V saV { }sb2π 2 [(p′ − p) 2 + µ s] 2 2+ [(p′ − p) 2 + 4µ s] 2 2p ′ ·p−(σ ·p ′ )(σ ·p)(C.14)62


Lampiran DPenyelesaian NumerikD.1 IntegrasiDalam menyelesaikan persamaan Lippmann-Schwinger terdapat integral dalamtiga variable p ′′ , θ ′′ , dan φ ′′ . Maka untuk menyelesaikan persamaan Lippmann-Schwinger secara numerik dibutuhkan metode integrasi numerik atau kuadratur.Metode integrasi numerik yang kami gunakan ialah kuadratur Gauss-Legendre.Apabila suatu integral I:I =∫ badx f(x) , (D.1)akan kita kerjakan menggunakan kuadratur Gauss-Legendre, maka integral tersebutharus dipetakan kedalam batas [−1, 1].I =∫ ba= ∑ idx f(x) =∫ 1w i f(x i ) = ∑ i−1dy dxdy f(y)v i ( dxdy ) i f(y i )(D.2)dimana x i dan y i adalah titik-titik integrasi sedangkan w i dan v i adalah pemberat.Pemetaan dari [a, b] → [−1, 1] dapat dilakukan secara linier:x i = b − a2 y i + b + a2w i = 1 2 (b − a)v i .(D.3)63


Pemetaan ini digunakan dalam integrasi φ ′′ . Lebih lanjut mengenai integral φ ′′ ,batas integrasi [0:2π] dapat diubah ke [0: π 2 ] melalui:I ===∫ 2π0∫ π0∫ π/20dφ ′′ f(cos φ ′′ )e imφ′′{}dφ ′′ f(cos φ ′′ )e imφ′′ + f(− cos φ ′′ )e im(φ′′ +π)()()dφ{f(cos }′′ φ ′′ ) e imφ′′ + e im(2π−φ′′ )+ f(− cos φ ′′ ) e im(φ′′ +π) + e im(π−φ′′ )(D.4)dengan hubungan ini maka jumlah titik integrasi dapat dikurangi. Kami dapatkanjumlah titik integrasi 10 titik cukup memadai.Untuk Integrasi terhadap θ ′′ , batas integrasi adalah [-1,1], karena varible integrasiadalah cos θ ′′ , maka tidak dibutuhkan pemetaan terhadap kuadratur. Jumlahtitik kuadratur untuk θ, kami gunakan 24 titik.Untuk integrasi terhadap p ′′ integrasi akan dibatasi pada suatu nilai pm, yangnilainya kami tentukan sebesar 8 × p 0 . Integrasi ini kami bagi menjadi dua domain,[0:2p 0 ] dan [2p 0 :pm], yaitu daerah momentum kecil dan daerah momentumtinggi. Pembagian ini dilakukan karena diinginkan jumlah titik integrasi lebihbanyak pada daerah momentum kecil dimana matriks T lebih berarti.Batas2p 0 dimaksudkan agar nilai momentum awal berada ditengah domain pertama.Pada domain pertama digunakan pemetaan hiperbolik agar titik integrasi lebihterkonsentrasi ditengah (nilai p 0 ).x i = p 0 (1 + y i ) w i = p 0 v i , (D.5)sedangkan untuk [0:2p 0 ] digunakan pemetaan linier. Jumlah titik kuadratur untukp”, kami gunakan 40 titik.D.2 Eliminisasi SingularitasPersamaan Lippmann-Schwinger merupakan persamaan kompleks karena terdapatbilangan imajiner ɛ, yang nilainya kecil (ɛ ≈ 0). Oleh karena hal itu, kamimenggunakan Cauchy Principal Value:1limɛ→0 x + iɛ = P x64− iπδ(x) . (D.6)


Integral dari Cauchy Principal Value:I =∫ ∞0dx P x2 f(x)a 2 − x 2 , (D.7)dimana integral ini mempunyai titik singular pada a = x. Masalah singularitasini dapat diatasi dengan teknik subtraksi sebagai berikut:I =∫ ∞0∫dx P x2 f(x) ∞a 2 − x − 20dx a2 f(a)a 2 − x 2(D.8)Suku kedua dari integral di atas bernilai 0. Integral di atas tidak lagi mempunyaititik singular, karena pada x = a, numerator integral bernilai nol.I =∫ ∞0dx x2 f(x) − a 2 f(a)a 2 − x 2(D.9)Untuk integrasi p ′′ , integral tidak dikerjakan sampai ∞, tapi ditentukan sampaisuatu nilai batas M, maka:I ===∫ M0∫ M0∫ M0∫dx P x2 f(x) ∞a 2 − x − 2dx P x2 f(x)a 2 − x 2 − ∫ Mdx x2 f(x) − a 2 f(a)a 2 − x 200dx a2 f(a)a 2 − x 2∫dx a2 f(a) ∞a 2 − x − dx a2 f(a)2 M a 2 − x 2− 1 ( ) M − a2 a f(a) ln M + a(D.10)D.3 Persamaan Lippmann-SchwingerIntegral dalam persamaan Lippmann-Schwinger persamaan (3.55) yaitu:∫ 1I = limɛ→0−1dα ′′ ∫ ∞0p ′′2 V λdp ′′ λ ′ 1 (p ′ , p ′′ , α ′ , α ′′ ) T 1π , p, α ′′ )22 λ(p′′p 2 − p ′′2 + iɛ(D.11)Setelah titik singular dieliminasi:I =∫ 1−1[ ∫ pm− dp{ ∫ pm p ′′2 V λπdα ′′ dp ′′ λ ′ 1 (p ′ , p ′′ , α ′ , α ′′ ) T 1π , p, α ′′ )2 2 ,λ(p′′p 2 − p ′′200pp 2 − p + 1 pm − pln ′′2 2 pm + p + 1 ]2 iπ pV λπλ ′ 1 (p ′ , p, α ′ , α ′′ ) T 1π ,λ(p, p, α′′ )2 2}(D.12)65


Selanjutnya integral di atas dikerjakan secara numerik menggunakan kuadraturGauss-Legendre. Digunakan konvensi simbol :• p ′ = p i • p ′′ = p j • p = p 0 • α ′ = α a • α ′′ = α bIntegral di atas menjadi :nθ np∑ ∑I =b=1j=0w b[¯δ j0w j p 2 j−δp 2 0 − p 2 j0 p 0 Dj]V λπλ ′ 1 2(p i , p j , α a , α b ) T π 12 ,λ(p j, α b ) , (D.13)dengan:D ≡[ ∑kw k p 0p 2 0 − p 2 j]+ 1 ( pm −2 ln p0)+ 1 pm + p 0 2 iπ(D.14)Sehingga persamaan Lippmann-Schwinger menjadi:Tλ π ,λ(p ′ i , α a ) = 12π Vπ λ λ(p ′ i , p 0 , α a , 1)+ 2µ ∑ [w j pw b¯δ 2 jj0p 2 b,j0 − p 2 j− δ j0 p 0 D]V λπλ ′ 1 (p i , p j , α a , α b ) T π λ, 1 (p j , α b )2 2(D.15)V π λ ′ ,λ(p i , p 0 , α a , 1) = 2π ∑ b,j{δ ji δ ba − 2µ w b[¯δ j0w j p 2 jp 2 0 − p 2 j− δ j0 p 0 D]}V λ λ ′ 1 (p i , p j , α a , α b )2× Tλ π ,λ(p ′ j , α b ) (D.16)Dengan mendefinisikan matriks A ia,jb , persamaan diatas bisa disusun menjadisistem persamaan linier yang memenuhi :∑A ia,jb Tλ π ,λ(p ′ j , α b ) = Vλ π ,λ(p ′ i , p 0 , α a , 1)(D.17)b,jA ia,jb ≡ 2π{δ ji δ ba − 2µ w b[¯δ j0w j p 2 jp 2 0 − p 2 j− δ j0 p 0 D]}V λπλ ′ , 1 (p i , p j , α a , α b )2(D.18)dengan matriks A ia,jb adalah matriks yang berukuran (n p × n θ ) 2 , dimana n p dann θ jumlah titik integrasi p ′′ dan θ ′′ . Untuk menyelesaikan sistem persamaan linierdi atas, kami gunakan metode dekomposisi LU [10].66


Daftar Acuan[1] Ch. Elster, J. H. Thomas dan W. Glöckle, Few-Body Systems, 24 (1998) 55.[2] R. A. Rice dan Y. E. Kim Few-Body Systems 14 (1993) 127[3] I. Fachruddin, Ch. Elster dan W. Glöckle, Phys. Rev. C63 (2000) 0504003.[4] R. Fong dan J. Sucher, J. Math. Phys. 5 (1964) 456.[5] E. Merzbacher, Quantum Mechanics (Addison-Wesley, 1958).[6] W. Glöckle, The Quantum Mechanical Few-Body Problem (Springer Verlag,Berlin,1983).[7] I. Fachruddin, PhD thesis, Ruhr University-Bochum, (2003).[8] M. E. Rose, Elementary Theory of Angular Momentum (Wiley, New York,1957).[9] R. A. Malfliet dan J. A. Tjon Nuc. Phys. A127 (1969) 161[10] W. H. Press, et. al. Numerical Recipes In Fortran (Cambridge UniversityPress, New York, 1992).67

More magazines by this user
Similar magazines