Bab-6b. Optika Fourier

• Karena F(k) adalah fungsi kompleks :F(k) = A(k) + iB(k)A(k) bagian riil dari F(k) dan B(k) bagian imajinernya.• Dalam bentuk amplitudo dan fasa :F( ) ( )i ( k )k = F k eφ• Invers Fourier Transformf(x) = Y -1 { F(k)} = Y -1 {Y {f(k)}}• FT untuk fungsi waktu, f (t) → f(ω)f+∞( t) = F( ω) e−iωtdω; F( ω) = f ( t) eiωtdt∫−∞+∞∫−∞

Contoh :Campuran fungsi(komposit) dan FTnya

Fungsi Gauss (Distribusi Gauss 1D)f( )2−axx = C e ; C = π / aFT-nya :F+∞( ) ( ) ( )−axikx−ax+ ikxk = C e e dx = C e∫2+∞∫2dx−∞−∞==CaCaee−k−k22/ 4a/ 4a+∞∫−∞eπ−β2dβ; β =xa−ik/2a=e−k2/ 4a

FTFungsi Gauss (a) dan FT-nya (b)

2. FT 2DfF1, =2π( x y)( 2 )F( ) k , k = f ( x,y)xy+∞ +∞∫ ∫−∞ −∞+∞ +∞∫ ∫−∞ −∞( )−i( k x k y )k k ex +,yexiy( kxx+k y y )dx dydkxdkydengan kx dan ky adalah frekuensi sudut ruang(angular spatial frequencies) dari sumbu-x dansumbu-y

FT Fungsi Silindrisf( x,y)=⎪⎧1⎨⎪⎩ 0;;xx22++yy22≤>aaa1f ( x,y)kkxyxy==kkαα= r cos= r sindx dy =cossinθθααr dr dθxy

Fourier Transform-nyaFa 2π⎡⎤, α ∫ ⎢ ∫ dθ⎥r= 0 ⎣θ= 0 ⎦( )ikαr cos( θ −α)k = eαr drKarena fungsinya simetris, maka FT-nya jugasimetris, sehingga F(k α ,α) tidak bergantung pada α.FJ( k )α==( k r)αa2π2π∫ ⎢∫0⎡⎣a∫00eJik0αr cosθ⎤dθ⎥ r dr⎦( k r) r dr0 Fungsi Bessel orde-nolα

Definisikan :w= k r → dr = kαα−1dwFα1= ∫ 2k( k ) J ( w)α==k2πk2kα2πaaα w=02α⎡⎢⎣0a JJ1( k a)( k a) ⎤⎥⎦k1ααawdwα

1. LENSAAPLIKASI DALAM OPTIKDifraksi cahaya oleh celah sempit transparanmelalui sebuah lensa konvergen membentuk poladifraksi pada layar (titik fokus lensa).

Distribusi medan listrik dari celah (fungsi apertur)ditransformasi oleh lensa menjadi pola difraksi.Jika celah/objek memiliki kerapatan yang hanyabervariasi sepanjang satu sumbunya, maka profiletransmisinya adalah segitiga.(a). Fungsi segitiga, dan (b) Transformasi Fourier-nya

FUNGSI DELTA DIRAC• Banyak fenomena fisis terjadipada durasi yang sangatpendek. Sehingga diperlukanfungsi Delta-Dirac• Contoh : bagaimana responrangkaian tertentu berperilakujika diberi input arussingkat/pulsa.δ+∞∫−∞( x)δ=⎧0⎨⎩∞;;x( x) dx = 1x≠=00+∞∫−∞δ( x − x ) f ( x) dx = f ( )0x 0

• Bentuk kompleks fungsi Delta-DiracδY( x)=12π+∞∫−∞e−ikxdk+∞{ ( )} ∫ ( )δ x − x = δ x − x00−∞=12π+∞∫−∞eeikxikxdkdkFOURIER TRANSFORM dapat merubah sinyaldiskrit (spektrum) menjadi kontinu atausebaliknya dengan fungsi Delta-Dirac.

Contoh : 1. Fungsi Cosinus dan SinusFTf( x) δ ( x − x )= ∑= δjj[ x − ( + d / 2)] + δ [ x − ( − d / 2)]Y{ f ( x)} = eikd / 2+ e−ikd/ 2= 2cos( kd / 2)

FTfY( x) = δ [ x − ( + d / 2)] −δ[ x − ( − d / 2)]{ f ( x)} = eikd/2−e−ikd/2= 2isin( kd / 2)

2. FT beberapa fungsi

2. FT beberapafungsi (lanj.)

2. Sistem Linier• Teknik Fourier menyediakan kerangkakerja yang elegan untuk menggambarkanpembentukan citra.• Kunci dari analisis adalah konsep sistemlinier, yang menggambarkan hubunganinput-output.

• Jika sinyal input f(y,z) melewati suatu sistemoptik menghasilkan output g(Y,Z). Sistemdisebut linier jika :– Mengalikan fungsi f(y,z) dengan suatukonstanta a menghasilkan ag(Y,Z)– Jika inputnya af 1 (y,z)+ bf 2 (y,z) menghasilkanoutput ag 1 (Y,Z)+ bg 2 (Y,Z) , dimana f 1 (y,z) danf 2 (y,z) mengenerate g 1 (Y,Z) dan g 2 (Y,Z)Secara umum ditulis :( Y, Z ) = L { f ( y z)}g ,

Contoh :

Fourier Transformdalam kasus Difraksi1. Celah tunggal 1DEA(z)=⎪⎧A⎨⎪⎩ 00k z= k sinθ;;xx≤>( k ) = Y { A(z)}z==A+ b/2∫ik0e−b/ 2A bsinc0zzb/b /dz22( k b / 2)z

2. Celah tunggal 2DA(y,z)=E⎪⎧A⎨⎪⎩ 00; x ≤ b / 2;x>b( ) k , k = { A(y,z)}yz/2=A0+ b / 2∫y=−b/ 2a / 2∫z=−a/ 2A e0i( k + k )yzzdz=A ba0⎛sinc⎜⎝bkY2R⎞⎟⎠sinc⎛⎜⎝akZ2R⎞⎟⎠ba = luas celah

3. Eksperimen Young(Celah Ganda)Fungsi aperturg(x) diperolehdari konvolusifungsi h(x).G(k) adalahpola difraksicelah ganda(FT dari g(x)).

3. Tiga celahBandingkan pola difraksi secara analitik(Bahasan 4. Difraksi)Rujukan utama : E. Hechts,”Optics”, wesley, 2002