4. Confronto tra medie di tre o più campioni indipendenti - statistica.it

BIOSTATISTICA
4. Confronto tra medie
di tre o più campioni
indipendenti
Marta Blangiardo, Imperial College, London
Department of Epidemiology and Public Health
m.blangiardo@imperial.ac.uk
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.1

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
UNIVERSO
PROGRAMMARE
CAMPIONE
SPECULARE
DESCRIVERE
PARAMETRI
INFERIRE
STIMATORI
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.2

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Siamo interessati a valutare se tre
diete (A, B e C) determinano
diversi incrementi del peso delle
cavie con esse nutrite
UNIVERSO
CAMPIONE
PARAMETRI
STIMATORI
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.3

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Siamo interessati a valutare se tre
diete (A, B e C) determinano
diversi incrementi del peso delle
cavie con esse nutrite
UNIVERSO
PROGRAMMARE
CAMPIONE
PARAMETRI
STIMATORI
Vengono scelti casualmente tre campioni
di 12 cavie ciascuno, ad ognuno di essi
viene somministrata una delle tre diete in
studio dalla nascita fino all’età di 3 mesi e
ne vengono registrati gli incrementi di
peso
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.4

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Dieta A Dieta B Dieta C
CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 CAMPIONE 3
56 59
52 57
57 60
63 68
64 61
63 60
DESCRIVERE
STATISTICHE STATISTICHE
67 72
68 65
67 64
60 63
56 61
61 64
n 1 = 12 n 2 = 12
y i1
In generale: y ij
y i2
STATISTICHE
n 3 = 12
54 57
50 55
55 58
61 66
62 59
61 58
y i3
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.5

4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
CAMPIONE 1
50 54 58 62 66 70
CAMPIONE 2
50 54 58 62 66 70
CAMPIONE 3
s 1 = 4.2
s 3 = 4.2
s 2 = 4.2
y 3 = 58
50 54 58 62 66 70
y 1 = 60
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.6
74
y 2 = 64
74
74

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
UNIVERSO
PROGRAMMARE
CAMPIONE
SPECULARE
DESCRIVERE
PARAMETRI
INFERIRE
STIMATORI
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.7

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Una procedura per saggiare
l’ipotesi nulla
Stima intervallare
Test del t di Student
Analisi della varianza e test F
Analisi della varianza e test F
ANOVA ad un FATTORE:
1 condizione sperimentale che ci
interessa testare
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.8

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
CAMPIONE
1
56 59
52 57
57 60
63 68
64 61
63 60
CAMPIONE
2
67 72
68 65
67 64
60 63
56 61
61 64
Media generale: y = 60.7
Devianza totale =
CAMPIONE
3
54 57
50 55
55 58
61 66
62 59
61 58
Σ Σ (y ij - y) 2
j
i
= (56-60.7) 2 +(59- 60.7) 2 +(52 - 60.7) 2 +...
...+ (67- 60.7) 2 +(72- 60.7) 2 +(68 - 60.7) 2 +...
...+ (59- 60.7) 2 +(61- 60.7) 2 +(58 - 60.7) 2 =
= 818
Da quali fonti dipende la variabilità
(devianza) totale del fenomeno?
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.9

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 CAMPIONE 3
56 60 59 60
52 60 57 60
57 60 60
63 60 68 60
64 60 61 60
63 60 60
67 64 7264
68 64 6564
67 64 64 64
60 64 6364
56 64 6164
61 64 64 64
Media generale: y = 60.7
y 1 = 60 y 2 = 64
y 3 = 58
Devianza tra i livelli del fattore sperimentale =
Σ n j (y j - y) 2
j
54 57 54
50 54 55 54
55 54 58 54
61 54 66 54
62 54 59 54
61 54 58 54
= 12 . (60-60.7) 2 +12 . (64-60.7) 2 +12 . (54-60.7) 2 =
= 224
Una prima fonte di variabilità è dovuta al
fatto che i due campioni sono stati sottoposti
a diverse diete (fattore sperimentale)
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.10

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 CAMPIONE 3
56 59
52 57
57 60
63 68
64 61
63 60
67 72
68 65
67 64
60 63
56 61
61 64
Devianza entro i livelli del fattore
sperimentale =
Σ Σ (yij - yj) 2
i j
54 57
50 55
55 58
61 66
62 59
61 58
y 1 = 60 y 2 = 64 y 3 = 58
=(56-60) 2 + (59-60) 2 + (52-60) 2 +…
...+(67-64) 2 + (72-64) 2 + (68-64) 2 +...
...+(59-58) 2 + (61-58) 2 + (58-58) 2 = 594
Una seconda fonte di variabilità è dovuta al
fatto che ogni unità sperimentale tende a
rispondere in modo diverso dalle altre allo
stesso stimolo (livello del fattore sperimentale)
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.11

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
SISTEMATICA
Fonti di
variabilità devianza
Tra gruppi 224 +
Entro gruppi * 594 =
Totale 818 =
* Variabilità residua
CASUALE
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.12

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Fonti di
variabilità
Tra gruppi
Entro gruppi
Totale
devianza
224 +
594 =
818 =
gradi di
libertà
2 +
33 =
35
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.13

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Fonti di
variabilità
Tra gruppi
Entro gruppi
Totale
F 1, 22 =
devianza
224 96 + 1 2 + = 112
594 396 + = 22 33 = + = = 18
818 =
Varianza tra gruppi
gradi di
libertà
35
Varianza entro gruppi
varianza
112
= = 6.22
18
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.14

Gradi di libertà del denominatore
Distribuzione F g1;g2;0.95
Gradi di libertà del numeratore
1 2 3 4 5 10
1 161.45 199.50 215.71 224.58 230.16 241.88
2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.40
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.79
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 5.96
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.74
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.06
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.64
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.35
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.14
10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 2.98
20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.35
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.16
31 4.16 3.30 2.91 2.68 2.52 2.15
32 4.15 3.29 2.90 2.67 2.51 2.14
33 4.14 3.28 2.89 2.66 2.50 2.13
34 4.13 3.28 2.88 2.65 2.49 2.12
35 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.11
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.08
45 4.06 3.20 2.81 2.58 2.42 2.05
50 4.03 3.18 2.79 2.56 2.40 2.03
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.15
F

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Distribuzione F 2,33
Area di accettazione
Valore tabulato
Valore empirico
3.28
Area di rifiuto
0.95 0.05
6.22
allora dovremmo rifiutare l’ipotesi nulla: p < 0.05
Le tre medie differiscono significativamente
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.16

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 CAMPIONE 3
56 59
52 57
57 60
63 68
64 61
63 60
y 1 = 60 y 2 = 64 y 3 = 58
L’esperimento offre evidenze che le tre diete
abbiano diverso effetto sull’incremento di
pesi delle cavie (p < 0.05)
H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 α = 0.05
μ 1 ≠ μ2 e/o
1 ≠ μ2 ≠ μ3 e/o
H1 : μ 1 ≠
1 ≠μ μ 2 e/o
3 e/o
μ1 ≠ μ3 e/o
μ2 ≠ μ3 μ2 ≠ μ3 H 1
67 72
68 65
67 64
60 63
56 61
61 64
54 57
50 55
55 58
61 66
62 59
61 58
Quale ipotesi
alternativa?
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.17

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
possibili contrasti per
3 livelli del fattore
sperimentale
1 vs 2
1 vs 3
2 vs 3
(1+2) vs 3
(1+3) vs 2
(2+3) vs 1
CONTRASTI (CONFRONTI)
Per valutare quale tra le
possibili ipotesi
alternative superi la
soglia di significatività
statistica si potrebbero
confrontare le rispettive
coppie di medie con il
test t o F
Sono indipendenti questi due
contrasti?
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.18

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
possibili contrasti per
3 livelli del fattore
sperimentale
1 vs 2
1 vs 3
2 vs 3
(1+2) vs 3
(1+3) vs 2
(2+3) vs 1
coefficienti c i
c 1 c 2 c 3
1
1
2
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.19
-1
0
-1
0
-1
0 1 -1
-1 -1 2
-1 2 -1
Si definisce contrasto una funzione del tipo:
dove:
CONTRASTI (CONFRONTI)
L
k
=
p
∑
i=
1
c
i
⋅ μ
ci = coefficienti di μi
tali che:
i
p
∑
i=
1
ci
-1
=
0
p
∑
i=
1
0
0
0
0
0
0
ci

Dati due contrasti K e K’, essi si definiscono
ortogonali se risulta verificato che:
dove:
cki
ck '
4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
i
=
=
CONTRASTI ORTOGONALI
p
∑
i=
1
c
⋅c
ki k 'i
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.20
=
coefficienti del contrasto K
coefficienti del contrasto K’
0

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
CONTRASTI ORTOGONALI
possibili contrasti per
3 livelli del fattore
sperimentale)
A vs B 1
A vs C
B vs C
(A+B) vs C
(A+C) vs B
(B+C) vs A
Verifica
ortogonalità
coefficienti c i
c 1 c 2 c 3
∑
i=
1
⋅c
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.21
p
c
ki k 'i
(1)*(-1) + (-1)*(-1) + (0)*(2) = 0
Ortogonali = indipendenti
1
2
-1
0
-1
0
-1
0 1 -1
-1 -1 2
-1 2 -1
-1
=
0
p
∑
i=
1
0
0
0
0
0
0
ci

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
CONTRASTI ORTOGONALI
se p sono i livelli del fattore
sperimentale, i (p-1) gradi di
libertà della devianza tra
trattamenti possono essere
scomposti in altrettanti (p-1)
contrasti ortogonali con un
grado di libertà ciascuno
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.22

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Fonti di
variabilità
Tra gruppi
Residua
Totale
CONTRASTI ORTOGONALI
devianza
dev T +
dev e =
dev
gradi di
libertà
Contrasti 1 dev c1 1
2 dev c2 1
p - 1 dev c(p-1) 1
g T = (p - 1) +
g e = N - p=
g = N - 1
I contrasti ortogonali spiegano (p-1)
quote statisticamente indipendenti della
devianza tra i livelli del fattore
sperimentale
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.23

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Fonti di
variabilità
Tra gruppi
Residua
Totale
devianza
dev T +
dev e =
dev
gradi di
libertà
Contrasti 1 dev c1 1
dove:
CONTRASTI ORTOGONALI
2 dev c2 .
p - 1 dev c(p-1) 1
dev ci =
g T = (p - 1) +
g e = N - p=
g = N - 1
dev c1+…+ dev c2 +…+ dev c(p-1) = dev T
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.24
p
n i (Σ c i y i.) 2
i=1
p
Σ 2
ci i=1

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 CAMPIONE 3
dev c1 =
56 59
52 57
57 60
63 68
64 61
63 60
p
n i (Σ c i y i.) 2
i=1
p
Σ 2
ci i=1
67 72
68 65
67 64
60 63
56 61
61 64
y 1 = 60 y 2 = 64 y 3 = 58
= 12 [0*60+1*64+(-1)*58]2
= 216
coefficienti c i
c 1 c 2 c 3
2 vs 3 0 1 -1
0 2
+1 2
+(-1) 2
54 57
50 55
55 58
61 66
62 59
61 58
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.25
=

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 CAMPIONE 3
56 0 59 0
52 0 57 0
57 0 60 0
63 0 68 0
64 0 61 0
63 0 60 0
67 64 72 64
68 64 65 64
67 64 64
60 64 63 64
56 64 61 64
61 64 64
54 58 57 58
50 58 55 58
55 58 58
61 58 66 58
62 58 59 58
61 58 58
y 1 = 60 y 2 = 64 y 3 = 58
dev c1 =
12 . (64 – 61) 2 + 12 . (58 – 61) 2 =
= 216
con un grado di libertà
y 23 = 61
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.26

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 CAMPIONE 3
dev c2 =
56 59
52 57
57 60
63 68
64 61
63 60
y 1 = 60 y 2 = 64 y 3 = 58
(2+3) vs 1
p
n i (Σ c i y i.) 2
i=1
p
Σ 2
ci i=1
67 72
68 65
67 64
60 63
56 61
61 64
= 12 [(-2)*60+1*64+1*58]2
= 8
coefficienti c i
c 1 c 2 c 3
-2 1 1
(-2) 2
+1 2
+1 2
54 57
50 55
55 58
61 66
62 59
61 58
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.27
=

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 CAMPIONE 3
56 60 59 60
52 60 57 60
57 60 60
63 60 68 60
64 60 61 60
63 60 60
y 1 = 60
67 61 72 61
68 61 65 61
67 61 64 61
60 61 63 61
56 61 61
61 64 61
y.. = 60.7
54 61 57 61
50 61 55 61
55 61 58 61
61 66 61
62 61 59 61
61 58 61
y 2 = 64 y 3 = 58
y 1 = 60 y 23 = 61
devc2 = 12
= 8
. (60 – 60.7) 2 +
+ 24 . (61 – 60.7) 2 =
con un grado di libertà
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.28

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Fonti di
variabilità
Tra gruppi
Residua
Totale
CONTRASTI ORTOGONALI
devianza
224
594
818=
gradi di
libertà
2 vs 3 216 1
(2+3) vs 1 8 1
33
35
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.29
2

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Fonti di
variabilità
Tra gruppi
2 vs 3 216 1 216
(2+3) vs 1 8 1 8
Residua
Totale
CONTRASTI ORTOGONALI
Contrasto 2 vs 3
devianza
224
594
818=
Contrasto (2+3) vs 1
gradi di
libertà
33
F 1, 33 =
F 1, 33 =
35
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.30
2
216
18
8
18
varianza
18
= 12
= 0.4

Gradi di libertà del denominatore
4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Distribuzione F g1;g2;0.95
Gradi di libertà del numeratore
1 2 3 4 5 10
1 161.45 199.50 215.71 224.58 230.16 241.88
2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.40
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.79
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 5.96
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.74
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.06
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.64
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.35
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.14
10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 2.98
20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.35
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.16
31 4.16 3.30 2.91 2.68 2.52 2.15
32 4.15 3.29 2.90 2.67 2.51 2.14
33 4.14 3.28 2.89 2.66 2.50 2.13
34 4.13 3.28 2.88 2.65 2.49 2.12
35 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.11
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.08
45 4.06 3.20 2.81 2.58 2.42 2.05
50 4.03 3.18 2.79 2.56 2.40 2.03
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.31
F

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
CONTRASTI ORTOGONALI
Valori di F empirici:
Contrasto 2 vs 3
Contrasto (2+3) vs 1
Valore di F tabulato:
F 1,33;0.05 =4.14
L’esperimento:
F 1, 33 =
F 1,33 =
216
18
• offre evidenze che le diete B e C
hanno diverso effetto (p < 0.05)
= 12
• non offre evidenze che la dieta A ha
diverso effetto rispetto all’insieme
delle altre due (p > 0.05)
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.32
8
18
I contrasti vanno decisi a priori!!
= 0.4

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Nidiata A
Nidiata B
y jki
Dieta A Dieta B Dieta C
56 59
52 57
57 60
63 68
64 61
63 60
67 72
68 65
67 64
60 63
56 61
61 64
54 57
50 55
55 58
61 66
62 59
61 58
ANALISI DELLA VARIANZA A DUE UNA VIE: VIA:
viene vengono considerata considerate una fonte due di fonti variabilità di
variabilità sistematica (dieta) (dieta e nidiata)
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.33
y ji

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
56 59
52 57
57 60
63 68
64 61
63 60
Media generale: y = 60.7
Devianza totale = Σ Σ Σ (y ijk - y) 2
Devianza totale =
67 72
68 65
67 64
60 63
56 61
61 64
i j
(56-60.7) 2 +(59-60.7) 2 +(52-60.7) 2 +… +
+(67-60.7) 2 +(72- 60.7) 2 +(68 - 60.7) 2 +...
+(59- 60.7) 2 +(61- 60.7) 2 +(58 - 60.7) 2 =
= 818
Da quali fonti dipende la variabilità
(devianza) totale del fenomeno?
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.34
k
54 57
50 55
55 58
61 66
62 59
61 58

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Dieta A
56 60 59 60
52 60 57 60
57 60 60
63 60 68 60
64 60 61 60
63 60 60
Dieta B
67 64 72 64
68 64 65 64
67 64 64
60 64 63 64
56 64 61 64
61 64 64
Media generale: y = 60.7
y 1. = 60 y 2. = 64
Devianza tra diete =
Σ n j (y j. - y) 2
j
Dieta C
54 58 57 58
50 58 55 58
55 58 58
61 58 66 58
62 58 59 58
61 58 58
y 3. = 58
= 12 . (60-60.7) 2 +12 . (64-60.7) 2 +12 . (58-60.7) 2 =
= 224
Una prima fonte di variabilità è dovuta al
fatto che i tre campioni sono stati sottoposti
a diverse diete (fattore sperimentale)
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.35

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Nidiata A
y .1 = 59.6
Nidiata B
y .2 = 61.7
59.6 56 59.6 59
59.6 52 59.6 57
59.6 57 59.6 60
61.7 63 61.7 68
61.7 64 61.7 61
61.7 63 61.7 60
59.6 67 59.6 72
59.6 68 59.6 65
59.6 67 59.6 64
61.7 60 61.7 63
61.7 56 61.7 61
61.7 61 61.7 64
Media generale: y = 60.7
Devianza tra nidiate =
Σ n k (y .k - y) 2
k
59.6 54 59.6 57
59.6 50 59.6 55
59.6 55 59.6 58
61.7 61 61.7 66
61.7 62 61.7 59
61.7 61 61.7 58
= 18 . (59.6-60.7) 2 +18 . (61.7-60.7) 2 = 40.1
Una seconda fonte di variabilità è dovuta al
fatto che le cavie appartengono a diverse
nidiate (fattore subsperimentale)
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.36

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Fonti di
variabilità
Tra diete
Tra nidiate
Residuo
Totale
Analisi
della
varianza a
una via
devianza
224 +
594 =
818 =
Analisi
della
varianza a
due vie
devianza
224 +
40.1 +
553.9 =
818
594 = 40.1 + 553.9
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.37

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Fonti di
variabilità
Tra diete
Tra nidiate
Residuo
Totale
Analisi
della
varianza a
una via
Gradi di
libertà
2 +
33 =
35 =
Analisi
della
varianza a
due vie
Gradi di
libertà
2 +
1 +
32 =
35
33 = 1 + 32
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.38

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Fonti di
variabilità
Tra diete
Residuo
Totale
F 2, 32 =
Effetto della dieta
devianza
224
553.9
818 =
Varianza tra diete
Varianza residua
gradi di
libertà
Tra nidiate 40.1 1
112
17.3
= 6.47
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.39
2
32
35
=
varianza
112
40.1
17.3
Che confrontato con F2,32,0.05 = 3.29
Suggerisce che la dieta è una significativa
(p < 0.05) fonte di variabilità dell’incremento
di peso della cavie

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Fonti di
variabilità
Tra diete
Residuo
Totale
F 1, 32 =
Effetto della nidiata
devianza
224
553.9
818 =
Varianza tra nidiate
Varianza residua
gradi di
libertà
Tra nidiate 40.1 1
40.1
17.3
= 2.32
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.40
2
32
35
=
varianza
112
40.1
17.3
Che confrontato con F1,32,0.05 = 4.15
Non offre evidenze che la nidiata sia una
significativa (p > 0.05) fonte di variabilità
dell’incremento di peso della cavie

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Fonti di
variabilità
Tra diete
Residuo
Totale
devianza
224
553.9
818 =
gradi di
libertà
Tra nidiate 40.1 1
La devianza residua è stata calcolata
per differenza: 818 - (224 + 40.1)
varianza
112
40.1
17.3
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.41
2
32
35
Questa procedura assume che le
due fonti di variabilità agiscano in
modo statisticamente indipendente!

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Incremento di peso
EFFETTI INDIPENDENTI
A B C
dieta
La dieta ha lo stesso effetto nelle
cavie delle due nidiate
nidiata
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.42
B
A

Nidiata A
Nidiata B
4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Dieta A Dieta B Dieta C
56 59
52 57
57 60
63 68
64 61
63 60
56.8
63.2
67 72
68 65
67 64
60 63
56 61
61 64
Medie osservate: y jk
67.2
60.8
54 57
50 55
55 58
61 66
62 59
61 58
54.8
61.2
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.43

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Incremento di peso
EFFETTI NON INDIPENDENTI
A B C
dieta
La dieta agisce in modo diverso
nelle cavie delle due nidiate
Interazione tra dieta e nidiata
nidiata
ANALISI FATTORIALE DELLA VARIANZA
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.44
B
A

Nidiata A
Nidiata B
4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Dieta A Dieta B Dieta C
56 59
52 57
57 60
63 68
64 61
63 60
56.8
63.2
63.1
67 72
68 65
67 64
60 63
56 61
61 64
Medie osservate: y jk
y jk
56.8
67.2
60.8
60.8
67.1
54 57
50 55
55 58
61 66
62 59
61 58
Medie attese sotto l’assunto di
indipendenza (assenza di interazione):
= (y i. + y .k) - y
54.8
54.8
61.2
61.1
y 11 = (y 1. + y .1 ) - y = (60 + 59.6) - 60.7 = 56.8
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.45

Nidiata A
Nidiata B
4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
yjk osservate yjk attese
Dieta A Dieta B Dieta C
56 59
52 57
57 60
63 68
64 61
63 60
56.8
56.8
63.2
63.1
67 72
68 65
67 64
60 63
56 61
61 64
67.2
60.8
60.8
67.1
54 57
50 55
55 58
61 66
62 59
61 58
Devianza dovuta all’interazione =
Σ Σ njk (yjk - yjk ) 2
j k
= 6 . (56.8-56.8) 2 +…+6 . (61.2-61.1) 2 = 320.9
Una terza fonte di variabilità è dovuta
all’interazione tra dieta e nidiata
54.8
54.8
61.2
61.1
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.46

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Fonti di
variabilità
Tra diete
Tra nidiate
Interazione
Residuo
Totale
Analisi
della
varianza a
una via
224 +
818 =
Analisi
della
varianza a
due vie
devianza devianza
594 =
224 +
40.1 +
553.9 =
818
Analisi
fattoriale
della
varianza
devianza
224 +
40.1 +
320.9 +
233 =
818
594 = 40.1 + 553.9 = 40.1 + 320.9 + 233
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.47

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Fonti di
variabilità
Tra diete
Residuo
Totale
devianza
224
Tra nidiate 40.1
Interazione 320.9
233
818 =
gradi di
libertà
varianza
112
40.1
160.4
7.8
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.48
2
1
2
30
35
Gradi di libertà del termine di
interazione: (3-1) . (2-1)

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Fonti di
variabilità
Tra diete
Residuo
Totale
F 2, 32 =
Effetto della dieta
devianza
224
233
818 =
Varianza tra diete
Varianza residua
gradi di
libertà
Tra nidiate 40.1 1
Interazione 320.9 2
112
7.8
= 14.4
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.49
2
30
35
=
varianza
112
40.1
160.4
7.8
che confrontato con F2,30,0.05 = 3.32
Offre significative evidenze che la dieta
condiziona l’incremento del peso delle cavie
(p < 0.05)

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Fonti di
variabilità
Tra diete
Residuo
Totale
F 1, 32 =
Effetto della nidiata
devianza
224
233
818 =
Varianza tra nidiate
Varianza residua
gradi di
libertà
Tra nidiate 40.1 1
Interazione 320.9 2
40.1
7.8
= 5.2
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.50
2
30
35
=
varianza
112
40.1
160.4
7.8
che confrontato con F1,30,0.05 = 4.17
Offre significative evidenze che la nidiata
condiziona l’incremento del peso delle cavie
(p < 0.05)

4. CONFRONTO TRA MEDIE DI TRE O PIÙ CAMPIONI
INDIPENDENTI
Fonti di
variabilità
Tra diete
Residuo
Totale
F 2, 32 =
Effetto dell’interazione
dieta e nidiata
devianza
224
233
818 =
Varianza dell’interazione
Varianza residua
gradi di
libertà
Tra nidiate 40.1 1
Interazione 320.9 2
160.4
7.8
= 20.7
MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU’ CAMPIONI- 4.51
2
30
35
=
varianza
112
40.1
160.4
7.8
che confrontato con F2,30,0.05 = 3.32
Offre significative evidenze che la dieta
condiziona in modo diverso l’incremento del
peso delle cavie di differenti nidiate (p < 0.05)