Serie Storiche e Processi Stocastici

Serie Storiche e Processi Stocastici – Federico Andreis
Volendo riassumere brevemente quanto detto finora possiamo sottolineare il carattere di
dualità tra i processi AR e MA .
I processi di tipo AR rispondono al tentativo di spiegare il presente in funzione del
passato, fino ad una certa “distanza” p, per contro i modelli di tipo MA rappresentano un
tentativo di spiegare il presente come risultante da una successione incontrollata di
impulsi casuali, statisticamente riassunti nel white noise A t .
In un processo AR( p ) non sono imposte condizioni per i parametri in modo da
assicurare l‟invertibilità, mentre si richiedono per la stazionarietà.
In un processo MAq non sono imposte condizioni sui parametri per quanto riguarda la
stazionarietà, mentre le si impongono per l‟invertibilità.
Per ogni processo AR( p ) stazionario esiste una rappresentazione unica del tipo
MA , e per ogni processo MAq invertibile ne esiste una del tipo AR .
Nei processi MAq teorici il correlogramma si annulla bruscamente per h q,
il
correlogramma parziale invece decresce lentamente con andamento dipendente dal
segno dei parametri j .
Nei processi AR( p ) teorici il correlogramma parziale si annulla bruscamente per h q
mentre il correlogramma decresce lentamente con andamento dipendente dal segno dei
parametri j .
All‟atto pratico si considerano come nulle, al fine dell‟identificazione del modello a
partire dai dati, quelle autocorrelazioni che restino comprese fra le due bande tratteggiate
nei correlogrammi, con un livello di confidenza del 95%.
I Modelli Autoregressivi a Media Mobile
Un modello del tipo autoregressivo a media mobile di ordini p e q, indicato con
ARMA( p, q ) , è un costrutto statistico che comprende sia termini autoregressivi che a media
mobile e può essere espresso come segue:
Y c Y Y ... Y A A A ... A
t 1 t1 2 t2 p t p t 1 t1 2 t2 q tq Per comodità di rappresentazione introduciamo ora l‟operatore retrocessore o backward B
secondo la seguente definizione:
0
B X t Yt
BX Y
t t1
2
B X t Yt2
...
k
B X t Yt
k
Trattandosi di un operatore lineare vale la seguente:
0 1B Xt 0X t 1X t1
.
Se consideriamo il processo MA( q ) Y t con media supposta nulla possiamo scriverlo
sfruttando l‟operatore B come