Problema

liceocecioni.org

Problema

P.I.A. 2011-2012 Zona Livornese

Corso di formazione e ricerca-azione sui curricoli

verticali in matematica

Problem solving

e didattica laboratoriale

PARTE 1

Rosetta Zan e Pietro di Martino

Dipartimento di Matematica, Università di Pisa

zan@dm.unipi.it dimartin@dm.unipi.it


Abbiamo riflettuto su…

• L’atteggiamento negativo

Il senso di auto-efficacia

La visione della matematica

L’idea di successo

Il ruolo dell’errore

Il ruolo del tempo

• L’importanza delle competenze linguistiche

in matematica e in particolare nella

risoluzione di problemi

• Diverse razionalità: pensiero logico e

pensiero narrativo


Abbiamo riflettuto su…

• L’atteggiamento negativo

Il senso di auto-efficacia

La visione della matematica

L’idea di successo

Il ruolo dell’errore

Il ruolo del tempo


esponsabilità

dell’insegnamento


Favorisce lo sviluppo di certe convinzioni

su di sé:

• insegnamento poco incoraggiante

• giudizi iniziali che difficilmente si

modificano (v. effetto Pigmalione!!)


L’effetto Pigmalione

(R. Rosenthal)

• Oak School (scuola elementare di un

sobborgo)

• 1966

• segnalazione agli insegnanti di ‘falsi iperdotati’

(test d’intelligenza)

• dopo 6 mesi e 1 anno i bambini dimostravano

uno sviluppo intellettuale superiore agli altri

(rendimento scolastico e test mentali)

• risultati confermati a 2 anni di distanza


Favorisce lo sviluppo di certe convinzioni

su di sé:

• insegnamento poco incoraggiante

• giudizi iniziali che difficilmente si

modificano (v. effetto Pigmalione!!)

• valutazione estesa alla persona, e non

limitata alla prestazione

RESPONSABILITA’ DELLA FAMIGLIA

RESPONSABILITA’ DI CERTI LUOGHI COMUNI


Incoraggiare

• separare il giudizio sulla prestazione da quello

sull’allievo

• essere disponibili a cambiare il proprio giudizio

• smitizzare / valorizzare l’errore

• recuperare il ruolo dell’errore per ri-orientare

l’impegno

• recuperare la dimensione temporale del

processo d’apprendimento e insegnamento

• riconoscere i piccoli progressi

• non identificare il successo con la produzione

di risposte corrette

• valorizzare le risposte parziali


Esempio

Avendo:

• 3 pantaloni di colore diverso (nero, marrone, blu)

• 4 maglie di colore diverso (giallo, verde, arancione, bianco)

• 2 paia di scarpe diverse (con le stringhe / senza stringhe)

quanti sono i modi diversi di combinare pantaloni, maglie, scarpe?

…per dare la risposta corretta devi trovarli TUTTI!

- Trova alcuni modi diversi di combinare pantaloni, maglie, scarpe

- Riesci a trovarli tutti?

- Come fai ad essere sicuro di averli trovati proprio tutti?


Abbiamo riflettuto su…

• L’atteggiamento negativo

Il senso di auto-efficacia

La visione della matematica

L’idea di successo

Il ruolo dell’errore

Il ruolo del tempo


La visione (distorta) della

matematica

• Disciplina di PRODOTTI

• Ruolo negativo dell’errore

…Quello che conta è la risposta corretta

• Fatta di REGOLE da ricordare e poi

applicare in situazioni ripetitive

• …i ‘problemi’: una sola soluzione corretta

e un solo processo risolutivo legittimo

• Percepita come priva di ‘senso’


La visione (distorta) della

matematica

• Disciplina di PRODOTTI

• Ruolo negativo dell’errore

…Quello che conta è la risposta corretta

• Fatta di REGOLE da ricordare e poi

applicare in situazioni ripetitive

• …i ‘problemi’: una sola soluzione corretta

e un solo processo risolutivo legittimo

• Percepita come priva di ‘senso’


Una strategia…

• Fare in modo che non sia possibile una “

risposta corretta” che prescinda dai

processi di pensiero.

Esempi:

Non chiedere “Trova…”, ma chiedere solo:

“Come faresti a trovare…?”

Eliminare i dati numerici, chiedendo:

“Quali dati ti servirebbero?”

• Chiedere ‘perché?’ anche nel caso di

risposte corrette, e non solo in caso di errori


La visione (distorta) della

matematica

• Disciplina di PRODOTTI

• Ruolo negativo dell’errore

…Quello che conta è la risposta corretta

• Fatta di REGOLE da ricordare e poi

applicare in situazioni ripetitive

• …i ‘problemi’: una sola soluzione corretta

e un solo processo risolutivo legittimo

• Percepita come priva di ‘senso’


… ma cosa sono queste

REGOLE?


Perché…

• …per due punti passa una sola retta?

• … in un’espressione si fanno prima le

moltiplicazioni e poi le addizioni?

• …in un’equazione si può ‘portar di là’ un

addendo cambiandolo di segno?

• …un numero primo è divisibile solo per se

stesso e per 1?

REGOLE

• …la somma degli angoli interni di un triangolo è

180°?

• …5 0 =1?

• …la moltiplicazione si esegue nel modo usuale

(in colonna)?


GLI ASSIOMI

I TEOREMI

Le regole di deduzione

Il concetto di insieme.

Il concetto di punto,

retta, piano…

Il concetto di numero

naturale.

Un numero primo è un numero divisibile solo per se stesso e per 1.

La ‘regola’ dei segni:

p q

(-1) (-1) = 1 ecc.

Ordine di esecuzione delle operazioni in un’espressione.

equivale a:

E anche:

TEOREMA: In un triangolo la somma

non q

degli

non

angoli

3 + 2 x 6 = 15 … e non 30

p

interni 5°=1 è 180°.

Ma anche:

LE DEFINIZIONI

LE CONVENZIONI

Perché la moltiplicazione si esegue nel modo usuale?


… ma cosa sono queste

REGOLE?

tanti tipi di perché…


GLI ASSIOMI

I TEOREMI

il linguaggio matematico

Le regole di deduzione

la ‘razionalità’ matematica

LE DEFINIZIONI

LE CONVENZIONI


I processi tipici della matematica

PORSI PROBLEMI

RISOLVERE

PROBLEMI

DEFINIRE

DIMOSTRARE

CONGETTURARE

ESPLORARE

UTILIZZARE

IL LINGUAGGIO

RAPPRESENTARE

CONTROLLARE


… ma cosa sono queste

REGOLE?

tanti tipi di perché…


GLI ASSIOMI

Le regole di deduzione

REGOLE

I TEOREMI

il linguaggio matematico

la ‘razionalità’ matematica

LE DEFINIZIONI

LE CONVENZIONI


esponsabilità

dell’insegnamento


Favorisce lo sviluppo:

• di certe convinzioni sulla disciplina

• sugli obiettivi

• teorie del successo

Non si ‘preoccupa’ di osservare /

monitorare:

• convinzioni

• emozioni


E’ necessario

imparare ad osservare gli allievi:

• conoscenze

• abilità

• convinzioni


nuovi strumenti di

osservazione


• I temi:

‘Io e la matematica: il mio rapporto con

la matematica dalle elementari ad

oggi’

‘Scrivi una lettera al tuo precedente

insegnante di matematica’

• Frasi da completare:

La matematica mi piacerebbe di più

se…

La matematica mi piacerebbe di meno


E’ importante che gli allievi imparino

a descrivere i propri processi di

pensiero, le proprie emozioni


sviluppare le loro abilità metacognitive

stabilire una comunicazione con

gli allievi

• Il problem solving è utile anche per portare

alla luce le convinzioni degli allievi


Problema: Il giardino del signor Torquato

Questo è il giardino del signor Torquato:

Nella parte grigia egli ha piantato fiori e ha seminato a prato

la parte bianca.

Il signor Torquato osserva il suo giardino e si chiede:

“Sarà maggiore la parte con i fiori o quella con il prato?”

E voi che cosa ne pensate?

Spiegate la vostra risposta.


Per prevenire / sradicare

una visione distorta…


Promuovere un approccio problem

solving

• Gli strumenti vanno introdotti dopo che

l’allievo si è scontrato con la difficoltà di

risolvere certi problemi

Ciò può contribuire a dare un senso all’attività

matematica: certi strumenti nascono per una

esigenza (che può essere pratica, ma anche teorica)


Un contro esempio

La sottrazione: prima elementare

Dati

numerici

Parole

chiave

Lettura selettiva

del testo


La sottrazione: prima elementare

La sottrazione non è

presentata come strumento

significativo ma come

codifica: il bambino può

contare…e infatti conta!

Il bambino ha tutto il

diritto di sentirsi

disorientato lui ha

semplicemente contato

Unica particolarità la

parola chiave ‘restano’,

tra l’altro con alcune

criticità…


La sottrazione: prima elementare

Si deve ricordare ‘a cosa

serve’ qualcosa?!?

In realtà al bambino NON è

servita a nulla: lui ha

contato!

Si lega lo strumento ad una

parola chiave…

Cecilia aiuta ad

apparecchiare: tutte le sere

prende i 5 piatti per la

famiglia. Oggi mamma le

dice: ‘stasera restano anche

nonno e nonna’. Quanti piatti

deve prendere Cecilia

stasera?


La sottrazione: prima elementare

Quale sarà il senso di ciò

per gli allievi?

Si chiede di ricordare un

concetto molto sofisticato, e

probabilmente si pensa che i

bambini non possano

capire…infatti non si

definisce, si nominalizza e

basta


La sottrazione: prima elementare

Anche i problemi seguenti sono tutti dello stesso tipo: il

disegno facilita la risposta corretta, ma devia

completamente dal processo che si vorrebbe introdurre!


Promuovere un approccio problem

solving

• Gli strumenti vanno introdotti dopo che

l’allievo si è scontrato con la difficoltà di

risolvere certi problemi

• Dedicare un tempo specifico all’attività di

soluzione di problemi

• Importanza di avere un repertorio di ‘bei’

problemi

• Costruzione di un CATALOGO di problemi


Una proposta :

costruzione di un’antologia di problemi

• Per la scuola

• Problemi scelti dagli insegnanti e poi

sperimentati in diverse classi

• Arricchita nel tempo, sia per l’aggiunta di

problemi nuovi, che per i commenti sulle

sperimentazioni successive

• Possibili fonti di ‘problemi’:

- Libri divulgativi

- Settimana enigmistica, ecc.

- Gare matematiche (Rally, Bocconi, …)

- Materiali UMI


Abbiamo riflettuto su…

• L’atteggiamento negativo

Il senso di auto-efficacia

La visione della matematica

L’idea di successo

Il ruolo dell’errore

Il ruolo del tempo

• L’importanza delle competenze linguistiche

in matematica e in particolare nella

risoluzione di problemi

• Diverse razionalità: pensiero logico e

pensiero narrativo


Abbiamo riflettuto su…

L’uso del linguaggio deve essere funzionale

a degli SCOPI

• L’importanza delle competenze linguistiche

in matematica e in particolare nella

risoluzione di problemi


Marianella Sclavi

Arte di ascoltare e mondi possibili.

Come si esce dalle cornici di cui siamo parte.


SCENARIO 1

Contesto: Scuola elementare. L’insegnante chiede a Ernesto

(bambino che proviene da un contesto socio-culturale deprivato) di

raccontare la storia rappresentata in una vignetta.

Ernesto: Stanno giocando a pallone e lui gli dà un calcio…

Insegnante (lo interrompe): Chi è che gioca a pallone? Qual è il

soggetto che compie l'azione?

Ernesto (stupito e imbarazzato che l'insegnante gli chieda una cosa

così evidente): Loro!

Insegnante: Chi ‘loro’?

Ernesto: I ragazzi!

Insegnante: Bravo, e allora dillo. Bisogna sempre precisare il soggetto

altrimenti chi ti ascolta non capisce. E quanti sono i ragazzi?

Ernesto (un po' sfottente, un po' umiliato): Tre!

Insegnante: Bravo. Allora come dovevi dire?

Ernesto (tace, chiuso in se stesso)

Insegnante: Tre ragazzi stanno giocando a pallone. Adesso continua il

racconto.

(…)


SCENARIO 2

Ernesto: Stanno giocando a pallone e lui gli dà un calcio e va a

finire lì e rompe la finestra. Loro la guardano e lui si affaccia e

li sgrida perché l'hanno rotto. Poi loro scappano e lei guarda

fuori e li sgrida.

(L'insegnante lo lascia finire e intanto l'osserva. Com’è che a

Ernesto questa descrizione appare appropriata? Qual è il suo

punto di vista? Cosa sta comunicando? Ernesto man mano

che parla si infervora, si immedesima, la dinamica della storia

lo diverte. Le manda dei segnali di ammiccamento, di

complicità. Come ha inteso il compito che gli è stato

assegnato? Cosa è importante per lui?)

Insegnante (con atteggiamento di complicità): Sei un bravo

narratore. Hai impostato in modo efficace il racconto della

storia e io, guardando la vignetta, ho capito sempre cosa ti

riferivi. Ma adesso ti vorrei porre un problema più difficile:

come racconteresti la stessa storia a una persona che non la

sa già e che non ha questa vignetta sotto gli occhi?

(Ernesto è gratificato dall'accoglienza alla sua performance, ma

non capisce bene cosa gli sta proponendo l'insegnante, gli

sembra un po' confusa.)


SCENARIO 2

Insegnante: Per esempio facciamo finta che sul banco tu abbia

un telefono e tu chiami la tua amichetta che è a casa

ammalata. Per tenerle su il morale, le racconti quel che

abbiamo fatto in classe e vuoi descriverle la vignetta. Lei non

può vederla e quindi tu in questo caso devi dirle proprio tutto,

devi essere un po' pignolo in modo che lei possa immaginarsi

tutti i vari personaggi e quel che succede. Vediamo se sei un

bravo narratore anche in questo caso…

(Ernesto è chiaramente disponibile a collaborare con l'insegnante

in queste sue proposte fantasiose. Ma a recitare una parte c’è

la difficoltà dell'inizio. Esita.)

Insegnante (fingendo di fare un numero in un immaginario

telefono): Ciao Giovanna, come stai? Quando torni a scuola?

C'è qui Ernesto che ti vuole raccontare una storia sulla quale

abbiamo lavorato oggi.

Passa la cornetta ad Ernesto.

Ernesto (imbarazzato, ma divertito): Ciao Giovanna ecc. ecc.


P.L. Ferrari

Matematica e linguaggio. Quadro teorico e

idee per la didattica. Pitagora (2005)


Descrizione dell’attività

• 2 classi di II media (A1 e A2), in due località

D

diverse del comune di Alessandria

• FASE 1 (classe A1):

A

B

– L’insegnante di Matematica ha proposto di

calcolare l’area del piano terra della scuola

– Gli alunni hanno riprodotto alla lavagna la

pianta in scala, si sono procurati le misure

necessarie e hanno calcolato l’area.

• FASE 2 (classi A1 e A2):

Si chiede alla classe A1 di proporre il problema

alla classe A2 soltanto attraverso un testo,

senza usare figure.

C


Testo prodotto dalla classe A1

(1) La nostra scuola assomiglia molto a

una culla vista di profilo

(2) Il nostro edificio si compone di 3

rettangoli, 2 dei quali posti

verticalmente e uno orizzontalmente

che li unisce nella parte superiore.

(3) Chiamiamo i 2 rettangoli posti

verticalmente A e B e quello

orizzontalmente C.

(4) Il trapezio D (che è la nostra palestra) è rettangolo ed è posto

sul rettangolo A e parte del rettangolo C, con il lato obliquo

adiacente all’altezza del rettangolo A. I due rettangoli A e B

sono uguali.

(5) Adesso vi diamo le misure: la base del rett. A (quindi anche di

B) misura 11 cm e l’altezza è 21 cm

(6) La base del rett. C misura 22 cm e l’altezza equivale all’altezza

del rettangolo A meno una rientranza di 10 cm

(7) Nel trapezio D la base maggiore appoggiata ai 2 rett. A e C

misura 18 cm e quella minore 16 cm. L’altezza misura 19 cm.

A

D

C

B


ALCUNI DISEGNI PRODOTTI DA A2


A

D

C

B

disegno originario disegno riprodotto

(3) Chiamiamo i 2 rettangoli posti verticalmente A

e B e quello orizzontalmente C.

viene riformulato

(3’) Chiamiamo A il rettangolo verticale sulla destra, B

quello sulla sinistra e C quello orizzontale.


A

D

C

B

disegno originario disegno riprodotto

(4) Il trapezio D (che è la nostra palestra) è rettangolo

ed è posto sul rettangolo A e parte del rettangolo

C, con il lato obliquo adiacente all’altezza del

rettangolo A.

viene riformulato

(4’) Il trapezio D (che è la nostra palestra) è rettangolo

ed è appoggiato sul rettangolo A e in parte sul

rettangolo C, con il lato obliquo consecutivo

all’altezza del rettangolo A.


L’uso del linguaggio matematico deve

essere funzionale a degli SCOPI

matematicamente significativi

L’uso del linguaggio deve essere funzionale

a degli SCOPI

• L’importanza delle competenze linguistiche

in matematica e in particolare nella

risoluzione di problemi


L’uso del linguaggio matematico deve

essere funzionale a degli SCOPI

matematicamente significativi

Osservo cosa succede della somma di due numeri

consecutivi

Congetturo:

è sempre un numero dispari

Provo a dimostrare

n + (n + 1) = n + n + 1 = 2n + 1

dispari

Il linguaggio della

matematica è funzionale

a questi processi


Abbiamo riflettuto su…

• Diverse razionalità: pensiero logico e

pensiero narrativo


RAGIONARE


Ce la puoi fare…

Basta che

RAGIONI!

Non mi faccio

fregare…

Se poi ragiono

davvero mi dice che

non va bene…


Ce la puoi fare…

Basta che

RAGIONI!

Non mi faccio

fregare…

Se poi ragiono

davvero mi dice che

non va bene…


Un giorno mi ha chiesto di:

Dimostrare che un triangolo che ha

due lati uguali ha anche gli angoli

uguali.

Mi ha detto: “Ragiona!!!”

Io ci ho pensato su, ho guardato il

disegno e ho detto :

“Si vede dal disegno”

…ma lei ha detto che non

dovevo guardare il

disegno!!!

Non mi faccio

fregare…

Se poi ragiono

davvero mi dice che

non va bene…


Un altro giorno mi ha chiesto:

E’ vero che se moltiplichi un numero divisibile per 3 per

uno pari viene sempre un numero divisibile per 6?

E mi ha detto: “Ragiona!!!”

Io ci ho pensato su, ho provato con

un sacco di numeri:

3,2 6, 4 15, 4 9, 8…

E ho detto:

“Sì è vero: torna sempre…”

…ma lei ha detto che non

bastavano nemmeno 1000

esempi!!!!

E poi invece una volta al primo della classe che

aveva fatto solo un esempio ha detto: “Bravo!”

Non mi faccio

fregare…

Se poi ragiono

davvero mi dice che

non va bene…


…basta che usi la

razionalità tipica della

matematica

Ce la puoi fare…

Basta che

RAGIONI!

Non mi faccio

fregare…

Se poi ragiono

davvero mi dice che

non va bene…


La matematica serve

per RAGIONARE!

!!!?????


…basta che usi la

razionalità tipica della

matematica

Ce la puoi fare…

Basta che

RAGIONI!

Non mi faccio

fregare…

Se poi ragiono

davvero mi dice che

non va bene…


…basta che usi la

razionalità tipica della

matematica

…è l’unica razionalità possibile?


RAZIONALITA’

MATEMATICA

RAZIONALITA’

NARRATIVA


RAZIONALITA’

MATEMATICA

RAZIONALITA’

NARRATIVA


Abbiamo riflettuto su…

• L’atteggiamento negativo

Il senso di auto-efficacia

La visione della matematica

L’idea di successo

Il ruolo dell’errore

Il ruolo del tempo

• L’importanza delle competenze linguistiche

in matematica e in particolare nella

risoluzione di problemi

• Diverse razionalità: pensiero logico e

pensiero narrativo


Anche l’insegnamento è

problem solving

Anche nell’insegnamento l’errore va

messo nel conto…


Bruno Bettelheim, Un genitore quasi

perfetto

[...] per una buona educazione dei propri figli, non bisogna

cercare di essere dei genitori perfetti, né tanto meno

aspettarsi che lo siano, o che lo diventino, i nostri figli. La

perfezione non è alla portata del normale essere umano,

e l’accanimento nel volerla raggiungere è inevitabilmente

di ostacolo a quell’atteggiamento di tolleranza verso le

imperfezioni altrui, comprese quelle dei figli, che, solo,

rende possibili rapporti umani decenti.

E’ invece alla portata di tutti essere genitori passabili, vale a

dire genitori che educano bene i figli. Occorre però che

gli errori che commettiamo nell’educarli (errori il più delle

volte dovuti semplicemente all’intensità del nostro

coinvolgimento emotivo) siano più che compensati dalle

molte occasioni in cui ci comportiamo in modo giusto con

loro.

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