PROGETTAZIONE DI UN ATTUATORE PIEZOELETTRICO ... - AIAS

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PROGETTAZIONE DI UN ATTUATORE PIEZOELETTRICO ... - AIAS

ASSOCIAZIONE ITALIANA PER L’ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI

XXXIV CONVEGNO NAZIONALE — 14–17 SETTEMBRE 2005, POLITECNICO DI MILANO

PROGETTAZIONE DI UN ATTUATORE PIEZOELETTRICO

Dipartimento di Meccanica – Università della Calabria

Via Bucci – cubo44C

87036 Arcavacata di Rende – Cosenza

PER APPLICAZIONI INTERFEROMETRICHE

L. Bruno * ,G. Felice, A. Poggialini

Sommario

Oggetto del presente lavoro è la progettazione, la realizzazione e la messa a punto di un dispositivo

capace di applicare spostamenti con risoluzione nanometrica, particolarmente utile per applicazioni

interferometriche. La soluzione adottata consiste in un elemento elastico in acciaio inossidabile

realizzato con utensili per asportazione di truciolo al quale viene imposta una deformazione elastica

mediante tre ceramici piezoelettrici in PZT. L’utilizzo di tre attuatori piuttosto che uno singolo è stata

una scelta dettata dall’esigenza di realizzare un dispositivo capace di imporre una traslazione ad uno

specchio senza che si verifichino rotazioni apprezzabili. I tre attuatori sono alimentati mediante un

amplificatore di carica la cui tensione di input è fornita da un convertitore digitale/analogico

interfacciato col calcolatore per mezzo di una porta parallela. La tensione massima applicabile ad ogni

singolo attuatore è stata fissata mediante una resistenza variabile in modo da ottenere la stessa corsa su

ogni piezoelettrico con elevata precisione.

Abstract

The aim of the present paper is the design, the construction and the adjustment of a piezoelectric

actuator with nanometric accuracy for interferometric applications. The solution adopted is a stainless

steel case deformed by three PZT ceramics. By means of three actuators it was possible to compensate

the spurious rotations which arise during the expansion of the single actuators. The power supply is a

charge amplifier whose input voltage is provided by a D/A converter interfaced with a PC by a parallel

port. In order to set the stroke with high accuracy, the maximum voltage applied to each actuator was

fixed by a variable resistance.

Parole chiave: PZT, attuatori piezoelettrici, tecniche interferometriche, phase-shifting.

1. INTRODUZIONE

Le tecniche interferometriche sviluppatesi nell’ambito della meccanica sperimentale negli ultimi

trenta anni [1-3] hanno sempre avuto come proprio punto di forza la capacità di fornire informazioni a

pieno campo. Tuttavia tale potenzialità non risulta sfruttabile appieno se non si adotta un sistema per

misurare direttamente la fase. I sistemi di frange, infatti, che normalmente si ottengono attraverso tali

tecniche sono frange di intensità e quindi forniscono informazioni esatte solo in corrispondenza dei

* Corresponding author: Tel.: +39 0984 494839; Fax.: +39 0984 494673; E-mail: bruno@uncial.it


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centri-frangia, mentre sulle aree non attraversate da tali curve le informazioni possono essere

ricostruite soltanto mediante interpolazione.

Tale limitazione può essere superata utilizzando tecniche di phase-shifting [4]. Queste tecniche,

basate sull’introduzione di perturbazioni note di fase, richiedono la modifica dei set-up sperimentali

mediante dispositivi capaci di introdurre tali perturbazioni. Fra le tante possibili soluzioni una delle

più utilizzate è quella basata sull’utilizzo di attuatori piezolettrici, i quali introducono uno shift di fase

attraverso una variazione di cammino ottico. Questa tipologia di dispositivi, reperibile sul mercato

presso diversi rivenditori di attrezzature scientifiche [5,6], risultano di semplice utilizzo, ma allo stesso

tempo il loro costo può incidere in maniera significativa e risultare quindi non giustificabile per un

particolare apparato sperimentale.

Diversi ricercatori che operano nel campo dell’interferometria hanno pubblicato alcune possibili

soluzioni al fine di ottenere dispositivi capaci di competere con quelli commerciali a costi molto più

contenuti [7-10]. Tali soluzioni proposte in letteratura, tuttavia, molto spesso risultano non

sufficientemente robuste da poter essere esportate al di fuori dei laboratori dove sono state messe a

punto.

Lo scopo del presente lavoro è la progettazione e la realizzazione di un dispositivo che risponda

adeguatamente ai requisiti funzionali richiesti ad un attuatore piezoelettrico per applicazioni

interferometriche e che, allo stesso tempo, risulti sufficientemente facile da utilizzare e stabile da poter

essere impiegato anche al di fuori del laboratorio dove è stato messo a punto. Inoltre tale dispositivo è

stato interfacciato con il calcolatore mediante la porta parallela al fine di poter sfruttare tutti i vantaggi

connessi con la gestione computerizzata delle diverse fasi sperimentali. L’utilizzo della porta parallela

permette di controllare il dispositivo direttamente con un qualsiasi computer, pertanto non è richiesta

alcuna scheda di interfaccia fra attuatore e calcolatore, come normalmente accade per la maggior parte

dei dispositivi controllati dal computer.

2. FORMULAZIONE ANALITICA

La calibrazione di un attuatore per la variazione della fase può essere effettuata inserendo tale

dispositivo lungo un braccio di un interferometro: registrando le variazioni cicliche di intensità

luminosa è possibile risalire alle variazioni di fase imposte dall’attuatore. In particolare assumendo

come input la tensione di alimentazione dell’attuatore e come output l’intensità luminosa in un

generico punto di coordinate (x,y) del piano di rilevazione sul quale avviene l’interferenza dei due

fasci, si ha che:

I( x,

y,

ϕ ) = A(

x,

y)

+ B(

x,

y)

cos[ α(

x,

y)

+ ϕ(

V )]

(1)

con I(x,y,ϕ) intensità luminosa, A(x,y) intensità media, B(x,y) modulazione, α(x,y) differenza di fase

fra i due fasci interferenti e ϕ(V) variazione di fase indotta da una variazione dalla tensione V applicata

all’attuatore. Tutte queste quantità sono funzioni delle coordinate spaziali (x,y) tranne la differenza di

fase ϕ(V), la quale è costante su tutto il piano di rilevazione a patto che l’espansione dell’attuatore sia

uniforme. Calcolando la media spaziale sul quadrato della differenza di intensità luminosa S(V) fra una

condizione di riferimento I0(x,y,ϕ0) e una generica I(x,y,ϕ) si ha che:

2 2

2

S ( V ) =< ( I − I ) >=< B {cos[ α( x,

y)

+ ϕ(

V )] − cos[ α(

x,

y)

+ ϕ ]} >

(2)

0

dove il simbolo < . > indicata la media spaziale. Nella (2) si è assunto che la differenza di fase ottenuta

in ogni punto dell’immagine (e quindi l’espansione dell’attuatore) è costante, ovvero indipendente

dalle coordinate (x,y). Mediante opportuni sviluppi trigonometrici dalla (2) si arriva alla seguente

espressione:

0


S(

V ) =< B

+ <

2

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> { 1−

< cos[ 2α

( x,

y)]

> cos[ ϕ(

V ) − ϕ ] +

sin[ 2α

( x,

y)]

> sin[ ϕ(

V ) − ϕ ]}{ 1 − cos[ ϕ(

V ) − ϕ ]}

0

0

Se il valor medio sul piano (x,y) delle quantità sin[2α(x,y)] e cos[2α(x,y)] è nullo (cosa che si verifica

in presenza di un campo speckle o nel caso in cui l’interferogramma sul piano di rilevazione sia

caratterizzato da un elevato numero di frange), allora, si ottiene un andamento sinusoidale della

quantità S(V) [8]:

2 2

S( V ) =< ( I − I ) >=< B > { 1 − cos[ ∆ϕ(

V )]}

(4)

0

con ∆ϕ(V) = ϕ(V)–ϕ0 variazione di fase introdotta dalla variazione di tensione applicata all’attuatore.

Pertanto al fine di effettuare la calibrazione dell’attuatore è necessario ricavare la funzione ∆ϕ(V).

Se tale relazione è lineare, è possibile, mediante le formule trigonometriche di addizione e sottrazione,

effettuare un fitting lineare sui dati sperimentali ed ottenere la suddetta funzione. Se invece la funzione

è non lineare, come nel caso degli attuatori piezoelettrici, è richiesta una regressione non lineare. In

quest’ultimo caso, oltre alle difficoltà computazionali connesse con l’ottimizzazione non lineare risulta

cruciale la scelta del tipo di funzioni da utilizzare nel fitting. La scelta più semplice consiste

nell’adottare un polinomio, scelta che però spesso mostra scarsa versatilità, oltre che una eventuale

instabilità, soprattutto al crescere del grado della polinomiale.

Nel presente lavoro è stata adottata una modellazione basata su una curva B-spline [11]. Questa

tipologia di curva presenta una elevata versatilità, che, però, si paga in termini di complessità di

calcolo. Secondo tale approccio la curva viene modellata attraverso delle funzioni pesate definite in un

particolare intervallo dell’intero campo di esistenza della curva. Tali funzioni sono definite a tratti

mediante delle polinomiali il cui grado è scelto a discrezione dell’operatore. Il processo di

ottimizzazione consiste nell’andare a calcolare i pesi di tali funzioni. Oltre a poter scegliere il grado è

possibile definire il numero di queste funzioni, ovvero il numero dei punti di controllo, e la relativa

spaziatura. In definitiva la curva di calibrazione assumerà la seguente forma:

N


i=

0

∆ϕ

( V ) = C F ( V )

(5)

i

i,

k

Dove N+1 sono i punti di controllo, k-1 è il grado delle polinomiali e Ci sono i parametri da

determinare attraverso la regressione non lineare. Nel presente lavoro sono state utilizzati polinomiali

di grado 3 (k=4) e 6 punti di controllo (N=5) equispaziati nell’intervallo [0.3,9.9] V. La forma di tali

funzioni peso è riportata in Fig.1. La procedura di fitting è stata implementata nell’ambiente

Mathematica ® utilizzando la funzione predefinita NonlinearRegress [12-14], alla quale, oltre ai dati

sperimentali ed al modello non lineare, è necessario fornire i valori di partenza dei parametri da

stimare. La scelta di tali valori è fondamentale sia per accelerare la fase di calcolo sia per evitare

eventuali minimi locali.

Figura 1: Funzioni peso per N=5 e k=4.

0

(3)


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3. SET-UP SPERIMENTALE DI CALIBRAZIONE

La calibrazione dell’attuatore è stata effettuata inserendo il dispositivo lungo un braccio di un

interferometro di Michelson. L’interferometro è alimentato mediante un laser He-Ne da 10 mW il

quale è espanso mediante un obiettivo da microscopio. Il fascio è quindi intercettato da due

polarizzatori e da un diaframma. Mediante i due polarizzatori è possibile scegliere accuratamente

l’intensità luminosa degli interferogrammi. Inoltre uno dei polarizzatori presenta una superficie

smerigliata e ciò permette di trasformare il fascio sferico uscente dall’obiettivo in un fascio speckle.

Agendo sul diaframma, infine, è possibile modificare la dimensione degli speckle. Gli

interferogrammi sono acquisiti mediante una telecamera Sony B&W modello XC-77RR-CE la quale

genera un segnale video standard CCIR che viene convertito da un frame grabber National Instrument

modello PCI 1408 connesso alla scheda madre di un personal computer. Le immagini vengono

acquisite, pre-processate e salvate in ambiente LabVIEW TM . Uno schema del set-up sperimentale è

riportato in Fig.2. In Fig.3 è riportata una foto dello stesso, in cui sono visibili i tre trimmer per

l’allineamento dell’attuatore e i tre interruttori per escludere l’alimentazione su uno o più

piezoelettrici. È inoltre presente un altro trimmer per dare un offset di tensione costante a tutti e tre i

piezoelettrici.

Figura 2: Schema del set-up sperimentale.


4. L’ATTUATORE PIEZOELETTRICO

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Figura 3: Foto del set-up sperimentale.

L’attuatore piezoelettrico messo a punto è un dispositivo realizzato mediante una cassa in acciaio

inossidabile che funge da elemento elastico, deformato elasticamente mediante tre ceramici in PZT

multistrato a basso voltaggio. Si è ottenuto, così, un dispositivo a tre gradi di libertà: una traslazione

lungo l’asse di espansione dei piezoelettrici e due rotazioni intorno agli assi contenuti in un piano

perpendicolare al suddetto asse. In Fig.4 è riportata la soluzione meccanica adottata per la cassa. Sulla

superficie superiore sono stati realizzati 6 fori filettati, tre per il fissaggio di uno specchio o di un

qualunque dispositivo che si intende traslare e tre in corrispondenza delle tre cave, ottenute mediante

fresature a disco, dove vengono fissati i piezoelettrici. Quest’ultime tre filettature permettono di

ottenere un precarico mediante l’utilizzo di grani i quali applicano una compressione sui ceramici

attraverso un blocchetto di acciaio super rapido (HSS) con la stessa sezione dei piezoelettrici

sottostanti (Fig.5a). Quest’ultimi, a loro volta, sono stati incollati sulla cassa. In Fig.4b è riportata una

sezione longitudinale della cassa in cui è possibile notare la parte cedevole opportunamente sagomata

che rende mobile la parte superire rispetto alla parte inferiore. Inoltre si può osservare un foro centrale

cieco in cui sono alloggiati tutti i cavi elettrici che arrivano ai piezoelettrici. Tali cavi sono poi fatti

passare attraverso altri tre fori effettuati nel tappo inferiore bloccati diametralmente attraverso dei

grani. L’intero dispositivo presenta un diametro di 23 mm nella parte superiore ed uno di 25 mm nella

parte inferiore, l’altezza totale è pari a 20 mm.

a) b)

Figura 4: Modello 3D della cassa dell’attuatore: a) complessivo, b) sezione longitudinale.

Questo tipo di soluzione è stata adottata non per poter sfruttare tutti i 3 gradi di libertà, bensì per

poter compensare espansioni non uniformi dei PZT. Infatti espansioni accompagnate da rotazioni

indesiderate possono avere effetti estremamente dannosi qualora tali dispositivi vengano impiegati in

set-up interferometrici, come decorrelazione dei campi speckle o formazione di sistemi di frange spuri.


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Al fine di compensare tali rotazioni spurie è stata realizzato un opportuno circuito elettrico il quale

permette di variare singolarmente la tensione di alimentazione su ogni singolo piezoelettrico. La

tensione di alimentazione è impostata mediante PC il quale, attraverso la porta parallela e sfruttando

alcune funzione predefinite in LabVIEW, invia un’istruzione ad un convertitore D/A a 16 bit. Il

convertitore genera una tensione fra 0 e 10 V la quale viene amplificata di un fattore 10 mediante un

amplificatore di carica della Physik Instrumente modello E660.OE. Tale tensione viene quindi chiusa

su un partitore di corrente composto da tre rami su ognuno dei quali è inserita una resistenza fissa di

100 kΩ e una variabile fra 0 e 10 kΩ. Ogni piezoelettrico (Physik Instrumente modello PL033.20,

dimensioni 3x3x2 mm), quindi, è chiuso su una resistenza variabile fra 100 e 110 kΩ, pertanto la sua

corsa, direttamente proporzionale alla tensione applicata può essere variata di circa il 10%, margine

sufficiente per eguagliare le tre corse e quindi impostare la rettilineità della corsa complessiva

dell’attuatore. È bene puntualizzare, inoltre, che in questo modo è possibile compensare altri eventuali

effetti spuri come lavorazioni imperfette della cassa o posizionamento impreciso dei singoli ceramici.

Nella parte bassa al centro della Fig.2 è riportato schematicamente il circuito realizzato su una scheda

per circuiti stampati.

In Fig.5 sono riportati alcuni particolari dell’attuatore. In Fig.5a è visibile il ceramico in PZT, nella

parte inferiore con i cavi elettrici saldati e nella parte superiore con incollato il blocchetto in acciaio

super rapido. In Fig.5b è visibile la posizione che andrà ad occupare il singolo piezoelettrico e sono

visibili i tre grani per il precarico. Infine in Fig.5c sono visibili i collegamenti elettrici per

l’applicazione della tensione di alimentazione ai piezoelettrici: in particolare è messo in evidenza

l’unico ceramico collegato, mentre per gli altri due le saldature devono ancora essere effettuate.

a) b) c)

Figura 5: Foto dell’attuatore: a) il singolo piezoelettrico; b) la posizione del singolo piezoelettrico nella cassa; c) i

collegamenti elettrici.

5. ALLINEAMENTO E CALIBRAZIONE DELL’ATTUATORE

Prima di ricavare la curva tensione-spostamento dell’attuatore, come più volte detto, è stato

necessario eliminare eventuali rotazioni spurie che nascono durante l’espansione dei ceramici. Tale

procedura di allineamento, interamente condotta in ambiente LabVIEW TM , si articola nei seguenti

passi. Una prima fase consiste nel suddividere l’intero campo speckle acquisito dalla telecamera in un

certo numero di sottomatrici, nel presente lavoro l’immagine è stata suddivisa in 3x4 sottomatrici.

Quindi per ognuna di esse viene applicata la procedura descritta: variando la tensione di alimentazione

in maniera tale da ottenere 1-2 cicli per ogni sottomatrice viene effettuato un fitting sinusoidale sui

dati e ricavata una frequenza per ogni sinusoide in termini di cicli per volt. Infine riportando tali

frequenze sul baricentro di ognuno delle sottoimmagini ottenute dall’immagine principale e cercando

l’equazione del piano che meglio approssima tali frequenze, si visualizza l’eventuale rotazione spuria

presente. Se infatti non c’è rotazione le suddette frequenze calcolate risultano praticamente identiche,

se invece è presente una rotazione le frequenze variano linearmente sul piano dell’immagine. Se è

rilevata una rotazione significativa si agisce sui trimmer, quindi si ripete la procedura fino a non

rilevare una rotazione apprezzabile.


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Figura 6: Pannello di controllo per l’allineamento dell’attuatore.

Il pannello di controllo dello strumento virtuale messo a punto per tale scopo è riportato in Fig.6.

Mediante tale strumento è possibile impostare i voltaggi iniziale (Start voltage) e finale (End

voltage) e il numero di passi (Step number) con cui suddividere tale intervallo di tensione. Durante

l’esecuzione viene visualizzato il voltaggio attuale (Current voltage), mentre alla fine

dell’esecuzione vengono visualizzati sia la sinusoide dell’intera immagine, sia il piano di regressione

ottenuto sulle frequenze delle varie sottomatrici (CPV%). In quest’ultimo grafico gli assi nel piano

indicano i pixel dell’immagine acquisita, mentre l’asse verticale esprime in termini percentuali la

differenza del numero di cicli per volt rispetto ad un valore medio. Nell’esempio riportato in figura si

vede come la differenza ottenuta è al di sotto dell’1%; per diminuire ulteriormente tali effetti spuri si

può eventualmente inserire un altro trimmer con una resistenza totale minore del trimmer già saldato

sulla scheda.

Una volta eliminata tale rotazione si passa alla calibrazione vera e propria dell’attuatore.

Inizialmente viene fissato un intervallo di variazione della tensione, tale intervallo è scelto in maniera

tale da sfruttare al massimo la corsa del ceramico evitando fenomeni di saturazione o soglia (sia del

ceramico che dell’elettronica di controllo) tipicamente presenti negli estremi. Quindi si decide in

quanti passi suddividere tale intervallo ovvero di quanto incrementare la tensione di input.

Eventualmente è possibile anche stabilire di effettuare i calcoli non sull’intera immagine acquisita ma

su una parte di essa, quindi si applica la relazione (4). Se l’attuatore presenta una rotazione spuria

significativa si ottiene una sinusoide smorzata tipo quella riportata in Fig.7a, in cui l’entità dello

smorzamento è tanto maggiore quanto maggiore è la rotazione, anche se non è stata cercata una

correlazione fra questi parametri. Se invece non sono visibili effetti spuri, la sinusoide presenta una

ampiezza costante e l’andamento è tipo quello riportato in Fig.7b. Dalla forma della sinusoide è

possibile inoltre notare, quanto meno qualitativamente, se c’è un comportamento non lineare. Se infatti

la risposta dell’attuatore presenta delle non linearità la frequenza della sinusoide risulta non costante.

a) b)

Figura 7: Dati sperimentali: a) rotazione spuria non trascurabile, b) rotazione spuria trascurabile.


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Figura 8: Sinusoide in salita (curva continua) ed in discesa (curva tratteggiata).

Nel presente lavoro è stato scelto un’intervallo di tensione fra 0.3 V e 9.9 V e gli incrementi di

tensione non inferiore a 0.1 V. Come segnale di ingresso è stata data una tensione in salita ed in

discesa su tutto il suddetto intervallo. Quindi sono state ricavate una sinusoide per la fase in salita e

una per quella in discesa e su entrambe è stata effettuata una regressione non lineare così da ottenere la

curva di calibrazione. Dalla osservazione delle sinusoidi di salita e di discesa (Fig.8) è possibile notare

la distorsione del passo di tali sinusoidi a testimonianza della non linearità dell’attuatore. Inoltre la non

coincidenza del tratto di salita e di discesa evidenzia l’esistenza di un ciclo di isteresi, tipicamente

presente in gran parte dei dispositivi piezoelettrici.

In Fig.9 sono riportate tre curve di calibrazione dell’attuatore e le rispettive pendenze ottenute in

tempi molto ravvicinati. È possibile notare l’elevata ripetibilità delle curve di calibrazione (Fig.9a),

infatti l’errore massimo, minore di 5 nm su una corsa complessiva di circa 1.6 µm, si ha in

corrispondenza di una tensione di ingresso pari a 9.9 V. È inoltre possibile dall’osservazione della

derivata prima delle curve di calibrazione (Fig.9b) identificare i tratti in cui il comportamento

dell’attuatore può ritenersi lineare. In corrispondenza di una tensione di ingresso pari a circa 6.3 V

delle curve di salita e 3.5 V delle curve di discesa, infatti, tali curve presentano un flesso e quindi una

derivata prima costante. Nell’intorno di tali valori della tensione di ingresso sono stati evidenziati in

Fig.9a i tratti in cui la risposta dell’attuatore può ritenersi lineare, tali tratti sono stati presi in maniera

tale da abbracciare un intervallo di circa 250 nm, corsa tipicamente necessaria per effettuare il phaseshifting

in un interferometro che opera nello spettro del visibile.

a) b)

Figura 9: a) Curve di calibrazione dell’attuatore, b) Pendenza delle curve di calibrazione.

6. CONCLUSIONI

Nel presente lavoro è stata condotta la progettazione, la realizzazione e la calibrazione di un

attuatore piezoelettrico a basso voltaggio a ciclo aperto. L’attuatore è costituito da un elemento

elastico, realizzato in acciaio inossidabile alle macchine utensili, deformato da tre ceramici

piezoelettrici in PZT. L’attuatore risulta autocontenuto (un cilindro altro 20 mm e con un diametro


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massimo di 25 mm) e presenta sulla superficie mobile tre filettature per il fissaggio di uno specchio o

comunque di un altro dispositivo.

La calibrazione è stata condotta inserendo l’attuatore lungo un braccio di un interferometro di

Michelson, utilizzando come fasci interferenti due campi speckle, uno emergente da uno specchio

fisso, l’altro da un secondo specchio montato sull’attuatore. Mediante l’utilizzo di tre piezoelettrici

alimentati con la stessa tensione che può essere variata indipendentemente su ogni piezoelettrico di

una percentuale di circa il 10%, è stato possibile ottenere su ogni ceramico la stessa corsa e quindi una

compensazione di eventuali rotazioni spurie, che sempre accompagnano l’espansione di questo tipo di

ceramici. La tensione di alimentazione è stata ottenuta utilizzando un convertitore D/A a 16 bit

interfacciato direttamente con la porta parallela di un PC, senza quindi dover passare per una scheda di

acquisizione dati o comunque per un qualche dispositivo di input/output specifico. Sia la procedura di

allineamento che di calibrazione sono state condotte in ambiente LabVIEW TM , mentre alcune delle

elaborazioni dei dati sperimentali sono state condotte in ambiente Mathematica ® .

Le curve di calibrazione ottenute hanno mostrato una elevata ripetibilità, infatti su una corsa

complessiva di circa 1.6 µm lo scostamento massimo fra due qualsiasi curve non supera mai i 5 nm.

Inoltre su tali curve sono stati identificati tratti a comportamento lineare in cui si potrebbe

eventualmente lavorare qualora si intendesse applicare un algoritmo di phase-shifting nell’ambito di

applicazioni interferometriche.

Non sono state condotte analisi circa il comportamento dinamico dell’attuatore, né è stato studiato

il comportamento completo a isteresi. Tali indagini saranno oggetto di lavoro futuro.

BIBLOGRAFIA

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