Modelli e caratteristiche dinamiche di strumenti Modelli dinamici

Modelli
e caratteristiche dinamiche di
strumenti
Equazioni generali
Esempi se p della de afenomenologia e o e o og a fisica s ca
Modello e caratteristiche di strumenti di ordine 0, 1 e 2
Confronti delle caratteristiche dinamiche
Modelli dinamici
Generico legame ingresso-uscita di un sistema dinamico
A
n
d
q
dt
d
+ ... + A q
dt
+ Aq = B
m
d d
q + ... + B q + B q
dt dt
n n o 1 o 0 o m m i 1 i 0 i
Per uno strumento occorre avere un solo termine in ingresso:
n x
d d d
An qo + ... + A1 qo + A0qo = Bx q
n x i
dt dt dt
Ordine dello strumento: differenza tra ordine massimo e minimo di
derivazione di q o
I modelli per una adeguata descrizione del comportamento
dinamico di uno strumento sono a coefficienti costanti e di ordine
zero, primo o secondo,
L’approssimazione è rappresentativa del comportamento reale
dello strumento nelle corrette condizioni di utilizzo
2
1
1

Modelli dinamici
Strumento di ordine zero
Strumento del primo ordine
Strumento del secondo ordine
Aq = ...
0
Aq& Aq
A q Aq
1 o + 0 o = ...
&& 2 o + & 1 o = ...
Aq&& Aq& Aq
2 o + 1 o + 0 o = ...
Passi dell’analisi:
• Scelta di forzanti particolari (gradino, rampa, sinusoide) per il calcolo
della risposta
• Soluzione: Integrale particolare (dipendente dal caso specifico) e
generale (dipendente dalla struttura dell’equazione omogenea)
L’importanza di questo tipo di analisi è legata alla possibilità di definire
sistematicamente i parametri che caratterizzano ciascun modello, e
capire come valutarli in relazione all’utilizzo che ne potremmo fare
3
Modelli dinamici
Ricordando l’operatore di Laplace potremo ottenere l’espressione
della funzione di trasferimento come rapporto tra ingresso e uscita:
( A s + A s + ... + As+ A ) q = Bs q
A(s)q = B(s)q
n n−1 i
n n−1 1 0 o i i
o i
q = A(s) B(s)q
−1
o i
Ci interessa quindi caratterizzare la funzione di trasferimento dello
strumento
qo
−1
H = = A(s) B(s)
q
Un solo termine per il polinomio B(s): l’ingresso desiderato
i
o
4
2

Analisi fenomenologica
e scrittura delle
equazioni costitutive
Ordine 0: Il potenziometro
Potenziometro: Il cursore del potenziometro è vincolato al punto del
quale si misura lo spostamento
Scriviamo la sua funzione di trasferimento:
S
V
V VS
VS
VO= x= Gx
L
Nella relazione ingresso-uscita dello strumento non compare nessun
termine differenziato rispetto al tempo
Il guadagno G è costante in frequenza V% () s = G x% () s
Limiti di d vvalidità d de del modello: ode o:
Nello scrivere la relazione di trasduzione non abbiamo considerato che
il potenziometro è un corpo elastico, quindi con infiniti gradi di libertà
Abbiamo implicitamente assunto che la dinamica interna allo strumento
sia a frequenze elevate rispetto al contenuto in frequenza dell’ingresso
O
5
VO
6
3

Ordine 1: Il termometro
Termometro
T a temperatura ambiente
Ti temperatura interna
h coefficiente di scambio termico
m massa del materiale del bulbo
(trascurabile la massa del materiale nella colonna)
c calore specifico del materiale del bulbo
t tempo
L’equazione di equilibrio dei flussi è: q = hA( Ta − Ti) = mcT&
i
Equazione dinamica del primo ordine: mc T& i + hA Ti = hA Ta
mc
τT& i + Ti = Ta → ( sτ + 1) T% i = T%
a Costante di tempo => τ =
hA
T%
i 1
Sensibilità statica =>
= = Gs % ()
G = 1
T% sτ+
1
(guadagno a regime)
a
Ordine 2: Accelerometro
Consideriamo un sensore di accelerazione a “massa sismica”
Massa sismica
Rigidezza baricentro
massa sismica
Spostamento
della base (m)
7
Misura dello
spostamento
relativo della
massa (u)
Occorre analizzare l’equazione di equilibrio dinamico.
Modello dinamico elementare a 1 gdl: massa, molla e smorzatore:
l’uscita l uscita deve essere messa in relazione con ll’ingresso ingresso di
accelerazione applicato al contenitore dell’accelerometro
L’accelerazione imposta dal movimento della base, agendo sulla
massa con una forza pari a f=ma, flette la barretta
Un trasduttore di posizione rileva lo spostamento dell’estremità
8
4

Accelerometro
Equazione di equilibrio dinamico:
2
nel tempo: d ( m+ u) du
M + C + Ku = 0
2
dt dt
u - Movimento relativo della massa sismica
m - Movimento della base
In frequenza l’accelerazione della base è a(s)=s 2 m
2 2
us % ()
1
( MMs+ CCs+ K )() us % =− M sms % () =− M as () =− 2
as () ( s + C/ Ms+ K/ M)
Equazione dinamica di secondo ordine ad un grado di libertà
che modella solo un aspetto della dinamica interna dell’oggetto
Modelli dinamico di un accelerometro
Allora:
2 2
( As 2 + As 1 + A0) qo = Bsq 2 i
2
A(s)qo
= B2s qi
(
2
)
Uscita : q qo 2
Ingresso : a = s q qi
m
9
u
Ms + Cs+ K u% =−Ma%
-1
Uscita = H(s) ⋅ Ingresso con H = A(s)
B
Le caratteristiche di funzionamento sono:
Sensibilità statica (guadagno a regime: s nullo)
Pulsazione propria
Coefficiente di smorzamento
B M
= =
2 G
A A0 K
A0 K
ω n = =
A2M A1C ζ = =
2 A A 2 KM
0 2
10
2
5

Ampiezza
Modelli dinamico di un accelerometro
10 1
10 0
1
10 -1
Diagrammi tipici di risposta in frequenza:
005 0.05
0.7
0.1
10 -1
10 0
Frequenza adimensionale
Fase
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0.10
0.05
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Frequenza adimensionale
Ordine 2: Sensore di spostamento a massa
sismica
Consideriamo un sensore di spostamento a “massa sismica”
Massa sismica
Rigidezza complessiva
Spostamento
della base (m)
0.7
11
Misura dello
spostamento
relativo della
massa (u)
L’uscita deve essere messa in relazione con l’ingresso di spostamento
applicato al contenitore dell dell’accelerometro
accelerometro
Il movimento, variabile nel tempo, impone un’accelerazione alla base,
agendo sulla massa deforma la barretta
Un trasduttore di posizione rileva lo spostamento dell’estremità
12
6

Sensore di spostamento a massa sismica
Equazione di equilibrio dinamico: u
2
d ( m+ u) du
2
dt dt
M + C + Ku
= 0
u - Movimento relativo della massa sismica
m - Movimento della base
m
2
2
( Ms + Cs + K) u% =− Ms m%
2
us % ()
s
=− 2
ms % () ( s + C/ Ms+ K/ M)
L’ingresso del sistema è direttamente il movimento della base m
Equazione dinamica di secondo ordine ad un grado di libertà
(massa, molla e smorzatore) che trascura la dinamica interna
dell’oggetto
Sensore di spostamento a massa sismica
La funzione di trasferimento è completamente diversa da quella di uno
accelerometro a causa della presenza di poli e zeri:
Il guadagno di regime si ha per frequenze di lavoro superiori a quella
propria del sistema
Per frequenza basse la
massa sismica si muove
come la base
Per frequenze elevate la
massa sismica rimane
ferma e il movimento
relativo coincide con
quello della base
L’uscita è in controfase
all’ingresso (G = -1)
Frequenza
normalizzata
13
G costante
per f>f n
14
7

Sensore di spostamento a massa sismica
L’equazione di equilibrio dinamico è la STESSA dell’accelerometro: il
sistema è sempre sensibile all’accelerazione MA l’ingresso desiderato
è lo spostamento. Quindi:
Uscita : q qo = u Ingresso : q qi = m
2 2
( As 2 + As 1 + A0) qo = Bsq 2 i
2
A(s)qo
= B2s qi
2
u% s M
=− 2
m% ( Ms + Cs+ K)
Uscita = H(s) ⋅ Ingresso con
−1
2
H = A(s)
B s
I parametri caratteristici diventano:
B 2 − M
SSensibilità ibili à statica i (guadagno ( d a regime: i s elevato) l ) G = = =−1
A M
Pulsazione propria
Coefficiente di smorzamento
A K
ω n = =
A M
0
2
ζ = 1 =
0 2
2
A C
2 A A 2 KM
Modello dinamico Vs Modello metrologico
2
15
16
8

Modello dinamico Vs Modello metrologico
Le equazioni che abbiamo scritto descrivono il comportamento
dinamico del sistema “strumento”
Per ottenere il modello metrologico, cioè quello che potremo usare per
ottenere la misura, misura è necessario introdurre il principio di trasduzione
Questa operazione ha senso solo dopo che nell’equazione dinamica i
termini dinamici sono diventati trascurabili
Mu&& + Cu&+ Ku= Ma
Ku = Ma
Principio p di trasduzione meccanico/elettrico
Otteniamo infine la sensibilità di progetto,
o nominale, dello strumento
Analisi della risposta dinamica
u = CV
Ku = KCV = Ma
⎛ M ⎞
V = ⎜ ⎟a
⎝KC ⎠
17
18
9

Strumento di ordine zero
Equazione caratteristica=>
Equazione normalizzata=>
A q = B q
0 o 0 i
B
q = q = Gq
o
0
A A0
i i
Sensibilità statica (guadagno a regime)=>
Legame ingresso-uscita qo = Gqi
B
G =
A
Rappresenta lo strumento ideale dal punto di vista della sua risposta
di dinamica. i
Dal momento che il legame ingresso uscita è algebrico, non ha
importanza la variazione nel tempo dell’ingresso, l’uscita seguirà
perfettamente l’ingresso, senza distorsione o ritardo di fase.
Strumento di ordine zero
Esempi: potenziometro
Esempi: estensimetro
x
e = E
L
i
o b
1 ΔR
ε =
k R
ATTENZIONE: l’estensimetro ammette un modello di ordine
zero nel caso di misura di deformazione: se si utilizza un
estensimetro per realizzare un trasduttore di forza, il sistema di
misura complessivo può esibire un comportamento del 2° ordine
0
0
19
20
10

Strumento di ordine zero
Risposta al gradino
Esempio: potenziometro
x
e = E
L
i
o b
Strumento di primo ordine
A q&+ A q = B q
1 o 0 o 0 i
A1 B0
q q& o + q qo = q qi
A0 A0
τ q&+ q = Gq
o o i
Sensibilità statica =>
(guadagno a regime)
A1
Costante di tempo => τ =
A
qoG Funzione di trasferimento => () s =
qiτs+ 1
G
s
Esempio: termometro
B
21
0 G = uout uin
A0
0
[ / ]
[] t
22
11

Strumento di primo ordine
Risposta al gradino
% % Cond. Iniziali:
( τ s+ 1) qo = Gqi_STEP
Soluzione data da due parti:
Int. Generale
Int. Particolare
q = 0 per t = 0
o
t
−
τ
qo_gen= Ce
q = G q
o _ par i _STEP
o i STEP
t
−
=
t
−
τ
−
Applicando le condizioni iniziali: q Kq _ (1 e ) τ
qo
In forma adimensionale:
Gqi_STEP
= (1 −e)
Errore di misura:
qo
em = qi −
G
Strumento di primo ordine
t
Risposta al gradino qo Gqi_STEP( 1 e ) τ −
= −
Minore è la costante di tempo maggiore la prontezza dello strumento
Dopo un tempo pari a 4 τ la risposta raggiunge il 98% della risposta
statica
23
+
24
12

Strumento di primo ordine
Risposta al gradino
Strumento di primo ordine
Risposta al gradino:
Determinazione sperimentale della costante di tempo
qo
t
( 1 e ) τ −
= −
qo
1
t
e τ
−
Gqi_STEP
= ( 1−e
)
1−
Gq
τ = e
z = 1−
qq
iSTEP
1
ln z =− t
τ
a = bt
Si può quindi procedere con una regressione
lineare la cui pendenza è ll’inverso inverso della
costante di tempo
Risulta molto più semplice che non andare a
stimare la costante di tempo in base alla
variazione dell’ampiezza della risposta.
o o
Ponendo: z = 1−
e passando ai logaritmi:
GqKq
i_STEP iSTEP
1
− t
τ
25
26
13

Strumento di primo ordine
Risposta in frequenza
In forma adimensionale:
q%
Gq
1
jωA= ϕ = ⎡
⎣ −ωτ
⎤
⎦
( ωτ ) + 1
o
−1
( ): tan ( )
%
2
i
1.1
1.08
1.06
1.04
1.02
1
0.98
0.96
0.94
0.92
Strumento di primo ordine
Termometro
T a temperatura ambiente
A/A 0
Fase+1
0.9
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
wt
Ti temperatura interna
h coefficiente di scambio termico
m massa del materiale del bulbo
(trascurabile la massa del materiale nella colonna)
c calore specifico del materiale del bulbo
t tempo
dTi
q = hA( Ta − Ti) = mc
L’equazione di equilibrio dei flussi è:
dt
mc T& + hA T = hA T
τT&+
T = T
i i a
i i a
Costante di tempo =>
Sensibilità statica =>
(guadagno a regime)
27
mc
τ =
hA
G = 1
28
14

Strumento di primo ordine
Come si può operare per avere una costante di tempo piccola?
E’ ovvio che i termini al denominatore devono essere i più grandi
possibile, mentre quelli al numeratore devono essere i più piccoli
Ma non tutte le variabili in gioco sono indipendenti, per es. la
superficie del bulbo e la massa del fluido di misura: infatti, nelle
ipotesi adottate, indicando con r il raggio del bulbo, assunto sferico
per semplicità, poichè:
3 2
m= ρπr A= πr
3
mc ρπrcρrc La costante di tempo diventa:
τ τ = = = 2
hA hπ r h
Quindi un intervento atto ad aumentare la superficie esterna in realtà
porta ad una incremento, anziché una riduzione, della costante di
tempo in quanto il volume aumenta più rapidamente della superficie
Strumento di secondo ordine
Per lo strumento di secondo ordine il polinomio B è di ordine
dipendente dall’applicazione ma prevede la presenza di un solo
termine: l’ingresso desiderato
Strumento di secondo ordine ad ingresso algebrico
2
d qo
dqo
A2 + A1
+ A0qo
= B0q
2
i
dt dt
I parametri caratteristici possono essere ridotti a tre:
Sensibilità statica (guadagno a regime)
Pulsazione propria
Coefficiente di smorzamento
n = ω
A0
A
2
ζ =
B0
G =
A
A
1
0
0
2 A A
2
29
30
15

Strumento di secondo ordine
Sostituendo i parametri caratteristici nell’equazione
fondamentale:
2 ⎛ s 2ζ
s ⎞
⎜ + + 2 ⎟ % = %
⎝ωn ωn
⎠
1 qo Gqi
La funzione di trasferimento è:
q% o G
() s =
q% i 2ζ
+ + 1
ω ω
2
s s
2
n n
Strumento di secondo ordine
Esempio: dinamometro
Ipotesi:
Tutta la massa associata al piatto p
mobile ed uguale a M
La molla è lineare, con costante K
La lubrificazione è tale per cui
l’attrito è rappresentabile con
una sola costante B
L’effetto della gravità viene eliminato azzerando in condizione di
riposo lo spostamento x0 2
dx0 d x0
∑ Forze = massa ⋅accelerazione
fi−B − K x0= M 2
dt dt
31
32
16

Strumento di secondo ordine
Con parametri caratteristici:
2
( Ms + Bs + K) x = f%
( Ms + Bs + K) x% 0 = fi
1
/
K
Sensibilità statica (guadagno a regime) => G = [ m N]
Pulsazione propria => ω n = [ radd / s ]
Coefficiente di smorzamento =>
Strumento di secondo ordine
Risposta al gradino
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ωω⎠ 2
s 2ζ
s
+ + 1 q q% 2
o = G q%
2 o q iSTEP
n n
Con condizioni iniziali:
Integrale particolare
q o
= 0 per t = 0
qop = GqiSTEP
+
ζ =
2
dqo dt
K
M
B
KM
33
= 0 per t = 0
Int. Generale assume una delle tre possibili forme, dipendentemente
dalle radici dell’equazione caratteristica:
reali e distinte (sistema sovrasmorzato)
reali ripetute (sistema criticamente smorzato)
complesse (sistema sottosmorzato)
34
+
17

Risposta posizione
1.6
14 1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Strumento di secondo ordine
Risposta al gradino
Le tre funzioni di trasferimento operative diventano quindi:
2 2
q%
2 2
o ζ + ζ −1 ( − ζ + ζ −1) ω 1
nt ζ − ζ − ( −ζ − ζ −1)
ωnt
ζ > 1 =− e + e + 1
Gq%
2 2
iSTEP 2 ζ −1 2 ζ −1
n 1 (1 ) 1
t
o q%
−ω
ζ = =− + ωnte
+
Gq%
iSTEP
q% e
ζ < =− − ζ ω + φ +
1−
ζ
ζωnt
2
1 sin( 1 ) 1
2
t −ζω
o
nt
Gq%
iSTEP
Strumento di secondo ordine
Risposta al gradino
Risposta sistema frequenza naturale unitaria
Sovrasmorzato 1.5
Smorz. critico 1.0
Sottosmorzato 0.2
φ = sin −
−1
2
1 ζ
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
N periodi
35
36
18

Risposta normalizzata
Risposta normalizzata
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Strumento di secondo ordine
Risposta al gradino sistema sovrasmorzato
Posizione
Velocità
Accelerazione
-0.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
1.5
N periodi o Tempo
Gli effetti dinamici possono essere considerati esauriti dopo 2.5 – 3.0
volte il periodo naturale
1
0.5
0
-0.5
Strumento di secondo ordine
Risposta al gradino sistema sottosmorzato
37
Posizione
Velocità
Accelerazione
-1
0 1 2 3
N periodi
4 5 6
Gli effetti dinamici possono essere considerati esauriti dopo 4-4.5
volte il periodo naturale
38
19

Strumento di secondo ordine
Risposta al gradino
Osservazioni:
Poiché “dopo p alcuni periodi p caratteristici” gli g effetti dinamici sono
trascurabili, la risposta di un sistema diventa “statica”
ω n è un’indicazione diretta della velocità di risposta dello
strumento: per un determinato smorzamento, raddoppiando ω n si
dimezza il tempo di risposta, dato che il prodotto ω n t raggiunge lo
stesso valore in metà del tempo.
Un aumento dello smorzamento riduce le oscillazioni, oscillazioni ma rallenta la
risposta nel senso che la prima intersezione al valore a regime viene
ritardata.
Strumento di secondo ordine
Risposta al gradino
Osservazioni (segue):
Un’indicazione della bontà della risposta è data dal settling time: il
valore ottimale dello smorzamento dipende però dalla banda di
settling time scelta. Ad esempio, scegliendo il 10%, lo
smorzamento che garantisce il più rapido raggiungimento della
condizione a regime è pari a 0.6, e tale condizione viene raggiunta
in circa 2.4/ ω n unità di tempo (vedere diagramma successivo).
39
40
20

Strumento di secondo ordine
Risposta al gradino
2.4
Settling time del 10%
Strumento di secondo ordine
Risposta al gradino
Osservazioni:
Molti strumenti in commercio hanno smorzamenti compresi tra
0.6 e 0.7: questo intervallo è quello che offre la migliore risposta
in frequenza in termini di rapporto tra banda passante utile (a
guadagno unitario) e frequenza propria
Con smorzamento minore, minore per avere la stessa banda utile, utile
occorre avere una frequenza propria maggiore .
41
42
21

Strumento di secondo ordine
Risposta in frequenza
qoG qo
1
( jω)
=
( jω)
= ∠φ
2
q 2
i ⎛ j jω⎞ ζζ j jωGqi
2
2 2
⎜ ⎟ + 2 + 1
⎡ ⎛ jω⎞
⎤
⎜ ⎟
⎛ jω⎞ ⎤ ζζ ωω
⎝ωn ⎠ ω
⎢1− ⎜ ⎟ ⎥ + 4
n
2
⎢ ωn ω
⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦
n
Strumento di secondo ordine
Risposta in frequenza
φ =
−
tan 1
43
2ζ
ω ωn
−
ω
Osservazioni:
Aumentando la frequenza propria, aumenta il range in frequenza per
il quale la risposta è piatta (banda in frequenza), di conseguenza una
frequenza propria elevata è indispensabile per misurare ingressi ad
alta frequenza.
Il valore ottimale di smorzamento è indicato sia dalla risposta in
ampiezza che da quella in fase: la più estesa zona di ampiezza
costante in frequenza si ottiene per valore di smorzamento che
variano tra 0.6 e 0.7.
Un angolo di fase nullo è impossibile da ottenere: la cosa importante
è che il segnale in uscita riproduca la forma di quello in ingresso.
Questo si ottiene con un andamento di fase lineare, che genera solo
un ritardo ma non distorsione. Ancora una volta uno smorzamento
compreso tra 0.6 e 0.7 garantisce il più ampio range di frequenza in
cui la fase varia linearmente.
44
ω n
22

Caratteristiche di uno strumento di
secondo ordine
Esempio: accelerometro piezoelettrico
La massa sismica (rigida) è
appoggiata al piezelettrico, la
cui rigidezza funge da molla
elastica
Valori tipici:
Massa sismica n g
Rigidezza elevata
(Epiezo≈ 80000 N/mm2 )
Smorzamento % ≈ 0
Frequenza di risonanza: n kHz
(n>5)
Caratteristiche di uno strumento di
secondo ordine
Esempio: accelerometro
piezoresistivo a lamina
LLa massa sismica i i (rigida) ( i id )è è
montata sulla barretta elastica
Valori tipici:
Massa sismica g
Rigidezza g bassa
Smorzamento % ≈ 0,7
Frequenza di risonanza: n kHz
(n < 1)
Massa
Rigidezza
(∝ EA/t)
Massa
45
K ∝ EI/L 3
46
23

Risposta dinamica di uno strumento
Risposte tipiche
Definizione caratteristiche
utili; Modulo(A/A0)≈1
Banda passante reale
Ammpiezza
10 1
10 0
10 -1
Piezoceramico
0.7
0.05
0.1
Piezoresistivo
10 -1
10 0
Frequenza adimensionale
Fase F
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0.10
0.05
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Frequenza adimensionale
Risposta dinamica di uno strumento
Confronto di due strumenti: #1 500Hz, 0.7 #2 2000Hz, 0.05
Definizione caratteristiche utili: Errore(Modulo(A/A0)) ≈ 0.02
Banda passante al 2% di errore sul guadagno: 237 e 282 Hz cioè
47.4 e 14.1% della frequenza di risonanza
Accel piezoresistivo
0.7
Accel piezoelettrico
47
48
24

Identificazione sperimentale FdT
Identificazione sperimentale FdT
Il modello dinamico può essere identificato sperimentalmente quando
sia difficile con analisi più elementari
Si applica la relazione in frequenza di definizione della Funzione di
Trasferimento di un sistema: rapporto della trasformata dell’uscita e
dell’ingresso
Procedura elementare:
• Acquisizione delle storie temporali di ingresso e uscita
• Calcolo delle trasformate di Fourier dei due segnali g
• Calcolo della FdT (rapporto per ogni frequenza delle trasformate)
• Disegno dei diagrammi di Ampiezza e Fase
[necessarie procedure più robuste]
49
50
25

Identificazione sperimentale FdT
Es: come distinguere un sistema di 2° ordine fortemente smorzato da
uno di 1°?
L’ampiezza non dice molto:
la sola differenza è la
pendenza oltre il ginocchio
La fase del sistema di 2°
ordine è 90° in
corrispondenza della
risonanza e tende a 180, cosa
che non succede nel sistema
di 1° ordine
Identificazione sperimentale FdT
% xx uscita campionata
% xf ingresso campionato
% Fs frequenza di campionamento
tx=fft(xx)/length(xx)*Fs;
tf=fft(xf)/length(xx)*Fs;
n=length(xf)/2;
figure
ttf=tx(1:n)./tf(1:n); % calcolo (elementare) FdT
subplot(211)
loglog(ff,sqrt(abs(ttf)))
ylabel('Ampiezza'),title('Funzione di trasferimento')
fase=atan2(imag(ttf),real(ttf))/pi*180;, fase(1)=0;
subplot(212),plot(ff,fase),ylabel('Fase')
51
52
26

Validità dei Modelli dinamici
I modelli dinamici hanno un limite di validità:
Si assume che tutta la dinamica sia descritta dal grado di libertà
utilizzato ai fini metrologici
Questo è vero se le frequenze caratteristiche ad esso associate sono
ben separate da quelle del trasduttore (es la cassa)
Poiché non ha senso utilizzare uno strumento a ingresso algebrico
vicino o oltre la risonanza il problema non si pone (es accelerometro)
Per uno strumento come il trasduttore di spostamento sismico il
discorso è diverso: viene utilizzato al di sopra della frequenza di
progetto con una banda nominalmente infinita (G=1 per f→∞)
In questo caso il limite di impiego sarà dato dalle caratteristiche del
contenitore
Cosa sappiamo e/o sappiamo fare…
…
53
54
27

Approfondimenti
Risposte ad altre tipologie di
ingresso
55
56
28

Strumento di primo ordine
Risposta alla rampa
Ingresso a rampa:
⎧ q i = q qo= 0 t ≤ 0
qi
= ⎨
⎩qi_SLOPEt t ≥ 0
&
Sostituendo:
τ q& + q = Gq& t
o o i_SLOPE Applicando le condizioni iniziali: q = 0 per t = 0
Int. generale
o_gen t
−
q Ce τ =
Int Int. particolare q = Gq& _ = Gq _ ( t t−ττ )
o par i SLOPE
t
t
−
−
τ
& q o i SLOPE
o = Gq&i_ SLOPE(
τ e + t−τ)
τ q = Ce + Gq _ ( t−τ)
Strumento di primo ordine
Risposta alla rampa
Possiamo scrivere ancora l’errore di misura:
t
q
⎛ −
⎞
o
τ
em= qi− = ( q&iSLOPEt) − ⎜q&iSLOPEτe + q&iSLOPEt−q&iSLOPEτ⎟ G ⎝ t
⎠
−
τ
em=− q&i_SLOPE τ e + q&i_SLOPE
τ
1442443 14243
emt , emss
,
Errore in transitorio Errore a regime
o
+
57
58
G
29

Strumento di primo ordine
Strumento del primo ordine: risposta alla rampa
L’errore a regime è proporzionale alla costante di tempo
Strumento di primo ordine
Risposta all’impulso
FFunzione i impulso i l di iintensità t ità A: A A = lim p ( t
)
Fino al tempo T la risposta è analoga a quella a
gradino:
T →0
59
GA
( τ s+ 1) q% o = Gq%
i =
T
t
Fino al tempo T anche la condizione al contorno GA −
τ
qo= (1 −e
)
è identica, identica quindi la soluzione diventa: T
T
La soluzione è valida fino al tempo T, dove vale:
GA −
τ
qo(1 e )
t= T T
= −
60
30

Strumento di primo ordine
Risposta all’impulso
Per t>T abbiamo: ( τ s+ 1) q q% = Gq q%
= 0
E quindi:
( ) o i
T
−
T
−
τ GA(1 − e )
τ qo= Ce C =
T
−
τ Te
E quindi la risposta risulta: q _ = Gq&_ ( t−τ) o par i SLOPE
Strumento di primo ordine
Risposta all’impulso
61
62
31

Strumento di secondo ordine
Risposta alla rampa
2 ⎛ s 2ζ
s ⎞
⎜ + + 1 q 2 ⎟ % o = Gq% &iSLOPEt
⎝ ⎝ωωn ωωn
⎠
Con condizioni iniziali:
+
qo = 0 per t = 0
dqo = 0
dt
+
per t = 0
Le tre funzioni di trasferimento operative diventano quindi:
2 2 2 2
q 2 2
o 2ζ
q&⎛
iSLOPE 2ζ −1−2ζ ζ − 1 ( − ζ + ζ −1) ω 2 1 2 1
nt ζ + − ζ ζ −
⎞
( − ζ + ζ −1)
ωnt
= q&iSLOPE t− ⎜1+
e +
e
G
ω ⎜ 2 2
n ⎝ 4ζ ζ −1 4ζ ζ −1
⎠
q 2q&
o 2qiSLOPE
⎛ −ω
ωω
t
nt nt
⎞
= q&iSLOPE t− ⎜1 − e (1 + ) ⎟
G
ω ⎝ 2 ⎠
n
n 2
2
1 sin( 1
2
2 1
t −ζω
qo ζ q&⎛ iSLOPE e
⎞
= q&iSLOPE t− ⎜ − − ζ ωnt+ φ⎟
G
ω ⎜ n ζ −ζ
⎟
⎝ ⎠
Strumento di secondo ordine
Risposta alla rampa
2
2ζ
1−
ζ
φ =
2ζ
−1
tan 2
2 2ζζ q q&
iSLOPE
22ζ
ζ
Errore a regime: emss
, =
Ritardo a regime: τ mss , =
ωn
ωn
Può essere ridotto diminuendo lo smorzamento (a scapito di
oscillazioni di ampiezza maggiore) o aumentando la frequenza naturale.
63
64
32

Strumento di secondo ordine
Risposta all’impulso
Con condizioni iniziali:
2 ⎛ s 2ζ
s ⎞
⎜ + + 1 q 0
2 ⎟ o =
⎝ ⎝ω n ω n ⎠
q o
= 0 per t = 0
+
2 2
( − ζ + ζ −1) ωnt ( −ζ − ζ −1)
ωnt
( e e )
qo
1
= −
GAω
2
n 2 ζ −1
q nt o q
−ω
= ωnte
ωn
GA
qo
1
= e − t
GAω
2
n 1−
ζ
−ζωnt
2
sin( 1 ζ ωn
)
Strumento di secondo ordine
Risposta all’impulso
dqo
2
+
= KAωn
per t = 0
dt
65
66
33