Algebra 2 Capitolo 7: La probabilità formato PDF - Matematicamente.it

►2. Definizioni di probabilità
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Nel linguaggio comune l'uso del termine probabilità è abbastanza chiaro e uniforme. Si dice che un certo
"fatto" o "evento" è più o meno probabile a seconda che ci si aspetti che si verifichi più o meno facilmente.
La probabilità è dunque una misura delle aspettative nel verificarsi di un evento. Il valore della probabilità è
la misura (un numero) che esprime l’opinione del soggetto (decisore) in merito al verificarsi di un ben
determinato evento A, ovvero esprime il suo grado di fiducia nel verificarsi dell’evento che dipende dalle
informazioni che si hanno a disposizione al momento di effettuare la valutazione.
Se diciamo che oggi pioverà con probabilità 0,20= 20 1
= intendiamo che siamo disposti a scommettere
100
20 centesimi per avere 1 euro nel caso che piova e a perdere i 20 centesimi della posta nel caso che non
piova.
Diamo dunque una definizione di probabilità:
DEFINIZIONE. La probabilità dell’evento A è quel valore P(A) che si ottiene dalla quota q che
l’individuo che procede alla valutazione è disposto a pagare per ricevere una vincita S nel caso si verifichi
l’evento. Quindi P A= q
S .
Per ottenere una valutazione coerente, per valutare quanto siamo disposti a perdere/vincere nella scommessa,
dobbiamo immedesimarci nei due ruoli, quello dello scommettitore e quello del banco. Inoltre le somme che
scommettiamo devono essere sigmificative per chi procede alla valutazione.
Nessun individuo coerente scommetterebbe su un evento impossibile una quota maggiore di 0 qualunque sia
la vincita e nessun individuo come banco pagherebbe una vincita S maggiore di una quota q per un evento
certo.
Da queste considerazioni deduciamo che la misura della probabilità appartiene all'intervallo [0,1], essendo 0
il valore che corrisponde all'evento impossibile e 1 quello che corrisponde all'evento certo.
Occorre inoltre che non ci siano scommesse olandesi. Una scommessa olandese è una scommessa che
prevede una vincita o una perdita certa. Se per esempio si accettasse di scommettere 15 per la vittoria di A,
10 per la vittoria di B e 30 per la vittoria di A o di B, qualsiasi individuo potrebbe guadagnare 5 qualunque
sia l'evento che si verifica, agendo come scommettitore per A e per B e come banco per A∪B. Analizziamo
tutti i casi possibili:
Evento: vince Scommessa su A Scommessa su B Banco per A o B Saldo
A: 85 −10 −70 5
B −15 90 −70 5
né A né B −15 −10 30 5
Per eliminare la scommessa olandese, se due eventi sono incompatibili cioè disgiunti, occorre che
P A∪B=P AP B .
Regole per la probabilità
Prima di entrare nella valutazione della probabilità sintetizziamo le regole che abbiamo appena introdotto .
La probabilità è un numero reale non negativo p associato ad ogni evento E: in simboli: p= P E , tale
che:
1. Se l'evento E è certo P E =1, se l'evento E è impossibile P E =0 ;
2. Se gli eventi A e B sono incompatibili P A∪B=P AP B
3 Se l'evento E è un evento aleatorio e E l'evento complementare, dato che i due eventi E e E sono
incompatibili e esaustivi dalle due regole precedenti deriva: P E P E =1 e P E =1− P E .
Può essere utile pensare alla misura della probabilità p di un evento come la parte di una massa unitaria che
dobbiamo “spalmare” sull'evento.
Abbiano dato le regole della probabilità, ma come si procede alla sua valutazione? Come si fa a spalmare la
quantità che ci sembra giusta di massa sull'evento?
Lo schema classico
La valutazione della probabilità a volte si riconduce a semplici giudizi di equiprobabilità: cioè ogni evento
elementare dello spazio degli eventi ha la stessa probabilità. Così nel lancio di un dado, nel gioco della
5
PROBABILITÀ 6