Guida Nel mondo dei numeri e delle operazioni - Edizioni Centro ...

Carla Alberti, Maria Elisabetta Bracchi
e Stefania Portieri
Nel mondo dei
numeri e delle
operazioni
I numeri fi no a 100
Addizione e sottrazione
Guida

Editing e progettazione
Nicoletta Rivelli
Sviluppo software
Daniele De Martin
Collaborazione
Michele Linardi
Walter Eccher
Coordinamento tecnico
Matteo Adami
Grafica, illustrazioni e animazioni
Riccardo Beatrici
Elaborazione grafica
Riccardo Beatrici
Testing
Aron Verga
Elena Marchesoni
Milena Pellizzari
Manuela Paolino
Audio
Jinglebell Communication
Musiche
Simone Bordin
Immagine di copertina
Riccardo Beatrici
Fotocomposizione e packaging
Tania Osele
© 2008 Edizioni Centro Studi Erickson
via Praga 5, settore E
38100 Gardolo (TN)
tel. 0461 950690 – fax 0461 950698
www.erickson.it – info@erickson.it
Tutti i diritti riservati. Vietata la riproduzione con qualsiasi mezzo effettuata,
se non previa autorizzazione dell’Editore.

INDICE
Installazione e avvio del CD-ROM p. 4
Introduzione
a cura degli autori p. 5
Guida alla navigazione p. 6
Login p. 6
Menu p. 7
Tasti di scelta rapida p. 8
Sezione 1 – Numeri naturali p. 9
Sezione 2 – Addizione p. 16
Sezione 3 – Sottrazione p. 21
Sezione 4 – Giochi aritmetici p. 24
Guida al gestionale p. 29
Menu p. 29
Statistiche p. 30
Opzioni p. 31

Installazione e avvio del CD-ROM
Per usare il CD-ROM su computer Windows, assicurarsi che la propria
macchina soddisfi i requisiti di sistema riportati in copertina.
Avvio automatico
1. Inserite il CD-ROM nell’apposito lettore.
2. Non premete nessun tasto. Il programma partirà automaticamente (il
tempo medio è di 25 secondi).
Avvio manuale
1. Inserite il CD-ROM nell’apposito lettore.
2. Cliccate su Start/Avvio.
3. Cliccate su Esegui.
4. Digitate D:\AVVIOCD.EXE (dove D indica la lettera dell’unità CD-
ROM) e premete «Ok». In alternativa, premete il pulsante «Sfoglia»,
scegliete l’unità CD-ROM nel campo «Cerca in» e fate doppio clic sul
file «Setup».
5. Passate alle voce «Installazione del programma».
Installazione del programma
L’installazione del programma può essere di due tipi:
– installazione automatica, ovvero il programma si autoinstalla;
– installazione personalizzata, in cui l’utente può scegliere la cartella in cui
installare il programma.
Quando l’installazione è stata completata, appare un messaggio «Installazione
completata. Avviare ora l’applicazione?». Cliccate «Sì» per avviare.
Attenzione, se possedete un sistema operativo Windows XP o Windows
Vista è possibile installare l’applicazione in due modalità:
1. Per essere utilizzata da un solo utente.
2. Per essere utilizzata da tutti gli utenti che accedono al computer. Per
poter fare questo tipo di installazione, l’utente deve avere i diritti di
amministratore.
Con Windows Vista all’inserimento del CD-ROM potrebbe comparire una
finestra denominata «Controllo dell’account utente» che chiede conferma
prima di installare il programma. Selezionare l’opzione «consenti». A questo
punto partirà l’installazione Erickson. Se non disponete di un account
utente con privilegi di amministratore prima di proseguire verrà chiesto
di inserire la password di amministratore. Se non disponete di questa
password non sarà possibile proseguire con l’installazione.
Leggimi
Per ulteriori informazioni, consultare il file «Leggimi». Per visualizzarlo,
cliccate su «Risorse del computer», selezionate con un clic l’icona CD-
ROM, dal menu «File», selezionate la voce «Esplora», fate doppio clic
sul file «Leggimi».
4 © 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

Introduzione
a cura degli autori
Questo software è il primo di una serie pensata per supportare le
proposte didattiche presenti in forma di approfondimenti concettuali,
itinerari didattici e schede fotocopiabili nei sei volumi della collana
Ricostruiamo la matematica – Nel mondo dei numeri e delle operazioni
(a cura di Colombo Bozzolo C., Costa A. e Alberti C. pubblicata presso
le Edizioni Erickson). Esso, quindi, è stato elaborato in coerenza con
la visione della matematica, del suo insegnamento e del suo apprendimento
esplicitata nei suddetti volumi e riconducibile agli studi di
Freudenthal (1994). Questi sottolinea come la matematica sia prima
di tutto un fatto culturale, in quanto è un’attività mentale che, a partire
da contesti ricchi, come quelli reali, porta a indagare ragioni, a
cercare e creare certezze logiche, strumenti linguistici e logici per
leggere, interpretare e rappresentare la realtà. Un apprendimento della
matematica che voglia essere in sintonia con la natura stessa della
disciplina e, al medesimo tempo, rispettoso della libertà del soggetto di
tale apprendimento e del suo mondo cognitivo, deve essere inteso come
re-invenzione, ossia ricostruzione attiva del sapere matematico da parte
del soggetto. Tale ricostruzione deve essere guidata dall’insegnante, per
cui l’insegnamento viene inteso come regia, predisposizione accurata
di situazioni, contesti, materiali atti a sollecitare la reinvenzione, guida
consapevole dei concetti da reinventare, dei loro legami, della loro
complessità e attenta ai processi, non solo ai prodotti.
In particolare, il software qui presentato integra con esercizi che
sfruttano le potenzialità del mezzo informatico le proposte didattiche
dei volumi 1 e 2 di Nel mondo dei numeri e delle operazioni: I numeri
fino a 100 e Addizione e sottrazione.
Bibliografia
Freudenthal H. (1994), Ripensando l’educazione matematica, Brescia,
La Scuola.
© 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson
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Guida alla navigazione
Login
Per accedere al programma è necessario scrivere il proprio nome nel
riquadro o selezionarlo dalla lista dei nomi. Per scorrerla si possono usare
le due frecce poste alla base del cartellone. Quindi si deve cliccare il
cartello «Vai» per iniziare le attività.
Per attivare i fumetti contenenti le istruzioni scritte, basta cliccare il
pulsante «Attiva istruzioni scritte» e per disattivarli è sufficiente ricliccarlo.
Per continuare la lettura dei testi, si clicca sui fumetti.
Per accedere alla parte gestionale contenente le statistiche e le opzioni
del programma si deve clicca il pulsante con l’ingranaggio o i tasti
«Ctrl+o» sulla tastiera.
Login: registrazione di un nuovo utente
Clicca qui per
vedere le istruzioni
scritte
Digita il tuo nome o
selezionalo dalla lista
6 © 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson
Clicca «Vai» per
entrare nel menu

Menu
Dopo aver inserito il nome nel login e cliccato «Vai», si accede al
menu principale, dove sono presenti gli elementi di accesso alle varie
sezioni:
a) 4 sezioni corrispondenti ai diversi argomenti
Sezione 1: Numeri naturali
Sezione 2: Addizione tra numeri naturali
Sezione 3: Sottrazione tra numeri naturali
Sezione 4: Giochi aritmetici
b) Ultimo svolto
Al clic sulla freccia a spirale l’alunno può riprendere l’attività dall’ultimo
esercizio svolto nella sessione di lavoro precedente.
c) Lampada a olio
Al clic sulla lampada a olio l’alunno può visualizzare le funzioni dei
pulsanti usati nel programma. La videata è stampabile.
Menu: scelta delle attività
Attestato Spiega pulsanti
Sezioni Ultimo svolto
© 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson
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d) Attestato
Il rotolo di pergamena viene sbloccato al superamento del 100%
degli esercizi. Nella parte gestionale è possibile selezionare l’opzione
che lo rende liberamente accessibile in qualunque momento della
navigazione. L’attestato è personalizzato per ogni utente e può essere
stampato.
e) Pulsante «X»
Al clic sul pulsante «X» in alto a destra si ritorna alla videata del
login.
Tasti di scelta rapida
Il programma consente agli utenti di utilizzare una combinazione
di tasti in alternativa al clic del mouse sui pulsanti
presenti nelle videate.
FUNZIONI DEL PROGRAMMA/PULSANTI COMBINAZIONE DI TASTI
Generali
Audio istruzioni
Esci/Chiudi
Stampa
Guida/informazioni utili
Attiva/disattiva istruzioni scritte
Gestione volumi
Login
Entra
Esci dal software sì/no
Seleziona utente
Gestionale
Menu
Scorri menu
Ultimo svolto
Attestato
Lista esercizi
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Ctrl + Barra spaziatrice
Ctrl + x
F10
F1
Ctrl + i
Ctrl + v
Invio
s/n
Frecce alto/basso
Ctrl + o
Frecce avanti/indietro
Ctrl + u
Ctrl + a
Scrolla lista su/giù
Esercizi
Frecce alto/basso
Ho fi nito
Ctrl + invio
Scorri videata
Ctrl + Frecce avanti/indietro
Annulla
Ctrl + a
Ok
Tab

FUNZIONI DEL PROGRAMMA/PULSANTI COMBINAZIONE DI TASTI
Gestionale
Stampa
Guida/informazioni utili
Esci/chiudi
Scrolla testo su/giù
Esporta file excel
Aumenta/diminuisci carattere
Ok/sì
Annulla/no
F10
F1
Ctrl + x
Frecce alto/basso
Ctrl + e
Ctrl + +/-
Invio
Ctrl + x
Sezione 1 – Numeri naturali
Le concetto di numero naturale è complesso sia perché assume diversi
significati (espressione di una quantità o di una posizione, misura,
contrassegno, …) sia perché comporta la questione della sua scrittura
simbolica e della relativa denominazione. Parlare di numero naturale
significa, dunque, fare riferimento congiuntamente a un contenuto e
a una forma verbale e simbolica necessaria per esprimere il contenuto.
Inoltre, nell’insieme dei numeri naturali possono essere definite
relazioni tra numeri, relazioni le quali permettono di attribuire a tale
insieme diverse strutture. Tra tali relazioni, sono fondamentali quella
di uguaglianza e quella d’ordine.
Nei paragrafi che seguono si danno alcune indicazioni essenziali in
merito agli aspetti dei numeri naturali sui quali sono proposte le attività
della sezione 1 del software.
1. Leggere e scrivere i numeri e 2. Comporre e scomporre
i numeri
Per esprimere in modo verbale e simbolico un numero naturale è
necessario adottare un sistema di numerazione, ossia si devono scegliere
alcuni simboli (detti cifre), ognuno dei quali viene considerato
la scrittura di un certo numero, e stabilire regole di combinazione di
questi simboli al fine di ottenere la scrittura di tutti gli altri numeri. In
particolare, il sistema di numerazione universalmente diffuso e utilizzato
è il cosiddetto sistema di numerazione posizionale decimale. In
esso, è fissata come base il numero dieci e sono state scelte dieci cifre
(di origine indo-araba) ognuna delle quali corrisponde a un numero
naturale da zero a nove: la cifra 0 per il numero zero, la cifra 1 per il
numero uno, …, la cifra 9 per il numero nove. È stato poi stabilito che
ogni potenza di dieci definisca una nuova unità di ordine superiore.
Con queste premesse, si dimostra che ogni numero naturale può essere
© 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson
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scritto come somma di potenze di dieci, in modo che tali potenze abbiano
esponente decrescente fino a zero e che i loro coefficienti siano
minori della base. Ad ogni coefficiente si può, dunque, sostituire una
cifra; se, poi, si trascurano le potenze della base e si accostano i soli
coefficienti si ottiene la scrittura in cifre del numero. Tale scrittura,
quindi, è una successione ordinata di cifre, le quali hanno un proprio
valore e un valore relativo alla posizione occupata nella successione.
Sul piano didattico, invece di esprimersi in termini di potenze, si parla
di gruppi di unità: dieci unità raggruppate formano una nuova unità di
ordine superiore. In particolare, dieci unità semplici raggruppate formano
una decina (1da), dieci decine raggruppate formano un centinaio
(1h), … Per esempio, la successione di cifre 348 è la scrittura compatta
e sintetica del numero formato da tre centinaia, quattro decine e otto
unità, che in forma polinomiale è 3×10 2 + 4×10 1 + 8×10 0 .
Nella scrittura di un numero come successione di cifre ha un ruolo
importante la cifra 0, utilizzata per segnare il posto del tipo di unità
mancante nella scrittura del numero come somma di potenze di dieci.
Per esempio, nella scrittura 80 la cifra 0 indica che, dopo avere raggruppato
per dieci le unità semplici e avere ottenuto otto decine, non
sono rimaste unità semplici non raggruppate. Non vengono indicate
le unità mancanti oltre la potenza massima della base presente nel
numero, per cui non si scrive la cifra 0 a sinistra di quella relativa
all’unità di valore posizionale maggiore.
Accanto alla costruzione della scrittura simbolica si deve porre attenzione
al nome verbale dei numeri, nome che non deriva semplicemente
dall’accostamento dei nomi delle cifre poste in successione: nel nostro
sistema di numerazione, il numero in cifre 34 non ha come nome
trequattro, ma trentaquattro, in quanto nel nome si esprime anche il
valore relativo che ogni cifra assume all’interno della successione.
Particolare è la denominazione dei numeri da dieci a diciannove, in
quanto la presenza della decina viene espressa in modi diversi (dici,
dicia) e in posizione diversa rispetto al nome delle unità (per esempio,
undici, diciotto, diciassette, …). Si rileva che nella denominazione
verbale si esprime lo zero anche quando esso non è presente nella
scrittura in cifre: dicendo trentaquattro si indicano esplicitamente
due numeri (trenta e quattro), ma la scrittura in cifre non presenta lo
zero del numero trenta.
Nella pratica didattica, si può fare sperimentare ai bambini il concetto
di raggruppamento e cambio in un’unità di ordine superiore attraverso
materiali appositi. Negli esercizi del presente software si ricorre al
cosiddetto materiale multibase e all’abaco.
Nel materiale multibase le unità semplici sono materializzate con
cubetti; se si lavora con il materiale relativo a base dieci, il raggrup-
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Componi tutti i nomi dei numeri
pamento di dieci unità semplici, ossia la decina, è rappresentato da
dieci cubetti unitari incolonnati, a formare un parallelepipedo con base
quadrata con lato unitario e altezza dieci, detto «lungo». Il raggruppamento
di dieci decine, ossia il centinaio, è rappresentato da dieci
lunghi accostati lungo lo spigolo maggiore, a formare un parallelepipedo
detto «piatto». Nella rappresentazione piana del materiale multibase
utilizzata nel software, il cubetto unitario è un quadrato e il lungo è
un rettangolo con un lato di misura 1 e l’altro di misura 10 rispetto al
lato del quadrato.
rappresenta 1u
rappresenta 1da
L’abaco può avere diversa struttura; quello rappresentato nelle attività
del presente CD-ROM è a due asticelle verticali: nell’asticella di destra
si collocano le palline corrispondenti alle unità semplici, nell’asticella
di sinistra le palline corrispondenti alle decine. Per rafforzare il ruolo
diverso delle due asticelle, quindi il valore diverso delle palline su di
© 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson
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esse presenti, si è soliti attribuire un colore distinto per le palline unità
(blu) e per le palline decine (rosso). Inoltre, per suscitare la necessità
del cambio di posizione, ossia la formazione di unità di ordine superiore,
su ogni asticella possono trovare posto al massimo nove palline:
non trovando posto alla decima pallina sull’asticella delle unità, si
sostituiscono le dieci palline-unità con una sola pallina-decina posta
sull’asticella a sinistra.
L’abaco
3. Confrontare i numeri
La prima relazione considerata nell’insieme dei numeri naturali è
quella di uguaglianza, che può essere interpretata in modi diversi,
a seconda dell’accezione con cui i numeri vengono interpretati. La
relazione «… è uguale a …» ha come scrittura simbolica «… = …» e
possiede la proprietà simmetrica, ossia se un numero a è uguale a un
numero b, allora anche b è uguale ad a. Questo comporta che il simbolo
di uguaglianza possa essere indifferentemente letto da sinistra verso
destra oppure da destra verso sinistra. La negazione dell’uguaglianza
è espressa dal predicato «… non essere uguale a …», che ha simbolo
«… ≠ …».
L’insieme dei numeri naturali è, inoltre, ordinabile, in quanto tra due
numeri che non sono tra loro uguali è possibile definire una relazione
d’ordine, così da stabilire quale dei due è maggiore (o minore). La
relazione d’ordine «… è maggiore di …» è tradotta simbolicamente
12 © 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

da «… > …» e non è simmetrica, in quanto scambiando di posto i due
numeri confrontati si ha la relazione inversa «… è minore di …», che in
simboli si scrive «… < …». Le due relazioni d’ordine «… è maggiore
di …» e «… è minore di …» hanno la proprietà transitiva, secondo
la quale se un numero a è maggiore (minore) di un numero b e b è
maggiore (minore) di un numero c, allora anche a è maggiore (minore)
di c. Questa proprietà permette di estendere il confronto da due a più
numeri, ossia di passare all’ordinamento, che può essere crescente
(dedotto dalla relazione d’ordine «… è minore di …») o decrescente
(dedotto dalla relazione d’ordine «… è maggiore di …»). Ordinare in
modo crescente, per esempio, almeno tre numeri comporta di effettuare
più confronti a due a due tra i numeri dati, al fine di elencare:
– come primo numero quello, sia a, che rende vera la disuguaglianza
a < …, qualunque altro numero si metta a destra del simbolo;
– come secondo numero quello, sia b, che rende vera la disuguaglianza
b < …, qualunque altro numero, escluso a, si metta a destra del simbolo,
e così via, fino ad esaurire tutti i numeri assegnati.
Per stabilire una delle suddette relazioni di uguaglianza o di disuguaglianza
non è necessario dare ogni volta un’interpretazione ai
numeri confrontati, in quanto l’adozione di un sistema di numerazione
posizionale permette di dedurre l’uguaglianza o la disuguaglianza
confrontando le scritture simboliche dei numeri stessi. Il lavoro sulla
«forma», dunque, equivale a quello sul «contenuto»; infatti, se un numero
a è scritto con una successione di cifre «più lunga» di quella che
Clicca sul simbolo esatto
© 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson
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esprime un altro numero b, allora a non è uguale a b, più precisamente
a è maggiore di b, in quanto a presenta unità di ordine (potenze della
base dieci) superiore a quelle presenti in b. Se a e b sono rappresentati
da due successioni di cifre di uguale «lunghezza», allora per stabilire
l’uguaglianza o la disuguaglianza è sufficiente confrontare le cifre di
uguale posto (uguale valore posizionale) nelle due successioni, procedendo
in ordine da sinistra verso destra, ossia dalle unità di ordine
superiore a quelle di ordine inferiore. Dal confronto globale dei due
numeri si passa così al confronto cifra a cifra. A questa strategia fanno
rimando gli esercizi proposti che talvolta sono veri e propri problemi
privi di soluzioni o a più soluzioni. Inoltre, i numeri sono assegnati
sia in forma ridotta come successione di cifre, sia in forma additiva,
ossia scritti con addizioni o sottrazioni, in modo da offrire stimoli per
applicare alcune proprietà di tali operazioni (come la commutatività
dell’addizione o l’invariantiva della sottrazione) o strategie di calcolo
mentale o di approssimazione dei risultati.
4. Numeri in linea
La cosiddetta linea dei numeri viene generata costruendo una corrispondenza
tra i numeri naturali e i punti di una linea non intrecciata,
sulla quale sia stato scelto un verso di percorrenza e un’unità di
lunghezza. Si fa corrispondere a un punto della linea il numero zero,
poi al punto che, nel verso fissato, dista un’unità di misura dallo zero
si associa il numero uno e così via. In particolare, se si sceglie come
linea una semiretta, si è soliti associare il numero zero all’origine di
tale semiretta. Ogni numero così posto in corrispondenza di un punto
della linea esprime la misura, rispetto all’unità fissata, del segmento
avente il primo estremo nel punto associato a zero e il secondo estremo
nel punto considerato. La linea dei numeri naturali rimanda non
solo al significato di numero come misura, ma anche al numero come
espressione di quantità, alla regola per generare la successione dei
numeri, ossia l’applicazione dell’operatore +1, all’ordinamento, ai
numeri stessi come operatori additivi.
È possibile mettere in evidenza solo alcuni punti della linea dei numeri
naturali, corrispondenti ad una successione ottenuta applicando, a
partire da un numero non necessariamente uguale a zero, un operatore
diverso da +1. Ciò significa che negli esercizi di completamento dei
tratti di linea dei numeri si deve prima di tutto individuare il «valore»
del passo che separa un punto dal suo successivo.
5. Numeri in tabella
La tabella dei numeri naturali da 0 a 99, disposti su dieci righe e dieci
colonne, permette di porre l’attenzione sulle regolarità nella scrittura in
14 © 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

ase dieci dei primi cento numeri. In particolare, il passaggio da una
casella a una confinante tramite un lato corrisponde all’applicazione di
alcuni operatori fissi che agiscono sulla cifra delle unità (spostamento
in una stessa riga) o sulla cifra delle decine (spostamento in una stessa
colonna) (fig. 1).
L’applicazione successiva di due operatori fondamentali permette di
ottenere altri operatori che portano alle caselle confinanti per un vertice
a quella iniziale (fig. 2).
-1
-10
+10
+1
fig. 1 fig. 2
Scrivi i numeri nella casella che si illumina
-11
+9
-9
+11
© 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson
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Sezione 2 – Addizione
L’addizione è un’operazione che a ogni coppia ordinata di numeri naturali
(a, b) associa un numero naturale c; questa associazione viene
indicata con la scrittura simbolica a + b = c. L’addizione, dunque, è
un’operazione che è definita su tutte le coppie ordinate di numeri naturali,
per cui nell’insieme dei numeri naturali esiste sempre un numero
che completa, rendendola vera, la scrittura a + b = …
Molteplici sono gli aspetti connessi all’addizione; tra essi:
– il significato, ossia l’interpretazione che può avere l’operazione quando
i numeri esprimono quantità, trasformazioni, ecc.;
– il calcolo, inteso come il procedimento per individuare il numero c
corrispondente alla coppia (a, b);
– le proprietà che sono possedute dall’operazione considerata come «ente»
matematico e in quanto tale oggetto di studio, indipendentemente dal
suo significato e dai procedimenti di calcolo.
Gli esercizi proposti nella presente sezione del software sono relativi
al calcolo, proposto secondo diverse modalità: per conteggio, mediante
strumenti, con strategie basate sulla memorizzazione di casi particolari
(come le coppie di numeri associate dall’addizione al numero 10 e
quelle associate al numero 5) e sull’applicazione, seppure implicita,
delle proprietà dell’addizione. Per tale operazione, infatti, valgono:
a) la proprietà associativa: date due addizioni consecutive, il risultato
non dipende dall’ordine in cui esse vengono svolte; se si segnala con
le parentesi tonde la precedenza nello svolgimento e si indicano con
a, b, c tre generici numeri naturali, la proprietà associativa può essere
così formulata
(a + b) + c = a + (b + c).
Essa permette di estendere l’addizione da due a più numeri, senza
alcuna ambiguità nell’interpretazione e nel risultato finale, per cui ha
senso scrivere a + b + c;
b) la proprietà commutativa: se in un’addizione si scambiano di posto
gli addendi, la somma non cambia; in simboli
a + b = b + a;
c) l’esistenza dell’elemento neutro, ossia di un numero naturale che
sommato a un altro numero non lo modifica; il numero in questione è
lo zero, il quale è tale che
a + 0 = a e 0 + a = a.
Il calcolo scritto ha nell’algoritmo in colonna la sua procedura più
economica ed efficace, che non viene però proposta negli esercizi della
16 © 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

sezione, in quanto si ritiene che il calcolo in colonna sia da eseguire
con «carta e penna».
Si richiama l’attenzione sul fatto che nella sezione del software sull’addizione,
le operazioni sono scritte con la somma talvolta a sinistra del
simbolo di uguaglianza e talvolta a destra, per evitare di favorire la
lettura dell’uguaglianza con un verso privilegiato (da sinistra verso destra)
e la sua identificazione con un simbolo orientato come una freccia
; si intende, invece, far sperimentare la simmetria dell’uguaglianza,
quindi l’indipendenza dal verso di scrittura e di lettura.
1. Addizionare punteggi
Negli esercizi proposti si fa riferimento all’addizione di punteggi
visualizzati attraverso quantità di punti nel caso dei dadi, di semi nel
caso delle carte da gioco e di palline con diverso valore nel caso dei
bersagli. La somma può, quindi, essere determinata tramite conteggio,
che può essere effettuato a partire da 1 fino a esaurire gli elementi
raffigurati, oppure dalla percezione globale di una delle due quantità
e procedendo progressivamente da essa. La distribuzione spaziale dei
pallini sulle facce dei dadi e dei semi sulle carte mira a favorire il
riconoscimento complessivo di una quantità, a fornirne un’immagine
mentale che aiuti il calcolo a mente per gruppi e alla memorizzazione
di addizioni particolari, come, per esempio, quelle aventi per somma
dieci o cinque.
Scrivi il numero e trascina la carta
© 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson
17

Il contesto dei bersagli permette di introdurre in modo significativo il
numero zero nell’addizione e di far sperimentare il ruolo di elemento
neutro.
Le addizioni a tre addendi presuppongono che sia stata constatata l’indipendenza
della somma dall’ordine di svolgimento delle operazioni,
ossia la validità della proprietà associativa per l’addizione.
Completa le addizioni
2. Addizioni in linea
La linea dei numeri costituisce un supporto comodo per il calcolo
della somma di numeri naturali. Nelle consegne di lavoro, si presuppone
che un addendo sia interpretato come posizione iniziale e
l’altro come «numero di passi» da compiere nel verso della linea,
ossia come trasformazione, come operatore. La proprietà commutativa
dell’addizione fa sì che sia indifferente l’attribuzione dei due ruoli ai
due addendi; tale attribuzione, dunque, indica una scelta strategica
da parte dell’utente.
3. Addizioni sulla tabella
La tabella dei numeri da 0 a 99 può essere utilizzata come strumento
per il calcolo di una somma, in quanto gli spostamenti di righe e di
colonne corrispondono all’applicazione di operatori additivi. Per supportare
il calcolo con la tabella è necessario collocarsi come posizione
18 © 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

Scrivi la somma
di partenza nella casella contrassegnata da uno dei due addendi e
scomporre l’altro addendo nell’applicazione successiva degli operatori
che permettono di muoversi sulla tabella. Per esempio, per eseguire
22 + 45 ci si può collocare sulla casella contenente il numero 45
e vedere il 22 come applicazione successiva degli operatori +10,
+10, +1, +1 (con due spostamenti in colonna verso il basso e due
spostamenti in riga verso destra), oppure degli operatori +11, +11
(con due spostamenti in diagonale verso basso-destra); in ogni caso si
giunge alla casella con il numero 67, che è la somma.
4. Tabelle di addizione
Le tabelle a doppia entrata mettono in evidenza il fatto che l’addizione
è un’operazione binaria, cioè un’operazione definita tra due numeri
naturali. La compilazione di una tabella richiede che si sappiano individuare
le caselle ottenute dall’intersezione delle righe e delle colonne
di intestazione e che in ogni casella si collochi la somma dei numeri che
intestano la relativa riga e la relativa colonna. In genere, una tabella
viene letta da sinistra verso destra, quindi si considera come primo
addendo ogni numero della colonna iniziale e come secondo addendo
ogni numero della riga di testa. La constatazione della validità della
proprietà commutativa dell’addizione rende superflua l’indicazione
esplicita del verso di lettura della tabella.
© 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson
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5. Addizioni in catena
L’addizione può essere intesa anche come operazione unaria, quando
uno dei due addendi viene interpretato come trasformazione, aggiunta.
Porta la lumachina all’arrivo
Scegli i numeri che danno per somma il numero centrale
20 © 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

Con tale accezione, è possibile costruire catene di addizioni, in cui a
un numero ottenuto come somma per l’applicazione di un operatore
viene poi applicato l’operatore successivo.
6. Ricostruire addizioni
Il ricostruire addizioni può essere sia un esercizio (per esempio, quando
è dato un addendo e la somma e si deve determinare, anche per
semplice conteggio progressivo a partire dall’addendo noto, l’addendo
mancante) sia come problema che può avere nessuna soluzione, una
soluzione o più soluzioni in relazioni alle informazioni assegnate.
Sezione 3 – Sottrazione
La sottrazione è un’operazione che a una coppia ordinata di numeri
naturali (a, b), con a maggiore o uguale a b, associa un numero naturale
c; questa associazione è indicata con la scrittura simbolica a − b = c,
che equivale a b + c = a. La sottrazione, dunque, è un’operazione che
non è definita su tutte le coppie ordinate di numeri naturali, per cui
non è detto che nell’insieme dei numeri naturali esista un numero che
completi, rendendola vera, la scrittura a − b = …
Molteplici sono gli aspetti connessi alla sottrazione; tra essi:
– il significato, ossia l’interpretazione che può avere l’operazione quando
i numeri esprimono quantità, trasformazioni, ecc.;
– il calcolo, inteso come il procedimento per individuare il numero c
corrispondente alla coppia (a, b);
– le proprietà che sono possedute dall’operazione considerata come «ente»
matematico e in quanto tale oggetto di studio, indipendentemente dal
suo significato e dai procedimenti di calcolo.
Gli esercizi proposti nella presente sezione del software sono relativi
al calcolo, proposto secondo diverse modalità: per conteggio, mediante
strumenti, con strategie basate sulla memorizzazione di casi particolari
(come le coppie di numeri associate dalla sottrazione al numero 5) e
sull’applicazione di alcune proprietà della sottrazione. In tali proprietà
si afferma che:
a) data una sottrazione, se si aggiunge o si sottrae ad entrambi gli
operandi uno stesso numero, la nuova sottrazione ottenuta ha lo stesso
risultato di quella assegnata; se si segnala con le parentesi tonde la precedenza
nello svolgimento e si indicano con a, b, c tre generici numeri
naturali, la proprietà, detta invariantiva, può essere così formulata
a − b = (a + c) − (b + c) e a − b = (a − c) − (b − c);
b) la sottrazione di un numero con se stesso dà come risultato zero
a − a = 0;
© 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson
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c) il numero zero sottratto a un altro numero non lo altera
a − 0 = a.
Il calcolo scritto ha nell’algoritmo in colonna la sua procedura più
economica ed efficace, che non viene però proposta negli esercizi della
sezione, in quanto si ritiene che il calcolo in colonna sia da eseguire
con «carta e penna».
Si richiama l’attenzione sul fatto che nella sezione del software sulla
sottrazione, le operazioni sono scritte con il risultato talvolta a sinistra
del simbolo di uguaglianza e talvolta a destra, per evitare di favorire la
lettura dell’uguaglianza con un verso privilegiato (da sinistra verso destra)
e la sua identificazione con un simbolo orientato come una freccia
; si intende, invece, far sperimentare la simmetria dell’uguaglianza,
quindi l’indipendenza dal verso di scrittura e di lettura.
1. Confrontare punteggi
Negli esercizi proposti si fa riferimento alla sottrazione per stabilire la
differenza di punteggi visualizzati attraverso quantità di punti nel caso
dei dadi, di semi nel caso delle carte da gioco e di palline con diverso
valore nel caso dei bersagli; la differenza può, quindi, essere determinata
tramite conteggio. La distribuzione spaziale dei pallini sulle facce dei
dadi e dei semi sulle carte mira a favorire il riconoscimento complessivo
di una quantità, a fornirne un’immagine mentale che aiuti il calcolo a
mente per gruppi e alla memorizzazione di differenze particolari.
Il contesto dei bersagli permette di introdurre in modo significativo il
ruolo del numero zero nella sottrazione.
2. Sottrazioni in linea
La linea dei numeri costituisce un supporto comodo per il calcolo della
differenza di numeri naturali. Nelle consegne di lavoro, si presuppone
che il minuendo (ossia il numero a sinistra del segno −) sia interpretato
come posizione iniziale e il sottraendo (ossia il numero a destra del
segno −) come «numero di passi» da compiere nel verso opposto a
quello della linea, ossia come trasformazione, come operatore.
3. Sottrazioni sulla tabella
La tabella dei numeri da 0 a 99 può essere utilizzata come strumento
per il calcolo di una differenza, in quanto gli spostamenti di righe e di
colonne corrispondono all’applicazione di operatori additivi. Per supportare
il calcolo con la tabella è necessario collocarsi come posizione
di partenza nella casella contrassegnata dal minuendo e scomporre il
sottraendo nell’applicazione successiva degli operatori che permettono
di muoversi sulla tabella. Per esempio, per eseguire 56 − 22 ci
22 © 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

si colloca sulla casella contenente il numero 56 e si può vedere 22
come applicazione successiva degli operatori −10, −10, −1, −1 (con
due spostamenti in colonna verso l’alto e due spostamenti in riga verso
sinistra), oppure degli operatori −11, −11 (con due spostamenti in
diagonale verso alto-sinistra); in ogni caso si giunge alla casella con il
numero 34, che è la differenza.
Scrivi la sottrazione
4. Tabelle di sottrazione
Le tabelle a doppia entrata mettono in evidenza il fatto che la sottrazione
è un’operazione binaria, cioè un’operazione definita tra due numeri
naturali. La compilazione di una tabella richiede che si sappiano
individuare le caselle ottenute dall’intersezione delle righe e delle
colonne di intestazione e che in ogni casella si collochi la differenza,
se esiste, dei numeri che intestano la relativa riga e la relativa colonna.
Dato che la sottrazione non ha la proprietà commutativa, una tabella
viene letta da sinistra verso destra, quindi si considera come minuendo
ogni numero della colonna iniziale e come sottraendo ogni numero
della riga di testa.
5. Sottrazioni in catena
La sottrazione può essere intesa anche come operazione unitaria, quando
il sottraendo viene interpretato come trasformazione, diminuzione.
Con tale accezione, è possibile costruire catene di sottrazioni, in cui a
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un numero ottenuto come differenza per l’applicazione di un operatore
viene poi applicato l’operatore successivo.
Completa la tabella
6. Ricostruire sottrazioni
Il ricostruire sottrazioni può essere sia un esercizio (per esempio,
quando è dato il minuendo e la differenza e si deve determinare, anche
per semplice conteggio progressivo a partire dal risultato, il sottraendo)
sia come problema che può avere nessuna soluzione, una soluzione o
più soluzioni in relazioni alle informazioni assegnate.
Sezione 4 – Giochi aritmetici
I giochi proposti hanno lo scopo di far mettere in campo le conoscenze e
le abilità consolidate nelle sezioni precedenti con attività di tipo ludico.
Il carattere della ludicità è connesso alla casualità dei dati (siano essi
tessere da abbinare, regole di abbinamento, …), alla componente di
sfida (del personaggio guida o di se stessi) e al procedere strategico
richiesto dalla maggior parte delle proposte. In coerenza con tale carattere,
è previsto che le partite possano chiudersi in parità o con un
vincitore, per il quale è premio la stessa soddisfazione della vittoria.
I giochi presenti nella sezione sono per lo più adattamenti in chiave
aritmetica di giochi — termine inteso sia rispetto ai materiali sia rispetto
alle azioni mentali e alle dinamiche — tradizionali.
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Indice dei giochi
Tombola
La struttura del gioco è quella della tombola classica: ciascun giocatore
ha una cartella suddivisa in sei caselle ognuna delle quali è
contrassegnata da un numero o da un’operazione (addizione o sottrazione).
In base all’estrazione, effettuata in modo casuale, il giocatore
deve controllare se la propria cartella contiene un elemento (numero
od operazione) uguale per valore a quello estratto; in caso di risposta
affermativa, egli contrassegna la casella individuata. Il gioco termina
quando uno dei due giocatori ha contrassegnato tutte le caselle della
propria cartella (fa tombola) e vince chi per primo ottiene il completamento.
Se dopo quindici estrazioni nessuno dei due giocatori ha fatto
tombola, la partita finisce in parità.
La tombola con i numeri mette in gioco le diverse scritture e rappresentazioni
che un numero può avere: in cifre, a parole, con il materiale
multibase e con l’abaco, con il valore delle cifre.
La tombola con l’addizione e quella con la sottrazione mettono in gioco
il calcolo mentale, i risultati particolari memorizzati e le proprietà
delle operazioni considerate (come la commutativa dell’addizione e
l’invariantiva della sottrazione).
Solitario
Il gioco del solitario consiste nell’abbinare a una carta pescata una
delle carte in possesso del giocatore, nel rispetto della regola di
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abbinamento che di volta in volta appare in modo causale. Dal punto
di vista aritmetico, il gioco ha come contenuti i numeri naturali fino
a cento nel loro aspetto formale (scrittura in cifre, valore posizionale
delle cifre, denominazione) e alcune relazioni fondamentali (precedente,
successivo).
Solitario
Domino
I domino proposti hanno la stessa struttura del domino classico: ogni
giocatore ha un certo numero di tessere, ognuna delle quali è suddivisa
in due quadrati contenenti un numero, rappresentato in cifre o con il
valore posizionale delle sue cifre o con scomposizione additiva, oppure
un’addizione o una sottrazione. Il gioco comincia con una tessera già
collocata sul piano di gioco e richiede che, a turno, ogni giocatore
accosti una propria tessera a una di quelle che sono agli estremi della
successione costruita, in modo da rendere confinanti lungo un lato due
riquadri con lo stesso numero, pur se diversamente assegnato. Vince
chi per primo finisce le proprie tessere, oppure, chi ne ha il numero
minore, qualora non siano più possibili accostamenti.
Solitario triangolare e solitario quadrato
Si tratta di una sorta di puzzle, in cui con le tessere assegnate, tutte di
uguale forma, si deve ricoprire una forma simile a quella delle tessere,
ma più grande, in modo che due tessere accostate tramite un lato
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ispettino una regola data. Tale regola fissa la somma o la differenza
tra i numeri disposti sui lati comuni. Con le tessere assegnate, che
possono anche essere ruotate, è possibile almeno un ricoprimento dello
schema. Ogni numero è scritto con le cifre orientate facendo riferimento
al lato della tessera su cui è collocato; è quindi necessario riconoscere
i numeri anche se scritti in posizione diversa rispetto a quella usuale.
Dal punto di vista aritmetico, i solitari sono costruiti sulle cosiddette
coppie di numeri amici di un numero dato rispetto all’addizione o alla
sottrazione, ossia sulle coppie di numeri la cui somma o la cui differenza
è un numero fissato.
Prova tutte le combinazioni
Numeri crociati e crucinumeri
Si tratta dell’applicazione dello schema e delle regole dei cruciverba
a contenuti aritmetici relativi o ai numeri (scrittura, ordinamento,
relazioni di precedente/successivo, valore posizionale delle cifre, …)
e alle operazioni di addizione e sottrazione. In ogni casella va scritta
una sola cifra.
Investiganumero
Si tratta di giochi logici, nel senso che in un insieme dato, si deve individuare
il numero che corrisponde agli indizi assegnati; si mettono,
dunque, in atto processi di tipo deduttivo, a partire da informazioni
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elative ad aspetti dei numeri naturali come relazioni d’ordine, valore
posizionale delle cifre, tipi particolari di numeri (pari/dispari).
Attento agli indizi
Non tutti contano!, Il numero che conta, Saliscendi
Si tratta di giochi che sollecitano le strategie di calcolo mentale, pur
avendo componente aleatoria connessa, per esempio, al lancio di
dadi.
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Guida al gestionale
Vi si può accedere dal pulsante nel login o digitando contemporaneamente
la combinazione di tasti «Ctrl + o» (nel login).
Menu
Comprende l’elenco degli utenti e i pulsanti per accedere alla videata
delle statistiche, delle opzioni, dell’assegnazione e della creazione
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Utenti: viene visualizzato l’elenco degli utenti, che si può scorrere
con la barra o le frecce verticali a lato. Per aggiungere un nuovo
utente alla lista, si clicca il tasto «+» e si digita il nuovo nome. Per
cancellarlo, si seleziona il nome e si clicca il tasto «-», confermando
poi l’eliminazione.
Archivia: questo pulsante permette di fare il backup del database
utenti, ovvero di salvare tutti i dati (punteggi, statistiche, personalizzati)
relativi agli utenti, nella cartella di installazione del programma
(normalmente C:\Programmi\Erickson\).
Ripristina: questo pulsante permette di recuperare i dati relativi agli
utenti salvati precedentemente tramite il pulsante «Archivia». I dati
del database ripristinato sostituiranno quelli presenti nel programma.
La cartella viene proposta automaticamente dal programma, ma è
possibile anche selezionare una cartella qualsiasi.
Password: per proteggere l’accesso ai dati è opportuno inserire una
password cliccando sul pulsante «Inserisci password». Dopo aver
digitato una password, viene richiesto di riscriverla per confermarla.
Al successivo rientro nella parte gestionale, il programma chiederà
automaticamente di inserire la password. Dopo 3 tentativi sbagliati,
la videata si chiude e si ritorna al login. Si consiglia di scrivere la
password su un foglio per non rischiare di dimenticarla.
Per cambiare password bisogna cliccare sul pulsante «Cambia password»
e scriverne una nuova.
Statistiche, Opzioni: per visualizzare le statistiche relative a ogni singolo
utente, scegliere le opzioni si deve selezionare il nome dell’utente e
cliccare il rispettivo pulsante («Statistiche», «Opzioni»).
Crea esercizi: per accedere alla sezione in cui è possibile creare degli
esercizi personalizzati, si deve cliccare il pulsante «Crea esercizi».
Pulsante X: cliccare la «X» in alto a destra per uscire dalla parte
gestionale e tornare al login.
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Menu principale del gestionale
Statistiche
La parte relativa alle statistiche contiene:
– il nome dello studente selezionato;
– l’elenco delle 4 sezioni presenti nel CD-ROM.
Per ciascuna unità vengono visualizzati:
– i titoli degli esercizi svolti;
– la data di svolgimento;
– il numero delle videate svolte sul totale;
– la percentuale delle risposte corrette;
– il dettaglio (risultati nelle singole videate);
– le registrazioni fino alle 5 prove precedenti partendo dalla più recente.
Esportazione dei dati in formato Excel: è possibile esportare i dati relativi
alle statistiche dell’utente cliccando sul pulsante con il simbolo
del foglio excel e la freccia. Al clic il file verrà esportato di default
nella cartella con il titolo del CD-ROM contenuta in «Documenti
Erickson_Statistiche» del PC.
Stampa: il pulsante nella barra in alto permette di stampare la videata
delle statistiche per ogni sezione selezionata in cui siano stati svolti
degli esercizi.
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Opzioni
Nella parte relativa alle opzioni sono disponibili le seguenti funzioni
(clic con il mouse sul quadratino corrispondente):
Mostra attestato: per mostrare l’attestato indipendentemente dal totale
svolgimento degli esercizi (l’attestato risulterà pertanto sempre cliccabile
e stampabile).
Risposta corretta automatica dopo 5 tentativi: già attiva di default, può
essere deselezionata cliccando sul quadratino con la crocetta.
Attiva istruzioni scritte: consente di attivare, in particolare per gli
utenti con problemi di ipoacusia o sordità, le vignette con le istruzioni
e i feedback scritti, pur mantenendo l’audio di default; per iniziare e
procedere in ogni attività, la nuvoletta presente nella videata deve
essere fatta scomparire cliccandoci sopra; per proseguire la lettura
del testo nelle nuvolette si deve cliccare con il mouse sulle stesse; per
richiamare la nuvoletta basta cliccare sul personaggio.
Abilita audio istruzioni generiche: attivo di default, al clic viene disattivato
l’audio delle istruzioni che vengono date nel menu, nello spiega
pulsanti, ecc.
Abilita audio istruzioni esercizi: attivo di default, al clic viene disattivato
l’audio delle istruzioni che vengono date negli esercizi.
Abilita audio feedback: attivo di default, al clic viene disattivato l’audio
dei feedback positivi e negativi.
È possibile disattivare tutti gli audio deselezionando tutti i quadratini.
Scarica l’immagine che trovi all’interno del CD-ROM
e impostala come sfondo del tuo computer!
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