28.05.2013 Views

topografia 1 trigonometria e coordinate

topografia 1 trigonometria e coordinate

topografia 1 trigonometria e coordinate

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

Y<br />

O<br />

Y’<br />

Y’<br />

A<br />

(Y (Y B B – Y YA) A)<br />

B’<br />

B’<br />

- α<br />

200c 200c 200<br />

(AB)<br />

(AB)<br />

(X (X B B – X XA) A)<br />

B<br />

X’<br />

X’<br />

X<br />

TRIGONOMETRIA E COORDINATE


Indice<br />

Angoli e sistemi di misura angolare<br />

Funzioni trigonometriche<br />

Risoluzione dei triangoli rettangoli<br />

Risoluzione dei poligoni<br />

Risoluzione dei triangoli non rettangoli e loro area<br />

Risoluzione dei quadrilateri e loro area<br />

Coordinate cartesiane e polari piane<br />

Azimut<br />

Passaggio da coordinte polari a cartesiane e da cartesiane a polari polari<br />

Azimut e distanza tra due punti di <strong>coordinate</strong> cartesiane note<br />

Area con le <strong>coordinate</strong> cartesiane (Gauss)<br />

Utilizzo delle <strong>coordinate</strong> cartesiane per la risoluzione dei poligoni poligoni


Angoli<br />

Si definisce angolo ciascuna delle due porzioni di piano<br />

limitate da due semirette (lati) uscenti da uno stesso punto<br />

(vertice). Gli angoli in <strong>topografia</strong> sono orientati in senso<br />

orario. L’angolo si ottiene facendo ruotare il segmento<br />

SB ˆ A<br />

SA ˆ BSA ˆ B<br />

SA fino a farlo coincidere con il segmento SB<br />

S<br />

SB ˆ ASB ˆ A<br />

A<br />

B


Angoli<br />

A<br />

A<br />

S<br />

S<br />

S<br />

B<br />

A<br />

B<br />

SB ˆ ASB ˆ A<br />

SB ˆ ASB ˆ A<br />

SB ˆ ASB ˆ A<br />

B<br />

SB ˆ A<br />

è un angolo giro<br />

SB ˆ A è un angolo retto<br />

SB ˆ A<br />

è un angolo piatto


I sistemi di misura<br />

angolare<br />

sessagesimale e<br />

centesimale<br />

270°<br />

300 C<br />

360°<br />

0°<br />

180°<br />

400 C 0C 200 C<br />

90°<br />

P 163° 27’ 48’’<br />

100 C<br />

P 181 c ,6259<br />

1°<br />

1’<br />

1 C<br />

1’<br />

60’<br />

60’’<br />

100’<br />

100’’


I sistemi di misura<br />

angolare<br />

Passaggi da un sistema<br />

ad un altro<br />

Per passare dai gradi sessagesimali ai centesimali è<br />

necessario decimalizzare i gradi sessagesimali dividendo i<br />

α<br />

C<br />

primi per 60 e i secondi per 3600<br />

163°<br />

+<br />

27'<br />

60<br />

+<br />

α°<br />

180°<br />

48''<br />

3600<br />

=<br />

=<br />

C<br />

α<br />

200<br />

163°<br />

, 4633<br />

successivamente dalla proporzione<br />

si ottiene<br />

163°<br />

, 4633 × 200<br />

=<br />

180°<br />

C<br />

C<br />

C<br />

= 181 , 6259


Le funzioni<br />

trigonometriche<br />

300 c<br />

0c = 400c 400<br />

A’<br />

Y a<br />

O<br />

200 c<br />

α<br />

X a<br />

A<br />

100 c<br />

Le funzioni trigonometriche associano<br />

ad ogni angolo un numero puro.<br />

Studieremo di seguito le quattro<br />

funzioni seno, seno,<br />

coseno, coseno,<br />

tangente e<br />

cotangente.<br />

cotangente<br />

Si consideri una circonferenza di<br />

centro O e raggio OA, riferita ad un<br />

sistema di assi cartesiani con origine<br />

nel centro della circonferenza. Al<br />

variare della posizione del punto A<br />

varia l’ampiezza dell’angolo α


Le funzioni<br />

trigonometriche<br />

seno e coseno<br />

300 c<br />

Si definisce seno<br />

dell’angolo dell angolo α (sen sen α) il<br />

rapporto fra l’ascissa l ascissa del<br />

punto A, X a, , ed il raggio<br />

della circonferenza OA<br />

sen<br />

α<br />

=<br />

Xa<br />

OA<br />

A’<br />

Y a<br />

O<br />

100 c<br />

0c = 400c 400<br />

200 c<br />

α<br />

X a<br />

A<br />

100 c<br />

Si definisce coseno<br />

dell’angolo dell angolo α (cos cos α) il<br />

rapporto fra l’ordinata l ordinata del<br />

punto A, Y a, , ed il raggio<br />

della circonferenza OA<br />

cos<br />

α<br />

=<br />

Ya<br />

OA


Le funzioni<br />

trigonometriche<br />

tangente e<br />

cotangente<br />

300 c<br />

Si definisce tangente<br />

dell’angolo dell angolo α (tan tan α) il<br />

rapporto fra l’ascissa l ascissa del<br />

punto A, X a, , e la sua<br />

ordinata Y a<br />

tan<br />

α<br />

=<br />

Xa<br />

Ya<br />

0c = 400c 400<br />

A’<br />

Y A<br />

O<br />

200 c<br />

α<br />

X A<br />

A<br />

Si definisce cotangente<br />

dell’angolo dell angolo α (cot cot α) il<br />

rapporto fra l’ordinata l ordinata del<br />

punto A, Y a, , e la sua<br />

ascissa X a<br />

cot<br />

α<br />

=<br />

Ya<br />

Xa


Funzioni<br />

trigonometriche<br />

Quadro generale<br />

gradi<br />

gradi<br />

gradi<br />

gradi<br />

0 c<br />

100<br />

100<br />

100<br />

100<br />

100 c<br />

200<br />

200<br />

200<br />

200<br />

200 c<br />

300<br />

300<br />

300<br />

300<br />

300 c<br />

400<br />

400<br />

400<br />

400<br />

400 c<br />

seno<br />

seno<br />

seno<br />

seno<br />

0<br />

1<br />

0<br />

-1<br />

0<br />

coseno coseno<br />

coseno<br />

coseno<br />

coseno<br />

1<br />

0<br />

-1<br />

0<br />

1<br />

tangente<br />

tangente<br />

tangente<br />

tangente<br />

0<br />

+ + + + ∞<br />

∞<br />

∞<br />

∞<br />

0<br />

+ + + + ∞<br />

∞<br />

∞<br />

∞<br />

0<br />

cotangente<br />

cotangente<br />

cotangente<br />

cotangente<br />

+ + + + + ∞<br />

∞<br />

∞<br />

∞<br />

0<br />

+ + + + ∞<br />

∞<br />

∞<br />

∞<br />

0<br />

+ + + + ∞<br />

∞<br />

∞<br />


Le funzioni<br />

trigonometriche<br />

utilizzate per la<br />

risoluzione dei<br />

triangoli rettangoli<br />

B C<br />

Bˆ Ĉ<br />

A<br />

Â<br />

sen<br />

cos<br />

tan<br />

Â<br />

Â<br />

Â<br />

=<br />

=<br />

=<br />

BC<br />

AC<br />

AB<br />

AC<br />

BC<br />

AB<br />

Le funzioni trigonometriche sono<br />

utilizzate per risolvere i triangoli<br />

rettangoli. Nella risoluzione è<br />

necessario conoscere almeno due<br />

elementi. La sommatoria degli angoli<br />

interni (nel sistema centesimale) è di<br />

200 c<br />

sen<br />

cos<br />

tan<br />

Ĉ<br />

Ĉ<br />

Ĉ<br />

=<br />

=<br />

=<br />

AB<br />

AC<br />

BC<br />

AC<br />

AB<br />

BC


Le funzioni inverse<br />

Da uno dei qualsiasi rapporti precedentemente visti, che<br />

definiscono le funzioni trigonometriche, si ottiene come<br />

risultato un numero puro il cui valore numerico e il segno<br />

dipendono dall’ampiezza dell’angolo e dalla funzione che<br />

all’angolo risulta associata. Per conoscere l’angolo, nota la<br />

funzione, è necessario utilizzare la “funzione “ funzione inversa”. inversa”.<br />

Sulle<br />

calcolatrici le funzioni inverse sono indicate con sen -1 , cos -1 , tan -1<br />

Â<br />

sen<br />

=<br />

Â<br />

sen<br />

=<br />

-<br />

1<br />

BC<br />

AC<br />

(<br />

BC<br />

AC<br />

)<br />

B C<br />

Bˆ Ĉ<br />

A<br />

Â


Â<br />

cos<br />

×<br />

AC<br />

=<br />

AB<br />

risulta<br />

cui<br />

da<br />

AC<br />

AB<br />

=<br />

Â<br />

cos<br />

Â<br />

sen<br />

×<br />

AC<br />

=<br />

BC<br />

risulta<br />

cui<br />

da<br />

AC<br />

BC<br />

=<br />

Â<br />

sen<br />

Â<br />

-<br />

100<br />

=<br />

Ĉ<br />

100<br />

=<br />

Ĉ<br />

+<br />

Â<br />

100<br />

=<br />

B ˆ<br />

ma<br />

200<br />

=<br />

Ĉ<br />

+<br />

B ˆ<br />

+<br />

Â<br />

A<br />

vertice<br />

nel<br />

angolo<br />

l'<br />

e<br />

AC<br />

ipotenusa<br />

l'<br />

noti<br />

Sono<br />

c<br />

c<br />

c<br />

c<br />

B C<br />

A<br />

Triangoli rettangoli<br />

Risoluzione


( )<br />

Â<br />

-<br />

100<br />

=<br />

Ĉ<br />

100<br />

=<br />

Ĉ<br />

+<br />

Â<br />

100<br />

=<br />

B ˆ<br />

ma<br />

200<br />

=<br />

Ĉ<br />

+<br />

B ˆ<br />

+<br />

Â<br />

AC<br />

BC<br />

sen<br />

=<br />

Â<br />

cui<br />

da<br />

AC<br />

BC<br />

=<br />

Â<br />

sen<br />

BC<br />

+<br />

AB<br />

=<br />

AC<br />

AC<br />

ipotenusa<br />

l'<br />

calcolare<br />

possibile<br />

è<br />

Pitagora<br />

di<br />

T.<br />

il<br />

con<br />

BC<br />

e<br />

AB<br />

cateti<br />

due<br />

i<br />

noti<br />

Sono<br />

C<br />

C<br />

C<br />

C<br />

)<br />

(<br />

1<br />

-<br />

2<br />

2<br />

Triangoli rettangoli<br />

Risoluzione<br />

B C<br />

A


Triangoli rettangoli<br />

Risoluzione<br />

γ<br />

cos<br />

×<br />

b<br />

=<br />

a<br />

risulta<br />

cui<br />

da<br />

b<br />

a<br />

=<br />

γ<br />

cos<br />

γ<br />

sen<br />

c<br />

=<br />

b<br />

risulta<br />

cui<br />

da<br />

b<br />

c<br />

=<br />

γ<br />

sen<br />

γ<br />

-<br />

90<br />

=<br />

α<br />

90<br />

=<br />

γ<br />

+<br />

α<br />

90<br />

=<br />

β<br />

ma<br />

180<br />

=<br />

γ<br />

+<br />

β<br />

+<br />

α<br />

)<br />

γ<br />

(<br />

C<br />

vertice<br />

nel<br />

angolo<br />

l'<br />

e<br />

(c)<br />

AB<br />

cateto<br />

il<br />

noti<br />

Sono<br />

o<br />

o<br />

o<br />

o<br />

B C<br />

A<br />

a<br />

b<br />

c<br />

β<br />

α<br />

γ


Triangoli rettangoli<br />

Quadro generale<br />

A<br />

B C<br />

A<br />

B C<br />

A<br />

B C<br />

A<br />

B C<br />

elementi elementi elementi elementi noti<br />

noti<br />

noti<br />

noti<br />

due cateti<br />

ipotenusa<br />

cateto<br />

ipotenusa<br />

angolo in C<br />

cateto<br />

angolo in A<br />

incognite<br />

incognite<br />

incognite<br />

incognite<br />

ipotenusa<br />

due angoli<br />

cateto<br />

due angoli<br />

angolo in A<br />

due cateti<br />

angolo in C<br />

ipotenusa<br />

cateto<br />

risoluzione<br />

risoluzione<br />

risoluzione<br />

risoluzione<br />

AB = √(AB 2 + BC 2 )<br />

A = sen- 1 sen (BC/AC)<br />

C = 100 C - A<br />

BC = √(AC 2 - AB 2 )<br />

A = cos- 1 cos (AB/AC)<br />

C = 100 C - A<br />

A = 100 C - C<br />

AB = AC x sen C<br />

BC = √(AC 2 - AB 2 )<br />

C = 100 C - A<br />

AC = AB / cos A<br />

BC = √(AC 2 - AB 2 )


Risoluzione poligoni<br />

di N lati<br />

Risolvere un poligono significa determinare tutti i suoi elementi elementi<br />

a<br />

partire da alcuni già noti. Per elementi si intendono in generale generale<br />

i<br />

lati, gli angoli interni e l’area. I procedimenti risolutivi più<br />

semplici si basano sulla divisione del poligono in triangoli,<br />

mediante il tracciamento di diagonali. La risoluzione inizia<br />

sempre dal triangolo di cui sono noti almeno tre elementi. Per un un<br />

poligono di N lati devono essere noti un numero tale di elementi<br />

che si ottengono dalla formula<br />

Ne = ( 2 x N – 3 )<br />

Tra questi devono essere noti almeno ( N – 2 ) lati


Somma degli angoli<br />

interni in un<br />

poligono di N lati<br />

La somma degli angoli interni in un poligono di N lati si ottiene ottiene<br />

A<br />

B<br />

dalla formula:<br />

Σα = 200 c x ( N – 2 )<br />

Σα = 200 c x ( 5 – 2 ) = 600 c<br />

E<br />

C<br />

D


Triangoli non<br />

rettangoli<br />

Per la risoluzione dei triangoli non rettangoli è necessario che siano<br />

noti almeno tre elementi, combinazione di lati e angoli.<br />

Per la risoluzione possono essere applicati, a seconda dei casi, due<br />

teoremi:<br />

TEOREMA DI CARNOT<br />

TEOREMA DEI SENI<br />

La sommatoria degli angoli interni (nel sistema centesimale) è di di<br />

200 C


Triangoli non rettangoli<br />

Teorema di Carnot<br />

Noti due lati del triangolo e l’angolo tra essi compreso, questo<br />

teorema permette il calcolo del terzo lato incognito<br />

A<br />

B<br />

2 2<br />

AC = ( AB + BC − 2 × AB × BC ×<br />

C<br />

COS<br />

B) ˆ


Triangoli non<br />

rettangoli<br />

Teorema dei seni<br />

“Il Il rapporto fra i lati e i seni dei rispettivi angoli opposti è costante<br />

ed uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo” triangolo”<br />

AB<br />

sen<br />

Ĉ<br />

A<br />

=<br />

sen<br />

BC<br />

Â<br />

B<br />

=<br />

sen<br />

CA<br />

B ˆ<br />

C<br />

=<br />

2<br />

×<br />

r


Triangoli non<br />

rettangoli<br />

Teorema dei seni<br />

Il T. dei seni permette di calcolare un lato quando siano noti il il<br />

rispettivo angolo opposto ed una coppia di elementi in relazione<br />

tra loro. Se sono noti il lato AB e gli angoli nei vertici C e B, B,<br />

è<br />

AB<br />

sen<br />

Ĉ<br />

=<br />

A<br />

AC<br />

sen<br />

B ˆ<br />

possibile calcolare AC<br />

da<br />

B<br />

cui<br />

AC<br />

C<br />

=<br />

AB<br />

×<br />

sen<br />

sen<br />

Ĉ<br />

B ˆ


Triangoli non<br />

rettangoli<br />

Teorema dei seni<br />

Anche gli angoli possono essere calcolati. Se sono noti AB, BC e<br />

l’angolo in A è possibile ottenere l’angolo nel vertice C<br />

A<br />

AB BC<br />

AB -1<br />

=<br />

da cui Ĉ = sen (<br />

sen Ĉ sen Â<br />

B<br />

C<br />

×<br />

BC<br />

sen<br />

Â<br />

)


Triangoli non<br />

rettangoli<br />

Area<br />

Noti due lati del triangolo e l’angolo tra essi compreso, l’area si<br />

S<br />

=<br />

A<br />

B<br />

1<br />

2<br />

ottiene dalla formula<br />

×<br />

AB<br />

×<br />

AC<br />

×<br />

sen<br />

C<br />

Â


Triangoli non<br />

rettangoli<br />

Area<br />

A<br />

Â<br />

Se nella formula:<br />

b<br />

C<br />

Poniamo: b = AB, dal triangolo rettangolo ACB 1 risulta:<br />

si ottiene la formula finale:<br />

h<br />

B 1<br />

1<br />

S = × b ×<br />

2<br />

h<br />

sen  = da cui h = AC ×<br />

AC<br />

h<br />

sen<br />

Â<br />

B<br />

1<br />

S = × AB × AC ×<br />

2<br />

sen<br />

Â


Triangoli non<br />

rettangoli<br />

Area con la formula di<br />

Erone<br />

Se sono noti i tre lati del triangolo l’area si ottiene dalla formula<br />

A<br />

di Erone<br />

C<br />

SABC = √ [ p x ( p – AB ) x ( p – BC ) x ( p – CA ) ]<br />

in cui: p = ( AB + BC + CA ) / 2<br />

è il semiperimetro<br />

B


Triangoli non<br />

rettangoli<br />

Area<br />

Se è noto un solo lato e tutti e tre gli angoli interni l’area si si<br />

S<br />

ABC<br />

A<br />

=<br />

1<br />

2<br />

×<br />

(<br />

ottiene dalla formula<br />

AC<br />

C<br />

2<br />

×<br />

sen<br />

sen<br />

Â<br />

B ˆ<br />

×<br />

sen<br />

B<br />

Ĉ<br />

)


Triangoli non<br />

rettangoli<br />

Risoluzione<br />

A<br />

C<br />

B<br />

( )<br />

Â<br />

sen<br />

×<br />

AC<br />

×<br />

AB<br />

×<br />

2<br />

1<br />

=<br />

S<br />

)<br />

Ĉ<br />

+<br />

Â<br />

(<br />

-<br />

200<br />

=<br />

B ˆ<br />

)<br />

BC<br />

Â<br />

sen<br />

×<br />

AB<br />

(<br />

sen<br />

=<br />

Ĉ<br />

Â<br />

cos<br />

×<br />

AC<br />

×<br />

AB<br />

×<br />

2<br />

-<br />

AC<br />

+<br />

AB<br />

=<br />

BC<br />

A<br />

vertice<br />

nel<br />

angolo<br />

l'<br />

e<br />

AC<br />

,<br />

AB<br />

noti<br />

Sono<br />

ABC<br />

c<br />

1<br />

-<br />

2<br />

2


Triangoli non<br />

rettangoli<br />

Risoluzione<br />

Ĉ<br />

sen<br />

×<br />

CB<br />

×<br />

AC<br />

×<br />

2<br />

1<br />

=<br />

S<br />

)<br />

Ĉ<br />

cos<br />

×<br />

CB<br />

×<br />

AC<br />

×<br />

2<br />

-<br />

CB<br />

+<br />

AC<br />

(<br />

=<br />

AB<br />

Â<br />

sen<br />

B ˆ<br />

sen<br />

×<br />

BC<br />

=<br />

AC<br />

)<br />

Ĉ<br />

+<br />

B ˆ<br />

(<br />

-<br />

200<br />

=<br />

Â<br />

C<br />

e<br />

B<br />

in<br />

angoli<br />

gli<br />

e<br />

BC<br />

lato<br />

il<br />

noti<br />

Sono<br />

ABC<br />

2<br />

2<br />

c<br />

A<br />

C<br />

B


Risoluzione dei<br />

quadrilateri<br />

Per la risoluzione dei quadrilateri è necessario conoscere almeno almeno<br />

cinque elementi (combinazione di lati, angoli, area).<br />

I metodi di risoluzione più utilizzati, sono:<br />

• divisione del quadrilatero con diagonali in due triangoli<br />

• divisione del quadrilatero in figure semplici (triangoli rettangoli rettangoli<br />

e<br />

rettangoli)<br />

• trasformazione del quadrilatero in un triangolo<br />

La sommatoria degli angoli interni (nel sistema centesimale) è di di<br />

400 C


Metodi per la<br />

risoluzione dei<br />

quadrilateri<br />

Divisione in triangoli<br />

A<br />

A<br />

Â<br />

AC<br />

2<br />

1<br />

D ˆ<br />

Ĉ2<br />

D<br />

D<br />

B<br />

Ĉ<br />

1<br />

B<br />

C<br />

C<br />

DISTANZE<br />

ANGOLI<br />

ELEMENTI NOTI<br />

AB<br />

B<br />

BC<br />

È questo il caso più semplice<br />

C<br />

CD<br />

perchè esistono due possibilità di<br />

risoluzione sia con la diagonale AC<br />

che con quella BD. Tracciata la<br />

diagonale AC, si risolve come<br />

segue:<br />

Triangolo 1<br />

diagonale AC con Carnot<br />

angolo in C 1 con i seni<br />

Triangolo 2<br />

angolo C 2 per differenza C – C 1<br />

lato AD con Carnot<br />

angolo in D con i seni<br />

angolo in A per differenza a 400 c<br />

area totale come somma delle aree<br />

parziali di due triangoli


Metodi per la<br />

risoluzione dei<br />

quadrilateri<br />

Divisione in triangoli<br />

A<br />

A<br />

1<br />

D<br />

D1 ˆ<br />

D<br />

D2 ˆ<br />

DB<br />

CD<br />

2<br />

B ˆ<br />

C<br />

B<br />

C<br />

B2 ˆ<br />

B<br />

DISTANZE<br />

ANGOLI<br />

ELEMENTI NOTI<br />

AB<br />

A<br />

BC<br />

C<br />

L’unica diagonale che permette di<br />

AD<br />

risolvere il problema è la diagonale BD,<br />

perchè nel triangolo 1 sono noti 3<br />

elementi, mentre nel triangolo 2 gli<br />

elementi noti sono insufficienti<br />

Triangolo 1<br />

diagonale BD con Carnot<br />

angolo D 1 con i seni<br />

Triangolo 2<br />

angolo D 2 con i seni<br />

angolo D somma di D 1 + D 2<br />

angolo B per differenza a 400 c<br />

angolo B 2 per differenza a 200 c<br />

lato CD con Carnot o seni<br />

area totale come somma delle aree parziali<br />

di due triangoli


Metodi per la<br />

risoluzione dei<br />

quadrilateri<br />

Divisione in triangoli<br />

A<br />

AD<br />

Â2<br />

A1<br />

2<br />

AC<br />

D<br />

D<br />

Ĉ2<br />

CD<br />

Ĉ1<br />

B ˆ<br />

C<br />

B<br />

C<br />

B<br />

DISTANZE<br />

ANGOLI<br />

ELEMENTI NOTI<br />

AB<br />

A<br />

BC<br />

Anche se sono noti cinque elementi è<br />

C<br />

D<br />

necessario, come prima cosa, calcolare per<br />

differenza l’angolo nel vertice B. Si traccia<br />

successivamente la diagonale AC<br />

B = 400 c – (A + C + D)<br />

AC = √(AB 2 + BC 2 – 2 x AB x BC x cos B)<br />

C 1 = sen -1 (AB x sen B / AC)<br />

C 2 = C – C 1<br />

AD = (AC / sen D) x sen C 2<br />

A 2 = 200 c – (D + C 2 )<br />

CD = (AC / sen D) x sen A 2<br />

S 1 = 0.5 x AB x BC x sen B<br />

S 2 = 0.5 x AD x DC x sen D<br />

S 1 + S 2 = S t


Metodi per la<br />

risoluzione dei<br />

quadrilateri<br />

Divisione in triangoli<br />

rettangoli<br />

D<br />

A B<br />

D<br />

Ĉ2<br />

3<br />

C<br />

C<br />

H<br />

1 2<br />

A E F<br />

B<br />

Ĉ1<br />

DISTANZE<br />

ANGOLI<br />

In questo caso è necessario dividere il quadrilatero<br />

in più triangoli rettangoli, utilizzando nella<br />

risoluzione le funzioni trigonometriche<br />

come<br />

DE<br />

CF<br />

somma<br />

= AD x sen Â<br />

Bˆ = BC x sen<br />

Ĉ =<br />

1<br />

100<br />

D = 400 ˆ<br />

AB = AE + EF (DH) + FB<br />

di tre<br />

ELEMENTI NOTI<br />

C<br />

-<br />

DH<br />

C<br />

2<br />

triangolo<br />

triangolo<br />

B ˆ<br />

triangolo<br />

=<br />

=<br />

sen<br />

Ĉ = Ĉ<br />

C<br />

-<br />

triangoli<br />

BC<br />

( CD2<br />

1<br />

A<br />

B + Ĉ ) ˆ ( Â +<br />

area<br />

CH<br />

- 1<br />

AE<br />

BF<br />

+ Ĉ<br />

1<br />

2<br />

3<br />

-<br />

=<br />

DH<br />

(<br />

CD<br />

2<br />

CF<br />

CH 2)<br />

)<br />

rettangoli<br />

CD<br />

B<br />

= AD x cos Â<br />

Bˆ = BC x cos<br />

-<br />

DE<br />

DA<br />

e un rettangolo


Metodi per la<br />

risoluzione dei<br />

quadrilateri<br />

Trasformazione in un<br />

triangolo<br />

A<br />

Â<br />

D<br />

D ˆ<br />

D<br />

1<br />

ˆ<br />

Ĉ<br />

B ˆ<br />

Ĉ<br />

1<br />

B<br />

E<br />

Ê<br />

C<br />

DISTANZE<br />

ANGOLI<br />

Ĉ<br />

1<br />

= 200<br />

B<br />

sen Ê<br />

ˆ<br />

AB x sen<br />

AE =<br />

CD x sen Ĉ1<br />

DE =<br />

sen Ê<br />

S<br />

S<br />

ABE<br />

DEC<br />

ELEMENTI NOTI<br />

D = 400 ˆ<br />

Ê<br />

S<br />

=<br />

=<br />

=<br />

C<br />

-<br />

1<br />

2<br />

1<br />

2<br />

ABCD<br />

C<br />

200<br />

Ĉ<br />

-<br />

si prolungano<br />

C<br />

AD = AE - DE<br />

-<br />

= S<br />

AB<br />

Per risolvere questo caso è necessario prolungare i due<br />

lati AD e BC trasformando il quadrilatero nel triangolo<br />

ABE di cui sono noti il lato AB e gli angoli in A e B<br />

A<br />

B + Ĉ ) ˆ ( Â +<br />

AD e BC in E<br />

D ˆ<br />

ABE<br />

( Â<br />

1<br />

BE<br />

x AE x EB x sen Ê<br />

x DE x EC x sen Ê<br />

-<br />

= 200<br />

S<br />

B ) ˆ +<br />

DEC<br />

CD<br />

B<br />

C<br />

AB x sen Â<br />

=<br />

sen Ê<br />

D1 sen Ê<br />

ˆ<br />

CD x sen<br />

CE =<br />

-<br />

BC = BE - CE<br />

D ˆ<br />

C


Area dei<br />

quadrilateri<br />

Divisione in due<br />

triangoli<br />

A<br />

Il calcolo della superficie del quadrilatero può essere ricondotto ricondotto<br />

al<br />

calcolo della superficie di due triangoli<br />

1<br />

2<br />

D<br />

B<br />

C<br />

SABCD ABCD = S 1 + S 2<br />

S1 = 0.5 x AD x DC x sen D<br />

S2 = 0.5 x AB x BC x sen B


Area dei<br />

quadrilateri<br />

Formula del<br />

camminamento<br />

Se sono noti tre lati adiacenti e gli angoli fra essi compresi è<br />

A<br />

SABCD ABCD ABCD<br />

ABCD<br />

ABCD =<br />

=<br />

=<br />

=<br />

possibile applicare la formula di camminamento<br />

D<br />

B<br />

= 0.5 0.5 0.5 0.5 x x x x [ [<br />

[<br />

[ AB AB AB AB x x x x BC BC BC BC BC x x x x sen sen sen sen B B B B + + + + BC BC BC BC x x x x CD CD CD CD x x x x sen sen sen sen C C<br />

C<br />

C –<br />

+ + + + AB AB AB AB x x x x CD CD CD CD x x x x sen sen sen sen ( ( ( ( B B B B + + + + + C C C C C ) )<br />

)<br />

) ]<br />

C


Coordinate<br />

cartesiane piane<br />

Q.4<br />

Q.3<br />

S (- ; -)<br />

T (- ; +)<br />

0<br />

Y<br />

X P<br />

P (+ ; +)<br />

Y P<br />

R (+ ; -)<br />

Q.1<br />

Q.2<br />

X


Coordinate polari<br />

piane<br />

asse polare<br />

N (0 c )<br />

(OA)<br />

O (polo)<br />

Si consideri un punto del piano detto polo o origine, origine,<br />

ed una retta<br />

comunque orientata passante per tale punto, asse polare. .<br />

Rispetto a tale sistema di riferimento, si definiscono <strong>coordinate</strong> <strong>coordinate</strong><br />

polari del punto A, la distanza orizzontale OA e l’Azimut o<br />

angolo di direzione orizzontale (OA)<br />

OA<br />

A


Passaggio da<br />

<strong>coordinate</strong> polari a<br />

cartesiane<br />

Y<br />

asse polare<br />

A’<br />

Y A<br />

N (0 c )<br />

(OA)<br />

O (polo)<br />

X A<br />

Il passaggio diretto da polari a cartesiane è possibile solo se:<br />

OA<br />

le origini dei due sistemi coincidono<br />

il semiasse positivo delle Y coincide con l’asse polare<br />

A<br />

X


Passaggio da<br />

<strong>coordinate</strong> polari a<br />

cartesiane<br />

sen<br />

cos<br />

( OA)<br />

( OA)<br />

Y<br />

A’<br />

A’<br />

Y A<br />

(OA)<br />

(OA)<br />

O O (polo)<br />

(polo)<br />

X A<br />

OA OA OA OA<br />

Dal triangolo rettangolo OAA’ risulta:<br />

=<br />

=<br />

X<br />

A<br />

OA<br />

Y<br />

A<br />

OA<br />

da<br />

da<br />

cui<br />

cui<br />

Al variare dell’azimut tra 0 c e 400 c , le <strong>coordinate</strong> calcolate<br />

assumono il segno relativo ai quattro quadranti.<br />

:<br />

:<br />

A<br />

X<br />

Y<br />

A<br />

A<br />

=<br />

=<br />

OA<br />

OA<br />

X<br />

×<br />

×<br />

sen<br />

cos<br />

( OA)<br />

( OA)


Passaggio da<br />

<strong>coordinate</strong><br />

cartesiane a polari<br />

Y<br />

A’<br />

Y A<br />

N (0 c )<br />

(OA)<br />

O (polo)<br />

X A<br />

Anche il passaggio da <strong>coordinate</strong> cartesiane a polari è<br />

possibile. Per la distanza basta applicare il T. di Pitagora<br />

mentre per l’azimut, la funzione inversa della tangente.<br />

OA<br />

=<br />

( X<br />

2<br />

A<br />

+<br />

Y<br />

A<br />

2<br />

)<br />

OA<br />

A<br />

( OA)<br />

=<br />

tan<br />

-1<br />

X<br />

(<br />

Y<br />

A<br />

A<br />

)<br />

X


Come si ottiene il<br />

valore dell’azimut<br />

(OA) nel II°<br />

quadrante ?<br />

L’inverso della tangente fornisce direttamente il valore dell’azimut dell’azimut<br />

solo se l’angolo calcolato è inferiore a 100 c . Nel II°, III° e IV°<br />

quadrante per ottenere il valore dell’azimut (OA) si opera nella<br />

Y<br />

O<br />

Y A<br />

A’<br />

- α<br />

200 c<br />

X A<br />

(OA)<br />

A<br />

seguente maniera<br />

X<br />

( OA)<br />

Nel II° quadrante risulta<br />

=<br />

tan<br />

-1<br />

X<br />

(<br />

Y<br />

A<br />

A<br />

)<br />

=<br />

-<br />

α<br />

+<br />

200<br />

c


Come si ottiene il<br />

valore dell’azimut<br />

(OA) nel III°<br />

quadrante ?<br />

A<br />

X A<br />

Y<br />

O<br />

+ α<br />

Y A<br />

A’<br />

200 c<br />

(OA)<br />

( OA)<br />

X<br />

Nel III° quadrante risulta<br />

=<br />

tan<br />

- 1<br />

X<br />

(<br />

Y<br />

A<br />

A<br />

)<br />

=<br />

+<br />

α<br />

+<br />

200<br />

c


Come si ottiene il<br />

valore dell’azimut<br />

(OA) nel IV°<br />

quadrante ?<br />

A<br />

X A<br />

(OA)<br />

Y<br />

- α<br />

400 c<br />

A’<br />

Y A<br />

O<br />

( OA)<br />

Nel IV° quadrante risulta<br />

=<br />

tan<br />

- 1<br />

X<br />

(<br />

Y<br />

A<br />

A<br />

)<br />

X<br />

=<br />

-<br />

α<br />

+<br />

400<br />

c


Azimut (AB) e<br />

distanza AB tra due<br />

punti di <strong>coordinate</strong><br />

cartesiane note<br />

A e B sono due punti di <strong>coordinate</strong> cartesiane note.<br />

Si definisce azimut (AB), l’angolo orizzontale destrorso che<br />

il segmento orizzontale AB forma con il sistema di<br />

Y B<br />

riferimento posto nel vertice A<br />

Y A<br />

Y Y’<br />

O<br />

X B<br />

X A<br />

A<br />

(AB)<br />

B<br />

X


E l’Azimut (BA) ?<br />

L’azimut (BA) si ottiene nel momento in cui il sistema di<br />

riferimento, origine e asse delle Y, invece di trovarsi nel<br />

vertice A viene posto nell’altro estremo B. Il suo calcolo è<br />

semplice nel caso in cui sia già noto l’azimut (AB). Infatti:<br />

A<br />

(AB)<br />

(BA) = (AB) ± 200 c<br />

Y’<br />

B<br />

200 c<br />

(AB)<br />

(BA)


Calcolo della<br />

distanza orizzontale<br />

tra due punti di<br />

<strong>coordinate</strong><br />

cartesiane note<br />

Y B<br />

Y A<br />

Y Y’<br />

O<br />

X B<br />

X A<br />

A’<br />

A<br />

La distanza orizzontale AB rappresenta l’ipotenusa del triangolo<br />

rettangolo AA’B di cui si conoscono i due cateti A’B e AA’<br />

A’B = X B – XA ( Y B – YA A )<br />

( X B – XA A )<br />

AB AB<br />

AA’ = Y B – YA Applicando il T. di Pitagora si ottiene la “distanza “ distanza tra due punti” punti<br />

AB = √ [ ( X B – XA ) 2 + ( YB Y – YA ) 2 ]<br />

B<br />

X


Calcolo dell’Azimut<br />

(AB) tra due punti<br />

di <strong>coordinate</strong><br />

cartesiane note<br />

Y B<br />

Y A<br />

Y Y’<br />

O<br />

X B<br />

X A<br />

A’<br />

( Y B – YA A ) (AB)<br />

A<br />

( X B – XA A )<br />

Applicando l’inverso della tangente all’interno del triangolo<br />

rettangolo AA’B si ottiene per “l’azimut “ l’azimut (AB)” (AB)<br />

-<br />

(<br />

AB<br />

)<br />

=<br />

tan<br />

[ 1<br />

(X<br />

B<br />

(<br />

Y<br />

B<br />

-<br />

X<br />

A ) A )<br />

-<br />

Y<br />

)<br />

A<br />

[<br />

B<br />

X


Calcolo dell’Azimut<br />

(AB) tra due punti di<br />

<strong>coordinate</strong><br />

cartesiane note<br />

Anche in questo caso la formula precedente fornisce<br />

direttamente il valore dell’azimut (AB) solo se il punto B si trova trova<br />

Y<br />

O<br />

nel primo quadrante rispetto al sistema posto con origine nel<br />

Y’<br />

A<br />

(Y B – YA) B’<br />

vertice A. Per gli altri tre quadranti risulta<br />

- α<br />

200 c<br />

(X B – XA) (AB)<br />

B<br />

X’<br />

Con B nel II° quadrante<br />

rispetto al sistema posto in A<br />

X<br />

[<br />

(X<br />

( AB<br />

)<br />

=<br />

tan<br />

risulta<br />

-<br />

X<br />

)<br />

[<br />

- 1<br />

B<br />

A<br />

c =<br />

c = -<br />

α<br />

+<br />

200<br />

(<br />

Y<br />

B - B - Y<br />

A)<br />

A)


Calcolo dell’Azimut<br />

(AB) tra due punti di<br />

<strong>coordinate</strong><br />

cartesiane note<br />

Con B nel III° quadrante rispetto al<br />

O<br />

sistema posto in A risulta<br />

[<br />

(X<br />

( AB<br />

)<br />

=<br />

tan<br />

-<br />

X<br />

)<br />

B<br />

[<br />

Y<br />

(X B – XA )<br />

- 1<br />

B<br />

A<br />

c<br />

=<br />

c<br />

= +<br />

α<br />

+<br />

200<br />

(<br />

Y<br />

B - B - Y<br />

A)<br />

A)<br />

Y’<br />

A<br />

+α<br />

(Y B – YA )<br />

B’<br />

200 c<br />

(AB)<br />

X’<br />

X


Calcolo dell’Azimut<br />

(AB) tra due punti di<br />

<strong>coordinate</strong><br />

cartesiane note<br />

B<br />

Y<br />

(AB)<br />

O<br />

(X B – XA )<br />

Y’<br />

-α<br />

B’<br />

(Y B – YA )<br />

A<br />

200 c<br />

X’<br />

Con B nel IV° quadrante rispetto al sistema posto<br />

[<br />

(X<br />

( AB<br />

)<br />

=<br />

tan<br />

X<br />

in A risulta<br />

-<br />

X<br />

)<br />

[<br />

- 1<br />

B<br />

A<br />

c<br />

=<br />

c<br />

= -<br />

α<br />

+<br />

400<br />

(<br />

Y<br />

B - B - Y<br />

A)<br />

A)


Calcolo dell’area di<br />

poligoni di cui sono<br />

note le <strong>coordinate</strong><br />

cartesiane dei vertici<br />

(formula di Gauss)<br />

Se sono note le <strong>coordinate</strong> cartesiane dei vertici di un poligono<br />

A<br />

l’area si può calcolare applicando la “formula “ formula di Gauss” Gauss<br />

B<br />

S<br />

ABC<br />

=<br />

1<br />

2<br />

×<br />

L’area assume un segno<br />

diverso (+/-) ( ) se il<br />

poligono considerato è<br />

percorso in senso orario<br />

o antiorario<br />

S<br />

ABCD<br />

=<br />

1<br />

2<br />

×<br />

C<br />

[ Y × ( X - X ) + Y × ( X - X ) + Y × ( X - X ) ]<br />

A<br />

B<br />

C<br />

A<br />

[ Y × ( X - X ) + Y × ( X - X ) + Y × ( X - X ) + Y × ( X - X ) ]<br />

A<br />

D<br />

B<br />

D<br />

C<br />

A<br />

B<br />

C<br />

C<br />

B<br />

A<br />

D<br />

D<br />

C<br />

B<br />

B<br />

A<br />

A<br />

B<br />

C<br />

C


Utilizzo delle<br />

cordinate cartesiane<br />

per la risoluzione dei<br />

poligoni<br />

Le <strong>coordinate</strong> cartesiane possono essere utilizzate per risolvere i<br />

poligoni. I lati si ottengono con la distanza tra due punti, gli angoli<br />

per differenza di azimut e l’area con la formula di Gauss<br />

(AB)<br />

A<br />

AB = √ [(X B - XA ) 2 + (YB (Y – YA ) 2 ]<br />

(AC)<br />

B<br />

 = ( AC)<br />

- ( AB)<br />

B = ( BA)<br />

- ( BC)<br />

ˆ<br />

Ĉ<br />

C<br />

= ( CB)<br />

- ( CA)

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!