topografia 1 trigonometria e coordinate

Y
O
Y’
Y’
A
(Y (Y B B – Y YA) A)
B’
B’
- α
200c 200c 200
(AB)
(AB)
(X (X B B – X XA) A)
B
X’
X’
X
TRIGONOMETRIA E COORDINATE

Indice
Angoli e sistemi di misura angolare
Funzioni trigonometriche
Risoluzione dei triangoli rettangoli
Risoluzione dei poligoni
Risoluzione dei triangoli non rettangoli e loro area
Risoluzione dei quadrilateri e loro area
Coordinate cartesiane e polari piane
Azimut
Passaggio da coordinte polari a cartesiane e da cartesiane a polari polari
Azimut e distanza tra due punti di coordinate cartesiane note
Area con le coordinate cartesiane (Gauss)
Utilizzo delle coordinate cartesiane per la risoluzione dei poligoni poligoni

Angoli
Si definisce angolo ciascuna delle due porzioni di piano
limitate da due semirette (lati) uscenti da uno stesso punto
(vertice). Gli angoli in topografia sono orientati in senso
orario. L’angolo si ottiene facendo ruotare il segmento
SB ˆ A
SA ˆ BSA ˆ B
SA fino a farlo coincidere con il segmento SB
S
SB ˆ ASB ˆ A
A
B

Angoli
A
A
S
S
S
B
A
B
SB ˆ ASB ˆ A
SB ˆ ASB ˆ A
SB ˆ ASB ˆ A
B
SB ˆ A
è un angolo giro
SB ˆ A è un angolo retto
SB ˆ A
è un angolo piatto

I sistemi di misura
angolare
sessagesimale e
centesimale
270°
300 C
360°
0°
180°
400 C 0C 200 C
90°
P 163° 27’ 48’’
100 C
P 181 c ,6259
1°
1’
1 C
1’
60’
60’’
100’
100’’

I sistemi di misura
angolare
Passaggi da un sistema
ad un altro
Per passare dai gradi sessagesimali ai centesimali è
necessario decimalizzare i gradi sessagesimali dividendo i
α
C
primi per 60 e i secondi per 3600
163°
+
27'
60
+
α°
180°
48''
3600
=
=
C
α
200
163°
, 4633
successivamente dalla proporzione
si ottiene
163°
, 4633 × 200
=
180°
C
C
C
= 181 , 6259

Le funzioni
trigonometriche
300 c
0c = 400c 400
A’
Y a
O
200 c
α
X a
A
100 c
Le funzioni trigonometriche associano
ad ogni angolo un numero puro.
Studieremo di seguito le quattro
funzioni seno, seno,
coseno, coseno,
tangente e
cotangente.
cotangente
Si consideri una circonferenza di
centro O e raggio OA, riferita ad un
sistema di assi cartesiani con origine
nel centro della circonferenza. Al
variare della posizione del punto A
varia l’ampiezza dell’angolo α

Le funzioni
trigonometriche
seno e coseno
300 c
Si definisce seno
dell’angolo dell angolo α (sen sen α) il
rapporto fra l’ascissa l ascissa del
punto A, X a, , ed il raggio
della circonferenza OA
sen
α
=
Xa
OA
A’
Y a
O
100 c
0c = 400c 400
200 c
α
X a
A
100 c
Si definisce coseno
dell’angolo dell angolo α (cos cos α) il
rapporto fra l’ordinata l ordinata del
punto A, Y a, , ed il raggio
della circonferenza OA
cos
α
=
Ya
OA

Le funzioni
trigonometriche
tangente e
cotangente
300 c
Si definisce tangente
dell’angolo dell angolo α (tan tan α) il
rapporto fra l’ascissa l ascissa del
punto A, X a, , e la sua
ordinata Y a
tan
α
=
Xa
Ya
0c = 400c 400
A’
Y A
O
200 c
α
X A
A
Si definisce cotangente
dell’angolo dell angolo α (cot cot α) il
rapporto fra l’ordinata l ordinata del
punto A, Y a, , e la sua
ascissa X a
cot
α
=
Ya
Xa

Funzioni
trigonometriche
Quadro generale
gradi
gradi
gradi
gradi
0 c
100
100
100
100
100 c
200
200
200
200
200 c
300
300
300
300
300 c
400
400
400
400
400 c
seno
seno
seno
seno
0
1
0
-1
0
coseno coseno
coseno
coseno
coseno
1
0
-1
0
1
tangente
tangente
tangente
tangente
0
+ + + + ∞
∞
∞
∞
0
+ + + + ∞
∞
∞
∞
0
cotangente
cotangente
cotangente
cotangente
+ + + + + ∞
∞
∞
∞
0
+ + + + ∞
∞
∞
∞
0
+ + + + ∞
∞
∞
∞

Le funzioni
trigonometriche
utilizzate per la
risoluzione dei
triangoli rettangoli
B C
Bˆ Ĉ
A
Â
sen
cos
tan
Â
Â
Â
=
=
=
BC
AC
AB
AC
BC
AB
Le funzioni trigonometriche sono
utilizzate per risolvere i triangoli
rettangoli. Nella risoluzione è
necessario conoscere almeno due
elementi. La sommatoria degli angoli
interni (nel sistema centesimale) è di
200 c
sen
cos
tan
Ĉ
Ĉ
Ĉ
=
=
=
AB
AC
BC
AC
AB
BC

Le funzioni inverse
Da uno dei qualsiasi rapporti precedentemente visti, che
definiscono le funzioni trigonometriche, si ottiene come
risultato un numero puro il cui valore numerico e il segno
dipendono dall’ampiezza dell’angolo e dalla funzione che
all’angolo risulta associata. Per conoscere l’angolo, nota la
funzione, è necessario utilizzare la “funzione “ funzione inversa”. inversa”.
Sulle
calcolatrici le funzioni inverse sono indicate con sen -1 , cos -1 , tan -1
Â
sen
=
Â
sen
=
-
1
BC
AC
(
BC
AC
)
B C
Bˆ Ĉ
A
Â

Â
cos
×
AC
=
AB
risulta
cui
da
AC
AB
=
Â
cos
Â
sen
×
AC
=
BC
risulta
cui
da
AC
BC
=
Â
sen
Â
-
100
=
Ĉ
100
=
Ĉ
+
Â
100
=
B ˆ
ma
200
=
Ĉ
+
B ˆ
+
Â
A
vertice
nel
angolo
l'
e
AC
ipotenusa
l'
noti
Sono
c
c
c
c
B C
A
Triangoli rettangoli
Risoluzione

( )
Â
-
100
=
Ĉ
100
=
Ĉ
+
Â
100
=
B ˆ
ma
200
=
Ĉ
+
B ˆ
+
Â
AC
BC
sen
=
Â
cui
da
AC
BC
=
Â
sen
BC
+
AB
=
AC
AC
ipotenusa
l'
calcolare
possibile
è
Pitagora
di
T.
il
con
BC
e
AB
cateti
due
i
noti
Sono
C
C
C
C
)
(
1
-
2
2
Triangoli rettangoli
Risoluzione
B C
A

Triangoli rettangoli
Risoluzione
γ
cos
×
b
=
a
risulta
cui
da
b
a
=
γ
cos
γ
sen
c
=
b
risulta
cui
da
b
c
=
γ
sen
γ
-
90
=
α
90
=
γ
+
α
90
=
β
ma
180
=
γ
+
β
+
α
)
γ
(
C
vertice
nel
angolo
l'
e
(c)
AB
cateto
il
noti
Sono
o
o
o
o
B C
A
a
b
c
β
α
γ

Triangoli rettangoli
Quadro generale
A
B C
A
B C
A
B C
A
B C
elementi elementi elementi elementi noti
noti
noti
noti
due cateti
ipotenusa
cateto
ipotenusa
angolo in C
cateto
angolo in A
incognite
incognite
incognite
incognite
ipotenusa
due angoli
cateto
due angoli
angolo in A
due cateti
angolo in C
ipotenusa
cateto
risoluzione
risoluzione
risoluzione
risoluzione
AB = √(AB 2 + BC 2 )
A = sen- 1 sen (BC/AC)
C = 100 C - A
BC = √(AC 2 - AB 2 )
A = cos- 1 cos (AB/AC)
C = 100 C - A
A = 100 C - C
AB = AC x sen C
BC = √(AC 2 - AB 2 )
C = 100 C - A
AC = AB / cos A
BC = √(AC 2 - AB 2 )

Risoluzione poligoni
di N lati
Risolvere un poligono significa determinare tutti i suoi elementi elementi
a
partire da alcuni già noti. Per elementi si intendono in generale generale
i
lati, gli angoli interni e l’area. I procedimenti risolutivi più
semplici si basano sulla divisione del poligono in triangoli,
mediante il tracciamento di diagonali. La risoluzione inizia
sempre dal triangolo di cui sono noti almeno tre elementi. Per un un
poligono di N lati devono essere noti un numero tale di elementi
che si ottengono dalla formula
Ne = ( 2 x N – 3 )
Tra questi devono essere noti almeno ( N – 2 ) lati

Somma degli angoli
interni in un
poligono di N lati
La somma degli angoli interni in un poligono di N lati si ottiene ottiene
A
B
dalla formula:
Σα = 200 c x ( N – 2 )
Σα = 200 c x ( 5 – 2 ) = 600 c
E
C
D

Triangoli non
rettangoli
Per la risoluzione dei triangoli non rettangoli è necessario che siano
noti almeno tre elementi, combinazione di lati e angoli.
Per la risoluzione possono essere applicati, a seconda dei casi, due
teoremi:
TEOREMA DI CARNOT
TEOREMA DEI SENI
La sommatoria degli angoli interni (nel sistema centesimale) è di di
200 C

Triangoli non rettangoli
Teorema di Carnot
Noti due lati del triangolo e l’angolo tra essi compreso, questo
teorema permette il calcolo del terzo lato incognito
A
B
2 2
AC = ( AB + BC − 2 × AB × BC ×
C
COS
B) ˆ

Triangoli non
rettangoli
Teorema dei seni
“Il Il rapporto fra i lati e i seni dei rispettivi angoli opposti è costante
ed uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo” triangolo”
AB
sen
Ĉ
A
=
sen
BC
Â
B
=
sen
CA
B ˆ
C
=
2
×
r

Triangoli non
rettangoli
Teorema dei seni
Il T. dei seni permette di calcolare un lato quando siano noti il il
rispettivo angolo opposto ed una coppia di elementi in relazione
tra loro. Se sono noti il lato AB e gli angoli nei vertici C e B, B,
è
AB
sen
Ĉ
=
A
AC
sen
B ˆ
possibile calcolare AC
da
B
cui
AC
C
=
AB
×
sen
sen
Ĉ
B ˆ

Triangoli non
rettangoli
Teorema dei seni
Anche gli angoli possono essere calcolati. Se sono noti AB, BC e
l’angolo in A è possibile ottenere l’angolo nel vertice C
A
AB BC
AB -1
=
da cui Ĉ = sen (
sen Ĉ sen Â
B
C
×
BC
sen
Â
)

Triangoli non
rettangoli
Area
Noti due lati del triangolo e l’angolo tra essi compreso, l’area si
S
=
A
B
1
2
ottiene dalla formula
×
AB
×
AC
×
sen
C
Â

Triangoli non
rettangoli
Area
A
Â
Se nella formula:
b
C
Poniamo: b = AB, dal triangolo rettangolo ACB 1 risulta:
si ottiene la formula finale:
h
B 1
1
S = × b ×
2
h
sen  = da cui h = AC ×
AC
h
sen
Â
B
1
S = × AB × AC ×
2
sen
Â

Triangoli non
rettangoli
Area con la formula di
Erone
Se sono noti i tre lati del triangolo l’area si ottiene dalla formula
A
di Erone
C
SABC = √ [ p x ( p – AB ) x ( p – BC ) x ( p – CA ) ]
in cui: p = ( AB + BC + CA ) / 2
è il semiperimetro
B

Triangoli non
rettangoli
Area
Se è noto un solo lato e tutti e tre gli angoli interni l’area si si
S
ABC
A
=
1
2
×
(
ottiene dalla formula
AC
C
2
×
sen
sen
Â
B ˆ
×
sen
B
Ĉ
)

Triangoli non
rettangoli
Risoluzione
A
C
B
( )
Â
sen
×
AC
×
AB
×
2
1
=
S
)
Ĉ
+
Â
(
-
200
=
B ˆ
)
BC
Â
sen
×
AB
(
sen
=
Ĉ
Â
cos
×
AC
×
AB
×
2
-
AC
+
AB
=
BC
A
vertice
nel
angolo
l'
e
AC
,
AB
noti
Sono
ABC
c
1
-
2
2

Triangoli non
rettangoli
Risoluzione
Ĉ
sen
×
CB
×
AC
×
2
1
=
S
)
Ĉ
cos
×
CB
×
AC
×
2
-
CB
+
AC
(
=
AB
Â
sen
B ˆ
sen
×
BC
=
AC
)
Ĉ
+
B ˆ
(
-
200
=
Â
C
e
B
in
angoli
gli
e
BC
lato
il
noti
Sono
ABC
2
2
c
A
C
B

Risoluzione dei
quadrilateri
Per la risoluzione dei quadrilateri è necessario conoscere almeno almeno
cinque elementi (combinazione di lati, angoli, area).
I metodi di risoluzione più utilizzati, sono:
• divisione del quadrilatero con diagonali in due triangoli
• divisione del quadrilatero in figure semplici (triangoli rettangoli rettangoli
e
rettangoli)
• trasformazione del quadrilatero in un triangolo
La sommatoria degli angoli interni (nel sistema centesimale) è di di
400 C

Metodi per la
risoluzione dei
quadrilateri
Divisione in triangoli
A
A
Â
AC
2
1
D ˆ
Ĉ2
D
D
B
Ĉ
1
B
C
C
DISTANZE
ANGOLI
ELEMENTI NOTI
AB
B
BC
È questo il caso più semplice
C
CD
perchè esistono due possibilità di
risoluzione sia con la diagonale AC
che con quella BD. Tracciata la
diagonale AC, si risolve come
segue:
Triangolo 1
diagonale AC con Carnot
angolo in C 1 con i seni
Triangolo 2
angolo C 2 per differenza C – C 1
lato AD con Carnot
angolo in D con i seni
angolo in A per differenza a 400 c
area totale come somma delle aree
parziali di due triangoli

Metodi per la
risoluzione dei
quadrilateri
Divisione in triangoli
A
A
1
D
D1 ˆ
D
D2 ˆ
DB
CD
2
B ˆ
C
B
C
B2 ˆ
B
DISTANZE
ANGOLI
ELEMENTI NOTI
AB
A
BC
C
L’unica diagonale che permette di
AD
risolvere il problema è la diagonale BD,
perchè nel triangolo 1 sono noti 3
elementi, mentre nel triangolo 2 gli
elementi noti sono insufficienti
Triangolo 1
diagonale BD con Carnot
angolo D 1 con i seni
Triangolo 2
angolo D 2 con i seni
angolo D somma di D 1 + D 2
angolo B per differenza a 400 c
angolo B 2 per differenza a 200 c
lato CD con Carnot o seni
area totale come somma delle aree parziali
di due triangoli

Metodi per la
risoluzione dei
quadrilateri
Divisione in triangoli
A
AD
Â2
A1
2
AC
D
D
Ĉ2
CD
Ĉ1
B ˆ
C
B
C
B
DISTANZE
ANGOLI
ELEMENTI NOTI
AB
A
BC
Anche se sono noti cinque elementi è
C
D
necessario, come prima cosa, calcolare per
differenza l’angolo nel vertice B. Si traccia
successivamente la diagonale AC
B = 400 c – (A + C + D)
AC = √(AB 2 + BC 2 – 2 x AB x BC x cos B)
C 1 = sen -1 (AB x sen B / AC)
C 2 = C – C 1
AD = (AC / sen D) x sen C 2
A 2 = 200 c – (D + C 2 )
CD = (AC / sen D) x sen A 2
S 1 = 0.5 x AB x BC x sen B
S 2 = 0.5 x AD x DC x sen D
S 1 + S 2 = S t

Metodi per la
risoluzione dei
quadrilateri
Divisione in triangoli
rettangoli
D
A B
D
Ĉ2
3
C
C
H
1 2
A E F
B
Ĉ1
DISTANZE
ANGOLI
In questo caso è necessario dividere il quadrilatero
in più triangoli rettangoli, utilizzando nella
risoluzione le funzioni trigonometriche
come
DE
CF
somma
= AD x sen Â
Bˆ = BC x sen
Ĉ =
1
100
D = 400 ˆ
AB = AE + EF (DH) + FB
di tre
ELEMENTI NOTI
C
-
DH
C
2
triangolo
triangolo
B ˆ
triangolo
=
=
sen
Ĉ = Ĉ
C
-
triangoli
BC
( CD2
1
A
B + Ĉ ) ˆ ( Â +
area
CH
- 1
AE
BF
+ Ĉ
1
2
3
-
=
DH
(
CD
2
CF
CH 2)
)
rettangoli
CD
B
= AD x cos Â
Bˆ = BC x cos
-
DE
DA
e un rettangolo

Metodi per la
risoluzione dei
quadrilateri
Trasformazione in un
triangolo
A
Â
D
D ˆ
D
1
ˆ
Ĉ
B ˆ
Ĉ
1
B
E
Ê
C
DISTANZE
ANGOLI
Ĉ
1
= 200
B
sen Ê
ˆ
AB x sen
AE =
CD x sen Ĉ1
DE =
sen Ê
S
S
ABE
DEC
ELEMENTI NOTI
D = 400 ˆ
Ê
S
=
=
=
C
-
1
2
1
2
ABCD
C
200
Ĉ
-
si prolungano
C
AD = AE - DE
-
= S
AB
Per risolvere questo caso è necessario prolungare i due
lati AD e BC trasformando il quadrilatero nel triangolo
ABE di cui sono noti il lato AB e gli angoli in A e B
A
B + Ĉ ) ˆ ( Â +
AD e BC in E
D ˆ
ABE
( Â
1
BE
x AE x EB x sen Ê
x DE x EC x sen Ê
-
= 200
S
B ) ˆ +
DEC
CD
B
C
AB x sen Â
=
sen Ê
D1 sen Ê
ˆ
CD x sen
CE =
-
BC = BE - CE
D ˆ
C

Area dei
quadrilateri
Divisione in due
triangoli
A
Il calcolo della superficie del quadrilatero può essere ricondotto ricondotto
al
calcolo della superficie di due triangoli
1
2
D
B
C
SABCD ABCD = S 1 + S 2
S1 = 0.5 x AD x DC x sen D
S2 = 0.5 x AB x BC x sen B

Area dei
quadrilateri
Formula del
camminamento
Se sono noti tre lati adiacenti e gli angoli fra essi compresi è
A
SABCD ABCD ABCD
ABCD
ABCD =
=
=
=
possibile applicare la formula di camminamento
D
B
= 0.5 0.5 0.5 0.5 x x x x [ [
[
[ AB AB AB AB x x x x BC BC BC BC BC x x x x sen sen sen sen B B B B + + + + BC BC BC BC x x x x CD CD CD CD x x x x sen sen sen sen C C
C
C –
+ + + + AB AB AB AB x x x x CD CD CD CD x x x x sen sen sen sen ( ( ( ( B B B B + + + + + C C C C C ) )
)
) ]
C

Coordinate
cartesiane piane
Q.4
Q.3
S (- ; -)
T (- ; +)
0
Y
X P
P (+ ; +)
Y P
R (+ ; -)
Q.1
Q.2
X

Coordinate polari
piane
asse polare
N (0 c )
(OA)
O (polo)
Si consideri un punto del piano detto polo o origine, origine,
ed una retta
comunque orientata passante per tale punto, asse polare. .
Rispetto a tale sistema di riferimento, si definiscono coordinate coordinate
polari del punto A, la distanza orizzontale OA e l’Azimut o
angolo di direzione orizzontale (OA)
OA
A

Passaggio da
coordinate polari a
cartesiane
Y
asse polare
A’
Y A
N (0 c )
(OA)
O (polo)
X A
Il passaggio diretto da polari a cartesiane è possibile solo se:
OA
le origini dei due sistemi coincidono
il semiasse positivo delle Y coincide con l’asse polare
A
X

Passaggio da
coordinate polari a
cartesiane
sen
cos
( OA)
( OA)
Y
A’
A’
Y A
(OA)
(OA)
O O (polo)
(polo)
X A
OA OA OA OA
Dal triangolo rettangolo OAA’ risulta:
=
=
X
A
OA
Y
A
OA
da
da
cui
cui
Al variare dell’azimut tra 0 c e 400 c , le coordinate calcolate
assumono il segno relativo ai quattro quadranti.
:
:
A
X
Y
A
A
=
=
OA
OA
X
×
×
sen
cos
( OA)
( OA)

Passaggio da
coordinate
cartesiane a polari
Y
A’
Y A
N (0 c )
(OA)
O (polo)
X A
Anche il passaggio da coordinate cartesiane a polari è
possibile. Per la distanza basta applicare il T. di Pitagora
mentre per l’azimut, la funzione inversa della tangente.
OA
=
( X
2
A
+
Y
A
2
)
OA
A
( OA)
=
tan
-1
X
(
Y
A
A
)
X

Come si ottiene il
valore dell’azimut
(OA) nel II°
quadrante ?
L’inverso della tangente fornisce direttamente il valore dell’azimut dell’azimut
solo se l’angolo calcolato è inferiore a 100 c . Nel II°, III° e IV°
quadrante per ottenere il valore dell’azimut (OA) si opera nella
Y
O
Y A
A’
- α
200 c
X A
(OA)
A
seguente maniera
X
( OA)
Nel II° quadrante risulta
=
tan
-1
X
(
Y
A
A
)
=
-
α
+
200
c

Come si ottiene il
valore dell’azimut
(OA) nel III°
quadrante ?
A
X A
Y
O
+ α
Y A
A’
200 c
(OA)
( OA)
X
Nel III° quadrante risulta
=
tan
- 1
X
(
Y
A
A
)
=
+
α
+
200
c

Come si ottiene il
valore dell’azimut
(OA) nel IV°
quadrante ?
A
X A
(OA)
Y
- α
400 c
A’
Y A
O
( OA)
Nel IV° quadrante risulta
=
tan
- 1
X
(
Y
A
A
)
X
=
-
α
+
400
c

Azimut (AB) e
distanza AB tra due
punti di coordinate
cartesiane note
A e B sono due punti di coordinate cartesiane note.
Si definisce azimut (AB), l’angolo orizzontale destrorso che
il segmento orizzontale AB forma con il sistema di
Y B
riferimento posto nel vertice A
Y A
Y Y’
O
X B
X A
A
(AB)
B
X

E l’Azimut (BA) ?
L’azimut (BA) si ottiene nel momento in cui il sistema di
riferimento, origine e asse delle Y, invece di trovarsi nel
vertice A viene posto nell’altro estremo B. Il suo calcolo è
semplice nel caso in cui sia già noto l’azimut (AB). Infatti:
A
(AB)
(BA) = (AB) ± 200 c
Y’
B
200 c
(AB)
(BA)

Calcolo della
distanza orizzontale
tra due punti di
coordinate
cartesiane note
Y B
Y A
Y Y’
O
X B
X A
A’
A
La distanza orizzontale AB rappresenta l’ipotenusa del triangolo
rettangolo AA’B di cui si conoscono i due cateti A’B e AA’
A’B = X B – XA ( Y B – YA A )
( X B – XA A )
AB AB
AA’ = Y B – YA Applicando il T. di Pitagora si ottiene la “distanza “ distanza tra due punti” punti
AB = √ [ ( X B – XA ) 2 + ( YB Y – YA ) 2 ]
B
X

Calcolo dell’Azimut
(AB) tra due punti
di coordinate
cartesiane note
Y B
Y A
Y Y’
O
X B
X A
A’
( Y B – YA A ) (AB)
A
( X B – XA A )
Applicando l’inverso della tangente all’interno del triangolo
rettangolo AA’B si ottiene per “l’azimut “ l’azimut (AB)” (AB)
-
(
AB
)
=
tan
[ 1
(X
B
(
Y
B
-
X
A ) A )
-
Y
)
A
[
B
X

Calcolo dell’Azimut
(AB) tra due punti di
coordinate
cartesiane note
Anche in questo caso la formula precedente fornisce
direttamente il valore dell’azimut (AB) solo se il punto B si trova trova
Y
O
nel primo quadrante rispetto al sistema posto con origine nel
Y’
A
(Y B – YA) B’
vertice A. Per gli altri tre quadranti risulta
- α
200 c
(X B – XA) (AB)
B
X’
Con B nel II° quadrante
rispetto al sistema posto in A
X
[
(X
( AB
)
=
tan
risulta
-
X
)
[
- 1
B
A
c =
c = -
α
+
200
(
Y
B - B - Y
A)
A)

Calcolo dell’Azimut
(AB) tra due punti di
coordinate
cartesiane note
Con B nel III° quadrante rispetto al
O
sistema posto in A risulta
[
(X
( AB
)
=
tan
-
X
)
B
[
Y
(X B – XA )
- 1
B
A
c
=
c
= +
α
+
200
(
Y
B - B - Y
A)
A)
Y’
A
+α
(Y B – YA )
B’
200 c
(AB)
X’
X

Calcolo dell’Azimut
(AB) tra due punti di
coordinate
cartesiane note
B
Y
(AB)
O
(X B – XA )
Y’
-α
B’
(Y B – YA )
A
200 c
X’
Con B nel IV° quadrante rispetto al sistema posto
[
(X
( AB
)
=
tan
X
in A risulta
-
X
)
[
- 1
B
A
c
=
c
= -
α
+
400
(
Y
B - B - Y
A)
A)

Calcolo dell’area di
poligoni di cui sono
note le coordinate
cartesiane dei vertici
(formula di Gauss)
Se sono note le coordinate cartesiane dei vertici di un poligono
A
l’area si può calcolare applicando la “formula “ formula di Gauss” Gauss
B
S
ABC
=
1
2
×
L’area assume un segno
diverso (+/-) ( ) se il
poligono considerato è
percorso in senso orario
o antiorario
S
ABCD
=
1
2
×
C
[ Y × ( X - X ) + Y × ( X - X ) + Y × ( X - X ) ]
A
B
C
A
[ Y × ( X - X ) + Y × ( X - X ) + Y × ( X - X ) + Y × ( X - X ) ]
A
D
B
D
C
A
B
C
C
B
A
D
D
C
B
B
A
A
B
C
C

Utilizzo delle
cordinate cartesiane
per la risoluzione dei
poligoni
Le coordinate cartesiane possono essere utilizzate per risolvere i
poligoni. I lati si ottengono con la distanza tra due punti, gli angoli
per differenza di azimut e l’area con la formula di Gauss
(AB)
A
AB = √ [(X B - XA ) 2 + (YB (Y – YA ) 2 ]
(AC)
B
 = ( AC)
- ( AB)
B = ( BA)
- ( BC)
ˆ
Ĉ
C
= ( CB)
- ( CA)