dispense 2010 2011 - Scienze della terra - Università degli Studi di ...

Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia -
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche, Naturali
Corso di Laurea Magistrale in Scienze
per l’Ambiente ed il Territorio
STATISTICA ED
ELABORAZIONE DEI DATI
Franco Torelli
Anno Accademico 2010/2011

PRESENTAZIONE DEL
CORSO

GLI OBIETTIVI FORMATIVI
• Fornire gli strumenti essenziali per l'utilizzo dei metodi
statistici di base nell’ambito della gestione di realtà e
situazioni ambientali complesse.
• Favorire l’adozione di atteggiamenti e approcci corretti
nei confronti delle indagini di tipo quantitativo e
nell’interpretazione dei risultati di ricerche scientifiche,
applicate ai meccanismi che governano il sistema
ambiente.
• Favorire la comprensione delle metodologie statistiche
per mezzo di un profilo di concretezza del corso, che si
caratterizzerà per frequenti applicazioni con strumenti
informatici (excel).

I CONTENUTI
1. Introduzione al ruolo e al linguaggio della
statistica
2. Classificazioni e rappresentazioni grafiche
3. Rapporti statistici e numeri indici
4. Misure di posizione e misure di variabilità
5. Analisi bivariata: correlazione e regressione
6. Nozioni elementari di probabilità
7. Distribuzioni di probabilità
8. Metodi di campionamento
9. Distribuzioni campionarie e intervalli di
confidenza
10. Verifica delle ipotesi: i test statistici

I TESTI
• Dispense e prove d’esame di anni precedenti, a
cura del docente, saranno disponibili on-line
• Il testo è:
• Marilyn K. Pelosi, Theresa M. Sandifer, Paola
Cerchiello, Paolo Giudici, Introduzione alla
statistica, McGrow-Hill, Milano 2009
• Per esercizi, può essere utile il volume:
• Carla Iodice (a cura di), Prepararsi per
l’esame di statistica, Gruppo Editoriale
Esselibri Simone, Napoli 2002

L’ESAME PER GLI STUDENTI
FREQUENTANTI
• Per gli studenti che avranno frequentato almeno il
60% delle lezioni, l’esame consisterà in una prova
scritta, nel corso della quale sarà possibile consultare
ogni tipo di materiale: l’abilità richiesta risiederà nella
capacità di utilizzare correttamente gli strumenti per
affrontare casi e problemi.
• Per la prova scritta, lo studente potrà utilizzare
normali calcolatrici, ma non il computer.
• La capacità di utilizzare excel per applicare le
principali metodologie statistiche sarà monitorata nel
corso di una parte delle lezioni, che si svolgeranno
nel laboratorio di informatica.

L’ESAME PER GLI STUDENTI NON
FREQUENTANTI
• Per gli studenti che avranno frequentato meno del 60% delle
lezioni, l’esame consisterà in una prova scritta, con le stesse
regole esposte per gli studenti frequentanti, integrata da una
prova applicativa sul computer.
• La prova applicativa sarà finalizzata a valutare la capacità di
utilizzare excel per applicare le principali metodologie
statistiche. La prova applicativa avrà la possibilità di variare
in positivo o in negativo il punteggio della prova scritta, al
massimo di 3 punti.
• La prova applicativa potrà essere affrontata solo se la prova
scritta avrà ottenuto almeno 15 trentesimi.
• Se la prova scritta otterrà un punteggio sufficiente (almeno
18), ma la prova applicativa otterrà un punteggio complessivo
inferiore a 18, lo studente potrà ripetere solo la prova
applicativa.
• Nel caso in cui lo studente rifiuti un punteggio complessivo
sufficiente, occorrerà ripetere entrambe le prove.

PER LA PROVA APPLICATIVA
• Per gli studenti che dovranno sostenere la
prova applicativa sul computer, si consigliano
per la preparazione:
– Gli specifici paragrafi del libro di testo, prima
indicato, dedicati proprio alle applicazioni su
computer
– Un normale manuale di utilizzo di excel, disponibile
anche on line nell’ambito del programma stesso

IL RICEVIMENTO
• Nel periodo di lezione, il ricevimento studenti si
svolgerà il lunedì pomeriggio, dalle 17,00 alle
18,00 (avvisando preventivamente il docente
all’indirizzo di posta elettronica).
• Si potranno comunque prevedere ricevimenti in
giorni e orari diversi, anche in base alle
esigenze degli studenti.
• Negli altri periodi, il ricevimento studenti
avverrà su appuntamento, scrivendo
all’indirizzo di posta elettronica del docente, e
verrà fissato anche in base alle esigenze dello
studente.
• Il docente è contattabile al seguente indirizzo:
franco.torelli@unimore.it

1 – INTRODUZIONE ALLA
STATISTICA E TECNICHE DI
INDAGINE

Il significato di statistica
• Si tratta di un insieme di
metodologie che hanno come
scopo la conoscenza quantitativa
dei fenomeni collettivi
• La statistica è definibile anche
come la tecnica che migliora le
scelte operate in condizioni
d’incertezza

Tipologie di fenomeni collettivi
• i fenomeni collettivi che sono tali perché
riguardano una collettività di casi singoli. Per
esempio, le caratteristiche delle piante igrofile
in una determinata estensione di laguna
• I fenomeni relativi a un solo caso, alla cui
conoscenza si può pervenire solo con la
ripetizione delle misurazioni (collettività di
osservazioni): per esempio, tutte le misurazioni
che un erpetologo (studioso degli anfibi)
effettua per misurare la circonferenza di un
esemplare.

Collettività di osservazioni
• Ripetendo lo stesso esperimento o la
stessa misurazione, non si ottiene lo
stesso risultato ….
… per la presenza di errori casuali di
misurazione
• Si tratta di errori non eliminabili
completamente, che non assumono
dimensioni macroscopiche
• Derivano dall’impossibilità di considerare le
numerose caratteristiche che influenzano il
fenomeno

Errori casuali e distorsioni
• Mentre gli errori casuali a volte
aumentano, a volte diminuiscono il
valore reale, le distorsioni operano
sempre nella stessa direzione e
influenzano quindi la media
• La singola misurazione è quindi
uguale al valore reale + l’errore
casuale + l’eventuale distorsione

Statistica descrittiva e
statistica inferenziale
• Lo studio dei fenomeni collettivi può essere
svolto sull'intera collettività, oppure solo una
sua parte
• Se si utilizzano informazioni su una parte per
trarre conclusioni o deduzioni sull’intera
collettività, il campo della statistica è chiamato
statistica inferenziale o inferenza statistica
• Al contrario, la statistica descrittiva ha come
oggetto la semplice descrizione quantitativa
delle caratteristiche di una collettività, sia essa
intera o parziale

Alcune definizioni – Popolazione e
unità
• popolazione statistica: è l’oggetto di una
indagine, l’insieme degli elementi che ci
interessano ai fini dell'indagine; viene
utilizzato come sinonimo il termine universo
statistico (per esempio, tutti gli esemplari di
zigolo nero viventi in una determinata
regione, studiati per valutare gli effetti
dell’inquinamento sugli insetti di cui si
nutrono)
• unità statistiche: sono i singoli elementi che
compongono la popolazione statistica, sui
quali si effettua la misurazione delle variabili
(i singoli esemplari)

Alcune definizioni – fenomeni e
modalità
• fenomeni statistici (o variabili statistiche o
caratteri statistici): sono le caratteristiche
rilevate per ogni unità statistica (per esempio,
la crescita di peso nell’arco del primo mese di
vita, l’ammontare della covata a 3 anni di vita
della madre, la propensione alla migrazione da
parte di alcune specie di uccelli); si distinguono
in fenomeni qualitativi e fenomeni quantitativi
• modalità: sono i diversi valori che può
presentare un fenomeno (per esempio, riguardo
alle covate, 7 piccoli, 8 piccoli, 9 piccoli, ecc.;
riguardo alla propensione migratoria, uccelli
migratori, parzialmente migratori, non
migratori)

I fenomeni qualitativi
• presentano modalità espresse con parole (es.:
stato civile)
– fenomeni ordinali: fra le modalità si può
stabilire un ordine logico (crescente o
decrescente); per esempio, contenuto di
grasso nella trota comune: molto ridotto,
ridotto, medio, accentuato, molto
accentuato)
– fenomeni nominali: fra le modalità si
possono instaurare solo relazioni di uguale o
diverso, senza che si possa adottare un
ordine logico (per esempio, la base sabbiosa
dei sentieri soggetti a sgretolamento: silicea,
calcarea, micacea, ...)

Ancora sui fenomeni nominali
• Spesso, per praticità di elaborazione, si
attribuiscono codifiche numeriche alle diverse
modalità dei fenomeni nominali.
Per esempio, se si studiano le cause di
abbassamento di terreni:
• 1 – cause naturali
• 2 - cause indotte da estrazione di petrolio
• 3 – cause indotte da estrazione di acqua
• 4 – ecc.
• In questo caso, i dati che si ricavano sono
chiamati dati nominali; si tratta di dati che non
provengono da operazioni di misurazione o di
conteggio, ma da una codifica.

Ancora sui fenomeni ordinali
• Sempre per praticità di elaborazione o di formulazione
della risposta, si attribuiscono codifiche numeriche
anche alle diverse modalità dei fenomeni ordinali.
• I dati che si ricavano sono chiamati dati ordinali;
anche in questo caso, sono dati che non provengono
da operazioni di misurazione o di conteggio.
• Spesso, la base di partenza è una scala di Likert sugli
atteggiamenti.
Per esempio, relativamente all’opportunità di impiegare
microfoni sott’acqua per studiare i suoni emessi dalle
rane, secondo l’opinione dei vari studiosi:
• 1 – completamente in disaccordo
• 2 – piuttosto in disaccordo
• 3 – né d’accordo, né in disaccordo
• 4 – abbastanza d’accordo
• 5 – completamente d’accordo

I fenomeni quantitativi
• presentano modalità espresse con numeri, che
derivano da un'operazione di misura o di conteggio
– fenomeni discreti: le modalità sono costituite da un
numero finito di valori, che possono variare tra loro
solo per un ammontare fisso (per esempio, petali di
un fiore, il numero di esemplari che superano un
determinato ostacolo in un giorno); solitamente,
derivano da un conteggio.
– fenomeni continui: la scala delle possibili modalità
è continua: all’interno del campo di variazione, il
numero delle modalità è teoricamente infinito (le
modalità possono quindi differire tra loro per entità
variabili). Per esempio, la portata di un fiume, la
velocità del vento in base alla densità della
vegetazione; principalmente, derivano da
misurazioni.

Ancora sui fenomeni continui
• Il loro numero di modalità è teoricamente
infinito.
• Nella realtà, può esistere una discontinuità
sperimentale, dovuta alla più o meno
accentuata sensibilità dello strumento di
misurazione (per esempio, l’anemometro
nel caso del vento)
• Uno strumento dotato di sensibilità infinita
potrebbe fornire valori con un numero
infinito di cifre.

Scale di intervallo
• Una scala di intervallo ha il punto di
origine fissato convenzionalmente, come
punto di riferimento (per esempio, scala
dei gradi centigradi per la temperatura: il
punto zero non significa assenza di
temperatura).
• In queste scale, hanno significato le
differenze, ma non i rapporti: tra due
temperature, possiamo affermare che una
è inferiore all’altra, ma non conosciamo il
loro rapporto.

Scale di rapporto
• Una scala di rapporto ha il punto di origine
legato in modo naturale all’assenza di valore,
come punto di riferimento (per esempio,
l’avanzamento della linea di terra alla foce di un
fiume, per effetto dei sedimenti: il punto zero ha
il significato di assenza di avanzamento).
• In queste scale, hanno significato sia le
differenze, sia i rapporti: tra due fiumi,
possiamo affermare che uno presenta un
avanzamento della linea di terra corrispondente
a due terzi dell’altro.

I descrittori
• Un parametro è un valore numerico che
descrive una caratteristica della popolazione
(tempo medio di attesa al passaggio a livello;
percentuale di guidatori che spengono il motore
al passaggio a livello). Si rappresenta
solitamente con una lettera greca.
• Una statistica è un valore numerico che
descrive una caratteristica del campione. Si
rappresenta solitamente con una lettera
romana.

Gli accorgimenti per lo
svolgimento di una indagine
statistica

L’importanza di impostare
correttamente una indagine statistica
• Per ottenere risultati affidabili occorre
seguire procedure rigorose e controllare
(limitare) i fattori di disturbo dell’indagine
• Occorre soprattutto partire da un’ottica
corretta e non distorta
• Per esempio, se si effettua uno studio su
due gruppi di soggetti, per ottenere
risultati comparabili è necessario le
caratteristiche dei due gruppi siano
corrispondenti

Alcuni casi - 1
• gli studi sull’effetto del fumo sono studi
sul campo (i soggetti stessi si assegnano
all’uno o all’altro gruppo)
• si osserva una forte associazione tra
fumo e malattie cardio-circolatorie
• attenzione, però: gli uomini, più forti
fumatori rispetto alle donne, sono più
esposti a disturbi di tipo cardiocircolatorio

Alcuni casi - 2
• Per verificare l’effetto di un farmaco, non
dovrebbero essere i pazienti a scegliere il gruppo
in cui entrare (di trattamento o di controllo)
• Si avrebbe il rischio di una sproporzione di
pazienti più attivi, meno rassegnati, più attenti,
più consapevoli nel gruppo di trattamento
• Occorre un esperimento controllato, dove è la
casualità statistica a stabilire chi farà parte dei
due gruppi
• Conviene utilizzare anche dei placebo, e sia i
pazienti, sia i medici dovrebbero essere
all’oscuro del gruppo di appartenenza
(esperimento double blind)

2 – CLASSIFICAZIONI E
RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE

La classificazione delle unità
statistiche
• classificazioni unidimensionali, basate su
un singolo fenomeno (distribuzioni di
frequenze)
• classificazioni bidimensionali, basate su
coppie di fenomeni (tabelle a doppia
entrata o incroci)
• classificazioni multidimensionali, basate
su più di due fenomeni (tabelle a entrata
multipla)

Le distribuzioni di frequenza
• Una distribuzione di frequenza registra ogni modalità
con cui il fenomeno si presenta, e il corrispondente
numero di volte in cui la singola modalità si presenta
• La frequenza è il numero di volte con cui una modalità
si presenta. La frequenza della modalità i-ma è
indicata con f i
• La frequenza relativa di una modalità è la frequenza di
questa modalità, rapportata al totale delle frequenze.
Si indica con rf i

Distribuzioni di frequenza: alcune
modalità operative
• Nel caso di un fenomeno quantitativo continuo,
occorre scegliere classi di opportuna ampiezza
• Ampiezza di una classe: differenza tra l'estremo
superiore e l'estremo inferiore
• Per convenzione: l’intervallo comprende l'estremo
inferiore, ma non quello superiore
• Aumentando il numero delle classi (e riducendone
quindi l'ampiezza) si raggiunge una maggior
precisione, ma si attenua la sintesi del fenomeno
• Quando possibile, le classi devono essere di uguale
ampiezza

Le tabelle a doppia entrata: i
contenuti
• I numeri all'interno della tabella sono le
frequenze di casella
• Al margine di ogni riga si trovano i totali
marginali di riga
• Al margine di ogni colonna si trovano i
totali marginali di colonna
• Nell'ultima riga dell'ultima colonna si trova
il totale generale

Le tabelle a doppia entrata:
categorie
• Una tabella a doppia entrata con
almeno un fenomeno qualitativo si
chiama tabella di contingenza
• Se entrambi i fenomeni sono
quantitativi, si parla tabella di
correlazione

Le tabelle a entrata multipla
• Il numero di caselle di una tabella a più di
due entrate è uguale al prodotto del
numero delle modalità (o classi) di
ciascuno dei fenomeni considerati
• Cresce quindi molto rapidamente con
l'aumentare del numero di fenomeni che si
vuole considerare
• Il rischio è quello di ottenere tabelle di
difficile lettura …
• … inoltre, è probabile che in molte caselle
la frequenza sia uguale o prossima allo
zero

L’impostazione del database
• Per elaborare correttamente una base di
dati, è fondamentale impostarla
correttamente ...
• ... cercando già a priori di capire quali
elaborazioni saranno opportune.
• Un database in excel normalmente viene
impostato con ogni unità statistica in riga
e ogni fenomeno statistico in colonna. Il
contenuto delle caselle corrisponde alle
singole modalità

Un esempio di impostazione
Stazione Classificazione
trofica
Lido di
Volano
Porto
Garibaldi
Scadente 17,
6
Scadente 16,
4
Casalborsetti Mediocre 16,
4
°C Salinit
à
pH
27,4 8,24
28,9 8,29
30,2 8,30
Marina di Mediocre 16, 31,9 8,27

Le rappresentazioni grafiche
• Un grafico è un modo immediato per
presentare le informazioni
• Un grafico può essere costruito
anche per analizzare i dati: può
suggerire ipotesi sulla distribuzione
dei dati, porre in luce relazioni tra
più fenomeni, come nel caso
riportato di seguito

trasparenza (m)
12
10
8
6
4
2
0
Relazione tra clorofilla e indice di trasparenza
0 2 4 6 8 10 12 14
clorofilla (mg/000l)

Due categorie di grafici
• Grafici universali, applicabili a una
infinità di casi; per esempio:
– Spezzate
– Grafici a settori circolari
– Istogrammi
• Ideogrammi, contenenti figure e
immagini relative all'argomento trattato

Grafico a settori circolari: ripartizione del
territorio del Trentino Alto Adige
Arbusteti
7%
Improduttivo
11%
Prati pascoli
26%
Seminativi
1%
Urbano e
sussid.
6%
Bosco
46%
Colt. Legnose
3%

Istogramma: emissioni di carbonio
da parte di alcuni paesi (milioni
tonnellate)
1200
1000
800
600
400
200
0
Usa
Cina
Giappone
Germania
Gran Bretagna
Francia
Italia

35
30
25
20
15
10
5
0
Fosforo totale in superficie e sul fondo alla
stazione di rilevazione di Cesenatico (mg/mc)
gen feb mar apr mag giu lug ago set ott nov dic
fosforo in superficie fosforo sul fondo

Istogramma
• È una tra le rappresentazioni grafiche
universali più utilizzate
• Nel caso dei fenomeni continui, i rettangoli
devono essere affiancati (e non separati)
• È fondamentale impostare correttamente
gli assi

Fenomeni quantitativi con classi di
uguale ampiezza
• Rettangoli con altezza
corrispondente alla frequenza, base
corrispondente all’ampiezza della
classe
• L’area è proporzionale alla frequenza

Esempio
Altezze (centimetri) p %k
155-160 5
160-165 10
165-170 15
170-175 25
175-180 20
180-185 15
185-190 10
TOTALE 100

30
25
20
15
10
5
0
Distribuzione campione per altezza
155-160
160-165
165-170
170-175
175-180
180-185
185-190

Fenomeni quantitativi con classi di
differente ampiezza
• Rettangoli con altezza corrispondente alla
densità di frequenza (rapporto tra la
frequenza e l'ampiezza della classe), base
corrispondente all’ampiezza della classe
• L’area è proporzionale alla frequenza
• Questo consente le giuste proporzioni tra le
frequenze delle classi e le aree dei rettangoli

Esempio di distribuzione di frequenza di un
fenomeno continuo: pressione sanguigna
sistolica in un campione di soggetti
Pressione (mmHg) %
90-95 4
95-100 7
100-110 19
110-120 21
120-130 27
130-150 17
150-180 5
TOTALE 100

%
Rappresentazione non corretta: altezza del
rettangolo proporzionale alla numerosità
35
30
25
20
15
10
5
0
90-95 95-100 100-110 110-120 120-130 130-150 150-180
mmHg

Rappresentazione corretta: area del rettangolo
proporzionale alla numerosità (altezza
proporzionale alla densità)
% per mmHg
3
2
1
0
90-95
95-100
100-105
105-110
110-115
115-120
120-125
120-130
130-135
135-140
mmHg
140-145
145-150
150-155
155-160
160-165
165-170
170-175
175-180

3 – RAPPORTI STATISTICI E
NUMERI INDICI

Rapporti statistici

La possibilità di comparare i dati
• Un’operazione che spesso si compie sui
dati statistici è il confronto tra i valori di
un fenomeno quantitativo, con riferimento
a diverse unità statistiche.
• Il raffronto diretto ha però significato solo
a parità di circostanze.
• Ad esempio, il confronto tra la produzione
mensile di rifiuti urbani da parte di due
famiglie non ha molto significato se non si
considera il numero di componenti.

Le principali categorie
• In questi casi, meglio non utilizzare i
valori originari, bensì i quozienti tra essi e
una opportuna grandezza, considerata
come indice di dimensione.
• Tali quozienti vengono denominati
rapporti statistici.
• Le principali categorie di rapporti statistici
sono:
- i rapporti di composizione;
- i rapporti di densità;
- i rapporti di derivazione;
- i rapporti di coesistenza.

I rapporti di composizione
• Rappresentano una quota dell'ammontare
complessivo di un fenomeno.
• Il rapporto di composizione è infatti il
quoziente tra l'ammontare riferito a una
modalità del fenomeno e il totale del
fenomeno stesso …
• … oppure tra l’ammontare riferito a una
singola unità del collettivo e il totale del
fenomeno.
• Esempio: quoziente tra carboidrati nei semi di
sesamo e tutte le sostanze che servono come
risorse alimentari per altri organismi, sempre
nei semi di sesamo

I rapporti di densità - 1
• Sono il quoziente tra il valore di un
fenomeno quantitativo e un indice che può
essere considerato come il suo campo di
riferimento.
• Per confrontare le popolazioni di due
paesi, si può porre a confronto il numero
degli abitanti.
• In questo modo, però, l’informazione che
si ottiene indica solo quale è il paese più
abitato (popolazione più numerosa)
• Può essere più utile conoscere quale è il
paese più popolato, ossia con la
popolazione più fitta.

I rapporti di densità - 2
• A questo fine, occorre rapportare il numero
degli abitanti all'estensione del territorio. Si
calcola cioè la densità della popolazione, che
è il quoziente tra numero di abitanti e la
superficie (espressa, di norma, in km
quadrati).
• Si potrebbe rapportare la popolazione alla
parte abitabile del territorio (escludendo, per
esempio, le superfici occupate dai laghi).
• Altri esempi di rapporti di densità sono la
superficie forestale per 100 abitanti, la
quantità di nitrati per 1000 litri di acqua, la
disponibilità di verde urbano per abitante,
ecc.

I rapporti di derivazione
• Sono il quoziente tra le entità di due
fenomeni, di cui uno costituisce il
presupposto dell’altro.
• Per esempio:
– il quoziente di natalità (rapporto tra il
numero dei nati vivi in un certo anno e il
numero medio di esemplari viventi di
quella specie)
– il quoziente di fecondità (rapporto tra il
numero di nati vivi in un anno e il
numero medio delle femmine in età
feconda nello stesso anno)

I rapporti di coesistenza
• Sono il quoziente tra le entità di due
fenomeni, posti a raffronto al fine di
valutare l'eventuale squilibrio.
• L’indice di vecchiaia è un esempio tipico:
è il quoziente tra la popolazione di 65 anni
e oltre e la popolazione sino a 14 anni
• Un ulteriore esempio, relativo alle foreste
tropicali, è il quoziente tra ettari disboscati
ed ettari rimboscati (pari a circa 12 in
Africa, a 25 in Asia, ecc.)

Numeri indici

Definizione
• i numeri indici sono rapporti finalizzati a
confrontare le intensità di un fenomeno o
più fenomeni in tempi diversi oppure in
situazioni diverse (ad esempio, in
differenti regioni)
• si hanno infatti numeri indici temporali e
numeri indici territoriali
• i n. i. servono quindi a misurare variazioni
relative

Variazioni assolute e
relative
• Se analizziamo una serie storica, le
variazioni da un periodo all'altro possono
essere misurate in termini assoluti
(differenze) o relativi (rapporti)
• Le differenze assolute dipendono
dall'ordine di grandezza e dall’unità di
misura
• Le variazioni relative, nella maggior parte
dei casi, sono più efficaci

Il calcolo dei numeri indici
• Per trasformare una serie storica in
una serie di numeri indici, si devono
dividere i termini x t (t = 1, 2, ... , n) per
un denominatore, appartenente alla
stessa serie, e moltiplicare i
quozienti per 100
• Si chiama base il termine assunto
come denominatore dei rapporti

Numeri indici a base fissa
• Si ottengono quando tutti i termini della
serie vengono rapportati alla stessa base
(spesso, il primo termine della serie)
1 I t
x t
= ——
x 1
• Il simbolo a sinistra di I indica il periodo
base, quello a destra indica il periodo di
riferimento del calcolo

L’interpretazione
Sottraendo 100 da un numero indice a
base fissa si ottiene la variazione
percentuale del fenomeno rispetto al
tempo base

Cambio base
• I numeri indici con una base fissa, ad
esempio con base x 1 , possono essere
trasformati in numeri indici con diversa
base fissa, ad esempio con base x 2 ,
dividendoli per 1 I 2
1 I t
——— = 2 I t

Numeri indici a base mobile
• Si ottengono quando ogni termine della
serie viene rapportato al termine precedente
t-1 I t
x t
= ——
x t-1
• Il numero indice a base mobile relativo al
primo anno della serie storica non può
essere determinato‚ non essendo noto il
valore del fenomeno nell'anno precedente
• Sottraendo 100 da un numero indice a base
mobile, si ottiene la variazione percentuale
del fenomeno rispetto al tempo precedente

Da base fissa a base mobile
• Per passare da una serie di indici a base
fissa alla corrispondente serie di indici a
base mobile, è sufficiente dividere ciascun
indice a base fissa per l’indice
immediatamente precedente
1 I t
——— = t-1 I t
1 I t-1

Da base mobile a base fissa
• Per passare da una serie di indici a base
mobile alla corrispondente serie di indici a
base fissa, ad esempio a base x 1 , occorre
moltiplicare fra loro gli indici a base
mobile dal tempo 2 fino al tempo
considerato
1 I t = 1 I 2 • 2 I 3 • ... • t-1 I t

Una avvertenza
• Tutte le operazioni sui numeri indici
devono essere effettuate dopo avere
diviso per 100 i numeri indici stessi
• In altri termini, le operazioni devono
avvenire sugli indici rapportati a 1, non a
100

I numeri indici composti
• Si utilizzano per sintetizzare, mediante
un'unica serie di numeri indici, le
variazioni relative di diverse serie storiche
• Nella maggior parte dei casi, è opportuno
assegnare un peso (g) a ciascuna serie,
calcolando quindi una media ponderata (si
veda il capitolo sulle misure di posizione)

Due tecniche per calcolare numeri
indici composti ponderati mediante i
valori
• Laspeyres: il sistema di pesi (il paniere)
viene mantenuto fisso (solitamente, è
quello del tempo base) per tutti i periodi
della serie storica: se stiamo calcolando
l'indice composto dei prezzi del 2010 con
base 1995, utilizziamo il paniere del 1995
• Paasche: il paniere è variabile di anno in
anno: se stiamo calcolando l'indice
composto dei prezzi del 2010 con base
1995, utilizziamo il paniere del 2010

Indice di Laspeyres
1 I t
Indice di Paasche
1 I t
Σ [( 1 I t ) • g 1 ]
composto = ——————
Σ g 1
Σ [( 1 I t ) • g t ]
composto = ——————
Σ g t
Le due formule

Indici composti: un esempio - dati di base
Numeri indici della salinità del mare in
corrispondenza dell’immissione del Po
Anni Goro Adria
2007 100,0 100,0
2008 99,4 100,4
2009 103,5 101,2
Portata del fiume (mc/sec)
Anni Goro Adria
2007 240 185
2008 248 187
2009 261 191

Indici composti: un esempio – il calcolo
con il metodo di Laspeyres
07 I 08
07 I 09
0,994 • 240 + 1,004 • 185
= ———————————— • 100
240 + 185
1,035 • 240 + 1,012 • 185
= ———————————— • 100
240 + 185

Indici composti: un esempio – il calcolo
con il metodo di Paasche
07 I 08
07 I 09
0,994 • 248 + 1,004 • 187
= ———————————— • 100
248 + 187
1,035 • 261 + 1,012 • 191
= ———————————— • 100
261 + 191

Il calcolo dell’inflazione
• Uno dei casi più significativi di applicazione
dei numeri indici composti è il calcolo
dell'inflazione
• Si utilizza un campione rappresentativo di
prodotti (paniere), ma non si attribuisce la
stessa importanza alla variazione di prezzo
di prodotti le cui vendite hanno differente
rilevanza
• È indispensabile un sistema di
ponderazione relativo alla dimensione delle
vendite dei diversi beni

Deflazionamento
• Gli indici dell'inflazione sono uno strumento
per deflazionare i prezzi e per calcolare
l'indice del potere di acquisto della moneta
• Deflazionare significa depurare l'andamento
di un prezzo dalle variazioni dovute
all’inflazione ..
• .. e valutare quindi l'evoluzione di quel
prezzo in termini reali, passando dai valori in
moneta corrente ai valori in moneta costante
• il deflazionamento consiste nel dividere i
prezzi del prodotto considerato per gli indici
dell'inflazione

4 – MISURE DI POSIZIONE E
MISURE DI VARIABILITA’

Misure di posizione

Il calcolo di una media
• ha lo scopo di rappresentare con un solo
indicatore un insieme dei dati,
evidenziando quindi l'ordine di grandezza
Le medie possono essere distinte in:
• medie ottenute in base a un vincolo
analitico
• medie che fanno riferimento alla posizione
dei valori

ANALITICHE
(su fenomeni quantitativi)
• aritmetica
• geometrica
• quadratica
• ecc.
MEDIE
DI POSIZIONE
• mediana
(su fenomeni
quantitativi e qualitativi
ordinali)
• moda
(su tutti i fenomeni)

Le medie analitiche
• il calcolo di una media analitica consiste nel
determinare un'opportuna operazione che
viene applicata all'insieme dei valori
• è importante individuare l'operazione più
opportuna per la specifica situazione

Le principali medie analitiche
la media aritmetica (l'operazione è la
somma dei valori)
• media aritmetica semplice
• media aritmetica ponderata
la media geometrica (l'operazione è il
prodotto dei valori)
la media quadratica (l'operazione è il
quadrato dei valori)

La media aritmetica
_
La media campionaria si indica con X
La media della popolazione si indica
con μ

La media aritmetica semplice
somma dei valori divisa per il numero
dei valori
x 1 + x 2 + ... x i + ... x n Σ x i
—————————— = ———
n n

La media aritmetica ponderata
quando viene utilizzata
• quando i dati sono presentati in una
distribuzione di frequenze, dove a ogni
modalità corrisponde una certa
numerosità di unità statistiche (pesi)
• in generale, quando si ritiene utile (o
necessario) ponderare i valori con un
opportuno sistema di pesi, in quanto è
ragionevole dare a ogni valore un proprio
livello di importanza

media aritmetica ponderata
Somma dei prodotti di ogni valore con il
relativo peso (p), divisa per la somma dei
pesi
x 1 • p 1 + x 2 • p 2 + ….. + x i • p i + ... x n • p n
——————————————————
Σ (x i • p i )
———————
Σ p i
p 1 + p 2 + …. + p i + … + p n

Distribuzione di frequenza: livello di
soddisfazione di un campione di cittadini
relativamente alla disponibilità di parchi
Livello di
soddisfazione
n. cittadini
1 4
2 15
3 26
4 21
5 8
6 3
7 1

Calcolo della media aritmetica
ponderata
1 • 4 + 2 • 15 + ….......... + 6 •3 + 7 • 1
—————————————————— =
4 + 15 + …......... + 3 + + 1
261
———— = 3,346
78

Esempio di media aritmetica ponderata - dati
di partenza: livello di soddisfazione di un
soggetto relativamente ad alcuni aspetti
della zona di residenza
Fattori considerati
Livello di
soddisfazione
Livello di
importanza
Qualità aria 6 7
Viabilità
ferroviaria
5 3
Viabilità stradale 3 5
Controlli tutela
amb.
6 1
Disponibilità 2 5

Calcolo della media aritmetica
ponderata
6 • 7 + 5 • 3 + ….......... + 2 • 5 + 4 • 3
—————————————————— =
7 + 3 + …......... + 5 + 3
112
———— = 4,148
27

Calcolo della media aritmetica
ponderata per un fenomeno continuo
• Se il fenomeno è in classi ed è continuo,
non si hanno i valori precisi degli x i
• Si considerano come x i i valori centrali
delle classi
• Per eventuali classi aperte, si fissano nel
modo più ragionevole possibile gli estremi

Proprietà della media aritmetica
• La media di un gruppo di valori è sempre
compresa tra il valore minimo e quello
massimo
• La somma degli scarti dalla media è
sempre pari a zero

MEDIA QUADRATICA (rms)
(root mean square)
utile quando ci sono valori negativi e valori
positivi, che darebbero una media
aritmetica molto prossima allo zero
• È maggiore o uguale alla media aritmetica
• si alzano al quadrato i valori
• si calcola la media dei quadrati
• si estrae la radice quadrata di questa media
rms = radq [Σ (x i ) 2 / n]

Esempio di media quadratica - dati di
partenza: precipitazioni piovose a
Bombay
Anni Scostamento dalla
media (mm)
1971 173
1972 83
1973 -16
1974 13
1975 -137
1976 -116

Esempio di media quadratica -
calcolo
(173) 2 + (83) 2 + (-16) 2 + (13) 2 + (-137) 2 + (-116) 2
rms = ——————————————————————
6
69468
rms = radq ———— = radq (11578) = 107,601
6

La media geometrica (M g )
radice n-esima del prodotto degli n valori
n
x ⋅ x ⋅...
⋅
1
2
xn
• si utilizza per il calcolo della media del
tasso di interesse, oppure del tasso di
incremento o di decremento
• In questi casi, somma non è idonea a
fornire il reale ordine di grandezza del
fenomeno

Esempio di calcolo di una
media geometrica
• La salinità dell’acqua lagunare, in seguito alle
diverse entità della piena di un fiume, mostra da
un anno all’altro le seguenti variazioni %
(misurate il 31 gennaio di ogni anno):
2007: -0,6%; 2008: -3,2%; 2009: +1,7%; 2010: +0,3%
M g = (0,994 * 0,968 * 1,017 * 1,003) 1/4
= 0, 9953 (decremento medio annuo dello 0,47%)

Le principali medie di
posizione
mediana (M e) (la modalità che si colloca
al centro della successione dei termini,
ordinati in senso non decrescente)
moda (M o) (la modalità più frequente)

La mediana
• La mediana di n osservazioni di un
fenomeno quantitativo oppure qualitativo
ordinale, è la modalità che nella
successione dei valori, ordinati in senso
crescente, occupa il posto centrale
• È preceduta dal 50% dei valori, è seguita
dal 50% dei valori

• Con n dispari: una
sola mediana
• Il valore
corrispondente
all’unità (n+1)2
LA MEDIANA
• Con n pari: due
mediane
• I valori
corrispondenti alle
unità:
n / 2 (n / 2) + 1

Un esempio di impostazione
Stazione Classificazione
trofica
Lido di
Volano
Porto
Garibaldi
Scadente 17,
6
Scadente 16,
4
Casalborsetti Mediocre 16,
4
°C Salinit
à
pH
27,4 8,24
28,9 8,29
30,2 8,30
Marina di Mediocre 16, 31,9 8,27

La mediana – primo esempio
Stazione Classificazione trofica °C Salinità pH
Lido di Volano Scadente 17,6 27,4 8,24
Porto Garibaldi Scadente 16,4 28,9 8,29
Casalborsetti Mediocre 16,4 30,2 8,30
Marina di Rav. Mediocre 16,5 31,9 8,27
Lido Adriano Mediocre 16,4 31,6 8,28
Cesenatico Mediocre 16,2 32,8 8,19
Rimini Buona 16,6 33,4 8,27
Cattolica Buona 16,5 34,0 8,24
Relativamente alla classificazione trofica, la mediana è la
modalità mediocre;
Per quanto riguarda la temperatura, le mediane sono 16,4 e 16,5
Per il pH, la mediana è 8,27

La mediana – secondo esempio (dati in distribuzione di
frequenza: numero di comuni della Lombardia nordoccidentale
per numerosità di incendi nel decennio
1998-2007)
N. incendi (xi) unità
(frequenze)
fx
frequenze
cumulate f’x
La mediana è il valore assunto dal fenomeno in
corrispondenza di p'x = 0,5;
nell'esempio, = 4, in quanto p’ x = 0,5 cade nella quarta
classe (considerando le prime tre insieme, infatti, non
si arriva a 0,5, ma solo a 0,482)
p’x
1 71 71 0,139
2 77 148 0,290
3 98 246 0,482
4 102 348 0,682
5 95 443 0,869
6 55 498 0,976
7 12 510 1,000
TOTALE 510

Media e mediana nelle
distribuzioni asimmetriche
• Nella distribuzione di una popolazione o di un
campione, la media non separa in due parti uguali
le unità statistiche (tranne quando la media
coincide con la mediana).
• La media risente del fatto che alcuni valori siano
molto distanti dalla media stessa, mentre la
mediana non ne risente
• Se una coda della distribuzione dei valori è molto
allungata, la media è spostata verso questa coda, in
confronto alla mediana, la quale non dà così
importanza ai valori estremi della distribuzione

4
3
2
1
0
Esempio di distribuzione asimmetrica: età
dei decessi per cause naturali
20-25
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50
50-55
55-60
60-65
65-70
70-75
75-80
80-85
85-90

I percentili
• Cosa sono?
– Il percentile di ordine p (100p ) è il valore xp che
divide in due parti la distribuzione (ordinata), in
modo che il p% dei valori sia prima di xp • Esempio
– il primo percentile è il valore in corrispondenza
del quale si raggiunge l’1% delle unità
– Il decimo percentile è il valore in
corrispondenza del quale si raggiunge il 10%
delle unità

I percentili: casi particolari
• Il cinquantesimo percentile corrisponde alla
mediana
• Il venticinquesimo percentile corrisponde al
primo quartile (Q 1 )
• Il settantacinquesimo percentile corrisponde
al terzo quartile (Q 3 )

Una applicazione: rilevazione del fosforo reattivo
alla stazione di Cattolica su 365 giorni (mg/mc)
100 p mg (x p )
3 1,89
10 1,97
25 2,43
50 2,81 (mediana)
75 3,51
95 4,62
99 7,16
• Come si interpretano?
– Il 3% delle rilevazioni ha un valore ≤ 1,89
– il 10% delle rilevazioni ha un valore ≤ 1,97
– il 5% delle rilevazioni ha un valore ≥ 4,22

100 p mg (x p )
3 1,89
10 1,97
25 2,43
50 2,81
75 3,51
95 4,62
99 7,16
% delle rilevazioni che hanno un valore
≤3,51?
75%
valore corrispondente al primo 25% di
stazioni?
≤2,43
% delle rilevazioni che hanno un valore
≥ 1,97, ma ≤ 4,62
85%
una rilevazioni che ha fatto rilevare un
valore = 1,91 è in corrispondenza del
_______ percentile?
≅ quinto

La moda (M o )
• è la modalità alla quale corrisponde la massima
frequenza
• La moda è interessante quando n è piuttosto
elevato e quando una modalità ha frequenza
molto più elevata delle altre
Distribuzione delle rilevazioni della trasparenza
delle acque alla stazione di Cervia
Trasparenza (m) n. rilevazioni
0-2 79
2-4 178
4-6 95
6-8 13
Classe modale: 2-4

Misure di variabilità

Il significato di variabilità
• Una media sintetizza un gruppo di dati in un
unico valore; questa operazione comporta
tuttavia una perdita di informazioni
• Due campioni possono fare riscontrare la stessa
media, pur a fronte di situazioni molto diverse
• Le misure di variabilità sono indicatori in grado
di valutare in modo sintetico le differenze tra i
valori di un gruppo di dati
• Non assumono mai valori negativi
• Sono pari a zero se il fenomeno non presenta
variabilità
• Presentano valori crescenti all'aumentare della
variabilità

il campo di variazione
(range)
• È la differenza tra il valore massimo x max e
il valore minimo x min tra quelli osservati:
x max - x min
• Ha il difetto di tenere conto soltanto dei
valori estremi, non essendo sensibile alle
modificazioni nei valori intermedi (che
alterano comunque la variabilità globale)

La deviazione standard o
scarto quadratico medio
• Si basa sugli scarti tra i singoli valori e la
loro media aritmetica:
x i - M
• Non sarebbe possibile utilizzare la media
aritmetica degli scarti, poiché la loro
somma algebrica è sempre nulla
• Si può invece impiegare la media dei
quadrati degli scarti (rms)

Simbologia
• La deviazione standard campionaria
si indica con s
• La deviazione standard della
popolazione si indica con σ

σ : il calcolo
• Si dice deviazione standard della popolazione
la media quadratica degli scarti di ogni valore
della popolazione dalla media aritmetica della
popolazione
σ = radq [Σ (x i - μ) 2 / n]
• La deviazione standard è espressa nella
stessa unità di misura dei valori del
fenomeno

s : il calcolo
• Si dice deviazione standard del campione la
media quadratica degli scarti di ogni valore
del campione dalla media aritmetica
campionaria
_
s = radq [Σ (x i - X) 2 / (n – 1)]
• Ovviamente, anche in questo caso la
deviazione standard è espressa nella stessa
unità di misura dei valori del fenomeno

s : un calcolo alternativo
s = radq [n * Σ x 2 - (Σ x) 2 / n * (n – 1)]

Bolzano,
via
σ : un esempio
Bolzano,
piazza
• Polveri sottili: σ 3,91
Merano,
via
Merano, BressaVipite-
Inquinante
Augusta Adriano Laives Trogmann Grünau none Brunico no Cortina
Polveri sottili
Biossido di
µg/m³ 20 15 21 24 18 11 18 24 18
azoto µg/m³ 67 69 50 59 40 48 42 76 52
• Biossido di azoto: σ 11,86

Alcune proprietà della
media aritmetica e della σ
• Se a tutti i valori di una serie viene
sommato un numero, la media aumenta di
questo valore, σ non cambia
• Se tutti i valori di una serie vengono
moltiplicati per una costante, la media e σ
risultano moltiplicate per questa costante

Caso 1
1, 3, 4, 5, 7 6, 8, 9, 10, 12
(y = x + 5)
media 4 9
σ 2 2

Caso 2
1, 3, 4, 5, 7 3, 9, 12, 15, 21
(y = x . 3)
media 4 12
σ 2 6

Caso 3
5, - 4, 3, - 1, 7 - 5, 4, - 3, 1, - 7
(y = -x)
media 2 - 2
σ 4 4

La varianza
• La varianza è il quadrato della
deviazione standard
• Non è espressa nella stessa unità di
misura del fenomeno, ma nel
quadrato di questa unità di misura

Altre misure di dispersione
• Differenza interquartile (utile
soprattutto quando la distribuzione
dei valori non è approssimabile con la
distribuzione normale)
– è la differenza tra il 75esimo percentile e
il 25esimo percentile

Gli indici relativi di variabilità
• Quando due fenomeni hanno unità di
misura diverse, il confronto diretto in
termini di variabilità non è proponibile
• In altri casi, il confronto tra la variabilità di
due fenomeni può essere poco utile per il
diverso valore medio dei fenomeni (per
esempio, redditi e spesa per generi
farmaceutici)
• Altre volte, si vorrebbe sapere se la
variabilità è forte oppure debole
Per affrontare questi problemi, si utilizzano
gli indici relativi di variabilità, da cui viene
eliminata l'influenza dell'unità di misura e
della dimensione media dei fenomeni
considerati

Gli indici di variabilità rapportati a
un valore medio
• Il più utilizzato è il rapporto tra la deviazione
standard e la media aritmetica
• Si ricava in questo modo il coefficiente di
variazione (CV):
σ
CV = ——
M
• Solitamente, CV viene moltiplicato per 100, per
agevolarne la lettura; si interpreta quindi come la
% della σ sulla media

Obiettivi del calcolo del CV
• confronto tra variabilità calcolate su fenomeni
con unità di misura diverse o con ordini di
grandezza molto differenti
• il CV può presentare valori superiori all'unità
(o a 100, se è stato moltiplicato per 100),
quando la deviazione standard è maggiore
della media
• il CV perde di significato se il fenomeno può
presentare valori negativi e positivi; in questo
caso, la media può risultare molto prossima a
zero

Gli indici di variabilità rapportati al
loro massimo
• sono idonei a rispondere a una domanda
di questo tipo:
la variabilità espressa da una deviazione
standard, o da una varianza, è forte o è
debole?
• si calcolano indicatori il cui campo di
variazione è standard (solitamente,
l'intervallo 0 – 1)

Il procedimento
• si identifica la situazione di massima
variabilità (presente quando il fenomeno
assume soltanto i due valori più distanti
tra loro)
• come individuare il massimo valore che la
deviazione standard può assumere? Si
calcola il campo di variazione teorico
(differenza tra il valore massimo possibile e il
valore minimo possibile) e si divide per due
• si rapporta la deviazione standard
effettivamente ottenuta al valore
massimo che esso può assumere

Un problema
• La difficoltà di individuare in maniera
oggettiva il valore minimo teorico e
soprattutto il valore massimo teorico che
il fenomeno può assumere
• A volte, come valore massimo teorico si
adotta semplicemente il valore più alto tra
quelli osservati

5 – CORRELAZIONE E
REGRESSIONE LINEARE

La correlazione

Correlazione: qualche
definizione preliminare
• Correlazione: studio della relazione tra
due fenomeni quantitativi
• Alcuni valori di X si associano
frequentemente a specifici valori di Y?
• Conoscendo il valore di X per una unità
statistica, si può predire il valore di Y?

Dipendenza e interdipendenza
• relazioni di dipendenza: quando un
fenomeno è un antecedente (temporale,
logico o di altro genere) rispetto a un altro
• relazioni di interdipendenza: i fenomeni si
collocano sullo stesso piano, non
esistendo tra loro un fenomeno
antecedente e un fenomeno conseguente

L’analisi di correlazione
• È finalizzata allo studio
dell’associazione esistente tra due
fenomeni quantitativi, in termini di
interdipendenza

I primi passi
• Rappresentazione grafica dei dati con un
diagramma di dispersione
• Calcolo degli scostamenti di ogni valore
dalla media:
– se a scostamenti positivi di un fenomeno
corrispondono scostamenti positivi dell'altro,
allora esiste una relazione diretta
– altrimenti, la relazione è inversa (a scostamenti
positivi dell’uno corrispondono scostamenti
negativi dell’altro)

Numero di piccoli nella
tasca incubatrice
Esempio di diagramma di dispersione
relativo all'armadillidium vulgare
100
90
80
70
60
50
40
30
20
5 7 9 11
Dimensioni della femmina (mm)

La covarianza
• è un primo indicatore in grado di fornire
informazioni sull'intensità e sulle
caratteristiche delle relazione esistente tra
due fenomeni quantitativi
COV (X,Y)
• è la media dei prodotti dei rispettivi
scostamenti dalla media (x' i e y' i )
Σ (x' i • y' i )
COV (X,Y) = ——————
n

Il problema della covarianza
• quando la covarianza assume valori
positivi, si è in presenza di una relazione
diretta
• valori negativi segnalano una relazione
inversa
• valori della covarianza pari a 0
corrispondono all'assenza di una relazione
lineare tra i due fenomeni
• Il problema della covarianza è legato al fatto
che questo indicatore è espresso in termini
del prodotto delle unità di misura di X e di Y

Il coefficiente di correlazione
lineare
• è la covarianza calcolata sugli scostamenti
standardizzati:
Σ [z (x i ) • z (y i )]
r = —————————
n
• cosa sono gli scostamenti standardizzati?
sono gli scostamenti dalla media rapportati
alla deviazione standard; ad es., per X:
x i - M(X)
z (x i ) = —————
SD (X)

Una formule alternative per il
calcolo di r
COV (X,Y)
r = —————————
SD (X) • SD (Y)

L’interpretazione del
coefficiente di correlazione - 1
• Esprime l’addensamento dei punti
attorno alla retta
• Misura l’intensità del legame delle due
variabili
• È sempre compreso tra – 1 e + 1

L’interpretazione del
coefficiente di correlazione - 2
• è pari a 1 quando si è in una situazione
di perfetta correlazione positiva
• è pari a –1 quando si è in una situazione
di perfetta correlazione negativa
• tende invece ad avvicinarsi a zero
quando la relazione è piuttosto debole

100
80
60
40
20
0
Esempio di relazione lineare precisa
0 20 40 60 80 100

100
80
60
40
20
0
Esempio di relazione lineare approssimativa
0 20 40 60 80 100

100
80
60
40
20
0
Esempio di assenza di relazione
0 20 40 60 80 100

è invariante per
cambiamenti di scala
• Non cambia se si aggiunge lo stesso
numero a tutti i valori di una variabile
• Non cambia nemmeno se si moltiplicano
tutti i valori di una variabile per lo stesso
numero positivo

PM10: rilevazioni di tre centraline -
coefficienti di correlazione
Agrate 0,89
Vimercate Agrate
Juvara 0,72 0,69

Associazione e causalità non
sempre coincidono
L'esistenza di un elevato valore di r può
essere attribuita:
• a una relazione di interdipendenza
• a una relazione di dipendenza
• alla dipendenza di entrambi i
fenomeni da un terzo fenomeno
(correlazione spuria)

Un esempio: diffusione e
durata di una specie
La diffusione geografica di una specie e la
sua durata nel tempo risultano tra loro
associate piuttosto precisamente.
• Una specie diffusa sopravvive a calamità
naturali locali?
• Una lunga durata tende a favorire una più
ampia diffusione geografica?
• È maggiore la reperibilità di fossili di
specie diffuse, e ciò lascia erroneamente
ipotizzare una durata prolungata?

La regressione lineare

In molti casi si considerano:
• Una variabile dipendente (Y):
regredendo
• Una variabile indipendente (X):
variabile esplicativa o regressore
Solitamente, X è un antecedente
logico o temporale

Scopi dell’analisi di
regressione
• Studiare come un fenomeno dipende
dall'altro
• Comprendere se si può predire la variabile
dipendente (Y) partendo dalla variabile
esplicativa (X)
Ad esempio, l'interesse di un ricercatore può
riguardare l’individuazione dell’intensità delle
polveri totali sospese in corrispondenza di
diversi gradi di usura del manto stradale (e
quindi dei relativi residui)

Con la regressione, quindi, …
… si cerca di capire quanto aumenta o
diminuisce la variabile dipendente …
… in corrispondenza di un aumento unitario
della variabile indipendente
Per esempio, l’entità delle modificazioni
nello strato di ozono rispetto a un
incremento unitario di clorofluorocarburi
diffusi nell'alta atmosfera

L’interpolazione lineare
• occorre una funzione interpolante, una
funzione analitica che sia il più possibile
vicina ai punti (x i ,y i )
interpolazione di una successione di punti:
adattamento ai valori osservati di una
opportuna funzione
• limitando l’analisi all'interpolazione
lineare, si hanno funzioni del tipo:
y = a + b • x
A volte, i simboli utilizzati sono:
y = ß 0 + ß 1 • x

I parametri della funzione
• L'intercetta a (ß 0 ) è il valore teorico della
variabile dipendente in corrispondenza di
un valore nullo della variabile esplicativa
(in sintesi, è il valore di Y quando X = 0);
ha la stessa unità di misura di y
• La pendenza b (ß 1 ) (o coefficiente
angolare) è l'entità della variazione teorica
della variabile dipendente in
corrispondenza di un incremento di una
unità della variabile esplicativa
è quindi espressa in termini di unità di Y /
unità di X: infatti, è la variazione verticale /
variazione orizzontale

Interpolazione ed
estrapolazione
L’utilizzo della funzione per predire valori di
Y nell’intervallo osservato dei valori di X è
chiamato interpolazione
L’utilizzo della funzione per predire valori di
Y all’esterno dell’intervallo osservato dei
valori di X è chiamato estrapolazione

Il calcolo dei parametri
r • SD (Y)
b = ————————
SD (X)
a = M Y – (b • M X )
• Per determinare i parametri della funzione
interpolante, si ricorre alla condizione dei minimi
quadrati
• La funzione interpolante è infatti quella che rende
minima la somma dei quadrati delle distanze tra i
valori effettivamente rilevati di Y e i valori di Y) che
possono essere dedotti dalla funzione

Il coefficiente di determinazione (r 2 )
• indica la validità (o bontà) della funzione
adottata
• È il quadrato del coefficiente di correlazione
(r 2 )
• r 2 esprime la quota di variabilità del fenomeno
Y che è spiegata dalla retta di regressione
• indica quanto la retta riassume l'effettivo
legame tra i due fenomeni
• assume valori compresi tra 0 e 1
• più si avvicina all'unità, migliore è
l'adattamento della retta ai valori osservati

RMSE (root mean square error)
o errore standard della stima
È la media quadratica dei residui (e)
si calcola agevolmente con:
RMSE = SD (Y) • radq (1-r 2 )
Si indica anche con s y|x
Si tratta di una misura di quanto i valori osservati
variano intorno alla retta di regressione
(è un concetto analogo allo scarto quadratico medio
in riferimento alla media)

RMSE rappresenta l’errore che si
commette nel predire Y con l’aiuto di
X
È espresso nella stessa unità di misura
di Y
Il valore di Y previsto per un
determinato soggetto con l’aiuto
della retta di regressione si
discosterà in media da quello
effettivo per un’entità pari al RMSE

Studio sulla produzione di anidride
carbonica al buio da parte di foglie di mais
X: minuti di inizio dell’oscurità Y: anidride carbonica
(unità relative)
Inizio oscurità : media 6,000, SD 2,828
Anidride carbonica : media 7,160, SD 1,001
r: + 0,918
pendenza 0,918 • 1,001 / 2,828 = 0,325
intercetta 7,160 – 0,325 • 6 = 5,21
RMSE = 0,3967 significa che la produzione di
anidride carbonica prevista per una determinata
situazione di oscurità tenderà a scostarsi da quella
effettiva in media per 0,3967 unità relative

Esempio riferito alla portata (mc/sec)
di un fiume e all’indice di salinità (ppm:
parti per milione) del mare nei pressi
della foce
y = 37250 - 35,3 x
r = -0,874
37250 ppm è il valore della salinità nell’ipotetica
situazione di una portata del fiume pari a zero
35,3 ppm è la diminuzione dell’indice di salinità
corrispondente a un incremento della portata
del fiume di 1 mc/sec

L’applicazione alle
serie storiche

Definizione di serie storica
Per serie storica di un fenomeno
quantitativo D si intende una
successione dei valori d t (t = 1, 2,
..., n), assunti dal fenomeno in
tempi (o intervalli temporali)
successivi

Le finalità dell’analisi
• descrizione in termini sintetici
dell'evoluzione temporale di un fenomeno
• formulazione di proiezioni sul futuro del
fenomeno considerato…
…soggette a una importante condizione: la
permanenza delle condizioni che hanno
concorso a determinare l'evoluzione
precedente

La stima del trend con il metodo
della regressione
• Il trend: è la tendenza di fondo di una serie
storica
• Per mezzo della regressione si vuole
stimare la funzione più in grado di
esprimere la relazione tra il fattore tempo e
il fenomeno oggetto di studio…
… per poi predire il fenomeno in esame a
partire dalla scansione dei tempi

Il fattore tempo come
variabile indipendente
• Consideriamo il fattore tempo come la
variabile indipendente (x) e il fenomeno in
esame (D) come la variabile dipendente (y)
• Possiamo effettuare una normale analisi di
regressione lineare, identificando sia la
retta di regressione, sia il relativo
coefficiente di determinazione (r 2 )

La semplificazione della
scala temporale
Per semplificare i calcoli, gli anni possono
essere trasformati in una unità di misura
più semplice ….
…. non tanto 2000, 2001, 2002, 2003, ecc. ….
…. quanto 1, 2, 3, 4, ecc.

La funzione y = a + b • x
• esprime l'ipotesi di variazioni di
ammontare costante fra due tempi
consecutivi (espresse nella stessa unità
di misura del fenomeno analizzato), uguali
alla pendenza
• l’intercetta indica il valore assunto
teoricamente dal fenomeno (stimato
secondo la retta interpolante) quando x =
0, ossia nel tempo immediatamente
precedente al primo dei tempi presi in
considerazione

Un esempio: PM10 rilevati alla
stazione di Rovigo centro (microg/mc)
Età in anni (x) microg/mc (y)
2004 1 48,2
2005 2 47,4
2006 3 48,1
2007 4 41,8
2008 5 37,6
2009 6 37,3
2010 7 34,4

= -0,954
pendenza pari a -2,575
intercetta pari a 52,414
y = 52,414 - 2,575 x
r 2 = (0,954) 2 = 0,910
RMSE = 5,40 • radq (1 – 0,91) = 1,617

• Secondo la funzione lineare ricavata, si
hanno quindi variazioni di ammontare
costante (in microg/mc), pari a -2,575 fra
due anni consecutivi
• Il valore teorico di PM10 quando x è pari a
zero (ossia, nell’anno 2003) è di 52,414
(microg/mc)

• r 2 = - 0,910
• Una elevata quota di variabilità del
fenomeno Y è spiegata dalla retta di
regressione
• Quindi, la retta di regressione è idonea a
riassumere l'effettivo legame tra il
fenomeno considerato e il fattore tempo,
anche
• In altri termini, tenere conto
dell’evoluzione della serie storica aiuta
notevolmente nella predizione dei valori
futuri

RMSE = 1,617 (microg/mc) significa che il
valore di PM10 previsto per un
determinato anno si discosterà da quello
effettivo in media per 1,617 microg/mc
il confronto con la SD (Y), molto più elevata,
consente di affermare che con l’utilizzo
del fattore tempo nel ruolo di variabile
indipendente, la capacità di predizione di
Y migliora sensibilmente
In altri termini, l’errore medio di predizione
con l’impiego di X si riduce In misura
consistente

La proiezione
• Utilizzando la funzione interpolante, è
possibile effettuare proiezioni sul
futuro del fenomeno considerato
• per esempio, per il 2012 (x = 9):
y = 52,414 – 2,575 • 9 = 29,24

Trend non lineari
• Anche nello studio delle serie storiche, r prossimo a zero
non necessariamente significa assenza di relazione
(possiamo essere in presenza di una associazione non
lineare)
• Per esempio, la % di tannino nella felce aquilina ha questo
trend nei mesi da maggio a ottobre:
12
10
8
6
4
2
0
maggio giugno luglio agosto settembre ottobre

6 – NOZIONI ELEMENTARI DI
PROBABILITA’

Definizione di probabilità
• Secondo la teoria frequentista, adatta
per esempio ai processi che si
possono ripetere tante volte:
la probabilità di un evento è la
percentuale dei casi in cui tale
evento può verificarsi, sul totale dei
casi possibili

Simboli
• La probabilità che si verifichi l’evento E si
indica con P(E)
• La probabilità che si verifichi l’evento
contrario (non E) si indica con P(non E)
P(E) = [1 - P(non E)]
• l’evento impossibile ha probabilità pari a zero

Spazio degli eventi
• È importante, per ogni esperimento, definire lo spazio degli
eventi (S), che comprende tutti i possibili eventi. Si utilizzano
solitamente le parentesi graffe per indicare tutti gli eventi
possibili. Per esempio:
S = { x: 15 < x < 30}
• Ogni elemento dello spazio degli eventi è detto evento
semplice (un evento semplice è definito da una sola
caratteristica)
• Un qualsiasi insieme di eventi semplici è detto evento
congiunto o composto (un evento congiunto è definito da due
o più caratteristiche)

Eventi compatibili e
incompatibili
• Due eventi sono incompatibili
quando il verificarsi dell’uno
esclude il verificarsi dell’altro
• Due eventi sono compatibili quando
il verificarsi dell’uno non esclude il
verificarsi dell’altro

EVENTI INCOMPATIBILI
E
F

EVENTI COMPATIBILI
E
F

Eventi dipendenti e indipendenti
• Due eventi sono indipendenti quando la
probabilità che il secondo si verifichi è la
stessa, indipendentemente dal verificarsi o
meno del primo
es.: estrazione con reimmissione
• Due eventi sono dipendenti quando la
probabilità che il secondo si verifichi è
diversa, a seconda che si sia verificato o
meno il primo
es.: estrazione senza reimmissione

Probabilità condizionata
• Ha significato solo nell’ambito degli eventi
dipendenti
• È la probabilità che si verifichi un secondo
evento (F), quando si impone una condizione
sul primo evento (E)
P (F | E) (si legge: probabilità di F dato E)

Esempio di probabilità
condizionata
• Si stima che un complesso idrovoro sia in grado di
fronteggiare una determinata piena del fiume con una
probabilità del 94%.
• Nel caso che si verifichi l’evento sopra esposto (C,
ossia capacità di fronteggiare la piena), si stima che
l’intera area golenale sarà preservata dalla piena nel
62% dei casi.
• La probabilità condizionata, in questo caso, è la
probabilità che l’intera area golenale sia preservata.
La indichiamo con P(G).
P (G | C) = 0,62

La proprietà moltiplicativa
• La probabilità che si verifichino due eventi
(entrambi) si indica con
P (E e F) oppure con P (E ∩ F)
(probabilità dell’intersezione degli eventi E e F
• ha significato solo se gli eventi sono
compatibili
• Questa probabilità si individua per mezzo di un
prodotto

Applicazioni della proprietà
moltiplicativa - 1
Se gli eventi sono tra loro indipendenti
P (E e F) = P(E) • P(F)
• A1 e A2 sono due appezzamenti di terreno da
cui il mare si è ritirato, quindi ad elevata
salinità. I terreni presentano caratteristiche
diverse per cui, con alcuni anni di coltivazione
di riso, si stima che la probabilità di dimezzare
la salinità sia del 75% per A1 e dell’85% per A2.
• Quale è la probabilità che in entrambi gli
appezzamenti si dimezzi la salinità?
0,75 • 0,85 = 0,6375 (63,75%)

Applicazioni della proprietà
moltiplicativa - 2
Se gli eventi sono tra loro dipendenti
P (E e F) = P(E) • P(F|E)
• Lungo molte coste del Mediterraneo, l’urbanizzazione di
zone caratterizzate da piante pioniere genera nel 77% dei
casi rilevanti conseguenze sulla macchia mediterranea
dell’entroterra, perché si riduce la barriera di protezione
dal vento
• Se il suddetto evento si verifica, in 92 casi su 100 la
macchia mediterranea risente pesantemente anche
dell’effetto della salsedine.
• Quale è la probabilità che, urbanizzando una zona, si
verifichino entrambi gli eventi (V, ossia conseguenze del
vento; S, ossia conseguenze della salsedine)?
P (V e S) = P(V) • P(S|V) = 0,77 • 0,92 = 0,7084 (70,84%)

L’espressione della probabilità
condizionata
• Conoscendo ora il metodo di calcolo della probabilità
dell’intersezione, la formula per calcolare la probabilità
condizionata è la seguente:
P (F | E) = P (F ∩ E) / P (E)
Questa espressione è utile quando si conosce la
probabilità che si verifichino due eventi E e F (entrambi)
e si conosce anche la probabilità che si verifichi
l’evento E (da cui F è dipendente), ma non si conosce la
probabilità che si verifichi F dato E.
Ovviamente, se i due eventi E e F fossero indipendenti,
allora
P (F | E) = P (F)
Infatti, la probabilità dell’evento F non cambia
considerando oppure non considerando E, essendo i
due eventi indipendenti

Un esempio di calcolo della
probabilità condizionata
• I semi dell’abete di Douglas, in zone protette, hanno
un 35% di probabilità di sopravvivere sia nel periodo
di pregerminazione (PG), sia nel periodo di
germinazione (G).
• La probabilità che un seme sopravviva nel periodo di
pregerminazione è pari al 63 %.
• La probabilità che un seme superi il periodo di
germinazione, nel caso che abbia superato quello di
pregerminazione, è pari a:
P (G | PG) = P (G ∩ PG) / P (G) = 0,35/0,63 = 0,556

La proprietà additiva
• La probabilità che si verifichi almeno uno di
due eventi (probabilità dell’unione) si indica
con
P (E o F) oppure P (E ∪ F)
Questa probabilità si individua per mezzo di una
somma

Applicazioni della proprietà additiva - 1
• Se gli eventi sono tra loro incompatibili:
P (E o F) = P(E) + P(F)
• Continenti di provenienza della flora esotica
italiana:
America 321
Asia 225
Europa 86
Africa 75
Oceania 43
• La probabilità che una specie estratta a caso
sia asiatica o africana è:
225/750 + 75/750 = 300/750

Applicazioni della proprietà additiva - 2
• Se invece gli eventi sono tra loro compatibili:
P (E o F) = P(E) + P(F) - P (E e F)
(occorre cioè sottrarre la probabilità dell’intersezione, che
altrimenti verrebbe conteggiata due volte)
• È noto che, estraendo metano, il terreno si abbassa e a
volte potrebbe essere conquistato dal mare. Si progetta di
estrarre un determinato quantitativo di metano da due aree,
del tutto indipendenti tra loro. Si stima, considerando le
prevedibili condizioni del mare e degli affluenti, che l’area A
abbia una probabilità del 12% di essere conquistata dal
mare, mentre per l’area B questa probabilità è del 18%.
• Quale è la probabilità che almeno una delle due aree sia
conquistata dal mare?
0,12 + 0,18 – 0,12 • 0,18 = 0,2784 (27,84%)

L’azione del Libeccio e l’apporto di acque dolci fluviali
consentono di stimare le seguenti probabilità di intense
fioriture microalgali in due zone dell’Alto Adriatico:
la zona A ha una probabilità pari al 32%
la zona B ha una probabilità pari al 46%
• Calcolare le seguenti
probabilità, relative a
intense fioriture
microalgali:
Entrambe coinvolte
Solo A coinvolta
Solo B coinvolta
Almeno una coinvolta
• Si tratta di eventi
indipendenti compatibili
0,32 • 0,46 = 0,1472
0,32 • 0,54 = 0,1728
0,68 • 0,46 = 0,3120
0,32 + 0,46 – 0,1472 = 0,6328

Qualità igienico-sanitaria di alcune
acque lacustri nel nord Italia: i dati di
base
Favore
-voli
(F)
Sfavorevoli
(S)
Maggi
o-re
(M)
Garda
(G)
Como
(C)
Totale
60 120 60 240
120 20 20 160
Totale 180 140 80 400

Calcolare le
seguenti
probabilità
P(G)
P(non F)
P(M e F)
P(G e C)
P(G o C)
P(S o C)
P[non(F o S)]
P(F|G)
P(M|S)
P(2S|1S)
P(1S e 2S)
M G C TOT.
F 60 120 60 240
S 120 20 20 160
TOT. 180 140 80 400
140/400
1 – (240/400)
P(F) • P(M|F) = (240/400) • (60/240) (ev. dip)
0
P(G) + P(C) = (140/400) + (80/400) (ev. incomp)
P(S)+P(C)-[P(C)•P(S|C)=160/400+80/400-
(80/400•20/80) (ev. compatibili e dipendenti)
1 – [P(F) + P(S)] = 1 – (240/400 + 160/400)
120/140
120/160
159/399
P(1S) • P(2S|1S) = 160/400 • 159/399 (ev dip)

Il teorema di Bayes - 1
• Per calcolare la probabilità che un certo
evento sia frutto di una determinata causa,
ci si basa sulla teoria della probabilità
condizionata e si utilizza un metodo che
va sotto il nome di teorema di Bayes.
• Conviene partire da un esempio concreto:
• Un istituto di ricerca identifica i minerali
attraverso due fasi:
– 1. osservazione a occhio nudo (per esaminare
colore, trasparenza, brillantezza, tipo di
fratture, ecc.)
– 2. analisi di laboratorio con microscopio ottico

Il teorema di Bayes - 2
• Prelevando campioni da determinate rocce, i
geologi intendono verificare se questi
campioni contengano o meno scheelite.
• Da studi precedenti sullo stesso tipo di
roccia, si era dedotto che il 40% dei campioni
conteneva scheelite; di questi, l’80% aveva
avuto un parere favorevole già
all’osservazione a occhio nudo.
• Il restante 60% dei campioni non conteneva
questo minerale; in questo caso, il 30% delle
osservazioni a occhio nudo aveva fornito
(erroneamente) un giudizio favorevole
(presenza di scheelite). Il rimanente 70%
aveva fornito un giudizio contrario (assenza
del minerale)

Il teorema di Bayes - 3
• Quale è la probabilità che un campione
contenga scheelite, dall’analisi al
microscopio, dopo un parere favorevole
tratto dall’osservazione?
• Indichiamo con P la presenza effettiva di
scheelite, con A la sua assenza effettiva,
con F il parere favorevole (presunta
presenza) all'osservazione, con C il parere
contrario, sempre dall'osservazione.

Il teorema di Bayes - 4
P(F|P) * P(P)
P(P|F) = ________________________
P(F|P) * P(P) + P(F|A) * P(A)
0,8 * 0,4
P(P|F) = __________________ = 0,64
0,8 * 0,4 + 0,3 * 0,6

8 – DISTRIBUZIONI DI
PROBABILITA’

La definizione
• La distribuzione di probabilità di una variabile
casuale (o aleatoria) è l’elenco dei possibili valori
che la variabile assume, a ciascuno dei quali è
associata la relativa probabilità (una variabile
casuale è una variabile quantitativa i cui valori
variano seguendo le regole della probabilità)
• La maggior parte dei fenomeni statistici può essere
descritta con un numero limitato di leggi o
distribuzioni di probabilità

In simboli
• p(x) è la probabilità che la variabile
casuale X assuma un determinato
valore x
• Per ogni distribuzione di probabilità, si
ha:
0 ≤ p(x) ≤ 1
Σ p(x) = 1

Le principali distribuzioni
Tra le principali distribuzioni di probabilità, rientrano:
• Distribuzione normale (Gaussiana), la più importante
per l’analisi dell’inferenza statistica
• Distribuzione t (di Student), per i campioni piccoli
provenienti da una popolazione di cui si ignorano i
parametri
• Distribuzione di Bernoulli, associata a una variabile
casuale bernoulliana
• Distribuzione binomiale, utili per studiare le
probabilità relative a un campione estratto da una
popolazione di Bernoulli
• Distribuzione di Poisson, o legge degli eventi rari
• Distribuzione Chi Quadrato (χ²), associata per
esempio all’analisi della varianza campionaria o
all’analisi dei dati qualitativi

Speranza matematica o valore
atteso
• Si tratta di una delle nozioni più importanti
della teoria della probabilità
• È la media aritmetica ponderata dei valori
di una distribuzione di probabilità …
• … dove i coefficienti di ponderazione
sono le probabilità associate ai diversi
valori

Esempio di speranza
matematica
• Nel caso del lancio di un dado (non truccato), la
speranza matematica relativa alla media deriva
da questa operazione:
1 • 1/6 + 2 • 1/6, + 3 • 1/6 + 4 • 1/6 + 5 • 1/6 + 6 • 1/6
= 3,5

La distribuzione normale
(Gaussiana)

Peculiarità
• è la distribuzione di probabilità più
importante per l’inferenza statistica
Caratteristiche:
• perfettamente simmetrica
• sempre sopra l’asse orizzontale
• il totale dell’area sottesa è pari a 1

Come verificare la normalità
di una distribuzione?
• Verificare l’esistenza di una discreta
coincidenza tra media, mediana e moda
• Verificare l’esistenza di una discreta
coincidenza tra la differenza interquartile
(differenza tra il 75esimo percentile e il
25esimo percentile) e 1,33 σ
• Verificare che il 67% circa delle
osservazioni sia compreso tra μ-σ e μ+σ

L’utilizzo della distribuzione
normale
• si utilizza per stimare la % di casi che
cadono in un determinato intervallo…
• …di conseguenza, per determinare la
probabilità che un certo valore, estratto
da un gruppo di valori distribuiti
normalmente, sia compreso in un
determinato intervallo

La distribuzione normale
standardizzata (d.n.s.)
• Per agevolare il confronto con situazioni
concrete, si utilizza la distribuzione
normale standardizzata, basata su unità
standard calcolate per ogni valore del
fenomeno (x i )
• L’unità standard deriva da:
z i = (x i – media) / deviazione standard

La standardizzazione

Le tavole della distribuzione
normale standardizzata
• Ci sono diversi tipi di tavole; il
risultato è identico, ma cambia il
modo di lettura dei dati

il valore riportato
in riferimento
all’area, in
corrispondenza
di ogni z, è la
quota dell’area al
di sotto della
curva
corrispondente al
tratto compreso
tra z e - z

Nella tavola successiva, invece, il riferimento non è il
tratto compreso tra z e – z, bensì tra 0 e z, come
appare nel disegno sottostante

Tavola della distribuzione normale standardizzata
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4950 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
il valore
riportato in
ogni casella
è la quota
dell’area al di
sotto della
curva
corrispondente
al
tratto
compreso tra
z = o e il
valore di z
dato dalla
somma della
prima
colonna e
della prima
riga

Tavola della distribuzione normale standardizzata
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4950 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
Per
esempio, a
un’area
simmetrica
del 95%
corrisponde
un’area
compresa
tra 0 e z
del 47,5%.
Il
corrispondente
valore di z
è quindi
1,96

L’utilizzo della tavola della d. n. s.:
diversi tipi di intervallo z 1 – z 2
• z 1 = - z 2
• z 1 = 0 z 2 > 0
• z 1 < 0 z 2 > 0
• z 1 < 0 z 2 < 0
• z 1 < 0 z 2 = + ∞
• z 1 > 0 z 2 = + ∞

L’osservazione dei crepuscoli
• Nell’undicesimo secolo, gli Arabi impiegavano il
metodo dell’osservazione dei crepuscoli per
valutare la riflessione dei raggi solari negli strati
alti dell’atmosfera.
• Lo scopo era quello di determinare l’altezza degli
strati più alti dell’atmosfera.
• In un certo periodo, l’insieme delle osservazioni
forniva un’altezza stimata in media a 80 km. La
distribuzione delle valutazioni era di tipo normale,
con una deviazione standard pari a 10.
• Quale è la probabilità che un’osservazione fornisse
un valore x < 87,5 ?
• Quale è la probabilità che un’osservazione fornisse
un valore x < media + (0,5 σ) ?

Soluzioni
• Quale è la probabilità che un’osservazione fornisca
un valore x < 87,5?
Z 1 = (87,5 – 80) / 10 = + 0,75
Quindi, la probabilità è pari al 77,34%
• Quale è la probabilità che un’osservazione fornisca
un valore x < media + (0,5 σ) ?
• Z 2 = (85 –80) / 10 = + 0,5
Quindi, la probabilità è pari al 69,15 %

L’indice di aridità
• L’indice di aridità è la sintesi di fenomeni fisici
(precipitazioni, evaporazioni) e biologici
(traspirazione vegetale). È il rapporto tra
precipitazioni ed evapotraspirazione.
• In estate, un valore inferiore a 0,5 significa aree
semi-aride oppure aride. Un valore superiore a
0,65 significa aree umide o iper-umide.
• La distribuzione delle rilevazioni estive in una
determinata zona, compiute da diverse stazioni, è
di tipo normale, con media (per gli ultimi 30 anni)
pari a 0,45 e deviazione standard pari a 0,04.
• Quale è la percentuale di rilevazioni che hanno
fornito un valore compreso fra 0,40 e 0,50?
• È pari al 78,88%.
In unità standard, infatti:
• (0,40 – 0,45) / 0,04 = - 1,25
• (0,50 – 0,45) / 0,04 = + 1,25

Il procedimento inverso
• È possibile applicare il
procedimento inverso, quindi
dall’area …..
• … risalire a z e successivamente ..
• … risalire a x

Ancora sull’indice di aridità
• Mantenendo le stesse condizioni esposte
nell’esempio precedente, nell’analisi di
valutazione del deficit pluviometrico (peraltro
crescente nel corso dei decenni) ci si può porre la
domanda:
• Quale è il valore dell’indice di aridità che separa il
90% di tutte le rilevazioni, costituito dai valori più
piccoli, e il restante 10% costituito invece dai
valori più grandi?
• Nella tavola della distribuzione normale
standardizzata, si legge, in corrispondenza di
un’area pari a 0,40 (complemento a 0,50 del nostro
10% oggetto di interesse) un valore di z pari a
1,28.
• Quindi:
1,28 = (x – 0,45) / 0,04
x = 0,5012

L’applicazione della Gaussiana
alla stima di una somma o di una
media

L’obiettivo
• L’approssimazione normale può essere
utilizzata per stimare la somma (e
quindi la media) dei valori di una
popolazione per mezzo di un certo
numero di valori estratti casualmente
(con reimmissione)

Il teorema centrale del limite (TCL)
• Secondo il teorema centrale del limite, se il
numero di estrazioni è abbastanza elevato, la
distribuzione delle probabilità della somma (o
della media) si avvicina alla curva normale,
anche se l’istogramma dei valori della
popolazione è distante dalla curva normale
• In altri termini, al crescere dell’ampiezza del
campione, la distribuzione campionaria di
una media o di una somma si avvicina a una
distribuzione normale, anche se la
popolazione originaria non è normalmente
distribuita

Un campione abbastanza grande
• Si è parlato di campione abbastanza grande.
Il termine abbastanza è legato a quanto la
distribuzione della popolazione ricalca una
distribuzione normale
• Se il campione è > 30, esso viene ritenuto
abbastanza grande, indipendentemente dalla
distribuzione dei valori della popolazione
• Se invece il campione è < 30, il TCL è da
ritenere valido solo se la distribuzione dei
valori della popolazione è di tipo normale

Il modello d’urna
• Come si determina la probabilità che la
somma (o la media) delle estrazioni sia
compresa in un certo intervallo?
• È fondamentale costruire un modello
d’urna, corrispondente ai valori della
popolazione:
Quali sono i valori contenuti nell’urna?
Quante volte si ripetono, nell’urna, i singoli
valori?
Quante estrazioni si fanno?

La somma attesa
La somma effettiva delle estrazioni sarà pari a:
somma attesa ± errore standard della somma (SE somma)
•Somma attesa: prodotto del numero di estrazioni per
la media dei valori contenuti nell’urna
•SE somma: (radice quadrata del numero estrazioni) • (σ
dei valori dell’urna)
Ciò significa che all’aumentare del numero di
estrazioni, l’errore aumenta in termini assoluti, ma
diminuisce in termini relativi

La media attesa
La media effettiva delle estrazioni sarà pari a:
media attesa ± errore standard della media
(SE media)
• Media attesa: media dei valori contenuti
nell’urna
• SEmedia : (σ dei valori dell’urna) / (radice
quadrata del numero estrazioni)
SEmedia è quindi minore di σ, ossia dello
scarto quadratico medio che caratterizza i
valori dell’urna

Acque sotterranee (definizione dello
stato chimico)
Punti di impatto dovuto alla n.
impatto presenza di elementi rilevaattribuiti
inquinanti zioni
0 impatto nullo 100
1 impatto ridotto 250
1 impatto significativo 150
Si effettuano 36 estrazioni. Determinare la
somma attesa e l’errore standard

Le soluzioni
modello d’urna:
valori contenuti: 0 1 2
ci sono 100 valori 0, 250 valori 1 e
150 valori 2
estrazioni: 36
• somma attesa: 1,1 • 36 = 39,6
• SE: 6 • 0,7 = 4,2

Liberazione incontrollata di metano - 1
• Nelle fasi di ripristino di un’area di cava, si deve
fronteggiare il rischio di liberazione incontrollata di
biogas, tra cui soprattutto metano (CH4).
• Si vogliono individuare otto sub-aree su cui realizzare
il progetto di recupero.
• Da precedenti progetti di questo genere, si è dedotto
che nel 10% dei casi, l’entità del metano sviluppato in
una sub area è inferiore a 23 ppm, nel 60% dei casi è
di 23, nel 20% dei casi è di 24, nel restante 10% dei
casi è superiore a 24.
• Per le due classi aperte, si può ragionevolmente
stimare un valore medio di 20 (prima classe) e di 26
(ultima classe).
• Quale è la probabilità che la media delle 8 sub-aree
individuate casualmente sia compresa tra 23 ppm e
24 ppm?

Liberazione incontrollata di metano - 2
8 estrazioni
media attesa: 23,2
SE media: 0,495 (σ : 1,40)
trasformazione dei due limiti in unità standard
z = (limite – media attesa) / errore standard
per L 1: z 1 = –0,404
per L 2 : z 2 = +1,616
area sottesa tra z 1 e z=0 15,54%
area sottesa tra z=0 e z 2 44,74%
La probabilità che la somma delle estrazioni sia
compresa tra 23 e 24:
60,28%

In una provincia della Spagna meridionale, il numero di
giorni caratterizzati da un valore di SPI (Standardized
Precipitation Index) inferiore a -0,99 (quindi da condizioni
di siccità) è stato pari nell’ultimo lustro a 57 giorni
all’anno.
Quale è la probabilità che, nell’anno successivo, il
numero di giornate con un valore di SPI inferiore a -0,99
sia superiore a 60?
• Attribuiamo valore 1 ai giorni che presentano la
suddetta caratteristica, valore 0 ai giorni che non la
presentano.
• Se si vogliono infatti conteggiare i giorni all’anno che
presentano quella caratteristica, ogni giornata con
quelle condizioni fa salire il conteggio di 1, mentre le
altre giornate lasciano inalterato il conteggio.

Le soluzioni
Il modello d’urna che possiamo costruire, secondo i
dati storici, è
57 [+1] e 308 [0]
numero di estrazioni: 365
somma attesa = 57 σ = 0,363
SE = 0,363 • radq (365) = 6,935
60, in unità standard, diventa 0,43
quindi la probabilità cercata è del 33,4%

Formula abbreviata per calcolare σ
(valida quando in un’urna ci sono solo due tipi di valori)
σ = (Ma – Mi) • radice quadrata di [n(Ma) / n • n(Mi) / n)]
• Ma: valore maggiore tra i due presenti nell’urna
• Mi: valore minore tra i due presenti nell’urna
• n(Ma): numero di volte in cui il valore maggiore è
presente nell’urna
• n(Mi): numero di volte in cui il valore minore è
presente nell’urna
• n: totale numeri presenti nell’urna
Nel caso precedente:
σ = [1 – 0] • radq (0,1562 • 0,8438)

La distribuzione
binomiale

Condizioni di utilizzo
• Questa distribuzione esprime la probabilità che si
verifichino k successi (indipendentemente dall'ordine)
che si alternano a n - k insuccessi, nell’ambito di n
osservazioni tra loro indipendenti, estratte nell’ambito
di variabili bernoulliane.
• Una variabile bernoulliana è una variabile
dicotomica, ossia con due soli possibili valori, come
0 e 1.
• Ci si trova in questa situazione, per esempio, quando
si compiono esperimenti che possono avere
solamente due risultati possibili (come conforme –
non conforme).

Il calcolo
• Con questa distribuzione è quindi possibile calcolare
la probabilità che un evento si verifichi un numero
preciso (k) di volte, in un certo numero (n) di
ripetizioni tra loro indipendenti:
n!
——————— • p k • (1-p) n-k
k! • (n-k)!
k è un numero intero non negativo (k=0,1,2,3,...,n)
p è compreso tra 0 e 1 esclusi (0

n fattoriale
n! si legge n fattoriale ed è il prodotto di
n • n-1 • ….. • 2 • 1
(tenere presente che 0! = 1)

La formula precedente può anche
essere scritta nel seguente modo:

Il coefficiente binomiale
La prima parte della formula è il coefficiente
binomiale:
che esprime le diverse maniere in cui
possono essere ripartiti i k successi negli
n tentativi …
… ossia, identifica il numero di modi in cui
si possono ordinare n soggetti in una
sequenza, con k soggetti di un tipo e n-k
soggetti dell’altro tipo.

Raccolta differenziata batterie esauste
• In alcuni paesi europei, la raccolta differenziata
delle batterie esauste coinvolge il 90% delle unità
immesse sul mercato (ossia, 3,2 kg annui per
abitante).
• Su un lotto di 30 batterie innovative in termini di
acido solforico recuperabile, quale è la probabilità
che esattamente 27 siano immesse nel canale della
raccolta differenziata, ossia la stessa percentuale
che caratterizza le batterie esauste nel loro
complesso?
30!
————— • (0,9) 27 • (0,1) 3 = 0,2361
27! • 3!
La probabilità cercata è quindi pari al 23,61%

Eco-contributo
I produttori di apparecchiature elettriche ed
elettroniche iscritti al repertorio RAEE hanno la
possibilità di applicare in modo visibile al
consumatore il sovrapprezzo corrispondente all’ecocontributo
per il finanziamento dei rifiuti storici.
Il 20% dei produttori sfrutta questa possibilità.
Quale è la probabilità che, su 8 apparecchi acquistati,
meno di tre abbiano l’applicazione del sovrapprezzo
in modo visibile?

Soluzioni
8!
———— • (0,20) 2 • (0,80) 6 = 0,2936
2! • 6!
8!
———— • (0,20) 1 • (0,80) 7 = 0,3355
1! • 7!
8!
———— • (0,20) 0 • (0,80) 8 = 0,1677
0! • 8!
La probabilità cercata è quindi pari al 79,68%

La distribuzione di
Poisson

Le condizioni per l’applicazione
• Questa distribuzione rappresenta il limite a cui
tende una distribuzione binomiale, quando la
probabilità p di un evento è molto bassa e
contemporaneamente la grandezza del campione
n è piuttosto alta
• Alcuni studiosi fissano le condizioni per passare
dalla distribuzione binomiale a quella di Poisson
in n > 50 , p • (1-p) quasi uguale a p e n • p
< 10
• Si applica quindi al posto della distribuzione
binomiale per la descrizione di eventi discreti che
hanno una probabilità molto ridotta di realizzarsi.
La distribuzione di Poisson è infatti detta legge
degli eventi rari.

Un altro caso di applicazione
• Un altro caso di applicazione della
distribuzione di Poisson corrisponde
all’obiettivo di identificare il numero di
successi (si parla sempre di fenomeni
discreti) in un determinato intervallo
continuo, come il tempo, la superficie o il
volume.
• Per esempio, il numero di lupi che si
presentano a una determinata barriera
naturale, il numero di esemplari di pesce luna
presenti in un determinato volume di acqua,
ecc.

λ (lambda)
• Il valore atteso e la varianza di questa
distribuzione coincidono, e sono indicati
con λ
• λ è un qualsiasi valore positivo
equivalente al numero di successi che ci
si aspetta in un dato intervallo. Per
esempio, se un evento si verifica con una
cadenza media di 4 minuti e vogliamo
sapere quante volte questo evento si potrà
verificare in 10 minuti, il valore di λ sarà
10/4 = 2,5
• Al crescere di λ, la distribuzione di
Poisson si approssima con una
distribuzione normale

L’approssimazione alla
normale

λ = 0.1, 0.2, ... 1.0
Tavole della distribuzione di
Poisson - 1
+=======+===============================================================+
| k \ λ| 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 |
+=======+===============================================================+
| 0 | .9048 .8187 .7408 .6703 .6065 .5488 .4966 .4493 .4066 .3679 |
| 1 | .0905 .1637 .2222 .2681 .3033 .3293 .3476 .3595 .3659 .3679 |
| 2 | .0045 .0164 .0333 .0536 .0758 .0988 .1217 .1438 .1647 .1839 |
| 3 | .0002 .0011 .0033 .0072 .0126 .0198 .0284 .0383 .0494 .0613 |
| 4 | .0001 .0003 .0007 .0016 .0030 .0050 .0077 .0111 .0153 |
| 5 | .0001 .0002 .0004 .0007 .0012 .0020 .0031 |
| 6 | .0001 .0002 .0003 .0005 |
| 7 | .0001 |
+=======+===============================================================+

λ = 1.2, 1.4, ... 3.0
Tavole della distribuzione di
Poisson - 2
+=======+===============================================================+
| k \ λ| 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 |
+=======+===============================================================+
| 0 | .3012 .2466 .2019 .1653 .1353 .1108 .0907 .0743 .0608 .0498 |
| 1 | .3614 .3452 .3230 .2975 .2707 .2438 .2177 .1931 .1703 .1494 |
| 2 | .2169 .2417 .2584 .2678 .2707 .2681 .2613 .2510 .2384 .2240 |
| 3 | .0867 .1128 .1378 .1607 .1804 .1966 .2090 .2176 .2225 .2240 |
| 4 | .0260 .0395 .0551 .0723 .0902 .1082 .1254 .1414 .1557 .1680 |
| 5 | .0062 .0111 .0176 .0260 .0361 .0476 .0602 .0735 .0872 .1008 |
| 6 | .0012 .0026 .0047 .0078 .0120 .0174 .0241 .0319 .0407 .0504 |
| 7 | .0002 .0005 .0011 .0020 .0034 .0055 .0083 .0118 .0163 .0216 |
| 8 | .0001 .0002 .0005 .0009 .0015 .0025 .0038 .0057 .0081 |
| 9 | .0001 .0002 .0004 .0007 .0011 .0018 .0027 |
| 10 | .0001 .0002 .0003 .0005 .0008 |
| 11 | .0001 .0001 .0002 |
| 12 | .0002 |
+=======+===============================================================+

Tavole della distribuzione di Poisson - 3
λ = 3.5, 4.0, ... 8.0
+=======+===============================================================+
| k \ λ| 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 |
+=======+===============================================================+
| 0 | .0302 .0183 .0111 .0067 .0041 .0025 .0015 .0009 .0006 .0003 |
| 1 | .1057 .0733 .0500 .0337 .0225 .0149 .0098 .0064 .0041 .0027 |
| 2 | .1850 .1465 .1125 .0842 .0618 .0446 .0318 .0223 .0156 .0107 |
| 3 | .2158 .1954 .1687 .1404 .1133 .0892 .0688 .0521 .0389 .0286 |
| 4 | .1888 .1954 .1898 .1755 .1558 .1339 .1118 .0912 .0729 .0573 |
| 5 | .1322 .1563 .1708 .1755 .1714 .1606 .1454 .1277 .1094 .0916 |
| 6 | .0771 .1042 .1281 .1462 .1571 .1606 .1575 .1490 .1367 .1221 |
| 7 | .0385 .0595 .0824 .1044 .1234 .1377 .1462 .1490 .1465 .1396 |
| 8 | .0169 .0298 .0463 .0653 .0849 .1033 .1188 .1304 .1373 .1396 |
| 9 | .0066 .0132 .0232 .0363 .0519 .0688 .0858 .1014 .1144 .1241 |
| 10 | .0023 .0053 .0104 .0181 .0285 .0413 .0558 .0710 .0858 .0993 |
| 11 | .0007 .0019 .0043 .0082 .0143 .0225 .0330 .0452 .0585 .0722 |
| 12 | .0002 .0006 .0016 .0034 .0065 .0113 .0179 .0263 .0366 .0481 |
| 13 | .0001 .0002 .0006 .0013 .0028 .0052 .0089 .0142 .0211 .0296 |
| 14 | .0001 .0002 .0005 .0011 .0022 .0041 .0071 .0113 .0169 |
| 15 | .0001 .0002 .0004 .0009 .0018 .0033 .0057 .0090 |
| 16 | .0001 .0003 .0007 .0014 .0026 .0045 |
| 17 | .0001 .0003 .0006 .0012 .0021 |
| 18 | .0001 .0002 .0005 .0009 |
| 19 | .0001 .0002 .0004 |
| 20 | .0001 .0002 |
| 21 | .0001 |
+=======+===============================================================+

Acquisti verdi
• In Lituania, l’incidenza degli acquisti verdi
(basati su oltre tre criteri ambientali) della
pubblica amministrazione, sul totale
acquisti, è pari allo 0,25%. Quale è la
probabilità che si verifichi 1 acquisto verde
sui prossimi 200?
n = 200; p = 0,0025; λ = 0,5; k = 1
• Probabilità: 30,33%

Giorni favorevoli all’accumulo di PM10
• I giorni critici favorevoli all’accumulo di PM10,
sono quelli caratterizzati da precipitazioni
inferiori a 0,3 mm e indice di ventilazione
(prodotto dell’altezza di rimescolamento media
per velocità media del vento) inferiore a 800 m 2 /s.
• Negli anni precedenti, si sono rilevati in una
determinata area in media 4 giorni critici
nell’intero corso dell’anno.
• Quale è la probabilità che nei prossimi due anni
si verifichino 11 giorni critici?
λ = 8; k = 11
La probabilità cercata è pari al 7,22%

Il recupero delle cave
• Nelle ex-cave in fase di recupero territoriale, lo
sviluppo di biossido di carbonio superiore a una
soglia di pericolosità avviene, secondo
esperienze pregresse, in 2 rilevazioni su 100 mq
di territorio.
• Quale è la probabilità che su 300 mq di
intervento, si verifichino 5 rilevazioni
caratterizzate da pericolosità? R.: 0,1606 (k = 5;
λ = 6)
• Quale è la probabilità che su 300 mq di
intervento, si verifichino più di 2 rilevazioni
caratterizzate da pericolosità? Conviene
calcolare prima la probabilità dell’evento
contrario, ossia la probabilità che 0, 1 oppure 2
rilevazioni abbiano questa caratteristica.
Successivamente , si calcola la probabilità
oggetto della richiesta. R.: 0,062

La distribuzione t di
Student

Le situazioni di utilizzo
• Un’altra importante legge o distribuzione di
probabilità è quella di Student (pseudonimo di
William Gosset)
• Questa distribuzione riguarda il parametro t, ed è
utilizzata in molti test statistici
• In modo particolare, si deve ricorrere a questa
distribuzione quando il campione è di dimensione
limitata (n inferiore o uguale a 30), e proviene da una
popolazione distribuita normalmente, di cui però si
ignorano i parametri
• In questo caso, la distribuzione delle medie (o delle
proporzioni) campionarie non segue la legge della
distribuzione normale, ma quella della distribuzione t
di Student

La forma
La distribuzione di Student ha una forma a
campana, come la normale, ma è più appiattita,
quindi la sua dispersione è maggiore.
La forma della distribuzione di t cambia al mutare
dei gradi di libertà (GL)
All’aumentare dei GL, la distribuzione di t tende a
coincidere con quella normale.
In altri termini, la deviazione standard in questo
caso non è pari a 1, come per la distribuzione
normale standardizzata, ma varia in funzione dei
gradi di libertà.
Quando i gradi di libertà sono pari a 30, la forma
della distribuzione di Student arriva praticamente
a coincidere con la forma della distribuzione
normale.

Il concetto di gradi di libertà
Il numero di gradi di libertà (si indica con GL
oppure con la lettera greca ν - pronuncia ni o nu) di
un parametro statistico corrisponde al numero di
valori, indipendenti tra loro, che devono essere
utilizzati per calcolare quel parametro.
Il numero di G.L. è dato dal numero di osservazioni
(n), detratto dal numero delle stime dei parametri
della popolazione (k) che entrano nel calcolo del
parametro considerato.
Nel caso della deviazione standard, per stimarla
occorre calcolare la media del campione, quindi k è
pari a 1.
In altri termini, i gradi di libertà rappresentano il
numero di possibilità che i dati che compongono un
campione hanno di variare liberamente. Si
calcolano togliendo dal numero delle osservazioni il
numero delle condizioni cui essi sono vincolati.

Il parametro t
• Il parametro t corrisponde al rapporto:
media campionaria - media popolazione
——————————————————————
stima corretta di σ / radq (n)
• Questa distribuzione viene quindi impiegata per calcolare i
limiti di confidenza della media della popolazione, con la
seguente formula:
media popolazione =
media campione ± (t • stima corretta di σ) / radq (n)

La stima corretta di σ
• Quando non si conosce σ, e il numero di osservazioni è
piccolo, è possibile stimare σ partendo da s, con questa
formula:
σ = σ • radq (n/n-1)
• Si ottiene una deviazione standard leggermente
maggiore
• (n-1) rappresenta i gradi di libertà del campione
• Del resto, se si conoscesse la media della popolazione,
per calcolare s si utilizzerebbe questa. In realtà, si
conosce la media del campione. Gli scarti tra i valori
osservati e la media del campione saranno
tendenzialmente inferiori agli scarti tra i valori osservati
e la media della popolazione; si impiega allora stima
corretta di σ per controbilanciare questo errore

0
t
P
1 – P (α)
Nella tavola della
distribuzione di t,
sono riportati i valori
di t che hanno
probabilità pari a P di
non essere superati,
in funzione del
numero di gradi di
libertà [ossia,
probabilità 1-P ( si
indica con α ) di
essere superati].
La probabilità P è
uguale all’area a
sinistra di t

Tavole della distribuzione di Student - 1
νν 75% 80% 85% 90% 95% 97.5% 99% 99.5% 99.75% 99.9% 99.95%
1 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.71 31.82 63.66 127.3 318.3 636.6
2 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.09 22.33 31.60
3 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.21 12.92
4 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.610
5 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869
6 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959
7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408
8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041
9 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.781
10 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587
11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437
12 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.318
13 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.221
14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.140
15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073
16 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015
17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965
18 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610 3.922
19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883
20 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552 3.850

Tavole della distribuzione di Student - 2
ν 75% 80% 85% 90% 95% 97.5% 99% 99.5% 99.75% 99.9% 99.95%
21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819
22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792
23 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.104 3.485 3.767
24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.091 3.467 3.745
25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.078 3.450 3.725
26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707
27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.057 3.421 3.690
28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674
29 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659
30 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.030 3.385 3.646
40 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 2.971 3.307 3.551
50 0.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 2.937 3.261 3.496
60 0.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 2.915 3.232 3.460

Un esempio (tratto da Castino-Roletto, Statistica applicata)
• Si sono estratte 10 porzioni di cortecce di pioppo
sottoposte a umidificazione, e per ognuna si è
determinato il contenuto in ceneri.
• Questi i valori (in %) rilevati:
15,7 16,2 16,8 16,2 15,7 17,6 17,1 16,4 15,5 17,0
• In quale intervallo potrebbe cadere il valore vero del
contenuto in ceneri, con una probabilità del 99%?
media: 16,42, stima corretta di σ: 0,692
• Dalla tavola di Student, si ricava, con 9 GL:
t = 3,25
• Il rischio α, infatti, è ripartito in due rischi uguali, ognuno
pari a α/2, simmetrici rispetto al valore centrale.
• Quindi:
16,42 ± (3,25 * 0,692) / radq (10) = 16,4 ± 0,71
• Abbiamo cioè il 99% di probabilità che il valore della
popolazione sia compreso tra 15,71 e 17,13

Il riferimento per la
lettura delle tavole
Per quale motivo si è
individuato t = 3,25, che
corrisponde (nella tavola) a
P = 0,995?
Perché nella tavola della
distribuzione di t, sono
riportati i valori di t che
hanno probabilità pari a P di
non essere superati, cioè
probabilità 1-P ( = α ) di
essere superati.
Nell’esempio, α è uguale a
0,01, ripartito in due rischi
uguali, ognuno pari a α/2,
nelle due code. Per
utilizzare correttamente la
tavola, dobbiamo
comprendere una delle due
code (quella a sinistra) ed
escludere l’altra.

I gradi di libertà, in questo esempio
• Le porzioni di corteccia sono state estratte in
modo aleatorio, per cui sono indipendenti tra
loro. Ossia, conoscendo il primo valore, non si
può predire il secondo, ecc.
• La conoscenza dei primi dati non consente di
avanzare ipotesi sui successivi.
• Se però consideriamo gli scarti dalla media, su
cui si basa il calcolo della deviazione standard,
dato che la loro somma è sempre zero,
conoscendo i primi n-1 valori, si può ricavare
l’ultimo.
• I dati indipendenti tra loro sono quindi n-1, e
questo è il numero di gradi di libertà.

8 – I METODI DI
CAMPIONAMENTO

Sulla popolazione o sul campione?
Quando si affronta una indagine statistica,
una delle alternative da porsi riguarda la
scelta tra:
• l’indagine completa (sull'intera
popolazione)
• l’indagine su un campione (su una parte
della popolazione)
Naturalmente, quando si lavora su un
campione, il fine è quello di proiettare
sulla popolazione le informazioni che si
ottengono dal campione

A volte, è inevitabile campionare
Nel caso di animali di piccole dimensioni,
con forte velocità riproduttiva, ad elevata
mortalità e mobilità accentuata, è
impossibile il conteggio censuario di tutti
gli individui.
Si lavora allora su un campione di porzioni
di aree: possono essere quadrati di
terreno, volumi di acqua, piante nel caso
degli insetti erbivori

L’errore di campionamento
• Il campione è caratterizzato da un
particolare rischio di errore: l’errore di
campionamento
Si tratta del margine di approssimazione
dovuto al fatto di considerare una parte
rispetto al tutto. E’ “fisiologico” in ogni
indagine su campione
• Nonostante ciò, non sempre la rilevazione
sulla popolazione fornisce risultati più
precisi: in un'indagine ci sono tanti rischi
di errore (imprecisioni, omissioni, sbagli di
ogni genere)

Gli errori nelle indagini su campione e
nelle indagini sulla popolazione
Indagine sulla popolazione
• Nessun errore di campionamento
• Errori non statistici elevati
Indagine su campione
• Presenza errori di campionamento
• Errori non statistici ridotti

La popolazione e il campione
La popolazione Il Campione
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• • • • • • • •
• • • • • • • •
N elementi n elementi

Metodi di campionamento
• Nel campionamento probabilistico (o
casuali) ogni componente della
popolazione ha la stessa probabilità di
entrare nel campione
• Nel campionamento non probabilistico (o
non casuale) ciò non si verifica

La casualità statistica
• In un campionamento probabilistico, è il
caso (in senso statistico) che determina
gli elementi che faranno parte del
campione
• In questo modo, è possibile eliminare
distorsioni provocate da inevitabili fattori
umani di scelta
• È facile lasciarsi trarre in inganno da una
casualità solo apparente del
campionamento

Il campione casuale semplice
• È il tipo più elementare di campione
probabilistico
• Consiste nella estrazione di un certo
numero di elementi dall’elenco di tutte le
unità che compongono la popolazione (si
parla in questo caso di scelta random)

Il campione casuale stratificato
• Il criterio della stratificazione è finalizzato a
migliorare la rappresentatività del campione
• È realizzabile quando si può suddividere la
popolazione in categorie omogenee di unità
(strati), che saranno rappresentate nel
campione nella giusta proporzione
• Gli strati vengono individuati facendo
riferimento alle caratteristiche più importanti
per l'indagine, in modo da ottenere una
buona omogeneità all'interno del singolo
strato

Confronto tra campione casuale semplice
e campione casuale stratificato
CAMPIONE CASUALE
SEMPLICE
POPOLAZIONE
C
A
M
P
I
O
N
E
CAMPIONE CASUALE
STRATIFICATO
POPOLAZIONE CAMPIONE
STRATO A
STRATO B
STRATO C
STRATO D
A
B
C
D

Il campionamento sistematico
• È un altro criterio di campionamento
(sempre probabilistico)
• Consiste nell'estrazione della prima unità;
le successive vengono determinate a
partire da questa, applicando un passo
fisso (per esempio, una ogni 10)
• È utile soprattutto quando la lista dei
componenti della popolazione non è
disponibile

Il campionamento a stadi - 1
• In molti casi, la scelta casuale delle unità
da un unico elenco può essere complessa
e comportare costi elevati
• A livello nazionale, per esempio,
l’estrazione da una sola lista porterebbe
alla costruzione di un campione molto
disperso territorialmente, con costi elevati
in termini di tempi e di spese
• Per risolvere questi problemi, si può
ricorrere a un campionamento a stadi
(anch'esso probabilistico)

Il campionamento a stadi - 2
• Per esempio, si può estrarre un campione
di province; all'interno di ogni provincia, si
può estrarre un campione di comuni; ecc.
• Più il fenomeno che stiamo studiando si
presenta diffuso in modo omogeneo,
maggiori sono le garanzie che il campione
a stadi rappresenti in modo soddisfacente
la popolazione

POPOLA-
ZIONE
DELLE
PROVINCE
ITALIANE
Il campionamento a stadi
Estrazione
di un
campione
di province
Provincia
A
Provincia
B
Provincia
C
Provincia
D
Provincia
E
Estrazion
e di un
campione
di comuni
Estrazione di
un campione
di unità
statistiche

I campioni non probabilistici
• Tra i metodi non probabilistici più
utilizzati, rientra il campione per quote
• È adatto a ridurre la mole di lavoro non
solo in fase di campionamento, ma
nell’intera esecuzione della ricerca
• La scelta avviene con l'indicazione delle
proporzioni che dovranno caratterizzare il
campione …
• … lasciando ai rilevatori la libertà di
scegliere le unità statistiche su cui
effettuare la rilevazione (con tutti i rischi di
distorsione connessi)

9 – DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE
E INTERVALLI DI CONFIDENZA

Lo scopo dell’indagine su campione
• Si utilizzano le statistiche campionarie per
stimare i corrispondenti parametri della
popolazione
• Per esempio:
_
X per stimare μ
^
p per stimare p
• Si tratta di stimatori che forniscono un valore
vicino al parametro sconosciuto della
popolazione all’aumentare della dimensione del
campione, e che non presentano forte variabilità
da campione a campione

I principali tipi di informazione
Le principali informazioni che si possono
ottenere da un'indagine sono di due tipi:
• l'obiettivo dell'indagine può essere la stima di
una media: per esempio, il costo medio di
trattamento delle acque sotterranee nei
progetti di recupero di siti industriali inquinati
• quando il fenomeno è di tipo qualitativo,
l'obiettivo dell'indagine può essere la stima di
una proporzione, ossia di una quota: per
esempio, in un tratto stradale, la quota di
veicoli diesel circolanti dotati di filtro
antiparticolato

I quattro fattori da considerare
per calcolare la dimensione di
un campione
• la dimensione della popolazione
• l'errore di campionamento
• il livello fiduciario
• il grado di eterogeneità della
popolazione

Il procedimento da seguire
• individuazione della dimensione della
popolazione
• scelta del livello fiduciario che si intende
accettare
• scelta dell'errore che si intende accettare
• stima del grado di eterogeneità
L’intero procedimento presuppone che il
metodo di campionamento sia
probabilistico (casuale)

La dimensione della
popolazione
• All'aumentare di N tende a crescere
anche n, e viceversa
• L'aumento (o la diminuzione) di n è
però meno che proporzionale
rispetto all'aumento (o alla
diminuzione) di N

La regola dei grandi numeri
• Del resto, se il campione è formato da pochi
elementi, sono elevati i rischi che questi
elementi siano scarsamente rappresentativi
della popolazione
• Al crescere di N, n può aumentare in misura
meno che proporzionale, in quanto si riduce il
rischio che gran parte del campione sia
formata da elementi non rappresentativi:
stiamo lavorando su grandi numeri

L'errore di campionamento
• Il valore rilevato con un'indagine campionaria
non corrisponde perfettamente al valore della
popolazione, ma è caratterizzato da un errore
(e), per eccesso o per difetto
• Questo intervallo è noto come intervallo di
confidenza: è l’intervallo che (con una
prefissata probabilità) contiene il valore reale
del parametro
• Gli estremi dell’intervallo di confidenza sono
chiamati limiti di confidenza
• L'errore che si è disposti ad accettare viene
deciso in fase di impostazione della ricerca

Errore e ampiezza del campione
• All'aumentare dell'errore accettato, si
riduce l'ampiezza del campione, e
viceversa
• Del resto, per avere risultati più precisi,
è intuitivo che occorra lavorare su un
campione più grande

Livello fiduciario (o livello di
confidenza)
• Il valore ottenuto da un’indagine campionaria,
oltre che da un intervallo di confidenza, è
caratterizzato anche da un grado di fiducia sulla
correttezza della stima
• È la probabilità che l’intervallo di confidenza
contenga il valore reale del parametro
• In molti casi, il livello di confidenza viene assunto
pari al 95%; in questa situazione, si considerano
tutti i possibili campioni di ampiezza pari a n, e
per ciascuno si calcola la media campionaria (o la
proporzione campionaria) e l’intervallo centrato
su questa, il 95% degli intervalli ottenuti contiene
la media (o la proporzione) della popolazione, il
5% non la comprende

Medie campionarie e TCL
• La distribuzione di probabilità di una media
campionaria fa riferimento al Teorema Centrale del
Limite.
• Nel campionamento casuale, da una popolazione con
media μ e scarto quadratico medio σ, se n è abbastanza
grande la distribuzione delle medie campionarie
approssima la distribuzione normale.
• Questa distribuzione delle medie campionarie ha media
pari a μ e variabilità (errore standard) pari a:
σ / (radice quadrata di n)
• La variabilità delle medie campionarie (che indica
quanto la media del singolo campione varia da
campione a campione) è quindi minore della variabilità
dei valori della popolazione (il calcolo delle medie
campionarie tende a smussare la variabilità originaria).

Proporzioni campionarie e TCL
• Anche la distribuzione di probabilità di una
proporzione campionaria fa riferimento al Teorema
Centrale del Limite.
• Nel campionamento casuale, da una popolazione
con proporzioni p e (1-p), se n è abbastanza
grande la distribuzione delle proporzioni
campionarie approssima la distribuzione normale.
• Questa distribuzione delle proporzioni
campionarie ha media pari a p e variabilità (errore
standard) pari a:
radice quadrata di [p * (1-p) /n]

Livello fiduciario e ampiezza del
campione
• il livello fiduciario si modifica al variare
dell'ampiezza del campione: più grande è n, più
alto è il grado di certezza
• Come già affermato, nella maggior parte delle
indagini, il grado di certezza accettato è pari al
95%.
Ciò significa che viene usata una tecnica che, a
lungo andare, è in grado di fornire stime
corrette 95 volte su 100
• A parità degli altri fattori, si può decidere di
aumentare il livello fiduciario, ma riducendo la
precisione della stima, ossia aumentando
l’errore

L'eterogeneità della
popolazione
• All'aumentare del grado di eterogeneità
della popolazione, crescono i rischi
connessi al campionamento
• Più la popolazione è eterogenea, infatti,
maggiori sono le probabilità di fornire
(tramite l'indagine su campione) una stima
distante dal corrispondente valore della
popolazione ….
• …. in quanto sono maggiori anche le
probabilità di lavorare su un campione
poco rappresentativo

L'eterogeneità e l’ampiezza del
campione
• Di fronte a una forte eterogeneità della
popolazione, occorre cautelarsi dai
maggiori rischi di distorsione, utilizzando
un campione più ampio
• Si ha la situazione di massima omogeneità
quando tutti i componenti della
popolazione si comportano nello stesso
modo, in riferimento al fenomeno che
stiamo studiando

Come stimare l’eterogeneità?
• Prima di fare un'indagine, non si conoscono le
caratteristiche della popolazione e la sua
eterogeneità
• Se si disponesse di queste informazioni, si potrebbe
evitare di effettuare l'indagine
• Soluzioni:
– risultati di altri studi
– indagine preliminare
– ipotesi maggiormente pessimistica (massima
eterogeneità) (è l’ultima alternativa!)
• Le prime due alternative si basano sul fatto che, se
la popolazione è normale e il campione è > 30, si
utilizza s al posto di σ. Allo stesso modo, si usa
^
p al posto di p

Come si misura l'eterogeneità?
• Occorre tenere distinti i due casi in cui ci
si trova quando si effettua un'indagine
– L’obiettivo dell’indagine è la stima di una
media
– L’obiettivo dell’indagine è la stima di una
proporzione

Se l’obiettivo è la stima di
una media ….
• L’indicatore del grado di eterogeneità è la
deviazione standard
• Se non possiamo seguire altre vie, ci
affidiamo all'ipotesi di massima deviazione
standard possibile ….
• …. ossia il campo di variazione del
fenomeno (differenza tra il valore più grande
e il valore più piccolo possibile), diviso 2

Se l’obiettivo è la stima di
una proporzione ….
• L’indicatore del grado di eterogeneità è il
prodotto
p * (1 - p)
dove p è la percentuale attesa come
risultato dell’indagine (rapportata non a 100,
bensì all'unità: di conseguenza, p varia da 0
a 1)

La massima eterogeneità nel caso di
stima di una proporzione
• Si ha forte omogeneità quando una proporzione
preponderante di unità statistiche si concentra su una
modalità
• Si ha invece forte eterogeneità quando il campione è
ripartito in parti pressoché uguali tra le due modalità
• L'ipotesi maggiormente pessimistica in termini di
eterogeneità corrisponde quindi a p = 0,50
(se il fenomeno presenta più di due modalità, è sempre possibile fare
riferimento a una di esse o a una classe di esse, e considerare tutte le
rimanenti come facenti parte di un'unica categoria)

Calcolo della dimensione del campione,
quando l’obiettivo dell’indagine è la stima
di una proporzione, per una popolazione
finita
N * z 2 * p * (1 - p)
n = __________________________
(N - 1) * e 2 + z 2 * p * (1 - p)

Calcolo della dimensione del campione,
quando l’obiettivo dell’indagine è la stima
di una media, per una popolazione finita
N * z 2 * σ 2
n = ______________________
(N - 1) * e 2 + z 2 * σ 2

Calcolo della dimensione del campione, quando
l’obiettivo dell’indagine è la stima di una
proporzione, per una popolazione infinita
(reimmissione)
z 2 * p * (1-p)
n = ____________
Calcolo dell’errore campionario, quando
l’obiettivo dell’indagine è la stima di una
proporzione, per una popolazione infinita
(reimmissione)
e 2
z * radq [p * (1-p)]
e = ________________
radq (n)

Calcolo della dimensione del campione, quando
l’obiettivo dell’indagine è la stima di una media,
per una popolazione infinita (reimmissione)
z 2 * σ 2
n = _________
Calcolo dell’errore campionario, quando
l’obiettivo dell’indagine è la stima di una media,
per una popolazione infinita (reimmissione)
e 2
z * σ
e = _________
radq (n)

Il significato dei fattori
N = dimensione della popolazione
e = errore
z = coefficiente di confidenza, il cui valore è
legato al livello fiduciario (ed è desumibile
dalle tavole della distribuzione normale)
σ = deviazione standard della popolazione
p = proporzione attesa

Livello fiduciario e il coefficiente
di confidenza
• A ogni livello fiduciario prescelto, corrisponde quindi
un valore di z, come si deduce dalle tavole della
distribuzione normale
Alcuni livelli fiduciari tra i più utilizzati e i corrispondenti
valori di z sono i seguenti:
livello fiduciario (%) z
99 2,58
98 2,33
95 1,96
90 1,65

Parametri non noti e campione
piccolo
• È importante ricordare che, quando il
campione è di dimensione limitata (n
inferiore o uguale a 30), e proviene da una
popolazione distribuita normalmente, di cui
però si ignorano i parametri, la distribuzione
delle medie campionarie non segue la legge
della distribuzione normale, ma quella della
distribuzione t di Student

10 –VERIFICA DELLE IPOTESI:
I TEST STATISTICI

Lo scopo
Si tratta di procedure che consentono di
prendere decisioni, basate su un certo
grado di probabilità
Lo scopo è quello di verificare ipotesi
Per esempio: due indagini portano a due
diverse percentuali (p 1 e p 2 )
C’è una differenza statisticamente
significativa tra p 1 e p 2 ?
Oppure si tratta dell’effetto di errori di
campionamento?

Situazioni di utilizzo
• Si impiegano test parametrici quando la
variabile è quantitativa ed è normalmente
distribuita
• Negli altri casi, si utilizzano test non
parametrici
• In questo corso, si affronteranno
esclusivamente i test parametrici

Ipotesi nulla e ipotesi alternativa
• La prima fase operativa è costituita dalla
formulazione di due ipotesi, tra loro
esclusive, ossia incompatibili, oltre che
esaustive (coprono tutte le possibilità):
H 0 , ipotesi nulla: es. assenza di differenza
significativa
H 1 , ipotesi alternativa: es. presenza di
differenza significativa

Si parte dall’ipotesi nulla
• Normalmente, il punto di partenza è l’ipotesi
nulla
• Del resto, in prima istanza può essere
ragionevole attribuire una differenza alle
fluttuazioni campionarie, ossia agli errori di
campionamento
• Tutte le procedure dei test sono di tipo
conservativo, cioè ci si comporta in modo
prudente: si crede all’ipotesi nulla tranne
quando l’evidenza derivante dai dati
campionari contraddice questa assunzione

Non abbiamo certezze assolute
• Non possiamo provare con certezza assoluta che
una ipotesi sia corretta o falsa
• Possiamo però accettare o rifiutare una ipotesi con
un certo grado di probabilità (livello di confidenza),
normalmente deciso a priori
• La procedura consiste nel determinare i limiti di
confidenza, per mezzo di:
– il livello di confidenza
– il valore atteso
– l’errore standard (SE)

Il livello di significatività
• Il complemento a 1 del livello di
confidenza viene denominato livello di
significatività del test (e viene indicato
con α)
• Solitamente, si pone α pari a un valore
compreso tra 0,01 e 0,05

L’area di rifiuto
• L’area (o regione) di rifiuto è l’intervallo dei
valori campionari (valori della statistica-test)
che ci porta a rifiutare l’ipotesi nulla
• L’area di rifiuto è delimitata dai valori critici,
corrispondenti ai limiti di confidenza
• Se la statsitica-test cade nella regione di rifiuto,
allora rifiuteremo l’ipotesi nulla

Bidirezionale o monodirezionale?
• L’area di rifiuto può essere ripartita su entrambe
le code (test a due code, bidirezionale) …
• … oppure su una sola coda (test a una coda,
monodirezionale): in questo secondo caso, si
fissa l’attenzione su una sola alternativa (minore
di…, oppure maggiore di ….)
• H 0 comprende sempre il simbolo =. Se il test è
bidirezionale, H 0 corrisponde a una uguaglianza; se
invece è monodirezionale, , H 0 corrisponde a >
oppure a

Test a una coda per ipotesi monodirezionali
(si intende accettazione o rifiuto di H 0 ; il livello di
significatività qui è pari a 0,025)
Regione di
accettazione
Regione di rifiuto
V.att. + 1,96 SE

Test a due code (per ipotesi bidirezionali)
(si intende accettazione o rifiuto di H 0 ; il livello di
significatività qui è pari a 0,05)
Regione
di rifiuto
V.att. - 1,96 * SE
Regione di
accettazione
Regione
di rifiuto
V.att. + 1,96 * SE

Deduzioni dal grafico precedente
• Ogni valore campionario cadrà entro i limiti di
confidenza con una probabilità del 95%
di conseguenza:
• Se un valore campionario cade entro i limiti di
confidenza, accetteremo l’ipotesi H 0
• In caso contrario, la rifiuteremo
La regione di rifiuto corrisponde ai valori che
hanno una piccola probabilità di verificarsi,
quando l’ipotesi nulla è vera

Il p-value
• Oltre al metodo accennato, basato sulla regione di
rifiuto, si può adottare un metodo diverso, che
ovviamente conduce agli stessi risultati:
il metodo del p-value
• In base a questa procedura, si rifiuta l’ipotesi nulla
se il p-value è inferiore a α
• In altri termini, si rifiuta H 0 quando la probabilità di
rifiutare erroneamente questa ipotesi è inferiore al
massimo che siamo disposti a tollerare, ossia α
• Il p-value è infatti l’effettiva probabilità di rifiutare
l’ipotesi nulla, quando questa è vera

Tipi di errore
Si ribadisce l’assenza di certezze assolute, per
cui le conclusioni di un test statistico sono
soggette ad errori, di primo o secondo tipo
Nella realtà:
Si decide di
accettare H 0
Si decide di rifiutare H 0
H 0 vera Decisione corretta Errore di primo tipo
H 1 vera Errore di secondo
tipo
Decisione corretta
La probabilità di commettere un errore di primo tipo
corrisponde al livello di significatività

Cosa si intende verificare, nella
maggior parte dei casi?
• Su quali tipologie di indicatori si effettuano le
verifiche?
• Quattro sono i casi più importanti:
Medie
Proporzioni
Differenze tra medie
Differenze tra proporzioni

Valore atteso ed errore standard
Indicatore Valore atteso Errore standard (SE)
MEDIA μ
PROPORZIONE p
DIFFERENZA
TRA MEDIE
DIFFERENZA
TRA
PROPORZIONI
0
0
σ
—————
radq (n)
p * (1-p)
Radq [——————]
n
σ 2 1 σ 2 2
Radq [——— + ———]
n1 n2
p * (1-p) p * (1-p)
Radq [————— + —————]
n1 n2

In realtà, solitamente non si dispone di μ o di p. Al
loro posto, si utilizza il valore relativamente al quale
stiamo verificando l’evidenza campionaria, ossia
quello che compare in H 0
• Quando poi non si conoscono i parametri della
popolazione (μ, σ, p), si utilizzano i valori
campionari noti
(questa impostazione è corretta se il campione ha una
ampiezza superiore a 30)

Verifica di una media - 1
• Una catena di alberghi pubblicizza un luogo
di vacanza invernale, sostenendo 7 ore medie
di sole al giorno nei 4 mesi invernali
• Una agenzia viaggi, in 36 giorni estratti
casualmente dai 4 mesi invernali, rileva una
media di 5,9 ore, con s pari a 1,8
• L’agenzia è stata imbrogliata? (si decide un
livello di significatività pari a 0,02)
H 0 : M > 7 H 1 : M < 7
(test a una coda)

Regione di
rifiuto (2%)
Verifica di una media - 2
V.atteso - z * SE
Regione di
accettazione

Verifica di una media - 3
• V.atteso: 7
• SE: 1,8 / radq (36) = 0,3
• Dalla tavola della distribuzione normale,
ricaviamo che:
area 0,48 z = - 2,05
limite di confidenza: 7 – 2,05 * 0,3 = 6,385

Verifica di una media - 4
• Ci sono solo 2 possibilità su 100 che un
campione di ampiezza pari a 36 fornisca un
valore medio inferiore a 6,385
• Di conseguenza, H 0 è da rifiutare
• È molto probabile che l’agenzia sia stata
imbrogliata: la differenza tra la media
campionaria e la media pubblicizzata è
significativa

Verifica di una media - 5
• Quando non si conoscono determinati parametri
della popolazione (in modo specifico, σ) …
… si utilizzano i valori campionari noti (è quanto si è
fatto in questo esempio); tale impostazione è però
corretta solo se il campione ha una ampiezza
superiore a 30
• Se il campione avesse avuto dimensioni più
limitate, si sarebbe impiegata la distribuzione di
Student (come nell’esempio successivo)

Verifica di una media - 6
• Per la rilevazione della concentrazione di
monossido di carbonio (Co), lo strumento da
utilizzare (lo spettrofotometro) deve essere
tarato ogni giorno, su un gas a
concentrazione nota (70 ppm, ossia parti di
volume per milione)
• Ogni giorno si effettuano alcune misurazioni
su questo gas
• La SD di queste misurazioni non è nota, in
quanto cambia ogni giorno
• Questi i valori di 5 rilevazioni in un
determinato giorno: 78, 83, 68, 72, 88
• La media è 77,8, la deviazione standard è 7,22

Verifica di una media - 7
• Ipotesi nulla: errore sistematico pari a 0
• Ipotesi alternativa: errore sistematico diverso da
0
(test a due code)
• Si decide un livello di significatività pari a 0,05
• I gradi di libertà sono 4
• V.atteso: 70
• SE: 3,61
• Lo SE è stato calcolato utilizzando la stima
corretta della deviazione standard della
popolazione (8,07), data la ridotta numerosità
campionaria

Verifica di una media - 8
• Dalla tavola della distribuzione t di Student
(essendo il campione di ridotte dimensioni),
ricaviamo che un’area pari a 0,975
corrisponde a t = 2,78
• I limiti di confidenza sono quindi:
70 - 2,78 * 3,61 = 60,0
70 + 2,78 * 3,61 = 80,0
• Di conseguenza, H 0 non è da rifiutare

Verifica di una proporzione - 1
• Secondo la letteratura, gli esemplari di testudo
marginata che a un determinato stimolo emettono
soffi rumorosi come reazione (per paura) sono
il 25% del totale.
• A uno stimolo leggermente diverso, su un
campione di 1.200 esemplari osservati, risulta
che il 23% emette soffi rumorosi
• Si può affermare che la % di esemplari è diversa
rispetto a quella indicata dalla letteratura?
(si decide un livello di significatività pari a 0,05)
H 0 : p = 0,25
H 1 : p ≠ 0,25
(test a due code)

Verifica di una proporzione - 2
Regione di
rifiuto (2,5%)
V.att. - z * SE
Regione di
accettazione
V.att. + z * SE
Regione di rifiuto
(2,5%)

Verifica di una proporzione - 3
• V.att.: 0,25
• SE: radq (0,25 * 0,75 / 1200) = 0,0125
• Dalla tavola della distribuzione normale,
ricaviamo che:
area 0,475 z = - 1,96 e z = + 1,96
limite inf. di confidenza: 0,25 - 1,96 * 0,0125 =
0,2255
limite sup. di confidenza: 0,25 + 1,96 * 0,0125
= 0,2745

Verifica di una proporzione - 4
• La % campionaria è compresa nella
regione di accettazione
• Di conseguenza, H 0 non è da rifiutare
(differenza non significativa)

Verifica di una differenza tra medie - 1
• È stata realizzata una indagine su un elevato numero
di aree cittadine con differente dimensione
demografica, relativamente al numero di borseggi
avvenuti nell’ultimo anno.
• In particolare, si vuole effettuare un test sulla
differenza tra la media dei borseggi avvenuti in un
campione di aree nell’ambito di centri con 25.000-
30.000 residenti (PRIMO CAMPIONE), e la media dei
borseggi avvenuti in un campione di aree nell’ambito
di centri con 5.000-10.000 residenti (SECONDO
CAMPIONE).
• Il primo campione ha media pari a 1,10 borseggi (su
100 residenti) e s pari a 0,60 (n è pari a 400)
• Il secondo campione ha media pari a 0,90 e s pari a
0,40 (n è pari a 100)

Verifica di una differenza tra medie - 2
• Si vuole verificare se effettivamente la media
del primo campione è diversa dalla media del
secondo campione
• L’ipotesi nulla afferma quindi che le due
medie sono uguali, mentre secondo l’ipotesi
alternativa la media del primo campione è
differente dalla media del secondo campione.
• Il test è a due code.
(si decide un livello di significatività pari a 0,05)

Verifica di una differenza tra medie - 3
• Basandoci sull’ipotesi nulla, secondo la quale le
due media sono uguali, il valore atteso della
differenza è pari a zero. Occorre confrontare la
differenza osservata (ossia: 1,10 – 0,90 = 0,20) con
questo valore atteso.
• Per ottenere lo SE della differenza, non si possono
sommare i due SE (0,03 + 0,04 = 0,07), in quanto si
trascurerebbe l’eventualità che i due SE si elidano a
vicenda.
• Lo SE della differenza è pari a
s 2 1 s 2 2
Radq [——— + ———]
n1 n2
ossia 0,05

Verifica di una differenza tra medie - 4
• Dalla tavola della distribuzione normale, ricaviamo
che:
area 0,475 z = - 1,96 e z = + 1,96
limiti di confidenza:
0 - 1,96 * 0,05 = - 0,098
0 + 1,96 * 0,05 = + 0,098
• Ci sono solo 5 possibilità su 100 che due campioni
con queste caratteristiche forniscano una differenza
tra i valori medi esterni al range compreso tra – 0,098
e + 0,098
• Di conseguenza, H 0 è da rifiutare

Verifica di una differenza tra
proporzioni - 1
• Si vuole confrontare l’opinione di due campioni di cittadini,
di strato sociale differente, relativamente all’atteggiamento
da assumere nei confronti delle droghe.
• In particolare, si chiede ai cittadini quale delle seguenti tre
posizioni, fra tutte quelle antiproibizioniste, sarebbe più
opportuna:
– Liberalizzazione (completa rimozione delle norme che
vietano la vendita, l’acquisto, il consumo)
– Legalizzazione (regolazione delle condizioni di acquisto
e di consumo)
– Depenalizzazione (rimozione delle sanzioni legate alla
domanda)
• Entrambi i campioni sono estratti casualmente e sono
composti da 150 cittadini.

Verifica di una differenza tra
proporzioni - 2
• L’ipotesi della legalizzazione ottiene la preferenza
di una quota del 60% di cittadini intervistati nel
campione A, e di una quota del 56% di cittadini
nel campione B
• La superiorità riscontrata nel campione A è
effettiva, con un livello di significatività pari a
0,03, o è attribuibile a errori casuali?

Verifica di una differenza tra
proporzioni - 3
• Come sempre, si parte dall’ipotesi nulla, ossia
che non esistano reali differenze tra i due
campioni
• In questo caso, l’ipotesi nulla corrisponde a
sostenere che le due proporzioni sono uguali
• All’ipotesi nulla si contrappone l’ipotesi
alternativa: il campione A mostra una
superiorità significativa, come quota di
favorevoli alla legalizzazione
• Il test è a una coda

Verifica di una differenza tra
proporzioni - 4
• Basandoci sull’ipotesi nulla, secondo la quale le due
percentuali sono uguali, il valore atteso della
differenza è pari a zero. Occorre confrontare la
differenza osservata (ossia: 0,6 – 0,56 = 0,04) con
questo valore atteso.
• Per ottenere lo SE della differenza, utilizziamo la
formula:
p1* (1-p1) p2 * (1-p2)
Radq [————— + —————]
n1 n2
In questo caso: 0,0569

Verifica di una differenza tra
proporzioni - 5
• Dalla tavola della distribuzione normale, ricaviamo
che:
area 0,47 z = 1,88
limite di confidenza:
0 + 1,88 * 0,0569 = 0,107
• Dal momento che la differenza osservata tra le due
proporzioni (0,04) è inferiore al suddetto limite di
confidenza, H 0 non è da rifiutare