Modi naturali ed analisi di stabilità dei sistemi dinamici lineari

Modi naturali ed analisi di stabilità dei sistemi lineari:
riassunto schematico di alcuni fatti principali
Bruno Picasso
1 Modi naturali di un sistema dinamico lineare
Con riferimento ad un sistema dinamico lineare di ordine n,
˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t),
A ∈ R n×n , B ∈ R n×m , C ∈ R p×n e D ∈ R p×m , valgono i seguenti fatti riguardanti i suoi modi naturali (o modi
propri, o semplicemente modi):
I. Un sistema lineare di ordine n ha esattamente n autovalori (purché si tenga conto della loro molteplicità),
allo stesso modo esso ha esattamente n modi naturali (purché si tenga conto della loro molteplicità).
II. Ad un autovalore λ ∈ R con µa(λ) = µg(λ) è associato il modo naturale φ1(t) = e λt , t ≥ 0 ed esso ha
molteplicità pari a µa(λ) .
III. Ad una coppia di autovalori Complessi coniugati λ = σ ± jω con µa(λ) = µg(λ) è associata la coppia di modi
naturali φ1(t) = e σt cos(ωt), φ2(t) = e σt sin(ωt), t ≥ 0 ed essi hanno molteplicità pari a µa(λ) .
IV. In corrispondenza di un autovalore λ ∈ R con µa(λ) > µg(λ), valgono i seguenti fatti:
• Vi è almeno un modo “polinomiale-esponenziale” φ1(t) = te λt , t ≥ 0;
• Vi possono essere modi “polinomiali-esponenziali” della forma 1 φ1(t) = t k e λt , t ≥ 0;
• Se vi è il modo φ1(t) = t k e λt , allora necessariamente vi sono anche i modi φ2(t) = t k−1 e λt , φ3(t) =
t k−2 e λt ,. . . , φk(t) = te λt e φk+1(t) = e λt , t ≥ 0.
V. In corrispondenza di una coppia di autovalori Complessi coniugati λ = σ ± jω con µa(λ) > µg(λ), valgono i
fatti analoghi a quelli del caso IV.
L’importanza dei modi naturali di un sistema lineare risiede dei seguenti risultati:
Teorema 1 (Teorema fondamentale dei modi naturali) Dato il sistema (1), gli elementi della matrice e At ,
t ≥ 0, sono combinazioni lineari dei modi naturali del sistema.
Alcune immediate ed importanti conseguenze di questo teorema sono le seguenti proprietà:
1. Le componenti di un qualunque movimento libero dello stato o dell’uscita del sistema (1), sono combinazioni
lineari dei modi naturali del sistema;
2. Per t > 0, gli elementi della matrice risposta all’impulso del sistema (1) sono una combinazione lineare dei
modi naturali del sistema.
1 Conoscere i valori possibili per k e quanti modi ci sono per ogni valore di k possibile dipende da µa(λ), da µg(λ) e non solo...
Studiare questo problema con esattezza va ben oltre gli scopi del corso.
(1)

2 Analisi di stabilità dei sistemi lineari: schema riassuntivo
Con riferimento al sistema (1), si ha:
Proprietà dei modi del
sistema
Proprietà della matrice A Proprietà dei movimenti
x(t) di
˙x = Ax
x(0) = x0 ∈ R n
Tutti i modi convergono a
0
⇔ ∀ λ(A) si ha ℜe λ(A) < 0 ⇔ ∀ x0 ∈ Rn , lim x(t) = 0
t→+∞
⇔ AS
Tutti i modi sono limitati ⇔ ∀ λ(A) si ha
⇔ ∀ x0 ∈ Rn , x(t) è limitato ⇔ S
Esiste almeno un modo
illimitato
Tutti i modi sono limitati
e ne esiste almeno uno che
non converge a 0
⇔
⇔
ℜe λ(A) < 0
oppure
ℜe λ(A) = 0
µa(λ(A) = µg(λ(A)
∃λ(A) con ℜe λ(A) > 0
oppure
∃λ(A) con
ℜe λ(A) = 0
µa(λ(A) > µg(λ(A)
⎧
∀ λ(A) si ha ℜe
⎪⎨
⎪⎩
λ(A) ≤ 0
∀ λ(A) con ℜe λ(A) = 0 si ha
µa(λ(A) = µg(λ(A)
∃λ(A) con ℜe λ(A) = 0
⇔ ∃x0 ∈ R n tale che x(t) è
illimitato
⇔ ∀ x0, x(t) è limitato e
∃x0 ∈ R n tale che, per
t → +∞, x(t) → 0
⇔ I
⇔ sS
In virtù di quanto illustrato a lezione (ossia, di quanto riportato nei Paragrafi 3.4.1 e 3.4.2 del libro di testo adottato
nel corso: P. Bolzern, R. Scattolini e N. Schiavoni, “Fondamenti di controlli automatici” – 3 a edizione – McGraw-Hill.),
possiamo rinominare le ultime due colonne di questa tabella come segue:
Proprietà dei movimenti x(t) di −→ Proprietà dei movimenti liberi x L(t) di
˙x = Ax
x(0) = x0 ∈ R n
˙x = Ax + Bu
x(0) = x0 ∈ R n
Stabilità di ¯x = 0 per il sistema −→ Stabilità di qualsiasi movimento dello stato per il sistema
˙x = Ax ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)
ed in tal modo ottenere la tabella che caratterizza le proprietà di stabilità dei sistemi lineari.
Stabilità
di ¯x = 0
per il
sistema
˙x = Ax

Sistemi lineari
Semplicemente stabili (sS) Sistemi lineari
Instabili (I)
Sistemi lineari
Stabili (S)
[S = AS U sS]
Sistemi lineari
Asintoticamente stabili (AS)
Figura 1: Schema di ripartizione dei sistemi lineari in base alla loro proprietà di stabilità.
Si ricorda infine che i sistemi dinamici lineari si ripartiscono in base alla loro proprietà di stabilità secondo lo schema
in Figura 1 (e che uno schema del tutto analogo vale per la classificazione, in base alla loro proprietà di stabilità,
dei movimenti dello stato di un qualsiasi sistema dinamico).