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articolo sulla maratona uscito nella rivista alice - Icfanelli

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PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

Maratona di Matematica. Alcune riflessioni.

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Mario Barra, Alessandro Foschi, Luigi Regoliosi

Riassunto Il 15 maggio 2009 si terrà la XII Edizione della “Maratona Nazionale

di Matematica”, diretta agli studenti della scuola secondaria di I grado.

Si racconta la storia di questa competizione "particolare", l’atmosfera di entusiasmo

che la pervade, i suoi aspetti peculiari e la sua organizzazione; segue

l’analisi dei problemi e delle soluzioni degli studenti dell'edizione 2008.

L’articolo viene offerto come spunto di riflessione sulla convenienza di una didattica

della matematica che lasci maggiore spazio – fin dalla scuola media – al

pensiero creativo, all'intuizione ed all'originalità.

Abstract On 15 May 2009 the 12 th edition of the “Maratona Nazionale di

Matematica”, addressed to secondary first grade school students, will take

place. The article is about the story of this particular competition and depicts

its exciting atmosphere, its peculiarities and organization. It follows the analysis

of the problems and the students’ solutions in the previous 2008 edition.

It is a way to show the advantage of teaching Maths by giving more space

– from the junior high school – to creative thought, intuition and originality.

Mario Barra barra@mat.uniroma1.it

Alessandro Foschi Liceo class. “Convitto Naz. V. Emanuele II” (Rm); alessandro@foschi.biz

Gruppo di ricerca in didattica della Matematica, Università di Roma “La Sapienza”.

Luigi Regoliosi Liceo artistico e classico “S.Orsola” (Rm); luigi.regoliosi@gmail.com


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PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

1. La Maratona di Matematica

Il 15 maggio 2009 si terrà nell’Istituto Comprensivo “A. Fanelli, F. Marini”

e nel Teatro Romano di Ostia Antica (Roma), la XII Edizione della

“Maratona Nazionale di Matematica”.

La Maratona di Matematica è una gara di matematica rivolta agli studenti

italiani dell’ultimo anno della Scuola Media, ai quali viene data

l’opportunità di cimentarsi in una competizione che ha l’obiettivo di premiare

prevalentemente l’intuizione e la creatività in matematica.

La Maratona di Matematica si svolge sotto il patrocinio del Ministero

dell’Istruzione, Università e Ricerca e del CARFID (Centro di Ateneo per la

Ricerca sulla Formazione e sull’Innovazione Didattica). In tutta la manifestazione

collaborano molti docenti e un buon numero di genitori degli studenti

della Scuola “Fanelli”, il Dipartimento di Matematica dell’Università

di Roma “La Sapienza” e alcuni suoi studenti o ex studenti, ora laureati o

insegnanti.

Nelle ultime tre edizioni di questa competizione hanno partecipato annualmente

circa cento scuole di tutte le regioni d’Italia. Le scuole sono state

informate attraverso una circolare emanata dal MIUR e via internet e hanno

selezionato i loro rappresentanti, uno per scuola, sulla base dell’andamento

scolastico e delle capacità di risolvere problemi dimostrate nelle loro scuole,

considerando anche alcune indicazioni fornite dall’organizzazione della

manifestazione.

La Maratona di Matematica si svolge in un’unica giornata, in modo da

limitare l’impegno finanziario degli studenti e dei loro accompagnatori, che

partecipano a spese proprie. La Competizione si svolge sempre in un venerdì

“centrale” nel mese di Maggio. La scelta del giorno della settimana può

essere utile in particolare a chi vuole approfittare del viaggio per prolungare

la sua permanenza fuori sede.

La prova consiste nella soluzione individuale di un numero di quesiti,

che varia da dieci a quindici, quasi tutti a risposta aperta, riguardanti temi

solitamente diversi da quelli contenuti nei programmi scolastici, da risolvere

in tre ore, con la disponibilità di riga, squadra, compasso, calcolatrici tascabili

e tavole numeriche. Su ogni quesito è indicato il punteggio, proporzionale

alla sua difficoltà, che si ottiene con la risposta totalmente corretta.

Punteggi minori, assegnati a soluzioni parziali, diminuiscono la probabilità

di punteggi totali uguali, che comunque vengono ordinati a fine correzione

considerando il numero totale di risposte date ad ogni quesito.


PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

Indipendentemente dal numero dei quesiti la valutazione massima raggiungibile

è 110 e Lode. I quesiti vengono elaborati dalla Commissione

Scientifica composta da Lucia Ciarrapico, ex Dirigente Tecnico M.P.I, dalla

professoressa Nella Benedetti, insegnante di Ruolo di Matematica presso il

Liceo Classico Sperimentale B. Russel di Roma, e da Mario Barra docente

di Didattica della Matematica alla Sapienza e direttore del CARFID. Le

prove vengono corrette dai componenti della Commissione Scientifica e dagli

studenti, o ex studenti già laureati, del Dipartimento di Matematica della

Facoltà di Scienze dell’Università di Roma “La Sapienza”, già menzionati.

Il numero dei premiati e i premi variano in funzione del fondi disponibili.

In totale vengono premiati da 5 a 15 studenti nella fascia dell’oro, da altrettanti

studenti nella fascia dell’argento e da 10 a 15 studenti nella fascia

del bronzo. Nel 2008 i migliori 20 classificati hanno ricevuto dei premi costituiti

da calcolatrici, orologi, fotocamere, libri e coppe al merito, cui si

sono aggiunti, ai primi due, delle vacanze premio di una settimana in località

turistiche d’Italia per quattro persone. Tutti gli studenti ricevono una bella

pergamena e una medaglia di partecipazione, un cappelletto con la visiera

e una t-shirt con il logo e altre indicazioni della Maratona di Matematica.

Da questo anno le scuole possono fornire indicazioni e testi riguardanti le

loro migliori sperimentazioni didattiche. Alcune di queste sperimentazioni

verranno pubblicate nella Rivista di matematica e didattica Progetto Alice.

2. La manifestazione

L’intera manifestazione nei dettagli comprende:

− accoglienza degli studenti presso la Scuola Media “ A. Fanelli” e consegna

delle pergamene di partecipazione agli accompagnatori.

− Apertura del plico sigillato inviato dal Dipartimento di Matematica

dell’Università di Roma “La Sapienza” e distribuzione delle prove.

− Svolgimento della competizione di cui si è parlato, durante la quale gli

studenti, distribuiti nelle classi della Scuola “Fanelli” e opportunamente distanziati,

cercano singolarmente di determinare la soluzione dei quesiti sotto

il controllo degli studenti universitari selezionati dalla Commissione Scientifica.

Alla fine della gara vengono distribuite le soluzioni che si possono

poi trovare anche in rete assieme ai testi dei quesiti e ai nomi dei vincitori e

delle loro scuole di provenienza.

− In contemporanea alla competizione si svolge un mini-convegno presso

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PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

la Sala “Riario” di Ostia Antica, composto da tre interventi di un’ora ciascuno

di didattica e divulgazione della matematica tenuti dai membri della

Commissione Scientifica. Questo mini-convegno è aperto al pubblico, ma è

rivolto principalmente ai docenti e ai genitori, in percentuale maggiore fra i

presenti, che hanno accompagnato i partecipanti alla Maratona.

Quest’anno verranno tenuti gli interventi che seguono:

− Mario Barra, La scienza come previsione. Importanza sociale dei

software di geometria dinamica.

− Nella Benedetti, Matematica per il cittadino e/o matematica rifugio

della mente.

− Lucia Ciarrapico, La crittografia: Alice, Roberto e il ficcanaso.

− Un pranzo offerto gratuitamente a tutti i partecipanti, agli accompagnatori,

agli studenti universitari e ai membri delle Commissioni Organizzativa e

Scientifica. Questo pranzo, che attualmente è organizzato in parte dalla

scuola e consiste in circa 350-400 pasti, inizialmente, quando il numero dei

partecipanti era minore, era preparato totalmente dai genitori degli studenti

della Scuola “Fanelli” e dai membri dell’Associazione Genitori Attivi

(AGEA) che ancora oggi aiutano veramente molto in tutte le fasi

dell’organizzazione, servono in tavola e preparano moltissimi dolci.

− Una visita agli scavi archeologici di Ostia Antica da parte di studenti,

genitori e insegnanti, accompagnati da Mini-Guide. Le Mini-Guide sono

studenti della prima media della Scuola Fanelli preparati tutto l’anno in un

corso specifico organizzato dalla Sopraintendenza ai Beni Archeologici di

Ostia Antica e dal Ministero dei Beni Culturali.

− In contemporanea alla visita agli scavi i componenti della Commissione

Scientifica e gli universitari, o ex universitari, correggono le soluzioni degli

studenti e determinano la graduatoria dei premiati.

− Una manifestazione finale che si svolge, in attesa dei risultati, nella stupenda

sede dell’antico Teatro Romano, dove si assiste a un concerto della

Banda del Corpo di Polizia Municipale e a musiche e danze interpretate dagli

allievi della Scuola Fanelli. Nel 1999 la manifestazione finale della Maratona

si è svolta, a causa della pioggia, nel salone della Posta del Cardinale.

Anche questo episodio dimostra la grande efficienza dell’organizzazione.

− La manifestazione si conclude con la premiazione dei partecipanti effettuata

da maestranze istituzionali e da esponenti della cultura e accompagnata

dagli Inni Nazionale ed Europeo suonati dalla Banda del Corpo di Polizia

Municipale. L’Inno alla gioia di Beethoven sembra fare da cornice ad un

sentimento analogo profondamente sentito da una parte dei presenti.


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3. Storia della Maratona di Matematica

L’ideatrice della Maratona di Matematica è la Professoressa Luisa Pelli,

insegnante della Scuola “Fanelli”.

Riprendiamo qualche frase da un suo articolo, indicato in bibliografia:

Giugno 1997, Collegio dei Docenti: bilancio delle attività svolte … è arrivata

una Preside stabile [la Professoressa Maria Ruffino Aprile].

Mi lascio sfuggire ad alta voce: “Mi piacerebbe tanto che anche gli allievi

che non giocano bene a pallavolo, non scrivono poesie, non dipingono

in modo originale, ma sono molto bravi in Matematica possano essere gratificati

con un premio! ...

Settembre 1997, Collegio dei Docenti: Nel silenzio di tutti, la Preside mi

interpella:”Professoressa Pelli, …, potrebbe organizzare un premio di Matematica?”.

Brusio generale: “Come ha fatto a ricordarsene?, “Vedi è meglio

stare zitti”.

Gli insegnanti, la categoria meno gratificata, la cenerentola

dell’occupazione, come vengono definiti, debbono svolgere la professione

più difficile inventandosi i modi per affrontare tutti i problemi di natura psicologica,

pedagogica, sociale e disciplinare che incontrano.

Mi riferisco in particolare all’ideatrice della Maratona, la Professoressa

Luisa Pelli, alla realizzatrice, coordinatrice e attuale Presidente del Premio,

la allora Preside e poi Dirigente Scolastico Professoressa Maria Ruffino Aprile,

detta il Caterpillar per la sua grande energia e determinazione,

l’attuale responsabile del Progetto, la Professoressa Cristina Brajon e

l’attuale Dirigente Scolastico, la Professoressa Ornella Bergamini. Onore al

loro merito, alla creatività, alla determinazione e alla costanza.

Fuori dall’orario di lavoro, senza incentivi e con pochi mezzi reperiti

con grande fatica dagli sponsor, che si sono dovuti inventare nella carenza

di quelli istituzionali, hanno capito che la scuola non può essere più quella

stessa che ha svolto fino a pochi anni fa il suo compito in modo più o meno

soddisfacente ma funzionale, preparando i futuri cittadini a svolgere le mansioni

di routine, fino allora in gran parte richieste.

Nell’attuale società dove la motivazione allo studio non significa necessariamente

promozione sociale, dove la popolazione è quadruplicata in cinquanta

anni ampliando esponenzialmente la gravità dei problemi sempre più

interconnessi che richiedono soluzioni poco tradizionali e molto creative, e

dove le mansioni di routine vengono assorbite dai computer e dagli automi,

hanno capito che la scuola deve rispondere alle esigenze della società attra-

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PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

verso motivazioni che nascano direttamente dall’impegno nello studio, anche

se queste sono più difficili da fornire perché poco concrete.

È impossibile dare ricette per la scuola, ma pensiamo che probabilmente

queste motivazioni possano risultare utili e convincenti rendendo disponibile,

nei modi da inventare, un maggiore spazio per la creatività.

Onore a questi insegnanti che hanno intuito che la matematica per la scuola

media non può esaurirsi negli esercizi di routine, come accade con le lunghe

espressioni e a più piani, da sviluppare applicando sempre le stesse regole.

Forse sono utili per addormentare la mente e risolvere problemi disciplinari,

ma forniscono anche una licenza per non capire.

La grande Emma Castelnuovo, tempo addietro, per trovare un argomento in

cui questo tipo di esercizi potesse assumere un qualche significato, è riuscita

soltanto a costruire una espressione molto breve, utile per il calcolo dell’equo

canone …

Questi insegnanti sanno che da una parte ci sono i programmi tradizionali,

le tecniche e i ritmi di lavoro conosciuti, i consueti criteri di verifica e di valutazione,

i metodi comodi che il tempo d’impiego ha reso adatti ad eludere alcune

difficoltà pedagogiche e didattiche, e dall’altra parte ci sono i problemi

di una attività militante nella ricerca educativa, la più delicata, la più difficile

perché opera sulle coscienze. Mentre tutti sanno che nella scuola c’è molto

che non va, loro hanno anche capito che non c’è miglioramento senza sperimentazione,

che non è vero che è meglio stare zitti.

Ma una cosa è capire e una cosa è superare le incrostazioni preesistenti.

Cerco di concludere con ironia sulla difficoltà di modificare le possibili

incrostazioni e le ingombranti eredità del passato, attraverso alcune riflessioni

relative alla ricerca degli sponsor istituzionali, premettendo che su

“undici Maratone”, dal 1998 al 2008, soltanto in tre occasioni si è riusciti ad

avere qualche finanziamento dalla Regione Lazio per questa complessa manifestazione.

4. Urbanistica

Il centro di Roma è situato sotto la statua di Marco Aurelio al Campidoglio.

Da lì inizia la misura delle distanze calcolate nelle strade consolari.

Dove sono state collocate le sedi di alcune importanti Istituzioni?

Le sedi della Regione del Friuli Venezia Giulia e della Regione della

Valle d’Aosta, situate negli estremi nord-est e nord-ovest della penisola ita-


PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

liana, si trovano in zona centralissima, a Piazza Colonna, dove risiede la

Camera dei Deputati.

La sede della Regione Emilia Romagna è collocata poco più distante, a

Via del Tritone.

Un po’ defilato si trova il palazzo del Ministero della Marina, costruito

forse giustamente a fianco del fiume Tevere.

Invece, l’imponente Ministero dell’Aereonautica è attaccato all’Università

“La Sapienza”.

Sebbene appaia quasi deserto a chi gli passa davanti, tutto il complesso del

Ministero dell’Aereonautica è situato dalla parte della stazione Termini dove

si trovano praticamente tutti i capolinea degli autobus, mentre

l’università, che brulica di studenti con i suoi 150 000 iscritti, è più lontana

e non è servita dalla metropolitana nelle vicinanze.

Infine, e in qualche modo coerentemente, volendo fare una richiesta al

Consiglio Regionale della Regione Lazio, bisogna andare più volte in mezzo

alla campagna, fuori del Raccordo Anulare di Roma, attraversando stranissimi

svincoli delle strade, molto probabili da sbagliare, e con la presenza

esclusiva di qualche contadino in lontananza che non può dare informazioni.

Viene in mente che il lavoro nella scuola sui propri allievi può essere paragonato

al lavoro di un urbanista sulla città. In entrambi i casi, il lavoro sul

presente dovrebbe essere guidato dall’immagine del futuro.

5. L’atmosfera della Maratona di Matematica

Uno sguardo accattivante, appena imbarazzato; l’espressione viva, attenta,

felice di chi ha ottenuto un riconoscimento importante che premia il suo

impegno.

Queste sensazioni fanno seguito a qualche trepidazione celata con imbarazzo

in attesa dei risultati; si accompagnano ad una eccitazione difficile da

gestire da chi per la prima volta è stato protagonista di una manifestazione

che gli è piaciuta e che lo ha soddisfatto. Hanno ricevuto un consenso che li

ha gratificati e di cui sono orgogliosi.

Noi sentiamo che questa esperienza inciderà a fondo positivamente nel

loro carattere e che farà associare al proprio impegno il ricordo di esperienze

piacevoli, ed allo studio sensazioni da ricercare.

Permettete alcune citazioni che crediamo vengano a proposito.

Forse questi ragazzi possono aver percepito che il giocattolo più grande

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PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

è la mente 1 ed è possibile che inconsciamente comincino a intuire che la

creatività si identifica in gran parte con il coraggio di ragionare.

Lo afferma Einstein. Gli fa eco Kant, dicendo: abbi il coraggio di servirti

della tua intelligenza.

Certo ci vuole coraggio a correre volontariamente il rischio di sbagliare,

perchè l’errore può essere confuso con un attestato di inadeguatezza.

È possibile che anche per questo molti loro amici evitino di impegnarsi.

Eludendo questi rischi manifestano una forma di vigliaccheria. Non possono

sapere che è difficile ottenere un proprio miglioramento senza “mettersi in

gioco” e non si accorgono che il loro facile atteggiamento di rinuncia viene

pagato con il prezzo alto di una minore crescita cognitiva e comportamentale.

Per non rischiare oggi, poco e gradualmente, rimandano a domani quelli

che possono essere i problemi della vita.

Sebbene facciano tenerezza, i nostri studenti sono stati coraggiosi.

Si tratta di tutti i partecipanti e dei numerosi vincitori della Maratona di

Matematica. Si avvicinano con i loro genitori che li cingono con un braccio

sulle spalle. Anche gli accompagnatori sembrano sprizzare contentezza e

spesso gratitudine. Hanno espressioni che appaiono collegate ai loro pensieri

in modo contrastante: hehee, buon sangue non mente; … ma come hai fatto?

… amore mio, ti possino …

Vogliono farsi una foto con qualcuno degli organizzatori, per ricordare meglio

quello che comunque probabilmente non dimenticheranno con facilità.

Questa è l’atmosfera della Maratona di Matematica. Si può percepire la

sua maggiore intensità rispetto a quella che si respira durante le più imponenti

Olimpiadi di Matematica, che si rivolgono agli studenti di età maggiore

che hanno già effettuato molte delle loro scelte.

È una atmosfera molto sentita e giocosa, e quindi anche agonistica nella

sua accezione più sana. A volte può risultare commovente. Sempre viene

considerata di grande interesse da tutti coloro che partecipano alla manifestazione.

La gara, il simpatico gran vociare mentre si mangia insieme e si discute

delle proprie soluzioni con i nuovi amici nelle classi trasformate della scuola,

la gita negli scavi di Ostia Antica, lo stupendo Teatro Romano, il Concerto

della Banda e gli Inni d’Italia e d’Europa fanno da cornice a una festa

dei giovani che pochi penserebbero possa essere associata alla matematica.

1 Si tratta di una frase pronunciata da Charlie Chaplin nel film "Luci della ribalta" che Lucio

Lombardo Radice ha scelto come titolo per un suo libro.


PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

6. Alcuni aspetti particolari della Maratona di Matematica

Abbiamo detto che le scuole possono scegliere un solo rappresentante.

Questa soluzione è diversa da quella presa per la gara a squadre organizzata

dalla Sezione Romana delle Olimpiadi di Matematica, che si svolge a Roma

al Dipartimento di Matematica della Sapienza. In questa gara le squadre sono

formate da nove rappresentanti per ogni scuola. La scelta è stata dettata dalle

necessità contrastanti di avere una discreta presenza di studenti provenienti da

tutta Italia, dalla difficolta di riunire dei giovani studenti all’interno di ogni

scuola e dalla impossibilità di ospitarne un numero maggiore di cento. Questo

numero a volte si riduce per le defezioni dell’ultimo momento, che sono probabili

considerando che spesso uno studente viene accompagnato sia dai genitori,

sia dal loro insegnante e che è difficile conciliare le esigenze di tutte

queste persone che possono provenire da tutte le regioni d’Italia. Sebbene le

defezioni siano prevedibili, l’estrema variabilità del loro numero rende difficile

cercare di porre rimedio al problema.

Un’altra scelta che è stata adottata in base all’esperienza è quella di prevedere

un numero minimo di quesiti a risposta chiusa. Forse per mancanza

d’abitudine, i nostri giovani concorrenti alle gare sembrano essere frastornati

da questo tipo di scelta, che non permette per altro di valutare positivamente

le soluzioni parziali. Abbiamo l’impressione che questo tipo di selezione

risulti obbligata quando è presente l’esigenza di valutare velocemente

i risultati di una gara, esigenza che nel nostro caso è stemperata dalla distribuzione

della manifestazione nell’intero arco di una giornata e dalla possibilità

di offrire agli studenti alcune attività interessanti mentre vengono valutate

le risposte ai quesiti.

Un altro problema consiste nel limitare la variabilità del differente metro

di giudizio dei correttori delle soluzioni dei singoli problemi. A tale proposito

nelle ultime manifestazioni si tende a far correggere le risposte di tutti

gli studenti ad uno stesso quesito da un solo correttore, che si rivolge alla

Commissione Scientifica quando sorgono alcune perplessità sulla correttezza

delle soluzioni, anche parziali, e sul voto da attribuire.

Un aspetto particolarmente delicato, considerando anche la giovane età

dei partecipanti alla gara, consiste nel punteggio totale raggiungibile nella

competizione.

Inizialmente il punteggio massimo raggiungibile non era 110, ma soltanto

100, considerando tale soglia più usuale per gli studenti. Inoltre i quesiti

erano scelti in modo da rendere probabile il raggiungimento di un punteggio

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elevato. Questa scelta ha causato vari problemi collegati ad esempio alla

difficoltà di creare una graduatoria differenziata per i molti che ottenevano

lo stesso punteggio e in particolare quello massimo. In una occasione è stato

necessario aggiungere due spareggi per stabilire chi fosse il vincitore.

La scelta attuale, il massimo dei punti è 110, è quella di cercare di non

rendere “molto esplicito” tale massimo, che i più considerano essere 100, e

di presentare sempre un quesito molto semplice in modo da rendere più probabile

una piccola soddisfazione per la maggioranza dei partecipanti e di

prevedere anche uno o due esercizi particolarmente difficili, sia per non uniformare

i risultati, sia in particolare per rendere possibile l’individuazione

dei vincitori particolarmente meritevoli.

7. Quesiti proposti alla Maratona del 2008 e analisi delle soluzioni

La prova, che nel 2008 ha interessato 80 studenti selezionati da istituti di

tutta Italia e frequentanti la classe terza media, ha proposto 12 quesiti:

7 di carattere geometrico;

4 di carattere aritmetico;

1 riguardante il calcolo delle probabilità.

Gli esercizi con il relativo punteggio, segnato a lato, per un totale di 110 punti,

sono stati i seguenti:

1) 7 punti

Individuare il motivo per il quale le bisettrici di due angoli contigui di un

parallelogramma, ABCD, sono perpendicolari.

A

B

D

2) 8 punti

c d

(( AB ) ) è una potenza la cui base è un numero di due cifre (AB). Se le

quattro lettere A, B, c, d rappresentano quattro numeri naturali tutti diversi

tra loro e inferiori a 4, qual è il valore più piccolo, diverso da 1, che la potenza

può assumere?

C


PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

3) 13 punti

Dato il quadrangolo non regolare indicato in figura, determinare un triangolo

con la stessa area, disegnandolo sulla figura stessa.

4) 10 punti

Qual è la probabilità di ottenere somma 7 con tre dadi simmetrici?

5) 9 punti

Il proprietario di un giardino, che ha la forma di un triangolo rettangolo isoscele

il cui cateto misura 10 metri, intende costruire una serra di forma rettangolare

avente due lati consecutivi sui due cateti e un vertice

sull’ipotenusa. Egli vuole che i lati misurino un numero intero di metri e che

la sua area sia la massima possibile. Quali devono essere le dimensioni della

serra? Fornire una spiegazione della risposta data.

6) 6 punti

Dato il segmento di misura 1, costruisci il segmento di misura 3 .

7) 10 punti

Tre amiche (A, B, C) vanno a cena fuori e, all’uscita dal ristorante, decidono

di prendere un taxi per tornare a casa. A scende dopo che il taxi ha percorso

1/6 del tragitto totale, B dopo che ha percorso i 2/3, e C, naturalmente, alla

fine del tragitto. Il costo della corsa è di 18 euro e le tre amiche decidono di

pagare in modo proporzionale all’utilizzo del mezzo. Quanto paga ciascuna

delle amiche?

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PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

8) 9 punti

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

…………………………………….

La piramide rappresentata contiene i successivi numeri dispari, a partire da

1, disposti per righe. La somma dei numeri della riga numero n è 729. Di

quale riga si tratta? Fornire una spiegazione della risposta data.

9) 9 punti

Due fratelli, Luca e Andrea, ereditano un terreno che ha la forma del rettangolo

ABCD. Per dividere la proprietà piantano un paletto in un punto P preso

a caso all’interno al terreno, ma diverso dal punto d’intersezione delle

diagonali del rettangolo, e tracciano le linee PA, PB, PC e PD. Luca prende

il terreno costituito dai triangoli PAD e PBC e Andrea quello formato dai

triangoli PAB e PCD. L’eredità di Luca è maggiore, uguale o minore di

quella di Andrea? Fornire una spiegazione della risposta data.

D

A

10) 9 punti

Dimostrare che la superficie grigio chiaro A

C

ha la stessa area di quella grigio

scuro, sapendo che A indica il centro del cerchio grande e che l’angolo

BAC è retto.

A

B

C

B

C

B


PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

11) 9 punti

A partire dal punto A su una colonna cilindrica, viene teso un filo che fa un

giro intorno alla colonna fino a raggiungere il punto B situato sulla verticale

che parte da A.

Sapendo che la circonferenza di base del cilindro ha lunghezza 120 cm e che

la distanza fra A e B è 160 cm, determinare la lunghezza del filo.

B

A

12) 11 punti

Su uno scaffale ci sono in tutto 71 libri tra libri gialli e libri d’avventura.

Alcuni (sia dei gialli che dei libri d’avventura) sono nuovi e altri sono vecchi.

I libri d’avventura sono in tutto 50 e i libri nuovi sono in tutto 55. C’è

solo un libro giallo vecchio. Quanti sono i libri gialli nuovi?

3. Analisi delle soluzioni ai quesiti degli studenti

In questo paragrafo cerchiamo di dare un’idea di come gli studenti hanno

affrontato la prova. Abbiamo analizzato le soluzioni provando a interpretare le

risposte, quasi sempre prive di ogni indicazione sui ragionamenti seguiti, e a

fornire ipotesi sulle strategie e sui possibili processi di soluzione che abbiamo

considerato più probabili.

Quesito per quesito riferiamo cosa ci è sembrato significativo, riportando in alcuni

casi sia i disegni, sia le eventuali spiegazioni degli studenti (in corsivo) allo

stesso modo di come loro stessi li hanno realizzati e scritti, anche se in qualche

caso, la qualità delle figure non è ottima.

Il primo classificato ha realizzato un punteggio di 85 punti su 110.

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PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

1) Individuare il motivo per il quale le bisettrici di due angoli contigui di un

parallelogramma, ABCD, sono perpendicolari.

A

D

Soluzione proposta.

Le misure di due angoli contigui di un parallelogramma hanno per somma

180°, la metà è 90°, quindi l’angolo formato da due bisettrici contigue misura

90°.

A B

D

O

Soluzione degli studenti.

Su 80 candidati solamente 11 hanno dato una risposta completa e corretta.

Tre studenti non hanno risposto. La maggior parte dei candidati, come era

prevedibile, sembra non saper condurre una dimostrazione di geometria, anche

molto semplice; di fatto, molti studenti credono che sia sufficiente fare

solo un disegno, come mostrato da un candidato che ha fornito la figura seguente:

In altri casi - ne riportiamo esempi interessanti - al disegno è stato aggiunto una

“verifica” o un breve commento:

B

C

C


PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

• A B ˆ C = 126° Nei parallelogrammi due angoli contigui sono

B Ĉ D = 54° 180°

1 1

B + Ĉ = 90°

2 2

ˆ

• Tale illustrazione dimostra che le bisettrici di due angoli contigui di un parallelogramma

possono essere perpendicolari e dare origine a quattro angoli

retti

• AED = 90°. Visto che l’angolo Ê è un angolo giro, diviso in quattro parti

uguali forma quattro angoli retti.

Infine, una risposta non corretta che ha attirato la nostra attenzione è stata la

seguente:

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PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

Le bisettrici degli angoli  e D ˆ incontrandosi formano quattro angoli retti

perché le bisettrici diventano le diagonali di un rombo, un parallelogramma

nel quale le diagonali sono bisettrici e assi di simmetria.

c d

2) (( AB ) ) è una potenza la cui base è un numero di due cifre (AB). Se le

quattro lettere A, B, c, d, rappresentano quattro numeri naturali tutti diversi

tra loro e inferiori a 4, qual è il valore più piccolo, diverso da 1, che la potenza

può assumere?

Soluzione proposta. I quattro numeri naturali minori di 4 e diversi tra loro

sono 0, 1, 2, 3. Gli esponenti c e d sono entrambi diversi da 0, altrimenti la

potenza varrebbe 1. Anche A si intende diversa da 0, dunque la lettera B è 0.

Le possibili combinazioni delle 4 cifre danno luogo alle seguenti potenze di

2!

3 6

3 3 3

base 10, 20 e 30: 10 = 10 = 1.

000.

000 , 20 = 2 ! 10 = 8.

000 ,

2 2 2

30 = 3 ! 10 = 900.

La potenza più piccola è quindi: 30 900

2 = .

Soluzione degli studenti. Le risposte corrette sono state 25. Tutti hanno

provato a rispondere. La specifica richiesta di considerare quattro numeri

naturali diversi tra loro e inferiori a 4 è stata da qualcuno in parte ignorata,

assumendo proprio 4 come una delle cifre. Tra le risposte non corrette segnaliamo

ad esempio:

1 3

• ((02) ) = 08 ;

• la risposta è 8 poiché

1 3

3 1

(( 02)

) o (( 02)

) sono uguali a 8 e poiché

2 1

(( 03)

)

1 2

o (( 03)

) sono uguali a 9.

Alcuni hanno interpretato la scrittura AB come un prodotto, anziché un

numero di due cifre; per esempio:

• ((1 ⋅ 2) 3 ) 4 = 2048 (risposta tra l’altro errata perché 2 12 = 4096);


2 3

(( 0 ! 1)

) = 0 .


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Infine, in rari casi, alcuni hanno considerato tra i numeri naturali anche i

numeri negativi o i numeri decimali [dovevamo essere più precisi ed espliciti]:

• non c’è una risposta perché, siccome può essere un numero negativo, e i

numeri sono infiniti, non si può determinare che numero sia;

3 , 5 2

• ( (( 2,

5!

3)

) ) ).

Forse alcuni problemi sorti con questo quesito sono legati alla difficoltà

di ricordare e tenere sotto controllo tutte le richieste del testo (in neretto):

c d

(( AB ) ) è una potenza la cui base è un numero di due cifre (AB). Se le

quattro lettere A, B, c, d rappresentano quattro numeri naturali tutti diversi

tra loro e inferiori a 4, qual è il valore più piccolo, diverso da 1, che

la potenza può assumere?

3) Dato il quadrangolo non regolare indicato in figura determinare un triangolo

con la stessa area, disegnandolo sulla figura stessa.

Soluzione proposta. Ci sono quattro soluzioni ottenute attraverso triangoli

con la stessa base e la stessa altezza:

Soluzione degli studenti. Eravamo coscienti che questo quesito, al quale

avevamo attribuito il punteggio massimo, sarebbe stato il più difficile da risolvere.

È chiaro che tutti gli studenti sapevano che i triangoli con uguale

49


50

PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

base e altezza hanno la stessa area, ma trovare una applicazione di quanto si

conosce è difficile (una volta intuita, la soluzione porta a determinare un

triangolo con la stessa area di un qualsiasi poligono). Tant’è che nessuno ha

risolto correttamente il terzo quesito. Quattro studenti non hanno risposto.

Tutti gli altri hanno tentato di rispondere con costruzioni spesso maggiormente

affidate alla fantasia che non a un vero e proprio ragionamento, talvolta

rimanendo perfino spiazzati dalla mancanza di misure e arrivando a

proporne delle proprie.

4) Qual è la probabilità di ottenere somma 7 con tre dadi simmetrici?

15 5

Soluzione proposta. La probabilità cercata è = . Infatti, somma u-

216 72

guale a 7 si ottiene in questi 15 modi (casi favorevoli): 1,1,5; 1,5,1; 5,1,1;

1,2,4; 1,4,2; 2,1,4; 2,4,1; 4,1,2; 4,2,1; 1,3,3; 3,1,3; 3,3,1; 2,2,3; 2,3,2;

3,2,2. I casi possibili sono: 6" 6 " 6 = 216.

Soluzione degli studenti. In questo problema soltanto 11 studenti sono stati

in grado di rispondere correttamente; 10 candidati non hanno risposto. Con-

!

sola un poco il fatto che - a eccezione di soli due casi, che hanno risposto 4

l’uno e 20 l’altro - in quasi tutti i tentativi di soluzione la probabilità sia

stata considerata un numero positivo inferiore a 1 (espresso sottoforma di

frazione o addirittura in percentuale). Sono stati 32 gli studenti in grado di

riconoscere il numero dei casi possibili: 6 3 . Dieci candidati sembrano aver

confuso 6 3 con 6" 3, avendo risposto 18 invece che 216. L’individuazione

dei casi favorevoli (15) ha destato maggiori problemi; per esempio alcuni

studenti non hanno considerato l’ordine con cui i casi favorevoli potevano

presentarsi, raggruppando come un solo caso favorevole i casi distinti con-

!

tenuti in ciascuna delle righe seguenti:

1,1,5 1,5,1 5,1,1

1,2,4 1,4,2 2,1,4 2,4,1 4,1,2 4,2,1

1,3,3 3,1,3 3,3,1

2,2,3 2,3,2 3,2,2

Il loro calcolo ha così fornito una probabilità pari a

!

4

216 .


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5) Il proprietario di un giardino, che ha la forma di un triangolo rettangolo

isoscele il cui cateto misura 10 metri, intende costruire una serra di

forma rettangolare avente due lati consecutivi sui due cateti e un vertice

sull’ipotenusa. Egli vuole che i lati misurino un numero intero di metri e

che la sua area sia la massima possibile. Quali devono essere le dimensioni

della serra? Fornire una spiegazione della risposta data.

Soluzione proposta. Tra i rettangoli AC′B′A′ occorre trovare quello di area

maggiore rispettando i termini del problema.

I triangoli ABC e A′B′C e C′BB′ sono simili e quindi tutti rettangoli isosceli.

Indicata con x la lunghezza del segmento in metri di AA′, risulta

A′B′=A′C=10 – x. L’area S del rettangolo in metri quadri è: S = x(10 – x) =

=10x – x 2 . Poiché le misure dei lati della serra sono espresse da numeri interi,

i valori possibili della x e di S sono:

x = 1, S = 9; x = 2, S =16; x = 3, S = 21; x = 4, S = 24; x = 5, S = 25; x = 6,

S = 24; x = 7, S = 2; x = 8, S = 16; x = 9, S = 9. L’area è massima per x = 5,

quando la serra ha la forma di un quadrato di area 25 m 2 .

Soluzione degli studenti. Le soluzioni corrette sono state 13, mentre 17

candidati non hanno risposto. Non tutti hanno considerato il quadrato come

un particolare rettangolo e ben 30 studenti hanno affermato che l’area massima

è 24 m 2 , riferendosi a rettangoli con dimensioni 6 m e 4 m, rispondendo

ad esempio:

51


52

PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

Le dimensioni della serra devono essere 6 × 4 m, la cui area è di 24 m 2 ,

la più grande dopo quella del quadrato 5 × 5 m. Io non ho però scelto queste

misure perché il problema chiede una serra a base rettangolare e non

quadrangolare.

Tra tutte le risposte, le più originali e interessanti sono state due:

• La serra deve essere un quadrato di lato 5 metri. I rettangoli che potrebbero

rappresentare una serra, vincolati dall’ipotenusa del triangolo, sono isoperimetrici

e il quadrato è la figura che ha area massima tra tutti i rettangoli isoperimetrici.

• I lati dovranno essere di 5 m, in modo che l’area sia di 25

m 2 . Infatti la figura ricorda un’iperbole, che però riporta al

centro una curvatura per mantenere costante l’area, quindi

posizionando al centro dell’ipotenusa l’angolo A [il vertice]

si otterrà la massima estensione.

Entrambe le soluzioni, con qualche confusione, prevedono conoscenze

non comuni per il livello scolastico dei candidati. Il primo studente mostra

di essere a conoscenza del teorema dei rettangoli isoperimetrici: tra tutti i

rettangoli di uguale perimetro fissato, quello di area massima è il quadrato.

Si tratta di un teorema importante che può essere affrontato e dimostrato in

svariati modi elementari e che offre molte possibilità di collegamenti e applicazioni

per risolvere ulteriori esercizi e problemi, soprattutto di massimo

e minimo 2 . Il modo che sembra più veloce per dimostare il teorema nel nostro

caso è quello di considerare che spostandosi da una posizione generica

verso la posizione centrale (da A ad A′) si guadagna un rettangolo più grande

di quello che si perde.

-

A

+

2 Per esempio si può consultare: Foschi A., 2008, Sui problemi di massimo e minimo a

scuola: alcune considerazioni e proposte, Progetto Alice, II vol. VIII, n. 23, pp. 273 – 322.

A'

A


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Nel secondo caso, abbiamo avuto l’impressione che lo studente avesse

qualche conoscenza di geometria analitica e che abbia intutito una possibile

soluzione. Infatti, siano x e y i lati di un rettangolo iscritto nel nostro

triangolo rettangolo isoscele. Indichiamo con 10 ed n, rispettivamente, la

misura del semiperimetro in metri e l’area del rettangolo in metri quadri.

Consideriamo in un piano cartesiano il segmento per x ed y positivi sulla

retta di equazione x + y = 10, insieme con la famiglia di iperboli di equazione

xy = n, dove n varia fra gli interi. Il rettangolo che ci interessa deve

avere il vertice, già indicato con A, su tale segmento e su una delle iperboli.

Proprio per la curvatura delle iperboli “conviene” scegliere quella più distante

dall’origine, situata più a Nord-Est, relativa al valore più grande

dell’area n, che corrisponde all’iperbole tangente al centro del segmento

10

considerato, per x =y = , che dà come risultato un intero, come richiesto,

2

perché per fortuna 10 è pari.

6) Dato il segmento di misura 1cm, costruisci il segmento di misura 3 cm.

Due soluzioni proposte:

3

2

1

3

2

1

53


54

PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

Soluzione degli studenti. Le risposte corrette sono state 10 su 80: cinque hanno

fatto riferimento all’altezza di un triangolo equilatero di lato 2 cm (prima figura),

quattro si sono basati sulla costruzione dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo

di cateti rispettivamente di 1 cm e 2 cm, ricorrendo al lato e alla diagonale

di un quadrato (seconda figura) e uno ha indicato la costruzione della

diagonale di un cubo di lato 1 cm.

In 4 non hanno risposto; nelle rimanenti 66 risposte alcuni hanno proposto

come soluzione due segmenti indicandone

!

le lunghezze in 1 cm e 1.7 cm e

disegnandoli con il righello.

7) Tre amiche (A, B, C) vanno a cena fuori e, all’uscita dal ristorante, decidono

di prendere un taxi per tornare a casa. A scende dopo che il taxi ha

percorso 1/6 del tragitto totale, B dopo che ha percorso i 2/3, e C, naturalmente,

alla fine del tragitto. Il costo della corsa è di 18 euro e le tre

amiche decidono di pagare in modo proporzionale all’utilizzo del mezzo.

Quanto paga ciascuna delle amiche?

Soluzione proposta. A, B e C percorrono 1/6 del percorso totale, B e C percorrono

anche i (2/3 – 1/6) = 3/6 del percorso e soltanto C percorre quanto

rimane, che corrisponde ad 1/3 = 2/6 del percorso totale. Quindi considerando

che:

1 1 1 1 1

A: ! = ; B:

& 2 1 # 11 11 1 23

+ $ ' ! = ; C: + = ,

3 6 18 18 2 % 3 6 " 36 36 3 36

si conclude che A, B, C, pagano 1, 5.50 e 11.50 euro.

Soluzione degli studenti. Le risposte corrette sono state 9 su 80, 5 sono stati

i candidati che non hanno risposto. Abbiamo suddiviso le rimanenti 66 soluzioni

sbagliate, in 5 gruppi, in base alla frequenza delle risposte e al presumibile

ragionamento messo in atto:

• Gruppo I (5 studenti): A paga 3 €, B paga 12 €, C paga 18 €. Probabilmente

questi studenti hanno dedotto che il costo dell’intera corsa dovesse essere attribuito

singolarmente a ciascun passeggero: C rimane nel taxi per tutto il tra-

gitto e quindi paga il prezzo intero di 18 €; A percorre solo il primo sesto di

strada, insieme a B e C, e perciò paga

!

1

"18€; infine B percorre, insieme a

6


PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

& 2 1 3 #

C, anche i tre sesti successivi al primo $ = + ! e “perciò” paga 3 € per il

% 3 6 6 "

3

primo tratto più "18 € = 9 € per il secondo tratto.

6

Alcuni candidati forse hanno paragonato la situazione al caso in cui le tre

amiche fossero tornate a casa su tre taxi diversi; se fosse stato questo il caso il

1 2 6

loro calcolo ! risulterebbe corretto: "18 €, "18 €, "18 €.

6 3 6

Uno dei candidati, infine, ha avuto dubbi su come interpretare il testo e ha

fornito anche la risposta del gruppo II; lo abbiamo pertanto conteggiato per entrambi

i gruppi.

! ! !

• Gruppo II (3 studenti): A paga 3 €, B paga 10 €, C paga 5 €. L’idea che ci

siamo fatti del ragionamento per questa risposta è stata la seguente: il primo se-

1

sto di strada viene pagato da A al prezzo di "18 € = 3 €; al ché rimane un

6

tratto di corsa il cui costo viene calcolato con la differenza 18 € – 3 € = 15 €;

2

all’amica B, allora, toccherà pagare "15 € = 10 €; infine C paga il resto [che

!

3

ovviamente è troppo poco].

• Gruppo III (9 studenti): A paga 3 €, B paga 12 €, C paga 3 €. La risposta

di questo gruppo è forse semplice ! da giustificare:

1

2

A paga "18 € = 3 €, B paga "18 € = 12 € e C paga il resto [che ovvia-

6 3

mente, anche in questo caso, è troppo poco].

• Gruppo IV (20 studenti): A paga 3 €, B paga 9 €, C paga 6 €. A paga il

! primo sesto di strada, B ! i successivi tre sesti e C i rimanenti due sesti.

• Gruppo V (12 studenti): A paga 1,64 €, B paga 6,54 €, C paga 9,82 €.

Questo gruppo è stato il più difficile da interpretare. Ci sembra che l’idea di

tragitto totale abbia suggerito ai candidati di calcolare la somma dei singoli

1 4 6 11

tratti percorsi da A, B e C: + + = ; il percorso, per gli studenti di que-

6 6 6 6

sto gruppo, andava così suddiviso in 11 parti uguali e le tre amiche devono pa-

1 4 6

gare rispettivamente "18 €, "18 €, "18 € . Le rappresentazioni deci-

!

11 11 11

mali delle frazioni precedenti sono rispettivamente: 1.63, 6.54, 9.81 che pro-

!

!

!

!

!

!

55


56

PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

babilmente sono stati approssimati, in modo corretto, e in modo che la somma

dei valori ottenuti risultasse 18.

Non ci è parso significativo raggruppare e commentare le risposte errate con

frequenza minore o uguale a 2, fornite da un totale di 18 studenti.

8)

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

…………………………………….

La piramide rappresentata contiene la successione dei numeri dispari, a

partire da 1, disposti per righe. La somma dei numeri della riga numero

n è 729. Di quale riga si tratta? Fornire una spiegazione della risposta

data.

Soluzione proposta. Risposta: n = 9. Si osserva che la somma dei numeri

delle righe è data nell’ordine da: 1, 8, 27, 64… che sono i cubi dei numeri

naturali 1, 2, 3, 4, … che indicano la posizione delle righe. Poiché 729 = 9 3 ,

si può ipotizzare che tale numero sia la somma dei numeri della nona riga.

Si può verificare tale congettura completando la piramide fino alla riga 9 i

cui numeri hanno somma 729, oppure si può sommare soltanto i numeri della

riga 9, considerando che i primi numeri delle righe sono 1, 3, 7, 13, 21,

31, 43, 57 e 73 e che a partire da 73 la riga 9 contiene 9 numeri.

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

21 23 25 27 29

31 33 35 37 39 41

43 45 47 49 51 53 55

57 59 61 63 65 67 69 71

73 75 77 79 81 83 85 87 89

Soluzione degli studenti. Le soluzioni considerate corrette sono state 49,

mentre 18 sono stati i candidati che non hanno risposto. Tra le risposte esat-


PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

te abbiamo rilevato che 36 studenti si sono limitati a completare la piramide

fino alla nona riga; solo 12 si sono accorti che la somma dei numeri in ciascuna

riga corrisponde al cubo del numero di riga che è anche il numero di

elementi nella riga.

Interessante la soluzione di un candidato che evidenzia una regolarità che

abbiamo chiamato “per salti”:

Si tratta della 9 a riga, perché è la 3 a riga elevata alla seconda, 3 2 = 9, come 27

(che è la somma dei numeri della 3 a riga) elevato alla seconda dà 729, lo stesso

accade fra la 2 a e la 4 a riga.

Sembra che lo studente abbia ragionato in questo modo: la somma dei numeri

dispari sulla terza riga dà 27; il quadrato di 27 è 729; dunque la riga corrispondente

alla somma 729 deve essere 3 2 = 9. Per confermare la sua ipotesi ha

pensato fosse sufficiente controllare che la stessa regolarità si verificasse tra la

2 a e la 4 a riga: la somma dei numeri dispari della 2 a riga è 8 e la somma di quelli

della 4 a riga è 8 2 = 64.

9) Due fratelli, Luca e Andrea, ereditano un terreno che ha la forma del

rettangolo ABCD. Per dividere la proprietà piantano un paletto in un

punto P preso a caso all’interno al terreno, ma diverso dal punto

d’intersezione delle diagonali del rettangolo, e tracciano le linee PA, PB,

PC e PD. Luca prende il terreno costituito dai triangoli PAD e PBC e

Andrea quello formato dai triangoli PAB e PCD. L’eredità di Luca è

maggiore, uguale o minore di quella di Andrea? Fornire una spiegazione

della risposta data.

D

A

Soluzione proposta. Le eredità sono uguali. Si può dimostrare senza parole

(o quasi), osservando la figura che segue:

C

B

57


58

D

PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

P

A B

C

D

1

4

1

4

P

3

2

A B

Ogni erede, come mostra la figura, riceve una metà di ciascuno dei quattro

rettangoli in cui il terreno può essere diviso.

Per una soluzione con calcoli, indicati con PE, PF, PG, PH le altezze

dei 4 triangoli, l’area del terreno ereditato da Luca è data da:

1 1 1

1

S = AD ! PH + BC ! PF = AD ! ( PH + PF)

= AD ! AB

2 2 2

2

che è metà dell’area del rettangolo ABCD.

D E

C

P

H F

A G

B

Allo stesso modo è metà di quella del rettangolo l’area ereditata da Andrea.

Soluzione degli studenti. Coloro che hanno capito che le due aree sono uguali

sono stati 62; di questi solamente 11 hanno dato una giustificazione

corretta; tre studenti non hanno risposto. Si distinguono per correttezza e

pensiero creativo le due soluzioni seguenti, la prima delle quali coincide con

la prima dimostrazione da noi proposta (e preferita):

2

3

C


PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

10) Dimostrare che la superficie grigio A chiaro ha la stessa area di quella grigio

scuro, sapendo che A indica il centro del cerchio grande e che

l’angolo BAC è retto.

A

Soluzione proposta. I due cerchi, piccolo, c, e grande, C, hanno rispettivamente

raggi r e 2 r. Quindi: area C = 2 area c, e per l’area colorata in grigio

chiaro: area C/4 = 1/2 area c, che dunque è uguale all’area della parte

restante, colorata in grigio scuro.

Soluzione

!

degli studenti. Solamente due candidati hanno saputo rispondere

a questo problema proponendo una soluzione equivalente a quella proposta.

In 35 non hanno risposto. Insieme al numero 3) si è rivelato per loro un quesito

molto difficile; è risultato, però, di gran lunga superiore il numero di

coloro che non hanno tentato di affrontare il quesito numero 10) rispetto a

quello col numero 3).

11) A partire dal punto A su una colonna cilindrica, viene teso un filo che

fa un giro intorno alla colonna fino a raggiungere il punto B situato sulla

verticale che parte da A. Sapendo che la circonferenza di base del cilindro

ha lunghezza 120 cm e che la distanza fra A e B è 160 cm, determinare

la lunghezza del filo.

B

C

B

C

59


60

PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

B

A

Soluzione proposta.

“Aprendo” la superficie della colonna si vede che la lunghezza della corda

tesa è data dalla lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha

cateti di 120 cm e 160 cm e ipotenusa lunga 200 cm (3, 4, 5 è una terna

pitagorica). Dunque la risposta è 200 cm.

Soluzione degli studenti.

Hanno saputo rispondere a questo problema in 24; di questi, 5 hanno giustificato

il loro calcolo, sebbene non richiesto, così come da noi proposto. In

14 non hanno risposto.

Tra le risposte errate ne sono inoltre presenti:

• 3 con 120 cm (un giro attorno alla colonna da A a B è stato considerato

uguale a un giro attorno alla circonferenza di base);

• 14 hanno detto che il filo misura 280 cm: questo risultato è stato ottenuto

sommando la circonferenza di base del cilindro e la distanza AB.

• 8 con 180 cm (un giro attorno alla colonna da A a B è stato considerato

uguale a 3 metà della circonferenza di base);

• 5 con 240 cm (un giro attorno alla colonna da A a B è stato considerato

uguale a 4 metà della circonferenza di base).

12) Su uno scaffale ci sono in tutto 71 libri tra libri gialli e libri d’avventura.

Alcuni (sia dei libri gialli che dei libri d’avventura) sono nuovi e altri

sono vecchi. I libri d’avventura sono in tutto 50 e i libri nuovi sono in

tutto 55. C’è solo un libro giallo vecchio. Quanti sono i gialli nuovi?

Soluzione proposta.

Libri gialli: 71 – 50 = 21. C’è un solo libro giallo vecchio, perciò i gialli

nuovi sono 21 – 1 = 20. Per questa soluzione il dato sui libri nuovi è del

tutto irrilevante.


PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

Soluzione degli studenti.

L’obiettivo di questo esercizio era di dare a tutti la possibilità di risolvere

correttamente almeno un problema. Hanno risposto correttamente 76 candidati;

3 studenti hanno fornito una risposta sbagliata; un solo candidato non

ha risposto. Quasi tutte le soluzioni si sono basate sulla strategia da noi proposta.

Quella che segue è stata l’unica che sfrutta il linguaggio degli insiemi:

8. Conclusioni e considerazioni didattiche generali

Alcuni dei quesiti che abbiamo analizzato sono stati presentati a studenti

universitari di matematica e non poche delle loro risposte sono risultate sbagliate.

Considerando anche che nella scuola media l’unica dimostrazione, se

pure viene fatta, è relativa al Teorema di Pitagora, si deve concludere che la

maggioranza degli studenti che hanno partecipato alla Maratona di Matematica

hanno dimostrato una notevole capacità di risolvere i problemi proposti, particolarmente

differenti da quelli sottoposti frequentemente nella scuola.

Gli studenti che si sono classificati nelle prime posizioni, tenendo presente

la loro età hanno dimostrato delle doti veramente eccezionali di creatività ed

originalità.

Un discorso generale risulta particolarmente complesso, ma forse potrebbe

essere utile una preparazione in grado di lasciare qualche spazio a varie strategie,

metodi e algoritmi basilari risolutivi. Stesso discorso per un buon livello di

comprensione di un testo ed una attenta capacità d’individuazione e di controllo

dei dati e dei risultati.

Potrebbe essere anche opportuno proporre problemi che presentino dati insufficienti

o sovrabbondanti; oppure che ammettano più soluzioni, o anche nessuna,

avvertendoli di queste possibilità, e che soprattutto spingano a riflettere

sulle conclusioni trovate.

In molti casi gli studenti che non hanno dato soluzioni corrette si sono fidati

dei passaggi e dei calcoli effettuati senza rendersi conto di aver proposto soluzioni

assurde come quelle che non hanno previsto un maggiore pagamento per

61


62

PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

coloro che in taxi hanno percorso un tragitto più lungo.

L’esito del quesito 3), confrontato anche con quello del quesito 6), può far

pensare all’opportunità dell’uso di alcuni software di geometria dinamica e, in

generale, ad un maggiore rapporto di collaborazione fra l’insegnante di disegno

e quello di matematica.

9. Appendice

Tabella dei risultati

Grafici delle percentuali delle risposte


PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

Bibliografia

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Kanizsa G., Legrenzi P., Sonino M., 1983, Percezione linguaggio pensiero,

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Wertheimer M., 1965, Il pensiero produttivo, Giunti-Barbera.

www.icfanelli.it (cercare anche Maratona di Matematica con Google)

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PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28 M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi

Dopo-scuola

Italiano: teatro

Inglese: conversazione

Ed. fisica: palla a volo

Informatica: costruiamo un

ipertesto


Matematica: -- ----

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Mario Barra, Alessandro Foschi, Luigi Regoliosi

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