La risposta potrebbe influenzare i limiti della conoscenza - Kataweb

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oltre i LIMITI chi siamo John Pavlus è scrittore e autore cinematografico che si occupa principalmente di scienza, tecnologia e design. I suoi lavori sono stati pubblicati su «Wired», «Nature», «Technology Review» e altre testate. in breve Il problema «P contro NP» si chiede se problemi impegnativi, ma le cui soluzioni possono essere velocemente verificate (come per esempio i puzzle) siano anche, in sintesi, facilmente risolvibili. Nonostante decenni di studi, nessuno è stato in grado di provare che le due categorie siano differenti. Se non lo fossero, le macchine potrebbero acquistare un enorme potere. Il problema non riguarda solo chi tenta di decifrare codici, o i motori di ricerca sul Web. Suggerisce infatti un limite fondamentale per l’evoluzione biologica, le leggi fisiche e la natura della conoscenza. che cosa faremo dove andiamo trasformato la matematica per sempre. Si poteva costruire una macchina per produrre a richiesta simili intuizioni in grado di cambiare il mondo? Gödel aveva spedito la lettera da qualche settimana quando von Neumann si fece visitare al Walter Reed Army Medical Center di Washington, dove morì in meno di un anno, senza aver mai risposto all’interrogativo del suo amico. Ma il problema sarebbe sopravvissuto a entrambi. Oggi conosciuta come «P contro NP», la domanda di Gödel finì per diventare un principio organizzatore dell’informatica moderna. Ha fatto nascere un’intera nuova area di ricerca, chiamata teoria della complessità computazionale: una fusione di matematica, scienza e ingegneria che cerca di provare, con assoluta certezza, che cosa i computer possano e non possano fare in condizioni realistiche. Ma P contro NP riguarda molto di più che quegli aggeggi di plastica e silicio che chiamiamo computer. Il problema ha implicazioni pratiche per fisica e biologia molecolare, crittografia, sicurezza nazionale, evoluzione, limiti della matematica e forse addirittura per la natura della realtà. In teo ria, questa singola questione fissa i limiti di quello che saremo in grado di calcolare. E nel XXI secolo i limiti del calcolo somigliano sempre di più ai limiti stessi della conoscenza umana. La scommessa Michael Sipser era solo un laureando, ma sapeva che presto qualcuno avrebbe risolto il problema P contro NP. Addirittura pensava che poteva essere proprio lui a farlo. Era l’autunno del 1975, e stava discutendo il problema con Leonard Adleman, compagno di corso al Dipartimento informatico dell’Università della California a Berkeley. «Mi ero fissato con il problema P contro NP, in qualche modo mi sentivo in grado di capirlo seguendo una strada che andava oltre quella che gli altri stavano seguendo», dice Sipser, che attualmente dirige il Dipartimento di matematica del Massachusetts Institute of Technology. Era così sicuro di se stesso da fare una scommessa con Adleman: P contro NP sarebbe stato risolto entro la fine del XX secolo, se non prima. La posta: un’oncia (circa 30 grammi) di oro puro. La scommessa di Sipser aveva un che di poetico, perché P contro NP è di per sé un problema che riguarda la velocità con cui possono essere risolti altri problemi. A volte seguire una lista di passi da compie- re ci porta al risultato finale in un tempo relativamente breve. Pensiamo alla nota della spesa: si spuntano via via gli alimenti acquistati, fino a quando si raggiunge la fine della lista. I teorici della complessità etichettano questi problemi come P, che sta per «tempo polinomiale», che è poi un modo matematicamente esatto di dire che non importa quanto lunga la lista della spesa diventi, il tempo che ci vorrà a spuntare tutti gli alimenti non crescerà mai a un tasso ingestibile. Al contrario, molti più problemi potrebbero o non potrebbero essere pratici da risolvere semplicemente spuntando oggetti da una lista, ma il controllo della soluzione è comunque facile. Un puzzle è un buon esempio: anche se richiede un bel po’ di fatica per essere messo insieme, è sempre facile capire se sia risolto o meno, basta guardarlo. I teorici della complessità chiamano questi problemi facilmente controllabili, «tipo puzzle», problemi NP. Quattro anni prima della scommessa di Sipser con Adleman, il matematico Stephen Cook aveva dimostrato che questi due tipi di problemi sono collegati: ogni problema P, facilmente risolvibile, è anche un problema NP, facilmente controllabile. La questione P contro NP che era emersa dall’intuizione di Cook, e che da allora è rimasta in sospeso, si chiede se vale anche il contrario: tutti i problemi facilmente controllabili, sono anche facilmente risolvibili? Intuitivamente, la risposta sembra negativa. Riconoscere un puzzle risolto («Ehi, ce l’hai fatta!») non è proprio la stessa cosa che fare tutto il lavoro per trovarne la soluzione. In altre parole, P non sembra uguale a NP. Sipser era affascinato dal fatto che nessuno era stato in grado di dimostrare dal punto di vista matematico quell’osservazione apparentemente ovvia. E senza una prova rimaneva la possibilità, per quanto improbabile o strana, che tutti i problemi NP potessero in realtà essere problemi P sotto mentite spoglie. P e NP potrebbero essere uguali, e dato che i computer possono risolvere velocemente qualsiasi problema in P, P uguale a NP implica che la capacità dei computer di risolvere problemi è enormemente più grande di quanto avessimo immaginato. Sarebbero esattamente quello che Gödel descriveva nella sua lettera a von Neumann: oracoli meccanici che potrebbero rispondere con efficienza più o meno a ogni domanda posta loro, ammesso che si possano programmare per verificarne la soluzione. 64 Le Scienze 531 novembre 2012 Sipser sapeva che questo risultato era estremamente improbabile. Eppure dimostrare il caso opposto molto più probabile, cioè che P non è uguale a NP, sarebbe stato ugualmente rivoluzionario. Come i teoremi di incompletezza di Gödel, che avevano rivelato che la matematica deve contenere proposizioni vere ma non dimostrabili, una prova che mostra che P non è uguale a NP esporrebbe una verità obiettiva che riguarda i limiti della conoscenza. Risolvere un puzzle e riconoscerne uno che è già risolto sono due cose Universo compUtazionale Le basi temporali della complessità Quanto tempo è necessario per risolvere un problema? Questa è la domanda che si pongono i ricercatori quando classificano i problemi in classi computazionali. Come esempio si consideri un semplice compito di suddivisione: si ordini una lista di numeri casuali dal più piccolo al più grande. Con la crescita della lista, il tempo necessario per ordinarla aumenta a una velocità gestibile, forse come il quadrato delle dimensioni della lista. Questa proprietà colloca il problema nella classe «P», perché può essere risolto in un tempo polinomiale. Problemi molto più ostici, come il cosiddetto «problema del commesso viaggiatore» (si veda il box a p. 66), richiedono esponenzialemente più tempo per essere risolti mentre crescono di complessità. Questi problemi «NP-completi» diventano rapidamente tanto difficili da gestire che non potrebbero essere risolti nemmeno da miliardi di processori che lavorassero per miliardi di anni. che tipo di problema è? Più difficili da risolvere np Questi problemi hanno una qualità essenziale: se si propone una risposta a un qualsiasi problema NP, si può rapidamente verificare se la risposta sia vera o falsa. np-completi Questo sottoinsieme di problemi NP «difficili-da-risolvere» funziona come un passepartout: ogni problema NP può essere tradotto in un problema NP-completo. Così, se qualcuno dovesse trovare una soluzione veloce per un problema NP-completo, sarebbe in grado di risolvere velocemente tutti i problemi NP. P sarebbe uguale a NP. p Questi problemi possono essere facilmente risolti. Si noti che tutti i problemi facilmente risolvibili sono anche velocemente verificabili, così tutti i problemi P sono anche NP. Il contrario quasi certamente non è vero. fondamentalmente diverse, e non ci sono scorciatoie per arrivare alla conoscenza, non importa quanto potenti i nostri computer diventeranno. Dimostrare una negazione è sempre difficile, ma Gödel ce l’aveva fatta. Così a Sipser, quando nel 1975 aveva scommesso con Adleman, 25 anni sembravano un tempo più che sufficiente per portare a termine il lavoro. Se non avesse potuto provare che P non è uguale a NP, ci sarebbe riuscito qualcun altro. E comunque sarebbe diventato più ricco di un’oncia d’oro. Complicazione in rapida crescita Adleman condivideva l’interesse di Sipser, ma non la sua fiducia, a causa di una criptica prova matematica. Il lavoro di Cook che stabiliva che i problemi P sono tutti NP dimostrava anche l’esistenza di uno speciale tipo di problemi facilmente controllabili, chiamati NP-completi. Questi problemi si comportano come un mazzo di chiavi magiche: se si trovasse un algoritmo veloce per risolverne uno, quell’algoritmo sbloccherebbe la soluzione di ogni altro problema NP, provando che P è uguale a NP. C’è solo un piccolo inconveniente da risolvere: i problemi NP-completi sono tra i più difficili che chiunque in campo informatico abbia mai visto. E, una volta scoperti, sono cominciati ad apparire ovunque. Subito dopo la pubblicazione della ricerca di Cook, uno dei mentori di Adleman a Berkeley, Richard M. Karp, pubblicò uno studio fondamentale che dimostrava che 21 classici problemi computazionali erano tutti NP-completi. Presto ne seguirono altre decine, poi centinaia. «Fu come aver tolto il dito dalla fessura di una diga», dice Adleman. Programmare voli aerei, sistemare scatoloni in un camion, risolvere schemi di Sudoku, progettare un chip per computer, assegnare i posti a sedere a un pranzo di matrimonio, giocare a Tetris e migliaia di altri problemi pratici del mondo reale si sono dimostrati NP-completi. Come può questa intrigante chiave per risolvere P contro NP sembrare allo stesso tempo così comune e così irrisolvibile? «È il motivo per cui mi sono interessato allo studio del problema P contro NP», confessa Adleman, che attualmente è professore alla University of Southern California a Los Angeles. «Potere e ampiezza di queste questioni computazionali sembravano decisamente meravigliosi. Ma sicuramente non le capivamo, e sembrava anche che non saremmo arrivati a capirle molto presto» (Il pessimismo di Adleman riguardo a P contro NP ha condotto a un’invenzione che ha cambiato il mondo: qualche anno dopo aver fatto la scommessa, Adleman e i suo colleghi Ronald Rivest e Adi Shamir hanno sfruttato l’apparente incommensurabilità di P contro NP per creare il loro eponimo algoritmo crittografico RSA, che ancora oggi è usato diffusamente per banche on line, telecomunicazioni e applicazioni di sicurezza nazionale). I problemi NP completi sono difficili perché si complicano in modo rapido. Im- www.lescienze.it Le Scienze 65
oltre i LIMITI chi siamo maginiamo di essere un turista squattrinato che sta pianificando un viaggio attraverso un certo numero di città in Europa, e che cerca un percorso che gli faccia attraversare ogni città minimizzando la distanza totale che deve percorrere. Come trovare la strada migliore? Il metodo più semplice è provare ogni possibilità. Con cinque città da visitare si devono controllare solo 12 possibili itinerari. Con dieci città i percorsi possibili crescono come funghi, e arrivano a 180.000. Con 60 città il numero di itinerari supera il numero di atomi nell’universo conosciuto. Questo incubo computazionale è conosciuto come il problema del commesso viaggiatore, e nonostante ottant’anni di intensi studi nessuno ha mai trovato un metodo generale per risolverlo che funzioni meglio del provare ogni possibilità, una alla volta. Questa è l’essenza perversa della NPcompletezza, e di P contro NP: non solo tutti i problemi NP-completi sono egualmente impossibili da risolvere con l’eccezione dei casi più semplici, anche se il vostro computer ha più memoria di Dio e l’intera vita dell’universo per provarci, sembrano saltare fuori ovunque. In effetti, questi problemi NP-completi, non solo frustrano gli informatici, ma addirittura sembrano mettere limiti alle capacità della natura stessa. Il codice della natura Il pionieristico programmatore olandese Eds ger Dijkstra aveva capito che i problemi computazionali hanno implicazioni che vanno oltre la matematica. Una volta sottolineò che «l’informatica riguarda solo i computer quanto l’astronomia riguarda solo i telescopi». In altre parole, il calcolo è un comportamento esibito da molti sistemi, al di là da quelli creati da Google e Intel. In effetti si può dire che ogni sistema che trasformi input in output seguendo un insieme finito di regole, compresi quelli normalmente studiati da biologi e fisici, stia calcolando. Nel 1994 il matematico Peter Shor aveva dimostrato che particelle subatomiche, disposte secondo una configurazione ingegnosa, potrebbero decifrare i moderni codici crittografici. Nel 2002 Adleman ha usato frammenti di DNA per scoprire la soluzione ottimale di una versione del problema del commesso viaggiatore. E nel 2005 Scott Aaronson, esperto in calcolo quantistico che lavora oggi al Computer Science and Artifi cial Intelligence Laboratory del Massachusetts Institute of che cosa faremo Il venditore svedese Se avete grandi ambizioni riguardo a un vostro viaggio in Svezia, considerate la possibilità di visitarla tutta, ma proprio tutta. Alcuni ricercatori hanno provato che l’itinerario rappresentato qui accanto è il più breve possibile fra quelli che attraversano tutte le 24.978 città e villaggi svedesi. Gli scienziati non si aspettano che qualcuno faccia veramente questo viaggio, ma le tecniche di ricerca che hanno sviluppato per risolvere il problema saranno di aiuto in altre situazioni in cui serve trovare, per esempio, il percorso ottimale in un contesto complicato, nella progettazione dei microchip o nel sequenziamento del genoma. dove andiamo Technology, per calcolare con efficienza la soluzione ottimale a un problema conosciuto come «albero di Steiner», fra le tante cose che avrebbe potuto scegliere, ha usato bolle di sapone. Questi sono proprio il tipo di problemi NP che potrebbero ingolfare i circuiti di un computer che provasse a risolverli. Questi sistemi naturali sanno qualcosa su P contro NP, che i computer non sanno? applicazioni Percorso ottimale (linea) Centri abitati (punti) «Certamente no», risponde Aaronson. Il suo esperimento con le bolle di sapone era in realtà una dimostrazione per assurdo dell’affermazione secondo cui semplici sistemi fisici possono in qualche modo trascendere le differenze fra P e NP. Sebbene le bolle di sapone «calcolino» le soluzioni perfette in pochi casi per l’albero di Steiner minimo, smettono di funzionare rapidamente con il crescere delle dimensioni del 66 Le Scienze 531 novembre 2012 David Applegate, AT&T Labs; Robert Bixby, Rice University; Vasek Chvatal, Concordia University; William J. Cook, Georgia Institute of Technology problema, proprio come farebbe un computer. L’esperimento con il DNA effettuato da Adleman ha sbattuto contro lo stesso muro. L’algoritmo quantistico di Shor funziona in tutti i casi, ma quasi certamente il problema fattoriale che risolve non è NPcompleto. Quindi quell’algoritmo non ci fornisce la chiave per risolvere ogni altro problema NP. Biologia, fisica classica e sistemi quantistici, tutti sembrano sostenere l’idea secondo cui non ci sono scorciatoie per risolvere i problemi NP-completi. E questo sarebbe vero solo se P non è uguale a NP. «Certo, non possiamo provarlo con assoluta certezza», dice Aaronson. «Ma se fossimo fisici invece che teorici della complessità, “P non è uguale a NP” sarebbe stato dichiarato legge di natura già da tempo, proprio come il fatto che niente possa superare la velocità della luce». In effetti alcune teorie fisiche riguardo alla natura fondamentale dell’universo, come il principio olografico suggerito dal lavoro di Stephen Hawking sui buchi neri, implicano che il tessuto della realtà stessa non sia continuo, ma discreto, composto di tasselli simili a pixel, proprio come i bit di un computer (si veda Lo spazio è digitale?, di Michael Moyer, in «Le Scienze» n. 524, aprile 2012). Quindi l’apparente intrattabilità dei problemi NP, e la limitazione della conoscenza che questa intrattabilità implica, potrebbe essere parte dell’universo al livello più fondamentale. Cervelli meccanici Ma se l’universo stesso è soggetto ai limiti computazionali imposti da P contro NP, come è possibile che i problemi NPcompleti sembrano sempre risolvibili, addirittura nei casi in cui trovare le soluzioni dovrebbe richiedere migliaia di miliardi di anni o più? Per esempio, mentre un feto umano è in gestazione nell’utero il suo cervello completa i collegamenti necessari alla sopravvivenza partendo da miliardi di singoli neuroni. Aver trovato la migliore rete di collegamenti possibile fra tutte queste cellule è un problema NP-completo che l’evoluzione sembra aver risolto. «Quando un neurone si allunga da un punto per collegarsi a un insieme di altri punti sinaptici, risolve sostanzialmente un problema di ottimizzazione di un grafo, che è un NPdifficile», spiega il neurobiologo evolutivo Mark Changizi. Eppure il cervello in realtà non risolve il problema, trova un’approssimazione molto vicina alla soluzione. (In pratica la disposizione dei neuroni ricade entro il tre per cento di quella ottimale.) Il verme Cae norhabditis elegans ha solo 302 neuroni, tuttavia non ha un diagramma di connessioni neurali perfettamente ottimizzato, nonostante miliardi di miliardi di generazioni siano state spinte dalla selezione naturale ad agire sul problema. «L’evoluzione è limitata da P contro NP», afferma Changizi. «Però funziona ugualmente, perché non sempre la vita richiede la perfezione per funzionare bene». A quanto pare non ne hanno bisogno nemmeno i computer. Il fatto che i computer di oggi possano fare anche solo qualcosa di utile – e per molto meno raggiungere le meravigliose prestazioni che diamo per scontate nelle nostre consolle per videogiochi o nei nostri smartphone – è la prova che i problemi in P includono un gran numero delle nostre necessità computazionali. Per il resto, un imperfetto algoritmo di approssimazione è spesso più che sufficiente allo scopo. In effetti questi algoritmi «più che sufficienti» possono risolvere problemi di ricerca e di confronto fra strutture immensamente complessi, molti dei quali sono tecnicamente NP-completi. Queste soluzioni non sono sempre matematicamente ottimali per tutti i casi, ma questo non significa che non siano utili. Prendiamo Google, per esempio. Secondo molti ricercatori della complessità, i problemi NP sono essenzialmente problemi di ricerca. Ma secondo il direttore della ricerca di Google, Peter Norvig, l’azienda fa ogni sforzo per evitare di doversi trovare ad affrontare problemi NP. «Per i nostri utenti la velocità conta più della perfezione», spiega. E in effetti i ricercatori di Google ottimizzano i loro algoritmi per una categoria computazionale addirittura più veloce di quella richiesta dai problemi P (a cui ci si riferisce come «tempo lineare»), in modo che i risultati di ricerca appaiano quasi istantaneamente. E se si incontra un problema che non può essere risolto in questo modo? «O lo formuliamo in modo da renderlo più semplice, o non ce ne preoccupiamo», dice Norvig. Questa è l’eredità, e l’ironia, del problema P contro NP. Scrivendo a Von Neumann nel 1956 Gödel pensava che il problema contenesse la promessa di un futuro pieno di macchine dal ragionamento infallibile, in grado di ripetere «il lavoro mentale di un matematico», che producessero insomma grandi verità fondamentali premendo semplicemente un bottone. Invece decenni di studio di P contro NP hanno contribuito a creare un mondo in cui abbiamo esteso la capacità di risolvere problemi delle nostre macchine, ma proprio accettandone i limiti. L’approssimazione della vita, non la perfezione della meccanica, è ciò che le automobili autonome di Google usano per poter guidare da sole nelle affollate autostrade di Los Angeles, o che il computer Watson di IBM ha sfruttato per indovinare le risposte che lo hanno portato a vincere a Jeopardy, un famoso quiz televisivo di cultura generale trasmesso negli Stati Uniti. Corsa all’oro Il 2000 è arrivato ed è passato, e Sipser ha spedito ad Adleman l’oncia d’oro. «Forse voleva che la spedissi in un cubo di poliestere trasparente, in modo da poterla esporre come un trofeo sulla sua scrivania o da qualche altra parte», dice Sipser. «Ma non l’ho fatto». Lo stesso anno il Clay Mathematics In stitute di Cambridge, in Massachusetts, ha offerto una nuova taglia a chi risolverà il problema P contro NP: un milione di dollari. Il premio ha aumentato l’attenzione sul problema, come sperato, ma ha anche attirato dilettanti e svitati: attualmente Sipser, come molti altri importanti teorici della complessità, riceve regolarmente e-mail non richieste in cui perfetti sconosciuti gli chiedono un parere su certi loro inediti tentativi di dimostrare che P non è uguale a NP, o, peggio ancora, di dimostrare l’opposto. Sebbene P contro NP rimanga irrisolto, molti ricercatori della complessità ritengono che prima o poi se ne verrà a capo. «Non mi sono mai veramente arreso», confida Sipser. E aggiunge che ogni tanto tira fuori carta e matita e torna a lavorarci. Quasi per svago, come un cane che si accanisce sull’osso preferito. P contro NP, in fondo, è un problema NP: la sola via per risolverlo è continuare a provarci. La risposta potrebbe non arrivare mai. Tuttavia, nel caso in cui dovesse arrivare la riconosceremo, quando la vedremo. n per approfondire I limiti del computer quantistico. Aaronson S., in «Le Scienze» n. 477, maggio 2008 . I limiti della ragione. Chai tin G., in «Le Scienze» n. 453, maggio 2006. The History and Status of the P versus NP Question. Sipser M., in «Proceedings of the Twenty-Fourth Annual ACM Symposium on Theory of Computing», pp. 603- 618, 1992. The Efficiency of Algorithms. Lewis H.R. e Papadimitriou H.C., in «Scientific American», Vol. 238, n. 1, pp. 96-109, gennaio 1978. www.lescienze.it Le Scienze 67
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