5. Algoritmi di Ricerca Locale e Metaeuristici

parison of local search methods 

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Tabu search 

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5. Algoritmi di Ricerca Locale e Metaeuristici 1 

Metaeuristici 

Diverse tipologie di tecnoche metaeuristiche sono state presentate 

in letteratura, fra le quali: 

– Simulated Annealing [Kirkpatrik, Gelatt e Vecchi 1983] 

– Tabu Search [Glover, 1986] 

– Algoritmi Genetici [Rechenberg 1973, Holland 1975] 

– Variable Neighborhood Search [Mladenović, Labbé e Hansen 

1990s] 

– Ant Colony Optimization − ACO [Colorni, Dorigo e Maniezzo 

1992] 

– Scatter Search [Glover 1965] 

– Path Relinking [Glover 1965] 

– Greedy Randomized Adaptive Search Procedure − GRASP [Feo 

e Resende 1989] 

– Guided Local Search − GLS [Voudouris and Tsang 1990s] 

– Artificial Neural Networks [Hopfield e Tank 1985, Mc Culloch 

and Pitts 1922] 

– Memetic Algorithms [Moscato 1989] 

– . . . 

Molte metaeuristiche si basano su ripetute chiamate a metodi di 

ricerca locale 

Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione


Ricerca locale 

Neighborhood (Vicinato, Intorno): 

– Per ogni soluzione x ∈ X, si definisce N(x) ⊂ X, insieme di 

soluzioni vicine ad x 

Algoritmo di Ricerca Locale 

Comm: Versione per maxf(x); 

Step 1. Genera una soluzione iniziale x ∈ X; 

Step 2. Trova x ′ ∈ N( x) tale che f(x ′ ) > f(˜x), se esiste, 

altrimenti poni x ′ = ∅; 

(alternativa: trova x ′ = arg max{f(x) : x ∈ N( x)}); 

Step 3. If x ′ = ∅ then x = x ′ , goto Step 2; 

Step 4. Restituisci x. 

L’aggiornamento della soluzione (Step 3) è detto mossa da x a x ′ 

L’algoritmo può facilmente terminare in un ottimo locale (f(x ∗ ) ≤ 

f(x), ∀x ∈ N(x ∗ ) per problemi di minimo; f(x ∗ ) ≥ f(x), ∀x ∈ 

N(x ∗ ) per problemi di massimo) ma non globale 



Multi Start 

Un algoritmo di ricerca può essere migliorato facilmente applicandolo 

e diverse soluzioni iniziali 

Costruzione soluzioni: 

– In modo casuale 

– In modo guidato 

Non si è sicuri di coprire tutto lo spazio delle soluzioni 

In figura nessuna soluzione cade nel bacino di attrazione del “picco 

più alto” (ottimo globale) 

Per alcuni problemi il “picco più alto” è molto stretto oppure esistono 

numerosissimi picchi 



Esempi di neighborhood: TSP 

Travelling Salesman Problem: dato un grafo pesato, trovare il circuito 

Hamiltoniano di costo minimo. Supponiamo la matrice dei 

pesi (costi) sia simmetrica. 

Costruzione di una soluzione iniziale: 

– Euristico costruttivo 

Miglioramento della soluzione iniziale tramire ricerca locale 

2-opt: 

i 

j 

l k l k 

Si scelgono due lati/archi (in tutti i modi possibili), li si elimina e si 

richiude il circuito 

i 

Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione 

j


3-opt: 

i 

j 

1 1 

l k 

m 

n 

Si scelgono tre lati/archi (in tutti i modi possibili), li si elimina e poi 

si richiude il circuito 

Or-opt: 

j 

i 

p 

m 

n 

a 

b 

Si sceglie una sequenza di al massimo tre vertici, si prova ad inserirla 

in altre posizioni nella route, e poi si chiude il circuito 

j 

i 

i 


j 

l 

p 

m 

n 

k 

m 

n 

a 

b


Esempi di neighborhood: Scheduling 

1|rj|C max: dato un insieme di Job Jj di durata pj e tempo di 

rilascio rj ed un processore, assegnare i job al processore in ordine, 

in modo da minimizzare il makespan 

Inserzione (Insert move) 

J 1 J 2 J 3 J 4 J 5 

r1 3 r 2 r 4 r 5 r 

J 1 J 3 J 2 J 4 J 5 

r1 3 r 2 r 4 r 5 r 

Prova a spostare ogni task in tutte le possibili posizioni 

Scambio (Swap move) 

J 1 

r1 3 r 2 r 4 r 5 r 

J3 J2 J1 J4 J5 r1 3 r 2 r 4 r 5 r 

J 2 

J 3 J 4 J 5 

Prova a scambiare tra loro ogni coppia di job 



Dimensione dei neighborhood 

2-Opt: per ogni lato devo tentare tutti i rimanenti n − 1 lati: 

n × (n − 1) = O(n 2 ) mosse 

3-Opt: per ogni lato devo tentare tutti i rimanenti n − 1 lati, e per 

ciascuno di questi tutti i rimanenti n − 2 lati: 

n × (n − 1) × (n − 2) = O(n 3 ) mosse 

Per un grafo di 100 nodi (piccolo) ogni esplorazione dell’intorno 3- 

Opt richiede ≃ 1.000.000 di tentativi 

Occorre implementare in maniera efficace l’esame dell’intorno 

Più il neighborhood è grande più è approfondita la ricerca e più aumenta 

il tempo di calcolo 

k-opt: generalizzazione di 2-opt e 3-opt: 

– Se poniamo k = n l’intorno contiene tutti i possibili Circuiti 

Hamiltoniani (n!) 

– Equivale ad esplorare tutte le soluzioni 

Nel trade-off tra accuratezza e tempo di calcolo risulta molto importante 

scegliere correttamente la dimensione dell’intorno 



Trade-off tra accuratezza e tempo di calcolo 

Diversificazione: 

– Esplorare regioni diverse tra loro 

– Ad esempio spendere tempo nell’approccio multi-start per provare 

molti punti di partenza 

Intensificazione: 

– Esplorare a fondo un unica regione 

– Ad esempio utilizzare 3-opt invece di 2-opt 

La scelta tra una e l’altra dipende dalle performance dell’algoritmo 

per il particolare problema affrontato: 

– Non esiste una regola di decisione 

– Lunghe fasi implementative per il settaggio dei parametri 

Scelta della mossa: 

– First improvement: appena trovo uno scambio che migliora la 

soluzione lo effettuo 

– Best improvement: considero tutti i possibili scambi ed effettuo 

quello che porta al massimo miglioramento (se esiste) 

Anche in questo caso la scelta dipende dalla performance dell’algoritmo 



Equicut 

Dato un grafo G = (V, E) con |V | pari, pesato sui lati (a, b) con 

pesi w(a, b), si trovi la partizione (A, B) dei vertici tale per cui: 

−) |A| = |B| 

−) w(δ(A)) = 

i∈A,j∈B 

w(i, j) è minima 

Esempio utile perchè affrontato in letteratura con svariati algoritmi 

costruttivi, di ricerca locale e metaeuristici 



Problema di base che appare in numerose applicazioni più complesse 

Very Large Scale Integration (VLSI) 

Facility Lay Out Optimization 



Generate-sol: 

Algoritmo costruttivo per Equicut 

Comment: n := |V |; 

Seleziona due “semi” (vertici) e assegnali uno ad A e uno a B; 

for (i := 1 to n/2 − 1) do 

Seleziona la coppia di vertici a e b non ancora selezionati 

che, qualora aggiunti rispettivamente ad A e B, minimizzino 

l’incremento della funzione obiettivo; 

Assegna a ad A e b a B; 

end for 

Alcune definizioni: 

Ea = 

j∈B 

Ia = 

j∈A 

w(a, j) = somma costi esterni 

w(a, j) = somma costi interni 

Da = Ea − Ia = variazione se a si sposta da A a B 

Analogamente per Eb, Ib e Db 

I 

a 

a 

E 

a 



Algoritmo 1: 

Ricerca locale per Equicut 

1. Parti da una soluzione euristica; 

2. Per ogni coppia di vertici a ∈ A e b ∈ B valuta: 

guadagno(a, b) = Da + Db − 2w(a, b); 

3. Tra tutte le coppie aventi guadagno positivo (se ve ne sono) 

scegli quella che da guadagno massimo; 

4. Reitera fino a quando non esistono più guadagni positivi. 

Algoritmo Kernighan e Lin (KL): 

1. Indiviuda i vertici a(1) ∈ A e b(1) ∈ B tali che il guadagno 

g(1) = D a(1) + D b(1) − 2w(a(1), b(1)) sia massimo; 

2. Scambia a(1) e b(1) e aggiorna Ei, Ii, Di, ∀i; 

3. Fissa a(1) e b(1) impedendo ulteriori spostamenti; 

4. Individua una seconda coppia di vertici a(2) e b(2) diversi dai 

precedenti che massimizzi g(2), scambiabili e fissali; 

5. Reitera il punto 4 fino a quando non ci sono più vertici scambiali 

(ovvero per n/2 − 1 volte); 

6. Individua il valore k che massimizza G = k 

i=1 

g(i); 

7. Se G > 0, allora scambia i vertici a(1), . . .,a(k) e b(1), . . .,b(k) 

nel grafo originale e torna al passo 1. Se invece G ≤ 0 termina 

la procedura. 



Esempio di Applicazione dell’Algoritmo KL 

1 

1 2 3 4 5 6 7 8 

E() 3 4 0 1 3 3 0 0 

I() 4 4 3 1 2 1 2 3 

D() -1 0 -3 0 1 2 -2 -3 

1 

2 

3 

8 

3 

1 

2 

2 

g(1) = 0 vertici = 2, 4 

g(2) = 3 vertici = 1, 7 (dopo l’aggiornamento di Ei, Ii, Di) 

g(3) = −4 vertici = 3, 5 (dopo l’aggiornamento di Ei, Ii, Di) 

G = 0 + 3 = 3 ⇒ scambio 2-4 e 1-7 

1 

2 

4 

7 

3 

8 

1 

1 

1 

1 

2 

1 

1 

1 

2 


1 

1 

5 

6 

2 

1 

1 

2 

4 

5 

6 

7 

1 

1 

1 

3


Algoritmi a soglia (threshold algorithms) 

Consideriamo problemi in forma di minimo 

Algoritmo Threshold: 

Individua una soluzione euristica x; 

k := 0; 

Repeat 

Genera una soluzione x ′ ∈ N(x); 

if (f(x ′ ) − f(x) < tk) then 

x := x ′ ; 

end if 

k := k + 1; 

Until(criterio di stop) 

Ponendo tk > 0 si accettano anche soluzioni (limitatamente) peggiori 

di x 

La soglia tk è aggiornata secondo diverse tecniche. Da notare che 

nella ricerca locale pura, si ha tk = 0 (solo soluzioni miglioranti sono 

accettate) 

Regola più comune (threshold accepting): 

– t0 > 0, tk ≥ tk+1, limk→∞tk = 0 

– Inizialmente si accettano soluzioni che peggiorano anche di molto 

la soluzione attuale. Nel seguito si riduce sempre più la disponibilità 

a peggiorare 



Simulated Annealing 

Simulated Annealing: tk aggiornata probabilisticamente: 

1 

P(accettazione x') 

La probabiltà di accettazione più usata è: 

P(accettazione di x ′ ) = 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ e − 

 

f(x ′ 

 

)−f(x) 

tk Il parametro di controllo tk cala col tempo: 

f(x') - f(x) 

1 se f(x ′ ) ≤ f(x) 

se f(x ′ ) > f(x) 

– Cala anche la probabilità di accettare una soluzione peggiorante 

La probabiltà di accettazione dipende solo dalla soluzione corrente 

e da quella precedente (Catena di Markov) 

Teorema di convergenza: se tk diminuisce “abbastanza lentamente” 

al tendere del tempo di esecuzione all’infinito, la probabiltà di individuare 

l’ottimo globale è pari a 1 

(1) 



Analogia fisica 

Procedimento usato dai fisici per ottenere solidi a bassa energia: 

– Scaldare il solido fino alla temperatura di fusione 

– Abbassare la temperatura lentamente 

– Nel liquido le particelle rimangono disposte in modo casuale, nel 

solido che si forma si dispongono secondo strutture atomiche 

rigide a bassa energia 

Questo processo viene normalmente simulato al calcolatore con metodi 

di tipo Monte Carlo Simulation 

Supponiamo che lo stato attuale i abbia energia Ei, e lo stato 

successivo j abbia energia Ej, allora: 

– Se Ej ≤ Ei, lo stato j è sempre accettato 

– Se Ej > Ei, lo stato j è accettato con probabilità: 

dove: 

– T = temperatura iniziale 

– kB = costante di Boltzman 

e 

 

Ei−Ej Dato un problema di ottimizzazione combinatoria: 

– Le soluzioni corrispondono agli stati fisici 

– Il valore della funzione obiettivo corrisponde all’energia 

k T B 



Implementazioni pratiche 

Per garantire la validità del teorema di convergenza spesso occorre 

un numero di iterazioni (k) superiore al numero di soluzioni del 

problema: 

– Per il TSP occorre: 

k = O(nn2n−1) – Le soluzioni ammissibili di TSP sono n! quindi occorre meno 

tempo per un’enumerazione completa che per approssimare bene 

la soluzione ottima con SA 

In pratica si usano implementazioni che riducono il tempo di calcolo, 

perdendo però le proprietà teoriche che garantiscono la convergenza 

Strategia di raffreddamento (Cooling Scheme): metodo pratico per 

la diminuzione della temperatura che porta l’algoritmo ad operare 

in un tempo finito 

Occorre definire: 

– Un valore iniziale del parametro di controllo t0 

– Una funzione per diminuire tk nel tempo 

– Un criterio di arresto (valore finale di tk) 

– Un numero di iterazioni nelle quali tk rimanga fisso 



Schema statico di raffreddamento 

E’ l’implementazione più usuale della strategia di raffreddamento: 

1. Valore iniziale di t0: valore abbastanza alto, ad esempio stimato 

come la massima differenza tra i valori delle funzioni obiettivo di 

due soluzioni nello stesso intorno 

2. Funzione per diminuire tk nel tempo: 

tk+1 = αtk 

con α < 1, tipicamente α ∈ [0.8, 0.99] 

3. Criterio di arresto: valore fisso di tk (piccolo), normalmente correlato 

alla minima differenza tra i valori delle funzioni obiettivo di due 

soluzioni nello stesso intorno 

4. Numero di iterazioni senza variare tk: numero fisso, normalmente 

correlato alla dimensione dell’intorno 

t 

k 

t 

0 


k


Algoritmo Simulated Annealing 

Input: t0 (temperatura iniziale); itermax (massimo numero di iterazioni 

senza miglioramenti); α (parametro per il raffreddamento di t); ∆k 

(numero di iterazioni con stesso valore di t) 

Output: x∗ 

Algoritmo SA: 

x := soluzione euristica iniziale 

x∗ := x; t := t0; iter := 0; k := 0 

while (iter < itermax) do 

Genera una soluzione x ′ ∈ N(x) 

if (c(x ′ ) < c(x)) then 

else 

x := x ′ ; iter := 0 

if (c(x ′ ) < c(x∗)) then x∗ := x ′ 

pr := valore casuale in [0, 1] 

if 

⎛ 

⎜ ⎝pr ≤ e − 

 

c(x ′ )−c(x) 

t 

x := x ′ ; iter := 0 

else 

iter := iter + 1 

end-if 

end-if 

if (k = ∆k) then 

t := αt; k := 0 

end-if 

end-while 

⎞ 

⎟ 

⎠ then 



Esempio: Simulated Annealing per Equicut 

Algoritmo di Johnson, Aragon, Mc Geoch e Schevon (1989) 

Neighborhood: si considerano partizioni s = (S, V \ S) anche non 

ammissibili (|S| = |V \S|) e si generano le soluzioni vicine muovendo 

un vertice da un insieme all’altro 

Si valuta la soluzione con una funzione di penalità che tiene conto 

dell’inammissibilità: 

cost(s) = w(δ(S)) + β(|S| − |V \ S|) 2 , β ≥ 0 

Algoritmo SA-Equicut: 

Scegli casualmente una soluzione di partenza s; 

T := TSTART; 

while (numero soluzioni accettate > MINNSOL) do 

for (n × SIZE) do: 

Scegli un vicino s ′ ∈ N(s); 

if (cost(s ′ ) < cost(s)) then s := s ′ ; 

else s := s ′ con probabilità e (cost(s)−cost(s′ ))/T ; 

end-for 

T := T × TFACTOR; 

end-while 

Restituisci miglior s 

Parametri: 

α = 0.05; TSTART = 0.4; MINNSOL = 2; 

SIZE = 16; TFACTOR = 0.95; 



P 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

Distribuzione probabilità per Simulated Annealing 

Tabella 1: Distribuzione di Probabilità 

f ′ (x) − f(x) T 

60 30 15 7 3 2 1 

1 0.9835 0.9672 0.9355 0.8669 0.7165 0.6065 0.3679 

2 0.9672 0.9355 0.8752 0.7515 0.5134 0.3679 0.1353 

5 0.9200 0.8465 0.7165 0.4895 0.1889 0.0821 0.0067 

10 0.8465 0.7165 0.5134 0.2397 0.0357 0.0067 0.0000 

20 0.7165 0.5134 0.2636 0.0574 0.0013 0.0000 0.0000 

30 0.6065 0.3679 0.1353 0.0138 0.0000 0.0000 0.0000 

40 0.5134 0.2636 0.0695 0.0033 0.0000 0.0000 0.0000 

50 0.4346 0.1889 0.0357 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 

60 0.3679 0.1353 0.0183 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 

70 0.3114 0.0970 0.0094 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 

80 0.2636 0.0695 0.0048 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 

90 0.2231 0.0498 0.0025 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 

100 0.1889 0.0357 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 

Probabiltà di Accettazione (P) 

1 2 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 

f(x)-f(x') 


60 

30 

15 

7 

3 

2 

1


Algoritmi genetici 

Gli algoritmi genetici (Holland 1975) si ispirano al processo evolutivo 

degli organismi in natura 

Questi algoritmi mantengo ad ogni iterazione un insieme di soluzioni 

(o individui), chiamato popolazione, che viene aggiornata durante 

le varie iterazioni 

L’aggiornamento avviene ricombinando sottoinsiemi della popolazione, 

definiti parent set (tipicamente coppie di individui), per ottenere 

nuove soluzioni. L’operazione che dato un parent set permette di 

generare un nuovo individuo è definita crossover 

Un’operazione di mutazione è probabilisticamente effettuata sui nuovi 

individui della popolazione al fine di diversificare il processo. Un altro 

metodo usato per la diversificazione è l’immigrazione 

I nuovi individui generati vengono introdotti nella popolazione tramite 

opportune modifiche della popolazione stessa 

Le soluzioni (codificate come stringhe) sono dette cromosomi 

Un testo spesso preso a riferimento è il libro di Goldberg (1989), 

che contiene lo schema theorem che giustifica teoricamente il metodo. 

Successivamente è stato provato che è errato applicare questo 

teorema alla totalità degli algoritmi genetici [Aarts e Lenstra, 1997] 



Algoritmo Genetico 

Step 1. Genera una popolazione P di soluzioni iniziali; 

Step 2. Valuta il costo f(x), ∀x ∈ P (f: funzione di fitness); 

Step 3. repeat 

- Selezione dei genitori: in base alla fitness di ogni 

individuo, seleziona un sottoinsieme G di coppie di 

soluzioni dall’insieme P; 

- Crossover: costruisci un insieme PG di soluzioni 

combinando fra loro i genitori in G; 

- Mutazione: modifica casualmente alcune soluzioni in PG; 

- Sia ¯ PG il nuovo insieme di soluzioni; 

- Eventualmente applica ricerca locale ad ogni individuo; 

- Valuta la fitness per il nuovo insieme ¯ PG; 

- Selezione della popolazione: costruisci una nuova 

popolazione ¯ P sostituendo tutti o alcuni individui 

della popolazione P utilizzando l’insieme ¯ PG; 

- Poni P = ¯ P; 

until . 



Operatori di crossover e mutazione 

Esempio: Codifica di una soluzione come stringa di bit 

(0 0 0 0 1 1 1) 

(0 1 0 1 0 1 0) 

(0 0 0 0 1 1 1) 

(0 1 0 1 0 1 0) 

Single Crossover 

⇒ 

Double Crossover 

⇒ 

Mutazione 

(0 1 0 0 0 1 0) 

↓ 

(0 1 1 0 0 1 0) 

(0 0 0 0 0 1 0) 

(0 1 0 1 1 1 1) 

(0 0 0 1 1 1 1) 

(0 1 0 0 0 1 0) 



Filtro (Repair Method) 

Mutazione particolare che trasforma una soluzione inammissibile in 

una soluzione ammissibile 

Esempio per Equicut: 

– Codifica: 

xi = 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

0 se i ∈ A 

1 se i ∈ B 

Necessario un metodo per ripristinare l’ammissibilità della soluzione 

risultante 

(2) 



Esempio per il TSP: 

Codifica = vettore dei successori: si = vertice che segue il vertice i 

1 2 3 4 5 6 

s1 (2, 3, 4, 5, 6, 1) 

1 

2 

6 

1 2 3 4 5 6 

s2 (2, 5, 6, 3, 4, 1) 

1 

2 

6 

1 2 3 4 5 6 

o1 (2, 5, 6, 5, 6, 1) 

1 

Occorre un filtro per riottenere una soluzione ammissibile 

2 

6 

3 

5 

3 

5 

3 

5 


4 

4 

4


Esempio: Algoritmi Genetici per Equicut 

Roland e Pirkul sviluppano due lavori, nel 1992 e nel 1994 

Crossover: single 

Mutazione standard 

1992: 

– Fitness: data dal costo della soluzione e da una penalità proporzionale 

alla differenza di cardinalità tra i due insiemi (dovuta 

a una violazione del vincolo) 

1994: 

– Fitness senza penalità 

– Utilizzo di un filtro per rendere tutte le soluzioni ammissibili 

– Filtro: 

Greedy-balancing: 

while soluzione corrente non bilanciata: 

Sia A il sottinsieme di massima cardinalità; 

Trova a ∈ A che massimizza Da = Ea − Ia (eventualmente 

negativo); 

Sposta a in B; 

end while 



Tabu Search 

Il Tabu Search (Glover 1986) esce dai minimi locali muovendosi sulla 

migliore soluzione dell’intorno ad ogni iterazione, anche se peggiore 

della corrente 

Una struttura di memoria chiamata tabu list impedisce di tornare 

su soluzioni già visitate. 

Algoritmo Tabu Search 

Step 1. Genera una soluzione iniziale x ∈ X 

Poni x ∗ := x e inizializza TL := ∅; 

(TL é la tabu List); 

Step 2. Trova x ′ ∈ N(x), tale che 

f(x ′ ) := min{f(x ′′ ), ∀x ′′ ∈ N(x),x ′′ /∈ TL}; 

Step 3. TL := TL ∪ {x}; 

x := x ′ ; 

if (f(x) < f(x ∗ )) then x ∗ := x 

Step 4. if not (condizione di terminazione) goto Step 2 



Ricerca locale vs Tabu Search 

e comparison of local search methods 

Iteration 4 

Ricerca Locale 

e comparison of local search methods 

Start 

Iteration 2 

Iteration 1 

Iteration 6 

Iteration 7 

Random restart 

Iteration 3 

Tabu Search 

Tabu search 

Iteration 5 

Start 

13 


13


Tabu List: 

Alcune caratteristiche del Tabu Search 

– Memorizzare soluzioni complete: 

∗ Non si ritorna (generalmente) sui propri passi 

∗ Tempo computazionale elevato 

– Memorizzare solo alcuni attributi: 

– Lunghezza tabu list finita 

∗ Possibilità di ritornare sui propri passi 

∗ Tempo computazionale limitato 

– Memorizzazione: 

∗ Lista vera e propria 

∗ Vettore o matrice che memorizzano l’iterazione della mossa 

∗ Esempio: swap tra job per problema di scheduling 



Esempio implementazione Tabu List 

Singolo processore: intorno dato dallo scambio di due job 

iterazione 1 2 3 4 5 6 

job scambiati (2,5) (3,7) (4,6) (1,12) (9,10) (14,15) 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 

1 - −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 4 −∞ −∞ −∞ 

2 - - −∞ −∞ 1 −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 

3 - - - −∞ −∞ −∞ 2 −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 

4 - - - - −∞ 3 −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 

5 - - - - - −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 

6 - - - - - - −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 

7 - - - - - - - −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 

8 - - - - - - - - −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 

9 - - - - - - - - - 5 −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 

10 - - - - - - - - - - −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 

11 - - - - - - - - - - - −∞ −∞ −∞ −∞ 

12 - - - - - - - - - - - - - −∞ −∞ 

13 - - - - - - - - - - - - - - −∞ 

14 - - - - - - - - - - - - - - 6 

2,5 3,7 4,6 1,12 9,10 14,15 

start 

Iterazione corrente − TL(i, j) ≤ lunghezza lista ⇒ (i, j) tabu 



Tabu Tenure: 

Implementazioni usuali Tabu List 

– Per quante iterazioni una mossa è considerata tabu 

– Corta: intensificazione preferita a diversificazione 

– Lunga: diversificazione preferita a intensificazione 

– Compromesso: Lunghezza dinamica 

Short and Long Memory: 

– La memoria a breve consiste essenzialmente nella Tabu List 

– La memoria a lungo termine (opzionale) tiene conto di informazioni 

su tutta la ricerca compiuta 

Diversificazione: 

– Possibilità di usare penalità per attributi troppo ricorrenti 

∗ Si possono usare matrici simili a quelle usate per la tabu list 

– Possibilità di applicare multi-start per regioni poco visitate 

Criteri di Aspirazione: 

– Una soluzione migliore dell’incumbent viene accettata sempre, 

anche se tabu 

– Altri possibili criteri 



Esempio: Tabu Search per Equicut (1) 

(Roland, Pirkul e Glover 1995) 

Stesso intorno di SA: 

– muovi un solo vertice da un insieme a un altro 

Tabu List: 

– TLA(j)= iterazione in cui j è stato inserito in A 

– TLB(j)= iterazione in cui j è stato inserito in B 

– Lo spostamento di j da A a B è tabu se: 

TLA(j) + (tabu-tenure) > (iterazione corrente) 

– Analogamente per lo spostamento di j da B ad A 

Neighborhood ristretto: 

– Si considera un certo fattore MAX-UNBALANCE 

– Una mossa è presa in considerazione solo se non porta a uno 

scostamento delle cardinalità maggiore di MAX-UNBALANCE 

– MAX-UNBALANCE è aggiornato dinamicamente 

Criterio di stop: 

– max(100, 5n) iterazioni 



Esempio: Tabu Search per Equicut (2) 

(Dell’Amico e Maffioli 1996, Dell’Amico e Trubian 1998) 

Neighborhood: 

– scambia un vertice di A con uno di B 

Tabu List: 

– T(i, j)= iterazione in cui i e j sono stati scambiati 

– Impedisci scambio di i e j per le prossime tabu-tenure iterazioni 

Tabu Tenure: 

– cresce nelle fasi di ricerca peggioranti 

– cala nelle fasi di ricerca miglioranti 

Mossa: 

– best improvement (non tabu) 

– memorizza seconda best move 

Multi-Start: 

– se la ricerca non ha dato miglioramenti nelle ultime iterazioni, 

riparti con una nuova soluzione

5. Algoritmi di Ricerca Locale e Metaeuristici

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