STUDIO DEL BOSONE DI HIGGS NEL CANALE γγ CON IL ...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO

Facoltà di Scienze MM.FF.NN.

Corso di Laurea in Fisica

STUDIO DEL BOSONE DI HIGGS

NEL CANALE γγ

CON IL RIVELATORE ATLAS AD LHC

Codice P.A.C.S.: 14.80.Bn

Relatore: Prof. Luciano MANDELLI

Correlatori: Dott.sa Donatella CAVALLI

Dott. Paolo NASON

Candidato: Massimo BETTINELLI

anno accademico 2002–2003

In memoria di

DANIELE ALIPRANDI

A 5 agosto 1973

Ω 12 agosto 2002

mio grande amico

Sibylle gewidmet,

für

ihre Liebe und Geduld,

e ai miei genitori,

Germana e Giorgio,

senza i quali nulla di tutto questo

esisterebbe.

Indice

Ringraziamenti xiii

Introduzione 1

1 Il bosone di Higgs 3

1.1 Introduzione al Modello Standard. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Il meccanismo di Higgs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Caso abeliano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Caso non abeliano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 La massa del bosone di Higgs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 I decadimenti del bosone di Higgs. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Produzione del bosone di Higgs. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Scenari con più di un bosone di Higgs. . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Il bosone di Higgs prima di LHC. . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7.1 I risultati di LEP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7.2 I risultati del Tevatron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8 Conclusioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 LHC ed il rivelatore ATLAS 29

2.1 LHC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 L’urto protone-protone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 ATLAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.1 La fisica del bosone di Higgs con ATLAS. . . . . . . . 35

2.3.2 Produzione del bosone di Higgs ad LHC. . . . . . . . . 37

2.3.3 Canali di decadimento del bosone di Higgs ad ATLAS. 38

2.4 La struttura di ATLAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5 Il rivelatore interno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6 Il solenoide centrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.7 La calorimetria in ATLAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7.1 Il calorimetro elettromagnetico. . . . . . . . . . . . . . 46

2.7.2 Il calorimetro adronico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

v

vi INDICE

2.7.3 Il calorimetro “in avanti”. . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.8 Lo spettrometro per muoni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.9 Il sistema di trigger e acquisizione dati. . . . . . . . . . . . . . 61

2.9.1 Il trigger di primo livello. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.9.2 Il trigger di secondo livello. . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.9.3 Il filtro d’eventi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.10 Aspetti computazionali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3 Studio mediante simulazione del decadimento H → γγ 65

3.1 Analisi del decadimento H → γγ. . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2 Struttura delle n-tuple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3 Cinematica del bosone di Higgs e dei fotoni di decadimento. . 69

3.4 Le conversioni nell’inner detector. . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.5 Identificazione dei cluster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.6 Scelta della dimensione del cluster. . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.7 Determinazione della massa del bosone di Higgs. . . . . . . . . 87

3.8 Ricostruzione del vertice primario e correzione in θ. . . . . . . 97

3.8.1 Determinazione delle intercette. . . . . . . . . . . . . . 102

3.8.2 Determinazione del vertice ricostruito. . . . . . . . . . 109

3.8.3 Correzione dell’angolo θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.8.4 Risoluzione del calorimetro. . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.8.5 Determinazione della massa invariante del sistema γγ. . 113

3.9 Termine costante della risoluzione in energia. . . . . . . . . . . 117

3.10 Sintesi finale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.10.1 mH = 100 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.10.2 mH = 120 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Conclusioni 139

Appendice A. Relazioni trigonometriche tra le grandezze θ ed

η 143

Appendice B. Il metodo dei minimi quadrati 147

Bibliografia 150

Elenco delle figure

1.1 Contorni nel piano mHmt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Contorni nel piano mHmW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Limiti di LEP per mH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Risultati di Run I al Tevatron . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5 Vicoli su mH al Tevatron (Run II) . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1 Struttura di CMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Vista laterale di LHCb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 L’esperimento ALICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 Il rivelatore ATLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5 Significanza nel decadimento del bosone di Higgs . . . . . . . . 36

2.6 Esempio di decadimento “dorato”, H → ZZ ∗ → e + e − µ + µ − . . 40

2.7 L’inner detector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.8 Spessore del materiale nell’ID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.9 La calorimetria in ATLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.10 Geometria ad accordion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.11 Vista di un elettrodo del barrel dell’EMC . . . . . . . . . . . . 50

2.12 Struttura e schema di alimentazione elettrica per gli elettrodi

ad accordion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.13 Ruota dell’end-cap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.14 Regione del crack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.15 Il calorimetro adronico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.16 End-cap del calorimetro adronico. . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.17 Spettrometro per muoni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.18 Magneti air core. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.19 Sistema di trigger/DAQ di ATLAS. . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1 Distribuzione di pT e di E per il bosone di Higgs . . . . . . . . 70

3.2 Distribuzione in η per il bosone di Higgs generato (file DC1) . 71

3.3 Distribuzione in z del vertice di produzione del bosone di Higgs 72

3.4 Distribuzione in r del vertice di produzione del bosone di Higgs 72

vii

viii ELENCO DELLE FIGURE

3.5 Distribuzione in η per i due fotoni del decadimento H → γγ . 73

3.6 Distribuzione in pT e in E per i fotoni del decadimento H → γγ 74

3.7 Frazione di conversioni in funzione di η . . . . . . . . . . . . . 76

3.8 Posizione delle conversioni nell’ID (file DC1). . . . . . . . . . 77

3.9 Confronto struttura dell’ID dopo modifiche. . . . . . . . . . . 78

3.10 Distribuzione lungo r e z dei punti di conversione nell’ID (file

TDR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.11 Distribuzione lungo r e z dei punti di conversione nell’ID (file

DC1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.12 Distribuzione di ∆R tra fotoni e cluster associati (file DC1) . . 83

3.13 Erec/Etrue in funzione di η per fotoni ricostruiti. . . . . . . . . 85

3.14 Erec/Etrue in funzione della coordinata r del punto di conversione

e per diverse scelte della dimensione del cluster. In

rosso, cluster 3x5; in verde, cluster 3x7. . . . . . . . . . . . . . 86

3.15 Distribuzione di Erec/Etrue e risoluzione energetica in funzione

di η (particella singola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.16 Distribuzione di pTrec/pTtrue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.17 Distribuzione di Erec/Etrue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.18 Picco della massa ricostruita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.19 Picco della massa ricostruita (taglio del cono). . . . . . . . . . 92

3.20 Picco della massa ricostruita (esclusione del crack). . . . . . . 94

3.21 Picco della massa ricostruita (taglio su pT). . . . . . . . . . . . 95

3.22 Picco della massa ricostruita (effetto cumulativo dei tagli; file

TDR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.23 Picco della massa ricostruita (effetto cumulativo dei tagli; file

DC1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.24 Angolo ricostruito tra i due fotoni. . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.25 Angolo ricostruito tra i due fotoni in funzione dell’energia del

bosone di Higgs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.26 Posizione del baricentro dello sciame; elettrodo A . . . . . . . 105

3.27 Posizione del baricentro dello sciame; elettrodo B . . . . . . . 106

3.28 Risoluzione in η, θ e in zrec (file DC1, particella singola). . . . 111

3.29 Differenza zrec − ztrue per mH=100 GeV. . . . . . . . . . . . . 114

3.30 Differenza zrec − ztrue per mH=100 GeV per fotoni nel barrel

e almeno uno nell’end-cap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.31 Risoluzione in η, θ e zrec dal TDR (1999) . . . . . . . . . . . . 116

3.32 Picco della massa ricostruita dopo correzione dell’energia. . . . 118

3.33 Picco della massa ricostruita dopo correzione dell’energia. . . . 119

3.34 Picco finale della distribuzione della massa (caso vertice vero

ztrue, file TDR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

ELENCO DELLE FIGURE ix

3.35 Contributo delle conversioni e non al picco della massa (ztrue, mH =

100 GeV,file TDR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.36 Picco finale della distribuzione di massa (caso vertice vero

ztrue, file DC1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.37 Contributi al piucco in massa per eventi con e senza conversioni

(file DC1, vertice ztrue). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.38 Picco finale della massa ricostruita (vertice ricostruito zrec, file

TDR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.39 Contributi al picco finale della distribuzione di massa relativi

alla figura 3.38, per eventi in cui si verifica almeno una

conversione, in basso, oppure nessuna (caso zrec, file TDR). . 126

3.40 Picco finale della massa ricostruita (caso vertice ricostruito

zrec, file DC1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.41 Contributi al picco finale della distribuzione di massa relativi

alla figura 3.40, per eventi in cui si verifica almeno una

conversione, in basso, oppure nessuna (caso zrec, file DC1). . . 128

3.42 Picchi della massa per eventi con fotoni entrambi nel barrel e

in cui almeno uno è nell’end-cap (ztrue) . . . . . . . . . . . . . 130

3.43 Picchi della massa per eventi con fotoni entrambi nel barrel e

in cui almeno uno è nell’end-cap (zrec) . . . . . . . . . . . . . 131

3.44 Picco finale della massa ricostruita (vertice vero ztrue, file DC1,

mH = 120 GeV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.45 Picco finale della massa ricostruita (vertice ricostruito zrec, file

DC1, mH = 120 GeV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.46 Differenza zrec − ztrue per mH=120 GeV. . . . . . . . . . . . . 135

3.47 Differenza zrec − ztrue per mH=120 GeV per fotoni nel barrel

e almeno uno nell’end-cap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

48 Simulazione di un evento H → γγ. . . . . . . . . . . . . . . . 155

Elenco delle tabelle

1.1 Contributi parziali dei vari esperimenti e valore totale della

luminosità integrata ottenuta da LEP2. . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Risultati finali dei diversi esperimenti di LEP per il limite

inferiore della massa del bosone di Higgs. . . . . . . . . . . . . 21

3.1 Probabilità di conversione nell’ID. . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.2 Caratteristiche dei picchi di massa . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.3 Coefficienti per la determinazione della posizione del baricentro

dello sciame nel barrel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.4 Coefficienti per la determinazione della posizione del baricentro

dello sciame nell’end-cap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.5 Risultati numerici finali per mH, σmH (mH = 100 GeV) . . . . 132

3.6 Risultati numerici finali per mH, σmH (mH=120 GeV) . . . . . 137

7 Significanza di scoperta del bosone di Higgs (mH=120 GeV) . 141

xi

Ringraziamenti

Questo lavoro di tesi è il frutto della collaborazione tra me e le molte persone

che mi hanno aiutato a portare a termine questo mio compito. Senza tale

aiuto, le pagine che seguono non sarebbero state scritte, ne sono convinto.

Tante sono le persone che dovrei menzionare e mi scuso con chi dimenticherò.

Vorrei dunque ringraziare

il Prof. Luciano Mandelli, mio relatore, che mi ha sempre consigliato e

mi ha dato l’opportunità d’intraprendere questo lavoro

la Dott.sa Donatella Cavalli, per gli altrettanto utili consigli, particolarmente

in relazione alla stesura dello scritto, ma soprattutto per la simpatia

ed il sorriso che mi ha sempre donato

il Dott. Paolo Nason, per le utili indicazioni bibliografiche, per le correzioni

suggeritemi e per avermi sovente sopportato quando l’ho importunato

con questioni burocratiche

il Dott. Marcello Mazzanti, per la simpatia ed il buon umore che mi ha

sempre ispirato

il Dott. Marcello Fanti, per l’aiuto non dovuto che mi ha sempre fornito

e per avermi fatto conoscere i piaceri della cucina indiana

il Dott. Leonardo Carminati e il Dott. Guido Negri, per avermi offerto

un modello di come una tesi debba essere scritta, per l’aiuto fornito e per

l’amicizia che mi hanno dimostrato.

Non posso dimenticare Danilo (o dovrei dire, adesso, il Dott. Danilo Banfi),

che mi onora della sua amicizia ed ha allietato molte giornate davanti ad

un terminale, con programmi che, per mia imperizia, si ostinavano a non

xiii

xiv Ringraziamenti

funzionare (grazie delle risate, Danilo!).

Tutto quello che ho imparato lo devo al Dott. Francesco Tartarelli. Senza

di lui, non avrei potuto fare niente e questa tesi non sarebbe mai stata

terminata. Lo voglio qui ringraziare per l’aiuto costante e disinteressato, la

sopportazione dimostrata nei confronti delle mie stupide domande e della

lentezza con cui ho pensato e lavorato. Grazie a lui ho esaudito un desiderio

che inseguivo da tempo e che stupidamente avevo rischiato più volte di non

realizzare. Per questo, la mia gratitudine finché respiro.

Il mio pensiero va ai miei genitori, Germana e Giorgio, che mi hanno

sostenuto in momenti oggettivamente difficili della mia vita, che la mia stupidità,

a volte, ha reso ancor più complicati e pesanti. Il loro sostegno è

andato al di là di quanto si può pretendere dai propri genitori senza provare

un senso di vergogna. Non ci sono parole per ringraziarli.

Infine Sibylle, a cui la fisica non interessa minimamente, ma che è una

donna dal cuore grande e mi rende l’anima leggera. A lei tutto il mio amore.

Introduzione

A partire dalla fine degli anni ’60, il modello di Glashow-Weinberg-Salam ha

assunto un ruolo dominante nella descrizione dei fenomeni che avvengono alle

scale più piccole oggi accessibili alle apparecchiature sperimentali (in primis,

i moderni acceleratori e collisori di particelle). In unione con la cromodinamica

quantistica (QCD, Quantum CromoDynamics), è stato sviluppato un

modello che descrive tre delle quattro interazioni oggi note:

• l’interazione elettromagnetica, dovuta allo scambio di fotoni tra particelle

cariche;

• l’interazione debole, responsabile di vari fenomeni nucleari e subnucleari;

• l’interazione forte (forse sarebbe meglio parlare d’interazione di colore),

che interessa i quark e i gluoni, ed è responsabile della struttura e delle

proprietà di quella larga classe di particelle interagenti in modo forte

dette adroni.

La quarta interazione presente in natura, quella gravitazionale, che si esercita

tra tutti i corpi che possiedono massa, viene normalmente trascurata in fisica

delle particelle alle energie oggi raggiungibili mediante gli attuali acceleratori.

Solo in teorie che si spingono ad energie dell’ordine della massa di Planck

MPlanck =

c

G ≃ 1019 GeV/c 2

dove G è la costante di gravitazione universale di Newton, essa assume un

ruolo importante; è questo il campo d’indagine della gravitazione quantistica.

Proprio lo studio di tutte queste interazioni ha portato a formulare un modello

con caratteristiche unificanti, soprattutto in relazione alle prime due, 1

noto oggi come Modello Standard (MS).

1 si parla, in questo caso, di interazione elettrodebole.

1

2 Introduzione

Tale modello possiede vari punti deboli. Tra questi, il problema dell’origine

delle masse delle particelle elementari.

Il modello incorpora in sè una soluzione, nota come meccanismo di Higgs,

dal nome del fisico scozzese Peter W. Higgs che lo propose nel 1964 2 . Conseguenza

di tale meccanismo è la predizione di una nuova particella scalare

neutra, il bosone di Higgs, la cui massa è un parametro libero della teoria e

che è a tutt’oggi attivamente ricercata.

In questa tesi ci si occuperà dello studio delle caratteristiche di tale particella

nell’ambito del MS (nella sua formulazione detta minimale 3 ) e delle

possibilità di scoperta che si avranno quando entrerà in funzione LHC (Large

Hadron Collider), a metà del 2007.

Nel primo capitolo saranno descritte le caratteristiche principali del MS,

evidenziando sia i suoi successi, sia i vari difetti o manchevolezze, soprattutto

in relazione al problema dell’origine della massa. Inoltre, saranno illustrate

le attuali conoscenze sul bosone di Higgs. In particolar modo ci si soffermerà

sui risultati forniti da LEP (Large Electron Positron collider) e dal Tevatron.

Essi, come vedremo, forniscono un limite inferiore alla massa del bosone di

Higgs.

Nel secondo capitolo si parlerà di LHC, di uno dei quattro esperimenti in

allestimento, ATLAS (A Toroidal LHC ApparatuS), e delle possibilità d’osservare

il bosone di Higgs e determinarne massa e varie altre caratteristiche,

come canali di decadimento e vite medie. Si discuterà nei particolari la struttura

e le caratteristiche del calorimetro elettromagnetico di ATLAS. Grazie

alle informazioni ottenute da questo strumento, infatti, risulta possibile individuare

i due fotoni provenienti dal decadimento H → γγ e misurarne con

precisione l’energia e la direzione della loro traiettoria. Queste grandezze,

una volta note, permettono di risalire al valore della massa del bosone di

Higgs, identificandola con la massa invariante del sistema dei due fotoni.

Nel terzo capitolo, valuteremo più in dettaglio la possibilità di identificare

in ATLAS il segnale del decadimento del bosone di Higgs in due fotoni gamma.

Valuteremo, tramite simulazione Monte Carlo, la possibilità di scoperta

per tale canale, di per sè difficile da studiare, ma che promette di essere molto

interessante a causa della sua segnatura caratteristica per valori della massa

del bosone di Higgs tra i 90 e i 130 GeV/c 2 .

2 anche se fu applicato concretamente alla teoria delle interazioni elettrodeboli da Steven

Weinberg e, indipendentemente, Abdus Salam nel 1967-68.

3 ovvero, il modello in cui compare un’unica particella scalare neutra. In teorie più

sofisticate, si possono avere più bosoni di Higgs differenti, aventi diverse proprietà fisiche.

Capitolo 1

Il bosone di Higgs

A partire dai primi anni ’60, lo studio delle interazioni deboli ha portato

alla formulazione di un modello descrittivo delle particelle elementari e delle

loro interazioni rivelatosi in notevole accordo con i risultati sperimentali che

da allora si sono via via accumulati: il modello di Glashow-Weinberg-Salam

delle inetrazioni elettrodeboli. Inoltre, la scoperta dei quark e lo studio dell’interazione

di colore tra di essi, ha condotto i fisici alla ricerca di una teoria

in grado di fornire uno schema unificante per queste tre interazioni, portando

alla creazione di ciò che oggi è chiamato Modello Standard (MS).

Esso è un esempio di teoria quantistica di campo, che descrive il comportamento

di tutti i fermioni elementari oggi noti, leptoni e quark, in termini

di interazioni tra gli stessi dovute allo scambio di bosoni vettori intermedi.

1.1 Introduzione al Modello Standard.

Il MS descrive le particelle elementari note e le loro interazioni mediante

l’utilizzo del formalismo delle teorie quantistiche di campo.

Le particelle e le loro interazioni sono descritte da una densità di lagrangiana

funzione dei campi associati alle particelle e alle interazioni stesse.

I fermioni liberi sono descritti da una lagrangiana di Dirac

Lf = ψ(iγ µ ∂µ − m)ψ (1.1)

dove ψ è lo spinore associato al fermione, m la sua massa e γ µ (µ = 0, 1, 2, 3)

sono le matrici gamma di Dirac.

Nel MS, i fermioni compaiono in una forma particolare. Un generico fermione,

infatti, possiede una componente destrorsa (right) ψR e una sinistrorsa

(left) ψL, definite dalle relazioni

ψR =

1 + γ5

2 ψ ψL =

3

1 − γ5

ψ (1.2)

2

4 Il bosone di Higgs

dove

γ 5 ≡ iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 .

Il MS, infatti, tratta in maniera differente tali componenti (si dice che è leftright

asimmetrico). Per i leptoni, la componenete sinistra compare infatti

come doppietto di isospin debole

νl

l −

dove l− indica il generico leptone carico negativamente (elettrone, muone,

tau) e νl il neutrino corrispondente. La componente destrorsa del leptone è

invece un singoletto, lR e νlR. Inoltre, per tener conto dei risultati sperimentali

ottenuti alla fine degli anni ’50 in relazione agli studi sul decadimento β,

nel MS si postula che il neutrino non abbia componente destrorsa, νlR = 0.

Ciò equivale ad assumere che il neutrino abbia elicità negativa e massa nulla.

I quark sono introdotti nella teoria in maniera analoga ai leptoni. Si

hanno anche qui tre generazioni, e le componenti sinistrorse sono

Ui

D ′ i

dove i è l’indice di colore, U il generico quark di tipo up (up u, charm c, top

t), D ′ una combinazione lineare dei corrispettivi quark di tipo down (down

d, strange s, bottom b). I coefficienti di tale combinazione si ricavano dalla

matrice di Kobayashi-Maskawa. Le componenti destrorse saranno UiR, DiR.

Il MS è gauge invariante, ed il gruppo di trasformazioni si identifica con

il prodotto SUL(2) ⊗UY (1). Il primo fattore si riferisce al settore left (da cui

l’indice L), il secondo all’invarianza della teoria rispetto alle trasformazioni

che coinvolgono l’ipercarica Y , che compare nella relazione

Q = Y

2

L

L

+ Tw3

(1.3)

dove Q è la carica elettrica 1 della particella in esame, Tw3 la terza componente

dell’isospin debole. Invertendo, si ottiene l’ipercarica

Y = 2(Q − Tw3) (1.4)

È questo il settore della teoria che ha collegamenti, sotto questa forma non

ancora espliciti, con l’elettrodinamica quantistica. I campi che mediano le

interazioni formano un tripletto W µ = (W 1 µ , W 2 µ , W 3 µ ) per la parte relativa a

SUL(2), mentre si ha un sigoletto Bµ per il settore invariante sotto UY (1).

1 in unità di carica elettronica e

1.1 Introduzione al Modello Standard. 5

La densità di lagrangiana che descrive tali campi liberi si scrive

LWB = − 1

4 W µν · W µν − 1 µν

BµνB

4

dove

(1.5)

W µν = ∂µW ν − ∂νW µ + gW µ × W ν (1.6)

Bµν = ∂µBν − ∂νBµ (1.7)

mentre g è una costante che esprime l’intensità dell’accoppiamento del campo

W µ con se stesso e con i fermioni elementari nel settore SUL(2) invariante.

Un’analoga grandezza g ′ compare per l’accoppiamento con il campo Bµ, relativamente

al gruppo UY (1) (equazione (1.9), più sotto). Come si può notare,

nell’equazione (1.5) non compaiono termini di massa del tipo 1

2m2W µW µ o

1

2m2BµB µ . Tali termini, infatti, renderebbero la teoria non gauge invariante.

L’inserimento esplicito di termini di massa del tipo ψMψ non può avvenire

in modo coerente, perchè si violerebbe l’invarianza di gauge della teoria.

Infatti, le particelle left formano un doppietto, e quelle right un singoletto di

SU(2), e una loro combinazione non puo’ dare un singoletto finale, come il

termine di massa scritto risulta essere. In effetti, un calcolo esplicito mostra

che si otterrebbero termini del tipo ψRMψL e ψLMψR. Masse di Majorana

finirebbero per violare o SU(2) o U(1).

Qualora si tenga conto delle interazioni, la densità di lagrangiana per

il MS, limitandoci ad un’unica generazione di fermioni e trascurando le

eventuali interazioni di colore tra i quark, assume la forma completa

L = − 1

4 W µν · W µν − 1

4 BµνB µν + ψL(iγ µ Dµ)ψL + ψR(iγ µ Dµ)ψR (1.8)

dove al normale operatore di derivazione ∂µ si sostituisce la derivata covariante

Dµ, definita come segue:

Dµ ≡ ∂µ + ig τ

2 · W µ + ig ′y

2 Bµ

(1.9)

Le grandezze τ che compaiono nell’ultima equazione sono le ben note matrici

di Pauli.

La lagrangiana scritta ha un problema: tutte le particelle che vi compaiono

hanno massa nulla. Una teoria di questo tipo è dunque chiaramente in

contrasto con tutte le osservazioni e quindi dev’essere modificata in modo

tale che si trovi un metodo per dar conto delle masse osservate.

La soluzione al problema venne proposta da Steven Weinberg e, indipendentemente,

Abdus Salam, che applicarono alla teoria fin qui esposta,

sviluppata nelle sue linee essenziali da Sheldon Glashow fin dal 1961, il meccanismo

della rottura spontanea di simmetria considerato da Peter Higgs nei

suoi lavori.


1.2 Il meccanismo di Higgs.

Per chiarezza nell’esposizione distingueremo due ambiti di applicazione del

meccanismo di Higgs a

• teorie di gauge abeliane (o commutative);

• teorie di gauge non abeliane (o non commutative);

1.2.1 Caso abeliano.

Consideriamo un campo scalare complesso φ descritto dalla densità di lagrangiana

L = ∂µφ † ∂ µ φ − V (φ † , φ) (1.10)

dove il potenziale V assume la forma

V (φ † , φ) = µ 2 φ † φ + λ(φ † φ) 2 = µ 2 | φ | 2 +λ | φ | 4

(1.11)

La forma del potenziale cambia a seconda che µ 2 assuma segno positivo o

negativo 2 . Nel primo caso il potenziale possiede il valore minimo in corrispondenza

di φ0 = 0, nel secondo, il minimo corrisponde ad un valore del

campo che soddisfa la relazione:

| φ0 |=

− µ2

2λ

(1.12)

È importante notare come la condizione di minimo riguardi il modulo del

valore del campo. Nel piano complesso ciò è rappresentato dai punti che si

trovano sulla circonferenza di raggio φ0, da cui segue che, interpretando tale

valore come stato di vuoto del campo 3 , si è in presenza di uno stato di vuoto

degenere.

Supponiamo ora che il campo scalare φ sia accoppiato ad un campo

vettoriale descritto dalla lagrangiana

con

L = − 1 µν

FµνF

4

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ

2 per avere un potenziale inferiormente limitato occorre scegliere λ > 0.

3 ovvero lo stato corrispondente al minimo valore dell’energia.

(1.13)

(1.14)

1.2 Il meccanismo di Higgs. 7

Questo modello semplificato è invariante rispetto a trasformazioni del tipo

Aµ(x) → Aµ(x) − ∂µΩ(x) (1.15)

φ(x) → e −iqΩ(x) φ(x) (1.16)

dove Ω(x) è una funzione reale. La densità di lagrangiana del modello è

L = − 1

4 FµνF µν + Dµφ † D µ φ − V (φ † , φ) (1.17)

dove ora compare la derivata covariante

Dµ = ∂µ − iqAµ

(1.18)

Questo è un esempio di teoria abeliana, perchè le trasformazioni (1.16) appartengono

al gruppo U(1). Sfruttando l’arbitrarietà nella scelta del gauge,

ci si può sempre ricondurre al caso in cui lo stato di vuoto corrisponde ad un

valore reale del campo. Detto v questo valore, si può pensare di considerare

stati della forma

χ

i

φ = e v

v + H

√ 2

(1.19)

dove il campo reale H rappresenta lo scostamento rispetto allo stato di vuoto

v. Esso descrive particelle neutre di spin 0. Sostituendo quest’espressione

nell’ultima equazione, otteniamo, per la lagrangiana del settore di Higgs [1]

L = − 1

4 FµνF µν − evAµ∂ µ χ + e2v2 µ

AµA

2

+ 1

∂µH∂

2

µ H + 2µ 2 H 2

+ 1

2 ∂µχ∂ µ χ

+(H, interazioni con χ). (1.20)

Il campo H, oltre ad avere una massa pari a −2µ 2 , interagisce con i campi

di gauge e con se stesso attraverso il termine d’interazione.

Il campo χ, ed il secondo termine dell’ultima equazione, possono essere

eliminati operando la trasformazione

Aµ → Aµ − 1

ev ∂µχ. (1.21)

Il campo χ è associato ad una particella scalare neutra detta bosone di Goldstone.

La trasformazione (1.21) elimina i bosoni di Goldstone dalla teoria: si

dice che esso viene “mangiato” attraverso la trasformazione (1.21), lasciando

il campo vettoriale Aµ con massa mA = ev. L’interesse per il campo H, però,


va ben al di là di queste semplici considerazioni. Riesprimendo il tutto in

funzione di H, si è infatti ottenuto che il campo senza massa Aµ acquisti una

massa pari a m = ev, proporzionale al valore d’aspettazione sullo stato di

vuoto del campo φ.

Questo è un punto centrale del modello: una volta scelto un ben preciso

valore dello stato di vuoto del campo scalare complesso φ, segue che, considerando

una piccola perturbazione H in un intorno del vuoto, il campo Aµ

acquista massa e, come unico ulteriore campo, si ha lo scalare reale H, senza

spin, privo di carica elettrica e autointeragente.

Se prima della scelta del valore v lo stato di vuoto era simmetrico rispetto

ad una rotazione nel piano complesso, ora la situazione è cambiata e

la simmetria è nascosta. Si dice che essa è stata rotta dalla scelta arbitraria

del campo. Questo fenomeno è ciò che è chiamato rottura spontanea di

simmetria.

È importante notare che, presupposto di tale meccanismo di generazione

della massa, sia la degenerazione dello stato di vuoto. Per un potenziale

avente il parametro µ 2 positivo, il valore dello stato è sempre non degenere

(φ0 = 0) e la simmetria non viene mai rotta spontaneamente.

1.2.2 Caso non abeliano.

Il modello considerato nella sezione precedente è una versione semplificata

di quanto avviene nella teoria elettrodebole. In questo caso è insufficiente

considerare un campo scalare complesso φ, data la presenza non solo del

campo vettoriale Bµ, ma anche del tripletto di isospin debole di campi vettoriali

W µ. La generalizzazione più immediata consiste nel considerare un

doppietto di isospin debole complesso

Φ =

φ+

(Y = 1), dove la componente superiore ha carica positiva +1, mentre quella

inferiore risulta neutra. Il potenziale assume una forma analoga a quello del

caso scalare

V (Φ † , Φ) = µ 2 Φ † Φ + λ(Φ † Φ) 2 . (1.22)

Anche qui, una trasfomazione di gauge opportuna relativa al gruppo di trasformazioni

SUL(2) ⊗ UY (1) permette di ricondursi al caso in cui il campo

sia della forma

Φ = 1 √ 2

φ0

0

v + H

(1.23)

1.2 Il meccanismo di Higgs. 9

dove v è ancora il valore d’aspettazione sullo stato di vuoto. Riesprimendo

il tutto in funzione del campo H, che risulta ancora una volta associato ad

una particella scalare neutra, si ottiene di nuovo che, riesprimendo i campi

di gauge mediante le combinazioni lineari che individuano i campi fisici

W ± µ = W1µ ± iW2µ

√

2

(1.24)

Z 0 µ = W3µ cosθW + Bµ sin θW (1.25)

Aµ = −W3µ sin θW + Bµ cosθW (1.26)

dove si è introdotto l’angolo di Weinberg θW definito dalla relazione

essi assumono le masse

cosθW =

g

g 2 + g ′2

(1.27)

mW ± = gv

(1.28)

2

mZ0 = v

g2 + g ′2 (1.29)

2

mentre il campo vettoriale Aµ rimane associato a particelle prive di massa.

A questo punto l’identificazione con il fotone è immediata. Le particelle W ±

e Z 0 si identificano con i bosoni vettori intermedi che descrivono i fenomeni

riguardanti le correnti cariche e neutre.

Le loro masse non sono indipendenti; dalle (1.28) e (1.29) segue la nota

relazione

mW ± = mZ0 cosθW

(1.30)

Riassumendo, le masse dei bosoni vettori intermedi dipendono dal valore

d’aspettazione sul vuoto del campo φ e dalle costanti d’accoppiamento g e

g ′ che caratterizzano l’intensità delle interazioni relative al gruppo SUL(2)

e UY (1) rispettivamente e che compaiono nella (1.9). Il valore di v è legato

alla costante di Fermi GF dall’altra importante relazione

GF

√2 = g2

8m 2 W

(1.31)

che si può ricavare, ad esempio, dallo studio del decadimento del muone

µ − → e − νeνµ. Da questa s’ottiene che, nota la costante di Fermi, si può

ricavare il valore dello stato di vuoto del campo di Higgs, che risulta essere

v = ( √ 2GF) −1/2 = 246 GeV.


Il meccanismo di Higgs non si limita solo a fornire un valore per la massa

dei bosoni vettori intermedi. Consideriamo la parte della densità di lagrangiana

del MS che descrive l’interazione del campo Φ con i fermioni. Accoppiamenti

gauge invarianti dei fermioni col campo di Higgs sono possibili, e

hanno precisamente la forma di un’interazione del tipo di Yukawa

Lint = f(LΦR + RΦ † L) (1.32)

dove con L ed R abbiamo indicato la componente sinistrorsa (doppietto) e

destrorsa (singoletto) del generico fermione. L’interazione con il campo di

Higgs è dunque tanto maggiore quanto più grande è il valore della costante

f. Si noti come il valore di f non sia specificato, ma, al pari di g e g ′ , sia un

parametro libero della teoria.

L’interazione scritta dà luogo alle masse dei fermioni che compaiono nel

MS se il campo di Higgs ha un valore d’aspettazione non nullo sullo stato di

vuoto.

Di nuovo, esprimendo il settore di Higgs in funzione del campo H otterremo

dei termini del tipo mfψψ, dove la costante mf è funzione della

costante indeterminata f e del valore d’aspettazione v del campo di Higgs.

La lagrangiana del settore di Higgs si scrive infatti [6]

LHiggs + Lint = 1

2 (∂µH∂ µ + 2µ 2 H 2 ) + g2

4 (v2 + 2vH + H 2 )W + µ W −µ

Vale dunque la relazione

+ (g2 + g ′2 )

(v

8

2 + 2vH + H 2 )ZµZ µ − λ

4 (4vH3 + H 4 )

− f √ 2 (v + H)(ψ LψR + ψ LψR) (1.33)

mf = fv

√ 2

(1.34)

Il meccanismo di Higgs fornisce quindi un metodo per dare massa anche

ai fermioni; inoltre, l’accoppiamento dei fermioni con il bosone di Higgs è

direttamente proporzionale alla loro massa.

Segue che tale interazione è maggiore per i quark pesanti, come il top ed

il bottom. Questo fatto ha, come vedremo, notevoli effetti sul valore della

sezione d’urto di produzione e sulle ampiezze di decadimento nei vari canali

del bosone di Higgs.

In termini di diagrammi di Feynman, saranno presenti vertici a tre e a

quattro linee che descriveranno i processi elementari che coinvolgono il bosone

di Higgs:

1.3 La massa del bosone di Higgs. 11

• vertici a tre linee, che descrivono i processi d’interazione

1. W + W − H

2. Z 0 Z 0 H

3. HHH

4. ffH (f è il generico fermione, sia leptone, sia un quark)

• vertici a quattro linee, che portano ai processi elementari

1. W + W − HH

2. Z 0 Z 0 HH

3. HHHH

1.3 La massa del bosone di Higgs.

Il modello esaminato fornisce un metodo per la generazione delle masse di

tutte le particelle elementari. Nonostante questo, vi sono notevoli mancanze

che lo rendono oggetto di critica da parte di non pochi fisici. Ecco i punti

più in discussione.

• Il MS non predice il valore delle masse dei fermioni, ovvero delle costanti

f per ognuno di essi, ma indica solo un modo in cui esse possono essere

prodotte attraverso il meccanismo di rottura di simmetria.

• Il numero di generazioni non è affatto spiegato. Cosa differenzia ad

esempio, un elettrone da un muone, al di là del valore della massa?

Tale domanda non ha risposta nell’ambito del MS.

• Il numero dei parametri della teoria è elevato. Anche se tra essi si possono

determinare relazioni ben precise, il loro valore dev’essere ottenuto

per via sperimentale.

• Il valore d’aspettazione sul vuoto v del campo di Higgs non ha spiegazione;

la massa stessa del bosone di Higgs

mH = 4λv 2

(1.35)

non è predetta dal modello, a causa della mancanza di informazioni

riguardo la costante λ, che esprime l’intensità dell’autointerazione del

campo di Higgs.


Proprio quest’ultimo punto ci interessa più da vicino. La ricerca sperimentale

del bosone di Higgs è legata alla determinazione della sua massa. Nel corso

degli anni sono state costruite macchine acceleratrici sempre più potenti in

grado di esplorare e studiare le proprietà della materia ad energie sempre più

elevate e finora la ricerca del bosone di Higgs ha fornito risultati negativi,

benchè LEP, nell’ultima fase della sua attività, abbia raccolto segnali indiretti

tali da far pensare ad un bosone di Higgs con una massa poco superiore ai

115 GeV.

Nonostante queste difficoltà ed incertezze, esistono dei limiti sia inferori

sia superiori al valore di tale massa.

Nel primo caso, ciò è dovuto a risultati sperimentali diretti, mentre per

il limite superiore le considerazioni sono più articolate e di natura teorica.

Esse si basano essenzialmente sulle argomentazioni seguenti:

• Violazione del limite di unitarietà: affinchè l’approccio perturbativo

utilizzato per i calcoli nell’ambito del MS sia coerente, la costante λ

non può essere troppo grande. In caso contrario, l’interazione del bosone

di Higgs diventerebbe forte. Poichè il valore di tale costante varia

al crescere dell’energia, ciò impone un limite superiore alla massa dell’ordine

di 1 TeV. Ad esempio, anche la diffusione tra bosoni vettori

V V → V V dà un’indicazione sul valore della massa. Ad energie elevate,

per non violare il limite d’unitarietà nei calcoli della sezione d’urto,

s’impone un vincolo alla massa dell’Higgs.

• La relazione tra le masse della W ± e della Z 0 , e quindi il valore dell’angolo

di Weinberg, portano ad un valore unitario della grandezza ρ,

definita dalla relazione

mW ±

ρ = (1.36)

mZ0 cos θW

Tale valore è dedotto limitandosi a diagrammi di Feynman ad albero

(tree level). Inoltre, esso dipende dallo schema di regolarizzazione

adottato. Considerando anche l’effetto di correzioni radiative, l’angolo

di Weinberg diviene una running coupling costant, ovvero viene a

dipendere da un parametro M che individua la scala d’energia in considerazione:

cosθW(M). Il valore ρ = 1 si ottiene per energie dell’ordine

della massa dei bosoni di gauge W ± , Z0 . Se, dunque, si considerano

anche correzioni radiative, ρ si discosta dal valore unitario. Compare

una correzione alla massa della W ± (rappresentata da una quantità

indicata con ∆r), determinabile sperimentalmente mediante misure di

precisione di varie costanti che compaiono nel modello. In particolare,

misure di sezioni d’urto per vari processi elettrodeboli e la determinazione

delle masse dei bosoni di gauge, hanno permesso di ricavare il

1.3 La massa del bosone di Higgs. 13

valore di ∆r con sufficiente precisione e porre dei limiti sulla massa

dell’Higgs.

Il valore di ρ, qualora ci si limiti a correzioni ad un loop, può essere

scritto [1]

ρ = 1 − 11g2

96π2 tan2

mH

θW log

(1.37)

mW

La dipendenza logaritmica nell’equazione precedente mostra come le

correzioni radiative dovute alla massa del bosone di Higgs non siano

mai grandi e crescano solo logaritmicamente. A tale risultato della

teoria si dà il nome di teorema di screening; questo perchè , in generale,

contributi da correzioni radiative dovute all’Higgs hanno la forma

g 2

(1.38)

log mH

mW

+ g 2 m2 H

m 2 W

Termini che crescono con il quadrato della massa vengono mascherati

dal coefficiente g 4 che li precede; dato che g < 1, è il termine logaritmico

a dominare la correzione.

• Esiste una relazione tra la misura della massa della W ± e quella del

bosone di Higgs [6]. Nel MS, limitandosi al prim’ordine della teoria

delle perturbazioni, la massa della W ± si può scrivere come

m 2 W =

πα

√

2GF sin 2 (1.39)

θW

dove

α = e2 1

≃ (1.40)

4π 137

è la costante di struttura fine4 . Se si considerano correzioni radiative,

allora le costanti d’accoppiamento possono ricevere contributi anche infiniti

e devono essere rinormalizzate. A seconda dello schema di rinormalizzazione

scelto si possono porre dei limiti sulla massa dell’Higgs in

base alla misura sperimentale dell’effetto di tali correzioni. Un metodo

comune [2, 3] è quello dello schema on shell, dove si pone

sin 2 θW = 1 −

2 mW

mZ

(1.41)

e le masse che vi compaiono sono le masse fisiche. Ciò porta ad una

correzione della (1.39), che diviene:

m 2 W =

πα

√

2GF(1 − ∆r) sin2 (1.42)

θW

4 utilizziamo le unità naturali della fisica teorica = c = 1


dove ∆r è il fattore di correzione radiativa a cui si è accennato in precedenza.

Esso è stato calcolato da F. Jegerlehner [4], e risulta dipendere

dalla massa del quark top, dall’eventuale esistenza di nuovi doppietti

di quark o leptoni pesanti, e dalla massa del bosone di Higgs. Quindi,

in generale,

∆r = f(log mHiggs, mtop, . . .) (1.43)

È istruttivo considerare in questo ambito la figura 1.1, in cui si mostra la

regione nel piano mHmt compatibile con l’esistenza del bosone di Higgs.

La massa del quark top è ricavata da misure effettuate al Tevatron di

Chicago. Analoghe considerazioni valgono per la figura 1.2, in cui è

utilizzato il valore della massa della W ± . La conoscenza di ∆r fornisce

indicazioni indirette sulla massa dell’Higgs attraverso la (1.43).

1.4 I decadimenti del bosone di Higgs.

Al prim’ordine della teoria perturbativa, rimanendo cioè a livello dei diagrammi

ad albero, avremo [6]

• decadimento in coppia fermione-antifermione; l’ampiezza di decadimento

risulta essere

Γ(H → ff) = NcGFm2 fmH 4π √

1 −

2

4m2 f

m2 3/2 (1.44)

H

dove Nc = 1 per i leptoni, Nc = 3 in caso di quark (effetto dovuto al

colore).

• decadimento in coppia W + W − ; l’ampiezza è

√

1 − xW

dove

Γ(H → W + W − ) = GFm 2 W mH

8π √ 2

xW

2mW

xW =

mH

2

.

(3x 2 W − 4xW + 4) (1.45)

• decadimento in coppia Z0Z 0 ; l’espressione è perfettamente analoga al

caso precedente a patto di sostituire xW, mW con xZ, mZ, con ovvio

significato dei simboli, dividendo a denominatore per un ulteriore fattore

2. Ciò è dovuto a questioni di statistica, dato che in questo caso

lo stato finale è composto da due particelle identiche. Avremo dunque:

Γ(H → Z 0 Z 0 ) = GFm 2 Z mH

16π √ 2

√ 1 − xZ

xZ

(3x 2 Z − 4xZ + 4) (1.46)

1.4 I decadimenti del bosone di Higgs. 15

m t [GeV]

200

180

160

All except m t

68% CL

m t (TEVATRON)

140

10 10 2

Excluded

mH [GeV]

Preliminary

Figura 1.1: Regioni escluse (in giallo) e regioni d’interesse nel piano mHmtop.

In verde è indicato il vincolo sulla massa del top dovuto alle misure del

Tevatron.

m W [GeV]

80.5

80.4

All except m W

68% CL

m W (LEP2, pp − )

80.3

10 10 2

Excluded

mH [GeV]

Preliminary

Figura 1.2: Regioni escluse (in giallo) e regioni d’interesse nel piano mHmW.

In verde è indicato il vincolo sulla massa della W dovuto alle misure di LEP2

e alle esperienze di collisione pp.

10 3

10 3


Volendo considerare ordini superiori, particolare importanza rivestono i decadimenti

H → γγ e H → gg. Essi non possono avvenire al prim’ordine,

non essendoci un termine nel settore di Higgs della lagrangiana del MS che

descrive l’accoppiamento del bosone di Higgs con il fotone (l’Higgs non possiede

carica elettrica) e con i gluoni (il bosone di Higgs non possiede numero

quantico di colore o, alternativamente, è uno stato di singoletto rispetto alla

simmetria SUc(3) della QCD). È necessario quindi un loop di particelle cari-

che (non solo fermioni, ma anche W + W − ) nel primo caso e dotate di colore

(quindi i quark) nel secondo. Ciò si riflette sul valore calcolato della vita

media per tali decadimenti.

• Nel caso del decadimento in due gamma, data la presenza dei due

vertici a tre del fotone con i fermioni o con i bosoni W ± , comparirà

il fattore α 2 . Dato che, approssimativamente, α = 1/137, si ha subito

una stima del grado di soppressione di questo canale di decadimento.

Un’espressione più precisa dell’ampiezza di decadimento [5] è

Γ(H → γγ) = α2 GFm 3 H

8π 3√ 2

| I |2

(1.47)

dove I è dell’ordine dell’unità: I = O(1). Ne segue un rapporto di

decadimento (branching ratio) dell’ordine di 10 −3 ÷ 10 −4 .

• Nel caso di decadimento in due gluoni, il diagramma di Feynman considerato

nel punto precedente non cambia se non nella sostituzione dei

due fotoni in due gluoni. Qui comparirà la costante di struttura fine

delle interazioni forti

(1.48)

4π

Il suo valore è dell’ordine dell’unità. Inoltre, la presenza del colore

introduce un fattore 3 nell’elemento di matrice utilizzato nel calcolo

dell’ampiezza di decadimento. L’analogo dell’equazione (1.47) si scrive

dunque:

αs = g2 s

Γ(H → gg) = α2 sGFm3 √

H 2

72π3 | I | 2

(1.49)

• Tra i decadimenti più rari figura anche H → Z 0 γ, che può avvenire attraverso

un loop bosonico (W + W − , in cui una W è accoppiata alla Z 0

emessa e poi si annichila con l’altra W in un vertice a tre linee con un

fotone) o fermionico (analogo al precedente ma con un fermione pesante

nel loop). È curioso notare come, in periodi in cui bassi valori della

massa dell’Higgs (al di sotto della massa della Z 0 ) non erano esclusi,

gli stessi diagrammi di Feynman erano considerati per ipotizzare il

decadimento Z 0 → Hγ, oggi escluso per ragioni cinematiche.

1.5 Produzione del bosone di Higgs. 17

Esaurita questa breve panoramica dei possibili modi di decadimento, diretti

o attraverso loop, del bosone di Higgs, consideriamo varie possibilità di

produzione negli attuali collisori.

1.5 Produzione del bosone di Higgs.

In relazione alla scoperta del bosone di Higgs, è di fondamentale importanza

conoscere i processi di produzione teoricamente possibili, per poi concentrare

l’attenzione su quelli effettivamente realizzabili mediante le moderne

macchine acceleratrici, primo fra tutte LHC.

I metodi di produzione si differenziano sostanzialmente a seconda che

i collisori utilizzino fasci di elettroni e positroni (come a LEP), protoniantiprotoni

(è il caso del Tevatron) o protoni-protoni (come a LHC). Esaminiamo

i più importanti:

• Higgsstrahlung, ovvero l’analogo della Bremsstrahlung ma con un bosone

di Higgs che viene emesso da una Z 0 . Il processo passa attraverso

la produzione di quest’ultima in uno stato virtuale, con successiva

emissione dell’Higgs:

e + e − → Z 0∗ → Z 0 H (1.50)

• Un secondo metodo di produzione, non solo con i collisori e + e − , consiste

nella fusione di bosoni vettori intermedi (weak boson fusion), ovvero

la fusione di coppie W + W − o Z 0 Z 0 . Questo processo può portare, in

linea teorica, anche alla produzione di due bosoni di Higgs, sfruttando

i processi permesse dall’esistenza di vertici d’interazione a quattro.

Naturalmente questa modalità risulta essere notevolmente soppressa.

• Il processo più importante a bassa energia è rappresentato dalla fusione

gluonica (gluon fusion) che è descrivibile mediante il diagramma

considerato per il decadimeto H → gg “letto” al contrario; due gluoni

producono un bosone di Higgs attraverso un loop fermionico dovuto ad

un quark pesante.

• Decadimento del toponio V → Hγ, dove V è lo stato vettoriale formato

dalla coppia tt. Naturalmente il processo risulta teoricamente

possibile qualora la massa del toponio superi quella dell’Higgs. Ciò dipende

dal valore dell’energia di legame del sistema tt, assai difficile da

determinare per via teorica a causa della natura delle interazioni tra


quark. L’ampiezza di decadimento per il processo V → Hγ rispetto a

V → γ∗ → µ + µ − è stimata essere [6]

Γ(V → Hγ)

Γ(V → γ∗ → µ + µ − ) = GFm2 V

4πα √

1 −

2

m2H m2

V

Come si vede, la (1.51) ha significato solo per mH < mV .

1.6 Scenari con più di un bosone di Higgs.

(1.51)

Finora abbiamo considerato il caso in cui, nella densità di lagrangiana del

MS, è introdotto un unico doppietto complesso per dare un valore non nullo

alle masse delle particelle. Esistono però formulazioni alternative in cui sono

presenti più di un doppietto complesso. Il loro numero non è arbitrario, perchè

il valore di aspettazione da essi assunto influenza non solo il valore delle

masse dei bosoni di gauge, ma anche il valore delle costanti d’accoppiamento

tra essi e i fermioni cambia rispetto al caso del MS minimale. Inoltre, esistono

modelli non minimali in cui nel settore di Higgs non compaiono dei doppietti,

ma multipletti con un numero maggiore di componenti, portando così, dopo

la rottura spontanea di simmetria, non solo a bosoni di Higgs scalari neutri,

ma anche a scalari carichi. In tal modo la complessità del settore di Higgs

aumenta considerevolmente, sia riguardo i possibili modi di decadimento sia

per la varietà dei modi di produzione.

In particolare si possono considerare le reazioni seguenti:

1. produzione

2. reazioni del tipo produzione associata

e − e + → γ(Z 0 ) → H + H − . (1.52)

e − e + → Z 0∗ → W ± H ∓

(1.53)

(l’analogo processo con stato finale elettricamente neutro e − e + → Z 0 H 0

è la già vista Higgsstrahlung).

3. Nel caso di collisioni adroniche, come in LHC, si possono considerare

ulteriori processi coinvolgenti quark e gluoni, con corrispondenti diagrammi

ad albero o con loop dovuti a fermioni per assicuare una produzione

anche qualora non esista un vertice d’interazione diretta tra

bosoni di Higgs e fermioni o bosoni di gauge.

1.6 Scenari con più di un bosone di Higgs. 19

Di tutte queste possibilità più esotiche e raffinate non ci si occuperà nel

seguito. Sono state qui citate per ragioni di completezza, benchè l’attuale

ricerca sperimentale sia concentrata ad una verifica del MS minimale e

prospetti una soluzione, qualora questo si rivelasse non completamente esatto

o incompleto, nel Modello Standard Supersimmetrico Minimale (MSSM,

Minimal Supersymmetric Standard Model).

Esso consiste nel formulare una teoria quantistica di campo che tenga

conto della supersimmetria (SUSY, SUperSYmmetry), teoria in cui i generatori

dell’algebra di Poicaré sono affiancati da nuovi generatori, di natura

spinoriale, che soddisfano precise regole di anticommutazione. Se si applicano

queste considerazioni al MS, si ottiene la sua versione supersimmetrica, il

MSSM.

Senza scendere in alcun dettaglio, basti sapere che:

• lo spettro delle particelle nel modello è notevolmente più ricco; ad ogni

fermione elementare è associato un bosone corrispondente (uno sfermione),

mentre ad ogni bosone un corrispondente fermione (detto generalmente

bosino). Tutti questi partner supersimmetrici non sono

mai stati osservati. Nonostante ciò, la supersimmetria è il candidato

più promettente nell’ambito delle teorie che cercano di andare al di là

dei limiti del MS. LHC sarà un utilissimo strumento d’indagine nella

scoperta di nuove particelle supersimmetriche;

• applicato al MSSM, il meccanismo di Higgs prevede l’esistenza di cinque

bosoni:

1. due bosoni scalari neutri, h 0 , l’analogo nel MSSM del bosone di

Higgs del MS minimale, e H 0 ;

2. due bosoni scalari carichi H + e H − ;

3. un ulteriore bosone pseudoscalare neutro A 0 .

Oltre che per la carica elettrica posseduta, tali bosoni si distinguono

tra loro per le differenti proprietà e numeri quantici. Ad esempio, i due

bosoni h 0 e H 0 sono autostati dell’operatore CP, ovvero della coniugazione

di carica seguita dall’inversione di parità, relativi agli autovalori

+1, mentre lo pseudoscalare neutro A 0 lo è per l’autovalore −1. Uno

studio alternativo, ma sulle stesse linee di quanto si discuterà nel seguito

riguardo al bosone di Higgs del MS, può essere fatto anche nel

caso del MSSM, con la complicazione di un maggior numero di bosoni

e di decadimenti possibili, che danno segnature anche caratteristiche

e che, nell’eventualità d’una scoperta, sarebbero la prova più diretta


dell’effettivo realizzarsi in natura della supersimmetria. In particolare,

il decadimento in due fotoni gamma si può verificare anche nel MSSM,

sebbene le relative ampiezze di decadimento siano diverse rispetto al

MS. Un rivelatore in grado di studiare il decadimento H → γγ per il

bosone di Higgs nel MS potrebbe anche candidarsi ad essere lo strumento

più adatto per una verifica sperimentale della validità della SUSY.

Anche di ciò s’è tenuto conto nel progetto e sviluppo di ATLAS.

1.7 Il bosone di Higgs prima di LHC.

Come già detto, il bosone di Higgs è stato oggetto di un’intensa ricerca sia

teorica, sia sperimentale. Pur dando risultati negativi, questi studi hanno

fornito un limite inferiore sulla massa dell’Higgs via via crescente, al pari

della crescita delle energie raggiungibili con le nuove macchine acceleratrici.

Due tra di esse hanno dominato la scena nel corso degli anni ’90: il LEP del

CERN, presso Ginevra, e il Tevatron al FNAL, a Chicago.

1.7.1 I risultati di LEP.

Pensato per la prima volta verso la metà degli anni ’70, il LEP (Large Electron

Positron collider) è stato realizzato nel corso del decennio successivo ed

inaugurato nel luglio del 1989.

Lungo circa 27 km, nella sua beam pipe venivano fatti circolare elettroni

e positroni in direzioni opposte e fatti scontrare in quattro punti principali

coincidenti con la presenza di quattro rivelatori: ALEPH, DELPHI, L3 e

OPAL.

LEP è rimasto in funzione fino al 2000, dopodiché è stato disinstallato

per far posto a LHC, che sarà dunque montato nel medesimo tunnel sotterraneo

che ha ospitato LEP, per motivi economici. LEP ha avuto due fasi

di funzionamento distinte, caratterizzate da differenti valori della luminosità

del fascio e della sua energia nel centro di massa.

LEP1 ha permesso di studiare il settore elettrodebole ad energie in grado

di produrre eventi con solo una Z 0 , ma non la coppia W + W − . Alla fine del

suo periodo d’attività, LEP1 aveva permesso di escludere l’esistenza di un

bosone di Higgs di massa inferiore ai 65 GeV.

In una seconda fase (LEP2, [7]), l’energia del fascio nel centro di massa

è stata portata progressivamente ad un valore massimo, raggiunto nel 2000,

pari a 209 GeV. La luminosità totale in questo periodo di attività (dovuta a

tutti e quattro gli esperimenti installati) ha raggiunto il valore di 2461 pb −1 ,

con energie nel centro di massa tra i 189 GeV e i 209 GeV. La luminosità

1.7 Il bosone di Higgs prima di LHC. 21

ALEPH DELPHI L3 OPAL LEP

√ s ≥ 189 GeV 629 608 627 596 2461 pb −1

√ s ≥ 206 GeV 130 138 139 129 536 pb −1

Tabella 1.1: Contributi parziali dei vari esperimenti e valore totale della

luminosità integrata ottenuta da LEP2.

ALEPH DELPHI L3 OPAL

Limite inferiore mH (GeV) 115,5 114,1 112,0 112,7

Tabella 1.2: Risultati finali dei diversi esperimenti di LEP per il limite

inferiore della massa del bosone di Higgs.

integrata corrispondente agli eventi con energia superiore ai 206 GeV è stata

di 536 pb −1 . La tabella 1.1 mostra la luminosità integrata ottenuta a

LEP2 per i singoli esperimenti, quella totale ed il contributo parziale alle

energie più elevate ( √ s > 206 GeV) dell’ultimo periodo d’attività. LEP2 ha

aumentato la sua energia nel centro di massa superando il valore di soglia

per la produzione diretta di coppie W + W − che ne aveva limitato l’attività,

nella sua prima fase, alla sola produzione della Z 0 .

Infatti, al contrario della Z 0 , il bosone W ± può essere prodotto solo in

coppia, per il principio di conservazione della carica elettrica.

Prima del 2000, LEP2 non aveva fornito alcuna evidenza dell’esistenza del

bosone di Higgs, ma nel corso di quell’anno, ad energie maggiori di 206 GeV,

ALEPH [9] ha osservato un eccesso di eventi compatibile con la presenza del

bosone di Higgs del MS con massa intorno ai 115 GeV. Nello stesso periodo

L3 [10] ed OPAL [11], hanno registrato degli eccessi, ma in misura minore,

mentre DELPHI [12] un conteggio minore rispetto al valore del fondo atteso

in quell’intervallo di massa.

Il LEP Higgs Working Group (LHWG, [7, 8]), ha combinato questi risultati

preliminari, che sono stati poi utilizzati per una ricalibrazione dei valori

delle energie nel sistema del centro di massa in ciascuno dei quattro esperimenti.

La tabella 1.2 riassume i limiti inferiori per la massa del bosone

di Higgs. LEP, dunque, non solo ha studiato con una precisione senza precedenti

la fisica del settore elettrodebole ad energie dell’ordine della massa

della Z 0 , ma, nella sua ultima fase di vita, ha innalzato il limite di massa

dell’Higgs fino a valori vicini ai 115 GeV.

Misure correnti [8] forniscono un valore della massa pari a mH = 81 +52

−33

GeV, e un limite superiore mH < 193 GeV al 95% di livello di confidenza. La


Δχ 2

6

4

2

theory uncertainty

Δα (5)

Δα had =

0.02761±0.00036

0.02747±0.00012

Without NuTeV

Excluded Preliminary

0

20 100

400

m H [GeV]

Figura 1.3: Curva del ∆χ 2 in funzione della massa del bosone di Higgs.

figura 1.3 mostra chiaramente questi risultati. In essa è raffigurata la curva

del ∆χ 2 in funzione della massa dell’Higgs mH ricavata da misure di precisione

nel settore elettrodebole effettuate a LEP, SLD a Stanford, CDF e D0

al Tevatron, NuTeV e altri esperimenti, assumendo che il MS sia la descrizione

corretta della natura. La curva non costituisce una prova dell’effettiva

esistenza del bosone di Higgs, ma fornisce un’indicazione dell’intervallo di

massa in cui è interessante condurre le osservazioni.

In conclusione, i dati di LEP permettono di fissare un limite inferiore alla

massa del bosone di Higgs pari a 114,4 GeV, con un limite di confidenza del

95%. È stato inoltre osservato un eccesso di eventi, concentrati soprattutto

nelle misure effettuate a √ s > 206 GeV, attribuibili ad una massa dell’Higgs

compresa tra i 115 GeV e i 118 GeV. Tra i contribuiti dei vari esperimenti,

sono i risultati di ALEPH che spingono maggiormente a questa interpreta-


zione. L’interpretazione dei risultati ottenuti con l’ipotesi della presenza del

solo rumore di fondo predetto dal MS e quella di segnale+fondo corrispondono

ad un livello di confidenza rispettivamente dell’8% e del 37%. Quindi

LEP2 spinge nella direzione di un bosone di Higgs leggero appena al di là del

suo limite di sensitività.

Nonostante questi risultati, LEP è stato spento nel 2001, per far posto

ad LHC.

1.7.2 I risultati del Tevatron.

Il Tevatron è una macchina acceleratrice che si basa su principi differenti

da quelli di LEP. È infatti un collisore protoni-antiprotoni, e quindi può

raggiungere energie del centro di massa più elevate rispetto a quelle di LEP.

Questo risultato si paga però con una maggiore complessità nell’analisi dei

segnali ottenuti, soprattutto dovuti al fondo adronico. Come noto, il protone,

al contrario dell’elettrone, non è una particella elementare, ma è a sua volta

costituita da oggetti più piccoli, i partoni, che in concreto vengono identificati

con i quark e i gluoni che ne mediano l’interazione.

Data la loro struttura di oggetti compositi, risulta difficile, essendo un

problema a molti corpi, studiare cosa accade durante l’urto di un protone

con se stesso o con un antiprotone. Inoltre la varietà dei possibili stati finali

prodotti in tali urti, generalmente non solo adroni, impone una notevole

capacità da parte dei rivelatori di individuare dei segnali interessanti ai fini

della scoperta del bosone di Higgs e di discriminazione del fondo.

Nonostante queste difficoltà, le energie raggiungibili sono maggiori di

quelle degli analoghi collisori e + e − .

Come per il LEP, anche il Tevatron è stato caratterizzato da due periodi

distinti di presa dati: il Run I, in attività tra il 1992 ed il 1995, e Run II

iniziato da poco [14].

Il Run I ha avuto grande successo: durante il suo periodo di funzionamento,

infatti, è stato scoperto il quark top, l’ultimo sapore non ancora rivelato

sperimentalmente ma atteso da tempo per ragioni di simmetria tra quark e

leptoni.

Due sono gli esperimenti principali installati al Tevatron: CDF e D0.

Durante la fase di Run I, questi due rivelatori hanno potuto gettar luce

sulla fisica del bosone di Higgs e sulle teorie che predicono nuovi fenomeni al

di fuori dell’ambito del MS. D0 ha escluso la presenza di questi ultimi con

un limite di confidenza dell’89%, mentre CDF ha posto in evidenza alcuni

potenziali segnali positivi che saranno uno dei campi principali d’indagine

per Run II.


Run I non ha trovato alcun segnale diretto della presenza del bosone di

Higgs, fornendo solamente, come LEP, vincoli sul valore della sua massa.

Per quanto riguarda la fisica del bosone di Higgs nel MS, la figura 1.4

riassume alcuni dei risultati ottenuti. In essa è mostrato, in funzione della

massa dell’Higgs, il limite superiore del prodotto σβ tra la sezione d’urto σ

ed il rapporto di decadimento β per vari canali di produzione e successivi

differenti decadimenti possibili, tale da escludere la presenza dell’Higgs con

un limite di confidenza del 95%. La parte in giallo è la regione esclusa da

misure dirette di LEP1 (il limite inferiore della massa appare in figura ancora

intorno ai 90 GeV/c 2 ; i risultati di Run I, infatti, sono precedenti a quelli

ottenuti da LEP2).

I canali esaminati corrispondono a reazioni del tipo

pp → V H

dove V indica indifferentemente uno dei bosoni vettori della teoria elettrodebole.

È mostrato il contributo dovuto a vari canali e alla loro combinazione.

I dati si riferiscono al solo esperimento CDF.

Anche su Run II si hanno molte aspettative: dallo studio più preciso della

fisica del top (la sua scoperta s’è basata su poche decine di eventi), a misure

di precisione del settore elettrodebole (già effettuate, a suo tempo, da LEP

e da Run I), alla ricerca del bosone di Higgs, alla verifica della validità della

SUSY e di altre teorie nei più svariati ambiti della fisica delle alte energie.

Attualmente Run II sta battendo tutti i record, in termini di luminosità

ed energia nel centro di massa, stabiliti a suo tempo da Run I. Ad esempio,

il valore dell’energia raggiunta è √ s = 1, 96 TeV (a Run I era di 1,80 TeV)

e ulteriori progressi sono previsti a breve. Bisogna poi sottolineare che fino

all’entrata in funzione di LHC, il Tevatron sarà l’unica macchina a poter

produrre il quark top.

I dati presi finora da Run II sono ancora insufficienti per migliorare quelli

ottenuti e pubblicati da Run I e LEP, ma le misure in corso mostrano come

la macchina risponda bene alle aspettative.

Run II sta lentamente sviluppando e ottimizzando tutta una serie di procedure

sperimentali per studiare al meglio la fisica dell’Higgs: ottima risoluzione

dei jet, elevato b-tagging e alta efficienza dei trigger, oltre a una buona

comprensione dei processi che contribuiscono al fondo.

Il programma di Run II si svilupperà nel corso di vari anni, con risultati

attesi già a partire dall’estate del 2003, in vari ambiti della fisica delle

particelle in funzione di una luminosità intergrata crescente nel tempo. Attualmente

la luminosità integrata corrisponde a qualche centinaio di pb−1 .

Ogni incremento in tale direzione fornirà importanti informazioni e sarà la

base per studi a luminosità più elevate:


Figura 1.4: Risultati sperimentali di Run I al Tevatron per il bosone di Higgs.

In funzione della sua massa, è mostrato l’andamento del limite superiore del

prodotto della sezione d’urto σ per il rapporto di decadimento β in vari canali

di produzione e decadimento al fine di un’esclusione al 95% CL.


• per una luminosità integrata L ≃ 2 fb −1 sarà possibile escludere con

certezza l’esistenza del bosone di Higgs con massa inferiore ai 115 GeV;

• ad uno stadio successivo, con L ≃ 5 fb −1 , si potranno attribuire segnali

alla presenza dell’Higgs di massa 115 GeV con una significanza di 3σ;

• per L ≃ 10 fb −1 si potrà escludere l’esistenza dell’Higgs sull’intero

intervallo 115 GeV< mH


Figura 1.5: Limiti inferiori della luminosità integrata, in funzione della massa

del bosone di Higgs del MS, per una sua esclusione (in scarlatto), sua

osservazione al livello di 3σ (in verde) e scoperta a livello di 5σ (in azzurro).

Combinazione dei risultati di CDF e D0.


1.8 Conclusioni.

Da quanto detto, si può con una ragionevole certezza affermare che se il

bosone di Higgs esiste, allora la sua massa non può essere più piccola di circa

115 GeV. Questo fatto lascia ampi spazi di ricerca, ma le indicazioni finora

fornite dagli esperimenti fanno sperare a molti fisici che si sia sul punto di

scoprire l’Higgs con masse molto prossime ai 115 GeV.

Capitolo 2

LHC ed il rivelatore ATLAS

Il collisionatore adronico LHC costituirà, nei prossimi anni, lo strumento di

punta per la ricerca in fisica delle alte energie. Esso farà collidere pacchetti

di protoni ad una energia nel centro di massa di 14 TeV (7 TeV + 7 TeV),

con luminosità dell’ordine di 10 34 cm −2 s −1 . Ciò permetterà di verificare le

predizioni del MS ad energie di quasi un ordine di grandezza superiori a quelle

attualmente esplorate, verificare l’esistenza del bosone di Higgs e gettare

luce sulla validità delle molte teorie proposte per una sua estensione. LHC

accelererà anche ioni pesanti per studiare il comportamento della materia

nucleare a densità d’energie materia molto elevate.

Non da ultimo, ha grande interesse la possibilità di una verifica sperimentale

di varie teorie che cercano di descrivere le proprietà della materia

ad energie maggiori di quelle che caratterizzano il MS, come la supersimmetria,

l’esistenza di bosoni vettori intermedi pesanti W ′ e Z ′ , il modello

technicolour, la struttura composita di quark e leptoni, ecc.

L’obiettivo principale resta in ogni caso lo studio più approfondito del

meccanismo di rottura spontanea della simmetria elettrodebole e della scoperta

del bosone di Higgs nel MS minimale o nella sua estensione supersimmetrica.

2.1 LHC.

Il collisionatore LHC [18] sarà costruito nello stesso tunnel sotterraneo che

ha ospitato LEP. L’entrata in funzione è prevista per la metà del 2007.

LHC avrà una circonferenza di circa 27 km. In essi saranno fatti circolare

in direzioni opposte pacchetti di protoni che si intersecheranno in otto punti

prestabiliti.

I due sincrotroni sono alloggiati nello stesso traferro del sistema di magne-

29

30 LHC ed il rivelatore ATLAS

ti superconduttori necessari per curvare la traiettoria dei protoni nei tratti

non rettilinei.

Il funzionamento di LHC sfrutta la presenza di altre macchine acceleratrici

che si trovano al CERN. I protoni, infatti, non possono essere accelerati

direttamente da LHC dalle basse energie a cui sono prodotti fino all’energia

massima raggiungibile; per poter circolare, i pacchetti devono possedere

un’energia minima sotto la quale, il pacchetto si disperde e il fascio si degrada.

LHC sfrutterà quindi la presenza dell’SPS (Super Proton Synchrotron) e

di tutta una precedente catena di acceleratori, lineari e non, che partendo da

protoni di bassa energia, li accelereranno attraverso stadi successivi, fino al

punto in cui i pacchetti formati potranno essere iniettati in LHC all’energia

minima richiesta.

Questi pacchetti saranno fatti interagire in opportuni punti di LHC,

coincidenti con i rivelatori presenti.

La scelta di costruire un acceleratore a protoni-protoni piuttosto che una

nuova macchina elettroni-positroni è dovuta a varie considerazioni.

Come noto, le particelle cariche emettono radiazione elettromagnetica

quando sono sottoposte ad accelerazione. In una macchina circolare come

gli attuali collisionatori, questo fatto provoca l’emissione di una radiazione a

spettro continuo, detta radiazione di sincrotrone. L’emissione di radiazione

da parte di una particella carica ne diminuisce l’energia, per cui, se in un acceleratore

ad anello tale energia non fosse continuamente fornita, le particelle

perderebbero energia spiraleggiando verso il centro dell’anello, scontrandosi

alla fine con le pareti della beam pipe.

Si dimostra che la perdita d’energia da parte della particella nell’unità di

tempo (e, quindi, fatte le debite proporzioni, anche quella del fascio), risulta

essere

dE γ4

∝ (2.1)

dt

Nella (2.1), R è il raggio dell’orbita della particella, determinata dalle dimensioni

del collisionatore, γ è la grandezza relativistica definita dalla relazione

[15]

γ =

R

1

1 − β 2

(2.2)

dove β è il rapporto tra la velocità delle particelle circolanti e la velocità della

luce nel vuoto c. Alternativamente, γ risulta essere il rapporto tra l’energia

ed il valore della massa della particella 1

γ = E

m

1 siamo ora nel sistema di unità di misura in cui = c = 1; altrimenti γ = E/mc 2

(2.3)

2.1 LHC. 31

Very-forward

Calorimeter

Hadronic

Calorimeter

Electromagnetic

Calorimeter

Compact Muon Solenoid

Superconducting Solenoid

Silicon Tracker

Pixel Detector

Preshower

Muon

Detectors

Figura 2.1: Spaccato tridimensionale di CMS, uno dei due rivelatori

principali installati a LHC.

A parità d’energia, quindi, particelle di massa maggiore possiedono valori di

γ più piccoli, limitando la perdita di energia per radiazione di sincrotrone,

che cresce con la quarta potenza di γ.

Anche la scelta di far scontrare protoni con protoni e non protoni e antiprotoni

è dettata da esigenze di natura tecnica; alle alte luminosità con cui

LHC opererà il numero di antiprotoni da produrre, raggruppare in pacchetti

e successivamente accelerare sarebbe risultato proibitivo.

Nel corso del periodo d’attività di LHC, che si prolungherà almeno fino

al 2020, saranno in funzione quattro apparati sperimentali:

• ATLAS (A Toroidal LHC ApparatuS), rivelatore disegnato per lo studio

di processi ad alto momento trasferito e l’identificazione di fotoni,

leptoni e jet adronici;

• CMS (Compact Muon Spectrometer, figura 2.1), dalle potenzialità e

finalità simili a quelli di ATLAS;

• LHCb (the Large Hadron Collider beauty experiment, figura 2.2), che si

occuperà dello studio della fisica del quark bottom, soprattutto in relazione

allo studio della violazione della simmetria CP e dei decadimenti

rari del b di mesoni e barioni;


Figura 2.2: Vista laterale di LHCb.

• ALICE (A Large Ion Collider Experiment, figura 2.3), esperimento che

studierà l’urto tra ioni pesanti (come, ad esempio, Pb-Pb), in modo da

poter studiare fenomeni riguardanti la materia nucleare in situazioni di

alta temperatura e densità (plasma di quark-gluoni, ecc.).

Ad LHC, nel punto d’intersezione tra i fasci in corrispondenza ai rivelatori

installati, la frequenza di collisione tra pacchetti (beam crossing) sarà di 40

MHz, ovvero una ogni 25 ns.

L’alta luminosità così raggiungibile e la capacità di raccolta e immagazzinamento

dati ottenibili da ATLAS e CMS, impone tutta una serie di filtri

(trigger) predisposti per selezionare solo alcuni tipi di eventi.

2.2 L’urto protone-protone.

Rispetto a collisionatori come LEP, in cui vengono fatti scontrare elettroni

e positroni, in un collisore adronico come il Tevatron e LHC si presenta

un’ulteriore complicazione: la natura di particelle composte degli adroni e le

caratteristiche delle forze tra i quark di cui sono costituiti.

La fisica degli urti pp e pp è affetta da molte incertezze di natura teorica, e

una trattazione completa è a tutt’oggi basata su modelli semplificativi, data

2.2 L’urto protone-protone. 33

Figura 2.3: Vista dell’esperimento ALICE.

la grande complicatezza dei calcoli che si presentano. Il modello a partoni

descrive un protone (o più in generale un barione), come composto da altre

particelle elementari libere di muoversi al suo interno e che sono in concreto

identificati con quark, antiquark e gluoni.

A seconda del valore del momento scambiato, gli urti tra partoni possono

dare origine a processi di

• diffusione “soffice” (soft scattering). Il momento scambiato è piccolo e

le particelle prodotte nell’urto in seguito ad adronizzazione hanno basso

momento trasverso. Si propagheranno quindi molto vicine all’asse del

fascio (alto valore di | η |). Le sezioni d’urto di tali processi sono

molto elevate, si avrà un notevole numero di tali eventi e i rivelatori

che coprono le regioni ad | η | elevato saranno soggette a notevoli dosi

di radiazione;

• diffusione “dura” (hard scattering), in cui il momento scambiato tra i

partoni è elevato e le particelle prodotte nell’urto hanno un momento

traverso pT elevato.

Il fatto che i partoni siano liberi di muoversi all’interno del protone comporta

un’incertezza sul valore dell’energia da loro posseduta nel sistema del centro

di massa del sistema pp (o pp). Ciò che possiamo misurare è l’energia per il


sistema dei due adroni interagenti. I due valori non coincidono, per semplici

ragioni di composizione delle velocità. Lo studio della cinematica degli urti

tra partoni porta all’introduzione di una nuova variabile, la rapidità, definita

dalla relazione

y = 1 E + pz

log (2.4)

2 E − pz

che gode della proprietà di mutare secondo la legge

y ′ = y + c(β) (2.5)

se si opera una trasformazione di Lorentz per passare da un sistema ad un

altro che si muova rispetto al primo con velocità uguale a β (la ”traslazione”

ottenuta dipende dal valore di β). Introdotto il tetramomento in coordinate

polari

otteniamo

p = (E, px, py, pz) = E(1, β sin θ cosφ, β sin θ sin φ, β cosθ)

y = − 1 1 − β cosθ

log

2 1 + β cosθ

(2.6)

Se le particelle si muovono a velocità prossime a quelle della luce (si assume

che i partoni abbiano massa nulla), allora β → 1 e la (2.6) si può riscrivere

η = − log tan θ

2

(2.7)

dove la grandezza η è detta pseudorapidità. La struttura a partoni del protone

e antiprotone conduce, quindi, alla decrizione di un generico evento nei

collisionatori adronici mediante la coordinata η piuttosto che con l’usuale θ,

in virtù delle (2.5) e (2.7).

Un generico evento in un rivelatore come ATLAS è dunque descrivibile,

dal punto di vista della cinematica, introducendo le coordinate “miste”

(η, φ, z). L’asse z coincide ovviamente con la direzione di propagazione del

fascio di LHC, φ determina la posizione attorno a quest’asse nel piano trasverso

xy, η (attraverso θ) l’inclinazione rispetto all’asse z. Poiché θ varia

nell’intervallo [0, π], il dominio di η coincide con l’intervallo [+∞, −∞].

2.3 ATLAS.

ATLAS (figura 2.4) è un rivelatore multiscopo (multipurpose detector) [19].

Come molti dei moderni rivelatori, ATLAS stesso è in realtà un insieme di

rivelatori, ciascuno progettato e ottimizzato per uno compito ben preciso.

Consideriamo brevemente alcune delle sue caratteristiche più importanti.

2.3 ATLAS. 35

Figura 2.4: Visione d’insieme del rivelatore ATLAS (A Toroidal LHC

ApparatuS).

2.3.1 La fisica del bosone di Higgs con ATLAS.

Uno degli scopi primari di tutta l’attività di ATLAS sarà lo studio del settore

di Higgs nel MS. La scoperta del bosone di Higgs sarebbe il coronamento

di un’intensa attività di ricerca sperimentale durata vari decenni. ATLAS

si candida come esperimento in grado di scoprire il bosone di Higgs e di

studiarne le proprietà.

La figura 2.5 mostra la significanza del segnale atteso in ATLAS e dovuto

al bosone di Higgs nel MS. La significanza è definita dalla relazione

S = S

√ B

(2.8)

dove S è il numero di eventi attribuibili alla produzione dell’Higgs e B è il

numero di eventi di fondo (background events). Per convenzione, un segnale

attribuito ad un processo non ancora rivelato sperimentalmente è considerato

scoperta se la significanza supera le 5 deviazioni standard, S > 5σ.

Sempre nella stessa figura è mostrato il contributo dei vari canali, per luminosità

integrate di 30 fb −1 (in alto) e di 100 fb −1 (in basso). In dipendenza


Signal significance

Signal significance

10 2

10

1

10 2

10

1

H → γ γ

ttH (H → bb)

H → ZZ (*) → 4 l

H → WW

H → ZZ → llνν

H → WW → lνjj

(*) → lνlν

Total significance

10 2

H → γ γ + WH, ttH (H → γ γ )

ttH (H → bb)

H → ZZ (*) → 4 l

H → WW

H → ZZ → llνν

H → WW → lνjj

(*) → lνlν

Total significance

10 2

ATLAS

∫ L dt = 30 fb -1

(no K-factors)

ATLAS

∫ L dt = 100 fb -1

(no K-factors)

5 σ

10 3

m H (GeV)

5 σ

10 3

m H (GeV)

Figura 2.5: Sensitività di ATLAS per la scoperta del bosone di Higgs del MS.

È mostrato il contributo totale e singolo dei vari canali di decadimento, per

luminosità integrate di 30 fb −1 (in alto) e di 100 fb −1 .[22].

2.3 ATLAS. 37

del numero di eventi di segnale e di fondo, la significanza è stata calcolata

utilizzando la definizione (2.8) oppure una statistica poissoniana. Nel caso

del canale H → WW ∗ è introdotta un’incertezza sistematica del 5%, perché,

in questo caso, non si può determinare alcun picco della massa ricostruita

dell’Higgs e quindi il segnale dell’Higgs deve essere estratto da un numero di

eventi in eccesso.

La figura è in parte superata dagli eventi. Si riferisce infatti a studi

effettuati per la stesura di [22], precedente ai risultati di LEP2, che, come

visto nelle pagine precedenti, ha escluso l’esistenza del bosone di Higgs per

masse minori di 114,4 GeV. Ciò non invalida la sua correttezza per masse

maggiori, poichè la teoria che sta alla sua base è ancora valida.

2.3.2 Produzione del bosone di Higgs ad LHC.

Nella ricerca sperimentale riguardante il bosone di Higgs, è di fondamentale

importanza conoscere i meccanismi con cui tale particella può essere

prodotta. Non tutti questi meccanismi rivestono la medesima importanza

sperimentale, poichè i vincoli imposti dalle caratteristiche tecniche degli acceleratori

(LHC ed il Tevatron) impongono una scelta oculata del metodo

di produzione al variare di vari fattori, tra i quali i più importanti sono la

sezione d’urto di produzione nel canale considerato, funzione dell’energia del

centro di massa del sistema di particelle che collidono, della luminosità del

fascio e del rumore di fondo atteso, in seguito ai decadimenti dei prodotti di

collisione.

Ad LHC, come in tutti i collisionatori adronici, è atteso un consistente

fondo che rende assai difficile l’individuazione dei segnali.

A seconda dell’energie in gioco e del valore della massa del bosone di

Higgs, i canali di produzione interessanti sono i seguenti [16]:

• fusione gluonica (gluon fusion). Ad LHC essa domina per valori bassi

della massa dell’Higgs [17]. Per masse dell’ordine di 1 TeV, il contributo

alla sezione d’urto è ancora dell’ordine del 50%. Accanto al processo

di produzione

gg → H

è possibile avere un secondo processo in cui è prodotta anche una coppia

di quark t¯t

gg → t¯tH

• fusione di bosoni vettori (vector boson fusion)


qq → qqV ∗ V ∗ → qqH

Questo canale diviene competitivo con il precedente per masse dell’ordine

di 1 TeV, anche se correzioni radiative nell’ambito della QCD

innalzano il valore della sezione d’urto.

• Higgsstrahlung. Il processo risulta essere

qq → V → V H

di grandissima importanza nei collisori ad elettroni-positroni come LEP.

Anche con i collisori adronici esso non è trascurabile, in quanto correzioni

in ambito QCD incrementano di circa il 25-40% il valore della

sezione d’urto di produzione ad LHC.

2.3.3 Canali di decadimento del bosone di Higgs ad

ATLAS.

Come nel caso dei meccanismi di produzione, anche i canali di decadimento

più interessanti variano col valore della massa dell’Higgs. Possiamo distinguere

vari casi:

• per 80 GeV < mH < 130 GeV i canali più promettenti sono

e, in misura minore,

H → γγ

H → e − e + e − e + .

Il primo canale sarà oggetto di analisi più specifica nel seguito di questa

tesi. In realtà in questo intervallo di massa il decadimento favorito

risulta quello in coppia bb, ma l’elevata intensità del segnale di fondo

e la difficoltà nella distinzione dei jet dovuti ai b da altri fenomeni

adronici costringe ad affidarsi al decadimento in due fotoni;

• nella regione 130GeV < mH < 600GeV le speranze di una scoperta

sono riposte nel canale

e

H → ZZ ∗ → 4l

2.4 La struttura di ATLAS. 39

H → ZZ → 4l

dalla segnatura caratteristica in quattro leptoni carichi. L’individuazione

e la ricostruzione di eventi con una o due coppie l + l − permette di

risalire alla massa dell’Higgs dal calcolo della massa invariante del sistema.

Per le sue caratteristiche, questo canale è detto “dorato” (golden

plated channel). In questo caso, si potranno avere, ciascuno con il suo

rapporto di decadimento (branching ratio), elettroni, muoni o entrambi

(e le relative antiparticelle). La figura 2.6 mostra la ricostruzione nel

barrel di ATLAS di un tale evento, per una massa del bosone di Higgs

pari a 130 GeV, che, come abbiamo visto, è il limite inferiore in cui

questo decadimento diviene interessante da studiare.

• Per masse maggiori dei 600 GeV, i decadimenti più interessanti sono

H → ZZ → llνν

H → W + W − → lνl + 2jet

Il primo richiederà ad ATLAS la capacità di determinare con precisione

il momento trasverso mancante (missing pT) dovuta alla mancata

rivelazione dei neutrini che sfuggono al rivelatore. Il secondo, grande

capacità d’individuare i due jet tra quelli del fondo, e di ricostruire con

precisione la massa invariante del sistema da essi formato.

2.4 La struttura di ATLAS.

ATLAS possiede una struttura a simmetria cilindrica, con asse parallelo a

quello del fascio. Partendo dal suo interno e spostandosi lungo la coordinata

radiale, si possono trovare tutta una serie di componenti, ciascuno con la sua

funzione specifica.

La struttura di ATLAS può essere così riassunta:

• rivelatore interno (ID, Inner Detector), il cui scopo principale è la

ricostruzione delle tracce delle particelle cariche che si allontanano dal

punto d’interazione;

• solenoide centrale (CS, Central Solenoid), che produce il campo magnetico

necessario per curvare la traiettoria delle particelle cariche al

fine della determinazione della loro carica elettrica e del loro momento

trasverso pT;


Figura 2.6: Rappresentazione grafica di decadimento atteso di un bosone di

Higgs da 130 GeV di massa nel canale “dorato” H → ZZ ∗ → e + e − µ + µ −

ricostruito nell’inner detector e nel barrel del calorimetro elettromagnetico

[22].

• calorimetro elettromagnetico (EMC, ElectroMagnetic Calorimeter), il

cui compito è la determinazione della posizione e dell’energia depositata

delle particelle cariche e dai fotoni;

• calorimetro adronico (HCAL, Hadronic CALorimeter), per la misura

dell’energia e della posizione degli adroni e dei jet adronici;

• calorimetro “in avanti” (FCAL, Forward CALorimeter), il cui fine è la

misura dell’energia e della posizione di particelle prodotte in regioni a

| η | elevato (3,1

2.5 Il rivelatore interno. 41

attraversano i calorimetri, al fine di misurarne il momento trasverso pT

e l’energia per mezzo dello spettrometro per muoni;

• spettrometro per muoni (muon spectrometer), di fondamentale importanza

nello studio di decadimenti in cui sono generati muoni.

Ciascuno di questi sottorivelatori ha una funzione particolare. La loro associazione

permette di selezionare eventi con mesoni, fotoni, jet adronici, leptoni

ecc. Alcuni sono ottimizzati per ricerche in ambiti particolari; ad esempio,

grande fiducia è riposta nelle capacità del calorimetro elettromagnetico nel

ricostruire le traiettorie dei fotoni gamma, caratteristica fondamentale nello

studio del decadimento H → γγ. Così, lo spettrometro per muoni è

necessario, ad esempio, nel caso del decadimento “dorato” H → ZZ → llll.

Esaminiamo le componenti di ATLAS più in dettaglio.

2.5 Il rivelatore interno.

L’inner detector [23] (figura 2.7) è posto nella parte più interna di ATLAS,

a diretto contatto con la beam pipe. In esso sono presenti tre componenti

TRT

Barrel

patch panels

Pixels SCT

Services

Beam pipe

Figura 2.7: Sezione longitudinale dell’ID con le sue componenti principali:

sistema a pixel, SCT e TRT.

principali:

• rivelatore di vertice a pixel [24]. Esso consiste di tre barrel delle dimensioni

di ∼ 4 cm, 10 cm e 13 cm, accompagnati da cinque dischi su


ciascun lato, di raggio tra gli 11 e i 20 cm; ogni barrel possiede circa

1500 moduli e i dischi circa 700. La struttura a pixel è stata studiata

per garantire, data la vicinanza con il vertice d’interazione, un’alta

risoluzione nella ricostruzione delle tracce e dei vertici di produzione e

decadimento delle particelle (di particolare importanza, a tal riguardo,

l’individuazione e lo studio della cinematica dei processi di decadimento

che interessano gli adroni con quark b e leptoni τ). Data la vicinanza al

centro delle interazioni, le dosi di radiazione a cui il sistema di pixel dovrà

sottostare sono elevate, dell’ordine dei 300 kGy, e flussi di neutroni

pari a 5·10 14 cm −2 in un periodo di dieci anni d’attività. Le prestazioni

saranno garantite da tre misure di precisione delle coordinate spaziali

delle tracce prodotte in un evento;

• tracciatori a semiconduttore (SCT, SemiConductor Tracker). Essi sono

costituiti da otto strati di microstrisce (microstrips) di silicio, col

compito di misurare con precisione in otto punti le coordinate R, φ e z

delle particelle in un evento. Il rivelatore contiene 61 m 2 di superficie

attiva e circa 6,2 milioni di canali di lettura del segnale. La risoluzione

spaziale raggiungibile è di 16 µm in Rφ e di 580 µm in z;

• tracciatori a radiazione di transizione (TRT, Transition Radiation Tracker).

È costituito da rivelatori a deriva (straw detector), ciascuno del

diametro di 4 mm e con un filo interno d’oro del diametro di 30 µm. Il

barrel contiene 50,000 di queste componenti, l’end-cap circa 320,000. I

canali di lettura del segnale sono circa 420,000. Ogni canale fornisce la

misura del tempo di deriva dando una risoluzione spaziale di 170 µm

per straw e due livelli di soglia indipendenti: ciò permette di discriminare

tra tracce, che passano solo il livello inferiore, e radiazione di

transizione, che passa entrambi i livelli. Il TRT opera basandosi su una

miscela di gas non infiammabile composta da Xe (70%), CO2 (20%) e

CF4 (il rimanente 10%), per un totale di 3 m3 di gas. Il TRT fornisce

potere discriminante tra elettroni e adroni, soprattutto pioni.

L’inner detector è un componente critico di ATLAS; come già detto, data

la vicinanza al punto d’interazione, i materiali presenti saranno sottoposti

ad elevate dosi di radiazione nel corso della vita del rivelatore. Per questo

motivo, la scelta del materiale da utilizzare è stata accuratamente valutata

in modo che le prestazioni rimangano buone per il periodo di vita stimato di

ATLAS ed LHC.

Compito dell’inner detector è la determinazione della traiettoria delle particelle

cariche che originano dal punto di interazione dei pacchetti di protoni

2.6 Il solenoide centrale. 43

nella beam pipe. Questo deve avvenire in modo da provocare il minimo assorbimento

possibile dell’energia delle particelle stesse, la cui misura è principalmente

demandata ai calorimetri posti più all’esterno. Inoltre, la presenza

di materiale provoca i ben noti fenomeni di conversione in coppia e + e − dei

fotoni, emissione di radiazione di Bremsstrahlung, ecc, aumentando il rumore

di fondo già elevato in un collisore adronico e generando falsi segnali

che possono essere interpretati come segnali del decadimento ricercato. Le

conversioni, producendo particelle cariche che vengono in seguito deflesse dal

campo magnetico del solenoide interno, producono nel calorimetro elettromagnetico

sciami d’ampiezza maggiore e l’energia viene distribuita su un’area

maggiore lungo la coordinata φ, influenzando così anche la precisione con cui

la direzione dello sciame è ricostruita.

Si impone quindi un compromesso sulla quantità di materiale che il rivelatore

interno deve possedere: non troppo per non attenuare il flusso di

particelle che raggiungono i calorimetri, né troppo poco per diminuire la

capacità di ricostruzione delle traiettorie.

La figura 2.8 mostra, in funzione del valore assoluto della coordinata η,

lo spessore, espresso in lunghezze di radiazione X0, del materiale presente

nell’inner detector, dove con X0 si indica la lunghezza di radiazione, ovvero

la lunghezza in cui l’intensità della radiazione presente si è ridotta a e −1 volte

(circa il 37%) del valore iniziale. In tonalità differenti è mostrato il contributo

dovuto alle varie componenti presenti nello strumento e il contributo totale.

2.6 Il solenoide centrale.

L’ID è immerso in un intenso campo magnetico di 2 T prodotto dal solenoide

centrale. Il solenoide interno sfrutta la tecnologia dei magneti superconduttori

alla temperatura del’elio liquido. Le basse temperature presenti (∼ 2

K) sono necessarie per rendere superconduttore il materiale che costituisce

l’avvolgimento del solenoide.

È questo un ulteriore esempio del carattere

interdisciplinare che caratterizza da tempo l’attività sperimentale nel campo

della fisica delle particelle: la costruzione di grandi apparati sperimentali

porta allo sviluppo di tecnologie che derivano da conoscenze in altri campi,

come la fisica dello stato solido e la fisica delle basse temperature. Senza

materiali superconduttori, infatti, sarebbe impossibile produrre i campi

magnetici necessari per lo studio delle particelle cariche prodotte negli urti

tra protoni. Date le energie elevate raggiungibili da LHC, particelle ad alto

momento trasverso richiedono infatti campi magnetici di grande intensità,

affinché la loro traiettoria venga curvata.


Radiation length [X 0 ]

TRT

Silicon

Figura 2.8: Spessore del materiale attraversato dalle particelle nell’ID, in

funzione di | η |, e contributi dovuti alle singole componenti del rivelatore

[21].

Lo stesso argomento vale anche per LHC, dato che i magneti che curvano

la traiettoria dei protoni nei tratti non rettilinei della beam pipe sono

anch’essi realizzati in materiale superconduttore.

Total

Pixel

2.7 La calorimetria in ATLAS.

Come in molti dei rivelatori moderni, ATLAS si affida ai calorimetri per la

misura dell’energia delle particelle che lasciano il vertice d’interazione [20].

In generale i calorimetri in uso si possono suddividere in varie categorie a

seconda dei criteri di classificazione adottati.

La scelta del tipo di calorimetro è basata su una serie di motivazioni

che riguardano la natura dei processi fisici da esaminare, le energie in gioco,

la capacità di fornire informazioni sulla direzioni degli sciami, lo spazio a

|η|

2.7 La calorimetria in ATLAS. 45

disposizione, l’omogeneità del segnale a seconda della posizione in cui gli

sciami si sviluppano, la durata del periodo di vita atteso del calorimetro e,

non da ultimo, i costi di realizzazione.

I calorimetri si distinguono ulteriormente in base al tipo di particelle che

essi sono in grado di rivelare. Si hanno pertanto

• calorimetri elettromagnetici: essi si occupano di individuare e misurare

energia e direzione di propagazione principalmente di fotoni ed

elettroni/positroni. In genere, quando un leptone carico od un fotone

interagisce con il materiale del calorimetro, è prodotto uno sciame di fotoni

e coppie e + e − , detto sciame elettromagnetico (shower), in seguito

a vari processi:

1. effetto fotoelettrico; in esso un fotone è assorbito da un atomo

o da una molecola del materiale assorbitore con emissione di un

elettrone. Lo spettro d’energia degli elettroni è continuo. Tale

fenomeno può avvenire solo se la frequenza della radiazione incidente

(quindi l’energia del fotone) è superiore ad un valore di

soglia, dell’ordine di pochi elettronvolt, dipendente dalla natura

del materiale. L’effetto fotoelettrico domina per fotoni di bassa

energia e la sezione d’urto aumenta con il numero atomico Z del

materiale assorbitore;

2. effetto Compton, interpretabile come urto elastico di un fotone

con una particella carica, normalmente un elettrone, in seno al

materiale. Il fotone, in seguito all’urto, cede energia all’elettrone,

deviando dalla sua traiettoria originaria, con una nuova energia

E ′ , minore di quella iniziale;

3. produzione di coppia: nel campo coulombiano di una terza particella

carica, generalmente un nucleo atomico, il fotone si annichila

generando una coppia elettrone-positrone. È questo il caso

dominante per energie elevate del fotone incidente;

4. ionizzazione indotta dalla particella incidente e da particelle cariche

secondarie che si originano in questo processo.

Si genera così un processo a cascata che si esaurisce quando l’energia

delle particelle diviene minore dell’energia di ionizzazione del mezzo.

A questo punto solo processi d’eccitazione sono possibili e lo sciame si

considera terminato. Inoltre, è possibile un’ulteriore distinzione tra

1. calorimetri a campionamento, in cui sono presenti, accanto al materiale

assorbitore, del materiale attivo (per ATLAS è stato scelto


l’argon liquido), in cui si verificano le ionizzazioni che producono

le cariche elettriche raccolte in seguito da opportuni elettrodi di

raccolta, che si occupano di trasportare all’esterno la carica elettrica

che costituisce il segnale in uscita che verrà in seguito elaborato

al fine di ottenere il valore dell’energia dello sciame;

2. calorimetri omogenei, costituiti da un unico blocco di materiale

che agisce sia da elemento attivo che passivo. Essi sono caratterizzati

da una risoluzione energetica elevata, ma mancano di

segmentazione longitudinale.

• calorimetri adronici: in essi l’attenzione è rivolta ai processi che coinvolgono

gli adroni. Qui entrano in gioco le interazioni nucleari forti e lo

spettro delle possibili reazioni è vario. Accanto a fenomeni di tipo eletromagnetico

si verificano inoltre interazioni tra le particelle incidenti

ed i nuclei del materiale che costituisce il calorimetro, con susseguente

produzione di un largo spettro di particelle in seguito a reazioni tra gli

adroni e i nuclei.

La figura 2.9 illustra la disposizione e la struttura dei calorimetri in ATLAS.

Date le caratteristiche che distinguono sciami elettromagnetici ed adronici,

questi ultimi risultano più penetranti. Per questo motivo il calorimetro

adronico è posto all’esterno di quello elettromagnetico.

2.7.1 Il calorimetro elettromagnetico.

Il calorimetro elettromagnetico è una componente fondamentale di ATLAS

[20]. Come tutti i calorimetri, esso si occupa della raccolta e misura dell’energia

delle particelle che lasciano la zona del vertice.

Le richieste sulle sue prestazioni possono essere così riassunte:

• ampia accettanza: il calorimetro deve essere in grado di ricostruire

energia e traiettoria di fotoni ed elettroni di conversione dall’ID per

| η |


ATLAS Calorimetry (Geant)

Hadronic Tile

Calorimeters

Hadronic LAr End Cap

Calorimeters

EM Accordion

Calorimeters

Forward LAr

Calorimeters

Figura 2.9: Vista tridimensionale della calorimetria in ATLAS, ottenuta

mediante il programma di simulazione GEANT (vd. pag. 65).

• elevata risoluzione energetica;

• elevata risoluzione angolare.

Le ultime due condizioni sono di fondamentale importanza, ad esempio, nel

caso della determinazione della massa del bosone di Higgs nel canale H → γγ.

In generale, in un calorimetro, la risoluzione in energia è definita dalla

relazione

b

⊕ √ ⊕ c (2.9)

E

∆E

E

= a

E

dove a è il termine di rumore, dell’ordine dei 400 MeV/E, dovuto al rumore

elettronico della catena di generazione ed estrazione del segnale dal calori-


metro ed al pile up, b il termine di campionamento, dovuto alle fluttuazioni

dell’energia depositata dallo sciame nel calorimetro, che deve essere minore

del 10%/ √ E, c un termine costante dovuto alle disuniformità di costruzione

e dominante alle alte energie; in ATLAS è stimato essere dell’ordine dello

0,7%.

Moltiplicando per l’energia E, l’ultima espressioni si può riscrivere

∆E = a ⊕ b √ E ⊕ cE (2.10)

che mostra l’importanza dei vari contributi in funzione dell’energia. Ad energie

elevate, è il termine costante a fornire il contributo maggiore, quindi

se vogliamo una risoluzione spinta, tale termine deve essere il più piccolo

possibile.

Consideriamo ora più in dettaglio la struttura dell’EMC. Esso è del tipo a

campionamento, ovvero costituito da strati di materiale assorbitore alternati

a strati in cui le particelle cariche generate nel calorimetro vengono raccolte

ed estratte per essere inviate alla catena elettronica d’elaborazione del segnale

posta all’esterno. Tra di esse il materiale attivo, che in ATLAS è argon

liquido.

L’EMC è suddiviso in due parti principali:

• il barrel (EMB, ElectroMagnetic Barrel), disposto in maniera coassiale

rispetto all’asse del fascio di LHC e che copre la regione | η |< 1,475;

risulta ulteriormente suddiviso in due parti, data la presenza di una

sottile interruzione intorno al valore di η = 0 (piano trasversale xy),

che interessa la regione | η |


Figura 2.10: Sezione trasversale nella parte attiva del barrel dell’EMC.

Normalmente la struttura di questi calorimetri è a strati piani di materiale

assorbitore ed elettrodi di raccolta disposti alternatamente uno accanto

all’altro. Per ATLAS è stata concepita e realizzata una struttura geometrica

completamente nuova, a fisarmonica (accordion geometry), dove strati di

materiale assorbitore di piombo-acciaio sono alternati a elettrodi di raccolta

secondo lo schema mostrtato in figura 2.10. Gli elettrodi, a loro volta, sono

composti da tre armature di rame intervallate da un dielettrico (il kapton); la

superficie esterna delle armature del condensatore che costituisce l’elettrodo

è suddivisa in vari settori o sampling. In coordinata radiale distinguiamo:

1. il first sampling, detto anche front, che risulta suddiviso in strisce

(strips), che forniscono una scansione fine in η. Proprio a questa suddivisione

s’affida il compito d’individuare con precisione la direzione

dello sciame elettromagnetico e di determinarne la struttura tridimensionale,

in unione con le informazioni relative alla cordinata φ. Esso si

estende per 6X0. La sua granularità è ∆η × ∆φ = 0, 0031 × 0, 0245.

Inoltre è con le informazioni raccolte in questo settore del calorimetro

che si può ottenere una separazione tra segnali dovuti al decadimento

di pioni neutri π 0 → γγ e i fotoni candidati del decadimento del bosone

di Higgs;

2. il second sampling o middle, s’estende per una lunghezza di circa 18X0.

In esso viene raccolta la maggior parte dell’energia dello sciame. La

sua granularità è pari a ∆η × ∆φ = 0, 025 × 0, 0245.

3. il third sampling o back, che si allunga per circa 12X0. La sua granularità

è minore, non sussistendo più la necessità di determinare la

direzione dello sciame ma solo la raccolta dell’energia residua, soprattutto

per eventi di energia elevata. Possiede una granularità ∆η×∆φ =

0, 050 × 0, 0245.

Come si può notare, a partire dal first sampling la granularità in φ ri-

1 cm


mane costante, variando solo quella in η. La figura 2.11 mostra una visione

d’insieme di una metà di un elettrodo del barrel e lo spessore, in funzione

di η, espresso in lunghezze di radiazione X0. All’esterno, la suddivisione in

R (cm)

180

160

140

120

100

80

60

Depth(X0)

40

35

30

25

20

15

0.45 0.8 1.0 1.1 1.2

150

134 136 138 140 142 144 146 148

Z (cm)

40 10

5

20

0

0

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8

50 100

1 1.2 1.4

ETA

150 200 250 300

Z (cm)

Figura 2.11: Suddivisione in sampling di un elettrodo in una metà del barrel

(in alto) e spessore, in lunghezze di radiazione, fino al bordo esterno del terzo

sampling, incluso il materiale di upstream [21].

sampling è ottenuta per fotoincisione su entrambi i lati della superficie degli

elettrodi; all’interno si utilizza il processo di stratigrafia. Dopo quest’operazione,

durante la fase di produzione, si passa alla ripiegatura partendo da

una struttura piana fino ad avere la caratteristica geometria ad accordion.

Agli elettrodi è anteposto il presampler. Esso non è presente in tutto

l’intervallo di copertura in η, ma solo per | η |< 1,8, ovvero tutto il barrel

e parte dell’end-cap. La sua funzione è quella di apportare una correzione

al valore dell’energia per eventi a basso η, dove la quantità di materiale

attraversato dalle particelle prima di raggiungere il calorimetro è maggiore

R (cm)

164

162

160

158

156

154

152

ETA

1.3

1.35

1.4

1.45


di 2 X0. Esso è costituito da un sottile strato di argon liquido, dello spessore

di 1,1 cm nel barrel e 0,5 cm nell’endcap (solo fino a | η | = 1,8); in una stretta

regione tra i due criostati, dove la quantità di materiale davanti ai calorimetri

raggiunge spessori dell’ordine di 7 X0, è presente anche uno scintillatore,

posto nella regione del crack, che copre il tratto 1,0


La temperatura interna del calorimetro è di circa 89,3 K.

La figura 2.12 mostra nel dettaglio quanto esposto, unitamente al sistema

d’alimentazione degli elettrodi (parti in tensione e sistema di messa a terra).

outer copper layer

inner copper layer

kapton

outer copper layer

stainless steel

glue

lead

P

47 cm

readout electrode

HV

liquid argon gap

HV

(~2 mm)

liquid argon gap

absorber

Figura 2.12: Disposizione degli elettrodi nel calorimetro elettromagnetico,

e particolare in cui è mostrato lo schema d’alimentazione elettrica per

l’estrazione del segnale. Con P è indicato il preamplificatore.

Nelle ruote dell’end-cap la disposizione è diversa, come mostra la figura

2.13 e anche l’angolo d’apertura nella struttura ad accordion varia rispetto

al barrel, risultando più aperto. Il segnale estratto degli elettrodi è raccolto

da speciali summing board, a cui fanno riferimento gli elettrodi a gruppi di.

Più summing board sono unite ad una mother board. Da queste ultime, il

segnale elettrico viene inviato all’esterno attraverso una regione tra barrel

ed end-cap, corrispondente all’intervallo 1,475


Figura 2.13: Struttura dell’end-cap del calorimetro elettromagnetico. È

visibile la disposizione a raggiera degli elettrodi ad accordion.

Originariamente si era pensato di lasciare tutta l’elettronica di estrazione

del segnale immersa in profondità nella zona a bassa temperatura, ma motivi

di costi, affidabilità delle componenti e loro manutenzione o sostituzione

nel tempo, hanno indotto ad adottare una tecnologia forse meno innovativa

ma che fornisse maggiori garanzie di sicurezza senza sacrificare troppo le

prestazioni.

2.7.2 Il calorimetro adronico.

Per lo studio dei jet e degli adroni, ATLAS è dotato di un calorimetro adronico

[21]. In termini di richieste di prestazioni, al calorimetro adronico LHC

impone le seguenti caratteristiche

• Elevata risoluzione energetica. In generale nel calorimetro adronico la

risoluzione è inferiore rispetto a quella dei calorimetri elettromegnetici,

perchè la misura dell’energia depositata dagli sciami è soggetta a

fluttuazioni maggiori dovute a varie cause, tra cui

1. effetto della componente elettromegnetica dello sciame;


Al cryostat

warm wall

1 m

η

superconducting

solenoid coil

=0.8

B = 2 T

I N N E R D E T E C T O R

Al cryostat

cold wall

(isogrid)

ID services+cables

Presampler

feedthrough

scintillator

Al cryostat

walls

warm

cold

BARREL ENDCAP

Pb(1.5mm) Pb(1.1mm)

2.10cm/X0 2.65cm/X0

η

η=1.375 =1.475

η=1.68

η=1.8

η=2.5

η=3.2

Pb(1.7mm)

OUTER

WHEEL

INNER

Pb(2.2mm)

2 m 4 m

Figura 2.14: Schema della disposizione dell’inner detector e del calorimetro

elettromagnetico, più altre strutture (solenoide centrale, criostato). Si noti la

presenza della discontinuità tra barrel ed end-cap del calorimetro (regione del

crack) e la disposizione dei feedthrough e delle pareti a caldo (warm vessel,

all’esterno) e a freddo (cold vessel, all’interno) del criostato che alloggia il

calorimetro ad argon liquido.

2. presenza di “energia invisibile”, dove con quest’espressione si intende

l’energia di legame, d’eccitazione, di fissione e rinculo dei

nuclei, nonché l’energia “persa” per emissione di neutroni, neutrini

e muoni. Quest’energia non è rivelabile.

Tutti questi fattori comportano, in ATLAS, una risoluzione in energia

pari a

∆E

E

= 50%

√ E ⊕ 3% (2.11)

nella regione | η |< 3. sul singolo adrone (π 0 , π ± , p, p ecc.).

• Granularità. Per minimizzare l’effetto del pile-up e operare in sintonia

con il calorimetro elettromagnetico, la granularità è ∆η × ∆φ = 0, 1 ×

0, 1.

Anche il calorimetro adronico è suddiviso in un barrel e in due end-cap laterali.

La struttura del barrel è visibile in figura 2.15. Esso è suddiviso in tre


Figura 2.15: Struttura del barrel del calorimetro adronico di ATLAS. Alle

due estermità è visibile l’extended barrel [21].

componenti:

• il corpo centrale, che copre la regione | η |< 1;

• due barrel estesi (extended barrel) che si estendono nell’intervallo di

pseudorapidità pari a 0, 8


Figura 2.16: Rappresentazione della struttura delle ruote dell’end-cap del

calorimetro adronico di ATLAS [21].

Il barrel è costituito da tasselli di materiale scintillatore come materiale

attivo e acciaio inossidabile come assorbitore. I tasselli, dello spessore di 3

mm sono disposti radialmente.Il segnale luminoso degli scintillatori è portato

a dei fotomoltiplicatori attraverso fibre ottiche. Il raggruppamento delle

diverse fibre definisce una granularità pari a ∆η × ∆φ = 0, 1 × 0, 1.

L’end-cap si affida ad un altro tipo di tecnologia, più adatta alle alte

dosi di radiazione che si presentano ad η più elevato. Esso, infatti, è un

calorimetro ad argon liquido, formato da tre dischi concentrici di rame, di

cui i più interni, hanno uno spessore di 25 mm, quelli più esterni di 50 mm.

La granularità è definita dagli elettrodi di lettura.

2.7.3 Il calorimetro “in avanti”.

Un’ulteriore componente della calorimetria di ATLAS è costituita dal cosiddetto

calorimetro “in avanti” (FCAL, Forward CALorimeter). Esso è posto

all’interno delle ruote dell’end-cap dei calorimetri ed è ospitato negli stessi

criostati del calorimetro elettromagnetico; copre l’intervallo estremo in η,

2.8 Lo spettrometro per muoni. 57

ovvero 3,1


Thin gap

chambers

Resistive plate

chambers

Cathode strip

chambers

Monitored drift tube

chambers

Figura 2.17: Struttura dello spettrometro per muoni e sue componenti.

• camere di precisione. Sono costituite essenzialmente da tubi a deriva

(MDT, Monitored Drift Tube chambers) nella zona centrale e da camere

multifilo (CSC, Cathode Strips Chambers) negli end-cap. Come

mostrato in figura 2.17, la loro disposizione costituisce tre cilindri coassiali

con raggi via via crescenti (5 m, 7,5 m e 10 m dall’asse del fascio)

nel barrel e da cinque dischi per ciascun end-cap.

1. Le MDT possiedono una buona risoluzione spaziale, mentre la risoluzione

temporale risulta maggiore dell’intervallo tra due bunch

crossing successivi. Esse, dunque, forniscono lo strumento utile

per la ricostruzione della traiettoria dei muoni, ma quest’informazione

andrebbe persa se non si sapesse associare il muone all’evento

corretto a cui appartiene. Le MDT sono costituite da tubi di

2.8 Lo spettrometro per muoni. 59

deriva in alluminio di 30 mm di diametro in cui è inserito un filo

di 50µm di spessore che funge da anodo.

2. Le CSC possiedono invece buona risoluzione spaziale e temporale

e per questo motivo sono utilizzate nel primo anello dell’end-cap,

nella sua parte interna, dove ci si aspetta un flusso elevato di

tracce.

• camere di trigger, composte da due tipi di rivelatori a gas differenti:

nel barrel le RPC (Resistive Plate Chambers), mentre nelle end-cap

le TGC (Thin Gap Chambers). Questi rivelatori sono caratterizzati

da una maggiore risoluzione temporale e hanno dunque una funzione

complementare a quella delle camere a deriva. Senza le camere a trigger

stabilire a quale evento un generico muone appartiene risulterebbe assai

difficile, se non impossibile.

1. Le RPC sono rivelatori a gas costituiti da piani di materiale dielettrico

resistivo (bakelite), posti a 2 mm di distanza l’uno dall’altro,

e separate da strisce di policarbonato che lasciano libere delle celle

large 10 cm in cui è presente del gas in pressione. I due piani sono

ricoperti, sulle facce esterne, da uno strato di grafite connesso all’alta

tensione. La carica generata dalle particelle ionizzanti viene

trasportata dal campo e induce segnali in due sistemi ortogonali

di strip incollate ad un supporto isolante di materiale plastico

pressato sullo strato di grafite.

2. Le TGC sono basate sul modello delle camere proporzionali multifilo.

In questo caso, la distanza tra due fili anodici è maggiore

rispetto a quella tra filo anodico e piano catodico. La lettura del

segnale è effettuata ad ogni anodo e raccolta da un sistema di

strip disposte perpendicolarmente agli anodi stessi e fissate al lato

esterno del catodo.

Lo spettrometro per muoni si trova immerso nel campo magnetico generato

dai magneti toroidali [27].

• Nella regione che corrisponde a | η |< 1, il campo magnetico toroidale

è prodotto da otto bobine air core lunghe 25 m, la cui disposizione è

visibile in figura 2.18. Il loro bordo esterno si trova ad una distanza di

circa 10 m dall’asse del fascio di ATLAS. Il valore massimo del campo

magnetico è di 3,9 T.

• Nella regione 1,4


Figura 2.18: Vista d’insieme della disposizione dei magneti air core (1) dello

spettrometro per muoni e della struttura di sostegno (2).

• Nella regione intermedia, detta regione di transizione, corrispondente

a 1

2.9 Il sistema di trigger e acquisizione dati. 61

2.9 Il sistema di trigger e acquisizione dati.

Dopo questa breve rassegna sul numero e sulle caratteristiche delle varie componenti

di ATLAS, veniamo ora ad un ulteriore importante aspetto: l’estrazione

del segnale e l’individuazione degli eventi di interesse. Data l’elevata

luminosità di LHC e la grande frequenza d’interazione tra i pacchetti del

fascio, ATLAS dovrà essere dotato di un opportuno sistema di

• estrazione rapida del segnale dal rivelatore;

• efficiente selezione degli eventi interessanti dal segnale di fondo;

• grande capacità d’archiviazione dei dati raccolti.

Il sistema di trigger e acquisizione dati (DAQ) [22] di ATLAS è strutturato su

tre livelli, posti in cascata, ciascuno dei quali opera basandosi sul risultato del

livello precedente. Le richieste imposte dalle caratteristiche tecniche di LHC

da un lato, ed i mezzi d’elaborazione elettronica per la raccolta del segnale

dall’altra, unite alle caratteristiche dei vari sistemi che compongono ATLAS,

impongono al siatema di trigger di passare da una frequenza del segnale in

ingresso pari a 10 9 Hz, ad una frequenza di circa 100 Hz per l’acquisizione

permanente dei dati. Questo impone un fattore di reiezione di 10 7 .

Il sistema di trigger e DAQ di ATLAS è schematizzato in figura 2.19. Si

distinguono:

• trigger di primo livello (LVL1, LeVeL 1 trigger);

• trigger di secondo livello (LVL2, LeVeL 2 trigger);

• filtro d’eventi (EF, Event Filter).

2.9.1 Il trigger di primo livello.

Il trigger LVL1 [28] elabora dati che contengono informazioni relative ad una

scansione grossolana in η e φ, provenienti da vari sottosistemi di ATLAS.

Principalmente vengono utilizzati i segnali delle camere di trigger dello spettrometro

per muoni, in particolare le RPC nel barrel e le TGC nelle end-cap.

Già in questa prima fase, a livello dei calorimetri, si cercano fotoni ed elettroni

di pT elevato, jets, decadimenti dei τ ed elevati valori dell’energia mancante

Emiss.

La massima frequenza a cui il front-end di ATLAS può accettare i segnali

dal LVL1 è limitata a 75 kHz, estendibile a 100kHz. Compito fondamentale

del sistema è però l’individuazione il più possibile sicura dell’evento a cui

corrisponde il segnale d’interesse.


Interaction rate

~1 GHz

Bunch crossing

rate 40 MHz

LEVEL 1

TRIGGER

< 75 (100) kHz

Regions of Interest

LEVEL 2

TRIGGER

~ 1 kHz

EVENT FILTER

~ 100 Hz

CALO MUON TRACKING

Event builder

Data recording

Pipeline

memories

Derandomizers

Readout drivers

(RODs)

Readout buffers

(ROBs)

Full-event buffers

and

processor sub-farms

Figura 2.19: Diagramma a blocchi che illustra i tre livelli del sistema di

trigger ed acquisizione dati (DAQ) in ATLAS [22].

Alle frequenze di collisione di LHC e per i valori delle sezioni d’urto dei

vari processi previsti, si prevedono mediamente ∼ 26 eventi d’interazione tra

protoni ad ogni incrocio dei fasci; tali eventi, detti di minimum bias, sono i più

delle volte di nessun interesse nella ricerca di nuove particelle, corrispondendo

a processi fisici già noti. Per cercare eventi interessanti, oltre a studiare

canali dalla segnatura caratteristica, è necessario conoscere con certezza a

quale evento il segnale candidato appartiene, per poter poi usufruire delle

informazioni da parte di tutti i sottosistemi di ATLAS e ricostruire l’evento

nella sua completezza.

Se si considera poi la presenza, soprattutto nei collisori adronici come

LHC, di un consistente fondo, dovuto a vari processi di QCD, allora si capisce

come un sistema di trigger efficiente sia di fondamentale importanza e la sua

realizzazione per nulla triviale.

Il tempo di latenza del trigger LVL1, ossia il tempo necessario per la

decisione se scartare od accettare un segnale ed inviarlo al trigger LVL2 per

la successiva elaborazione, deve essere ridotto al minimo. Le richieste sono

di intervalli minori di 2,5 µs. Durante questo periodo l’informazione raccolta

viene immagazzinata temporaneamente in memorie pipeline, il tutto per un

2.9 Il sistema di trigger e acquisizione dati. 63

numero di canali pari a 10 7 .

2.9.2 Il trigger di secondo livello.

Se tutti i requisiti imposti dal trigger LVL1 sono soddisfatti, si passa al trigger

di secondo livello [29] attraverso i ROD (ReadOut Drivers) e, successivamente

i ROB (ReadOut Buffers). Questi ultimi immagazzinano i dati del segnale

fino a che il trigger LVL2 prende una decisione; se l’evento è accettato , le

informazioni passano all’EF e al DAQ. Il processo di selezione fa uso delle

cosiddette regioni d’interesse (RoI, Region of Interest), che provengono dal

trigger LVL1 attraverso una linea dedicata. Il trigger LVL1 fornisce infatti

informazioni cinematiche di eventi candidati. In corrispondenza a tali eventi,

il trigger LVL2 estrae dalle ROB solo le informazioni relative alla regione

del rivelatore in cui l’evento candidato si trova e l’analisi viene condotta in

maniera molto più fine solo nella regione d’interesse.

In sintesi il trigger LVL1 raccoglie informazioni su tutto il rivelatore, le

immagazzina brevemente nelle memorie dedicate e indica al trigger LVL2 le

regioni di ATLAS dove un’analisi più attenta deve essere fatta. Il trigger

LVL2 applica successivamente i propri criteri di selezione e, abbassando la

frequenza di trigger dei dati a circa 1 kHz, invia in uscita le informazioni

processate al filtro d’eventi e alla catena di acquisizione dati per l’analisi

successiva non in linea (offline analysis).

A seconda dei processi fisici in esame, i criteri di reiezione del trigger

LVL2, così come quelli del LVL1, variano, concentrandosi su particelle cariche

ad alto pT, presenza di cluster adronici isolati, valori di taglio di varie

grandezze come l’energia mancante Emiss, ecc. Ad esempio, per il canale

H → γγ, si richiede l’individuazione di una coppia di fotoni in entrambi

i trigger, con il fattore di reiezione a livello del secondo trigger maggiore

rispetto al primo.

2.9.3 Il filtro d’eventi.

Il filtro d’eventi [29] ha infine vari compiti:

• verifica ed eventuale conferma delle decisioni operate dal trigger LVL2

e, in caso affermativo, proseguimento dell’analisi;

• utilizzo, se necessario, di algoritmi più raffinati riguardanti i valori di

taglio utilizzati per la reiezione degli eventi candidati del segnale;

• utilizzo di tutte le informazioni a disposizione per lo studio dell’evento;


• utilizzo di algoritmi che, dati i limiti temporali imposti da LHC e

ATLAS ai trigger antecedenti, non possono essere utilizzati precedentemente

nella selezione e analisi degli eventi candidati.

Una volta superati questi livelli di selezione, l’evento candidato viene accettato

ed inviato al sistema d’archiviazione dei dati, in vista della successiva

analisi non in linea.

2.10 Aspetti computazionali.

L’ottenimento di una mole di dati elevata come quella attesa ad ATLAS pone

una serie notevoli di problemi che riguardano principalmente [29]:

• archiviazione dei dati ottenuti;

• elaborazione degli stessi utilizzando opportuni programmi d’analisi;

• facile accesso ai dati e grandi capacità d’elaborazione in sede d’analisi

non in linea.

Grande attenzione è posta sulla qualità del software da utilizzare; l’attuale

filosofia è orientata all’utilizzo di linguaggi di programmazione ad oggetti

(object oriented languages), in modo da ridurre, selezionare e poi analizzare i

dati che si otterranno durante l’attività di LHC. La mole corrisponde a circa

un Petabyte all’anno (1 PB = 10 6 GB = 10 15 byte).

Anche la loro archiviazione non è così semplice. Si pensa di archiviare i

dati in loco al CERN e in varie altre località sparse in tutto il mondo. Questo

rende necessario un sistema di reti informatiche capace di mettere in grado

qualunque fisico di trovare e successivamente analizzare i dati raccolti relativi

al suo specifico ambito di ricerca. Attualmente si lavora per la creazione di

una tale rete e dei protocolli necessari con il progetto GRID [30, 31].

Capitolo 3

Studio mediante simulazione

del decadimento H → γγ

Attualmente LHC è ancora in fase di costruzione. L’inizio dell’attività di

presa dati è previsto per la metà del 2007. Dettagliate simulazioni sono

state utilizzate per studiare le caratteristiche dell’acceleratore e dei rivelatori

installati, in modo da prevederne le prestazioni e i risultati ottenibili in vari

ambiti della fisica delle particelle, inclusa la fisica del bosone di Higgs.

3.1 Analisi del decadimento H → γγ.

È possibile studiare le interazioni tra protoni che si verificheranno in ATLAS

affidandosi ad una serie di programmi che si occupano di simulare la cinematica

degli eventi e la loro rivelazione nello strumento.

La simulazione si può pensare come composta da vari stadi, tra loro

interdipendenti:

• generazione degli eventi: per il bosone di Higgs, essa è affidata al programma

PYTHIA [32], giunto alla versione 6.2, particolarmente adatto

per la generazione di eventi nell’ambito del Modello Standard, e di

SPYTHIA, pacchetto aggiuntivo utilizzato per simulare vari processi

supersimmetrici, tra cui la produzione di Higgs supersimmetrici;

• simulazione della risposta dei rivelatori: è dovuta a DICE, che partendo

dalle informazioni relative ai rivelatori, alla geometria delle componenti,

ai materiali utilizzati, “traccia” il passaggio di particelle cariche

e neutre nel rivelatore, inclusi la nascita e sviluppo degli sciami elettromagnetici

ed adronici. Si basa a sua volta sul programma GEANT3

[33];

65

66 Studio mediante simulazione del decadimento H → γγ

• ricostruzione degli eventi: è affidata al programma ATHENA. Partendo

dai segnali lasciati dalle particelle nel rivelatore, ricostruisce le informazioni

su tracce di particelle cariche, sciami nei calorimetri, jet adronici,

ecc. ATHENA è giunto alla versione 6.0.1.

Naturalmente questi programmi sono in continuo miglioramento, e nuove

versioni si sono susseguite nel corso di tutta l’attività della collaborazione

ATLAS, adattandosi alle modifiche via via introdotte in fase di progettazione

dei rivelatori, e ai miglioramenti delle conoscenze sperimentali e teoriche alla

base della simulazione degli eventi stessi.

Nel seguito, ci occuperemo con maggiore attenzione del canale di decadimento

del bosone di Higgs in due fotoni. L’analisi è stata effettuata mediante

l’utilizzo del programma PAW (Physics Analysis Workstation), sviluppato

al CERN a partire dal 1986. Esso può operare su file in ingresso, chiamati

n-tuple, che contengono, in forma sintetica, un sottinsieme di informazioni

prodotte dai programmi illustrati.

L’attività di tesi è consistita principalmente nella scrittura di un programma

di analisi dati, in linguaggio FORTRAN, che fosse in grado di analizzare

il decadimento H → γγ, operando sulle n-tuple.

L’obiettivo è stato duplice:

• in una prima fase si è cercato di riprodurre i risultati esposti nel TDR

(Technical Design Report, 1999) [22], per saggiare la correttezza del

codice scritto;

• in un secondo momento, si è utilizzato il codice sviluppato, con gli

opportuni adattamenti, in modo da operare su nuove n-tuple; lo studio

è stato condotto per la prima volta con la versione definitiva della

geometria del calorimetro elettromagnetico di ATLAS, dopo le modifiche

introdotte nell’inner detector, che hanno interessato la quantità di

materiale posta di fronte al calorimetro, e quelle effettuate nelle zone

di servizio, che hanno ampliato lo spazio riservato alla cablatura. Di

particolare importanza, l’aumento dell’intervallo tra barrel ed end-cap

nel calorimetro elettromagnetico (la cosidetta regione del crack).

Nel seguito, per semplicità, ci si riferirà al primo caso parlando genericamente

di file TDR, nel secondo di file DC1 (Data Challenge 1). La differenza tra i

due casi consiste nei risultati delle simulazioni fornite da DICE e GEANT3.

Obiettivo finale dello studio condotto è stata la determinazione della risoluzione

in massa del bosone di Higgs ricostruita dalle informazioni fornite

dal calorimetro elettromagnetico; sono stati effettuati due studi, per un valore

fissato della massa del bosone di Higgs. In un primo caso, anche per un

3.1 Analisi del decadimento H → γγ. 67

confronto più diretto con i risultati del TDR, in fase di generazione la massa

è stata fissata a 100 GeV. In seguito, per ottenere risultati in un intervallo di

massa non escluso dai dati sperimentali oggi in possesso, specialmente quelli

di LEP, la simulazione è stata condotta per un bosone di Higgs di massa pari

a 120 GeV.

I valori delle masse si intendono fissati dal programma PYTHIA, ovvero

in fase di generazione d’evento.

Complementare a questo studio è stata l’indagine, mediante simulazione,

sulla risoluzione ottenibile grazie al calorimetro elettromagnetico di ATLAS

per la determinazione della posizione del vertice d’interazione primario. Ciò è

stato portato a termine simulando eventi di particella singola (ovvero basandosi

solo sulle informazioni fornite da DICE senza la generazione di eventi

data da PYTHIA), con fotoni da 50 GeV nell’intervallo di pseudorapidità

| η |< 2,5 e coprendo tutto l’intervallo in φ.

È importante notare che nel presente lavoro è stato trascurato, negli eventi

di segnale, il contributo dovuto al rumore elettronico e al pile-up. Inoltre,

non sono stati simulati eventi dovuti al fondo. Una stima dell’effetto sulla

risoluzione in massa è comunque dato nel paragrafo che illustra le conclusioni

di questo studio.

I passi effettuati per ottenere questi risultati si possono riassumere nei

seguenti punti:

1. analisi dello spettro di particelle generate, in ogni evento, in seguito all’urto

protone-protone, ed individuazione dei due fotoni di decadimento

del bosone di Higgs, se presenti;

2. individuazione dei fotoni del decadimento dell’Higgs che hanno subito

una conversione nell’inner detector;

3. analisi degli sciami elettromagnetici che si sviluppano nel calorimetro

elettromagnetico;

4. individuazione dello sciame elettromagnetico associato ai fotoni o agli

elettroni-positroni di conversione e scelta della dimensione del cluster

elettromagnetico nel piano ηφ (cluster 3x5 o 3x7);

5. correzione della posizione angolare θ dei fotoni del bosone di Higgs

rispetto al vertice vero d’interazione e sua ricostruzione con le informazioni

del calorimetro elettromagnetico;

6. ricostruzione del tetramomento dei fotoni associati ad un cluster e loro

utilizzo per il calcolo della massa invariante del sistema γγ, identificata

con la massa del bosone di Higgs;


7. ricostruzione della posizione del vertice primario dai dati forniti dal

calorimetro e studio del suo effetto sulla risoluzione in massa;

8. studio dell’effetto sulla risoluzione in massa dovuto alla presenza di

alcune zone critiche, in termini di accettanza, nel calorimetro (effetto

del crack tra barrel ed end-cap);

9. sintesi finale di tutti i fattori esaminati considerati contemporaneamente.

3.2 Struttura delle n-tuple.

Per raggiungere tutti questi obiettivi, è stata scritta una serie di macro, ovvero

programmi eseguibili in ambiente PAW, in grado di leggere ed elaborare

i dati contenuti nelle n-tuple.

Ogni n-tupla contiene informazioni relative a varie grandezze fisiche associate

alle particelle generate, alle tracce nell’ID e agli sciami e jet nel calorimetro,

in cluster di dimensione opportuna. Nel caso relativo al TDR il

numero totale di eventi contenuti nelle n-tuple è pari a 10,250; con i file DC1,

invece, 9,886 eventi.

Ogni n-tupla è definita “combinata” (combined n-tuple); essa è composta

da vari blocchi, ciascuno riferito ad aspetti particolari dell’evento. Si

distinguono i blocchi

• EVENT, che fornisce informazioni sul numero dell’evento e sul run a

cui esso appartiene; con il termine run ci si riferisce al tempo di attività

di LHC tra due momenti in cui, per i motivi più vari, la presa dati viene

sospesa; nelle simulazioni, però, il numero di run è semplicemente un

numero che identifica un file prodotto dai programmi di simulazione

Monte Carlo;

• TRUTH, in cui sono raccolte le informazioni sulla cinematica degli

eventi generati;

• TRACK, che descrive le tracce delle particelle cariche ricostruite nell’ID;

• CLUSTER, che fornisce il valore dei vari parametri degli sciami elettromagnetici

ed adronici;

• VERTEX, in cui sono raccolte le informazioni relative alla posizione

del vertice primario;

3.3 Cinematica del bosone di Higgs e dei fotoni di decadimento.69

• CONV, in cui si hanno le informazioni sulla posizione delle conversioni

dei fotoni in coppie e + e − nella regione interna di ATLAS;

• JETS, relativo alla direzione e all’energia dei jet adronici;

• EGAM, il blocco più interessante in relazione agli sciami elettromagnetici;

fornisce informazioni, sull’energia totale e parziale depositata

nei vari sampling del calorimetro elettromagnetico, oltre ad ulteriori

caratteristiche sulla forma dello sciame.

Con questa base di dati derivanti dalla simulazione e ricostruzione degli eventi

con i programmi Monte Carlo visti in precedenza, il lavoro d’analisi si è

sviluppato lungo la serie di punti principali vista nel paragrafo 3.1 e che ora

andiamo ad illustrare nel dettaglio.

3.3 Cinematica del bosone di Higgs e dei fotoni

di decadimento.

Il primo passo intrapreso nell’analisi degli eventi generati è stato l’individuazione

del bosone di Higgs tra le particelle generate in ogni evento e lo studio

di alcune sue caratteristiche cinematiche. La figura 3.1 mostra la distribuzione

del momento trasverso pT e dell’energia E prodotti dai programmi di

generazione. Nel caso dei file DC1, il momento trasverso ha un valore medio

di circa 44,28 GeV/c, mentre l’energia media è di circa 210,3 GeV.

Il calcolo dell’energia dei fotoni richiede una precisazione. L’n-tupla, infatti,

fornisce il valore del momento trasverso pT, ma non le singole componenti

del tetramomento. Per ottenerle si ricorre a una semplice proiezione

sugli assi e al fatto che, per una particella di massa m, vale la relazione

E 2 = m 2 + p 2 . (3.1)

In coordinate polari si ottengono immediatamente le componenti

Sostituendo nella (3.1), si ottiene:

px = pT cosφ

py = pT sin φ (3.2)

pz = pT

tanθ

E 2 = m 2 +

2 pT

. (3.3)

sin θ


eventi

eventi

500

400

300

200

100

1200

1000

800

600

400

200

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

10

9887

44.28

39.95

0.000

88.00

0

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

pT (GeV/c)

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

101

9887

210.3

118.1

0.000

10.00

0

0 200 400 600 800 1000

E (GeV)

Figura 3.1: Distribuzione del momento trasverso pT (in alto) e dell’energia

E (in basso) per il bosone di Higgs (file DC1).


eventi

250

200

150

100

50

0

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

11

9887

0.1204E-03

2.343

1.000

3.000

-6 -4 -2 0 2 4 6

Figura 3.2: Distribuzione lungo la coordinata η per il bosone di Higgs generato

(file DC1).

La figura 3.2 mostra la distribuzione relativa alla coordinata η del bosone

di Higgs negli eventi. Un’interessante informazione è fornita dagli istogrammi

di figura 3.3 e 3.4; esse mostrano la distribuzione della posizione lungo

l’asse z e lungo la coordinata r del vertice di produzione del bosone di Higgs.

È questo il vertice primario ztrue, che in LHC è noto con una precisione dell’ordine

di 5,6 cm, valore collegato alla dimensione dei pacchetti di protoni

durante il bunch crossing. I protoni, infatti, circolano in LHC raggruppati

in pacchetti che hanno precise dimensioni; lungo l’asse z il pacchetto si distribuisce

secondo una gaussiana caratterizzata da una deviazione standard

σ = 5,6 cm. La sezione nel piano perpendicolare xy è invece di dimensioni

molto minori, caratterizzata da un valore σ = 15 µm.

Una volta individuato l’Higgs, si è passati alla ricerca dei fotoni prodotti

nel suo decadimento. Identificati i due fotoni, sono stati determinati

momento trasverso pT, posizioni in η e φ e componenti del tetramomento.

La figura 3.5 mostra la loro distribuzione in funzione della pseudorapidità

η. Si può notare che i due fotoni sono generati principalmente nella zona

centrale del rivelatore ATLAS, ovvero si propagano tendenzialmente intorno

η


eventi

300

250

200

150

100

50

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

14

9886

-0.6370

55.92

4.000

1.000

0

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

zHiggs (mm)

Figura 3.3: Distribuzione in z del vertice di produzione del bosone di Higgs

(file DC1).

eventi

450

400

350

300

250

200

150

100

50

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

15

9886

0.1884E-01

0.9921E-02

0.000

0.000

0

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

rHiggs (mm)

Figura 3.4: Distribuzione in r del vertice di produzione del bosone di Higgs

(file DC1).


n.fotoni

500

400

300

200

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

181

19774

-0.4341E-02

1.241

0.000

0.000

0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

η

Figura 3.5: Distribuzione in pseudorapidità η per i fotoni generati (file DC1).

al piano trasverso xy. Sempre in relazione a questa figura, va detto che già

in fase di generazione degli eventi è inserito un taglio che esclude fotoni per

valori di | η |> 2,7. Questo è fatto perchè tali valori corrispondono a zone del

calorimetro (ruota interna dell’end-cap) in cui non sono possibili misure di

fisica di precisione, che invece interessano le zone del calorimetro per valori

di | η | minori.

Le distribuzioni del momento trasverso pT e dell’energia E dei singoli

fotoni generati dal decadimento del bosone di Higgs sono mostrate in figura

3.6.

Anche in questo caso, già in fase di generazione, è stato introdotto un taglio

sul valore del momento trasverso; i fotoni generati devono tutti soddisfare

la condizione pT > 24 GeV/c (vd. [35]).


n.fotoni

n.fotoni

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

1400

1200

1000

800

600

400

200

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

165

19774

52.60

22.53

0.000

29.00

0

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

pT (GeV/c)

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

166

19774

103.6

72.61

0.000

76.00

0

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

E (GeV)

Figura 3.6: Distribuzione del momento trasverso pT (in alto) e dell’energia

E (in basso) per i fotoni del decadimento H → γγ (file DC1).

3.4 Le conversioni nell’inner detector. 75

3.4 Le conversioni nell’inner detector.

In ATLAS, i due fotoni di decadimento, una volta prodotti, si propagano

verso l’esterno attraversando il rivelatore. Lungo la loro traiettoria, essi incontrano

l’inner detector e qui, interagendo con il materiale presente, possono

dar luogo a conversione in coppie e + e − . L’ID si estende radialmente fino a

115 cm dall’asse del fascio, mentre lungo z, simmetricamente rispetto al piano

z = 0, per una lunghezza di circa 340 cm.

La conversione di fotoni nella materia è un fenomeno ben noto. Come già

detto nel capitolo 2, in generale, l’interazione dei fotoni con la materia può

dare luogo a

• effetto fotoelettrico;

• effetto Compton;

• produzione di coppia e + e − .

L’ultimo caso è quello di maggior interesse alle energie di ATLAS. Già nell’ID

possono verificarsi delle conversioni e i membri delle coppie e + e − , per azione

del campo magnetico generato dal solenoide centrale, si propagano deviando

in direzioni opposte dalla traiettoria del fotone originario a seconda della

carica posseduta.

Le simulazioni Monte Carlo che generano le n-tuple utilizzate permettono

di determinare se il fotone che viene dal decadimento del bosone di

Higgs subisce conversione oppure raggiunge il calorimetro elettromagnetico

indisturbato.

In caso di identificazione di una conversione, sono stati determinati tetramomento

iniziale e direzione in η e φ delle traiettorie di elettrone e positrone.

A questo punto, sempre utilizzando i dati del blocco TRUTH, è stata

determinata la posizione nel piano rz del punto di conversione nell’ID.

In realtà, se la conversione avviene molto lontano dall’asse del fascio, le

traiettorie dell’elettrone e positrone non vengono deflesse in maniera tale da

produrre, nel calorimetro elettromagnetico, uno sciame distinguibile da quello

prodotto da un fotone. Per questo motivo, benché presenti, non consideriamo

come conversioni quelle che distano dal fascio più di 80 cm. Analogamente

per le conversioni con | z | > 280 cm.

La figura 3.7 mostra, in funzione della pseudorapidità, la percentuale di

fotoni convertiti nell’ID e di quelli per cui l’identificazione della conversione

può essere effettuata efficientemente. I risultati sono quelli ottenuti per la

stesura del TDR [21].

Dalle simulazioni condotte è stato possibile, anche nel nostro caso, calcolare

la percentuale di conversioni relativa al numero totale d’eventi analizzata.


Fraction of converted photons (%)

50

40

30

20

10

0

0 1 2

Pseudorapidity

Figura 3.7: Frazione di fotoni convertiti nella cavità interna (in nero) e nella

regione dove le conversioni possono essere identificate con efficienza (simboli

vuoti) in funzione della pseudorapidità η [21]. Si noti la copertura fino a η

pari a 2,5.

I risultati sono riassunti nella tabella 3.1 La figura 3.8 mostra la posizione

nel piano rz del punto di conversione dei fotoni nell’inner detector fornita

dal blocco TRUTH delle n-tuple. Si riconosce immediatamente la struttura

dell’inner detector, con i rivelatori a pixel, i rivelatori a microstrisce dell’SCT

e i tracciatori a radiazione di transizione, TRT (vd. fig. 2.7, pag. 41).

Nel primo caso (in alto), la configurazione è quella relativa alla vecchia

geometria dell’inner detector (file TDR), mentre la figura in basso, ottenuta

dai file DC1, mostra le modifiche effettuate. Già ad un primo sommario

esame, infatti, la distribuzione dei punti in cui avvengono le conversioni è

diversa; globalmente l’effetto è stato quello di un aumento del materiale

posto in fronte al calorimetro elettromagnetico, come si deduce anche dalla

figura 3.9, che mostra il materiale dell’inner detector espresso in lunghezze

di radiazione X0 in funzione di η. La figura si basa sui file DC0, che hanno

costituito una versione di controllo antecedente i file DC1. Come si può

vedere, la tendenza è verso un generale aumento dello spessore del materiale

3.4 Le conversioni nell’inner detector. 77

r conv (mm)

r conv (mm)

1000

800

600

400

200

0

1000

800

600

400

200

0

ID 699

ENTRIES 4470

0.00 0.00 0.00

0.00 0.447E+04 0.00

0.00 0.00 0.00

-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000

zconv (mm)

ID 699

ENTRIES 5347

0.00 0.00 0.00

0.00 0.535E+04 0.00

0.00 0.00 0.00

-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000

zconv (mm)

Figura 3.8: Rappresentazione della posizione dei punti di conversione dei

fotoni nel piano zr (non in scala) fornita dal programma di simulazione (in

alto, file TDR; in basso, file DC1).


Figura 3.9: Confronto tra la vecchia e la nuova geometria dell’inner detector

in funzione di η. In alto, spessore di materiale, in lunghezze di radiazione,

per la vecchia geometria (TDR, in azzurro) e la nuova (DC0, in rosso). In

basso, differenze assolute tra le due disposizioni.

3.5 Identificazione dei cluster. 79

% Ev. no conv. % Ev. almeno una conv. Prob. conv. (%)

file TDR 61,3 38,7 21,8

file DC1 53,2 46,8 27,0

Tabella 3.1: Percentuale degli eventi in cui non avviene conversione, in

cui almeno un fotone converte e probabilità per un singolo fotone di subire

conversione nell’inner detector.

davanti al calorimetro, specialmente ad η elevato, benchè dalla figura stessa

si evinca che tale incremento risulta essere notevole già a partire da | η | =

0,8, ovvero dall’elettrodo B del barrel. Solo in intervalli molto ristretti si è

avuta una diminuzione.

Un’ulteriore idea di come le modifiche abbiano inciso sulla struttura della

parte interna del rivelatore e sulla quantità di materiale posto internamente

al calorimetro si può avere esaminando le figure 3.10 3.10, dove sono mostrate

separatamente le distribuzioni lungo le coordinate r e z dei punti ove

avvengono le conversioni. Si noti il maggior numero di conversioni che avvengono

a piccoli valori di r, ovvero molto vicino all’asse del fascio di LHC.

Il peso di queste conversioni “anticipate” 1 è decisamente maggiore rispetto

alle simulazioni condotte con la vecchia geometria dell’inner detector.

L’individuazione delle conversioni è importante, perché se esse avvengono

vicino all’asse del fascio, l’elettrone ed il positrone prodotti possono essere

deviati in tal misura dal campo magnetico presente, da generare sciami

elettromagnetici in due cluster distinti nel calorimetro.

Le conversioni possono essere individuate con un apposito codice che trova

due tracce cariche di segno opposto provenienti da un vertice comune. Il

programma richiede un numero minimo di hit nell’inner detector affinché la

traccia sia ricostruita. Ciò limita alla regione R < 80 cm e | z |< 280 cm la

zona in cui le tracce possono essere ricostruite in maniera affidabile.

Questo codice, in passato testato con successo in ATLAS, non era disponibile

assieme al programma di ricostruzione ATHENA utilizzato in questa tesi.

Per questo motivo, nel presente lavoro, le conversioni sono state ricostruite

utilizzando le informazioni del blocco TRUTH.

3.5 Identificazione dei cluster.

Una volta identificati i fotoni dovuti al bosone di Higgs, e noto il numero e la

posizione di un’eventuale conversione, il passo seguente è quello di determinare

il numero di cluster presenti nell’evento e di cercare di determinare quali

1 come si vedrà nella sezione 3.8, esse sono dette early conversion


eventi

eventi

300

250

200

150

100

50

0

250

200

150

100

50

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

700

4470

12.09

844.6

0.000

0.000

-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000

zconv (mm)

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

701

4470

366.7

222.5

0.000

0.000

0

0 200 400 600 800 1000

rconv (mm)

Figura 3.10: Distribuzione lungo le coordinate r e z dei punti in cui avviene

una conversione nell’inner detector (file TDR).

3.5 Identificazione dei cluster. 81

eventi

eventi

400

350

300

250

200

150

100

50

0

500

400

300

200

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

700

5347

-7.573

836.3

0.000

0.000

-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000

zconv (mm)

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

701

5347

338.8

232.2

0.000

0.000

0

0 200 400 600 800 1000

rconv (mm)

Figura 3.11: Distribuzione lungo le coordinate r e z dei punti in cui avviene

una conversione nell’inner detector (file DC1).


tra essi sia stato prodotto dai fotoni o dai prodotti di conversione. Tutte le

informazioni riguardanti i cluster sono state desunte dal blocco EGAM delle

n-tuple utilizzate.

In una prima fase abbiamo individuato in ogni evento tutti i cluster

elettromagnetici e alcune grandezze fisiche loro associate, quali:

• il momento trasverso totale dello sciame elettromagnetico nel cluster;

• le coordinate η e φ del suo baricentro.

La conoscenza di queste grandezze è fondamentale per l’associazione tra

il fotone generato dai programmi Monte Carlo e il cluster. Scopo di quest’analisi,

infatti, è valutare la risoluzione in massa del picco del decadimento

H → γγ e la frazione d’eventi di segnale nel picco. Per questo non effettueremo

nessun taglio di qualità sullo sciame per l’identificazione dei fotoni. Due

sono i metodi utilizzabili per associare un cluster ad un fotone:

• confronto del momento trasverso pT;

• confronto della direzione del fotone generato con quella del cluster

utilizzando la grandezza ∆R, definita dalla relazione

∆R 2 = ∆η 2 + ∆φ 2

(3.4)

L’utilizzo di questa grandezza necessita di un chiarimento. Essa rappresenta

la distanza nello spazio ηφ tra due punti di coordinate (η1, φ1) e (η2, φ2) molto

vicini tra loro.

Un valore fissato di ∆R individua dunque un cono attorno ad una direzione

prefissata. Se per questa si prende la direzione del fotone generato, allora

un criterio per associare il cluster in modo corretto consiste nel richiedere

che il valore di ∆R corrispondente sia minore di un certo valore fissato. Il

cluster che si avvicina di più al fotone viene associato a quest’ultimo.

Il metodo del momento trasverso identifica il cluster generato dal fotone

confrontando i valori di tale grandezza per entrambi, e scegliendo il cluster

con il valore di pT più vicino a quello del fotone. Il problema che si incontra

con questo metodo è la cattiva associazione, in pochi ma notevoli casi, tra

lo sciame elettromagnetico nel cluster ed il fotone generato. Infatti, spesso

accade che il processo di matching porta ad associare fotoni a sciami di

momento trasverso molto simile ma in posizioni nel rivelatore completamente

diverse. Il problema si evidenzia soprattutto in relazione alla coordinata φ.

Entrambi i metodi esposti sono stati utilizzati in una prima fase di scrittura

del programma, per ottenere un paragone e decidere quale dei due metodi

fornisse i risultati migliori. Alla fine si è optato per l’utilizzo della grandezza

3.6 Scelta della dimensione del cluster. 83

∆R (metodo del cono), che è risultato affidabile in un numero maggiore di

eventi, dati i vincoli di natura geometrica che esso impone.

Per entrambi i fotoni la procedura è identica. Al fotone generato è associato

il cluster ricostruito nel calorimetro che risulta più vicino nello spazio

ηφ; se uno stesso cluster risulta associato ad entrambi i fotoni, allora esso

viene attribuito al fotone più vicino e si ripete la procedura di identificazione

relativa all’altro fotone su tutti i cluster rimanenti. In questo modo, ogni

fotone generato è associato a un solo cluster. La figura 3.12 mostra la distri-

n. fotoni

800

700

600

500

400

300

200

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

201

19774

0.1886E-01

0.1578E-01

0.000

73.00

0

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

ΔR

Figura 3.12: Distribuzione della distanza ∆R tra i fotoni e i relativi cluster

associati (file DC1).

buzione in ∆R per i fotoni dal programma Monte Carlo una volta avvenuta

l’associazione tra fotone e cluster del blocco EGAM.

3.6 Scelta della dimensione del cluster.

S’è detto che, generalmente, i cluster dovuti ad un fotone che non converte

sono differenti da quelli dovuti ad un fotone che converte in una coppia e + e − .

Nel secondo caso, l’ampiezza dello sciame nel piano ηφ è maggiore. Limitarsi


ad una regione troppo stretta, in caso di conversione, può portare ad una

sottostima dell’energia raccolta nel calorimetro ed associata al cluster.

Per questo si è deciso di considerare cluster 3x5 per fotoni che non subiscono

conversione e cluster 3x7 in caso contrario (le dimensioni del cluster

sono espresse in termini di numero di celle del middle del calorimetro di

dimensioni ∆η × ∆φ = 0, 025 × 0, 025 ciascuna).

La figura 3.13 mostra il rapporto dell’energia Erec ricostruita nel calorimetro

sull’energia per il fotone generata Etrue. Per i fotoni che hanno subito

conversione, nel caso si considerino cluster di 3x5 o 3x7 celle, si può notare

come, scegliendo un numero minore di celle, tale rapporto sia minore. Ciò significa

che una parte dell’energia è depositata nelle celle più esterne, a causa

dell’apertura maggiore dello sciame lungo la coordinata φ.

La stessa figura mostra, invece, la grandezza considerata anche per fotoni

che non hanno subito conversione.

Infine, in basso, il caso riassuntivo, dove la distinzione sulle dimensioni

del cluster scelto si applica solo a fotoni che hanno subito una conversione. Si

noti la somiglianza tra le varie figure: l’andamento in funzione di η è molto

simile. Le zone vicino alla regione del crack o in un intorno di η = 0 mostrano

comportamenti analoghi. La scala è identica in tutte le figure, per facilitare

un confronto tra il caso in cui si verifichi almeno una conversione oppure no.

Un’interessante informazione sull’effetto della posizione delle conversioni

è illustrato in figura 3.14.

In essa è mostrato il valore del rapporto Erec/Etrue in funzione della coordinata

r del punto di conversione del fotone. L’effetto della scelta della

dimensione del cluster è chiaramente visibile.

In verde abbiamo il caso di cluster 3x7, mentre in rosso quello per il cluster

3x5. La differenza nella ricostruzione dell’energia da parte del calorimetro è

evidente e cresce all’approssimarsi del punto di conversione all’asse del fascio.

Per fotoni che subiscono molto presto una conversione, infatti, il campo

magnetico presente nell’inner detector riesce a deviare in misura maggiore le

traiettorie dell’elettrone e del positrone prodotti. L’energia da essi posseduta

si distribuisce dunque su una regione più ampia, dato che lo sciame che

si genera nel calorimetro viene ad avere un’ampiezza maggiore. Limitarsi,

dunque, ad un cluster più piccolo porta a raccogliere meno energia e quindi

a sottostimare il valore di Erec.

L’effetto diminuisce per le conversioni che avvengono nelle parti più esterne

dell’inner detector, dove i membri della coppia e + e − rimangono ravvicinati,

generando sciami che si possono confondere con quelli prodotti dal singolo

fotone non convertito. Già oltre gli 80 cm dall’asse z, punti corrispettivi

relativi a scelte diverse del cluster risultano quasi sovrapposti.

Un paragone diretto con i risultati esposti nel TDR ([22, 21]) non è possi-

3.6 Scelta della dimensione del cluster. 85

E rec /E true

E rec /E true

1.03

1.02

1.01

1

0.99

0.98

0.97

0.96

0.95 unconverted γ (3x5)

0.94

0 0.5 1 1.5 2 2.5

1.03

1.02

1.01

1

0.99

0.98

0.97

0.96

0.95

0.94

η

E rec /E true

1.03

1.02

1.01

1

0.99

0.98

0.97

0.96

0.95

converted γ:

3x7

3x5

0.94

0 0.5 1 1.5 2 2.5

all: unconverted (3x5) and converted (3x7)

all: unconverted (3x5) and converted (3x5)

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5

Figura 3.13: Rapporto tra l’energia ricostruita Erec nel cluster e l’energia

generata Etrue per fotoni che hanno subito conversione nell’inner detector,

per celle 3x5 e 3x7 (file DC1).

η

η


E rec /E gen

1

0.98

0.96

0.94

0.92

0.9

3x7

3x5

0 200 400 600 800 1000

Conversion radius (mm)

Figura 3.14: Erec/Etrue in funzione della coordinata r del punto di conversione

e per diverse scelte della dimensione del cluster. In rosso, cluster 3x5;

in verde, cluster 3x7.

bile. In quella sede, infatti, la scelta delle dimensioni del cluster era differente,

trattandosi di cluster 3x3 nel barrel e 5x5 nell’end-cap, senza distinguere se

vi fosse conversione oppure no.

Anche lo studio di eventi di particella singola ad energia fissata ha portato

a risultati interessanti. La figura 3.15 mostra sempre il valore di Erec/Etrue

in funzione di η.

Le figure 3.16 e 3.17 mostrano la distribuzione del numero di fotoni in

È inoltre mostrato in colore

funzione del rapporto pTrec/pTtrue e Erec/Etrue.

il contributo dei fotoni che hanno subito conversione. Si può notare come

questi ultimi eventi producano un picco leggermente spostato verso valori più

bassi del rapporto pTrec/pTtrue e Erec/Etrue; in caso di conversione, infatti, le

traiettorie dell’elettrone e del positrone possono deviare considerevolmente

da quella originaria del fotone da cui provengono, e possono depositare la loro

energia in cluster differenti. Questo spiega lo spostamento a valori minori del

picco che rappresenta eventi in cui vi sia almeno una conversione.

3.7 Determinazione della massa del bosone di Higgs. 87

Figura 3.15: Distribuzione per il rapporto Erec/Etrue dei fotoni nel calorimetro

elettromagnetico e risoluzione energetica in funzione di η. Si tratta di

eventi di particella singola per energie del fotone di 50 GeV (in nero) e di

100 GeV (simbolo a stella). Sono stati utilizzati i file DC1.

3.7 Determinazione della massa del bosone di

Higgs.

Una volta identificato il cluster elettromagnetico corretto e scelta la sua ampiezza

in termini di numero di celle, identificate le conversioni nell’ID, si

hanno a disposizione tutti gli elementi per calcolare la massa del bosone di

Higgs dagli eventi ricostruiti dal calorimetro. Essa si ricava calcolando la

massa invariante del sistema dei due fotoni.

A questo fine, occorre calcolare preliminarmente il valore delle singole

componenti. L’n-tupla ci fornisce il valore del momento trasverso e della

direzione in η e φ del fotone generato (e del cluster). Utilizzando queste


eventi

eventi

1200

1000

800

600

400

200

1200

1000

800

600

400

200

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

1000

20594

0.9988

0.2796E-01

640.0

289.0

0

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1

pTrec /pTtrue ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

1000

19774

0.9873

0.2845E-01

377.0

369.0

0

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1

pTrec /pTtrue Figura 3.16: Distribuzione per il rapporto tra momento trasverso ricostruito

e generato pTrec/pTtrue dei fotoni nel calorimetro elettromagnetico. In giallo

è evidenziato il contributo dei fotoni che hanno subito conversione. In alto i

file TDR, in basso i file DC1.


eventi

eventi

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

1100

20594

0.9989

0.2492E-01

644.0

294.0

0

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1

Erec /Etrue ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

1100

19774

0.9872

0.2554E-01

377.0

365.0

0

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1

Erec /Etrue Figura 3.17: Distribuzione per il rapporto tra l’energia ricostruita e quella

generata Erec/Etrue per i fotoni nel calorimetro elettromagnetico. In giallo è

evidenziato il contributo dei fotoni che hanno subito conversione. In alto i

file TDR, in basso i file DC1.


coordinate, dalla (3.2), semplice trigonometria fornisce le relazioni 2

E = pT cosh η

px = pT cosφ

py = pT sin φ

Note tutte le componenti si è applicata la formula

mγγ =

pz = pT sinh η (3.5)

(E1 + E2) 2 − (p1x + p2x) 2 − (p1y + p2y) 2 − (p1z + p2z) 2 (3.6)

Oltre alla determinazione e rappresentazione mediante istogramma della distribuzione

della massa ricostruita, sono stati esaminati i singoli contributi

dovuto ai tre casi precedentemente considerati: nessuna conversione, singola

conversione e doppia conversione dei fotoni. Ecco i risultati dell’analisi, sia

nel caso di simulazione con i file TDR, sia con i file DC1.

1. Calcolo della massa utilizzando tutti gli eventi generati. La figura 3.18

mostra la distribuzione della massa ricostruita mHrec per eventi con

massa dell’Higgs generato pari a 100 GeV. Il valore medio della massa

ricostruita risulta mHrec = 98, 94±2, 52 GeV. Lo scostamento dal valore

nominale di 100 GeV è imputabile agli eventi in cui almeno un fotone

ha subito conversione.

2. Criterio del cono. In un secondo momento sono stati scartati tutti

gli eventi in cui la distanza ∆R tra cluster e fotone generato risultava

maggiore di un fissato valore di taglio rispetto alla direzione vera del

fotone generato. Tale valore è inserito nel codice del programma come

parametro modificabile a piacimento, in modo da garantire la più ampia

possibilità di scelta. Nel nostro caso, se entrambi i fotoni soddisfano

la condizione ∆R < 0,1, ovvero se il cluster cade in uno stretto cono

attorno alla direzione del fotone associato, allora l’evento è accettato e

la massa invariante calcolata. La figura 3.19 mostra il picco della massa

ricostruita. Rispetto al caso 1. solo lo 0,68 % circa degli eventi risulta

escluso, e la massa ricostruita risulta essere mHrec = 98, 94±2, 52 GeV.

L’effetto del taglio sul valore di ∆R è evidente nel caso dei file TDR,

mentra sembra essere ininfluente per i file DC1.

3. Effetto della regione del crack. Successivamente è stato studiato l’effetto

di questa parte tra barrel ed end-cap e tra le due metà del barrel.

2 vd. Appendice A, pagina 143.


eventi

eventi

500

400

300

200

100

400

350

300

250

200

150

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

254

10237

99.88

2.322

825.0

129.0

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

50

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

254

9886

98.94

2.517

398.0

147.0

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

Figura 3.18: Picco della distribuzione della massa ricostruita per il bosone

di Higgs. La parte in colore rappresenta il contributo degli eventi in cui è

avvenuta almeno una conversione. In alto il caso dei file TDR, in basso i file

DC1.


eventi

eventi

500

400

300

200

100

400

350

300

250

200

150

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

10254

9327

99.87

2.145

309.0

7.000

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

50

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

10254

9818

98.94

2.515

354.0

138.0

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

Figura 3.19: Picco della distribuzione della massa ricostruita per il bosone di

Higgs nel caso relativo al taglio sul valore ∆R. La parte in colore rappresenta

il contributo degli eventi in cui è avvenuta almeno una conversione. In alto

il caso dei file TDR, in basso i file DC1.


A causa della presenza di questa discontinuità nella struttura del calorimetro,

i fotoni che si trovano nella regione | η |< 0,05 e 1,4 2,45), corrispondenti alla zona non

coperta dall’inner detector, sono scartati. Il taglio riguardante la regione

del crack porta alla perdita di circa il 17,56 % degli eventi e il

valore della massa ottenuta è pari a mHrec = 98, 79± 2,03 GeV. Si noti

come, escludendo la regione del crack, la coda ad alto mHrec si riduca

considerevolmente (figura 3.20).

4. Taglio sul valore minimo del momento trasverso pT dei fotoni. È stato

esaminato l’effetto dei cluster di basso pT sulla larghezza del picco

della massa. È stato applicato un taglio sul valore di tale grandezza:

sono stati accettati solo cluster in cui quello a momento trasverso minore

superasse i 25 GeV/c, quello a momento trasverso maggiore i 40

GeV/c. In figura 3.21 è mostrato il risultato ottenuto. Il numero di

eventi accettato corrisponde al 90,81% circa del totale (9,19% di eventi

scartati); la massa ricostruita vale mHrec = 99, 01 ± 2, 49 GeV/c. È

in questo caso che il valore della massa ricostruita s’avvicina di più al

valore nominale di 100 GeV; infatti, l’esclusione di eventi in cui almeno

uno dei due cluster sia a basso pT, porta ad una riduzione significativa

dell’entità della coda a bassi valori di mHrec (mHrec < 95 GeV).

5. Effetto cumulativo dei tagli considerati. Per ottenere una larghezza

del picco la più piccola possibile, si è imposto che tutte le condizioni

dei punti 2–4 fossero soddisfatte contemporaneamente, in modo da

escludere tutti i fattori fin qui considerati che possono portare ad un

peggioramento nella ricostruzione della massa dell’Higgs. Il risultato è

mostrato in figura 3.23. Gli eventi scartati sono il 24,08 % del totale,

mentre la massa ricostruita vale mHrec = 98, 85 ± 1, 99 GeV.

I risultati ottenuti sono riassunti nella tabella 3.2. L’analisi fin qui effettuata

permette già un confronto tra i due casi: file TDR e file DC1. Alcune

caratteristiche colpiscono subito l’attenzione:

• Il numero di conversioni è aumentato nelle simulazioni basate sui file

DC1. Questo fatto riflette la nuova geometria della parte interna di

ATLAS, in particolare l’ammontare del materiale presente nell’inner

detector. Questo porta la probabilità per il singolo fotone di subire

conversione dal 22% circa per il caso dei file TDR, al 27% circa con la

nuova struttura.


eventi

eventi

450

400

350

300

250

200

150

100

50

400

350

300

250

200

150

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

20254

8519

100.0

2.003

253.0

44.00

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

50

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

20254

8149

98.79

2.030

60.00

8.000

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)


Higgs nel caso relativo all’esclusione degli eventi nella regione del crack. La

parte in colore rappresenta il contributo degli eventi in cui è avvenuta almeno

una conversione. In alto il caso dei file TDR, in basso i file DC1.


eventi

eventi

500

400

300

200

100

400

350

300

250

200

150

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

30254

9302

99.95

2.271

479.0

123.0

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

50

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

30254

8977

99.01

2.489

162.0

140.0

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)


Higgs nel caso relativo all’esclusione di fotoni con momento trasverso al di

sotto di un valore di soglia. La parte in colore degli istogrammi rappresenta

il contributo degli eventi in cui è avvenuta almeno una conversione. In alto

il caso dei file TDR, in basso i file DC1.


eventi

450

400

350

300

250

200

150

100

50

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

40254

7642

100.1

1.894

3.000

2.000

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

Figura 3.22: Picco della massa ricostruita con l’esclusione di tutti gli eventi

scartati nei punti 2–4 di pagina 90 (file TDR).

• Nel caso dei file DC1, la massa dell’Higgs viene ricostruita leggermente

spostata verso masse minori dei 100 GeV nominali del blocco di

generazione.

• Indipendentemente dai vari tagli adottati, sia singolarmente che in modo

cumulativo (caso delle figure 3.22 e 3.23), l’importanza assunta dalle

code (soprattutto quella per masse minori di 95 GeV) è decisamente

minore per il caso dei file TDR rispetto ai DC1.

• Il valore della media e, più importante, quello dello scarto quadratico

medio (RMS) è migliore nel caso dei file TDR.

I risultati ottenuti permettono già un paragone con quelli pubblicati sul TDR,

3.8 Ricostruzione del vertice primario e correzione in θ. 97

eventi

350

300

250

200

150

100

50

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

40254

7506

98.85

1.994

16.00

2.000

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

Figura 3.23: Picco della massa ricostruita con l’esclusione di tutti gli eventi

scartati nei punti 2–4 di pagina 90 (file DC1).

ma vi è un altro fattore importante che influisce sulla larghezza del picco

della distribuzione di massa e che non è stato ancora discusso: la posizione

del vertice primario.

3.8 Ricostruzione del vertice primario e correzione

in θ.

Finora la massa invariante del sistema γγ è stata calcolata utilizzando la

formula (3.6).

Esiste un’espressione alternativa in cui compaiono solo le energie E1, E2


File Istogramma Eventi Accettanza (%) mH (GeV) RMS (GeV)

TDR 254 10237 - 99,88 2,322

DC1 9886 - 98,94 2,517

TDR 10254 9327 91,1 99,87 2,145

DC1 9818 99,3 98,94 2,515

TDR 20254 8519 83,2 100,0 2,003

DC1 8149 82,4 98,79 2,030

TDR 30254 9302 90,8 99,95 2,271

DC1 8977 90,8 99,01 2,489

TDR 40254 7642 74,6 100,1 1,894

DC1 7506 75,9 98,85 1,994

Tabella 3.2: Tabella riassuntiva delle caratteristiche principali per i picchi

della distribuzione della massa ricostruita

dei due fotoni e l’angolo α determinato dalle loro traiettorie. Detti p1 e p2 i

tetramomenti dei due fotoni, la massa invariante si può esprimere attraverso

la formula

m 2 γγ = (p1 + p2) 2 = (p1 + p2)(p1 + p2)

= p 2 1 + p2 2 + 2p1 · p2

= 2p1 · p2

Infatti, per particelle di massa nulla come il fotone, p 2 = 0.

Si dimostra [34], dalla (3.7), che 3

da cui

m 2 γγ = 2(E1E2 − p 1 · p 2)

(3.7)

= 2E1E2(1 − cosα) (3.8)

mγγ = 2E1E2(1 − cos α) (3.9)

L’angolo α è l’angolo formato dai due fotoni. esso è un elemento importante

per la risoluzione in massa per il bosone di Higgs. La (3.9) mostra come la

risoluzione in massa del picco dipenda non solo dalla precisione della misura

dell’energia fornita dal calorimetro, ma anche dalla precisione nel determinare

l’angolo formato dalle traiettorie dei due fotoni e quindi, in ultima analisi, la

direzione di propagazione dei due fotoni.

Consideriamo due rette qualsiasi che s’intersecano nell’origine O e sono

individuate dai due versori ni (i = 1, 2) che si possono scrivere, in coordinate

3 si ricordi la definizione di prodotto scalare di due tetravettori, a · b = a 0 b 0 − a · b.


polari, come

⎛

ni = ⎝

sin θi cosφi

sin θi sin φi

cos θi

L’angolo α da essi formato soddisfa la relazione

Sostituendo e sviluppando, avremo

cosα = n1 · n2

⎞

⎠ (3.10)

(3.11)

cosα = sin θ1 cosφ1 sin θ2 cosφ2 + sin θ1 sin φ1 sin θ2 sin φ2 + cosθ1 cosθ2

dove

= cos(φ1 − φ2) sin θ1 sin θ2 + cosθ1 cosθ2

= cos ∆φ sin θ1 sin θ2 + cosθ1 cosθ2

∆φ = φ1 − φ2

(3.12)

(3.13)

Dalle formule di trasformazione tra le coordinate sferiche (ρ, θ, φ) e quelle

utilizzate in ATLAS (η, φ, z), si ottiene 4

sin θ =

tanθ =

Sostituendo nell’ultima equazione avremo

cosα =

cos ∆φ

cosh η1 cosh η2

1

cosh η

1

sinh η

Ma per un fotone (mγ = 0), vale la relazione

E = ET

sin θ

da cui, sostituendo nella (3.8), otteniamo

m 2 γγ

ET1

= 2 ·

sin θ1

ET2

(1 − cos α)

sin θ2

= 2 ET1

·

sin θ1

ET2

cos ∆φ

1 −

sin θ2

+ tanhη1 tanh η2

+ tanh η1 tanh η2

cosh η1 cosh η2

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

(3.18)

Le informazioni del calorimetro permettono di conoscere la direzione di propagazione

del fotone in funzione delle coordinate η e φ.


eventi

250

225

200

175

150

125

100

75

50

25

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

2222

9887

1.504

0.7156

0.000

0.000

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

α (rad)

Figura 3.24: Distribuzione dell’angolo tra i due cluster (in radianti) ricostruito

dalle informazioni del calorimetro mediante l’applicazione della formula

(3.16); (file DC1).

α (rad)

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

ID 2225

ENTRIES 9886

0.00 0.00 0.00

0.00 0.988E+04 10.0

0.00 0.00 0.00

0

0 200 400 600 800 1000

EHiggs (GeV)

Figura 3.25: Distribuzione dell’angolo tra i due cluster (in radianti), ricostruito

dalle informazioni del calorimetro, in funzione dell’energia del bosone

di Higgs (file DC1).


La figura 3.24 mostra la distribuzione del valore dell’angolo formato dai

cluster associati ai due fotoni del decadimento H → γγ.

Queste considerazioni mostrano la necessità di conoscere l’effetto della

precisione con cui α può essere determinato sulla risoluzione in massa del

sistema γγ.

Utilizzando la legge sulla propagazione degli errori, che in questo caso si

scrive

2 ∂m

σm = σ

∂E1

2 E1 +

2 ∂m

σ

∂E2

2 E2 +

2 ∂m

σ

∂α

2 α (3.19)

dalla (3.9) si ricavano, differenziando, le derivate parziali:

∂m

=

∂E1

E2

(1 − cosα)

m

∂m

=

∂E2

E1

(1 − cosα) (3.20)

m

∂m E1E2

= sin α

∂α m

Elevando al quadrato la (3.19), sosituendovi le (3.20), ed infine dividendo

per m2 , si ottiene:

σ2 2 m E2

=

m2 m2(1 − cos α) σ 2 E1 +

2 E1

m2(1 − cos α) σ 2 E2 +

E1E2

m2 2 sin α σ 2 α

(3.21)

Sostituendo la (3.9) nell’espressione dei coefficienti tra parentesi, si ricavano

per questi ultimi le uguaglianze:

1 ∂m

·

m ∂E1

1 ∂m

·

m ∂E2

1 ∂m

·

m ∂α

che sostituite nella (3.19) danno

2 σE1 σ2 m 1

=

m2 4

E 2 1

+ σ2 E2

E 2 2

= 1

2E1

= 1

2E2

= 1

2 ·

+

sin α

1 − cos α

2 sin α

σ

1 − cos α

2

α

(3.22)

(3.23)

Dalle formule di bisezione della trigonometria si ricava, infine, l’espressione

finale del coefficiente di σα:

2 sin α

=

1 − cosα

1 + cosα

4 vd. Appendice A, pag. 143

1 − cosα =

1

tan 2 α/2

(3.24)


Alla fine possiamo scrivere:

2 σm

=

m

1

2 σE1 4 E2 1

che nel caso in esame riscriviamo:

∆mH

= 1

∆E1

2

mH

E1

+ σ2 E2

E 2 2

⊕ ∆E2

E2

+

σ2 α

tan2

α/2

⊕ ∆α

tan α/2

(3.25)

(3.26)

dove il simbolo ⊕ indica l’operazione di somma in quadratura. L’espressione

ricavata mostra che la precisione con cui è determinato l’angolo α è fondamentale,

soprattutto per quelle coppie di fotoni le cui traiettorie formano un

angolo molto piccolo (a denominatore tanα/2 → 0 per α → 0), ovvero per

cluster molto ravvicinati.

Una determinazione precisa di tale angolo richiede dunque una capacità

del calorimetro di determinare con accuratezza la direzione di propagazione

dei singoli fotoni mediante misure sui cluster associati. Infatti, la precisione

in α dipende dalle coordinate η e φ d’entrambi i fotoni attraverso la (3.16).

In ATLAS, la suddivisione in celle proiettive in η è tale da consentire

al calorimetro di determinare la direzione del cluster. La direzione corrispondente

ad un certo valore di η punta verso l’origine degli assi, il centro

nominale di ATLAS, che coincide con il punto nominale delle interazioni pp

in LHC.

In realtà è noto che LHC produce interazioni su una regione dello spazio

intorno al punto nominale secondo una distribuzione gaussiana con devia-

zione standard σ = 5, 6 cm lungo l’asse z del fascio.

È necessario, quindi,

determinare la posizione del vertice d’interazione zrec, come ricostruito dalle

informazioni del calorimetro elettromagnetico, per poi correggere la direzione

dei fotoni rispetto al nuovo vertice.

Dalla conoscenza sulla posizione di zrec segue che bisogna ricalcolare il

valore degli angoli secondo cui i fotoni si propagano e quindi ricalcolare le

componenti del tetramomento.

3.8.1 Determinazione delle intercette.

A bassa luminosità, la posizione del vero vertice d’interazione ztrue può essere

determinata da un fit ad un vertice comune di tutte le tracce cariche dell’evento

ricostruite dall’inner detector. Questa tecnica permette di determinare

la coordinata z del vertice d’interazione con una precisione di 35−40µm [21].

Ad alta luminosità, sono presenti più vertici primari a causa delle interazioni

multiple dovute al pile-up. È necessario, dunque, utilizzare l’informazione


sulla direzione dei fotoni nel calorimetro per determinare il vertice primario

dell’interazione in cui è stato prodotto il bosone di Higgs.

Il metodo utilizzato per stabilire la posizione del vertice è consistito nel

determinare la posizione del punto d’intersezione tra l’asse z del fascio e la

retta che individua la direzione del cluster (e quindi quella presunta del fotone

o della particella di conversione che l’ha generata) dedotta dai dati del

calorimetro. Note le due posizioni zint1 e zint2, mediando con opportuni pesi,

si determina la posizione del vertice ricostruito zrec. Naturalmente l’incertezza

sulla sua posizione dipenderà dalla risoluzione angolare del calorimetro

nello stabilire la direzione dei due fotoni gamma ricostruiti.

Il blocco EGAM fornisce, per ogni sciame, non solo la direzione in η come

ricostruita dal calorimetro nel suo insieme, ma anche informazioni ottenute

da ciascuno dei sampling che lo compongono; avremo così un valore per il

presampler (ove presente), per le strip, il middle ed il back. Di particolare interesse

nel nostro caso, ai fini dell’individuazione dell’intercetta, sono i valori

di η del cluster nelle strip e nel middle. Le strip, infatti, per la fitta scansione

in η che forniscono, sono fondamentali per una precisa determinazione della

direzione di propagazione del fotone che ha dato origine allo sciame.

Per individuare una retta bastano due punti, ma per una maggiore precisione

ci si è serviti della posizione del baricentro dello sciame nei due sampling

strip e middle e della posizione del vertice primario fornito dai programmi

di generazione Monte Carlo. Ove presente, abbiamo considerato anche un

ulteriore quarto punto per il presampler (preshower).

Noti questi punti, è possibile interpolarli con una retta che identifica la

direzione del fotone che ha generato lo sciame. Nota la retta si può trovare

il punto di intersezione con l’asse del fascio.

Il primo problema che si pone è dunque il seguente: come individuare il

baricentro dello sciame elettromagnetico nei vari sampling?

I punti che coincidono col baricentro dello sciame avranno coordinate

(r0, z0) nel presampler, (r1, z1) nelle strip e (r2, z2) nel middle. I loro valori

sono determinati dal programma di simulazione e il risultato è parametrizzato

in maniera differente a seconda che

• il cluster si trovi nel barrel;

• il cluster si trovi in uno degli end-cap.

Nel primo caso si ricavano i valori della coordinata r del baricentro mediante

una legge funzione quadratica della coordinata η. In generale:

r = a + b | η | +c | η | 2

(3.27)


sampling η a b c

preshower | η |< 1, 475 144,3 0 0

strips | η |< 0, 8 156,78 -1,8975 -1,7668

0, 8


shower depht (cm)

175

172.5

170

167.5

165

162.5

160

157.5

155

152.5

150

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

eta

Figura 3.26: Posizione del baricentro dello sciame nel barrel del calorimetro

elettromagnetico come dedotta dall’equazione (3.27), nel middle (curva

superiore) e nelle strip (curva inferiore) in funzione di η, per la regione

corrispondente all’elettrodo A (| η |< 0, 8).

per l’end-cap. L’angolo individuato dai punti di coordinate (ri, zi) nei vari

sampling sarà dato dalla formula

θi = arctan ri

zi

(3.31)

Le posizioni del baricentro dello sciame nelle strip e nel middle sono molto

ravvicinate tra loro, in confronto alla distanza che separa il calorimetro dall’asse

del fascio. Interpolare una retta tra due punti vicini, la cui posizione è

affetta da errore, può produrre incertezze molto grandi sulla precisione con

cui la retta stessa è determinata e di conseguenza anche sulla precisione con

cui è nota la posizione del suo punto d’intersezione con l’asse z. Ecco il motivo

dell’utilizzo del vertice e, anche se non ancora implementato nel programma

di simulazione, dei punti in cui avvengono le conversioni del fotone.

La posizione dei punti (ri, zi) è affetta da errore. Per tener conto di questo,

è stato applicato un errore, fornito dalla stessa routine che fissa la posizione

del baricentro dello sciame. Il suo valore varia in funzione del valore assoluto

di η.


shower depht (cm)

175

172.5

170

167.5

165

162.5

160

157.5

155

152.5

150

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

eta

Figura 3.27: Posizione del baricentro dello sciame nel barrel del calorimetro

elettromagnetico come dedotta dall’equazione (3.27), nel middle (curva

superiore) e nelle strip (curva inferiore) in funzione di η, per la regione

corrispondente all’elettrodo B (0, 8


i coefficienti A e B della retta data sono espressi dalla formula

A =

wix2

i wiyi − B =

wixi wixiyi

∆

wi wixiyi −

wixi wiyi

∆

con

∆ =

wi wix 2 i −

wixi

2

Le incertezze sui coefficienti, invece, risultano essere

σ 2 A =

wix2 i

∆

σ 2 B =

wi

∆

(3.34)

(3.35)

(3.36)

(3.37)

(3.38)

La conoscenza di detti coeffcienti permette di determinare univocamente la

retta che indica la direzione di propagazione dei fotoni, questo in base alle

sole informazioni ricavabili dal calorimetro elettromagnetico (le posizioni del

baricentro dello sciame elettromagnetico nei diversi sampling dello strumento).

L’intersezione di questa retta con l’asse del fascio, determina la posizione

del vertice di produzione zint a partire dalle informazioni del singolo fotone.

Avremo dunque due valori zint1 e zint2, uno per ogni fotone del decadimento

H → γγ.

La retta (3.32) è espressa in tutta la sua generalità nel piano xy. Nel

caso concreto in esame, le coordinate sono r e z. Inoltre, a seconda che ci

si trovi nel barrel o nelle end-cap, il programma che fornisce la posizione

del baricentro dello sciame, fornisce il valore della coordinata e della relativa

incertezza alla variabile r (nel barrel) e z (nell’end-cap).

Le formule precedenti andranno adattate nei due casi in modo differente;

nel barrel alle coordinate x e y corrisponderanno le r e z, nell’end-cap la

corrispondenza è invertita.

Di conseguenza, il calcolo delle posizioni delle intercette zint1 e zint2 porta

all’identificazione

per fotoni nel barrel, mentre nell’end-cap

zint = A (3.39)

zint = − A

B

(3.40)

In assenza di errori di ricostruzione, i due valori zint1 e zint2 dovrebbero coincidere,

perchè i due fotoni sono generati in uno stesso punto. La precisione


nella ricostruzione della posizione delle intercette zint1 e zint2 è limitata dalla

risoluzione finita del calorimetro. Per questo, i valori zint1 e zint2 saranno

generalmente diversi.

È possibile calcolare l’incertezza con cui tali punti sono noti utilizzando

la formula per la propagazione degli errori 6

σz =

2 ∂z

σ

∂A

2 A +

2 ∂z

σ

∂B

2 B

• nel barrel si ottiene immediatamente l’uguaglianza

σz = σA

(3.41)

(3.42)

• nell’end-cap, la situazione è leggermente più complicata. Derivando la

(3.40) rispetta alle variabili A e B, s’ottiene

∂zint

∂A

1

= −

B

∂zint

∂B

=

A

B2 che sostituite nella formula (3.43) fornisce il risultato cercato

σ 2 z = 1

B 2

Dividendo per z2 int , otteniamo

che in altra notazione si scrive

σ 2 A +

A

B

σ2 z

z2 = σ2 A

A2 + σ2 B

B2 ∆zint

zint

= ∆A

A

2

σ 2 B

⊕ ∆B

B

. (3.43)

(3.44)

(3.45)

Nel programma d’analisi scritto, i valori delle incertezze ∆zint sono tabulate

in appositi file da cui vengono letti quando necessario. Dopo aver suddiviso

in intervalli (bin) la regione in η in cui il fotone si propaga, il loro valore è

assunto costante nel singolo bin in cui il fotone si viene a trovare.

Per determinare la posizione del vertice primario zrec, dobbiamo utilizzare

un procedimento di media pesata di questi due valori, dove i pesi dipendono

dall’errore sull’esatta posizione di zint per ogni fotone. Maggiore l’incertezza,

minore il suo peso nel determinare il vertice ricostruito zrec.

L’errore di cui è afflitto zint si ottiene, al solito, applicando la legge di

propagazione degli errori, come abbiamo già avuto modo d’illustrare.

6 nelle formule che seguono si è scritto z in luogo di zint.


3.8.2 Determinazione del vertice ricostruito.

Giunti a questo punto, conosciamo la posizione zint1 e zint2 delle intercette

con l’asse z, ovvero la posizione del vertice primario come dedotta dal singolo

cluster; dobbiamo ora scegliere un opportuno valor medio delle due grandezze

e definire tale valore come la posizione del vertice zrec lungo l’asse z del vertice

d’interazione in cui il bosone di Higgs è decaduto in due fotoni.

In LHC, i pacchetti nel fascio hanno una forma tale da fornire un’incertezza

nella determinazione del vertice d’interazione vero ztrue pari a 5,6 cm.

Il valore di zrec è fornito dalla media pesata

dove si è posto

zrec = w1zint1 + w2zint2 + w3ztrue

w1 + w2 + w3

w1 =

w2 =

w3 =

1

2

∆zint1

2 1

∆zint2

2 1

5, 6

(3.46)

(3.47)

I primi due termini tengono conto dell’incertezza che affligge la determinazione

della posizione zint1 e zint2 del primo e del secondo fotone, il terzo termine

tiene conto della risoluzione lungo z della posizione in cui i fasci s’incrociano.

A numeratore compare un termine del tipo w3ztrue, poichè anche la posizione

del vertice fornita in fase di generazione degli eventi è un punto che viene utilizato

nel calcolo dei coefficienti della retta. Il metodo utilizzato nel calcolo

di zrec, ovvero di semplice media pesata, è il metodo standard in statistica

e teoria degli errori per la combinazione di misure separate di grandezze

indipendenti tra loro ciascuna con il proprio errore [36, 37].

3.8.3 Correzione dell’angolo θ.

Nota la posizione del vertice, è possibile ricalibrare il valore dell’angolo θ in

funzione della nuova origine e studiare l’effetto che essa ha sulla risoluzione

in massa. Avremo di nuovo le formule

θnew = arctan 1

(3.48)

B

nel barrel e

θnew = arctan B (3.49)


nell’end-cap.

Noto il nuovo valore dell’angolo θnew, che definisce la direzione ricalibrata

dello sciame nel calorimetro rispetto al vertice ricostruito zrec, la correzione

della variabile η porta alla definizione della grandezza:

ηnew = − log tan θnew

(3.50)

2

Noto il valore dell’energia del cluster E ed il valore di θnew, otteniamo le

nuove componenti del tetramomento

ovvero, riespresso in funzione di ηnew,

La quarta componente è l’energia E.

3.8.4 Risoluzione del calorimetro.

px = E sin θnew cosφ (3.51)

py = E sin θnew sin φ (3.52)

pz = E cosθnew (3.53)

px = E cosφ

cosh ηnew

(3.54)

py

sin φ

= E

cosh ηnew

(3.55)

pz = E tanh ηnew (3.56)

Giunti a questo punto, siamo in possesso di varie informazioni:

• valori delle grandezze η e θ del fotone dai dati del blocco di generazione

TRUTH;

• valori delle medesime grandezze una volta apportate le dovute calibrazioni

nota la posizione del vertice ricostruito dai dati del calorimetro

zrec.

Questo sia globalmente, sia nei vari sampling del calorimetro.

Da queste informazioni è possibile ricavare la risoluzione del calorimetro

per le grandezze citate. La figura 3.28 mostra i risultati raggiungibili con le

versioni attuali dei programmi di simulazione. Si tratta di eventi di particella

singola, ovvero fotoni di due energie fissate: 50 GeV (in nero) e 100 GeV

(simbolo a stella). Particolarmente interessanti sono i risultati per i fotoni

da 50 GeV. Infatti, scegliendo la massa dell’Higgs pari a 100 GeV, il valore

dell’energia dei fotoni si distribuisce attorno ad un massimo che cade proprio

in tale regione (vd. figura 3.6, pagina 74). La figura 3.28 permette di trarre

alcune conclusioni:


Figura 3.28: Risoluzione in pseudorapidità η, risoluzione angolare e incertezza

sulla posizione zrec in funzione di η per eventi di particella singola (fotoni

da 50 e 100 GeV) senza il contributo delle conversioni (file DC1).


• nell’istogramma in alto, è rappresentata la risoluzione in η, definita dalla

relazione ∆η/η, a partire dalle informazioni delle strip e del middle.

Come si può notare, la risoluzione ottenibile dalle strips è praticamente

costante nel barrel e subisce un leggero miglioramento nell’end-cap. Le

strips forniscono una risoluzione 2 ÷ 4 volte minore (quindi prestazioni

migliori) rispetto al middle; solo ad η elevato, già nell’end-cap, i valori

diventano comparabili, soprattutto nel caso di fotoni più energetici.

Per fotoni di energia minore (50 GeV) tale effetto è meno marcato;

• l’istogramma relativo alla risoluzione angolare, qui definita dalla relazione

Rθ = (θnew − θ) √ E (3.57)

dove θnew è l’angolo ricostruito, definito nelle sezioni precedenti, mostra

i contributi dovuti ai vari settori del calorimetro. Nel barrel essa è

praticamente costante, sebbene differente per valori di η corrispondenti

all’elettrodo A e B, dove è ben visibile un salto. In generale s’osserva un

continuo decremento, che prosegue nell’end-cap. Notevole è comunque

la discontinuità causata dalla presenza della regione del crack tra i due

componenti principali del calorimetro;

• in basso a destra, infine, l’istogramma illustra la precisione in millimetri

ottenibile mediante i dati del calorimetro nel determinare la posizione

zrec del vertice primario. Le prestazioni migliori si ottengono nella parte

centrale del barrel, che è anche la regione adibita alla fisica di precisione

nel calorimetro elettromagnetico di ATLAS. La risoluzione in zrec

peggiora al crescere di η. Notevole è la difficoltà di ricostruzione da

parte dell’end-cap. Questo può a prima vista sembrare in contraddizione

con l’istogramma precedente, che mostra una migliore capacità di

determinare l’angolo θ delle traiettorie dei fotoni proprio per l’end-cap.

Purtroppo, per η elevati, la posizione delle intercette e quindi del vertice

ricostruito zrec dipende fortemente dalla variazione, anche minima,

dell’angolo θ, per semplici ragioni geometriche (si ricordi la dipendenza

di η dalla tangente dell’angolo θ). Ciò è dovuto essenzialmente a motivi

geometrici: per traiettorie molto vicine all’asse del fascio, una minima

variazione dell’angolo d’inclinazione sposta anche in misura notevole

la posizione dell’intercetta della traiettoria stessa con l’asse z, il che si

ripercuote inevitabilmente sul valore di zrec. Traiettorie molto inclinate

rispetto all’asse del fascio, come quelle della regione centrale del barrel,

producono un effetto di shift della posizione delle intercette molto

minore. La legge che fornisce lo spostamento lungo l’asse z del punto


zint è del tipo

∆zint ∝ ∆θ

sin 2 θ

∆zint

zint

∝ ∆θ

sin 2θ

ovvero, esprimendo tutto in funzione della pseudorapidità 7

(3.58)

(3.59)

∆zint ∝ cosh η∆η (3.60)

∆zint

zint

∝ ∆η

. (3.61)

tanhη

Ad alti valori di η, come si vede dall’utima equazione, una piccola

incertezza ∆η porta ad un grande inceretezza ∆z a causa della presenza

del coseno iperbolico. Poichè la posizione del vertice entra nel calcolo

delle componenti ricostruite del tetramomento del fotone, e quindi della

massa invariante del sistema γγ, si spiega l’allargarsi del picco di massa

del bosone di Higgs. L’effetto geometrico spiegato è chiaramente visibile

se si considera la differenza zrec − ztrue visibile negli istogrammi delle

figure 3.29 e 3.30. Questo spiega i risultati ottenuti.

A motivo dei miglioramenti apportati dalla collaborazione ATLAS ai programmi

di simulazione, anche in termini di statistica d’eventi, è interessante

paragonare i risultati ottenuti a quelli a suo tempo pubblicati nel TDR [22],

visibili nelle figure 3.31.

Le energie sono in tal caso differenti (eventi di particella singola, con fotoni

da 20 e 50 GeV) rispetto quanto scelto nel presente lavoro. A parte l’evidente

minor raffinatezza dei risultati, dovuta alla minor statistica d’eventi generati,

colpisce l’accordo trovato, sia nell’andamento della distribuzione dei punti,

sia soprattutto numerico.

3.8.5 Determinazione della massa invariante del sistema

γγ.

Utilizzando le nuove grandezze ricalibrate, applicando la (3.6), otteniamo il

valore ricostruito della massa del bosone di Higgs.

Abbiamo seguito due vie:

1. ricostruzione della massa del bosone di Higgs utilizzando le informazioni

sul vertice primario derivate da programmi di generazione Monte Carlo

del blocco TRUTH;

7 vedi Appendice A, pag. 143


eventi

400

350

300

250

200

150

100

50

ID

103000

Entries

7476

Mean

-0.2337

RMS

22.71

UDFLW 78.00

OVFLW 72.00

24.72 / 22

Constant 356.3 6.367

Mean -0.4228 0.2253

Sigma 14.16 0.2529

0

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

zrec-ztrue (mm)

Figura 3.29: Differenza tra la posizione del vertice ricostruito zrec e quella

del vertice generato ztrue nel caso di bosone di Higgs con massa pari a 100

GeV.


eventi

eventi

300

250

200

150

100

50

120

100

ID

103100

Entries

4374

Mean 0.5139E-01

RMS

15.65

UDFLW 16.00

OVFLW 19.00

25.15 / 23


Mean -0.7306E-01 0.2318

Sigma 12.89 0.2304

0

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

zrec-ztrue (mm)

80

60

40

20

ID

103200

Entries

3102

Mean

-0.6478

RMS

30.15

UDFLW 62.00

OVFLW 53.00

12.13 / 22


Mean -1.487 0.5797

Sigma 17.83 0.7995

0

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

zrec-ztrue (mm)

Figura 3.30: Differenza tra la posizione del vertice ricostruito zrec e quella

del vertice generato ztrue nel caso di bosone di Higgs con massa pari a 100

GeV. In alto, entambi i fotoni si trovano nella regione del barrel; in basso,

almeno uno dei due è nella regione dell’end-cap.


σ η (10 -3 )

σ θ (mrad) * √E

σ z (cm)

1

0.75

0.5

0.25

0

80

60

40

20

0

10

8

6

4

2

0

0 1 2

20 GeV E T

50 GeV E T

0 1 2

20 GeV E T

50 GeV E T

20 GeV E T with noise

and pile-up

0 1 2

Figura 3.31: Risoluzini in η, θ e zrec come pubblicate sul TDR, per eventi di

particella singola con fotoni con energia trasversa ET di 20 e 50 GeV/c [22].

η

η

η

3.9 Termine costante della risoluzione in energia. 117

2. ricostruzione utilizzando il valore del vertice come ricostruito dal calorimetro

elettromagnetico;

Il primo punto non dovrebbe portare nessuna modifica ai risultati finora

ottenuti, mentre nel secondo tale effetto è atteso.

3.9 Termine costante della risoluzione in energia.

Una volta determinato l’effetto del nuovo vertice sulla risoluzione in massa,

è stata applicata una correzione anche sul valore dell’energia misurata dal

calorimetro. Le (3.51), (3.52) e (3.53), sono ricavate dal valore di Erec dedotto

direttamente dai dati del calorimetro.

Il passo successivo, per tener conto della risoluzione energetica del calorimetro,

è consistito nell’introdurre una correzione in modo da ottenere uno

smearing gaussiano proporzionale ad un termine costante pari a c = 0, 0063 a

pagina 47). Il valore adottato si giustifica col fatto che nel programma Monte

Carlo utilizzato per ATLAS, solo alcuni degli effetti che contribuiscono al

termine costante dell’energia, pari allo 0,7%, sono simulati.

La trasformazione porta ad un nuovo valore di E tale che

Erec → E ′ rec = Erec(1 + cσ) (3.62)

dove σ è una costante calcolata da una routine del programma d’analisi che

fornisce valori numerici pseudocasuali distribuiti normalmente con larghezza

unitaria.

La correzione è stata introdotta per studiare l’effetto del termine costante

c nella risoluzione in energia del calorimetro elettromagnetico sul calcolo della

massa del bosone di Higgs.

Noto il nuovo valore dell’energia, sono state ricalcolate le componenti

del tetramomento del fotone associato al cluster e da esse è stata ricavata

la massa del bosone di Higgs. I risultati sono illustrati nelle figure 3.32

e 3.33. Nel primo caso (figura 3.32), per il calcolo delle componenti del

tetramomento, si sono utilizzate le informazioni sulla posizione del vertice

vero ztrue, nel secondo (figura 3.33) quelle per il vertice ricostruito zrec.

3.10 Sintesi finale.

Finora abbiamo esaminato l’effetto dell’esclusione o inclusione di eventi e

della ricalibrazione dell’energia sulla determinazione della massa del bosone


eventi

eventi

600

500

400

300

200

100

600

500

400

300

200

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

70254

10237

99.88

1.969

820.0

132.0

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

70254

9711

99.18

1.896

142.0

9.000

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

Figura 3.32: Picco della distribuzione della massa ricostruita del bosone di

Higgs dopo correzione, con uno smearing gaussiano, dell’energia ricostruita

nel calorimetro elettromagnetico (caso del vertice vero ztrue). In alto per i

file TDR, in basso per i file DC1.

3.10 Sintesi finale. 119

eventi

eventi

600

500

400

300

200

100

500

400

300

200

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

70254

10237

99.87

2.147

819.0

266.0

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

70254

9533

99.45

2.078

129.0

64.00

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

Figura 3.33: Picco della distribuzione della massa ricostruita del bosone di

Higgs dopo correzione, con uno smearing gaussiano, dell’energia ricostruita

nel calorimetro elettromagnetico (caso del vertice ricostruito zrec). In alto

per i file TDR, in basso per i file DC1.


di Higgs mediante il calcolo della massa invariante del sistema γγ, per capire

quale siano i fattori che portano ad un miglioramento nella precisione con

cui essa è determinata.

L’ultimo passo, una volta note tali cause, è stato lo studio del loro effetto

qualora i tagli di qualità introdotti nei paragrafi precedenti siano applicati

contemporaneamente. Le figure a pagina 121 e seguenti, mostrano i risultati

finali ottenuti.

L’analisi è stata condotta per valori della massa del bosone di Higgs pari

a 100 GeV e 120 GeV. Se il primo valore ha un interesse soprattutto ai fini

di un paragone con i risultati a suo tempo ottenuti per la stesura del TDR, il

caso mH = 120 GeV è interessante in vista di un’effettiva scoperta ad ATLAS

del bosone di Higgs. Come affermato nel Capitolo 1, i risultati sperimentali

finora in nostro possesso escludono un bosone di Higgs con massa minore

dei 114,4 GeV, al 95% di livello di confidenza. Inoltre, le misure effettuate

a LEP sembrano spingere nella direzione di un bosone di Higgs (nell’ambito

del Modello Standard minimale) con una massa di poco superiore al limite

attuale. Di qui il grande interesse del canale γγ in questo intervallo di valori.

Veniamo ai risultati raggiunti.

3.10.1 mH = 100 GeV.

• L’effetto di tutti i tagli applicati contemporaneamente porta ad un

numero d’eventi accettati dell’ordine del 75,6 % del totale originario.

Come si evince dalle figure 3.37 e 3.41, il contributo dovuto alle conversioni

è dell’ordine del 46,49% dei fotoni generati. Sono compresi eventi

in cui uno solo o entrambi i fotoni hanno subito conversione nel materiale

del rivelatore nella regione efficace dell’inner detector considerata

nei paragrafi precedenti.

• Le figure mostrano anche il contributo della posizione del vertice primario

al valore della massa ricostruita:

1. utilizzando nei calcoli il valore del vertice vero ztrue, come fornito

dai programmi di generazione Monte Carlo, si ottiene un valor

medio per la massa del bosone di Higgs pari a mHrec = 99, 73±0, 01

GeV, con una deviazione standard σ = 1, 144 ± 0, 016 GeV;

2. utilizzando invece la posizione del vertice ricostruito zrec, il valore

medio della massa cresce a mHrec = 99, 84 ± 0, 01 GeV, così come

la deviazione standard σ = 1, 273 ± 0, 020 GeV.

Esaminando il numero di eventi con masse esterne all’intervallo 90 GeV

< mHrec < 110 GeV, scelto per rappresentare il picco della massa


eventi

600

500

400

300

200

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

90254

7642

100.1

1.376

2.000

2.000

60.41 / 26


Mean 100.2 0.8666E-02

Sigma 1.154 0.1328E-01

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)


Higgs da 100 GeV nominali, con tutti i tagli sul numero di eventi applicati nel

corso dell’analisi svolta. Per il calcolo della massa s’è utilizzata la posizione

vera del vertice primario ztrue (file TDR).


eventi

eventi

400

350

300

250

200

150

100

50

200

175

150

125

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

90250

4789

100.5

1.111

0.000

0.000

21.51 / 26


Mean 100.5 0.8520E-02

Sigma 1.044 0.1372E-01

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

75

50

25

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

90253

2853

99.41

1.517

2.000

2.000

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

Figura 3.35: Contributi al picco finale della distribuzione di massa relativi

alla figura 3.34, per eventi in cui si verifica almeno una conversione, in basso,

oppure nessuna, in lato. Caso ztrue, file TDR.


eventi

500

400

300

200

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

90254

7531

99.46

1.530

6.000

2.000

31.82 / 20


Mean 99.73 0.1316E-01

Sigma 1.144 0.1603E-01

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)




vera del vertice primario ztrue, file DC1.


eventi

eventi

300

250

200

150

100

50

225

200

175

150

125

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

90250

4038

99.96

1.191

0.000

1.000

38.35 / 27


Mean 99.98 0.1082E-01

Sigma 1.083 0.1412E-01

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

75

50

25

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

90253

3493

98.87

1.666

6.000

1.000

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

Figura 3.37: Picco della distribuzione in massa per eventi senza conversione,

in alto, ed eventi in cui essa è presente, in basso (ztrue, file DC1).


eventi

500

400

300

200

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

90254

7642

100.0

1.603

11.00

83.00

53.45 / 25


Mean 100.2 0.1105E-01

Sigma 1.296 0.1700E-01

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)




del vertice primario zrec, come ricostruita dalle informazioni del calorimetro

elettromagnetico (file TDR).


eventi

eventi

350

300

250

200

150

100

50

160

140

120

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

90250

4789

100.4

1.388

7.000

63.00

25.62 / 26


Mean 100.4 0.1810E-01

Sigma 1.149 0.1489E-01

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

80

60

40

20

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

90253

2853

99.40

1.730

4.000

20.00

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)



oppure nessuna (caso zrec, file TDR).


eventi

500

400

300

200

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

90254

7476

99.66

1.648

4.000

19.00

13.66 / 20


Mean 99.84 0.1403E-01

Sigma 1.273 0.2019E-01

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)




del vertice primario zrec, come ricostruita dalle informazioni del calorimetro

elettromagnetico (file DC1).


eventi

eventi

300

250

200

150

100

50

200

175

150

125

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

90250

4005

100.1

1.334

0.000

7.000

22.18 / 27


Mean 100.1 0.2055E-01

Sigma 1.202 0.1734E-01

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

75

50

25

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

90253

3471

99.16

1.825

4.000

12.00

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)



oppure nessuna (caso zrec, file DC1).


ricostruita e paragonare i risultati con quelli ottenuti per la stesura

del TDR, l’effetto della scelta della posizione del vertice sui parametri

del picco trova una spiegazione. Il calcolo della massa invariante del

sistema γγ con il vertice zrec diminuisce il numero d’eventi in cui la

ricostruzione porta a masse con valori elevati. L’effetto maggiore è

comunque la generale tendenza al restringimento dei picchi.

È inoltre

evidente come la coda a masse maggiori di 110 GeV sia virtualmente

assente nel caso del vertice vero ztrue (solo 2 eventi), mentre sia ben

visibile nell’istogramma di figura 3.40 (19 eventi) già a partire da circa

104 GeV.

• Vale la pena notare il diverso comportamento per eventi in cui si sia

verificata almeno una conversione. Le figure 3.35, 3.37, 3.39 e 3.41

mostrano la perfetta simmetria dei picchi relativi agli eventi senza conversione

(istogrammi in alto), al contrario di quanto accade per gli

eventi in cui s’è avuta almeno una conversione (in basso). Inoltre, l’esame

degli istogrammi finali delle figure 3.34, 3.36, 3.38 e 3.40 mostra

la caratteristica presenza, già vista in precedenza, di uno shift, verso

masse minori, dei picchi relativi alle conversioni. Ciò trova una spiegazione

se si considera la perdita d’energia che gli elettroni possono subire

nel percorso tra il punto di conversione e quello in cui essi generano lo

sciame elettromagnetico nel calorimetro.

Un’ulteriore interessante informazione sull’effetto dovuto alla ricostruzione

del vertice primario con il calorimetro elettromagnetico si ricava dall’esame

delle figure 3.42 e 3.43. In esse è mostrato il contributo al picco della massa

per eventi in cui entrambi i fotoni si trovano nella regione coperta dal barrel

(istogrammi in alto) oppure almeno uno dei due sciami si sviluppi nell’endcap

(istogrammi in basso). Le figure si riferiscono al caso in cui, nel calcolo

della massa invariante del sistema γγ sia utilizzato il vertice vero ztrue (figura

3.42) oppure il vertice ricostruito zrec (figura 3.43).

Nel primo caso l’ampiezza dei due picchi è comparabile (se uno dei fotoni

è nell’end-cap, il risultato è addirittura migliore), con una larghezza σ

dell’ordine di 1,177 GeV; nel caso del vertice ricostruito, la situazione è differente,

portando ad un sensibile peggioramento se uno degli sciami si propaga

nella regione dell’end-cap. L’aumento dell’ampiezza σ aumenta per entrambi

i casi, ma l’aumento è più marcato per gli eventi che interessano l’end-cap,

ove si raggiunge un valore di σ pari a 1,362.

La tabella 3.5 riassume i risultati ottenuti.


eventi

eventi

300

250

200

150

100

50

250

200

150

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

900254

4381

99.49

1.538

1.000

0.000

20.23 / 20


Mean 99.76 0.1765E-01

Sigma 1.177 0.2180E-01

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

50

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

910254

3150

99.40

1.516

5.000

2.000

35.15 / 20


Mean 99.69 0.1931E-01

Sigma 1.086 0.2299E-01

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

Figura 3.42: Contributo al picco della massa ricostruita per eventi in cui

entrambi gli sciami sono nel barrel (in alto), e in quelli in cui almeno uno

sciame si trova nell’end-cap. In giallo, il contributo delle conversioni (caso

ztrue, file DC1).


eventi

eventi

300

250

200

150

100

50

180

160

140

120

100

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

900254

4374

99.56

1.542

3.000

6.000

17.90 / 20


Mean 99.79 0.2626E-01

Sigma 1.209 0.2449E-01

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

80

60

40

20

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

910254

3102

99.79

1.778

1.000

13.00

16.01 / 20


Mean 99.92 0.2127E-01

Sigma 1.362 0.3740E-01

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

massa (GeV)

Figura 3.43: Contributo al picco della massa ricostruita per eventi in cui

entrambi gli sciami sono nel barrel (in alto), e in quelli in cui almeno uno

sciame si trova nell’end-cap. In giallo, il contributo delle conversioni (caso

zrec, file DC1).


File Vertice Eventi Accettanza (%) mH (GeV) σmH (GeV)

TDR ztrue 7642 74,6 100,2 1,154

zrec 7642 74,6 100,2 1,296

DC1 ztrue 7531 76,1 99,73 1,144

zrec 7476 75,6 99,84 1,273

Tabella 3.5: Valori numerici finali delle principali grandezze che caratterizzano

il picco della distribuzione della massa ricostruita, per il bosone di Higgs

di massa nominale mH = 100 GeV.

3.10.2 mH = 120 GeV.

L’analisi svolta fin qui per un bosone di Higgs di massa mH = 100 GeV, è

stata effettuata senza modifiche sostanziali anche nel caso mH = 120 GeV.

Le figure 3.44 e 3.45 mostrano i risultati finali raggiunti.

Nella prima, relativa al caso in cui si utilizza nell’analisi la posizione

del vertice ztrue, fornita dal programma di generazione d’eventi, è ancora

mostrato il contributo dei fotoni che hanno subito conversione (in giallo). Il

fit gaussiano porta ad un valore della deviazione standard pari a 1,272 GeV,

con un valor medio di 119,7 GeV. È sempre possibile notare lo spostamento

verso valori minori della massa per il contributo dovuto alle conversioni. si

noti, inoltre, l’efficacia dei tagli applicati nel ridurre le code, soprattutto per

masse maggiori di 125 GeV.

Nella figura 3.45, invece, è illustrato il caso in cui si è utilizzata la posizione

del vertice ricostruito zrec, e quindi le informazioni dovute al pointing del

calorimetro. Come per il caso mH = 100 GeV, si assiste ad un allargamento

del picco rispetto al caso ztrue. Il valore della deviazione standard sale a 1,416

GeV, a fronte di un modestissimo incremento del valor medio della massa,

pari a mH = 119,8 GeV.

Anche in questo caso è stata esaminata la risoluzione della posizione del

vertice ricostruito dalle informazioni del calorimetro. I risultati sono illustrati

nelle figure 3.46 e 3.47. La figura 3.46 mostra la differenza tra la

posizione zrec del vertice ricostruita dal calorimetro e l’analoga ztrue fornita

dai programmi Monte Carlo in fase di generazione d’eventi. Come si può

vedere, un fit gaussiano per tale differenza mostra come essa si distribuisca

attorno ad un valor medio di -0,17 mm, con una larghezza σ = 13,56 mm.

La figura 3.47 mostra la stessa grandezza in due casi. Nel primo (istogramma

in alto) è mostrato il contributo per eventi in cui entrambi i fotoni

si trovano nella regione del barrel; qui la larghezza del picco scende a σ =

11,94 mm. Nel secondo caso almeno uno dei due fotoni viene a cadere nella

regione coperta dalle end-cap; un fit gaussiano è più difficoltoso da ottenere.


eventi

300

250

200

150

100

50

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

90254

5119

119.4

1.682

10.00

1.000

27.64 / 23


Mean 119.7 0.2813E-01

Sigma 1.272 0.2389E-01

0

110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130

massa (GeV)




del vertice primario ztrue, come ricavato dal programma Monte Carlo (file

DC1).


eventi

300

250

200

150

100

50

ID

Entries

Mean

RMS

UDFLW

OVFLW

90254

5086

119.6

1.842

8.000

15.00

13.54 / 23


Mean 119.8 0.3221E-01

Sigma 1.416 0.2942E-01

0

110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130

massa (GeV)




del vertice primario zrec, come ricostruito dalle informazioni del calorimetro

elettromagnetico (file DC1).


eventi

300

250

200

150

100

50

ID

103000

Entries

5086

Mean

0.1496

RMS

20.52

UDFLW 44.00

OVFLW 54.00

17.29 / 22


Mean 0.1708 0.2499

Sigma 13.56 0.2681

0

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

zrec-ztrue (mm)

Figura 3.46: Differenza tra la posizione del vertice ricostruita zrec e quella

del vertice generata ztrue nel caso di bosone di Higgs con massa pari a 120

GeV.


eventi

eventi

200

175

150

125

100

75

50

25

ID

103100

Entries

3005

Mean 0.3801E-01

RMS

14.84

UDFLW 17.00

OVFLW 15.00

16.73 / 23


Mean 0.7721E-01 0.2496

Sigma 11.94 0.2356

0

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

zrec-ztrue (mm)

90

80

70

60

50

40

30

20

10

ID

103200

Entries

2081

Mean

0.3141

RMS

26.78

UDFLW 27.00

OVFLW 39.00

16.21 / 22


Mean 0.8716 0.6995

Sigma 17.99 0.9175

0

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

zrec-ztrue (mm)

Figura 3.47: Differenza tra la posizione del vertice ricostruita zrec e quella

del vertice generata ztrue nel caso di bosone di Higgs con massa pari a 120

GeV. In alto, entambi i fotoni si trovano nella regione del barrel; in basso,

almeno uno dei due è nella regione dell’end-cap.


File Vertice Eventi mH (GeV) σmH (GeV)

DC1 ztrue 5119 119,7 1,272

zrec 5086 119,8 1,416

Tabella 3.6: Valori numerici finali delle principali grandezze che caratterizzano

il picco della distribuzione della massa ricostruita, per il bosone di Higgs

di massa nominale mH = 120 GeV.

Indicativamente la larghezza corrisponde a σ = 17,99 mm. Sono dunque gli

eventi che interessano l’end-cap ad avere un effetto negativo sulla precisione

con cui è possibile ricostruire la posizione zrec, analogamente a quanto accade

per mH = 100 GeV.

La tabella 3.6 riassume i risultati ottenuti.


Conclusioni

Riportiamo qui di seguito il calcolo della significanza per il canale di decadimento

H → γγ, per il bosone di Higgs di massa mH = 120 GeV.

La significanza è definita dalla relazione

S = S

√ B

(63)

dove S e B sono il numero d’eventi di segnale e di fondo nell’intervallo [-1,4σ,

1,4σ], centrato sul valor medio del valore della massa ricostruita per l’Higgs,

ottenuta mediante un fit gaussiano di larghezza σ degli istogrammi visti alla

fine del capitolo precedente.

Come già affermato, nel lavoro presente le simulazioni sono state condotte

in condizioni di bassa luminosità e assenza di rumore elettronico e pile-up.

Questo perchè i risultati di simulazioni relative a questi fenomeni sono ancora

in fase di perfezionamento per i nuovi file DC1 e non erano disponibili al

termine del lavoro.

Una stima realistica della significanza per il canale H → γγ con ATLAS

è stata ottenuta nel modo seguente:

• non potendo dare un valore preciso, derivante da simulazioni da noi effettuate,

del rumore di fondo e del pile-up, s’è provveduto ad aumentare

artificialmente, ma in modo coerente, la larghezza del picco della massa

ricostruita, operando in maniera analoga a quanto fatto nella sezione

3.9.

È stata introdotta un’ulteriore correzione all’energia ricostruita,

secondo una distribuzione gaussiana di larghezza 300 MeV. Questo è il

valore stimato del contributo del rumore elettronico alla larghezza del

picco relativo a cluster di 3x5 celle nel calorimetro elettromagnetico; in

altri termini, s’è operata un’ulteriore trasformazione del tipo

E → E ′ = E + c ′ σ (64)

dove la costante c ′ corrisponde a 300 MeV = 0,3 GeV e σ è di nuovo

un numero pseudocasuale generato da un programma che distribuisce

139

140 Conclusioni

tali valori secondo una gaussiana di larghezza unitaria. È importante

notare che la nuova correzione all’energia è stata effettuata su quegli

eventi che hanno superato i soliti tagli cinematici discussi più volte nelle

pagine precedenti (pT > 25(40) GeV/c ed esclusione di quei fotoni per

cui | η |< 0,05, 1,4 2,47, regione del crack).

• Dopo aver effettuato un fit gaussiano, è stato determinato il numero

d’eventi di segnale all’interno dell’intervallo [-1,4σ, 1,4σ], centrato sul

valor medio della gaussiana trovata.

•

•

È stato applicato un fattore numerico, in termini del singolo fotone,

pari a 0,8, per tener conto dell’efficienza di ricostruzione sul singolo

fotone. In un evento, il fattore complessivo risulta quindi 0,64 = (0,8) 2

(due fotoni). Dopo i tagli introdotti, abbiamo 2658 eventi selezionati

su un totale di 8866 eventi generati.

È determinato il numero d’eventi di fondo, nell’intervallo di massa scelto,

rapportandolo al numero d’eventi di fondo che compaiono nei dati

tabulati nel TDR. Per far questo ricordiamo che per il canale H → γγ,

a 120 GeV, il prodotto σ ·BR (dove σ è la sezione d’urto di produzione

dell’Higgs, BR il branching ratio del canale considerato) è dell’ordine

di 46,4 fb; per una luminosità integrata di 30 fb −1 , ciò equivale ad un

numero d’eventi attesi

Neventi = 46, 4 fb · 30 fb −1 = 1392 (65)

Questo numero d’eventi dev’essere rapportato agli 8866 delle simulazioni,

da cui segue la proporzione

ovvero,

2658 NS

=

8866 1392

(66)

NS = 417 eventi. (67)

Questo è il numero d’eventi di segnale attesi corrispondenti ad una

luminosità integrata di 30 fb −1 , dopo l’analisi e nell’intervallo di massa

scelto.

• Da dati tabulati nel TDR si ricava il numero d’eventi di fondo attesi nel

mass bin. A bassa luminosità si avranno 11820 eventi di fondo totale

(73% dal fondo γγ, 11% dovuti al fondo jet-jet, 16% dal fondo γ-jet).

• Infine, è calcolata la significanza attesa, mediante la definizione (63),

per il caso di luminosità integrata di 30 fb −1 e massa dell’Higgs a 120

GeV.

Conclusioni 141

TDR file DC1

totale eventi - 8866

eventi con tagli cinematici - 5086

eventi nel picco (±1, 4σ) - 4153

eventi con taglio in efficienza - 2658

eventi di segnale (30 fb −1 ) 1283 417

eventi fondo (30 fb −1 ) 39400 11820

√ B 198,49 108,72

S (30 fb −1 ) 3,90 3,84

Tabella 7: Valori di alcune delle quantità significative per il calcolo della

significanza di scoperta del bosone di Higgs di massa 120 GeV. I dati si

riferiscono a valori tabulati nel TDR [22] e a quelli ottenuti nel corso dello

studio presente (file DC1).

I risultati relativi ai punti elencati sono esposti nella tabella 7.

Il valore della significanza ottenuto è in linea con quello pubblicato sul

TDR [22]. Esso permette di concludere che le modifiche apportate alla struttura

dell’inner detector, che comportano un aumento della quantità di materiale

nella regione vicino al vertice d’interazione e quindi un aumento del

numero di conversioni, non peggiorano la sensibilità di ATLAS per la scoperta

del bosone di Higgs nel range di massa intorno ai 120 GeV nel canale

H → γγ e in condizioni di bassa luminosità.

142 Conclusioni

Appendice A

Relazioni trigonometriche tra le

grandezze θ ed η

Nelle pagine precedenti s’è fatto uso di svariati sistemi di coordinate a seconda

del problema in esame. In ATLAS, infatti, sono utilizzate le coordinate

“miste” (η, φ, z), mentre normalmente, per individuare la direzione di propagazione

di una particella che origina in un punto O, identificato con l’origine

degli assi, si fa riferimento al sistema di coordinate sferiche (r, θ, φ) o a quelle

cilindriche (r, φ, z). In particolare, nel lavoro presente, interessa l’angolo θ

individuato dall’asse z del fascio di LHC e dalla retta di propagazione del

fotone.

Il calcolo di varie grandezze cinematiche, al fine della ricostruzione della

massa del bosone di Higgs attraverso la massa invariante del sistema γγ,

porta a considerare funzioni trigonometriche di θ, che devono essere riespresse

in funzione della pseudorapidità η, grandezza fondamentale nello studio degli

eventi in ATLAS. Cardine di queste derivazioni è la relazione fondamentale

η = − log tan θ

2

(68)

dove θ varia nell’intervallo [0, π], mentre η nell’intervallo [+∞, −∞]. Invertendola,

s’ottiene

θ = 2 arctane −η

(69)

Veniamo alle funzioni trigonometriche fondamentali. Punto di partenza è la

formula di bisezione per la tangente

tan θ

2 =

1 − cosθ

(70)

1 + cosθ

Elevando al quadrato ed invertendo, posto tanθ/2 = t, s’ottiene

cosθ =

143

1 − t2

1 + t 2

(71)

144 Appendice A

Dall’equazione (69), che si può anche scrivere

sostituendo al posto di t, ricaviamo

t = tan θ

2 = e−η , (72)

cos θ =

1 − e−2η

1 + e −2η

da cui, moltiplicando numeratore e denominatore per e η , si ricava:

ovvero la formula cercata

cosθ = eη − e −η

e η + e −η

(73)

(74)

cosθ = tanh η (75)

Per ricavare il seno dell’angolo θ in funzione di η, si consideri la relazione

fondamentale della trigonometria

da cui

cos 2 θ + sin 2 θ = 1 (76)

sin 2 θ = 1 − cos 2 θ

= 1 − tanh 2 η

= 1 − sinh2 η

cosh 2 η

= cosh2 η − sinh 2 η

cosh 2 η

1

=

cosh 2 η

dove abbiamo usato la relazione fondamentale della trigonometria iperbolica

In definitiva

L’altra possibile soluzione

cosh 2 η − sinh 2 η = 1 (77)

sin θ = 1

cosh η

sin θ = − 1

cosh η

(78)

(79)

Appendice A 145

non è accetabile per problemi di segno nell’intervallo [0, π]. Per semplice

rapporto delle (79) e (75), s’ottiene

ovvero

tanθ =

1

tanh η cosh η

tan θ = 1

sinh η

(80)

È immediato ottenere le formule inverse, rispettivamente della (75), (79)

e (80)

tanh η = cosθ (81)

cosh η =

sinh η =

1

sin θ

1

tanθ

(82)

(83)

146 Appendice A

Appendice B

Il metodo dei minimi quadrati

Il problema della ricostruzione del vertice primario nel calorimetrto elettromagnetico

di ATLAS è stato affronato interpolando le posizioni di vari punti

nei differenti settori del calorimetro, in modo da ricostruire la direzione di

propagazione del fotone generato nel decadimento H → γγ. Poichè si possiede

una stima dell’errore con cui questi punti possono essere determinati,

la retta cercata è anch’essa affetta da incertezza. Per risolvere problemi di

questo tipo, si può applicare il classico metodo dei minimi quadrati, qui di

seguito illustrato.

Consideriamo n punti in un piano, aventi coordinate (xi, yi), i = 1, 2, . . .,n.

Per semplicità, supponiamo che le grandezze yi siano note con un errore che

soddisfa una legge di distribuzione gaussiana caratterizzata da una larghezza

σy, identica per ogni punto (le coordinate xi sono assunte note con esattezza).

Il metodo dei minimi quadrati risponde alla domanda di individuare

una retta

y = A + Bx (84)

che meglio interpoli i punti dati. Si ottengono le formule

2 xi yi −

A =

xi xiyi

∆

dove

B = n xiyi − xi

∆

yi

∆ = n x 2 i −

xi

2

(85)

(86)

(87)

Nel seguito, ove non espressamente indicato il contrario, la somma si intende

definita per i che va da 1 a n. Le formule precedenti si dimostrano partendo

dall’assunto che, dato il valore xi, la grandezza yi è determinata con una

147

148 Appendice B

probabilità pari a

P(yi) ∝ 1

σy

i=1

exp − (yi − A − Bxi) 2

2σ2

y

P(yi) ∝ 1

σn exp

y

(88)

La probabilità che tutti gli n valori siano proprio quelli assunti, data l’indipendenza

dei valori delle imprecisioni per punti differenti, risulta essere

n

Ptot =

− χ2

(89)

2

dove s’è posto

χ 2 = (yi − A − Bxi) 2

σ 2 y

(90)

La probabilità è massima (e quindi maggiore la precisione con cui la retta

interpolatrice è determinata), quando l’esponente che compare nell’equazione

(89) è il più piccolo possibile. I coefficienti della retta A e B assumono allora

lo stato di variabili indipendenti. Condizione necessaria per il minimo è

l’annullarsi del gradiente. Derivando e ponendo le derivate parziali rispetto

ad A e B uguali a zero, s’ottiene il sistema:

da cui seguono le (85–87).

nA + B xi = yi (91)

A xi + B x 2 i = xiyi (92)

Una volta note le grandezze A e B, ci si può chiedere con quale precisione

esse siano determinate; in ultima analisi, infatti, il loro valore è ricavato dai

dati iniziali, ovvero le coordinate degli n punti fissati. Poichè i valori yi sono

noti con un’incertezza σy, questa si deve ripercuotere inevitabilmente sulla

precisione di A e B. Applicando la legge di propagazione degli errori alle

(85–87), s’ottiene:

con ovvio significato dei simboli.

σ 2 A = σ2 y

σ 2 B = nσ2 y

∆

x 2 i

∆

(93)

(94)

Un’ultima osservazione. Le formule fin qui ricavate sono basate sull’assunto

che le incertezze sui valori yi siano identiche per tutti i punti e pari a

Appendice B 149

σy. La trattazione può essere generalizzata e resa più realistica, ipotizzando

che tali incertezze siano differenti per ognuno degli yi e pari a σi. Posto

wi = 1

σ 2 i

(95)

le formule (85–87) si generalizzano, con ragionamenti del tutto analoghi [36],

ottenendo le formule corrispondenti

wix

A =

2

i wiyi −

wixi wixiyi

(96)

∆

wi wixiyi −

B =

wixi wiyi

(97)

∆

dove

∆ = wi

wix 2 i −

wixi

2

(98)

Le formule (96–98) sono state utilizzate nel programma d’analisi per la ricostruzione

della traiettoria del fotone del decadimento del bosone di Higgs

H → γγ a partire dalla conoscenza della posizione del baricentro dello sciame

nei vari layer del calorimetro elettromagnetico.

Anche in questo caso più generale, è possibile ottenere l’equivalente delle

equazioni (93, 94), che ora si scrivono

σ 2 A =

wix2 i

(99)

∆

σ 2 B =

wi

ampiamente utilizzate nel presente lavoro.

∆

(100)

150 Appendice B

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La figura 48 mostra la ricostruzione grafica di un evento atteso di decadimento

del bosone di Higgs in due fotoni. Nell’esempio, la massa dell’Higgs

è di 100 GeV, anche se ormai ciò risulta escluso dalle misure di LEP2. Si

noti la presenza di due cluster (in rosso); il primo, con energia pari a 52,6

GeV, è dovuto ad uno dei due fotoni, mentre il secondo, di energia pari a

44,7 GeV, è dovuto ad un fotone che subisce conversione in una coppia e + e −

nel secondo strato del sistema di tracciamento SCT dell’inner detector (linea

sottile rossa). In giallo sono indicate le energie depositate nel presampler.

Il valore della luminosità è pari a quella nominale in LHC (alta luminosità,

∼ 10 34 cm −2 s −1 ), quindi superiore di un ordine di grandezza rispetto al valore

utilizzato nel corso delle simulazioni discusse nel presente lavoro di tesi

(bassa luminosità, ∼ 10 33 cm −2 s −1 ).

Figura 48: Simulazione di un evento H → γγ nell’ID e nell’EMC di ATLAS

alla luminosità di progetto di LHC. Sono mostrate l’energia depositata nell’EMC

(in rosso) e nel presampler (in giallo). Uno dei fotoni ha subito

conversione nell’ID (secondo strato dei tracciatori a semiconduttore, SCT),

come mostra la linea rossa [21].

STUDIO DEL BOSONE DI HIGGS NEL CANALE γγ CON IL ...

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