Modelli numerici per la rappresentazione, l'analisi del ... - AIAS

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Modelli numerici per la rappresentazione, l'analisi del ... - AIAS

ASSOCIAZIONE ITALIANA PER L’ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI

XXXIV CONVEGNO NAZIONALE — 14–17 SETTEMBRE 2005, POLITECNICO DI MILANO

MODELLI NUMERICI PER LA RAPPRESENTAZIONE, L’ANALISI DEL CONTATTO E

DELLE SOLLECITAZIONI DI INGRANAGGI IPOIDI FACE HOBBED

M.Vimercati*

Politecnico di Milano - Dipartimento di Meccanica, Via La Masa 34 - 20158 Milano

Sommario

La corretta progettazione di una trasmissione ad ingranaggi è un processo che coinvolge numerose

fasi. Fra queste, è di grande utilità sviluppare strumenti numerici che permettano di simulare la

risposta della trasmissione alle condizioni operative e di ricercarne le condizioni ottimali di

funzionamento. Il presente lavoro ha proprio lo scopo di proporre un insieme di procedure numeriche

implementate per analizzare le prestazioni di ingranaggi conici ipoidi ottenuti per fresatura frontale a

più principi (face hobbing). Innanzitutto, a partire dallo studio del processo di taglio, è stata ricavata la

descrizione matematica delle complesse superfici dei denti di questi ingranaggi. La geometria così

ottenuta è stata fornita in ingresso ad un efficiente codice commerciale che permette di risolvere

problemi di contatto. In tal modo è stato possibile analizzare numericamente le prestazioni della

dentatura face hobbed, ovvero, al variare del carico, monitorare durante l’ingranamento il percorso di

contatto, l’errore di trasmissione e gli sforzi alla radice del dente.

Abstract

The design of a successful geared transmission involves many phases: among those, it is very useful to

develop a numerical tool able to simulate the real behaviour of the gear drive, searching for proper

gearing conditions. Aim of this paper is just to provide a set of numerical procedure which have been

implemented in order to analyze the performance of face hobbed hypoid gears. In details, starting from

the simulation of face hobbing cutting process, gear tooth surfaces equations are computed: the

proposed mathematical model is able to provide a very accurate description of the complex gear tooth

geometry, including fillet area. Then, the obtained gear surfaces are provided as input to an advanced

contact solver allowing an accurate gear performance numerical analysis which includes contact

analysis and stress calculation.

Parole chiave: ingranaggio conico ipoide, fresatura face hobbing, sottotaglio, analisi del contatto

1. INTRODUZIONE

Gli ingranaggi conici spirali ed ipoidi, grazie alla loro capacità di trasmettere coppie elevate in modo

efficiente e silenzioso, sono ampiamente impiegati in campo aeronautico ed automobilistico.

Comunemente essi vengono prodotti ricorrendo a due processi alternativi: la fresatura frontale ad

un unico principio (face milling - FM) e quella a più principi (face hobbing - FH). Il processo FM,

impiegando una fresa ad un unico principio, richiede un meccanismo di divisione intermittente:

quando un vano dente è stato tagliato, è necessario ruotare il grezzo in lavorazione di un passo e

riposizionarlo per il taglio del vano successivo. Nel metodo FH, l’uso di una fresa frontale a più

principi permette, mediante una opportuna sincronizzazione tra la velocità di rotazione dello sbozzato

e della fresa stessa, di eseguire un meccanismo di divisione continua: in una sola passata e senza

necessità di riposizionare il grezzo, si ottiene la ruota desiderata [1].

* Corresponding author: Tel.: +39022399.8213; Fax.: +39022399.8202; E-mail: martino.vimercati@polimi.it


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È evidente che, tra i due processi, quello che sfrutta la fresa a più principi è senz’altro più efficiente

ed economico; questa peculiarità è la ragione della larga diffusione di tale metodologia nella

fabbricazione di ingranaggi di impiego automobilistico, ambito in cui è richiesta ampia produttività.

La progettazione di una trasmissione ad ingranaggi è una procedura molto articolata. In particolare

è di grande utilità avere a disposizione un modello numerico che permetta di simulare la risposta della

trasmissione alle condizioni operative e di ricercarne le condizioni ottimali di funzionamento. Il primo

passo da compiere per realizzare un modello numerico affidabile è quello di derivare una

rappresentazione geometrica delle superfici dei denti della trasmissione che sia il più possibile affine a

quella delle superfici reali. Tale necessità è tanto più stringente quando, come succede nel caso di

ingranaggi ad assi concorrenti e/o sghembi, la geometria dei denti è complessa. A partire da

un’accurata descrizione geometrica della dentatura è possibile costruire un modello ad elementi finiti e

con questo, affidandosi ad un valido solutore numerico, eseguire l’analisi del contatto a bassi (Tooth

Contact Analisys – TCA [2]) e ad alti carichi (Loaded Tooth Contact Analisys – LTCA [3]) oltre che

monitorare le pressioni di contatto e lo stato di sforzo nelle regioni critiche dell’ingranaggio.

Sul tema della rappresentazione geometrica, dell’analisi del contatto e delle sollecitazioni di coppie

coniche FM è molto semplice trovare in letteratura validi riferimenti [4-8]. Al contrario, sugli

ingranaggi FH, il cui processo di taglio, come si è visto, è intrinsecamente più complesso, molto poco

è stato pubblicato. Nel dettaglio, per quanto riguarda la rappresentazione geometrica, esistono solo due

riferimenti assolutamente poco esaustivi [9-10]. Sul versante dell’analisi delle prestazioni di un

ingranaggio FH, lo stato dell’arte è ancora più scoraggiante: non esistono in letteratura lavori che

trattano tale argomento. Attualmente, dunque, l’unico modo, per indagare il mondo degli ingranaggi

ipoidi FH è quello di utilizzare, come una “scatola nera”, software commerciali (per esempio Gleason

T2000 ® e Klingelnberg KIMoS ® ) di cui, per l’appunto, non è possibile conoscere la teoria sottostante.

L’intento del presente lavoro, quindi, è proprio quello di colmare tali lacune approntando un

efficiente modello numerico in grado di essere un affidabile strumento di progettazione per questa

categoria di ingranaggi [11]. Come si è detto, il primo passo per costruire un modello numerico è

quello di ricavare la geometria delle superfici della dentatura. Si vedrà [12] che per raggiungere questo

obiettivo sarà necessario, innanzitutto, derivare una rappresentazione analitica degli utensili impiegati

per la manifattura; verrà schematizzata la fresa usata realmente per il taglio delle coppie ipoidi oggetto

di questo studio, vale a dire la fresa frontale a più principi Gleason Tri-Ac ® e saranno considerate

diverse forme di tagliente (lame dritte, curve, con o senza protuberanza). Dopodichè verrà studiato il

processo di taglio vero e proprio con lo scopo di ricavare un gruppo di trasformazioni di coordinate in

grado di simulare i movimenti macchina che si verificano durante il taglio dell’ingranaggio; grazie alla

classica teoria dell’ingranamento [13-14], opportunamente modificata per considerare le peculiarità

del metodo FH, sarà quindi possibile ottenere una formulazione analitica del processo di taglio.

Finalmente, unendo i risultati ottenuti nelle due fasi precedenti, verranno derivate le equazioni che

rappresentano le superfici dei denti dell’ingranaggio ipoide FH. Si vedrà che, con lo scopo di rendere

il modello il più possibile aderente alla realtà, sarà necessario sviluppare una procedura capace di

riconoscere e gestire in maniera efficiente il complesso fenomeno del sottotaglio che spesso affligge i

denti FH [15-16]. Al fine di formulare un giudizio sulla qualità dei modelli sviluppati, essi verranno

impiegati per prevedere le superfici di una trasmissione reale (ingranaggio ipoide FH appartenente ad

un differenziale di un automezzo per trasporto leggero) ed i risultati ottenuti convalidati mediante

confronto con quelli calcolati attraverso un software commerciale di riferimento. Verrà mostrato anche

un confronto con le reali superfici della dentatura.

La geometria così ricavata sarà quindi fornita in ingresso ad un potente codice [17-18] che

permette, impiegando una tecnica ibrida che combina il metodo degli elementi finiti con la teoria di

Boussinesq, di risolvere efficientemente problemi di contatto. In tal modo sarà possibile eseguire

un’accurata analisi numerica delle prestazioni della dentatura [19]; in particolare, al variare della

coppia trasmessa, verrà effettuata l’analisi del contatto - consistente nello studio dell’andamento

dell’errore di trasmissione, del percorso e delle pressioni di contatto - e della distribuzione delle

sollecitazioni durante l’ingranamento. I risultati ottenuti, per quanto possibile, saranno convalidati

mediante confronto con quanto calcolato dal software commerciale di riferimento.

2. CINEMATICA DELLA FRESATURA FRONTALE A PIÙ PRINCIPI

Come è noto [1, 15-16], la presenza di una fresa frontale a più principi permette di eseguire un taglio

avente un meccanismo di divisione continua: dalla Figura 1 è evidente che, mentre un gruppo lama,

composto da una lama esterna ed una interna, taglia un vano dente, il grezzo viene ruotato in direzione


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opposta; se il rapporto Rb tra la velocità di rotazione della fresa e quella del grezzo è pari al rapporto

tra il numero di denti del membro da generare ed il numero di gruppi lama (o numero di principi della

fresa) allora, non appena un gruppo lama ha terminato di tagliare un vano dente, il gruppo successivo

comincia a tagliare il vano successivo. In una sola passata e senza necessità di riposizionare il grezzo

rispetto alla fresa, si ottiene la ruota desiderata.

Figura 1: Cinematica della fresatura frontale a più principi

Per realizzare questo tipo di taglio, le lame sono disposte in maniera più complessa rispetto a

quanto succede nel processo che impiega la fresa frontale ad un unico principio: le barrette taglienti

non sono allineate alla direzione radiale della fresa ma vengono spostate tangenzialmente per

consentire al percorso di taglio di tracciare non più, come succede nel taglio FM, un arco di cerchio,

bensì un epicicloide.

La Figura 1 si riferisce al cosiddetto taglio Formate ® (o senza moto di generazione): la lama

tagliente affonda semplicemente nel grezzo lasciando la propria impronta. Come è noto [1], qualora si

desideri eseguire un taglio FH con generazione, ovvero ottenere il fianco del dente per inviluppo

(similmente a quanto accade con la dentiera nel taglio degli ingranaggi cilindrici), ai movimenti visti è

necessario aggiungere quelli, in fase tra loro, di rotolamento della culla e di rotazione del grezzo

attorno al proprio asse.

Tradizionalmente [15-16], l’ingranaggio FH presenta un dente ad altezza uniforme che può indurre

sottotaglio e cresta appuntita. Quest’ultimo inconveniente può essere eliminato introducendo un cono

frontale secondario; evitare il sottotaglio, invece, è generalmente molto difficile e spesso le coppie FH

vanno in servizio afflitte da tale problema.

3. RAPPRESENTAZIONE MATEMATICA DELLA GEOMETRIA DI INGRANAGGI IPOIDI FH

Di seguito saranno illustrati i passi eseguiti in questo lavoro per ricavare, a partire dallo studio del

processo di taglio, la formulazione analitica delle equazioni che descrivono le superfici dei denti di

coppie ipoidi FH [11-12]; i modelli ottenuti saranno opportunamente convalidati.

3.1. Il modello

Si consideri una reale fresa FH, per esempio la Gleason Tri-ac ® . Come visto, essa presenta un

determinato numero di gruppi lama ognuno dei quali contiene una lama esterna (OB) per il taglio del

lato concavo del dente ed una lama interna (IB) per il taglio di quello convesso (Figura 2).

Concentrando l’attenzione sulla lama esterna (per quella interna si può condurre una discussione

del tutto similare), è stato semplice notare che essa non è perpendicolare al piano fresa ma è montata

secondo un angolo Γb (Hook Angle) rispetto all’asse di rotazione della fresa. La distanza tra il punto

primitivo P del profilo tagliente (si veda anche Figura 3) ed il centro fresa Oh è definita dalla

grandezza rb (Blade Radius); l’angolo εb (Eccentric Angle) viene introdotto per considerare che nel

processo FH, a differenza di quello FM, la direzione di taglio non è normale alla direzione radiale

della fresa. La distanza tra il punto primitivo P e la punta della lama è descritta da hf (Blade Height).

Studiando più nel dettaglio il profilo tagliente (Figura 3), è evidente che esso giace interamente su

di un piano, denominato Rake, che forma un angolo κe (Rake Angle) con il piano del fusto della


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barretta. L’angolo αe (Blade Angle) è definito dall’asse verticale della barretta e dalla proiezione del

profilo tagliente sul piano del fusto della barretta.

Figura 2: Schema di un gruppo lame di una fresa frontale a più principi

A questo punto, è stato necessario ricavare la rappresentazione analitica del profilo tagliente. In

commercio esistono numerose tipologie di lame; in questo lavoro verrà analizzato un profilo

complesso, vale a dire lama curva con protuberanza; configurazioni più semplici (per esempio lama

dritta con o senza protuberanza) sono facilmente derivabili dalla seguente trattazione. Riferendosi alla

Figura 4, dove viene mostrata la proiezione di tale profilo sul piano XtZt, è utile distinguere quattro

parti: il fondo lama, sfruttato per l’ottenimento del bassofondo del vano dente; il raccordo, utile a

smussare opportunamente la base del dente; la protuberanza, impiegata per tagliare più in profondità la

base del dente onde evitare interferenza durante l’ingranamento; la lama curva, grazie alla quale si

ottiene il fianco attivo con le caratteristiche desiderate. La Tabella 1 riporta le proprietà geometriche di

queste quattro parti unita alla rappresentazione analitica che è stata ricavata per il vettore posizione

rt(s) di un punto arbitrario della lama nel sistema di riferimento St. I valori dei parametri re, LT, τ and ρt

dipendono dalla lama scelta. Le altre grandezze definite nelle relazioni sono ricavabili mediante

considerazioni geometriche basate sulle Figure 3 e 4.

Attraverso semplici trasformazioni di coordinate, è, infine, conveniente esprimere il vettore rt(s) nel

sistema di riferimento della fresa Sh (Figura 2), ricavando il vettore rh(s).

Figura 3: Barretta tagliente FH Figura 4: Lama curva con protuberanza

A partire da quest’ultima rappresentazione, la teoria dell’ingranamento richiede, con lo scopo di

ricavare la descrizione matematica delle superfici della dentatura, di formulare un insieme opportuno

di trasformazioni di coordinate in grado di simulare il processo di taglio e di rappresentare il profilo

tagliente nel sistema di riferimento del grezzo in lavorazione [13-14]. A tal fine, è stata schematizzata

la macchina utensile, completa di tutti i componenti, comunemente impiegata per il taglio con

generazione di una dentatura FH (Figura 5).


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Tabella 1: Proprietà geometriche della lama curva con protuberanza

Parte rt (s)

per

Fondo lama

segmento orizzontale

Raccordo

arco circolare di raggio re

e centro in (xR, zR)

Protuberanza

segmento lineare caratterizzato dalla

lunghezza LT e dall’angolo τ

Lama curva

arco circolare di raggio ρt

e centro in (xO, zO)

⎧ s + x ⎫

R


⎪−

x ( s)

n − z ( s)

n ⎪

t t , x t t , z



⎪ nt

, y ⎪

⎪⎩

0 ⎪⎭

⎧ x + r sin( s / r ) ⎫

R e

e


⎪−

x ( s)

n − z ( s)

n ⎪

t t , x t t , z



⎪ nt

, y ⎪

⎪⎩

− r ( 1−

cos( s / r )) ⎪

e

e ⎭

⎧ x


R + re

sin( γ)

± ( s − L1)

sin( δ − τ)

⎪ − x −


t ( s)

nt

, x zt

( s)

nt

, z




nt

, y


⎪⎩

− r ( 1−

cos( γ))

− ( s − L ) cos( δ − τ)


e

1 ⎭

⎧x

− ρ cos( δ + ( s − L − L ) / ρ ) ⎫

O t

1 2 t

⎪ − x ( s)

n − z ( s)

n ⎪

t t , x t t , z




nt

, y


⎪⎩

z − ρ sin( δ + ( s − L − L ) / ρ ) ⎪

O t

1 2 t ⎭

Figura 5: Assetto della macchina per il taglio con generazione di dentatura FH

s ≤ 0

0 < s ≤ L1

L1 < s ≤ L1+ L2

L1+ L2 < s

Analizzando i principali sistemi di riferimento definiti, è possibile, innanzitutto, notare il sistema

Sm, che è fisso e solidale al macchina utensile, ha origine Om nel centro culla ed asse Zm coincidente

con l’asse di rotazione della culla. Dopodichè è stato introdotto il sistema Sh, già definito per lo studio

della fresa, che permette di misurare la rotazione della fresa θ. Infine è stato disposto il sistema Sw,

solidale al grezzo in lavorazione ed avente l’asse Zw coincidente con l’asse di rotazione del grezzo.

Come visto (Paragrafo 2), per descrivere correttamente il meccanismo di divisione continua

caratteristico del processo FH, il sistema Sw dovrà ruotare attorno all’asse Zw di un angolo pari a Rbθ. Il


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moto di generazione viene simulato aggiungendo alla rotazione del grezzo un termine pari a Raφ dove

Ra rappresenta il cosiddetto ratio of roll e φ l’angolo di rotazione della culla.

Formulando opportunamente le matrici che descrivono le trasformazioni di coordinate (i dettagli

sono riportati in Tab. 2 ed in [11-12]), è stato possibile descrivere il profilo tagliente nel sistema del

grezzo Sw:

r w ( θ , φ,

s) = M w5 M 54 M 4m M mc M c3 M 32 M 21 M 1hrh

( s)

(1)

L’ Eq. (1) rappresenta una famiglia di superfici; come è noto [13-14], la superficie del dente (vale a

dire l’inviluppo di questa famiglia) deve soddisfare l’equazione di ingranamento:

⎛ ∂

∂ ⎞ ∂

⎜ r w ( θ,

φ,

s)

× rw

( θ,

φ,

s)

⎟ • rw

( θ,

φ,

s)

= 0

(2)

⎝ ∂s

∂θ

⎠ ∂φ

Scegliendo valori di θ, φ ed s che soddisfano le Eq. (1) e (2) e che rispettano i limiti fisici del dente,

si ricava una superficie per ogni parte in cui era stata suddivisa la lama i . Per esempio, considerando la

lama studiata in questo lavoro, si ottengono quattro superfici corrispondenti alle quattro parti di lama

(fondo, raccordo, protuberanza and lama curva).

Tabella 2: Definizione delle trasformazioni di coordinate per la simulazione del processo di taglio FH

Matrice Trasformazione Parametri macchina Simbolo

M1h Sh S1 Rotazione fresa θ

M21 S1 S2 Tilt Angle i

M32 S2 S3 Swivel Angle j

Mc3

S3 Sc

Radial setting

Cradle angle

Mmc Sc Sm Rotazione culla φ

M4m

M54

Sm S4

S4 S5

Blank offset

Sliding base

Machine center to back

Machine root angle

Sr

q

Em

∆Xb

∆Xp

Mw5 S5 Sw Rotazione grezzo Rbθ+Ra φ

Al fine di ricavare la superficie finale del dente, è stato necessario comporre opportunamente

queste quattro superfici. A causa della notevole complessità analitica delle equazioni in gioco, un

modo conveniente per risolvere il problema è quello di “affettare” il dente mediante sezioni trasversali

e calcolare numericamente il profilo del dente appartenente a queste sezioni; in altre parole, risolvendo

un problema non lineare, per una data sezione trasversale si ottengono i quattro profili tagliati dalle

quattro parti di lama. Quando si simula un processo di taglio Formate ® , i quattro profili ottenuti sono

molto regolari e la loro composizione è molto semplice (Figura 6, sulla sinistra); se invece si considera

una dentatura generata, il processo di inviluppo induce un profilo decisamente più complicato (Figura

6, sulla destra) in cui, usualmente, si riscontrano discontinuità ed intersezioni tra le quattro parti di

profilo. In particolare, il raccordo può intersecare il fianco attivo del dente dando luogo al sottotaglio.

Il modello proposto in questo lavoro è in grado, grazie a procedure numeriche basate su semplici

proprietà dei vettori [11, 20], di riconoscere tutte queste intersezioni, di eliminare i punti non

appartenenti al profilo reale e, con i punti rimanenti, di costruire il profilo finale del dente.

i Qualora sia richiesta la rappresentazione di una dentatura non generata, la rotazione della culla φ è nulla e la superficie del

dente è ricavata solo attraverso l’Eq. (1) che diviene una funzione di due parametri (θ e s).

γm


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Figura 6: Esempi di profili di dente ottenuti con il modello proposto

3.2. Risultati e convalida del modello

Con lo scopo di applicare e convalidare il modello proposto, sono state calcolate le superfici dei denti

di un ingranaggio ipoide FH appartenente ad un differenziale di un automezzo per trasporto leggero.

In Tabella 3 sono riassunte le principali caratteristiche geometriche della trasmissione. Il membro

condotto presenta 44 denti; il pignone ne ha 15. L’offset del pignone è pari a 25 mm. Per il taglio è

stata impiegata una fresa Gleason Tri-ac ® con 13 gruppi lama; la corona, Formate ® , è stata ottenuta

con lame curve, il pignone, generato, con lame curve con protuberanza.

Tabella 3: Proprietà geometriche della coppia ipoide FH analizzata

Parametro Pignone Corona

Modulo [1/mm] m 5.11

Angolo tra gli assi [°] Σ 90

Offset [mm] E 25

Numero di denti N 15 44

Angolo di spirale medio [°] β 43.00 28.90

Verso di spirale LH RH

Lunghezza della fascia [mm] FW 41.43 38.00

Generatrice esterna [mm] OCD 106.40 126.10

Angolo primitivo [°] γ 26.88 62.41

Addendum [mm] Ad 5.09 2.96

Dedendum [mm] De 3.91 6.04

La Figura 7, a sinistra, mostra i risultati ottenuti per la corona; a causa del processo di taglio senza

generazione, il profilo dei denti è molto regolare e simile a quello del profilo tagliente. A destra, è

riportata la rappresentazione ricavata per il pignone; in questo caso, il processo di inviluppo induce

una geometria del dente più complessa che richiede una discussione più articolata. La Figura 8 illustra

quanto ottenuto per due sezioni caratteristiche del pignone. A causa dell’altezza uniforme del dente, la

sezione di punta (Figura 8.a, in alto) evidenzia sottotaglio (sul lato concavo) ed una cresta molto

assottigliata. Il differente valore che assume l’angolo di pressione della lama esterna rispetto a quello

della lama interna comporta diversità tra profilo concavo e convesso. Nessuna delle due sezioni mostra

l’altezza del dente uguale a quella nominale (NTH); in particolare il concavo della sezione di tallone

presenta un dente più alto del 5.5% di quello nominale (Figura 8.b, in alto).

Comparando i risultati ottenuti con le reali superfici del dente (Fig. 8.a e 8.b, in basso), è evidente

che il modello proposto è in grado di catturare con efficacia la complessa forma della dentatura.

Con lo scopo di convalidare quantitativamente questi risultati, le superfici così ottenute sono state

confrontate con quelle ricavabili tramite il software Gleason T801Z0 ® , considerato, per ovvie ragioni,

un riferimento affidabile. Tramite i due modelli teorici sono state calcolate le coordinate del fianco

concavo e convesso di corona e pignone su di una griglia di 15 punti lungo la fascia e 9 lungo il

profilo del dente; le discrepanze tra le superfici sono state valutate in termini di deviazione normale tra

punti omologhi di tale griglia. Sia per la corona che per il pignone, la deviazione normale tra i due


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modelli si è rivelata molto piccola (valor medio minore di 0.1 µm) e uniformemente distribuita sul

fianco; è stato quindi possibile affermare che il modello proposto garantisce un’accurata descrizione

della geometria degli ingranaggi ipoidi FH.

Corona Pignone

Figura 7: Rappresentazione delle superfici dei denti ottenuta con il modello proposto

(a) Sezione di punta (b) Sezione di tallone

Figura 8: Sezioni del pignone ottenute con il modello proposto (in alto) comparate con quelle del dente reale (in basso)

4. ANALISI NUMERICA DELLE PRESTAZIONI DI INGRANAGGI IPOIDI FACE HOBBED

Interrogando opportunamente [11] il modello matematico illustrato nel paragrafo precedente, è stato

possibile ottenere l’input (le superfici dei denti) necessario per eseguire l’analisi numerica delle

prestazioni della trasmissione appartenente al differenziale. Il codice di analisi impiegato è un potente

solutore di contatto [17-18] che combina un approccio semianalitico basato sulla teoria di Boussinesq

per il calcolo degli spostamenti relativi nella zona di contatto con il tradizionale metodo degli elementi

finiti per ricavare le deformazioni associate alla flessione del dente (vale a dire gli spostamenti lontani

dalla zona di contatto). In questo modo è possibile costruire un modello numerico accurato con una

mesh relativamente rada, garantendo analisi del contatto e dello stato di sforzo decisamente efficienti.

La Figura 9 mostra il modello preparato per queste analisi; esso è in grado di considerare tutti i

denti della trasmissione. Sulla destra viene illustrato un ingrandimento dei denti ingrananti.

Le condizioni di vincolo sono state imposte secondo un approccio semplificato, ampiamente

adottato in letteratura [5]: cinque gradi di libertà del cono interno del pignone sono vincolati e la

coppia è applicata a quello rimasto libero; il cono interno della corona è totalmente vincolato.

Il materiale costituente la dentatura viene definito come acciaio (E = 210000 N/mm 2 , ν = 0.3).


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Figura 9: Modello della trasmissione ipoide FH preparato per l’analisi numerica delle prestazioni

La Tabella 4 riassume le condizioni di carico che sono state simulate nelle analisi numeriche.

Innanzitutto vengono considerate le condizioni di TCA [2] (vale a dire coppia applicata quasi nulla);

dopodichè, con lo scopo di studiare le condizioni di servizio dell’automezzo, sono stati analizzati

quattro diversi valori di momento torcente. In ogni caso, si considera la condizione di tiro (fianco

concavo del pignone contro convesso della corona) con contatto a centro fascia. Le facce ingrananti

sono state simulate come prive di attrito.

Le analisi sono statiche: in un dato istante dell’ingranamento, pignone e corona vengono ruotati di

angolo tale per cui siano in contatto in un singolo punto ed il contatto viene risolto. Evidentemente,

per studiare l’intero ciclo di ingranamento, è stato necessario analizzare numerosi instanti.

Tabella 4: Condizioni studiate nelle analisi numeriche

ID Fianco Posizione di contatto Coppia [Nm]

1 Tiro Centro fascia ∼ 0

2 Tiro Centro fascia 100

3 Tiro Centro fascia 250

4 Tiro Centro fascia 500

5 Tiro Centro fascia 940

4.1. Analisi del contatto

La Tabella 5 e le Figure 10 ed 11 riassumono i risultati ottenuti dall’analisi del contatto [11,19].

Coppia

[Nm]

∼ 0

100

250

500

940

Tabella 5: Risultati dell’analisi del contatto effettuata sulla trasmissione ipoide FH

Impronta di contatto

Corona – Fianco convesso

Punta Tallone

Massima pressione di contatto

[MPa]


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Con riferimento al fianco convesso della corona, la Tabella 5 mostra, per ogni coppia applicata, i

punti dove, in un dato instante di ingranamento, si raggiunge il massimo valore della pressione di

contatto (il percorso di contatto) sovrapposto all’inviluppo delle linee di contatto istantaneo

(l’impronta di contatto). Il grafico sulla destra riporta, per ogni valore di coppia, il valore massimo

della pressione di contatto per le successive posizioni di rotolamento corrispondenti ai suddetti punti

bianchi. Osservando questi risultati è possibile notare che, all’aumentare del carico, l’impronta di

contatto si allarga sino a quando, per una coppia pari a 250 Nm, si verifica edge contact con i tipici

picchi di pressione. In realtà, molti di questi picchi verranno appiattiti a seguito della plasticizzazione

del materiale o dello smussamento degli spigoli a causa dell’usura.

Figura 10: Mappa di Harris Figura 11: PPTE - Actual Total Contact Ratio ε γ,act.vs Coppia applicata

La Figura 10 mostra la mappa di Harris [3] ricavata per l’ingranaggio analizzato: per ogni coppia

applicata, viene tracciato l’andamento dell’errore di trasmissione (TE - definito [2] come la differenza,

misurata in termini di spostamento angolare, che il membro condotto mostra rispetto alla posizione

teorica calcolata in base al rapporto del numero dei denti) durante due passi angolari del pignone.

Sullo stesso grafico sono anche riportati (linee continue) i risultati ottenuti in condizioni di TCA

riferiti a 4 denti. La Figura 11 riassume, al variare della coppia applicata, l’andamento del Peak to

Peak Transmission Error (PPTE), grandezza in grado di fornire il livello di rumorosità della

trasmissione [3], unito al numero di denti in presa (Actual Total Contact Ratio εγ,act). Dallo studio di

questi grafici si nota che, in condizioni di TCA, l’errore di trasmissione assume un andamento

parabolico con concavità negativa in accordo con quanto classicamente si riscontra in letteratura [2,

21]; una sola coppia di denti è in presa. Quando il carico cresce, il numero di denti in presa aumenta

inducendo una variazione della rigidezza dell’ingranamento che, a sua volta, produce un appiattimento

della curva di TE con relativo cambio di fase. In particolare, per un valore di coppia pari a 500 Nm, il

carico viene ripartito tra tre coppie di denti e si raggiunge un moto pressoché uniforme (PPTE = 9

µrad); questa evidenza è in accordo con quanto si può leggere in [3] dove viene segnalato che esiste un

valore di coppia che corrisponde ad un punto di ottimo per il valore di PPTE (o, in altre parole, ad una

condizione di minima rumorosità). A 940 Nm, la curva di TE cambia ancora aspetto perchè ora il

carico viene ripartito tra 3 e 4 coppie di denti.

Confrontando questi risultati con quanto si ottiene con i moduli per l’analisi del contatto del codice

Gleason T2000 ® , è possibile trarre le seguenti conclusioni [11, 19]. In condizioni di TCA, in cui la

rigidezza dei denti non gioca un ruolo importate, si ottengono, in termini di impronta di contatto e di

errore di trasmissione, risultati molti simili. Al contrario, all’aumentare del carico, il codice Gleason ®

calcola un ingranamento più rigido; si nota infatti che il carico viene ripartito tra un numero minore di

denti, le massime pressioni di contatto sono più basse e, a causa delle minori dimensione dell’impronta

di contatto, non si verifica edge contact. Si ritiene lecito attribuire queste discrepanze al differente

approccio adottato dai due codici per risolvere l’analisi del contatto. Come visto, quello presentato in

questo lavoro è basato sulla combinazione tra la teoria di Boussinesq ed il metodo degli elementi finiti

e permette di costruire un modello numerico in grado di descrivere accuratamente la complessa

geometria del dente; il codice di riferimento ricorre invece ad un approccio semplificato che


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approssima il dente, per il calcolo della sua rigidezza [3], ad una trave a sbalzo. In base a tali

considerazioni è ragionevole credere che i risultati ottenuti con le procedure presentate in questo

lavoro sono più realistiche ed affidabili.

4.2. Analisi delle sollecitazioni

Il modello proposto permette anche un’accurata valutazione dello stato di sforzo che si instaura nella

dentatura [11, 19]. In particolare, per ogni valore di coppia applicata, si è scelto di monitorare lo

sforzo di Von Mises alla base del dente (il cosiddetto bending stress). Con questo fine, sono state

innanzitutto cercate le coordinate del punto in cui, sul pignone e sulla corona, durante l’intero ciclo di

ingranamento, si verifica il massimo valore di tale grandezza; quando, come nel caso studiato, si

considera la condizione di tiro con contatto nel punto medio, quest’evenienza si ha usualmente a metà

fascia dente. In questo punto è stato quindi ricavato l’andamento nel tempo dello sforzo di Von Mises.

La Figura 12 mostra i risultati ottenuti; è evidente che la trasmissione è stata progettata con lo scopo di

bilanciare le sollecitazioni uniformemente tra pignone e corona; questi grafici, inoltre, permettono di

risalire allo stato di cimento a fatica della dentatura.

Figura 12: Andamento alla base del dente dello sforzo di Von Mises rispetto al tempo

5. CONCLUSIONI

In questo lavoro è stato presentato un insieme di procedure numeriche utili alla progettazione integrata

di ingranaggi ipoidi FH.

È stato innanzitutto proposto un modello matematico che, basandosi sulla simulazione del processo

di taglio, permette di ottenere una rappresentazione estremamente accurata delle superfici dei denti di

tali ingranaggi, inclusa l’analisi del complesso fenomeno del sottotaglio. Con lo scopo di convalidare

tale modello, sono state calcolate le superfici di un ingranaggio reale (appartenente al differenziale di

un automezzo per trasporto leggero) ed i risultati confrontati con quanto si ottiene con un software

commerciale di riferimento, ottenendo buona corrispondenza; le superfici teoriche sono anche molto

affini con quelle della dentatura reale.

Le informazioni topologiche ottenute sono state quindi fornite in ingresso ad un potente codice

solutore di contatto che ha permesso di eseguire l’analisi del contatto e dello stato di sforzo della

trasmissione. In particolare è stata studiata l’influenza del valore di coppia trasmessa sull’impronta di

contatto, sull’errore di trasmissione e sul numero dei denti in presa; inoltre è stata monitorata la

pressione di contatto sul fianco attivo e la distribuzione degli sforzi alla radice del dente. I risultati

ottenuti sono stati confrontati con quelli forniti da un software di riferimento. Per bassi carichi, la

corrispondenza è completa; quando il carico cresce si evidenziano discrepanze imputabili al differente

modo in cui i due codici valutano la rigidezza del dente. Infatti, mentre il modello proposto calcola la

flessione del dente mediante un accurato modello ad elementi finiti, il codice di riferimento adotta un

approccio approssimato che trascura i dettagli della complessa geometria del dente.

In base a tali considerazioni, è lecito ritenere che le procedure proposte in questo lavoro

costituiscano un affidabile strumento per l’analisi degli ingranaggi ipoidi FH; esse, inoltre,

rappresentano un valido punto di partenza per la simulazione dell’intero differenziale (completo di

alberi e cuscinetti) al fine di considerare correttamente i cedimenti dovuti al carico.


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