Lezione 2 - Campionamento e aliasing

Lezione 2.
Campionamento e Aliasing
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 1

Schema della lezione
1. Introduzione
2. Il campionatore ideale
3. Trasformata di un segnale campionato
4. Teorema del campionamento
5. Aliasing
6. Filtraggio anti-aliasing
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 2

1. Introduzione
Il campionamento di un segnale misurato è alla base della
possibilità di implementare un sistema di controllo in retroazione.
Tale operazione è indispensabile se si vuole implementare un
algoritmo di controllo su un processore o un microcontrollore, che
opera su valori numerici binari.
E’ noto che l’operazione di campionamento comporta in generale una
perdita di informazione, dovuta alla trasformazione del segnale
misurato (a tempo continuo) in un insieme di valori numerici binari
descritti con un numero finito di bit.
L’analisi della relazione tra il segnale a tempo continuo e la sua
controparte ottenuta per campionamento sarà effettuata nel dominio
delle frequenze.
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2. Il campionatore ideale
e(t)
e*(k)
e*(0)
e*(1)
e*(2)
e*(4)
e*(3)
e*(5)
e*(6)
e*(7)
e*(8)
0 T1 22T 33T 44T 55T 6T 6 77T 8T 8
e*(k) è un numero reale per ogni k
e(t)
T è il periodo (o tempo) di campionamento
e*(k)=e(kT)
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t
A/D e*(k)
k

Nota
• E’ evidente che l’operazione di campionamento comporta
una perdita di informazione, poichè si pretende di concentrare
l’informazione contenuta in una porzione di una funzione reale
di variabile reale in un numero finito di numeri reali.
• Si parla di campionatore ideale, perchè si suppone che i campioni
siano numeri reali. In realtà, sono numeri rappresentati in codice
binario con un numero finito di bit. Ciò comporta una ulteriore
perdita di informazione rappresentata dal cosiddetto
errore (o rumore) di quantizzazione.
1
• Frequenza di campionamento fs =
T
2π
• Pulsazione di campionamento ωs
= 2πf
s =
T
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3. Trasformata di un segnale campionato
Si consideri un segnale a tempo continuo f t . Per
campionamento ideale con periodo T si ottiene il
corrispondente segnale campionato f k
*
= f kT
Per comprendere che relazione c’è tra questi due segnali è bene
analizzare la relazione tra le loro trasformate di Fourier:
( jω)
( )
F ( jθ
F e ) *
F t
Cfr. “Richiami di analisi armonica”
( )
( )
= [ f ( ) ]
= F * [ f ( k)
] *
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Teorema F*
Si consideri un segnale a tempo continuo f t e lo si campioni con
tempo di campionamento T.
( )
( )
Sia f t una funzione continua negli istanti di campionamento.
Sia f k il segnale a tempo discreto ottenuto per campionamento.
*
Allora risulta
1
T
( jωT
e ) = F ( jω)
*
F s
dove F ( j ) = F(
j(
ω + hω
) )
s
∑ +∞
ω
h=
−∞
Nota F( jω)
è la trasformata di Fourier di f ( t)
jθ
F e
* è la trasformata di Fourier di f ( k)
*
( )
s
( )
con
2π
T
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ω
s
=

Dimostrazione
Per definizione di trasformata di Fourier si ha
Ricordando che
+∞
( x ) ∫ 0 g(
x)
imp(
x − x )
= dx
g 0
−∞
− jkωT
si può scrivere: ( ) ∫
− jωt
f kT e = f ( t)
e imp(
t − kT ) dt
Quindi:
( ) ( )
*
Quindi, siccome f k = f kT si ha
F *
( j T
e ) f ( kT )
∑ +∞
ω
=
k = −∞
+∞
+∞
+∞
−∞
e
− jkωT
( jωT
) − jωt
e
f ( t)
e ( t − kT )
∑ ∫
=
k = −∞ −∞
+∞
− jωt
*
F imp
+∞ ⎡
= ∫ f ⎢ ∑
⎣
−∞
k = −∞
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F
⎤
⎥
⎦
dt
( t)
e imp(
t − kT ) dt
*
( j T ) *
e f ( k)
∑ +∞
ω
=
k = −∞
=
approfondimento
e
− jkωT

∑ +∞ = k
k = −∞
La funzione ( t)
= ( t − kT )
nota la serie di Fourier:
Si ha quindi:
F
*
c imp è il treno di impulsi, di cui è
+∞
c
1
T
( ) ∑ +∞
t =
h=
−∞
( jωT
) − jωt
jhωst
− j(
ω−hωs
)
e = f ( t)
e e dt = f ( t)
e
∫ ⎢ ∑
−∞
+∞
∫
−∞
⎡ 1
⎣T
+∞
h=
−∞
e
⎤
⎥
⎦
ω
jh s
t
1
T
+∞
∑ ∫
h=
−∞ −∞
− j( ω−hωs
) t
Si osservi che f ( t)
e dt è la trasformata di Fourier di f ( t)
ω F( j(
ω − hω
) )
valutata in − hω , ovvero
s
s
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+∞
approfondimento
t
dt

Si ha quindi infine:
Nota
+∞ +∞
* 1
1
s F
F s
( )
( jωT
) − j(
ω−hω
) t
e = f ( t)
e dt = F j(
ω − hω
)
( jω)
T
∑ ∫
h=
−∞ −∞
= ∑ +∞ 1
T
h=
−∞
F
è: • simmetrica
1
T
T
+∞
∑
h=
−∞
( j(
ω + hω
) ) ≡ F ( jω)
• periodica di periodo
s
ωs
Quindi è sufficiente conoscerla in 0,
ωN
,
ωs
dove ωN
= è la pulsazione di Nyquist.
2
s
[ ]
approfondimento
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s
=

Questo teorema fornisce la relazione tra le trasformate di
Fourier dei segnali di ingresso e di uscita di un campionatore
ideale periodico. In particolare, tale legame è definito
dall’andamento di F ( jω)
e quello di Fs ( jω)
sull’intervallo
0,
jω dell’asse immaginario.
[ ]
s
E’ possibile dare una visualizzazione grafica di tale legame
che consente di comprendere in profondità il fenomeno
dell’aliasing.
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F ( ) ( )
Relazione tra jω
e F jω
. s
F ( ) ( ) ( ( ) )
Qual è il legame tra jω
e F j = F j ω + hω
?
s
∑ +∞
ω
h=
−∞
Si facciano le seguenti due ipotesi che consentono di dare una
interessante interpretazione grafica del loro legame:
( )
( )
• F jω
è reale (in generale è complessa);
• F jω
è a banda limitata (con banda 0, ω ).
F
( jω)
ω ω
max
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s
[ ]
max

Il generico termine di Fs si ottiene da F traslandola della quantità hωs con h intero relativo.
F( j(
ω
+ hω
) )
h = 2
s
h = 1 h = 0 h = −1
h = −2
ω ω
− 2ωs − ωs
N ωs
s ω 2
− 3ωN
− ωN
3ωN
Il valore di Fs si ottiene sommando i contributi di tutti gli addendi
per ogni ω.
Fs ( jω)
ω ω
− 2ωs − ωs
N ωs
s ω 2
− 3ωN
− ωN
3ωN
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Come si nota, la funzione Fs che si ottiene è diversa dalla F
nell’intervallo [ − ωN
, ωN
] . Ciò è dovuto al fatto che F(
jω)
è non nulla
per ω ≥ ω .
N
( )
In questo caso le armoniche non nulle di F jω
per ω ≥ ωN
contribuiscono allo spettro di Fs ( jω)
per ω
≤ ωN
: è il fenomeno del
frequency folding, che è all’origine dell’aliasing.
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( j(
ω + h ) )
F ω
− ωs
N ω −
s
( )
ω
j
F s
− ωs
− ωN
h = 0
ω ω
ω
N
N
s
ω ω
ω
s
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( )
Per evitare che ciò accada è sufficiente che F jω
sia nulla per N . ω ≥ ω
F( j(
ω
+ hω
) )
h = 1
h = 0
h = −1
− ω
ωN ωs
ω
Fs ( jω)
h = 1
h = 0
h = −1
− ωs
N
− ω
− ωs
N
s
ωN ωs
ω
E’ quindi fondamentale scegliere accuratamente il valore di ωN
,
in modo da rispettare tale condizione.
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4. Teorema del campionamento
Teorema
( )
Sia f t un segnale a banda limitata con pulsazione massima ω .
Utilizzando un periodo di campionamento T tale che
si ha che:
F
( jω)
⎧Fs
= ⎨
⎩0
,
* ( ) ( jωT
jω
= TF e )
ω max
jωT
Pertanto, la conoscenza di F e nell’intervallo 0,
ωN
consente
di determinare univocamente F ( jω)
, cioè il segnale f ( t)
può essere ricostruito esattamente a partire
dai suoi campioni f k
*
=
f kT
( )
,
0
ω
≤ ω ≤ ω
>
ω
* ( )
[ ]
( )
ωN
max
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 17
N
N

Formula di Shannon
Come è possibile calcolare t nota che sia f k ?
*
Dal momento che
F
( jω)
⎧TF
= ⎨
⎩0
*
f ( )
( )
( jωT
e )
è possibile calcolare l’antitrasformata:
f
( t)
1
2π
+∞
1
2π
+ ω
per − ωN
≤ ω ≤ ωN
altrove
N
jωt
jωt
( jω)
e dω
= F(
jω)
e dω
=
= ∫ F ∫
−∞
+ ω
−ω
N
N +∞
T *
1 ⎛
⎞ t
F
( )
2π
2ωN
⎝ k = −∞ ⎠
N
+ ω
( jωT
) jωt
− jωkT
jω
e e dω
= ⎜ f k e ⎟e
dω
=
*
= ∫ ∑
∫
=
−ω
N
−ω
+∞
+ ωN
+∞
1
∑ ∫
− jωkT
jωt
f ( k)
e e dω
= ∑
k = −∞ 2ωN
−ω
k = −∞
* f ( k)
*
N
N
1
2ω
( t−kT
)
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N
+ ω
∫
−ω
N
N
e
jω
dω

Calcolando l’ultimo integrale si ottiene la nota
formula di Shannon
f
( t)
= ∑ ∞ +
f
k = −∞
*
( k)
sin
ω
( ω t − kπ)
N
N
t − kπ
f ( )
( )
Si noti che t dipende da tutta f k (la formula non è
causale e quindi non può essere usata “in linea”).
*
Il problema della conversione D/A è un’altra faccenda...
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 19

5. Aliasing
Se non fossero valide le ipotesi del teorema del campionamento, il
problema dell’esatta ricostruzione di un segnale a tempo continuo a
partire dalla conoscenza dei suoi campioni sarebbe un problema mal
posto, in quanto esisterebbero infinite ricostruzioni ammissibili per il
segnale a tempo continuo.
Quando si verificano tali condizioni si ha il fenomeno dell’aliasing.
Per evitare questo fenomeno è sufficiente che il segnale da
campionare soddisfi le ipotesi del teorema del campionamento.
Altrimenti, per effetto del frequency folding, si troverebbero
componenti armoniche in bassa frequenza dovute ad aliasing di
componenti armoniche a frequenza superiore alla frequenza di
Nyquist.
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Il campionamento introduce nel segnale campionato nuove
frequenze dovute ad “interferenza” tra la pulsazione del segnale e la
pulsazione di campionamento.
ωsampled = nωs
± ω
Pulsazione di
campionamento
N.B. Per i sistemi a segnali campionati non vale più il
teorema della risposta in frequenza!!
intero
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n
Pulsazione del segnale

Esempio
Si consideri il segnale f ( t)
= sin(
2π
⋅0.
2⋅
t)
Lo si campioni con periodo di campionamento
f N
= 0 . 5 Hz >
Spettro di potenza
x 108
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.
2
Hz
0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
frequenza [Hz]
= 1s
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T
= nω
ωsampled s
= 0⋅
ωs
± ω
fs
=
± ω
=
= 1Hz
± ω

Campionando con periodo di campionamento
f N
= 0 . 15 Hz <
Spettro di potenza
x 106
14
12
10
8
6
4
2
0.
2
Hz
“Aliased” di f=0.2 Hz
a 0.1 Hz
0
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
frequenza [Hz]
T
= 10
3
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 23
s
= nω
ωsampled s
f s
− f
fs
± ω
=
=
0.
3
= 1⋅ω
s ± ω = ωs
= 0 . 3−
0.
2 =
0.
1
Hz
± ω
Hz

Nota
Si osservi però che il teorema del campionamento pone una
condizione solo sufficiente.
Per es. un segnale costante a tratti è perfettamente ricostruibile a
partire dai suoi campioni ma NON è a banda limitata.
Non solo: è possibile dimostrare che l’unica funzione
Fourier-trasformabile a banda limitata è la funzione nulla. (!)
Il concetto di banda limitata è quindi un’idealizzazione di situazioni
molto frequenti in cui lo spettro di un segnale possa ritenersi
trascurabile oltre un certo limite.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 24

6. Filtraggio anti-aliasing
Se il segnale di ingresso presenta non trascurabili componenti “in
alta frequenza”, ovvero a pulsazioni ω > ωN
, ma la parte
dell’informazione ad esso associata è essenzialmente legata alle
componenti “in bassa frequenza” ω < ωN
, si può salvaguardare
l’informazione utile associata all’ingresso anteponendo un filtro
analogico passabasso con pulsazioni di taglio pari a ω .
N.B. Bisognerà tenere conto della dinamica del filtro antialiasing
nel progetto del controllore!
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N

Nelle applicazioni di controllo spesso sono utilizzati filtri di Bessel
che hanno sfasamento lineare in banda.
I parametri di scelta fondamentali sono:
• Attenuazione alla pulsazione di Nyquist
• Pulsazione di taglio del filtro
• L’ordine del filtro
ωAA
Un filtro di Bessel può essere
approssimato mediante un ritardo T d
(fino a poco oltre la sua frequenza
di taglio).
Magnitude (dB)
Phase (deg)
G
20
-20
-40
-60
-80
-100
90
0
( j ) = β
0
-90
-180
-270
-360
-450
-540
10 -2
ω N
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10 -1
Bode Diagram
ω AA
ritardo
10 0
Frequency (rad/sec)
Bessel 4 th
10 1
10 2

Esempio
La dinamica del veicolo (nella banda 0-30 Hz circa) viene
studiata basandosi su misure accelerometriche.
Le vibrazioni del motore introducono rumore di intensità elevata
e devono essere filtrate.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 27

Armoniche vibrazione motore (@ 4000 rpm)
f s=1 kHz
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 28

Aliasing accelerometri – 1
ALIAS
riconoscimento bassa frequenza (errato)
NB: il decisore assume
un valore di -5
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 29

Aliasing accelerometri – 2
Oltre un certo numero di giri, la frequenza delle armoniche del motore supera la frequenza
di Nyquist (500 Hz) e il disturbo viene riportato in bassa frequenza (sotto i 30Hz),
sovrapposto alle dinamiche di interesse.
I disturbi sono
funzione del
regime di
rotazione del
motore
ALIAS
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 30

Filtraggio anti-aliasing accelerometri
Per risolvere i problemi di alias si è provveduto ad installare un filtro attivo analogico
del II ordine, realizzato con una singola cella di Sallen-Key.
f p = 160 Hz
Q = ½ (poli reali)
Gain = 1
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 31

Accelerometri senza aliasing
I disturbi sul decisore sono
stati ridotti di un fattore 20.
I disturbi sono indipendenti
dal regime di rotazione .
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 32

Ritardo dovuto al filtraggio anti-aliasing
Il filtro progettato introduce, ovviamente, uno sfasamento sui segnali di accelerazione.
Tale ritardo è stato quantificato a fronte di un evento impulsivo (passaggio su rallentatore
stradale).
ritardo: 3ms
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 33