Trasformazioni nello spazio Grafica 3d

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Trasformazioni nello spazio Grafica 3d

Trasformazioni nello spazio

Grafica 3d

Giancarlo RINALDO

rinaldo@dipmat.unime.it

Dipartimento di Matematica

Università di Messina

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 1


Introduzione

In questa lezione estenderemo quanto detto nella

precedente lezione allo spazio a 3 dimensioni.

In particolare

I punti in coordinate omogenee avranno 4 coordinate

(x,y,z, 1);

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 2


Introduzione

In questa lezione estenderemo quanto detto nella

precedente lezione allo spazio a 3 dimensioni.

In particolare

I punti in coordinate omogenee avranno 4 coordinate

(x,y,z, 1);

Alle trasformazioni saranno associate matrici 4 × 4.

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 2


Introduzione

In questa lezione estenderemo quanto detto nella

precedente lezione allo spazio a 3 dimensioni.

In particolare

I punti in coordinate omogenee avranno 4 coordinate

(x,y,z, 1);

Alle trasformazioni saranno associate matrici 4 × 4.

La rappresentazione su un piano dovrà essere

effettuata tramite una proiezione.

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 2


Introduzione

In questa lezione estenderemo quanto detto nella

precedente lezione allo spazio a 3 dimensioni.

In particolare

I punti in coordinate omogenee avranno 4 coordinate

(x,y,z, 1);

Alle trasformazioni saranno associate matrici 4 × 4.

La rappresentazione su un piano dovrà essere

effettuata tramite una proiezione.

In un primo momento visualizzeremmo sul nostro

schermo solo le coordinate x, y, scartando la z,

successivamente considereremo le proiezioni.

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 2


Orientamento

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 3


Orientamento

Nel proseguio considereremo il nostro spazio in un

sistema di coordinate cartesiane ortogonali, cioè tali che

x ⊥ y, x ⊥ z, y ⊥ z.

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 3


Orientamento

Nel proseguio considereremo il nostro spazio in un

sistema di coordinate cartesiane ortogonali, cioè tali che

x ⊥ y, x ⊥ z, y ⊥ z.

Inoltre orienteremo i nostri assi nel seguente modo: se x

e y sono disegnati nel modo “standard” sul nostro

schermo, allora l’asse z sarà perpendicolare al piano

(schermo) ed uscente nella nostra direzione.

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 3


Orientamento

Nel proseguio considereremo il nostro spazio in un

sistema di coordinate cartesiane ortogonali, cioè tali che

x ⊥ y, x ⊥ z, y ⊥ z.

Inoltre orienteremo i nostri assi nel seguente modo: se x

e y sono disegnati nel modo “standard” sul nostro

schermo, allora l’asse z sarà perpendicolare al piano

(schermo) ed uscente nella nostra direzione.

Analogamente possiamo usare la regola della “mano

destra” : si punta il pollice nella direzione dell’asse x,

l’indice in quella dell’asse y, il medio dà la direzione

dell’asse z.

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 3


Traslazione nello spazio

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 4


Traslazione nello spazio

I punti nello spazio xyz possono essere “traslati” in una

nuova posizione aggiungendo le quantità, Tx, Ty, Tz, cioè

considerando la trasformazione:

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 4


Traslazione nello spazio

I punti nello spazio xyz possono essere “traslati” in una

nuova posizione aggiungendo le quantità, Tx, Ty, Tz, cioè

considerando la trasformazione:

(x ′ ,y ′ ,z ′ , 1) =




1 0 0 Tx

0 1 0 Ty

0 0 1 Tz

0 0 0 1







x

y

z

1




Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 4


Traslazione nello spazio

I punti nello spazio xyz possono essere “traslati” in una

nuova posizione aggiungendo le quantità, Tx, Ty, Tz, cioè

considerando la trasformazione:

(x ′ ,y ′ ,z ′ , 1) =




1 0 0 Tx

0 1 0 Ty

0 0 1 Tz

0 0 0 1

Ovviamente l’applicazione di una traslazione di Tz unità,

non ha effetto “apparente” sul nostro schermo.







x

y

z

1




Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 4


Scala

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 5

.


Scala

Anche i punti nello spazio possono essere “scalati”

(stirati/accorciati) di un fattore Sx lungo l’asse x, di un

fattore Sy lungo l’asse y e di un fattore Sz lungo l’asse z.

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 5


Scala

Anche i punti nello spazio possono essere “scalati”

(stirati/accorciati) di un fattore Sx lungo l’asse x, di un

fattore Sy lungo l’asse y e di un fattore Sz lungo l’asse z.

La trasformazione è data da:

(x ′ ,y ′ ,z ′ , 1) =




Sx 0 0 0

0 Sy 0 0

0 0 Sz 0

0 0 0 1







x

y

z

1




Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 5


Scala

Anche i punti nello spazio possono essere “scalati”

(stirati/accorciati) di un fattore Sx lungo l’asse x, di un

fattore Sy lungo l’asse y e di un fattore Sz lungo l’asse z.

La trasformazione è data da:

(x ′ ,y ′ ,z ′ , 1) =




Sx 0 0 0

0 Sy 0 0

0 0 Sz 0

0 0 0 1

Anche in questo caso l’applicazione di una scala Sz, non

ha effetto “apparente” sul nostro schermo.







x

y

z

1




Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 5


Scala

Anche i punti nello spazio possono essere “scalati”

(stirati/accorciati) di un fattore Sx lungo l’asse x, di un

fattore Sy lungo l’asse y e di un fattore Sz lungo l’asse z.

La trasformazione è data da:

(x ′ ,y ′ ,z ′ , 1) =




Sx 0 0 0

0 Sy 0 0

0 0 Sz 0

0 0 0 1

Anche in questo caso l’applicazione di una scala Sz, non

ha effetto “apparente” sul nostro schermo.







x

y

z

1




Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 5


Rotazione Rz

La rotazione in 2D non è altro che la rotazione rispetto

all’asse z, Rz. Dunque essa avrà la forma:

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 6


Rotazione Rz

La rotazione in 2D non è altro che la rotazione rispetto

all’asse z, Rz. Dunque essa avrà la forma:

(x ′ ,y ′ ,z ′ ⎛

⎞ ⎛ ⎞

cos θ − sinθ 0 0 x


, 1) = ⎜ sinθ

⎝ 0

cos θ

0

0 0 ⎟ ⎜

⎟ ⎜ y ⎟

1 0 ⎠ ⎝ z ⎠

0 0 0 1 1

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 6


Rotazioni Rx, Ry

La rotazione rispetto all’asse x, Rx, sarà:

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 7


Rotazioni Rx, Ry

La rotazione rispetto all’asse x, Rx, sarà:

(x ′ ,y ′ ,z ′ ⎛

1 0 0 0


, 1) = ⎜ 0 cosθ − sin θ 0

⎝ 0 sin θ cosθ 0

0 0 0 1







x

y

z

1




Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 7


Rotazioni Rx, Ry

La rotazione rispetto all’asse x, Rx, sarà:

(x ′ ,y ′ ,z ′ ⎛

1 0 0 0


, 1) = ⎜ 0 cosθ − sin θ 0

⎝ 0 sin θ cosθ 0

0 0 0 1

La rotazione rispetto all’asse y, Ry, sarà:

(x ′ ,y ′ ,z ′ , 1) =




cosθ 0 sinθ 0

0 1 0 0

− sin θ 0 cos θ 0

0 0 0 1













x

y

z

1

x

y

z

1







Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 7


Una traslazione utile

Proviamo ad effettuare la seguente traslazione

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 8


Una traslazione utile

Proviamo ad effettuare la seguente traslazione

(x ′ ,y ′ ,z ′ ⎛ ⎞ ⎛

1 0 0 −3 x


, 1) = ⎜ 0 1 0 −3 ⎟ ⎜

⎟ ⎜ y

⎝ 0 0 1 4 ⎠ ⎝ z

0 0 0 1 1




Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 8


Esercizi

Ruotare la casa rispetto al suo centro di simmetria

tramite Rx, Ry ed Rz;

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 9


Esercizi

Ruotare la casa rispetto al suo centro di simmetria

tramite Rx, Ry ed Rz;

Ruotare la casa rispetto ad un suo lato (che dunque

giace su un asse di rotazione);

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 9


Esercizi

Ruotare la casa rispetto al suo centro di simmetria

tramite Rx, Ry ed Rz;

Ruotare la casa rispetto ad un suo lato (che dunque

giace su un asse di rotazione);

Scalare la casa rispetto al suo centro di simmetria;

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 9


Esercizi

Ruotare la casa rispetto al suo centro di simmetria

tramite Rx, Ry ed Rz;

Ruotare la casa rispetto ad un suo lato (che dunque

giace su un asse di rotazione);

Scalare la casa rispetto al suo centro di simmetria;

“Tentare” di visualizzare la profondità della casa.

Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 9

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