LeLing9 - Dipartimento di Matematica

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0.2 Operazioni elementari tramite il prodotto A · B Geometria Lingotto. Per questa ragione invece di usare la lettera A si usa il simbolo R1⇔2 per denotare questa matrice. Quindi la matrice R1⇔2 · B e’ la matrice che risulta scambiando la prima riga con la seconda della matrice B . Secondo la stessa idea possiamo scambiare qualsiasi coppia di righe i, j moltiplicando per un matrice Ri⇔j . Ad esempio, se vogliamo scambiare la seconda riga con la quinta di una matrice B 5 × 6 basta calcolare R2⇔5 · B dove R2↔5 e’: ⎛ ⎜ R2⇔5 = ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 Anche l’ultima operazione elementare Ri + rRj , cioe’ sommare alla i-esima riga la riga j -esima moltiplicata per r, si puo’ fare tramite il prodotto matriciale. Questa matrice verra’ denotata con Ri+r.j . Se B e’ una matrice 5 × 6 ecco la R2+17.4 , cioe’ l’operazione di sommare alla seconda riga di B la quarta riga di B moltiplicata per 17: ⎛ ⎜ R2+17.4 = ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 0 1 0 17 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Possiamo riassumere quanto detto nel seguente teorema. Teorema 0.7. Sia A una matrice e sia E la matrice echelon che si ottiene da A usando il metodo di Gauss-Jordan. Allora esiste una matrice M tale che M · A = E , dove M si ottiene moltiplicando tra di loro matrici del tipo Ri+r.j , Ri⇔j e rRi. Le matrici del tipo Ri+r.j , Ri⇔j e rRi si chiamano matrici elementari. La matrice trasposta Abbiamo visto che una matrice si puo’ pensare facendo particolare attenzione alle righe oppure mettendo in maggior rilievo le colonne, cioe’ possiamo pensare la matrice dal punto di vista delle righe o dal punto di vista delle colonne. Se A e’ una matrice allora la matrice traposta A t e’ la matrice che si ottiene di A facendo diventare la riga Ri una colonna Ci, cioe’ la colonna Ci della A t ha gli elementi della riga Ri della A. E’ facile vedere che se A = (aij) allora A t = aji, cioe’ si scambiano i sottoindici, poiche’ le righe diventano colonne e viceversa. Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing9 6 Geometria ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠
0.2 Operazioni elementari tramite il prodotto A · B Geometria Lingotto. Esempio 0.8. Se A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ⎛ allora At ⎜ = ⎜ ⎝ 1 6 2 7 3 8 4 9 5 0 Osservare che se A e’ n×m allora A t e’ m×n. Ovviamente (A t ) t = A. Una matrice si chiama simmetrica se A t = A e anti-simmetrica se A t = −A. Notare che gli elementi diagonali di una matrice anti-simmetrica sono zeri. Ecco le proprieta’ piu’ importanti della trasposizione. Proposizione 0.9. Se A, B sono matrici allora: • (A + B) t = A t + B t , • (rA) t = rA t , • (A · B) t = B t · A t . Osservare che le due prime propieta’ ci assicurano che la trasposta di una combinazione lineare e’ la combinazione linerare delle trasposte, cioe’ (c1A1 + · · · + cnAn) t = c1A t 1 + · · · + cnA t n. Invece l’ultima ci dice che l’ordine del prodotto cambia dopo la trasposizione. Ecco un corollario del teorema del rango. Proposizione 0.10. Il rango di A e’ uguale a quello di A t . Simbolicamente ρ(A) = ρ(A t ). Abbiamo visto che M n,m , cioe’ l’insieme di matrici n×m, e’ uno spazio vettoriale di dimensione n.m poiche’ le matrici Eij che hanno tutti zeri tranne al posto (i, j), dove c’e’ 1, sono n.m matrici independenti che generano M n,m . Sia A una colonna di n elementi e sia B una colonna di m elementi. Allora A · B t ∈ M n,m e A · B = (aibj). Osservare che i prodotti ei · (ej) t , dove (ei) e’ la base canonica delle colonne sono le matrici Eij . Osservare che cosi’ e’ facile calcolare il prodotto A·Eij = A·(ei·(ej) t ) = (A·ei)·(ej) t = Ai ·(ej) t ; pertanto il prodotto A·Eij e’ la matrice dove tutte le colonne sono nulle tranne la colonna j che e’ la colonna i della A. Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing9 7 Geometria ⎞ ⎟ ⎠ .
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