Dispensa n.2 Autovalori nascosti nei sistemi interconnessi Sono dati ...

Dispensa n.2
Autovalori nascosti nei sistemi interconnessi
Sono dati due sistemi lineari, Σ1 e Σ2, ciascuno avente un solo ingresso e una
sola uscita, ma spazi di stato a dimensioni eventualmente diverse, pari a n1
e, rispettivemante, n2. Tali sistemi sono descritti dalle relazioni
˙xi = Aixi + Biui
yi = Cixi + Diui
per i = 1, 2
in cui Ai è una matrice ni ×ni, Bi è un vettore colonna ni ×1, Ci è un vettore
riga 1 × ni e Di è uno scalare. Le funzioni di trasferimento di tali sistemi
hanno l’espressione
Ti(s) = Ci(sI − Ai) −1 Bi + Di
per i = 1, 2 .
Si supponga che nessuno dei due sistemi possieda autovalori nascosti, cioè
che, per i = 1, 2, i poli della funzione di trasferimento Ti(s) concidano, con
identica molteplicità, con gli autovalori della matrice Ai.
Si vuole studiare in quali condizioni il sistema ottenuto interconnettendo
Σ1 e Σ2 in cascata, in parallelo o in retroazione possieda eventualmente autovalori
nascosti.
1. Si consideri la connessione in cascata (che corrisponde a porre u2 = y1 e
a definire u = u1, y = y2), la cui rappresentazione ingresso-stata-uscita ha la
forma
˙x1
˙x2
=
A1 0 x1 B1
+
B2C1 A2 x2 B2D1
y = ( 0 C2 )
x1
x2
+ D2u .
Tale rappresentazione ha uno spazio di stato a dimensione n1 + n2. Sussiste
in proposito il seguente risultato:
• Il sistema (1) non possiede autovalori nascosti se e solo se nessun polo
di T1(s) è uno zero di T2(s) e nessuno zero di T1(s) è polo di T2(s).
1
u
(1)

Dimostrazione. Per ipotesi i due sistemi Σ1 e Σ2 non hanno autovalori
nascosti. Di conseguenza, se T1(s) e T2(s) vengono scritte come rapporto di
polinomi primi, nella forma
T1(s) = N1(s)
D1(s) , T2(s) = N2(s)
D2(s) ,
si può affermare che D1(s) ha grado n1 e che D2(s) ha grado n2.
Si consideri ora la funzione di trasferimento del sistema interconnesso (1),
che può essere evidentemente scritta nella forma
T (s) = T1(s)T2(s) = N1(s) N2(s)
D1(s) D2(s) .
Il sistema interconnesso non ha autovalori nascosti se e solo se il polinomio
N(s) = N1(s)N2(s) e il polinomio D(s) = N1(s)N2(s) sono primi tra loro. Se
infatti ciò accade, la funzione T (s) presenta un numero di poli esattamente
pari a n1 + n2, uguale alla dimensione dello spazio di stato del sistema (1) e
quindi tale sistema non possiede autovalori nascosti. Viceversa, se i polinomi
N(s) e D(s) non sono primi tra loro, la funzione T (s) presenta un numero di
poli strettamente inferiore alla dimensione dello spazio di stato del sistema (1)
e quindi tale sistema certamente possiede autovalori nascosti. La condizione
che nessun polo di T1(s) sia uno zero di T2(s) e nessuno zero di T1(s) sia polo
di T2(s) è proprio la condizione che assicura che N(s) e D(s) siano primi.
Si noti inoltre che, ove la condizione indicata non risulti soddifatta, il/i
polo/poli di Ti(s) in comune con lo/gli zero/zeri di Tj(s) individua/-duano
lo/gli autovalori nascosti di (1).
2. Si consideri la connessione in parallelo (che corrisponde a porre u1 = u2 =
u e a definire y = y1 + y2), la cui rappresentazione ingresso-stata-uscita ha
la forma
˙x1
˙x2
=
A1 0 x1 B1
+
0 A2 x2 B2
y = ( C1 C2 )
x1
x2
u
+ (D1 + D2)u .
Tale rappresentazione ha uno spazio di stato a dimensione n1 + n2. Sussiste
in proposito il seguente risultato:
2
(2)

• Il sistema (2) non possiede autovalori nascosti se e solo se le matrici
A1 a A2 non hanno autovalori in comune (o, il che e lo stesso, se le
due funzioni T1(s) e T2(s) non hanno poli in comune).
Dimostrazione. Si userà il criterio stabilito nella Dispensa n.1 per stabilire
se il sistema (2) abbia o meno autovalori nascosti. In proposito, osservando
la (2), si ponga
A1 0
A =
0 A2
, B =
B1
B2
, C = ( C1 C2 ) .
Il sistema non possiede autovalori nascosti se e solo se, per ogni autovalore
λi di A, si risulta
rango ( (A − λiI) B ) = n e rango
essendo, ovviamente
n = n1 + n2 .
(A − λiI)
= n , (3)
C
Ora, si tenga presente che, essendo A una matrice diagonale a blocchi,
un suo autovalore λi è certamente o autovalore di A1 o autovalore di A2. Si
supponga che λi sia autovalore di A1 e non sia autovalore di A2 e si consideri
la matrice ( (A − λiI) B ), che assume la forma dettagliata
(A1 − λiI) 0 B1
. (4)
0 (A2 − λiI) B2
Per ipotesi, la matrice (A2 − λiI) è non-singolare (in quanto λi non è autovalore
di A2). Moltiplicando a destra la (4) per la matrice nonsingolare
⎛
I
⎜
⎝ 0
0
−(A2 − λiI)
0
−1B2 ⎞
⎟
(A2 − λiI) ⎠
0 I 0
(operazione che non altera il rango) si ottiene la matrice
(A1 − λiI) B1
0
0 0 I
. (5)
nella quale la matrice I in basso a destra ha dimensione n2 × n2.
3

Si ricordi, a questo punto, che la matrice ( (A1 − λiI) B1 ) ha rango n1,
in quanto per ipotesi il sistema Σ1 non ha autovalori nascosti. Si deduce
allora immediatamente che la matrice (5), la cui struttura è triangolare a
blocchi, ha rango n1 +n2 e quindi anche la matrice (4) ha rango n1 +n2: vale
pertanto la condizione a sinistra nella (3).
Il ragionamento può essere ripetuto identicamente assumendo che λi sia
autovalore di A2 e non sia autovalore di A1. In definitiva, allora, si può
affermare che se A1 e A2 non hanno autovalori in comune, la condizione a
destra nella (3) vale per ogni autovalore di A. Analogamente si prova che, in
tali ipotesi, anche la condizione a sinistra nella (3) vale per ogni autovalore
di A, completando cosi la dimostrazione del fatto che se A1 e A2 non hanno
autovalori in comune, il sistema non possiede autovalori nascosti.
Per provare il risultato reciproco, si supponga ora che λi sia un autovalore
comune ad A1 e A2 e si osservi che in questo caso, nella matrice (4), la
sottomatrice quadrata
(A1 − λiI) 0
0 (A2 − λiI)
non può avere rango superiore a n1 + n2 − 2, in quanto il blocco in alto a
sinistra ha rango non superiore a n1 − 1 e quello in basso a destra ha rango
non superiore a n2 − 1. La matrice (4) si ottiene dalla (6) per aggiunta di
una sola colonna, quindi il suo rango non può superare n1 + n2 − 1. Di
conseguenza, la condizione a sinistra nella (3) non può essere soddisfatta e il
sistema ha almeno un autovalore nascosto (di fatto, l’autovalore λi). Si noti
che lo stesso ragionamento prova che anche la condizione a destra nella (3)
non può essere soddisfatta.
3. Si consideri ora il caso in cui il sistema Σ1 abbia D1 = 0, in cui il sistema
Σ2 abbia n2 = 0 e D2 = 1, si ponga u1 = u − y1 e si definisca y = y2. Si
ottiene in questo modo il classico schema di controllo a retroazione negativa
unitaria. Riscritto il sistema Σ1 nella forma
˙x = Ax + Bu1
y1 = Cx ,
il controllo a retroazione negativa unitaria dà luogo al sistema
˙x = (A − BC)x + Bu
y = Cx .
4
(6)
(7)
(8)

E’ abitudine, in questo contesto, indicare con dAP (s) il polinomio caratteristico
del sistema ad anello aperto, cioè del sistema (7), e con dCH(s) il
polinomio caratteristico del sistema ad anello chiuso, cioè del sistema (8),
ponendo quindi
dAP (s) = det(sI − A)
Sussiste il seguente risultato:
dCH(s) = det(sI − A + BC) .
• Se sistema (7) non possiede autovalori nascosti, anche il sistema (8)
non possiede autovalori nascosti, e viceversa.
Dimostrazione. In base al criterio stabilito nella Dispensa n.1, il sistema
(8) non ha autovalori nascosti se e solo se, per ogni autovalore λi di A − BC,
rango ( (A − BC − λiI) B ) = n e
(A − BC − λiI)
rango
= n ,
C
(9)
essendo n la dimensione dello spazio di stato del sistema stesso.
Considerando la relazione a sinistra, si osservi che
( (A − BC − λiI) B ) = ( (A − λiI)
I
B )
−C
0
I
e quindi (poichè il prodotto a destra – per una matrice non singolare – non
altera il rango)
rango ( (A − BC − λiI) B ) = rango ( (A − λiI) B ) . (10)
Si tenga ora presente che, per ogni valore di λi, la matrice
( (A − λiI) B )
ha certamente rango n. Infatti, se λi non è autovalore di A, la matrice in
questione ha rango n in quanto la sottomatrice (A − λiI) è non-singolare,
mentre, se λi è autovalore di A, la matrice in questione ha rango n per l’ipotesi
che il sistema (7) non possiede autovalori nascosti. Dalla (10) si deduce allora
che la relazione a sinistra nella (9) vale per ogni ogni autovalore λi di A−BC.
Analogo risultato si ottiene per quanto riguarda la relazione a destra nella
(9), partendo questa volta dalla trasformazione
(A − BC − λiI)
=
C
I −B
0 I
5
(A − λiI)
C
.

La prova del fatto che se il sistema (8) non ha autovalori nascosti anche il
sistema (7) non ne ha è assolutamente identica.
A proposito dello schema a retroazione negativa unitaria, sussiste anche
il seguente interessante risultato.
• I polinomi dAP (s) e dCH(s) sono primi tra loro se e solo se il sistema
(7) non possiede autovalori nascosti.
Dimostrazione. Per dimostrare la parte “se”, si supponga – per assurdo
– che i due polinomi abbiano un autovalore λ in comune. Per definizione, la
matrice A avrà un autovalore destro non nullo v associato a λ :
Av = λv , (11)
e la matrice A − BC avrà un autovalore sinistro non nullo w associato allo
stesso λ :
w(A − BC) = wλ . (12)
Moltiplicando la prima a sinistra per w e la seconda a destra per v si
ottiene
wBCv = 0 .
Si può quindi affermare che, necessariamente, o wB = 0 o Cv = 0. Se
vale la seconda, tenendo presente la (11) si ottiene
(A − λI)
v = 0
C
e questo contraddice l’ipotesi che (7) non ha autovalori nascosti. Se vale la
prima, tenendo presente la (12) si ottiene
w ( (A − BC − λI) B ) = 0
e questo mostra che (8) ha almeno un autovalore nascosto. Questo fatto, a
sua volta, contraddice ancora l’ipotesi che (7) non ha autovalori nascosti in
quanto, come dimostrato in precedenza, se (7) non ha autovalori nascosti,
(8) non può avere autovalori nascosti.
6

Per dimostrare la parte “solo se”, si supponga – per assurdo – che il sistema
(7) abbia autovalori nascosti e che quindi, per un certo certo autovalore
λ di A, risulti
rango ( (A − λI) B ) < n oppure rango
(A − λI)
< n . (13)
C
Si supponga che valga la relazione a sinistra e che quindi esista un vettore
non nullo v tale che
(A − λI)
v = 0 .
C
Da questa, è immediato dedurre che
(A − BC − λI)v = 0 .
Essendo v non nullo, questo prova che λ è un autovalore di A − BC, contraddicendo
l’ipotesi che i polinomi dAP (s) e dCH(s) sono primi. Analoga
contraddizione si può ottenere se vale la relazione a destra nella (13) e questo
completa la dimostrazione.
7