SUPERFICI CONICHE Rappresentazione di coni ... - liceo De Chirico
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<strong>SUPERFICI</strong> <strong>CONICHE</strong><br />
<strong>Rappresentazione</strong> <strong>di</strong> <strong>coni</strong> e cilindri<br />
Si definisce “CONO” la superficie che si ottiene proiettando tutti i punti <strong>di</strong> una curva, detta<br />
“DIRETTRICE”, da un punto proprio, non appartenente al piano della <strong>di</strong>rettrice, detto “VERTICE”. (Fig.1).<br />
Questa generica definizione si riferisce a tutti i tipi <strong>di</strong> <strong>coni</strong>, sia quelli che hanno per curva <strong>di</strong>rettrice una linea <strong>di</strong><br />
qualsiasi forma, sia ai <strong>coni</strong> circolari a cui si fa riferimento nel linguaggio comune.<br />
Per “CONO GENERICO” si intende una superficie <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>mensioni indefinite considerata nella sua struttura<br />
complessiva, che prevede una superficie doppia<br />
separata dal vertice (“FALDA”). Infatti proiettando dal<br />
vertice V tutti i punti della curva <strong>di</strong>rettrice, si<br />
determinano delle rette dette “GENERATRICI”, <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>mensioni illimitate, che danno luogo a due superfici<br />
<strong>coni</strong>che contrapposte (“DUE FALDE”).<br />
Tra le infinite <strong>coni</strong>che che si possono costruire, si<br />
Fig.1<br />
incontrano alcuni che si chiamano “CONI<br />
QUADRICI”. Si definisce “CONO QUADRICO” quello<br />
che ha una circonferenza come curva <strong>di</strong>rettrice.<br />
Il “cono circolare retto” è un cono quadrico che presenta la particolarità <strong>di</strong> avere il vertice sulla<br />
perpen<strong>di</strong>colare condotta per il centro della circonferenza <strong>di</strong>rettrice, mentre il “cono circolare obliquo” ha la<br />
perpen<strong>di</strong>colare che non passa per il centro della circonferenza (Fig.2).<br />
Si definisce “CILINDRO” la superficie che si<br />
Fig.2 ottiene proiettando tutti i punti <strong>di</strong> una curva, detta<br />
“DIRETTRICE” da un punto improprio, non<br />
appartenente al piano della <strong>di</strong>rettrice, detto<br />
Fig.4<br />
“VERTICE” (Fig.3). Quin<strong>di</strong> la definizione <strong>di</strong> cilindro<br />
non <strong>di</strong>fferisce da quella <strong>di</strong> cono, se non per la <strong>di</strong>versa<br />
natura del vertice. Il cilindro è un cono con il vertice<br />
all’infinito. La <strong>di</strong>versa posizione del vertice, fa si che<br />
nel cilindro le rette generatrici siano tutte parallele tra<br />
loro, dovendo avere in comune un punto all’infinito (il<br />
vertice).<br />
Si supponga <strong>di</strong> allontanare il vertice V dal centro O<br />
passando per le posizioni V1, V2, V3, ecc. si evidenzia<br />
che mentre il vertice si allontana dal centro C, l’angolo<br />
β <strong>di</strong> apertura delle generatrici con l’asse <strong>di</strong>minuisce <strong>di</strong><br />
ampiezza. Quando il vertice giunge alla posizione V ∞ Il<br />
cono è <strong>di</strong>venuto “cono limite” (oppure cilindro).(fig.4)<br />
Fig.3<br />
1
Sezioni <strong>coni</strong>che (ad Apollonio <strong>di</strong> Perge, matematico greco del 262 a.C., si deve la prima<br />
trattazione sulle <strong>coni</strong>che)<br />
Le “SEZIONI <strong>CONICHE</strong>” o “<strong>CONICHE</strong>” si ottengono<br />
sezionando opportunamente una superficie <strong>coni</strong>ca circolare<br />
con un piani non passante per il vertice.<br />
Come si genera una superficie <strong>coni</strong>ca:<br />
su una circonferenza c appartenente al piano Π, innalziamo<br />
per il centro O la perpen<strong>di</strong>colare a al piano Π. Consideriamo<br />
un punto V, <strong>di</strong>verso da O, appartenente alla perpen<strong>di</strong>colare<br />
a ed un punto P appartenente a C, per questi due punti<br />
passa la retta VP. Se il punto P ruota attorno alla<br />
circonferenza C, con la stessa rotazione VP inscriverà un<br />
superficie: tale superficie si chiama “superficie <strong>coni</strong>ca” a due<br />
falde. (fig. 5,6) Tutte le rette VP si chiamano “generatrici”, la<br />
retta a si chiama “asse”, il punto V “vertice”.<br />
UNA <strong>SUPERFICI</strong>E CONICA CIRCOLARE SI PUO’ PENSARE COME GENERATA DA UNA RETTA (VP) CHE<br />
GIRA INTORNO AD UNA RETTA FISSA (ASSE) MENTRE SI APPOGGIA AD ESSA IN UN PUNTO FISSO<br />
(VERTICE) SOTTO ANGOLO COSTANTE.<br />
L’angolo costante che ogni generatrice forma con l’asse si <strong>di</strong>ce<br />
“apertura della superficie <strong>coni</strong>ca”. Il vertice è il punto comune<br />
all’asse e a tutte le generatrici. Esaminiamo ora le sezioni che un<br />
piano, non passante per il vertice, può produrre tagliando la<br />
superficie <strong>coni</strong>ca, appena descritta.<br />
In relazione alla posizione che il piano sezionante (che<br />
chiameremo α) assume rispetto all’asse e alle generatrici della<br />
superficie <strong>coni</strong>ca avremo tre tipi <strong>di</strong> sezioni:<br />
Fig.6<br />
1) ELLISSE: si ottiene sezionando la superficie con<br />
un piano α che interseca l’asse e tutte le<br />
generatrici. Si forma una linea chiusa i cui<br />
punti si trovano tutti in una stessa falda. (fig.7)<br />
Se il piani secante passa per il vertice o è<br />
perpen<strong>di</strong>colare all’asse, l’ellisse degenera o in<br />
un punto o in una circonferenza.<br />
Fig.5<br />
Fig.7<br />
2
2) PARABOLA: si ottiene sezionando la superficie con un<br />
piano α parallelo ad una generatrice. Si forma una<br />
curva illimitata ed aperta i cui punti si trovano tutti in<br />
una stessa falda. (fig.8)<br />
Il piano α è parallelo alla generatrice VD; quin<strong>di</strong> tutte<br />
le generatrici sono intersecate nel campo proprio, ad<br />
eccezione <strong>di</strong> VD. Infatti sul piano α si determina una<br />
parabola costituita da tutti punti propri ad eccezione<br />
del punto D 1 ∞ corrispondente <strong>di</strong> D. siccome la<br />
generatrice VD è parallela al piano α il<br />
corrispondente <strong>di</strong> D si troverà all’infinito (D 1 ∞).<br />
Se il piano α secante la superficie <strong>coni</strong>ca passa il<br />
vertice della parabola degenera in una retta.<br />
Se il piano α risulta tangente alla circonferenza<br />
<strong>di</strong>rettrice la parabola degenera in un punto.<br />
3) IPERBOLE: si ottiene sezionando la superficie con un<br />
piano α parallelo a due generatrici. Si formano due<br />
curve illimitate ed aperte costituite da punti situati<br />
sulle due falde del cono (fig.9).<br />
Il piano α è <strong>di</strong>sposto in modo da risultare parallelo a<br />
due generatrici VD e VF; in questo caso l’intersezione<br />
tra il piano α e le generatrici VD e VF da luogo a due<br />
punti impropri D1∞ e F1∞, tutti gli altri punti dei due<br />
rami dell’iperbole sono propri. N.B.<br />
L’iperbole si può anche ottenere sezionando il cono<br />
con un piano α parallelo all’asse che quin<strong>di</strong> taglia<br />
tutte le generatrici, si ottiene una sezione formata da<br />
due rami <strong>di</strong>stinti, ognuno dei quali costituito da una<br />
curva illimitata ed aperta come si aveva nel caso<br />
precedente. L’unica <strong>di</strong>fferenza è che in questo caso le<br />
due curve sono simmetriche in quanto il piano taglia<br />
le due falde del cono allo stesso modo. Si può quin<strong>di</strong><br />
operare su una sola falda e <strong>di</strong>segnare mezza<br />
iperbole.<br />
Per riuscire ad identificare le varie sezioni <strong>coni</strong>che è<br />
necessario tener conto della posizione del piano secante, il<br />
quale può passare per il vertice o non.<br />
Quando il piano passa per il vertice si determinano le “<strong>coni</strong>che degeneri” (sono chiamate così perché si<br />
ottengono come degenerazione delle <strong>coni</strong>che proprie in quanto il piano secante passa per il vertice,<br />
determinando le <strong>coni</strong>che limite).<br />
Quando il piano non passa per il vertice si determinano le “<strong>coni</strong>che proprie”.<br />
Fig.8<br />
Fig.9<br />
3
Le “<strong>coni</strong>che degeneri” si <strong>di</strong>stinguono per i seguenti tre casi:<br />
1. Il piano α passante per il vertice V è esterno al cono; in<br />
tal caso in<strong>di</strong>vidua rette immaginarie, la retta f comune ad<br />
α e π è esterna alla circonferenza <strong>di</strong>rettrice c, e può<br />
essere propria o impropria a seconda che il piano α<br />
interseca π o sia parallelo. La retta f si chiama “retta<br />
limite” perché ottenuta come intersezione del piano π che<br />
passa per il vertice. (fig. 10)<br />
N.B. quando il piano α è parallelo<br />
a π la retta limite f comune <strong>di</strong>venta impropria f∞<br />
2. Il piano α passante per il vertice V è tangente il cono; in<br />
tal caso in<strong>di</strong>vidua una retta (due coincidenti) e la retta<br />
limite f comune a α e π è tangente alla circonferenza<br />
<strong>di</strong>rettrice. (fig. 11)<br />
3. Il piano α passante per il vertice V è secante il cono; in<br />
tal caso in<strong>di</strong>vidua due rette <strong>di</strong>stinte e la retta limite f<br />
comune a α e π è secante la circonferenza <strong>di</strong>rettrice.<br />
(fig. 12)<br />
Fig.10<br />
Fig.11<br />
Fig.12<br />
4
Le “<strong>coni</strong>che proprie” ottenute sezionando il cono con un piano non passante per il vertice si possono<br />
riguardare come immagine della circonferenza <strong>di</strong>rettrice proiettata dal vertice V sul piano α.<br />
Ciò significa che tra la circonferenza <strong>di</strong>rettrice e la <strong>coni</strong>ca formata sul piano α intercorre un’OMOLOGIA <strong>di</strong><br />
centro V; asse <strong>di</strong> omologia, la retta intersezione tra α e π e punti corrispondenti quelli che si trovano sul piano<br />
π e quelli che si trovano sul piano secante α . a seconda della posizione del piano secante rispetto alle<br />
generatrici del cono, si determinano tre classi <strong>di</strong> <strong>coni</strong>che che sono: CLASSI DELLE ELLISSI, DELLE<br />
PARABOLE, DELLE IPERBOLI.<br />
Tagliando un cono circolare con un piano π1// π otteniamo<br />
un’OMOTETIA con le circonferenze c 1 // c simili (fig.I3). Infatti il<br />
centro V è reale, così pure i punti corrispondenti mentre l’asse è<br />
all’infinito in quanto le rette corrispondenti sono parallele tra <strong>di</strong> loro.<br />
Essendo π1// π, il piano α proiettante la r da V determina su la π1<br />
retta r 1 //r perché piani paralleli tra loro tagliati da un piano<br />
trasversale determinano rette parallele. Se r 1 //r i cateti AO ed A 1 O 1<br />
dei triangoli AOV e A 1 O 1 V sono pure paralleli. I due triangoli sono in<br />
rapporto <strong>di</strong> similitu<strong>di</strong>ne.<br />
Ellisse ed iperbole hanno un centro proprio.<br />
La parabola ha il centro in un punto improprio.<br />
Nell’ellisse e nell’iperbole vi è un centro <strong>di</strong> simmetria .<br />
Nella parabola non vi è alcun centro <strong>di</strong> simmetria, essendo<br />
il centro <strong>di</strong> essa un punto improprio.<br />
L’ ellisse ed iperbole si <strong>di</strong>cono <strong>CONICHE</strong> A CENTRO<br />
La parabola è detta PRIVA DI CENTRO<br />
<strong>De</strong>finizioni e nomenclatura<br />
ELLISSE : E’ il luogo geometrico dei punti del piano tali che la<br />
somma delle loro <strong>di</strong>stanze da due punti fissi, detti fuochi, è<br />
costante (fig.14)<br />
F1; F2 fuochi<br />
A,B,C,D vertici dell’ellisse<br />
F1O=OF2 per definizione<br />
O centro dell’ellisse<br />
L’ellisse è simmetrica rispetto agli assi X,Y e al centro O<br />
PARABOLA : E’ il luogo geometrico dei punti del piano tali che le loro<br />
<strong>di</strong>stanze da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta<br />
<strong>di</strong>rettrice, sono eguali (fig.15).<br />
F fuoco<br />
O vertice della parabola<br />
OD=OF per definizione<br />
Se P≡(x,y) PF=PH<br />
Nel caso della figura l’asse X si chiama asse della parabola ed è anche<br />
asse <strong>di</strong> simmetria<br />
Fig.13<br />
Fig.14<br />
Fig.15<br />
5
IPERBOLE : E’ il luogo geometrico dei punti del piano<br />
tali che le loro <strong>di</strong>stanze da due punti fissi, detti fuochi,<br />
hanno <strong>di</strong>fferenza costante (fig.16).<br />
F1; F2 fuochi<br />
A1; A2 vertici dell’iperbole<br />
OF1=OF2 raggio della circonferenza focale “c”<br />
A1O=OA2; FIO=OF2<br />
Fig.16<br />
L’iperbole è simmetrica rispetto all’asse x, all’asse y ed al<br />
centro O.<br />
Il rettangolo avente per me<strong>di</strong>ane A1A2 e B1B2 si chiama “rettangolo asintotico”.<br />
Le rette che contengono le <strong>di</strong>agonali del rettangolo asintotico si chiamano “asintoti” dell’iperbole; oppure si<br />
<strong>di</strong>ce asintoto la retta la cui <strong>di</strong>stanza dai punti della curva <strong>di</strong>minuisce progressivamente e tende a zero quando i<br />
punti si trovano all’infinito.<br />
6
Trasformate omologiche<br />
Dato un cerchio L , un asse o, il centro O ed una coppia <strong>di</strong> elementi omologhi (punti, rette), costruire un’ellisse<br />
L’ quale figura omologica <strong>di</strong> L.<br />
Per definizione abbiamo:<br />
α piano secante;<br />
α piano parallelo al piano secante passante per il vertice<br />
α//α<br />
α piano limite<br />
a asse dell’omologia esterno al cerchio; f retta limite esterna al cerchio<br />
7
Si parte con due rette r ed s perpen<strong>di</strong>colari tra loro. Conducendo dal centro O la parallele ad r e s si<br />
ottengono sulla retta limite i punti limite F<br />
I punti dell’ellisse vanno trovati proiettando i punti del cerchio da O e intercettando la retta corrispondente.<br />
8
Dato un cerchio L , un asse o, il centro O ed una coppia <strong>di</strong> elementi omologhi (punti, rette), costruire una<br />
parabola L’ quale figura omologica <strong>di</strong> L.<br />
Per definizione abbiamo:<br />
α piano parallelo ad una <strong>di</strong>rettrice<br />
α piano parallelo al piano parallelo passante per il vertice<br />
α//α<br />
α piano limite<br />
a asse dell’omologia tangente il cerchio<br />
f retta limite tangente il cerchio<br />
9
Dato un cerchio L , un asse o, il centro O ed una coppia <strong>di</strong> elementi omologhi (punti, rette), costruire un’<br />
iperbole L’ quale figura omologica <strong>di</strong> L.<br />
Per definizione abbiamo:<br />
α piano parallelo ad due <strong>di</strong>rettrici<br />
α piano parallelo al piano parallelo passante per il vertice<br />
α//α<br />
α piano limite<br />
a asse dell’omologia secante il cerchio<br />
f retta limite secante il cerchio<br />
11