Complessit`a Logica del primo ordine

Complessità
La procedura sopra descritta è esponenziale nella dimensione della formula (o
meglio nel numero dei simboli di proposizione distinti che occorrono in essa).
Si può fare di meglio?
È possibile trovare algoritmi polinomiali per T AUT e SAT ?
Si può dimostrare che
• SAT è NP-Completo
• T AUT è CoNP-completo
M. Lenzerini Richiami di logica 18
Logica del primo ordine
In logica proposizionale il mondo è rappresentato da un insieme di fatti
elementari.
La logica del primo ordine assume che nel mondo vi siano:
• Oggetti: persone, case, numeri, teorie, colori, partite, aula1, ...
• Predicati o relazioni: rosso, primo, corrotto. . .,
fratello di, più grande di, dentro a, parte di, accaduto dopo di, possiede,
precede, ...
• Funzioni: padre di, secondo tempo di, inizio di ...
M. Lenzerini Richiami di logica 19

Il linguaggio: i simboli logici
Un linguaggio del primo ordine L1 è costruito sui seguenti insiemi di simboli:
Simboli Logici
• I connettivi proposizionali: ¬,∧,∨, → e ↔
• Le costanti proposizionali ⊤ e ⊥
• Il simbolo di uguaglianza =, eventualmente assente
• I simboli separatori ‘(’, ‘)’ e ‘,’
• Un’infinità numerabile di simboli di variabile individuale x1, x2, ...
• Il simbolo di quantificazione universale ∀
• Il simbolo di quantificazione esistenziale ∃
M. Lenzerini Richiami di logica 20
Parametri
Il linguaggio: i parametri
• Un insieme finito o numerabile di simboli di predicato, ognuno dei quali ha
associato un intero positivo n detto arità. Un predicato di arità n è detto
n-ario;
• Un insieme finito o numerabile di simboli di funzione, ognuno dei quali ha
associato un intero positivo detto arità. Una funzione di arità n è detta
n-aria;
• Un insieme finito o numerabile di simboli di costante, ciascuno dei quali può
essere considerato un simbolo di funzione di arità 0.
M. Lenzerini Richiami di logica 21

Il linguaggio puro dei predicati:
Uguaglianza: assente;
Esempi – 1
Simboli di predicato n-ari: P n
1 ,Pn
2 ,...;
Simboli di costante: c1,c2,...;
Simboli di funzione n-ari, n>0: nessuno.
Il linguaggio della teoria degli insiemi:
Uguaglianza: presente;
Simboli di predicato: un simbolo di predicato binario ∈;
Simboli di costante: ∅;
Simboli di funzione n-ari, n>0: nessuno.
M. Lenzerini Richiami di logica 22
Esempi – 2
Il linguaggio della teoria elementare dei numeri:
Uguaglianza: presente;
Simboli di predicato: un simbolo di predicato binario

Esempi di formule ben formate
Alcuni medici sono arroganti
Tutti gli operai faticano
a) ∃x(Medico(x) ∧ Arrogante(x))
b) ∀x(Operaio(x) → F atica(x))
Tutti i pasticcieri sanno fare la pasta frolla
Tutti i cuochi eccellono in almeno un piatto
c) ∀x(P asticciere(x) → SaF are(x, pastafrolla))
d) ∀x(Cuoco(x) →∃y(P iatto(y) ∧ Eccelle(x, y)))
M. Lenzerini Richiami di logica 24
Termini
L’insieme Term dei termini di L1 è definito induttivamente come segue:
1. Ogni simbolo di costante e di variabile è un termine;
2. Se t1 ...tn sono termini e f è un simbolo di funzione n-aria, allora
f(t1,...,tn) è un termine (detto termine funzionale).
Esempi: x, c, f(x, y + c),. . .
M. Lenzerini Richiami di logica 25

Formule atomiche
L’insieme Atom degli atomi o formule atomiche è definito induttivamente come
segue:
1. ⊥ e ⊤ sono atomi;
2. Se t1 e t2 sono termini, allora t1 = t2 è un atomo;
3. Se t1,...,tn sono termini e P è un simbolo di predicato n-ario, allora
P (t1,...,tn) è un atomo.
Esempi: P (x), Q(x, c), R(x, f(x, y + c)),. . .
M. Lenzerini Richiami di logica 26
Termini:
Esempi di termini e formule atomiche
casaDi(Giovanni) batteriaDi(Miapolo)
autoreDi(Divinacommedia)
x + (2 × y) f(x, y, g(z, t + 3)) e −x
Atomi:
Grande(casaDi(Giovanni))
P iuGrande(casaDi(Giovanni), casaDi(F ilippo))
Scarica(batteriaDi(Miapolo))
autoreDi(Divinacommedia) =P etrarca
autoreDi(Divinacommedia) =Dante
x + (2 × y) = 0 f(x, y, g(z, t + 3)) = f(x, y, w) e −x ≥ 0
M. Lenzerini Richiami di logica 27

Formule
L’insieme Form delle formule di L1 è definito induttivamente come segue:
• Ogni atomo è una formula;
• Se A è una formula, allora ¬A è una formula;
• Se ◦ è un connettivo binario proposizionale, e A e B sono due formule,
allora A ◦ B è una formula;
• Se A è una formula, e x è una variabile, allora ∀xA e ∃xA sono formule.
Esempi: P (x), ∃xQ(x, c), ∀zR(x, f(x, y + c)),. . .
M. Lenzerini Richiami di logica 28
Esempi di formule
Grande(casaDi(Giovanni)) ∧
P iuGrande(casaDi(Giovanni), casaDi(F ilippo))
∀t Scarica(batteriaDi(Miapolo),t)
∃x x= autoreDi(Divinacommedia) ∧ NatoA(F irenze, x)
∀x x+ (2 × y) = 0 ¬(f(x, y, g(z, t + 3)) = f(x, y, w))
∀x∃y ama(x, y) tutti amano qualcuno
∀x∃y ama(y, x) tutti sono amati da qualcuno
∃x∀y ama(x, y) esiste il grande amatore
∃x∀y ama(y, x) qualcuno è amato da tutti
M. Lenzerini Richiami di logica 29

Precedenza degli operatori
La precedenza tra gli operatori logici è stabilita come segue:
∀, ∃, ¬, ∧, ∨, →, ↔
Come nel caso proposizionale, si assume che tutti gli operatori siano associativi
a destra, e che si possa sempre scrivere una formula tra parentesi.
Due modi di scrivere la stessa formula:
∀xP (x) →∃y∃zQ(y, z) ∧ ¬∀xR(x)
(∀x(P (x)) → ((∃y(∃zQ(y, z))) ∧ (¬(∀x(R(x)))))
M. Lenzerini Richiami di logica 30
Varianti di notazione
Elemento di sintassi Noi Altri
Negazione (not) ¬P ∼P P
Congiunzione (and) P ∧ Q P &Q P · Q P Q P, Q
Disgiunzione (or) P ∨ Q P | Q P; Q P + Q
Implicazione (se) P → Q P ⊃ Q
Universale (perOgni) ∀ xP (x) (∀x)P (x) xP(x)
Esistenziale (esiste) ∃ xP (x) (∃x)P (x) xP(x)
Relazione R(x, y) (R x y) Rxy xRy
M. Lenzerini Richiami di logica 31

Variabili in termini e formule atomiche
Denotiamo con var(t) l’insieme delle variabili di un termine t.
Un termine od un atomo w si dice chiuso – ground – se non contiene variabili,
cioè se var(w) =∅.
Una occorrenza di una variabile x in una formula, si dice libera se non è nel
campo di azione di un quantificatore, si dice vincolata o legata se non è libera.
Esempi:
P (x), ∃xQ(x, c), ∀zR(x, f(x, y + c)), ∀zR(x, f(x, y + c)) ∧ P (z),
∀zR(x, f(x, y + c)) ∧∃zP(z), ∀z(R(x, f(x, y + c)) ∧ P (z))...
Un enunciato – detto altrimenti formula chiusa – è una formula senza
occorrenze libere di variabili.
M. Lenzerini Richiami di logica 32
Interpretazioni e modelli
Una interpretazione (o struttura) per il linguaggio L1 è una coppia M
= 〈D, I〉 dove:
• D è un insieme non vuoto chiamato dominio di M;
• I è una funzione chiamata funzione d’interpretazione di M che associa:
– ad ogni simbolo di costante c, un elemento c I ∈ D;
– ad ogni simbolo di funzione n-aria f, una funzione f I : D n ↦→ D;
– ad ogni simbolo di predicato n-ario P , una relazione n-aria P I ⊆ D n .
M. Lenzerini Richiami di logica 33

Esempi
∀x∃yP(x, y)
D l’insieme degli esseri umani
P I = l’insieme delle coppie 〈A, B〉, tale che B è padre di A
Tutti gli esseri umani hanno un padre
D l’insieme degli esseri umani
P I′ l’insieme delle coppie 〈A, B〉, tale che B è madre di A
Tutti gli esseri umani hanno una madre
D l’insieme dei numeri naturali
P J l’insieme delle coppie 〈m, n〉, tale che m < n
Per ogni numero naturale ne esiste uno maggiore
M. Lenzerini Richiami di logica 34
Assegnazione a variabili in una interpretazione
Sia V ar l’insieme delle variabili di un linguaggio del primo ordine L1. Una
assegnazione, oambiente, ostato delle variabili η per una interpretazione
M = 〈D, I〉 è una funzione dall’insieme delle variabili V ar all’insieme D:
η : V ar ↦→ D
Un’assegnazione η per M rappresenta quindi un modo di associare un
elemento di D (il dominio di M) alle variabili del linguaggio L1.
Consideriamo nel seguito solo formule chiuse. Inoltre, se x è una variabile,
scriveremo x η invece di η(x).
M. Lenzerini Richiami di logica 35

Assegnazione a termini in una interpretazione
Sia M = 〈D, I〉 una interpretazione per L1 e sia η una assegnazione per M.
Estendiamo η ad una assegnazione η = 〈I,η〉 sui termini, ricorsivamente come
segue:
• per ogni variabile x, x I,η = x η ;
• per ogni costante c, c I,η = c I ;
• se t1,...,tn sono termini ed f è una funzione n-aria, allora
f(t1,...,tn) I,η = f I (t I,η
1 ,...,tI,η
n ).
Un’assegnazione η associa quindi un elemento del dominio ad ogni termine del
linguaggio L1, in modo coerente con η.
M. Lenzerini Richiami di logica 36
Valutazione di formule
Data una interpretazione M = 〈D, I〉 ed una assegnazione η per M, è
possibile valutare ogni formula del primo ordine rispetto ad M ed η, dove la
valutazione di una formula restituisce o 1 o 0.
Diremo che una formula F è vera o soddisfatta in una intepretazione
M = 〈D, I〉 ed una assegnazione η per M, e scriveremo
〈M, η〉 |= F
se la valutazione di F rispetto ad M ed η restituisce 1.
M. Lenzerini Richiami di logica 37

Valutazione di formule
Sia M = 〈D, I〉 una interpretazione ed η una assegnazione per M.
1. 〈M, η〉 |= ⊤ e 〈M, η〉 |= ⊥
2. Se F è una formula atomica del tipo P (t1,...,tn), allora
〈M, η〉 |= P (t1,...,tn) se 〈t I,η
1 ...t I,η
n
3. se F è una formula atomica del tipo t1 = t2 allora
〈M, η〉 |= t1 = t2 se t I,η
1
4. 〈M, η〉 |= ¬F se 〈M, η〉 |= F
= tI,η
2
5. 〈M, η〉 |= F ∧ G se 〈M, η〉 |= F e 〈M, η〉 |= G
〉∈P I
6. 〈M, η〉 |= F ∨ G se 〈M, η〉 |= F oppure 〈M, η〉 |= G
M. Lenzerini Richiami di logica 38
Valutazione di formule
7. 〈M, η〉 |= (F → G) se 〈M, η〉 |= ¬F oppure 〈M, η〉 |= G
8. 〈M, η〉 |= (F ↔ G) se (M, η) |= F → G e (M, η) |= G → F
9. 〈M, η〉 |= ∀xF se per ogni d ∈ D si ha 〈M, η{x = d}〉 |= F
10. 〈M, η〉 |= ∃xF se esiste d ∈ D tale che 〈M, η{x = d}〉 |= F
dove
η{x = d}
denota l’assegnazione η ′ per M che coincide con η tranne che η ′ assegna ad x
il valore d (indipendentemente da quello che η assegna a x). In altre parole,
l’assegnazione η{x = d}, che si può anche scrivere come η[d/x], è definita così:
⎧
⎨ d se y = x
η[d/x](y) =
⎩ yη se y = x
M. Lenzerini Richiami di logica 39

Valutazione di formule
Si noti che se F è una formula chiusa, qualunque siano η1 ed η2, si ha che
〈M, η1〉 |= F se e solo se 〈M, η2〉 |= F , se e solo se 〈M, ∅〉 |= F .
Ne segue che se F è una formula chiusa, la valutazione di F è indipendente
dall’assegnazione η.
Nel seguito, scriveremo semplicemente M|= F nel caso in cui 〈M, ∅〉 |= F .
M. Lenzerini Richiami di logica 40
1. ∃x(P (x) ∧ Q(x))
2. ∃x(P (x) → Q(x))
Esempi – 1
1. La formula è soddisfatta in M se esiste un d ∈ D per il quale è verificato
che 〈M, η[d/x]〉 |= (P (x) ∧ Q(x)), ovvero se esiste un d ∈ D tale che
d ∈ P I ∩ Q I . Quindi i sottoinsiemi di D associati da I a P e Q,
rispettivamente, sono non vuoti ed hanno intersezione non vuota.
2. La formula è soddisfatta in M se esiste un d ∈ D per il quale è verificato
che 〈M, η[d/x]〉 |= (P (x) → Q(x)), ovvero se esiste un d ∈ D tale che
d ∈ P I oppure d ∈ Q I .
Si noti che se I associa a P il sottoinsieme vuoto di D, allora la formula
∃x(P (x) → Q(x)) è resa vera addirittura da tutti gli elementi del
dominio.
M. Lenzerini Richiami di logica 41

3. ∀x(P (x) ∧ Q(x))
4. ∀x(P (x) → Q(x))
Esempi – 2
3. Sia P che Q hanno un’estensione non vuota, anzi entrambe coincidono con
l’intero dominio D.
4. L’estensione di P è contenuta in quella di Q, ma non si esclude affatto il
caso in cui l’estensione di P sia vuota, né che entrambi P e Q abbiano
un’estensione vuota.
M. Lenzerini Richiami di logica 42
Modelli, validità, soddisfacibilità
Sia F è una formula chiusa. Se M|= F diciamo che M è un modello di F ,
ovvero che F è vera in M, ovvero che M soddisfa F .
Una formula F chiusa è valida se è vera in tutte le interpretazione di L1 e lo
scriviamo |= F .
Una formula chiusa F è soddisfacibile se esiste una interpretazione M tale che
M|= F , ovvero se esiste un modello di F . Un insieme Γ di formule chiuse è
soddisfacibile se esiste una interpretazione M, tale che M|= F per ogni
F ∈ Γ.
La validità e la soddisfacilità non possono essere verificate semplicemente
costruendo la tabella di verità!
M. Lenzerini Richiami di logica 43

Implicazione logica, equivalenza
Sia Γ un insieme di formule e F una formula chiusa. Allora Γ implica
logicamente F , scritto Γ |= F , se per ogni interpretazione M del linguaggio, se
M|= Γ (ovvero M|= B per ogni B ∈ Γ), allora M|= F .
Due formule F e G si dicono logicamente equivalenti (scritto F ≡ G) se per
tutte le interpretazioni M si ha che:
M|= F se e solo se M|= G.
Ad esempio sono logicamente equivalenti formule che differiscono solo per
• il nome delle variabili quantificate
∀xP (x) ≡∀yP(y)
• l’ordine di quantificatori dello stesso tipo
∀x∀yP(x, y) ≡∀y∀xP (x, y) ≡∀x, yP (x, y)
• l’eliminazione di quantificatori che non hanno occorrenze della variabile
quantificata nel campo d’azione
∀xP (y) ≡ P (y)
M. Lenzerini Richiami di logica 44
Negazione:
1. ∀xP ≡ ¬∃x¬P
2. ¬∀xP ≡∃x¬P
3. ∃xP ≡ ¬∀x¬P
4. ¬∃xP ≡∀x¬P
Equivalenza logica: proprietà
I quantificatori sono distributivi rispetto a ∧ e ∨, ma con restrizioni:
1. ∀x(P1 ∧ P2) ≡∀xP1 ∧∀xP2
2. ∃x(P1 ∨ P2) ≡∃xP1 ∨∃xP2
3. ∀x(P1 ∨ P2) ≡∀xP1 ∨ P2 se x ∈ var(P2)
4. ∃x(P1 ∧ P2) ≡∃xP1 ∧ P2 se x ∈ var(P2).
Sia P2 una formula in cui x non occorre libera
1. ∀xP1 → P2 ≡∃x(P1 → P2)
2. ∃xP1 → P2 ≡∀x(P1 → P2)
3. P2 →∀xP1 ≡∃x(P2 → P1)
4. P2 →∃xP1 ≡∀x(P2 → P1).
M. Lenzerini Richiami di logica 45

Esercizio
Rappresentare in un linguaggio puro (senza uguaglianza e senza simboli di
funzione) del primo ordine i seguenti enunciati:
1 Se è vero che ogni avo di un avo di un individuo è anche avo dello stesso
individuo, allora deve esistere una persona che non ha avi
2 Tutte le donne sono belle e qualche uomo è bello
3 Il papà di Gennaro batte a scopone i papà di tutti i bambini del quartiere
Santa Lucia
M. Lenzerini Richiami di logica 46
Esercizi
Rappresentare in logica del primo ordine le frasi:
(1d) A, B e C sono cubi.
A è su B, B è su C.
A è verde e C non è verde.
Tutti i cubi sono colorati.
Un cubo è libero se non ci sono cubi sopra.
(2d) I calciatori di successo sono bravi e fortunati.
Francesco non è bravo e Mario non è fortunato.
Giovanni è fortunato ma non è bravo.
I fortunati sono ricchi.
(3d) I bravi alpinisti sono prudenti
Se uno non è sempre attento non è prudente
Giorgio è un bravo alpinista
M. Lenzerini Richiami di logica 47

Esercizio
Considerare il seguente insieme di formule Σ
Verificare se
1. ∀x(Canarino(x) → Uccello(x))
2. ∀x(Struzzo(x) → Uccello(x))
3. ∀x(P assero(x) → Uccello(x)
4. ∀x(Uccello(x) ∧ ¬Eccezione(x) → V ola(x))
5. Canarino(titti) ∧ Struzzo(fred) ∧ P assero(alfredo)
1. Σ |= V ola(alfredo)
2. Σ |= ¬V ola(titti)
3 Σ |= ¬(V ola(titti) ∧ V ola(fred))
Rappresentare i modelli di Σ, usando come dominio
A = 〈{alfredo, titti, fred}, V ola, Uccello, Canarino . . .〉.
M. Lenzerini Richiami di logica 48
Compattezza e altro
Teorema di compattezza
Un insieme di enunciati Γ è soddisfacibile se e solo ogni suo sottoinsieme finito è
soddisfacibile, ovvero, un insieme Γ di enunciati è insoddisfacibile se e solo se
esiste un sottoinsieme finito ∆ ⊆ Γ che è insoddisfacibile.
Il seguente teorema lega le nozioni di implicazione logica e di insoddisfacibilità:
Γ |= F se e solo se Γ ∪ {¬F } è insoddisfacibile.
Ne segue la compattezza dell’implicazione logica: Γ |= F se e solo se esiste un
sottoinsieme finito Γ0 di Γ, tale che Γ0 |= F .
Il seguente teorema di deduzione lega le nozioni di implicazione logica e di
implicazione materiale:
Γ |= F se e solo se |= Γ → F.
M. Lenzerini Richiami di logica 49

Indecidibilità della logica del primo ordine
La soddisfacibilità e l’implicazione logica in logica del primo ordine sono
indecidibili. Ciò significa che non può esistere alcuna procedura effettiva che,
dato un qualunque insieme finito di formule di L1, decida se esso è
soddisfacibile o no (analoga considerazione vale per l’implicazione logica).
Ovviamente, questo non esclude che vi possano essere dei casi particolari che
sono decidibili. Ad esempio, la logica proposizionale (che è un caso particolare
del primo ordine) è decidibile). Un altro esempio è la logica monadica del primo
ordine, in cui si hanno solo predicati di arità 1, e non si hanno simboli di
funzione.
M. Lenzerini Richiami di logica 50