Complessit`a Logica del primo ordine

Valutazione di formule
Sia M = 〈D, I〉 una interpretazione ed η una assegnazione per M.
1. 〈M, η〉 |= ⊤ e 〈M, η〉 |= ⊥
2. Se F è una formula atomica del tipo P (t1,...,tn), allora
〈M, η〉 |= P (t1,...,tn) se 〈t I,η
1 ...t I,η
n
3. se F è una formula atomica del tipo t1 = t2 allora
〈M, η〉 |= t1 = t2 se t I,η
1
4. 〈M, η〉 |= ¬F se 〈M, η〉 |= F
= tI,η
2
5. 〈M, η〉 |= F ∧ G se 〈M, η〉 |= F e 〈M, η〉 |= G
〉∈P I
6. 〈M, η〉 |= F ∨ G se 〈M, η〉 |= F oppure 〈M, η〉 |= G
M. Lenzerini Richiami di logica 38
Valutazione di formule
7. 〈M, η〉 |= (F → G) se 〈M, η〉 |= ¬F oppure 〈M, η〉 |= G
8. 〈M, η〉 |= (F ↔ G) se (M, η) |= F → G e (M, η) |= G → F
9. 〈M, η〉 |= ∀xF se per ogni d ∈ D si ha 〈M, η{x = d}〉 |= F
10. 〈M, η〉 |= ∃xF se esiste d ∈ D tale che 〈M, η{x = d}〉 |= F
dove
η{x = d}
denota l’assegnazione η ′ per M che coincide con η tranne che η ′ assegna ad x
il valore d (indipendentemente da quello che η assegna a x). In altre parole,
l’assegnazione η{x = d}, che si può anche scrivere come η[d/x], è definita così:
⎧
⎨ d se y = x
η[d/x](y) =
⎩ yη se y = x
M. Lenzerini Richiami di logica 39