Complessit`a Logica del primo ordine

Valutazione di formule
Si noti che se F è una formula chiusa, qualunque siano η1 ed η2, si ha che
〈M, η1〉 |= F se e solo se 〈M, η2〉 |= F , se e solo se 〈M, ∅〉 |= F .
Ne segue che se F è una formula chiusa, la valutazione di F è indipendente
dall’assegnazione η.
Nel seguito, scriveremo semplicemente M|= F nel caso in cui 〈M, ∅〉 |= F .
M. Lenzerini Richiami di logica 40
1. ∃x(P (x) ∧ Q(x))
2. ∃x(P (x) → Q(x))
Esempi – 1
1. La formula è soddisfatta in M se esiste un d ∈ D per il quale è verificato
che 〈M, η[d/x]〉 |= (P (x) ∧ Q(x)), ovvero se esiste un d ∈ D tale che
d ∈ P I ∩ Q I . Quindi i sottoinsiemi di D associati da I a P e Q,
rispettivamente, sono non vuoti ed hanno intersezione non vuota.
2. La formula è soddisfatta in M se esiste un d ∈ D per il quale è verificato
che 〈M, η[d/x]〉 |= (P (x) → Q(x)), ovvero se esiste un d ∈ D tale che
d ∈ P I oppure d ∈ Q I .
Si noti che se I associa a P il sottoinsieme vuoto di D, allora la formula
∃x(P (x) → Q(x)) è resa vera addirittura da tutti gli elementi del
dominio.
M. Lenzerini Richiami di logica 41