Complessit`a Logica del primo ordine

Implicazione logica, equivalenza
Sia Γ un insieme di formule e F una formula chiusa. Allora Γ implica
logicamente F , scritto Γ |= F , se per ogni interpretazione M del linguaggio, se
M|= Γ (ovvero M|= B per ogni B ∈ Γ), allora M|= F .
Due formule F e G si dicono logicamente equivalenti (scritto F ≡ G) se per
tutte le interpretazioni M si ha che:
M|= F se e solo se M|= G.
Ad esempio sono logicamente equivalenti formule che differiscono solo per
• il nome delle variabili quantificate
∀xP (x) ≡∀yP(y)
• l’ordine di quantificatori dello stesso tipo
∀x∀yP(x, y) ≡∀y∀xP (x, y) ≡∀x, yP (x, y)
• l’eliminazione di quantificatori che non hanno occorrenze della variabile
quantificata nel campo d’azione
∀xP (y) ≡ P (y)
M. Lenzerini Richiami di logica 44
Negazione:
1. ∀xP ≡ ¬∃x¬P
2. ¬∀xP ≡∃x¬P
3. ∃xP ≡ ¬∀x¬P
4. ¬∃xP ≡∀x¬P
Equivalenza logica: proprietà
I quantificatori sono distributivi rispetto a ∧ e ∨, ma con restrizioni:
1. ∀x(P1 ∧ P2) ≡∀xP1 ∧∀xP2
2. ∃x(P1 ∨ P2) ≡∃xP1 ∨∃xP2
3. ∀x(P1 ∨ P2) ≡∀xP1 ∨ P2 se x ∈ var(P2)
4. ∃x(P1 ∧ P2) ≡∃xP1 ∧ P2 se x ∈ var(P2).
Sia P2 una formula in cui x non occorre libera
1. ∀xP1 → P2 ≡∃x(P1 → P2)
2. ∃xP1 → P2 ≡∀x(P1 → P2)
3. P2 →∀xP1 ≡∃x(P2 → P1)
4. P2 →∃xP1 ≡∀x(P2 → P1).
M. Lenzerini Richiami di logica 45