Complessit`a Logica del primo ordine

Variabili in termini e formule atomiche
Denotiamo con var(t) l’insieme delle variabili di un termine t.
Un termine od un atomo w si dice chiuso – ground – se non contiene variabili,
cioè se var(w) =∅.
Una occorrenza di una variabile x in una formula, si dice libera se non è nel
campo di azione di un quantificatore, si dice vincolata o legata se non è libera.
Esempi:
P (x), ∃xQ(x, c), ∀zR(x, f(x, y + c)), ∀zR(x, f(x, y + c)) ∧ P (z),
∀zR(x, f(x, y + c)) ∧∃zP(z), ∀z(R(x, f(x, y + c)) ∧ P (z))...
Un enunciato – detto altrimenti formula chiusa – è una formula senza
occorrenze libere di variabili.
M. Lenzerini Richiami di logica 32
Interpretazioni e modelli
Una interpretazione (o struttura) per il linguaggio L1 è una coppia M
= 〈D, I〉 dove:
• D è un insieme non vuoto chiamato dominio di M;
• I è una funzione chiamata funzione d’interpretazione di M che associa:
– ad ogni simbolo di costante c, un elemento c I ∈ D;
– ad ogni simbolo di funzione n-aria f, una funzione f I : D n ↦→ D;
– ad ogni simbolo di predicato n-ario P , una relazione n-aria P I ⊆ D n .
M. Lenzerini Richiami di logica 33