Modelli grafici e variabili latenti: identificazione di un ... - Sapienza

Dipartimento di Statistica, Probabilità e Statistiche Applicate
Università di Roma "La Sapienza"
Paola Vicard
Modelli grafici e variabili latenti:
identificazione di un modello
fattoriale nel caso gaussiano
Roma -febbraio 1997

Dipartimento di Statistica, Probabilità e Statistiche Applicate
Università di Roma "La Sapienza"
Paola Vicard
Modelli grafici e variabili latenti:
identificazione di un modello
fattoriale nel caso gaussiano
Roma -febbraio 1997

PREFAZIONE
Il presente lavoro è nato dall'approfondimento dello studio dei modelli grafici Gaussiani,
già oggetto della Tesi di Laurea (Vicard, 1994 e Jona Lasinio e Vicard, 1996), nell'ambito
dell'utilizzazione degli stessi per l'analisi di modelli con variabili latenti.
In particolare l'interesse per questo problema specifico è nato dalla collaborazione con la
Prof.ssa Nanny Wermuth dell'Università di Mainz (Germania).
I modelli grafici Gaussiani studiano le relazioni di indipendenza condizionata tra
variabili con distribuzione Normale Multivariata, cosa che equivale ad analizzare la presenza
o meno di elementi nulli nella matrice inversa di varianze e covarianze (Whittaker,
1990). La letteratura relativa a tali modelli riguarda principalmente problematiche di
tipo"esplorativo" in cui, cioè, è necessaria l'effettiva costruzione del grafo di indipendenza
condizionata.
D'altra parte nei modelli di analisi fattoriale, particolarmente utilizzati nelle scienze
umane e sociali, l'attenzione dello statistico è di solito concentrata più su di un'analisi
di tipo confermativo delle relazioni tra fattori (latenti e non) messe in luce dalI'" esperto"
del problema allò studiò, piuttosto che sull'esplorazione delle osservazioni ai fini
dell'individuazione delle variabili rilevanti per la modellizzazione e, quindi, la costruzione
del grafo. In sostanza si è in grado di fornire il possibile grafo"a priori". Infatti, associando
ai nodi del gtafo le variabili di interesse, si rappresentano i legami tra di esse attraverso archi
(orientati o meno) che uniscono i vertici associati, trasferendo, in questo modo, direttamente
le conoscenze qualitative dell'utente sul fenomeno allo statistico. Quindi il primo passo che
quest'ultimo deve compiere nell'analisi consiste nel capire se il modello così ottenuto è
"identificabile". Risulterebbe chiaramente più efficiente poter agire direttamente sul grafo
senza dover previamente stimare la matrice di varianze e covarianze per studiare le proprietà
dello stesso.
In questa tesi si propone una metodologia basata esclusivamente sulle proprietà
topologiche del grafo per stabilire l'identificabilità del modello fattoriale. Anche da un punto
di vista computazionale questa procedura risulta efficace, consentendo l'uso di algoritmi di
esplorazione dei grafi (Gondran e Minoux, 1984) di complessità computazionale lineare.
Più in particolare viene proposta una caratterizzazione dei modelli uni-fattoriali
identificabili con residui correlati, cioè con matrice di varianze e covarianze e non
diagonale. Lo studio di questo tipo di modelli è abbastanza recente, infatti l'analisi fattoriale
tradizionale assume l'indipendenza delle variabili osservate condizionatamente ai fattori
latenti; il loro uso, però, appare del tutto naturale in uno studio confermativo in cui,
cercando di ridurre al minimo il numero delle variabili latenti, si deve accettare che l'unica
inclusa nel modello non sia in grado di spiegare da sola tutta la variabilità delle e tra le
variabili osservate.
Una prima risposta, sebbene parziale, al problema dell'identificazione di un modello uni-

le utili discussioni ed i preziosi consigli, ma anche per l'amicizia e la stima mostratemi
durante e dopo la mia permanenza in Germania. Sono grata peraltro al Prof. David R. Cox
per le interessanti conversazioni ed i consigli in merito alla parte centrale di questa tesi.
Un particolare ringraziamento alla Dott.ssa Giovanna Jona Lasinio per le utili discussioni
ed i commenti sulla versione definitiva del manoscritto, e alla Prof.ssa Fì'ancesca Gallo per
il sostegno e la disponibilità dimostratemi.
Ringrazio il Prof. Ludovico Piccinato per i consigli, per avermi consentito di continuare
a studiare i modelli grafici con l'esperienza tedesca e per l'attività di coordinamento del
Dottorato.
Sono grata anche al Prof. Bruno Simeone e ai Dott. Luciano Nieddu e Raffaella Succi per
i consigli sulla parte che riguarda più strettamente la teoria dei grafi.
Sono, infine, riconoscente ai molti dottorandi ed ex dottorandi con i quali ho
piacevolmente condiviso la stanza e, quindi, momenti di studio e di amicizia.
Un grazie speciale a Fulvio De Santis, Anna Maria Paganoni e Reinhold Streit.
iii

Indice
MODELLI GRAFICI E VARIABILI LATENTI:
IDENTIFICAZIONE DI UN MODELLO FATTORIALE
NEL CASO GAUSSIANO
1 Introduzione
1.1 Il Problema dell'Identificazione
1.2 Considerazioni Generali . . . .
2 Introduzione ai Modelli Grafici
2.1 Introduzione ai Grafi ....
2.2 Indipendenza condizionata.
2.3 Grafi di Indipendenza Condizionata
2.3.1 Grafi Indiretti....
2.3.2 Grafi Diretti Aciclici
2.3.3 Grafi a Catena . . .
2.3.4 Equivalenza di grafi di indipendenza condizionata.
2.4 Modelli Grafici . . . . . . . . . .
2.4.1 Modelli grafici Gaussiani.
3 Caratterizzazione dei Modelli Uni-fattoriali Identificabili
3.1 Rappresentazione Grafica del Modello .
3.2 Una Condizione Necessaria e Sufficiente per l'Identificazione.
4 Due Formulazioni Equivalenti
4.1 Introduzione .
1
2
3
3
5
11
11
16
19
20
24
28
32
35
35
39
39
44
57
57

2
4.2 Riformulazione in Termini di G . . 58
4.3 Riformulazione in Termini di e-l 64
4.4 Studio dell'Identificabilità . . . . . 69
5 Ultime Osservazioni e Problemi Aperti 75
5.1 Modello Uni-fattoriale come Soluzione alla Non Identificabilità di un Modello a Più
Fattori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Considerazioni su Sovraidentificaziolle e Cicli Dispari. 79
5.3 Identificazione di un Modello di Analisi Fattoriale a Più Fattori 84
Appendice 89
Bibliografia 93

Capitolo 1
Introduzione
1.1 Il Problema dell'Identificazione
Nel presente lavoro l'attenzione verrà prevalentemente concentrata sul problema
dell'identificazione di un modello di analisi fattoriale con un fattore latente e residui corr

4
informazioni e le conoscenze, di carattere qualitativo che l'utente ha circa il fenomeno da analizzare
(ad esempio lo stato socio-economico di un popolo, il livello di attenzione dei bambini a scuola o
ancora il sentimento di coesione tra i dipendenti di una azienda).
Per questo motivo abbiamo pensato di affrontare il problema dell'identificazione di un modello
fattoriale nell'ambito della modellizzazione grafica. Infatti l'uso dei grafi può essere determinante
già nella fase di specificazione del modello proprio perchè agevola la comunicazione tra lo statistico
e l'utente. Ad esempio supponiamo che quest'ultimo sia interessato allo studio dello stato socio­
economico di un gruppo di individui; egli, in base alle sue conoscenze in merito all'argomento,
decide, prima di tutto, quali variabili osservare e misurare (ad es. il reddito, il tipo di lavoro,
il titolo di studio), o quali dati utilizzare qualora siano già state effettuate delle rilevazioni. In
seconda istanza, è necessario stabilire se il fattore latente spiega tutta la variabilità degli e tra gli
indicatori e, in caso negativo, si deve specificare la struttura associativa delle variabili osservate.
Proprio in questa seconda fase il ricorso ai grafi è di notevole aiuto; infatti, una volta associata a
ciascun nodo una variabile aleatoria, l'utente può rappresentare un legame che crede esistere tra
due indicatori semplicemente disegnando una linea tra i nodi corrispondenti. In questo modo allo
statistico viene fornito il grafo di partenza che, in una fase successiva, deve essere tradotto nel
relativo modello di analisi fattoriale su cui effettuare la vera e propria analisi statistica.
Più propriamente questo lavoro si muove nel contesto dell' analisi fattoriale confermat'iva
(Bollen, 1989); in tale analisi il modello sintetizza tutte le conoscenze di tipo qualitativo circa
il fenomeno in esame in possesso dell'utente. Questi pertanto stabilisce: il numero dei fattori,
quali di essi influenzano un determinato indicatore e l'eventuale correlazione dei residui.
In analisi fattoriale il problema dell'identificazione è molto rilevante; infatti è necessario che
un modello sia identificabile per poter passare a stimare i suoi parametri incogniti ed applicare
ad essi procedure inferenziali.
Vediamo, ora, quando un modello si dice identificato.
Innanzitutto osserviamo che le varianze e le covarianze delle variabili osservate possono essere
scritte come funzioni dei parametri strutturali, À e 8, del modello, ovvero che la matrice I:
ammette la seguente decomposizione:
:E = ÀÀ T + 8 = D(À, 8). (1.2)

6
Questa condizione, meglio nota in letteratura come regola 't, haia caratteristica di essere solamente
necessaria, cioè se un modello non la verifica allora sicuramente non è identificabile, se invece la
soddisfa non ci si può pronunciare sul suo stato di identificabilità e sono richiesti ulteriori controlli.
Sottolineiamo che la regola t può essere applicata qualunque sia il modello di analisi fattoriale
in esame, ovvero la (1.3) non impone alcuna limitazione sul numero delle variabili latenti o sulla
struttura associativa dei residui. Inoltre la (1.3) costituisce,proprio grazie alla sua universalità
di applicazione, la prima fase dello studio dell'identificazione di un modello. n fatto che la regola
t sia necessaria e che, quindi, sia soddisfatta da una ampia classe di modelli, dei quali molti non
identificabili, induce alla ricerca di condizioni più restrittive (possibilmente necessarie e sufficienti)
per la verifica dell'identificabilità.
Nel caso in cui E> siadiagonale, Andersone Rubin (1956) hanno caratterizzato la classe dei modelli
uni·fattoriali identificabili fornendo la seguente condizione necessaria es1.lfficiente.
Teorema 1.1 n modello (1.1) è identificabile se e solo se il vettore dei coefficienti fattoriali À
ha almeno tre elementi non nulli.
Anderson e Rubin hanno caratterizzato anche la classe dei modelli identificabili con due fattori
latenti sempre sotto l'ipotesi di indipendenza dei residui. Per quanto riguarda, invece, i modelli
con tre o più variabili latenti, non si dispone di nessuna condizione necessaria e sufficiente per la
verifica della loro identificabilità.
Notiamo che, come è ragionevole supporre che in un modello unÌ·fattoriale i residui possano essere
tra di loro correlati, cosi è auspicabile attendersi che se i fattori latenti coinvolti sono molti, questi
spieghino completamente la variabilità degli indicatori.
In ogni caso, il ricorso al modello (1.1) per rappresentare un dato fenomeno, può essere consigliabile
per due motivi principali:
III si vuole ridurre al minimo il numero di variabili latenti e si ritiene di poterlo fare
compatibilmente con le informazioni a priori su tale fenomeno;
.. si era costruito un modello a più fattori che è risultato non identificabile, allora
marginalizzando rispetto a tutte le variabili latenti eccetto quella ritenuta più importante e
ricavando, in questo modo, un modello uni·fattoriale con residui tra loro dipendenti, si può
ottenere un modello identificabile (daremo un esempio dettagliato di ciò nel paragrafo 5.1).

INTRODUZIONE 7
Per quanto riguarda l'esistenza di regole in grado di stabilire con certezza se un modello di
tipo (1.1) è identificabile o meno, in letteratura troviamo solamente una condizione sufficiente
(Stanghellini, 1997) che sarà richiamata nel paragrafo 3.2.
Nel presente lavoro forniremo una caratterizzazione della, classe dei modelli identificabili con un
fattore e residui correlati (paragrafo 3.2). Questa condizione necessaria e sufficiente è enunciata
e dimostrata mediante il linguaggio dei grafi; pertanto l'intero secondo capitolo sarà rivolto a
fornire, oltre agli elementi di teoria dei grafi utili nel prosieguo del lavoro, anche una panoramica
sul forte legame esistente tra grafi e concetto di indipendenza condizionata e sulla modellizzazione
grafica.
Il fatto che ci troviamo nell'ambito dell'analisi fattoriale confermativa, ci consente di rappresentare
tutte le informazioni a priori dell'utente mediante grafo; infatti, come vedremo meglio in seguito,
a ogni nodo associamo una variabile aleatoria, mentre ciascun arco iridica una relazione di tipo
causale (se è orientato) o di tipo simmetrico (se è non orientato) tra le due variabili che unisce.
Ribadiamo che, proprio in questa fase di interazione tra statistico e utente, emerge uno dei vantaggi
dell'uso dei modelli grafici: il loro immediato e forte impatto visivo; in questo senso, infatti, i
grafi agevolano la comunicazione tra statistici e non. Inoltre vedremo (paragrafo 3.1) che, dato
un modello e la sua rappresentazione grafica, se si vuole focalizzare l'attenzione su un particolaro
sottoinsieme di variabili marginalizzando e/o condizionando rispetto alle rimanenti, è possibile
ottenere il modello di interesse mediante poche e semplici operazioni sul grafo di partenza.
Dal momento che il grafo del modello ci è fornito a priori, a noi non resta che controllare
se soddisfa la condizione necessaria e sufficiente; questa, infatti, analizza proprio il grafo di
indipendenza condizionata dei residui, ovvero la struttura associativa delle q variabili osservate
condizionatamente all' unico fattore latente.
In questa sede, avendo assunto 8 rv Nq(O, e), operiamo nell'ambito dei modelli grafici ga'ussiani
(paragrafo 2.4), in base ai quali se nel grafo manca un arco, diciamo (i,j), allora l'elemento (i,j)
della matrice e-l è nullo.
In particolare troviamo che possiamo stabilire se il nostro modello è identificabile semplicemente
osservando il grafo complementare C dei residui (Teorema 3.1), ovvero il grafo i cui archi sono
tutti e soli quelli che non figurano nel grafo direttamente osservato G. In questo senso mostriamo
che il ruolo determinante è esercitato dalla eventuale presenza di cicli dispari in C; infatti risulterà
che il modello (1.1) è identificato se e solo se ogni componente connessa (questo concetto verrà

8
illustrato nel paragrafo 2.1) del grafo G GQntiene almeno un ciclo dispari.
Il fatto che questa caratterizzazione sia espressa in termini del "grafo degli archi mancanti"
che, per definizione, rappresenta tutte le incorrelazioni tra residui, ha determinato l'esigenza
di una sua riformulazione basata sul grafo direttamente osservato G (Teorema 4.1). Vedremo
che quest'ultima, avendo un enunciato molto più articolato rispetto a quello del Teorema 3.1, è
particolarmente adatta alle situazioni in cui si debba dimostrare la non identificabilità del modello.
Infine, grazie alla biunivocità della relazione tra grafi e matrici, abbiamo potuto formulare la
condizione necessaria e sufficiente anche in termini di e-l (Teorema 4.2); in questo modo ci
siamo ricondotti al linguaggio matriciale, più diffuso e tradizionale in statistica multivariata. Ciò
ci ha consentito, tra l'altro, di far emergere relazioni tra il nostro risultato e, ad esempio, la
condizione di Anderson e Rubin: questa risulta essere un caso particolare, per E> diagonale, della
nostra caratterizzazione dei modelli uni-fattoriali identificabili.' .
Anche.dalpunto di vista dell'applicabilità del Teorema 3.1, sono emersi aspetti interessanti; infatti
i grafi che denotano la non identificabilità del modello che rappresentano sono molto particolari
- in letteratura sono noti con il nome di grafi bipartiti (si veda la Definizione 4.1 nel paragrafo
4.1) - ed hanno, quindi, nella teoria dei grafi, un ruoloa pal,'te. In particolare esistono algoritmi
(si veda il paragrafo 4.4) per l'esplorazione dei grafi che sono in grado di stabilire in un tempo
lineare se il grafo esaminato è bipartito. Ne segue che a noi basta mutuare queste procedure dalla
teoria dei grafi per verificare lo stato di identificazione del modello.
Abbiamo, quindi, visto che i grafi intervengono, con le loro proprietà e caratteristiche nelle varie
fasi dell'analisi statistica. In particolare:
- nella specificazione del modello si sfrutta il loro forte impatto visivo e la conseguente facilità
di raffigurazione e lettura delle relazioni tra variabili;
- nell'approccio al problema dell'identificazione, la rappresentazione del modello di analisi
fattoriale mediante un grafo ci permette di focalizzare l'attenzione sulla struttura dei residui
e di utilizzare, dunque, le proprietà dei modelli grafici gaussiani;
- la classe dei modelli uni-fattoriali identificabili viene caratterizzata in base alla particolare
configurazione del grafo complementare G dei residui, cioè in termini delle sue proprietà
topologiche;

INTRODUZIONE 9
- nell'applicazione della condizione necessaria e sufficiente qui proposta si ricorre ad algoritmi,
con complessità computazionale lineare, per l'esplorazione dei grafi;
- quando è necessario modificare il modello di partenza perchè è risultato non identificabile,
si può intervenire direttamente sul suo grafo effettuando le operazioni di marginalizzazione
e/o condizionamento rispetto ad opportuni insiemi di variabili.

Capitolo 2
Introduzione ai Modelli Grafici
2.1 Introduzione ai Grafi
Come annunciato, la soluzione che proporremo al problema delineato nel capitolo precedente è
di tipo"grafico", cioè si basa interamente sulla struttura del grafo (complementare o non) dei
residui del modello con un solo fattore latente considerato.
Sottolineiamo che in questa sezione introdurremo i concetti basilari della teoria dei grafi e
quegli elementi e strumenti utili affinchè questo lavoro sia il più completo possibile. L'intenzione,
quindi, non è quella di fornire una trattazione rigorosa della teoria dei grafi, visto anche che in
questa sede, come del resto in statistica, se ne fa un uso strumentale.
Definiremo, prima di tutto, cosa è un grafo distinguendone diversi tipi per poi passare ad
illustrarne le principali caratteristiche e proprietà.
Un grafo è una coppia di insiemi V ed E, e lo indichiamo con G = (V, E)j in particolare V è
l'insieme finito dei vertici o nodi, ed in genere è un sottoinsieme {l, ... , k} dell'insieme dei numeri
naturali IN mentre E, l'insieme degi archi, è un sottoinsieme (di V x V) di coppie ordinate di
vertici distinti.
Sia A C V un sottoinsieme di vertici, il sottografo indotto da A, GA = (A, EA), dove
EA = E n (A x A) = {(a,,6): a e ,6 E A}, è ottenuto da G mantenendo tutti e soli gli
archi che hanno entrambi gli estremi in Aj in proposito si veda la Figura 2.2(c).
Siano a e ,6 due elementi di V, l'arco (a,,6) può essere orientato (o diretto) o non orientato (o
indiretto) e viene rappresentato rispettivamente con una freccia, ad es. a -+ ,6, o con una linea
a -,6. Notiamo che se a -+ ,6 e ,6 -+ a E E, allora a -,6.
11

12
Da un punto di vista intuitivo se, come faremo in seguito, ad ogni nodo associamo una variabile
aleatoria, la presenza nel grafo dell'arco a -+ {3 indica una relazione di causalità tra Y a e Y,e e
cioè che Ya è una variabile direttamente esplicativa per Y,e o, in modo simmetrico, che Y,e è una
risposta diretta ad Ya . Più precisamente nel linguaggio della teoria dei grafi: se a -+ {3 E E si
dice che a è genitore di {3 e che {3 è un figlio di ai se a -{3 E; E si dice che a e {3 sono adiacenti o
vic'ini e si scrive a '" {3; se a e {3 non sono uniti nè da una freccia nè da una linea, si dicono non
adiacenti e si scrive arf (3.
Sia A un sottoinsieme proprio di di V, A C Vi con pa(A) = (UaEApa(a)) \A, ch(A) =
(UaEAch(a)) \A e ne(A) = (UaEAne(a)) \A si indicano rispettivamente l'insieme dei genitori, dei
figli e dei vicini di A. Inoltre possiamo definire la frontiera di A, bd(A), come quel sottoinsieme
di V\A formato dai genitori e dai vicini di A e la chiusura di A, cl(A) = A U bd(A).
Prima di passare ad elencare i diversi tipi di grafo a cui faremo riferimento, introduciamo
alcuni ulteriori concetti di teoria dei grafi.
Un cammino di lunghezza n tra a e {3 è una successione di vertici distinti a = VQ, • .. ,Vn = {3
tale che l'arco (Vi, Vi+l) E E, per ogni i = O, ... ,n - 1. Il cammino si dice d'iscendente se tutti i
suoi archi sono dei tipi Vi -+ Vi+l e/o Vi -vi+l, cioè se gli archi orientati in esso contenuti hanno
sempre lo stesso verso; ad esempio nella Figura 2.2(c), 2 -+ 5-4 è un cammino discendente mentre
1 -+ 3-4-5 f- 2 non lo è perchè presenta un cambiamento di direzione. Un ciclo di lunghezza
n, o n-ciclo, è un cammino in cui a = {3 (si veda la Figura 2.2(a) in cui 1-2-3-4-1 è un
4-ciclo); tale ciclo è diretto se è un cammino discendente con a = {3 e almeno uno dei suoi archi è
del tipo Vi -+ Vi+!. Inoltre se esiste un cammino discendente tra i nodi a e {3, diciamo che a è un
antenato di {3, a H {3, e che (3 è un discendente di a; gli insiemi degli antenati e dei discendenti di a
si indicano rispettivamente con an(a) e de(a). Infine con nd(a) = V\ (de(a) U {a}) si denotano
i non discendenti di a. Da un punto di vista intuitivo se a E an({3) allora la variabile Ya è
indirettamente esplicativa per Y,e e, simmetricamente, Y,e è una risposta indiretta ad Ya .
Sia A un sottoinsieme proprio di V, se bd(a) ç A Va E A, allora A si dice ancestrale e il più
piccolo insieme ancestrale contenente A è indicato con An(A); vedremo nelle sezioni 2.3.2 e 2.3.3
che quest'ultimo concetto è particolarmente utile per la lettura delle indipendenze condizionate
da grafi diretti aciclici e a catena.
Infine due nodi sono connessi se esiste un cammino discendente da a a {3 ed uno da {3 ad a;
le componenti connesse di un grafo sono insiemi massimali di nodi a due a due connessi. Nel

INTRODUZIONE AI MODELLI GRAFICI 13
prosieguo del lavoro incontreremo molto spesso il concetto di connessione di un grafo i cui archi
sono dati tutti da linee. La Figura seguente è un esempio di grafo non connesso in cui le componenti
connesse sono {l, 2, 3, 4, 5, 6} e {7, 8}, mentre ad esempio {4, 5} induce un sottografo connesso ma
non è un insieme massimale di nodi a due a due connessi.
1
Figura 2.1: Grafo non orientato non connesso
Possiamo, ora, elencare i diversi tipi di grafo a cui faremo riferimento in seguito.
Fondamentalmente distinguiamo tra grafi: indiretti, diretti aciclici e a catena (si vedano
rispettivamente i grafi 2.2(a), 2.2(b) e 2.2(c). 1 grafi indiretti (o non orientati) G = (V, E),
che indicheremo con UG, hanno la caratteristica che l'insieme degli archi E è costituito solo da
linee; nei grafi diretti aciclici aD == (V, ED), che indichiamo con DAG, tutti gli archi sono dati
da frecce e non esiste alcun ciclo orientato, cioè nori. è possibile partire da un nodo e ritornarvi
seguendo la direzione delle frecce; infine i grafi a catena aO = (V, EO), che indichiamo con CG,
possono contenere sia linee che frecce, cioè sono grafi ibridi, e il loro insieme dei nodi V ammette
una partizione ordinata (detta catena di indipendenza) in blocchi non vuoti Bi" .. ,Bk, k 2: 1
tali che: 1) (a,fJ) = a -fJ se a e fJ E Bi e 2) (a,fJ) = a -t fJ se aE Bi e fJ E Bj, j > i.
Osserviamo che per definizione i grafi a catena non contengono cicli diretti. Inoltre nei CG le
componenti connesse (dette componenti catena) inducono sottografi indiretti che possono essere
facilmente individuati cancellando da GO tutti gli archi orientati. Infine notiamo che un CG è
anche caratterizzato dalla proprietà che l'insieme delle componenti connesse forma una catena di
indipendenza.
Vediamo separatamente alcuni aspetti dei diversi grafi introdotti.
Considerato un UG, diciamo che la corda di un ciclo Vl,'" ,Vn , n 2: 3 è un arco Vi -Vj dove o
i = 1 e 2 < j < n-lo 2 :::; i :::; n - 3 e i + 1 < j < n. Un concetto fondamentale nell'ambito
della teoria dei grafi e dei modelli grafici è quello di grafo triangolato. Un grafo si dice triangolato
7
8

INTRODUZIONE AI MODELLI GRAFICI 15
La costruzione del grafo morale Gm = (V, Em) associato ad un grafo a catenaG G (il caso dei DAG
si ottiene come caso particolare) consta di due fasi: 1) si eliminano le eventuali configurazioni sink,
a -+ Il - ...-,k f- {3, k 2 1, introducendo l'arco a -(3j 2) si costruisce la versione indiretta.
Ad esempio, con riferimento alla Figura 2.2(c), per costruire il suo grafo morale, 2.3(c'), 1)
aggiungiamo gli archi 1 -2, 1 -4 e 2 -4 per eliminare la configurazione sink-U indotta da
{l, 3, 4,5, 2} e le configurazioni sink-V 1 -+ 6 f- 4 e 2 -+ 7 f- 4.
Frydenberg nel 1990 ha proposto un metodo del tutto equivalente al precedente per la costruzione
del Gm; questo prevede che per ogni componente catena G di GG, si uniscano i nodi di pa(G) e
poi non si considerino le direzioni, ovvero si trasformino tutti gli archi orientati in non orientati.
Vediamo qualche esempio per chiarire alcuni dei concetti finora esposti.
I tre grafi seguenti costituiscono rispettivamente un esempio di grafo non orientato, (a), diretto
aciclico, (b), e a catena, (c).
(c)
o (b)
Figura 2.2: (a) Grafo indiretto; (b) grafo diretto aciclico; (c) grafo a catena
Nella Figura 2.2(a) per esempio:
- ne(5) = bd(5) = {3, 4}
- l'insieme {3, 4, 5} induce una clique

16
. - l'intero grafo non è triangolato perchè contiene il ciclo senza corda 1 -2-3-4-1.
Consideriamo laFigura 2.2(b):
- il sottografo indotto da {l, 2, 3} è una configurazione sink-V, dove 3 è il nodo di collisione
- pa(3) = {l, 2}, ch(3) = {4}; an(4) = {2,3}.
Nel grafo 2.2(c) infine:
- una catena di indipendenza è data da BI = {l, 2}, B2 = {3,4.5} e Ba = {6,7}
- il sottografo indotto da {l, 2, 3, 4, 5} è una configurazione sink-U
- le componenti catena sono {l}, {2}, {3, 4, 5}, {6} e {7}
- 1 -+ 3 -4 -+ 7 t- 2 è un cammino con un nodo di collisione 7
- 1 -+ 3-4 -+ 7 è un cammino discendente.
I grafi morali di 2.2(b) e 2.2(c) sono dati rispettivamente da:
2
(b') (c')
Figura 2.3: (b') Grafo morale di 2.2(b)j (c') grafo morale di 2.2(c)
2.2 Indipendenza condizionata
Una delle ragioni principali per cui l'uso dei grafi è sempre più diffuso in statistica risiede nella loro
capacità di rappresentare in modo molto sintetico e facilmente leggibile la struttura associativa di
un insieme di variabili aleatorie. Abbiamo visto nel paragrafo prcedente che, attraverso un grafo,
è possibile distinguere in modo molto semplice tra cause dirette e indirette per una variabile
dipendente.

INTRODUZIONE AI MODELLI GRAFICI 17
I grafi, poi, sono particolarmente adatti alla rappresentazione delle relazioni di dipendenza e
indipendenza condizionata proprie dell'insieme di variabili considerato.
Pertanto il concetto di indipendenza condizionata è di fondamentale importanza; ne diamo, prima
di tutto, una definizione formale per poi passare ad analizzarne ulteriori caratterizzazioni e
proprietà.
Definizione 2.1 Siano X, Y e Z tre v.a. con distribuzione di probabiltà congiunta Pi X 87,
dice indipendente da Y condizionatamente a Z rispetto alla legge di p7'Obabilità P se esiste una
versione della probabiltà condizionale P(AIY, Z) che sia funzione della sola Z per ogni insieme
m'isurabile A nello spazio campionario di X.
In tal caso scriviamo X JL YIZ [P) usando la notazione introdotta da Dawid nel 1979.
Supponiamo ora che X, Ye Z ammettano densità congiunta rispetto a una misura prodotto
/-Li possiamo verificare se X JL YIZ utilizzando la seguente caratterizzazione
X JL YIZ {=? fXYlz(x,Yjz) = fXlz(XiZ)jYIZ(Yjz) Vz: fz(z) > O,
nel caso in cui tutte le densità siano continue.
In modo equivalente diciamo che X e Y sono indipendenti condizionatamente a Z se e solo se:
i) fxyz(x, V, z) = fxz(x, z)fyz(y, z)/fz(z) Vz: fz(z) > O
in questo modo si evidenzia il fatto che la distribuzione congiunta può essere ottenuta
attraverso il prodotto delle densità marginali relative ai diversi blocchi di variabili
condizionatamente indipendenti tra loro;
ii) fxlYz(x; Y, z) = fXlz(x; z)
questa formulazione coglie l'aspetto più intuitivo, mostrando che se X JL YIZ, la
distribuzione di X, dati Y e Z, è completamente determinata dalla sola Z, divenendo così
superflua la conoscenza di Y i
iii) fxyz(x, Y, z) = h(x, z)k(y, z) Vx, Ye Vz: fz(z) > O
dove questa caratterizzazione altro non è che la versione del criterio di fattorizzazione per
l'indipendenza condizionata e le funzioni h e k non coincidono necessariamente con le densità
marginali fxz e fy Z·

INTRODUZIONE AI MODELLI GRAFICI
Un'ulteriore proprietà dell'indipendenza condizionata è la seguente
(e5) Intersezione X JL YI(Z U W) e X JL WI(Z U Y) :::} X JL (Y U W)IZ.
Questa proprietà afferma che se all'interno dell'insieme 8 = XUYUWUZ, X può essere separato
dal resto di 8 mediante due diversi sottoinsiemi, 81 = Z UY e 82 = Z UW, allora l'intersezione di
81 e 82, cioè Z, è sufficiente a separare X dal resto di 8. Più intuitivamente, per la (C5) possiamo
dire che, a meno che Y influenzi X con W costante o W influenzi X con Y costante, nè W nè Y
nè la loro combinazione possono essere rilevanti per X.
La proprietà di intersezione non è universalmente valida ma solo sotto opportune condizioni
per la distribuzione di probabilità P. Una condizione sufficiente affinchè la (C5) sia vera è che P
sia strettamente positiva.
Pearl e Paz (1987) avevano congetturato la completezza di (C1)-(C4) sostenendo che qualora
fossero verificate, doveva esistere una distribuzione di probabilità P tale che
P(xlv, z) = P(xlz) {::::::? X JL YIZ.
Studeny (1992) ha mostrato che non esiste un'assiomatizzazione finita dell'indipendenza
condizionata. In particolare egli ha dimostrato che esiste un'ulteriore proprietà formale
indipendente:
X JL YI(W U Z) e W JL Z!X e W JL Z!Y e X JL Y {::::::?
{::::::? W JL ZI(X UY) e X JL YIW e X JL YIZ e W JL Z.
2.3 Grafi di Indipendenza Condizionata
Come abbiamo visto, la definizione tradizionale di indipendenza condizionata e le sue formulazioni
equivalenti si basano sull'uguaglianza di quantità numeriche. È, però vero che anche giudizi di tipo
qualitativo possono dare luogo a conclusioni circa eventuali relazioni di indipendenza (condizionata
e non) tra eventi.
Pertanto è auspicabile trovare un linguaggio capace di esprimere qualitativamente le informazioni
probabilistiche. In questo modo la verifica delle dipendenze potrebbe essere fatta mediante poche
operazioni elementari sulle caratteristiche principali dello schema di rappresentazione. In sostanza
19

20
si vuole trovare uno strumento che funzioni il più possibile come la mente umana e che consenta
di ricavare le relazioni esistenti tra variabili in modo logico. In termini più formali chiediamo che
tutte o quasi le conclusioni che trarremo circa la struttura associativa di v.a. siano il risultato di
operazioni locali su strutture che rappresentano associazioni logiche.
Uno strumento "naturale" in questo senso è il grafo di indipendenza condizionata perchè, come
vedremo, i legami in esso contenuti esprimono in modo qualitativo e diretto le relazioni di
dipendenza e la sua topologia le mostra esplicitamente e le preserva sotto ogni assegnazione
di parametri numerici.
Il problema da porsi, comunque, è se le proprietà topologiche di un grafo permettano di dedurre
ogni tipo di dipendenze e indipendenze proprie dell'insieme di variabili considerato; questo perchè
quando si vogliono modellizzare relazioni concettuali (come causa, associazione o rilevanza) è
difficile distinguere tra vicini diretti e indiretti.
Vediamo da un punto di vista più formale come caratterizzare questa relazione tra grafi e
studio delle associazioni tra variabili.
Ribadiamo che le condizioni (C1)-(C4) possono essere utilizzate come assiomi formali per
l'indipendenza condizionata. Definiamo, quindi, un semi-grafoide come una struttura algebrica
che soddisfa tali proprietà. Se questa struttura verifica anche la (C5), è detta grafoide.
Nelle prossime sezioni andremo a definire quello strumento che ci consente di "visualizzare"
l'indipendenza condizionata in probabilità mediante i grafi: la separazione. Questa verrà illustrata
direttamente ed in modo dettagliato per i grafi indiretti, diretti aciclici e a catena.
2.3.1 Grafi Indiretti
Consideriamo, per primi, i grafi non orientati introdotti nel paragrafo 2.1; definiamo subito cosa
si intende per separazione.
Definizione 2.2 Siano X, Y e Z sottoinsiemi disgi'unti di nodi di un grafo G = (V, E). X e
Y si dicono separati, condizionatamente a Z, se ogni cammino tra un nodo in X ed uno in Y
include almeno un vertice di Z.
Se ad esempio consideriamo la Figura 2.1 e poniamo X = {l, 2, 3}, Y = {5, 6} e Z = {4}, abbiamo
X JLc YIZ.
Notiamo che la separazione in un grafo, cioè

INTRODUZIONE AI MODELLI GRAFICI 23
(G) globale, se, considerati tre insiemi disgiunti A, B ed S, con A =1= 0 =1= BeS separatore di A
e B, si ha A JLM BIS.
In sostanza le proprietà di Markov costituiscono l'anello di congiunzione tra il concetto di
separazione proprio della teoria dei grafi ed il concetto di indipendenza condizionata in probabilità.
Sottolineiamo che (P), (L) e (O) colgono aspetti diversi dell'indipendenza condizionata. (L), ad
esempio, presenta un nesso con la regressione perchè mostra come una variabile sia spiegata solo
dalle variabili che costituiscono la sua frontiera in G. (L) ha, però, il difetto di non consentire
una facile costruzione del grafo di indipendenza qualora si sappia che la distribuzione la verifica.
In questo senso potrebbe risultare più utile e naturale (P) visto che per definire una I-map
abbiamo usato l'indipendenza tra una coppia di v.a. date le rimanenti. (G), infine, è importante
perchè fornisce un criterio generale per stabilire se due insiemi di variabili sono indipendenti
condizionatamente ad un terzo insieme.
Qualora non si faccia nessuna ipotesi circa la distribuzione di probabilità P su X, si può solo
affermare che le tre proprietà di Markov sono legate dalla relazione:
(G) ==? (L) ==? (P). (2.2)
Ne risulta che la proprietà di Markov più forte è quella globale, ovvero che elencando le
indipendenze condizionate da essa implicate, tale lista contiene strettamente le liste associate alle
altre due proprietà (L) e (P).
Matus (1992) ha individuato delle condizioni"grafiche" necessarie e sufficienti affinchè (L) e
(O) e (L) e (P) siano equivalenti.
Indichiamo: con Go la classe di tutti i grafi il cui duale non contiene nessun ciclo di lnghezz-;a
4 senza corda; con G

24
Affinchè nella (2.2) valgano anche le implicazioni inverse è necessario ipotizzare che per tutti
i sottoinsiemi disgiunti A, B, C e D si abbia che se A JL BI(G U D) e A JL GI(B U D) allora
A JL (BUG) ID. Questa condizione, analoga alla (OS) per l'indipendenza condizionata, è verificata
se P ha una densità continua e positiva rispetto ad una misura prodotto /-l.
Inoltre Pearl (1988) propone di usare la proprietà locale di Markov come test per verificare se G
è una I-map di una distribuziohe di probabilità strettamente positiva.
Le proprietà di Markov, pertanto, forniscono una chiave di lettura delle relazioni di
indipendenza (condizionata e non) contenute in un grafo.
Ne discende che un insieme completo D di nodi, inducendo un grafo i cui vertici sono a due a due
adiacenti, non dà alcuna informaziohe circa la struttura di indipendenza delle variabili (Xa,)aED'
Fino ad ora abbiamo illustrato i grafi non orientati e abbiamo visto che consentono una
semplice e diretta lettura delle separazioni tra nodi. Però questi UG non contengono e non danno
per costruzione alcuna informazione circa eventuali relazioni di causalità o implicazione tra le
variabili. In sostanza l'uso delle reti di Markov è proprio dello studio delle strutture associative
di v.a. che possano essere considerate in modo simmetrico.
2.3.2 Grafi Diretti Aciclici
Uno dei maggiori limiti delle reti di Markov è dato dalla loro impossibilità di rappresentare le
dipendenze indotte e non transitive. Ad esempio due variabili potrebbero essere unite da un arco
solo perchè una terza dipende da entrambe; ne segue il rischio di nascondere eventuali indipendenze
(condizionate e non) di interesse.
Andiamo ora ad introdurre i grafi di indipendenza conditionata diretti aciclici o reti bayesiane
o modelli DA G (dove DAG sta per directed acyclic graph) che, mediante l'uso del linguaggio dei
grafi orientati, consentono di distinguere le dipendenze effettive da quelle spurie.
Anche in questo caso ai nodi associamo v.a., mentre ora un arco congiungente due nodi
denota l'esistenza di un'influenza diretta tra le due variabili unite. Per leggere le indipendenze
condizionate rappresentate in un DAG è necessario introdurre una opportuna chiave di lettura: il
concetto di separazione per gmfi orientati aciclici; tale concetto è alquanto complesso e ammette
due formulazioni equivalenti.
Diamo, per primo, il criterio di d-separazione (dove d indica il termine direzione) introdotto
da Pearl nel 1986.

INTRODUZIONE AI MODELLI GRAFICI 25
Sia G D = (V, ED) un grafo diretto aciclico e sia 1r un cammino che connette i nodi a e {3; il
cammino 1r si dice bloccato dal sottoinsieme di vertici Z, con a e {3 ti- Z, se 1) è un cammino
discendente e contiene almeno un nodo I E Z, o 2) ogni nodo di collisione di 1r non è in Z nè ha
un discendente in Z.
Abbiamo, ora, tutti gli strumenti per definire la separazione nel casò dei DAG.
Definizione 2.3 Siano X, Y e Z tre sottoinsiemi disgiunti di nodi di QD; diciamo che X e Y
sono d-separati da Z se tutti i cammini che connettono i vertici in X a quelli in Y sono bloccati
da Z.
In tal caso si scrive X JLD YIZ.
Per completezza di esposizione osserviamo che Cox e Wermuth (1996) definiscono in modo
del tutto equivalente la d-separazione affermando che: X e Y sono d-separati da Z se non esiste
nessun cammino attivo tra X e Y; dove un cammino '7\ si dice attivo relativamente a Z se non è
bloccato da Z.
Prima di dare la versione alternativa ed equivalente del concetto di separazione, vediamo in
che modo questo è collegato allo studio dell'indipendenza condizionata. Diciamo che un DAG
G D è una I-map del modello M se ogni d-separazione in GD corrisponde ad una relazione di
indipendenza condizionata in M, cioè se per ogni terna di insiemi disgiunti X, Y e Z si ha
X JLD YIZ => X JLM YIZ (2.3)
Dopo avere osservato che il concetto di mappa di indipendenza minimale per DAG è del tutto
analogo a quello visto per i grafi indiretti, possiamo caratterizzare una rete bayesiana. Diciamo
che, presa una distribuzione di probabilità P sull'insieme di variabili V, QD è una rete bayesiana
(o grafo di indipendenza condizionata diretto aciclico o modello DAG) di P se e solo se G D è una
I-map minimale di P.
In sostanza il criterio di d-separazione costituisce uno strumento per leggere le indipendenze
condizionate direttamente dal grafo non orientato aciclico. Questo metodo ha il difetto di non
essere troppo semplice da utilizzare soprattutto qualora il grafo in questione sia di notevoli
dimensioni.
Lauritzen, Dawid, Larsen e Leimer (1990) hanno ideato un criterio alternativo dimostrandone,
inoltre, l'equivalenza con quello di Pearl. Essi propongono di leggere le indipendenze non più dal

INTRODUZIONE AI MODELLI GRAFICI
Figura 2.6: Configurazione di Wermuth o sink-V
Dato il grafo GD, la misura di probabilità P su X ::::: Xv obbedisce alla proprietà di Markov
diretta
(DP) a coppie, se per ogni coppia di vertici non adiacenti (a,{3) si ha a JLM {3lnd(a)\{{3}, con
{3 E nd(a);
(DL) locale, se per ogno nodo a E V, si ha che la v.a. associata è indipendente dai suoi nOll­
discendenti condizionatamente ai genitori, cioè a JLM nd(a)lpa(a);
(DG) globale, se per ogni terna di insiemi disgiunti A, B e S, con S separatore di A e B non
vuoti, si ha A JLM BIS.
È immediato notare che se il grafo fosse non orientato si avrebbe de(a) = 0, cioè nd(a) = V\{a}
e pa(a) = ne(a), e quindi (DP) e (P) e (DL) e (L) sarebbero identiche. Anche (DG) verrebbe a
coincidere con (G) perchè un insieme è un separatore in un grafo non orientato se e solo se lo è
in un insieme di componenti catena. Inoltre (DG) continua ad essere la regola più restrittiva per
la lettura delle indipendenze condizionate dal grafo.
A differenza del caso non orientato, ora (DL)' e (DG) coincidono anche senza fare ipotesi sulla
distribuzione di probabilità. Ciò consente, tra l'altro, di costruire una I-map direttamente a
partire dalle dipendenze locali.
Un'ulteriore differenza si ha con riferimento all'unicità della rete bayesiana per P; esiste un modello
DAG per ogni ordinamento w delle variabili (XaJaEV' Si consideri infatti una distribuzione P e
un ordinamento w delle variabili (Xa)aEV, il DAG costruito mediante la relazione P(xilpa(xi)) =
P(XdXI"" ,Xi-l), pa(Xi) ç {Xl, ... ,Xi-l}, è una rete bayesiana di P.
Siccome ogni rete è una mappa di indipendenza della distribuzione sottostante P, benchè la
struttura di un modello DAG dipenda fortemente dall'ordinamento w usato per costruirla, tutte
le indipendenze condizionate contenute nella rete (mediante la d-separazione) sono valide per P
27

INTRODUZIONE AI MODELLI GRAFICI
l» h-terminale (h=head) se (Vj-'l, Vj) = Vj-l -+ Vj
e t-terminale (t=tail) se (Vj-l' Vj) = Vj-l +- Vj
ID e-terminale (e=end) se j =1.
A loro volta le sezioni possono essere classificate in sei gruppi a seconda del tipo di nodi terminali
(ad es. h-h, h-t, h-e,... ).
Il criterio di c-separazione (Bouckaert e Studeny, 1995), diversamente da quello di d­
separazione, opera mediante la verifica non dei singoli nodi di un cammino, ma delle sezioni
di un trai!. Pertanto troviamo più opportuno iniziare conIa definizione di quando una sezione S
è attiva (o non bloccata) rispetto ad un insieme Z.
Sia GO = (V, EO) un grafo a catena; sia Z un sottoinsieme di nodi e Ssia una sezione di un
trail in GO. S è attiva rispetto a Z se: 1) S è h-h e de(S)nZ =/: 0, 2) S non è h-h e Snz = 0,
3) S non è h - h, S n Z =/: 0 e per ogninodo terminale v di S esiste una sUde verso v che non ha
nessun vertice in comune con Z.
Pertanto una rotta R e, analogamente, un trail T si dicono attivi rispetto a Z se lo sono tutte
le loro sezioni. In modo simmetrico, ricordando che ogni trail ammette decomposizione unica in
sezioni, diciamo che un trail T è c-separato da Z se e solo se esiste una sezione di T bloccata da
Z.
Dalla teoria relativa ai grafi a catena sappiamo che, qualora X JLo YIZ sia vero, le due
condizioni seguenti sono equivalenti:
lllI ogni rotta da X a Y è c-separata da Z;
G ogni trail da X a Y è c-separato da Z.
Quindi, tenuto conto del fatto che in un grafo a catena il numero di trail è finito, definiamo la
c-separazione come segue:
Definizione 2.4 Siano X, Y e Z tre sottoinsiemi disgiunti di nodi di GO,. X e Y sono c-sepaT'at'i
da Z se t'utti i trail da X a Y sono c-separati da Z. In tal caso scriviamo X JLo YIZ.
Osserviamo che nello studio dei CG non è più sufficiente controllare se tutti i cammini sono
bloccati da Z, perchè ogni cammino è un trail; comunque il fatto che il numero di trai! in un CG
è finito, consente di affermare che i! criterio è effettivamente utilizzabile.
29

30
Da un punto di vista puramente intuitivo; infine si può notare che se pensiamo una sezione
come un solo nodo, la c-separazione coincide con la d-separazione; in particolare: il punto l)
conduce alla condizione sui nodi di collisione e i loro discendenti; il punto 2) si riduce ad affermare
che il cammino è bloccato se alcuni dei suoi nodi sono in Z, questo perchè in un DAG i trail
coincidono con i cammini visto che ogni freccia si presenta una volta sola; il punto 3) invece non
trova il corrispettivo nella d-separazione.
Notiamo che generalmente questo criterio, a causa della sua complessità, viene preferibilmente
utilizzato per mostrare che un'affermazione di indipendenza condizionata non è valida; infatti,
mentre per dimostrare che due v.a. non sono condizionatamente indipendenti è sufficiente trovare
un trail attivo che le unisce, per verificare la loro indipendenza è necessario far vedere che
tutti i trail sono bloccati, operazione questa anche computazionalmente più impegnativa della
precedente.
Il criterio (Frydenberg, 1990) equivalente a quello soWa esposto, prima di tutto fa restringere lo
studio al sottografo di GD indotto dall'insieme An(X, Y, Z), poi considera il grafo morale associato
e infine verifica se X e Y sono separati da Z in (GAn(XYZ)) m usando il criterio di separazione
per grafi indiretti.
Contrariamente alla c-separazione, l'uso di questo metodo è piii appr()priato qualora si voglia
verificare la validità di un'affermazione di indipendenza condizionata.
La dimostrazione dell'equivalenza dei due metodi è dovuta a Studeny e Bouckaert (1995).
Come esempio consideriamo il grafo 2. 7(a) e verifichiamo, mediante i due criteri, se i vertici l
e 6 sono indipendenti condizionatamente a Zl = (3,5,7) e a Z2 = (2,3,7).
(a) (b)
Figura 2.7: (a) Grafo analizzato; (b) grafo morale di (a)

INTRODUZIONE AI MODELLI GRAFICI 31
Osserviamo che GXn(1,6,3,5,7) e GXn(1,6,Z,3,7) sono identici (si veda la Figura 2.7(b)). Risulta che
ljt 61Z1 perchè esiste i! cammino 1-2-4 -,..6 mentre 1 JL 61Zz.
Per quanto riguarda il criterio della c-separazione, diamo, prima di tutto, un esempio di:
ROTTA: 1 -+ 3-4-5 f- 2 -+ 5-4 -+ 6
TRAIL: 1 -+ 3-4-5 f- 2 -+ 7 f- 4 -+ 6
CAMMINO: 1 -+ 3-4 -+ 6
SEZIONE: 3-4-5.
Consideriamo prima i! caso di Zl, abbiamo che ogni sezione del trai! sopra riportato è attiva
rispetto a Zl; ad esempio la sezione 3-4-5 è h - h e ha i! discendente 7 in Zl e la sezione 2 è
t - t e con itersezione vuota con Zl quindi non è bloccata.
Consideriamo ora Zz; vediamo che tutti i trai! tra 1 e 6 sono bloccati. Questi iniziano con
1 -+ 3 -4 e possono continuare in uno dei tre modi seguenti: A) 4 -+ 7, B) 4 -+ 6 o C) 4 -5.
Nel caso A) la sezione bloccata è 3-4 perchè è h - t e ha intersezione non vuota con Zz. Auche
nel caso B) è sufficiente considerare la sezione 3 -4 per vedere che il trail 110n è attivo. Infine
analizzando C) vediamo che i! trai! corrispondente è bloccato nella sezione 2; questa infatti è t - t
ed è anche contenuta in Zz.
Abbiamo, come del resto ci attendevamo, che il criterio di c-separazione fornisce gli stessi
risultati del criterio basato sul grafo morale.
Possiamo, ora, definire prima i grafi di indipendenza condizionata a catena e poi le relative
proprietà eli Markov.
Un grafo di indipendenza condizionata a catena o modello ca indotto dal grafo GC = (V, EC) è
dato da tutte le terne X JLc YIZ contenute in GC secondo uno qualunque dei criteri di separazione
esposti.
Dato il grafo GC, la misura. di probabilità P su X = Xv soddisfa le proprietà di Markov per
grafi a catena:
(CP) a coppie, se per ogni coppia di vertici non adiacenti (a,(3) si ha a JLM (3lnd(a)\{(3}, con
(3 E nd(a);
(CL) locale, se per ogni nodo a E V si ha a JLM nd(a)lbd(a)j

32
(CG) globale, se per ogni tema (A, B, S) di sottoinsiemi disgiunti di V tale che A JLc BIS si ha
A JLM BIS.
2.3.4 Equivalenza di grafi di indipendenza condizionata
L'ultimo concetto che intendiamo illustrare in questa rassegna sui grafi di indipendenza
condizionata, è quello dell'eq'uivalenza di Nlarkov. Vogliamo, cioè, sapere sotto quali condizioni

INTRODUZIONE AI MODELLI GRAFICI 33
le strutture di indipendenza rappresentate in due grafi distinti (sullo stesso insieme di variabili)
sono identiche.
Prima di tutto vediamo quando due CG'sono Markov-equivalenti (Frydenberg, 1990, Teorema
5.6); le condizioni per gliUG e per i DAG si ricavano come semplici particolarizzazioni.
Sia GG = (V, EG) un grafo a catena e sia GU = (V, EU) il suo grafo indiretto sottostante, dove
EU, costituito da tutti e soli gli archi di EG, è ottenuto sostituendo ogni freccia con una linea.
Teorema 2.2 Due grafi a catena Gf e Gf sono Markov-equivalenti se e solo se
1) hanno lo stesso grafo indiretto sottostante e
2) le configurazioni sink- V e sink- U in Gf e Gf coincidono.
Osserviamo subito che affinchè i due grafi siano equivalenti non è sufficiente che abbiano gli stessi
archi. Si considerino, ad esempio, i tre grafi della Figura 2.8
(a) (b)
Figura 2.8: 'Ire grafi a catena; (a) Gf, (b) Gf e (c) Gf, con (a) e (b) Markov-equivalenti
Questi, pur avendo il medesimo grafo indiretto sottostante, non sono Markov-equivalellti. In
pa.rticolare abbiamo che, mentre Gf e Gf ammettono lo stesso grafo morale (GG)7n, la
moralizzazione di Gf dà luogo ad un grafo diverso da (GG)7n ..
Se confrontiamo (GG)m e (Gf)m, vediamo che mostrano indipendenze condizionate diverse; infatti
Gf e Gf contengono la stessa configurazione sink-U, 3 --+ 4-5 t- 6, mentre in Gf troviamo la
(c)

INTRODUZIONE AI MODELLI GRAFICI
da confrontare.
2.4 Modelli Grafici
Nei paragrafi precedenti sono stati introdotti i concetti di grafo e di indipendenza condizionata;
sono stati inoltre forniti gli strumenti e .le metodologie per la lettura delle indipendellze
condizionate rappresentate in un grafo.. A questo punto, quindi, non resta che definire cosa si
intende per modello grafico.
Definizione 2.5 Sia X = (Xl,'''' X p ) un vettore aleatorio p-dimensionale e sia G = (V, B)
un grafo di indipendenza condizionatal' un modello grafico per X è dato da una famiglia d'i
distribuzioni di probabilità su X I vincolata a verificare le proposizioni di indipendenza condizionata
contenute nel grafo G associato ad X I ed è altrimenti arbitraria.
, . . . .: " .
I modelli grafici· hanno il pregio di essere universalmente applicabili; ciò è dovuto, tra l'altro,
al fatto che fanno uso dei grafi.' Infatti si possono rappresentare le informazioni contenute in un
modello favorendo, cosi, la comunicazione tra statistici e non.
I modelli grafici hanno anche la caratteristica di .modularità che permette di descrivere e trattare
problemi complessi come se fossero il risultato di una combinazione opportuna di sottopl'oblemi
più semplici.
Fondamentalmente però,· il maggior vantaggio deriva dall'impatto visivo dovuto alla
rappresentazione grafica; ciò è determinante anche nella fase di scelta del modello perchè si riduce
il rischio di trascurare importanti indipendenze condizionate.
grafica.
Molto intuitivamente i modelli grafici sono dei modelli statistici che usano una "interfaccia"
2.4.1 Modelli grafici Gaussiani
Nel presente lavoro ci occupiamo esclusivamente di modelli grafici Gaussiani, introdotti da Speed
e Kiiveri (1986); infatti assumiamo che le variabili considerate seguano una distribuzione normale
multivariata.
Ricordiamo molto brevemente che se X = (Xl,"" X p ) è un vettore aleatorio sullo spazio
JR,P con distribuzione normale multivariata di media Il> e matrice di varianze e covarianze :E,
35

INTRODUZIONE AI MODELLI GRAFICI 37
È interessante osservare che il generico elemento (a, f3) della matrice di concentrazione compare
nella parte esponenziale della (2.4) come coefficiente del termine di interazione quadratica X c ':Ef3
che, tra l'altro, costituisce l'ordine più alto di interazione in un modello gaussiano. Quest'ultima
considerazione consente di affermare che lo studio dell'indipendenza condizionata a coppie è il più
"naturale" in questo caso, aprendo così la strada alla definizione del modello grafico Gaussiano o
modello di selezione della covarianza (Dempster, 1972).
Definizione 2.6 Sia G = (V, E) un grafo indiretto e sia X = (Xl, .. , X p ) un vettore aleatorio a
valori in JR'p; il modelo grafico Gaussiano per X è dato da una famiglia di distribuzioni normali
multivariate di probabilità vincolata a verificare la proprietà di Markov a coppie rispetto a G, oss'ia
da ,f3 = O {:} (a, f3) cf:. E e a -# f3.
Osserviamo che la positività e la continuità della densità normale implicano che il modello di
selezione della covarianza obbedisca anche alle proprietà di Markov locale e globale.
Nel prosieguo di questo lavoro considereremo variabili aleatorie centrate rispetto all'origine,
pertanto l'attenzione sarà interamente focalizzata sulla matrice di varianze e covarianze e sulla
sua inversa. Del resto proprio al ruolo centrale della matrice di concentrazione ed alla consguente
facilità con la quale si passa dal grafo di indipendenza condizionata al modello gaussiano per un
insieme di variabili e viceversa, è dovuta la crescente diffusione dei modelli grafici Gaussiani in
statistica.
Per completezza di esposizione osserviamo che la teoria dei modelli grafici si è sviluppata anche
con riferimento al caso di v.a.: 1) discrete con distribuzione multinomiale, dando luogo ai modelli
grafici log-lineari (Darroch, Lauritzen e Speed, 1980); 2) miste, basandosi sulla distribuzione
Gaussiana Condizionata (Lauritzen e Wermuth, 1989).

40
abbiamo il grafo della Figura 3.1.
Figura 3.1: Grafo di un modello di analisi fattoriale con tutti i residui incorrelati
Quando le variabili considerate non sono indipendenti condizionatamente al fattore latente, sono
possibili due tipi di rappresentazione con caratteristiche e proprietà molto diverse.
Consideriamo ancora il modello con quattro variabili osservate e supponiamo che conoscenze a
priori del fenomeno stesso inducano a prendere e 12 e e 14 non nulli. Dalla definizione di modello
grafico Gaussiano sappiamo che il grafo G dei residui è costituito dai due archi 1-2 e 1 --4.
Possiamo raffigurare questo modello mediante il metodo utilizzato da Bollen (1989), si veda
la Figura 3.2, che non fa uso dei grafi in senso proprio ma dei cosiddetti "path diagram".
BI B2
Figura 3.2: "Path diagram" di un modello con un fattore latente e quattro indicatori con
g12 e g14 =1= O
Questa raffigurazione, inventata da S. Wright (1918, 1921) che per primo propose di utilizzare
strutture grafiche per rappresentare modelli statistici, si inserisce nel contesto più generale della

CARATTERIZZAZIONE DEI MODELLI UNI-FATTORIALI IDENTIFICABILI 41
"path anlysis" e consente di rappresentare un sistema di equazioni simultanee. Notiamo che
le variabili osservate sono racchiuse in quadrati mentre le variabili latenti, con l'eccezione dei
termini di disturbo 0, sono contenute in cerchi. Nei path diagram, a differenza dei grafi, le frecce
possono essere sia unidirezionali che bidirezionali; mentre nel primo caso rappresentano ancora
una relazione causale tra le v.a. unite, nel secondo caso indicano un'associazione non analizzata
tra due variabili.
L'altro metodo di raffigurazione del modello (Figura 3.3(a)), che è quello a cui faremo
sempre riferimento in seguito, si basa sui grafi a catena ed è dovuto a Cox e Wermuth (1996).
Questa rappresentazione, a prima vista meno ricca di informazioni della precedente, ha notevoli
potenzialità per quanto riguarda lo studio della struttura associativa delle v.a. associate ai nodi.
Innanzitutto notiamo che le v.a. nel blocco' di sinistra vanno considerate condizionatamente alle
v.a. nel blocco di destra, ossia al fattore latente. Inoltrè il grafo dei residui, fornito nella Figura
3.3(b), è costituito solo da linee ed è, quindi, un grafo di concentrazione (Cox e Wermuth, 1996).
(a)
81 \--------/
Figura 3.3: (a) Grafo di un modello con un fattore latente e quattro variabili osservabili con
e 12 e e 14 =/: O; (b) grafo dei residui del modello rappresentato in (a)
Notiamo che proprio in questo contesto risulta evidente l'origine del termine grafo di
concentrazione; infatti questo rifiette la struttura di zeri della matrice di concentrazione e -1.
Esaminiamo meglio le potenzialità di questo tipo di rappresentazione.
Vediamo che questo ha iI pregio di consentire, a partire dal grafo raffigurante un certo modello
statistico di partenza, di ricavarne un altro relativo:
(b)
82

42
- allo stesso insieme di variabili a cui però, a fini esplorativi e conoscitivi, viene cambiato
ruolo, .
- ad un sottoinsieme di v.a. alla cui struttura associativa si è particolarmente interessati.
È importante sottolineare che tutte queste deduzioni vengono effettuate mediante alcune
operazioni sul grafo di partenza senza, cioè, passare ogni volta a studiare il diverso modello
statistico implicato.
Più specificamente, si consideri una partizione dell'insieme di variabili V, V = (8, C, M) e si
supponga di essere interessati a conoscere in modo dettagliato la struttura associativa delle v.a.
in 8 condizionatamente a C dopo avere margil1alizzato rispetto ad M. Vediamo come ricavare il
grafo di concentrazione G";(C, M) di 8 dato C. Wermuth, Cox e Pearl (1994) hanno mostrato
che il grafo finale non cambia a seconda dell'ordine con cui le operazioni di marginalizzazione e
condizionamento vengono eseguite.
Per semplicità di esposizione trattiamo il caso dei grafi diretti aciclici; se il grafo di partenza
è a catena basta considerare un DAG con la sua stessa struttura di indipendenza. Quando si
marginalizza rispetto ad un generico vertice t si possono presentare tre situazioni:
i) t è un nodo di transizione, ad es. i f-'- t f-'- j, allora è indotto l'arco orientato i f-'- j, cioè la
variabile Yj diventa dil'ettamente, e non più indirettamente, esplicativa per lii
ii) t è un nodo sorgente, i f-'- t -+ j, in questo caso aggiungiamo l'arco non orientato i -j,
cioè li e Yj divengono marginalmente associate in seguito alla marginalizzazione rispetto
alla variabile esplicativa comune;
iii) t è un nodo di collisione, i -+ t f-'- j, e i e j rimangono non adiacenti.
Chiariamo quanto sopra esposto con un esempio molto semplice che sarà utile anche in seguito.
Consideriamo il grafo a catena in 3.4(a) e prendiamo un suo DAG equivalente (in termini di
struttura di indipendenza), ad esempio quello fornito nella Figura 3.4(b).
Sia 8 = {l, 2, 3, 4} l'insieme di v.a. di interesse, M = {6, 7, 8, 9, lO} e C = {5}. Marginalizzando
rispetto ad M, otteniamo la Figura 3.5(a) che è proprio il sottografo indotto da CU8 con l'aggiunta
dei tre archi non orientati (3,4), (2,3) e (1,4); infatti ad esempio, visto che la variabile associata
al nodo 6 è esplicativa comune per le v.a. corrispondenti ai vertici 3 e 4, siamo nel caso ii) e
quindi introduciamo l'arco 3 -4.

CARATTERIZZAZIONE DEI MODELLI UNI-FATTORIALI IDENTIFICABILI 43
(a) (b)
Figura 3.4: (a) Grafo a catena; (b) Grafo diretto aciclico equivalente ad (a)
La seconda operazione da compiere per costruire G"l!(C, M). è ilcondizionamento rispetto ai
nodi in C.
Siano Yi e Yj due v.a. con risposta cC!mune yt, se si condiziona rispetto a quest'ultima allora Yi
e Yj diventano direttamente associate.
In particolare, per quanto riguarda il condizionamento rispetto al generico vertice i, se: i) i
è un nodo di collisione, i -7 i +- j o ii) i è un discendente di un nodo di collisione h,
i -7 h +- j & h -7 ... -7 i, si aggiunge l'arco i -j.
Torniamo all'esempio della Figura 3.4(b) ed effettuiamo l'operazione di condizionamento
rispetto a C = {5} a partire dal grafo 3.5(a); vediamo subito che il vertice 5 è un nodo sorgente
quindi, condizionando rispetto ad esso, non induciamo nessuna relazione tra i nodi in S e abbiamo
il grafo in figura 3.5(b), che indichiamo con Gs(C,M).
A questo punto per ottenere G"l! (C, M) non resta che moralizzare Gs(C, M); IleI nostro
esempio G"l! (C, M) = Gs (C, M) perchè il sottografo indotto da S è indiretto.
Sottolineiamo che il grafo 3.5(b) raffigura solo le relazioni esistenti tra le variabili in S e non dà
quindi alcuna informazione sulla struttura associativa di C US. Ciò viene rappresentato ponendo
l'insieme condizionante in una cornice a margine della figura al fine di distinguerlo dalle variabili

44
(a) (b)
Figura 3.5: (a) Grafo ottenuto dalla Figura 3.4(b) dopo avere marginalizzato rispetto a M =
{6, 7, 8, 9, lO}; (b) Gs(C, M) = GW'(C, M)
effettivamente analizzate.
Un metodo più semplice, ma equivàlente, pér ottenere ilgrafo di concentrazione GW'(C, M)
consiste nel costruire, prima di tutto, il grafo morale del DAG su tutti i nodi in V e poi
nell'aggiungere un arco non orientato tra i e j ogni qualvolta essi siano uniti da un cammino
che passa solo attraverso vertici in M. Infine ci si restringe al sottografo indotto da S. È da
notare che in questo :modo applichiamo direttamente il criterio di separazione per grafi indiretti;
questa, in particolare, costituisce la ragione della maggiore semplicità di questo metodo.
Se confrontiamo le potenzialità della rappresentazione del modello mediante path diagram e
mediante grafo, notiamo che, :mentre la prima ha il vantaggio di raffigurare tutte le relazioni che
assumiamo esistere, ivi incluse quelle con e tra i termini di disturbo, la seconda consente anche
di focalizzare l'attenzione su un particolare sottoinsieme di variabili. Abbiamo visto, infatti, che
esistono regole generali per determinare e quindi studiare là struttura associativa delle variabili
in S condizionatamente a quelle in C, avendo marginalizzato rispetto ad M.
3.2 Una Condizione Necessaria e Sufficiente per l'Identificazione
Come avevamo accennato nel primo capitolo, daremo una soluzione al problema dell'identificazione
del modello con un fattore latente e residui correlati (3.1) attraverso il grafo dei residui

CARATTERIZZAZIONE DEI MODELLI UNI-FATTORIALI IDENTIFICABILI
Sappiamo che la matrice di varianze e covarianze :E può essere decomposta come segue
:E = E(XX T ) = E [(Àç + 8)(Àç + 8)T] = ÀE(e)À T + E(88 T ) =
perchè abbiamo assunto E(ç2) = 1 e E(8ç) = O..
= ÀÀ T + e (3.2)
Inoltre, grazie all'identità per l'inversione di matrici (Rao, 1973), possiamo decomporre :E-l come
segue
dove k = (1 + .,\Te- 1 À)-1, d =e-lÀ, k ?: ae ddT è una matrice di rango unitario.
Il fatto che nella (3.3) compaia la matrice di concentrazione e-l, consente· di operare
direttamente sul grafo G = (V, E) dei residui con V = {l, ... , q} e E = {(i, j): ()ij i= O},
dove ()ij è l'elemento (i,j) di e-l. In sostanza in G è presente un arco tra i e j solo se, in base
alle nostre conoscenze a priori sul fenomeno in esame, possiamo affermare che Oi e Oj non sono
incorrelate coeteris paribus.
In particolare vedremo che la semplice struttura del grafo complementare G dei residui consente
di stabilire se il modello analizzato è identificabile o meno.
Sappiamo che in G = (V, E) sono presenti solamente quegli archi che non compaiono in G, cioè
E = {(i,j): (i,j) (j. E} = {(i,j) : ()ij = a}.
Ricordiamo che per risolvere il problema dell'identificazione dobbiamo individuare le restrizioni da
imporre a e affinchè ogni suo elemento possa essere unicamente espresso in termini degli elementi
di :E.
In modo equivalente, il modello (3.1) è identificato se tutti i ()ij sono unicamente esprimibili
mediante gli elementi di :E-l, cioè se il sistema
a ij = -kdidj (i,j) E E
ammette soluzione unica per dr/k, j = 1, ... ,q.
a ij = ()ij - kdidj (i,j) E E o i = j
Notiamo che il sistema (3.4)-(3.5) è una esplicitazione della (3.3) una volta nota la struttura
di zeri di e-l, In sostanza il punto principale da risolvere consiste nell'individuare quando (3.4)
45
(3.3)
(3.4)
(3.5)

CARATTERIZZAZIONE DEI MODELLI UNI-FATTORIALI IDENTIFICABILI 47
Consideriamo, per esempio, un modello uniwfattoriale i cui termini di disturbo hanno il grafo duale
fornito nella Figura 3.6; il sistema (3.4) fonisce la soluzione:
1
Figura 3.6: II più piccolo grafo duale non connesso dei residui
Da ciò segue che non è necessario che il grafo G sià connesso affinchè il sistema (3.4) sia
risolvibile. In particolare questo è l'esempio più piccolo di modello identificabile con grafo duale
dei residui non connesso.
In modo del tutto analogo notiamo che se G contiene più di un ciclo di lunghezza dispari
come nel caso rappresentato nella Figura 3.7, allora il modello corrispondente è più precisamente
sovraidentificato perchè il sistema (3.4) ha sei equazioni e cinque incognite, cioè siamo in presenza
di un eccesso di informazioni.
2
1
Figura 3.7: Grafo duale connesso con due cicli dispari
4
5
5
6

50
sopra seguita. Così abbiamo mostrato che quando q è dispari la soluzione del sistema è unica
in valore assoluto, ossia a meno del segno.
Riporto ora alcune considerazioni su questo risultato.
1. Abbiamo visto che (J'ij =? O, (i,j) E E; ciò significa che, se le variabili Xi e X j sono assunte
ortogonali condizionatamente al fattore latente, allora devono essere parzialmente correlate
quando tale condizionamento non è considerato. Inoltre per un numero dispari di casi,
questa correlazione parziale deve essere positiva.
2. Qualora nella definizione del problema avessimo imposto opportune condizioni sulla
distribuzione del vettore di indicatori X, non avremmo dovuto fare alcuna precisazione sul
segno delle (J'ij, (i,j) E E, nel corso della dimostrazione del Lemma. Ad esempio avremmo
potuto imporre ad X di avere distribuzione Gaussiana multivariata e di essere totalmente
positiva di ordine 2, MTP2 (Karlin e Rinott, 1983). Ricordiamo che se X '" N(O,::E) allora
X è MTP2 se e solo se E-l è uhà M-matrice, cioè se, oltre ad avere tutti gli elementi al
di fuori della diagonale principale non positivi, tutti gli elementi di E sono non negativi.
Pertanto supporre che X sia MTP2 equivale a dire che tutte le correlazioni parziali e le
covarianze sono non negative e cioè che il rumore indotto dai termini di disturbo non può
essere tanto forte da coprire l'effetto del fattore latente.
Dal momento che abbiamo assunto che E può essere espressa come nella (3.2), le equazioni
del sottosistema (3.4) devono èssere consistenti, qliirtdi sostituendole nella (3.10) troviamo
un'identità. Ne segue che è sufficiente imporre, come abbiamo fatto, la non positività solo
di un numero dispari di (J'ij tali che (i, j) E E e non di tutti gli elementi non diagonali di
:E-l. Pertanto la condizione di totale positività di ordine 2, oltre ad essere esageratamente
restrittiva, non è necessaria.
3. Con questo Lemma abbiamo mostrato la fondatezza della nostra congettura circa
l'importanza dei cicli dispari; è divenuto infatti evidente che effettivamente solo i cicli
dispari consentono di risolvere il sistema (3.4). I cicli pari, qualora vengano considerati
separatamente, cioè hon connessi con cicli dispari, non conducono in nessun caso alla
soluzione del problema.

52
poi i dqg-S+l Vk, . .. ,dqg Vk vengono calcolati applicando in successione
Figura 3.8: Oatena connessa ad un ciclo dispari e trasmissione della soluzione dal ciclo dispari
alla catena
In sostanza la soluzione viene trasferita dal ciclo alla catena, come indicano le frecce nella
Figura 3.8. Oome ultimo consideriamo il caso di OCg formato da due cicli,rispettivamente di
qg - S e s + 2 nodi, con qg dispari e s pari; allora se il g-esimo sistema ha soluzione,ovvero se
la condizione come la (3.9) dovuta al ciclo pari è soddisfatta, tutte le diVk, i = 1, ... ,qg possono
essere identificate seguendo lo stesso metodo illustrato sopra per il caso della (s + 1)-catena.
Le argomentazioni fornite per il g-esimo sistema si applicano anche agli altri l-l, quindi,
sostituendo tutti i diVk, i = 1, ... , q nella (3.5), si ricavano in modo unico gli elementi non
nulli della mtrice :E-l.
Passiamo a dimostrare la necessità.
Lo facciamo per assurdo, ovverosia mostrando che un modello per il quale (almeno) una
componente connessa di O non contiene alcun ciclo dispari, non è identificabile perchè il sistema
(3.4) ha un numero infinito o nullo di soluzioni e quindi non è possibile passare a risolvere il
sistema (3.5).
Oome prima cosa osserviamo che un grafo non contenente alcun ciclo dispari può assumere una
delle seguenti quattro configurazioni: 'i) ciclo pari isolato, ii) catena isolata, iii) nodo isolato iv)
combinazione isolata di catene e cicli di lunghezza pari. Sottolineiamo, per maggiore chiarezza,
che con l'aggettivo isolato intendiamo dire che la configurazione considerata non è connessa con
alcun ciclo dispari.
Analizziamo separatamente queste quattro configurazioni.

OARATTERIZZAZIONE DEI MODELLI UNI-FATTORIALI IDENTIFICABILI
Figura 3.10: Grafo complementare dei residui che denota l'dentificabilità del modello
corrispondente
È ora possibile anche specificare meglio il ruolo esercitato da un ciclo dispari nel'ambito
dell'identificazione; questo, infatti, consente di risolvere il sistema (3.4) non solo quando è preso
singolarmente o con altri cicli dispari, ma anche quando è connesso con cicli pari e/o catene
che, come abbiamo visto, se isolati non conducono alla soluzione unica. Pertanto un m-ciclo,
m dispari, funge in un certo senso da "alimentatore". Oonsideriamo la Figura 3.8; vediamo che
prima si determinano i di\/'f, i = 1, ... ,5, quindi, a partire dal nodo di sovrapposizione con la
catena, 5, si può passare a calcolare prima d6Vk e poi d7Vk.
Oome diretta conseguenza del risultato esposto, si ricava una condizione necessaria e sufficiente
per verificare l'esatta identificazione del modello (3.1). Abbiamo il seguente Oorollario:
Corollario 3.1 Il modello (3.1) è esattamente ident'ificato se e solo se
1) il grafo G è costituito da q archi e
2) ogni componente connessa di G contiene un ciclo dispari.
Osserviamo che imporre lEI = q equivale a dire che q elementi non diagonali della matrice di
concentrazione e-l devono essere nulli, ovverosia che la limitazione (3.6) deve essere verificata
con l'uguaglianza.
Nel punto 2) del Oorollario non è stato necessario specificare che G deve contenere esattamente
un solo ciclo dispari perchè il vincolo sul numero degli archi, da solo, è così forte da non consentire
di avere componenti connesse con più cicli.
12
14
55

Capitolo 4
Due Fòrmulazioni Equivalenti
4,.1 Introduzione
Nel capitolo precedente abbiamo fornito una caratterizzazione della classe dei modelli di analisi
fattoriale con un fattore latente che possono essere identificati.
Il controllo dell'identificabiltà del modello è effettuato mediante il grafo complementare dei residui
i cui archi, come sappiamo, rappresentano l'assenza di relazioni tra le v.a. che uniscono. Dal
momento che G non costituisce, da un punto di vista interpretativo, lo strumento più naturale e
diretto per la lettura della struttura di dipendenza dei residui, abbiamo ritenuto utile cercare di
riformulare il Teorema 3.1 in termini non solo più espliciti e "diretti" ma anche più tradizionali
nell'ambito della statistica multivariata.
Pertanto in questo capitolo daremo due riformulazioni della condizione necessaria e sufficiente:
la prima in termini del grafo complementare direttamente osservato e la seconda basata sulla
matrice di concentrazione e-l delle v.a. 01, ... , Oq.
Innanzitutto notiamo che i grafi duali che inducono a classificare il modello corrispondente
come non identificabile hanno denominazione, proprietà e ruolo particolari nell'ambito della teoria
dei grafi (si veda Gondran, Minoux 1984): essi sono detti bipartiti.
Definizione 4.1 Un grafo G = (V, E), con V = VI U V2 e VI n V2 = 0, si dice bipartito se tutti i
suoi archi hanno un estremo 'in VI e l'altro in V2, cioè E ç {(i, j) : i E VI e j E V2}'
In particolare G è bipartito perfetto se E = {(i,j) : i E VI e j E V2}.
Ad esempio i grafi (a) e (b) nella Figura 4.1 sono rispettivamente bipartito e bipartito perfetto
57

58
con VI = {l, 2} e V2 = {3,4}.
(a) (b)
Figura 4.1: (a) Grafo bipartito; (b) Grafo bipartito perfetto
Una caratterizzazione di questo tipo di grafi, molto utile in questo lavoro, è la seguente: un grafo
è bipartito se e solo se non contiene alcun ciclo dispari.
Tale assenza di cicli dispari deriva dal modo in cui è costruito l'insieme di archi. Consideriamo,
per esempio, E = {(i, j): i E Vl e j E V2}; ogni catena è data da una successione di nodi
distinti aD, al, ... , ah, .. · ,am , (ah,ah+l) E E, dove ad esempio 0121 E Vl, l = O, ... , (m ­
1)/2 (m/2) e a2l-l E V2' l = 1, ... , (m + 1)/2 (m/2) per m dispari (m pari). Sappiamo che
se aD = am , si ha un ciclo; in particolare siamo interessati al caso in cui m è dispari, m = 2k + 1.
Notiamo, però, che per costruzione aD E Vl e a2k+l E V2' allora è impossibile porre aD = a2k+l
senza incorrere in un "conflitto"; inoltre si creerebbe l'arco (aD,a2k+l) che non può appartenere
ad E per ipotesi.
PiiI intuitivamente osserviamo che se (Vl, V2) è una partizione di V, per chiudere un ciclo si deve
prendere un arco che va da Vl a V2, poi uno da V2 a Vl e così via ma per un numero pari di
volte; per ottenere un ciclo dispari è necessario avere almeno un arco con entrambi gli estremi
appartenenti allo stesso sottoinsieme di vertici.
Usando questa caratterizzazione dei grafi bipartiti, possiamo dire che un modello uni-fattoriale è
identificabile se e solo se ogni componente connessa di G non è nè costituita da un nodo solo nè
è bipartita.
4.2 Riformulazione in Termini di G
Cerchiamo, ora, di vedere meglio in che modo utilizzare il concetto di grafo bipartito per ricavare
la prima riformulazione della caratterizzazione.

DUE FORMULAZIONI EQUIVALENTI 59
Consideriamo il Teorema 3.1 e prendiamo un esempio di grafo complementare di un modello
non identificabile. Vediamo che il grafo G nella Figura 4.2(a) è bipartito con VI = {1,2} e
V2 = {3, 4,5, 6} (non perfetto visto che non compare l'arco (2,3)) e connesso.
Costruiamo, ora, il suo duale, G, ossia il grafo dei residui direttamente osservato. Notiamo che
nel grafo 4.2(b) gli insiemi VI e V2 inducono due cliques. Siamo, quindi, in presenza di un grafo
costituito da due cliques opposte connesse dall'arco (2,3).
(a) (b)
Figura 4.2: Grafi (a) G coimesso e (b) G di un modello non identificabile
Generalizzando e formalizzando quanto osservato con questo esempio, abbiamo la seguente
proposizione:
Proposizione 4.1 Si consideri G = (V, E), e (VI, V2) sia una partizione di 11,. si supponga che
VI e V2 inducano rispettivamente le cliques Cl = (VI, El) e C2 = (V2' E2) e che E 2 El U E2,
allora il grafo duale è bipartito.
DIMOSTRAZIONE Consideriamo, per primo, il caso E = El U E2. Ciò equivale a dire che
E = {(i,j): i je E Vh,h = 1,2}. Ne segue che E = {(i,j): i E VI e.i E V2} cioè G è
un grafo bipartito perfetto visto che, per ipotesi, (VI, V2) è una partizione di V.
Se E :J El U E2, allora E C {(i, j) : i E VI e j E V2}, ossia G è bipartito.
Osserviamo che nel caso particolare in cui almeno VI sia costituito da un solo vertice, allora G
non contiene alcun ciclo. Inoltre la regola t non è più solo necessaria, ma anche sufficiente perchè
lEI 2: IE2 1, dove
è di una unità superiore al numero critico dato nella 3.6.

62
con un estremo in Vh e l'altro in Vg, h =F g, = 1, ... , l, ovvero E ::> {(i, j) i E Vh e j E
V\Vh, h.= 1, ... ,l}.
Senza perdere in generalità, possiamo supporre che la componente connessa aVI sia
bipartita; allora VI = VIa U VIb' Via n VIb = 0 e GVIa e GVI b sono cliques distinte connesse
o meno da uno o più archi a seconda che EVI C FVI o EVI = FVI'
La Figura 4.3 fornisce un esempio di quanto illustrato nel punto 2, cioè se G è sconnesso e almeno
una delle sue componenti connesse è bipartita allora G verifica il caso ii) del Teorema 4.1.
Vediamo, ora, per completezza di esposizione, due esempi di grafo dei residui di modelli
identificabili. Facciamo ciò affiancando, come negli esempi precedenti, G e a.
Consideriamo, per primi, i grafi in Figura 4.4 e vediamo che (a) non incontra nessuno dei casi
considerati nel Teorema 4.1; infatti l'insieme {l, 2, 3} non induce una clique visto che manca l'arco
(1,3). Come riscontro possiamo osservare che nel grafo (b) sono presenti ben due cicli di lunghezza
3 (evidenziati con linee più marcate).
2 5
1 6
(a) (b)
Figura 4.4: Grafi (a) G e (b) adi un modello identificabile
Come secondo esempio prendiamo in esame la Figura 4.5.
Nonostante nel grafo (a) il sottografo indotto dall'insieme A = {l, 2, 3, 4} presenti la configurazione
delle due cliques distinte, G non verifica la condizione ii) del Teorema 4.1 perchè non contiene
tutti i possibili archi con un estremo in A e l'altro in V\A; ciò consente di concludere che il
modello corrispondente è identificabile e infatti osserviamo che a contiene numerosi cicli dispari
tra i quali quello evidenziato.
Dagli esempi sia "negativi" sia "positivi" che abbiamo dato risulta abbastanza evidente che
l'uso di questa riformulazione è preferibile qualora si debba mostrare la non identificabilità di un

64
solo, vediamo che, in base al Teorema 4.1, non sono identificabili, tra gli altri, i modelli con G
come in Figura 4.6.
4.3 Riformulazione in Termini di e-l
Fino ad ora abbiamo caratterizzato i modelli uni·fattoriali identificabili mediante i relativi grafi
dei residui o i loro duali. Ci proponiamo, ora, di esprimere i risultati esposti, in termini della
matrice di concentrazione e-l, usando, cioè, un linguaggio più tradizionale nell'ambito della
metodologia statistica.
È necessario ricordare che un passaggio così semplice e diretto dal linguaggio dei grafi a quello
delle matrici è consentito dal fatto che stiamo lavorando sotto l'ipotesi di gaussianità dei residui;
quindi l'assenza di un arco in G equivale ad uno zero nella matrice di concentrazione corrispondente
e viceversa.
Consideriamo, innanzitutto, due esempi di modelli non identificabili e vediamo che forma
assume e -l.
L Per primo esaminiamo il grafo (b) della Figura 4.2 che verifica il punto i) del Teorema 4.1,
e scriviamo la relativa matrice di concentrazione:
0 11 0 12 O O O O
0 12 0 22 0 23 O O O
e- 1 = O 0 23 0 33 0 34 0 35 0 36 (4.1)
O O 0 34 0 44 0 45 0 46
O O 0 35 0 45 0 55 0 56
O O 03G 0 46 0 56 OG6
Notiamo che i due blocchi sulla diagonale principale di e-l sono pieni, cioè non contengono zeri;
questi, in particolare, corrispondono alle matrici di concentrazione dei sottoinsiemi dei residui
(01,62) e (63,64,65,06) e, quindi, alle c1iques in G indotte da V1 = {1,2} e V2 = {3, 4, 5, 6}.
Inoltre gli altri due blocchi (di cui uno è il trasposto dell'altro) hanno un solo elemento nullo
corrispondente all'arco (2,3) che congiunge le due c1iques nel grafo 4.2(b).
Più formalmente, supponiamo che il grafo G = (V, E) dei residui sia del tipo i) visto IleI Teorema

DUE FORMULAZIONI EQUIVALENTI 65
4.1 e che E = El U E2, allora i vertici possono essere ordinati in modo che e-l sia diagonale
a due blocchi completi, doè V = {al,a2, ... ,am ,am +1, ... ,aq}, dove VI = {al, ... ,a m } e
V2 = {am+1, ... , a q } sono gli insiemi che inducono le cliques Cl e C2 in G. Il fatto che in e-l
solo gli elementi (i, j) con i e j E Vh, h = 1,2, siano diversi da zero deriva dall'assunzione che
E = El UE2.
Se, come nell'esempio, E ::J El U E2, il ragionamento è del tutto analogo a quello visto sopra con
la sola differenza che ora i Oij corrispondenti agli archi (i,j), i E VI e j E V2, di G sono non nulli
e quindi la matrice di concentrazione è del tipo
con e ii , i = 1,2, entrambe complete.
II. Passiamo, ora, a considerare il grafo (b) della Figura 4.3 che verifica il punto ii) del Teorema
4.1. La matrice di concentrazione in questione è
0 11 0 12 Il O O O I 0 16 0 17
0 12 0 22 Il O O O I 0 26 0 27
O O Il 0 33 0 34 0 35
O o Il 0 34 0 44 0 45
I 036 037 I 046 047 I 056 057 e-l - (4.2)
O O Il 0 35 0 45 0 55
0 16 0 26 0 36 0 46 0 56 0 66 O
0 17 0 27 0 37 0 47 0 57 o 0 77
Con il tratteggio semplice abbiamo diviso l'intera matrice in quattro blocchi. Notiamo che ora le
sottomatrici piene non sono più quelle sulla diagonale principale; ciò rappresenta il fatto che a,
ovvero il grafo 4.3(a), è costituito dalle due componenti connesse Cl = {I, 2, 3, 4, 5} e C2 = {6, 7}.
Osserviamo, inoltre, che il primo blocco sulla diagonale principale è dato da una matrice diagonale
a blocchi completi (la divisione è rappresentata mediante tratteggio doppio), corrispondenti alle
cliques Cl = {I, 2} e C2 = {3, 4, 5}.
Al fine di formalizzare quanto intuito attraverso quest'esempio, consideriamo un grafo G con

DUE FORMULAZIONI EQUIVALENTI
La relativa matrice di concentrazione è:
eH o e 13 e 14 (j15 0 16 0 17 0 18
o e 22 e 23 e 24 e 25 e 26 e 27 e 28
0 13 e 23 e 33 o o Ie 36 e 37 e 38
e-1 _. e 14 e 24 o e 44 0 45 Ie 46 e 47 e 48
-
e 15 e 25 o e 45 e 55 I0 56 e 57 e 58
e 16 e 26 e 36 e 46 e 56 e 66 o o
0 17 e 27 e 37 047 . 057 o e 77 o
e 18 e 28 e 38 0 48 e 58 o o e 88
Questa: l) presenta due matrici complete, e Cl ,cZ UC 3 e e C2 ,c3, nel triangolo superiore e 2)
il blocco e Cl è diagonale a due blocchi; non occorre pertanto passare a controllare e C2 perchè,
una volta appurato che e-l è del tipo l), si può stabilire la non identificabilità·del modello non
appena si trova un blocco diagonale del tipo 2).
Siamo, a questo punto, in grado di riformulare i Teoremi 3.1 e 4.1 in termini di e-l, che
scriviamo sotto forma di matrice a blocchi, cioè
Q -1 -
CI - (A B) •
BT C
Teorema 4.2 n modello (3.1) non è identificabile se e solo se esiste 'una permutazione della
matrice di concentrazione e-l dei residui tale che o
1) A e C sono complete o
2) B è completa e
A= (AH A12)
A21 A22
con A u e An complete.
Notiamo che questa caratterizzazione, come del resto la precedente, è particolarmente indicata
qualora si debba mostrare che un modello non può essere identificato.
67
(4.3)

DUE FORMULAZIONI EQUIVALENTI 69
Quest'ultimo risultato, che è anche una condizione sufficiente restrittiva per l'identificazione, trova
riscontro in letteratura. Infatti Browne (1980) ha mostrato, attraverso derivazioni matriciali, che
il modello uni-fattoriale è identificabile se la matrice di varianze e covarianze dei residui e è
diagonale a tre o più blocchi. Quanto abbiamo trovato, come caso particolare del Teorema 4.2, è
p'erfettamente equivalente a ciò perchè, per le proprietà della somma diretta, data e-l = EBf,;l Ai,
si ha e = [EBf,;lAir l = EBf,;lA;l e quindi ciò che è valido per e è valido anche per e-l e
viceversa.
4.4 Studio dell'Identificabilità
All'inizio di questo capitolo abbiamo dato la definizione di grafo bipartito che ci ha consentito di
giungere a due formulazioni equivalenti della nostra condizione. Vediamo, ora, che l'uso dei grafi
bipartiti permette anche, grazie alle loro proprietà, di mutuare dalla teoria dei grafi un algoritmo
per stabilire se un dato modello è identificabile o meno.
La procedura in questione appartiene a quel gruppo di algoritmi, detti "di colorazione", che
assegnano ad ogni nodo un colore e vengono perciò impiegati per stabilire il numero cromatico di
un grafo, cioè di quanti colori abbiamo bisogno affinchè vertici adiacenti siano colorati in modo
diverso. In generale è noto dalla teoria che il numero cromatico di un grafo è almeno uguale alla
cardinalità della c1ique maggiore, ovvero al numero di nodi che la formano. Sappiamo che un
grafo bipartito non contiene cicli dispari quindi presenta al massimo c1iques di cardinalità due;
ciò ci consente di affermare, in prima istanza, che occorrono almeno due colori. Dalla teoria, poi,
apprendiamo che un grafo bipartito è bicromatico, cioè sono sufficienti due soli colori (Gondran e
Minoux, 1984).
Ricordiamo che il modello (3.1) è identificabile se e solo se ogni componente connessa di G
non è nè costituita da un nodo singolo nè bipartita.
L'idea, quindi, è di esplorare il grafo duale dei residui dando segno più + o meno - (o colori bianco
e nero) ai suoi vertici in modo che i nodo uniti da un arco abbiano segno (o colore) opposto.
Vediamo, prima di tutto, alcune caratteristiche di questa procedura.
Questa, iniziando da un nodo detto sorgente, analizza prima tutti i vertici ad esso adiacenti (o
vicini di ordine uno) per poi passare ad esaminare i vicini di ordine due, cioè connessi alla sorgente
mediante due archi, e così via; in sostanza la procedura non "scopre" i vicini di ordine k +1 finchè

70
non ha terminato di studiare tutti quelli di ordine k.
piiI precisamente, l'algoritmo che abbiamo delineato è del tipo breadth-first-search, cioè di ricerca
in ampiezza (Cormen, Leiserson e Rivest, 1990), così chiamato proprio perchè espande la frontiera
tra vertici scoperti e da scoprire in modo uniforme.
Consideriamo, per esempio, la Figura 4.8.
+ -
I I
EJ 6 4 -
Figura 4.8: Colorazione di un grafo con cicli dispari fino alla scoperta del primo conflitto, ciclo
indotto da {l, 2, 3, 6, 7}
Dato il generico vertice i, indichiamo con n(i) l'insieme dei vertici ad esso adiacenti; scriviamo,
quindi, la lista dei nodi e dei relativi vicini di ordine uno.
5
+
1: n(i) Queue
1: 27 J 1
2: 135 J 2
3: 2467 J 7
4: 35 3 +- Top
5: 246 5
6: 357 6
7: 136 4 +- Bottom
Un ruolo estremamente importante è esercitato dal vettore coda che, venendo continuamente
aggiornato, ci permette di tenere nota dei nodi sia già esplorati sia da esplorare indicando: con J
i nodi esaminati, con Top il nodo su cui stiamo lavorando, cioè il primo non spuntato, con Bottom
l'ultimo nodo della lista.
Supponiamo di iniziare l'esplorazione del nostro grafo dal vertice 1; in questa fase la lista della
coda contiene solo 1. Per prima cosa marchiamo la sorgente con il segno +, poi inseriamo nella

Capitolo 5
Ultime Osservazioni e Problemi
Aperti
5.1 Modello Uni-fattoriale come Soluzione alla Non
Identificabilità di un Modello a Più Fattori
Nel capitolo introduttivo avevamo accennato al fatto che il ricorso ad un modello uni-fattoriale
con residui correlati può essere utile qualora si abbia un modello a più fattori non identificabile.
In tal caso, marginalizzando rispetto a tutti i fattori eccetto quello generale,se vi figura, cioè
quella variabile latente che spiega tutti gli indicatori, si può verificare se il modello così ottenuto
risponde alla condizione necessaria e sufficiente di identificabilità.
Consideriamo, ad esempio, il seguente modello a due fattori con matrice di varianze e
covarianze dei residui diagonale:
più esplicitamente
Xl À l1 O 01
X2 À21 O
=
( ;: ) +
X3 À31 À 32 03
X4 À41 À42 04
Notiamo che 6 è il fattore generale perchè i relativi coefficienti fattoriali sono non nulli, mentre
6 è il cosiddetto fattore specifico essendo in relazione solamente con gli indicatori X3 e X4. La
75
02
(5.1)

78
lì3
li4
(a) (I»
Figura 5.2: Grafi (a) G e (b) G dei residui del m.odello ridotto
In questo caso, quindi, abbiamo perso l'ortogonalità delle variabili osservate condizionatamente
al fattore latente, che pertanto non è più in grado di spiegàre da solo la loro variabilità, ma abbiamo
guadagnato l'identificabilità, cosa questa molto rilevante perchè consente di proseguire nell'analisi
statistica e di passare alla stima del modello. Ovviamente tutta la variabilità degli indicatori che
6 non riesce a spiegare è contenuta nella matrice di varianze e covarianze dei residui.
Più in generale, per quanto riguarda i modelli bifattoriali con residui non correlati, sempre
Anderson e Rubin (1956) hanno dimostrato il teorema seguente:
Teorema 5.1 Un modello a due fattori latenti è identificabile se e solo se, qualunque riga della
matrice A dei coefficienti fattoriali si cancelli, le rimanenti possono essere ordinate in modo tale
da formare due matrici disgiunte di rango 2.
Ne segue che ogni volta che un fattore è generale e l'altro influenza due sole variabili osservate,
diciamo Xi e X j , i e j = 1, ... , q, i =/= j, il modello non verifica la condizione enunciata sopraj infatti
se eliminiamo l'i-esima riga, ne rimangono q-1 di cui una sola ha entrambi gli elementi non nulli.
Ad esempio se q = 6 e
vediamo che cancellando la prima o la seconda cQlonna si dà luogo, nel migliore dei casi, a due
matrici disgiunte di rango 2 e 1 rispettivamente.
In tutti questi casi basta marginalizzare rispetto al fattore specifico per ottenere un modello
uni-fattoriale con residui correlati identificabile.
Nel caso in cui il numero dei fattori sia più elevato, non si dispone di condizioni necessarie e
sufficienti per studiare la loro identificabilità - neanche quando la matrice e è assunta diagonale;
esistono solamente condizioni o necessarie o sufficienti (cfr. Bollen, 1989). In questa situazione,

OSSERVAZIONI E PROBLEMI APERTI 79
potrebbe essere consigliabile, almeno in via preliminare, ridurre a uni,:,fattoriale il modello
analizzato se questo non verifica una condizione sufficiente, cioè se c'è il dubbio che tale modello
non sia identificabile.
5.2 Considerazioni su Sovraidentificazione e Cicli Dispari
Torniamo, ora, a considerare i grafi bipartiti; più precisamente supponiamo che il grafo G = (V, E)
sia costituito da due cliques distinte, Cl = (Vl,EI) e C2 = (V2,E2) con V = Vl UV2 e E = El UE2.
Dalla Proposizione 4.1 sappiamo che allora (j = (V; E) è bipartito perfetto e quindi non contiene
cicli dispari.
Sappiamo che in questo caso il modello uni-fattoriale corrispondente non è identificabile e quindi
non è possibile stimarlo. L'unico modo per risolvere il problema della non identificabilità del
modello consiste nell'eliminare almeno un arco da G. In sostanza è necessario controllare se,
imponendo l'indipendenza di due indicatori condizionatamente al fattore latente, rimaniamo fedeli
a quelle conoscenze a priori che ci hanno condotto, in prima istanza, a rappresentare il fenomeno
con un modello che sfortunatamente non può essere stimato.
Sottolineiamo che, in questo caso, aggiungendo un arco in G non riusciremmo a rendere il nostro
modello identificabile perchè leveremmo contemporaneamente un arco da (j, non riuscendo così
a creare nessun ciclo dispari e facendo diminuire il numero dei cicli pari.
Vediamo più in dettaglio come si modifica (j quando trasformiamo il modello per fenderlo
identificabile; facciamo ciò contando quanti cicli contiene il grafo duale (j prima e dopo
l'eliminazione da G di un arco.
Come prima cosa osserviamo che se Cl è una clique degenere, ossia IVll = 1, (j può contenere solo
catene.
In generale supponiamo che IVll = h e 1V21 = k con h e k 2: 2, e indichiamo i vertici di Cl e C2
rispettivamente con + e -. È fondamentale ricordare che, per definizione, tutti gli archi di E
hanno un estremo in Vl e l'altro in V2.
Iniziamo con il calcolo del numero dei cicli di lunghezza 4 che costruiamo, senza perdere in
generalità, a partire da un nodo in Vi. Il primo vertice (in Vd può essere scelto in h modi e il
secondo (in V2) in kj per il terzo (in Vi) e il quarto (in V2) la scelta va effettuata tra h-l e k - 1
nodi rispettivamente. Infine il quinto nodo deve coincidere con il primo e quindi abbiamo una

80
sola scelta, Graficamente rappresentiamo ciò come segue:
(+)
hx O
k
(-)
O
h-l
(+)
O
k-l
In totale abbiamo h(h - l)k(k - 1) = N4 cicli pari; tenendo conto, però, del fatto che, dati
quattro vertici (due in VI e due in V2) si possono costruire quattro cicli di lunghezza quattro, il
numero di 4-cicli che còinvolgono insiemi di nodi che differiscono almeno di un elemento è
(-)
O
p. = N4 = h(h - 1) k(k - 1) = (h) (k)
4 4 2 2 22'
Per quanto riguarda i 6-cicli, il ragionamento è del tutto analogo; graficamente si ha
(+)
hx O
k
(-)
O
h-l
(+)
O
k-l h-2
(+)
O
1
k-2
Quindi N6 = h(h - l)(h - 2)k(k - l)(k - 2); poi, dal momento che, dati sei nodi, possiamo
formare 36 cicli, che diciamo"equivalenti" , troviamo
p, = N6 = h(h - l)(h - 2) k(k - l)(k - 2) = (h) (k)
6 36 3! 3! 3 3'
Applicando la procedura sopra delineata al calcolo del numero di cicli pari di lunghezza generica
2i e considerando che con 2i vertici possiamo formare ili! 2i-cicli, abbiamo il risultato seguente
Risultato 5.1 Se G = (V, E) presenta la configurazione delle due cliques distinte, Cl e C2 , con
E = El U E2 e IVII = h e 1V21 = k, h, k 2': 2, allora il numero P di cicli pari non "equivalent'i"
(+)
O
(-)
O
1
(+)
O

OSSERVAZIONI E PROBLEMI APERTI
contenuti in a è:
= min(h,k) (h) (k)
p I: l l'
/=2
Supponiamo,ora, si ritenga di potere rimuovere un arco da G; ciò comporta l'aggiunta del
medesimo arco in a e la conseguente formazione di più di un ciclo dispari sempre in a. Sappiamo
che, affinchè il modello sia identificabile, basta che il grafo duale contenga un ciclo dispari; ciò
vuoI dire che ci troviamo in una situazione di sovraidentificazione del modello.
1
(a) (b)
Figura 5.3: Rimozione di un arco da un grafo (a) con la configurazione delle due cliques distinte
e sue conseguenze nel grafo duale (b)
Per esempio osserviamo la Figura 5.3 in cui h = 3 e k = 2; cancellando da Gl'arco (1,2)
che, quindi, viene inserito nel duale (e lo rappresentiamo con il tratteggio) a, in quest'ultimo si
vengono a formare, tra gli altri, due cicli di lunghezza tre e un 5-ciclo, indotti rispettivamente
dagli insiemi {l, 2, 4}, {l, 2, 5} e {l, 2, 4,3, 5}.
In generale, assumiamo che IVII = h e 1V21 = k, supponiamo di eliminare da Gl'arco (1,2) e
costruiamo i cicli dispari a partire o da loda 2. Allora per formare un ciclo di lunghezza tre
in a possiamo scegliere il primo nodo in due modi, il secondo (in V2) in k modi mentre il terzo
vertice sarà sicuramente 2 perchè ogni ciclo dispari deve contenere l'arco (1,2). Graficamente,
utilizzando la stessa rappresentazione vista prima abbiamo
(1)
2x O
k
(-)
O
Quindi, tenendo conto del fatto che a partire dalla configurazione con IVII = 2 IV21 = 1 un
1
(2)
O
1
(1)
O
81

84
vincolati, quelli cioè che abbiamo dovuto stimare. Più dettagliatamente possiamo scrivere v come
segue:
ovvero come differenza tra il numero di archi presenti nel grafo complementare dei residui e il
numero di archi nel grafo G di un modello esattamente identificato. La quantità v, quindi, può
essere espresso anche come numero di equazioni in eccesso nel sistema 3.4 quando G contiene
più di un ciclo dispari; infatti lEI - q è proprio il numero degli elementi di e-l che non è stato
necessario stimare perchè posti uguali a zero.
Torniamo al Risultato 5.2 e supponiamo di avere un modello che ne verifichi le ipotesi, allora
D-I è anche il numero di gradi di libertà del test di bontà di adattamento di tale modello.
Si consideri, ad esempio, la Figura 5.3.
Il modello a cui è associato il grafo 5.3(a) prima della rimozione dell'arco (1,2), nonostante soddisfi
la condizione necessaria t perchè q(q + 1) /2 = 15 e T = 14, non è, come sappiamo, identificabile.
Cancellando l'arco (1,2), i parametri da stimare diventano tredici e si ottiene l'identificabilità (non
esatta). Andando a misurare l'adattamento globale, vediamo che la statistica test del rapporto
delle verosimiglianze ha distribuzione asintotica X 2 con un numero di gradi di libertà, comunque
lo si calcoli, pari a 2. Infatti, applicando la 5.5,
D=G)G)+G)G)=3
e quindi D-I = 2; inoltre, visto che lEI = 7, si ha lEI - q = 2.
5.3 Identificazione di un Modello di Analisi Fattoriale a Più
Fattori
Fino ad ora abbiamo focalizzato la nostra attenzione sul modello uni-fattoriale; in particolare
abbiamo determinato una condizione necessaria e sufficiente per la sua identificazione.
Rimane, quindi, aperto il problema della individuazione delle caratteristiche che un modello con
piil di una variabile latente deve possedere affinchè sia identificabile.
Da un punto di vista puramente intuitivo, osserviamo che quando, come in questo lavoro, i residui
possono essere correlati, non ha senso prendere in considerazione modelli con un elevato numero
(5.7)

OSSERVAZIONI E PROBLEMI APERTI 85
di fattori; infatti se si includono nell'analisi tante variabili latenti è lecito attendersi che spieghino
completamente la variabilità degli indicatori.
In generale, un modello di analisi fattoriale con p variabili latenti è dato da
dove X e 8 sono i vettori q-dimensionali rispettivamente degli indicatori e dei residui, eè il vettore
p-dimensionale dei fattori latenti e A è la matrice q x p dei coefficienti fattoriali, cioè
Àq1 Àq2 À qp
La classe dei modelli p-fattoriali identificabili è stata caratterizzata solo nel caso p = 2 e e
diagonale da Anderson e Rubin (Teorema 5.1). Per tutte le altre situazioni e sempre sotto il
vincolo di residui incorrelati, in letteratura troviamo condizioni o necessarie o sufficienti.
Assumiamo che la matrice di varianze e covarianze di e, E(ee T ), sia data dalla matrice identità
I p . È importante osservare che il numero delle variabili latenti che possono entrare a far parte di
un modello non è arbitario, ma dipende da quanti indicatori sono considerati nel modello stesso.
Supponiamo, infatti, che e sia diagonale e che tutti gli elementi di A siano diversi tra loro e non
nulli; applichiamo la regola t, cioè in questo caso
e troviamo che
q(q+1) > +
2 -pq q
p::;lq;lJ.
Ne deriva che se q = 3,4 possiamo costruire solamente un modello con un fattore latente.
Ricordiamo che con lxJ, x E IR, si indica la parte intera di x, cioè il più grande numero intero che
non superi x.
Ciò che proponiamo in questo lavoro, è una condizione sufficiente che controlla in tre passi se un
(5.8)

86
modello p-fattoriale è identificabile.
Iniziamo con il considerare il modello a due fattori
con matrice di varianze e covarianze dei residui non diagonale. Per prima cosa controlliamo se
(5.9) verifica la regola t. Proprio applicando questa condizione necessaria, vediamo che e-l può
contenere al massimo
(5.9)
q2 _ 5q
y = (5.10)
2
elementi non diagonali non nulli; ciò in particolare quando si è assunto che tutti Àij, i =
1, ... ,q, j = 1,2, siano diversi da zero.
L'espressione (5.10) ci consente di dedurre che:
@ per q < 5 un modello bifattoriale non è identificabile,
l' per q = 5 il problema dell'identificazione di (5.9) ha senso solo se i residui sono indipendenti
tra loro;
quindi si può considerare un modello con due fattori latenti e e non diagonale solo quando questo
coinvolge almeno sei variabili osservate.
Constatiamo anche che al crescere di p, il numero ammissibile dei Bij i= O, i < j, diminuisce;
ciò è dovuto al fatto che nel problema dell'identificazione, per come viene definito, la quantità di
informazioni, q(q + 1}/2, rimane sempre la stessa qualunque sia il numero delle variabili latenti
considerate e la dimensione campionaria.
Notiamo anche che se la matrice A è tale che Àhl i= Oe Ài2 i= Oper h i= i, allora in e-l è ammesso
un numero maggiore di Bi j , i < j, non nulli, cioè
q2 - 3q
1/max = 2 '
dove 1/max coincide con il numero 1/ della formula (3.6) perchè in questo caso A ha esattamente q
elementi diversi da zero.
Torniamo alla procedura e supponiamo che il modello soddisfi la regola ti trattiamo (5.9) come
se avesse residui indipendenti e controlliamo se verifica la condizione necessaria e sufficiente del

88
tutta o quasi la variabilità delle e tl'ale variabili osservate. Inoltre dalla (5.11) deriva che ha
senso considerare il problema dell'identificazione di un modello p-fattoriale con residui correlati
solo quando il numero degli indicatori è almeno pari a 2(1 + p).

Ap.pendice
In questa sezione riportiamo il programma, scritto in linguaggio C con il dotto Luciano Nieddu, per
l'esplorazione di un grafo al fine di determinare se è bipartito. In particolare il programma, se trova un ciclo
dispari, termina immediatamente e ne segnala la presenza; in caso contrario analizza tutti i vertici del grafo e
conclude dicendo che non ha trovato nessun ciclo di lunghezza dispari, ossia il grafo esplorato è bipartito.
#include
#include
#include
#include
#include
/* commenti */
typedef struct que {
int top;
int bottom;
int queue[lOOO];
} queuedef;
typedef struct elem {
int nodo;
int start;
int color;
} element;
mainO
{
int i,k,j,vic,f1ag=O,s;
int boole=+1;
int ladj;
int tem,tem2;
queuedef queue;
element head[lOOO];
int adj[lOOO];
char adiac[30],headf[30];
FILE *fadj, *fhead;
89

90
printf("Immettere nome del file contenente le adiacenze ");
scanf("%s",adiac);
printf("Immettere nome del file contenente i puntatori di inizio ");
scanf("%s",headf);
if((fadj=fopen(adiac,"r"))==NULL)
(
printf("Non posso aprire il file %s",adiac);
exit(-l);
}
if((fhead=fopen(headf,"r"))==NULL)
(
printf("Non posso aprire il file %s",hcadf);
exit(-l);
}
i=l;
while«fscanf(fadj,"%d",&tem)) I=EOF)
{
adj[i++]=tem;
}
ladj=i-l;
i=l;
while«fscanf(fhead,"%d %d",&tem,&tem2))!=EOF)
(
head[i].nodo=tem;
head[i].start=tem2;
head[i].color=O;
i++;
head[i].nodo=i;
head[i].start=ladj+1;
fc1ose(fhead);
fc1ose(fadj);
boole=+l;
queue.top=l;
queue.bottom=1;
queue.queue[queue.bottom]=1;
head[ l].color=boole;
queue.bottom++;
do
(
i=queue.queue[queue.top];
boole=head[i].color;
printf("Sto analizzando il nodo %d il cui segno e' %+d\n",i,boole);
j=O;
flag=O;

while ((j

Bibliografia
ANDERSON, T. W. (1984). An introduction to multivariate statistica! analysis. New YorIe Wiley.
ANDERSON, T. W. E RUBIN, H. (1956). Statistical inference in factor analysis. Proc. Third Berkley
Symp. Math. Statist. Probab. 5, pp.11l-150, Univo California Press, Berkley.
BOLLEN, K. A. (1989). Structural equations with latent variables. New York: Wiley.
BOUCKAERT, R. R. E STUDENY, M. (1995). Chain graphs: semantics and expressiveness. Synbolic and
qualitative approaches to reasoning and uncertainty. (ed. C. Froidèveaux e J. Kohlas), pp. 69-76.
BROWNE, M. W. (1980). Factor analysis of multiple batteries by maximum likelihood. British J. oJ
Math. and Statist. Psychology 33, pp. 184-199.
CORMEN, T. H., LEISERSON, C. E. AND RIVEST, R. L. (1990). Introduction to algorithms.
Cambridge, MA: MIT Presso
Cox, D. R. E WERMUTH, N (1993). Linear dependencies represented by chain graphs (with discussion).
Statistical Science 8, pp. 204-218; 247-277.
Cox, D. R. E WERMUTH, N. (1996). Multivariate dependencies: models, analysis and interpretation.
London: Chapman & Hall.
DARROCH, J. N., LAURITZEN, S. L. E SPEED, T. P. (1980). Markov field and log-linear interaction
models for contingency tables. Ann. Statist. 8, pp. 522-539.
DAWID, A. P. (1979). Conditional independence in statistical theory (with discussion). J. Roy. Statist.
Soc., B, 41, 1, pp. 1-31.
DAWID, A. P. (1980). Conditional independence for statistical operations. Ann. Statist. 28, pp.
598-617.
DEMPSTER, A. P. (1972). Covariance selection. Biometrics 28, pp. 157-175.
FRYDENBERG, M. (1990). The chain graph Markov property. Scand. Journal. oJ Statist. 17, pp.
333-353.
GONDRAN, M. E MINOUX, M. (1984). Graphs and algorithms. Chichester: Wiley.
93

94
JONA LASINrO, G. E VroARD, P. (1996). Graphical Gaussian Models and Regression. In Matrices and
Gmphs: Theory and Applications. A cura di Camiz, S. e Stefani, S., World Scientific Publishing (in
corso di stampa).
KARLIN, S. E RINOTT, Y. (1983). M-Matrices as covariancematrices of multinormal distributions.
Linear Algebra and its Applications 52/53, pp.419-438.
.LAURITZEN, S. L. (1996). Graphical rnodels. Oxford: Oxford University Presso
LAUIlITZEN, S. L., DAWID, A. P., LARSEN, B. N. E LEIMER, H. G. (1990). Indirected properties of
directed Markov fields. networks 20, pp. 491-505.
LAURITZEN, S. L. E WERMUTH, N. (1989). Graphical models for associations between variables some
of which are qualitative and some quantitative. Ann. Statist. 17, pp.31-57.
LAWLEY, D. N. E MAXWELL, A. E. (1971). Factor Analysis as a statistical method. London:
Butterworth.
MATUS, F. (1992). On equivalence of Markov properties over undirected graphs. Journ. oj Appl. Probo
29, pp. 745-749.
PEARL, J. (1988). Probabilistic reasoning in intelligent systems. San Mateo: Morgan Kaufmann.
PEARL, J. E PAZ, A. (1987). Graphoids: a graph based logic for reasoning about relevancy relations.
Advances in Artificial Intelligence- II (ed. B. D. Boulay, D. Hogg e L. Steel), pp. 357-363.
Amsterdam: North Holland.
PEARL, J. E VERMA, T. (1987). The logic ofrepresenting dependencies by directed graphs. Proceedings
of the 6th conference of American Association of Artificial Intelligence, pp. 374-379. American
Association of Artificial Intelligence.
RAO, C. R. (1973). Linear statistical inference and its applications, 2nd ed. New York: Wiley.
SEARLE, S. R. (1982). Matrix algebra for statistics. New York: Wiley.
SPEED, T. P. E KrrVERI, H. (1986). Gaussian Markov distributions over finite graphs. Ann. Statist.
14, 1, pp.138-150.
STANGHELLINI, E. (1997). Identification of a single-factor model using graphical gaussian rules.
Biometrika, in corso di stampa.
STUDENY, M. (1992). Conditional independence relations have no finite complete characterization.
Transactions oj the 11th Prague conjerence on injormation theory, statistical decision junctions and
random processes, pp. 377-396. Prague: Academia.
STUDENY, M. (1996). FormaI properties of conditional independence. Appunti della lezione tenuta al
Corso"Learning in Graphical Models", Erice.

STUDENY, M. (1996). Chain graph models. Appunti della lezione tenuta al Corso "Learning in
Graphical Models", Erice.
VICARD, P. (1994). Modelli grafici Gaussiani: la procedura di adattamento proporzionale iterativo.
Quaderno E9, Dipartimento di Statistica, Probabilità e Statistiche Applicate, Università degli Studi
di Roma "La Sapienza" .
VICARD, P. (1996). On the identification or a single-factor model with correlated residuals. Sottoposto.
\VERMUTH, N. (1976). Analogies between multiplicative models in contingency tables and covariance
selection. Biometrics 32, pp.95-108.
WERMUTII, N., Cox, D. R. E PEARL, J. (1994). Explanations for multivariate structures derived
from univariate recursive regressions. Sottoposto.
WlIITTAI