Elementi di meccanica dei materiali e metallurgia - Matematicamente.it

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“Elementi di meccanica dei materiali e metallurgia” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Le tra radici σ I , σ II e σ III della equazione caratteristica dello stato di sforzo, sono indipendenti dal riferimento adottato e sono peraltro completamente determinate quando si conoscono i tre coefficienti; anche questi sono dunque indipendenti dal riferimento. Prendono il nome di invarianti fondamentali dello stato di sforzo. Ponendo ciascun autovalore σ I , σ II e σ III nel sistema lineare omogeneo, si ottiene ogni volta una autosoluzione per quel sistema: i tre autovettori nI , II e così ottenuti, definiscono le tre direzioni principali in P , ovvero le tre faccette principali del fascio in P sulle quali lo sforzo tangenziale n nIII τ è nullo (fig. 2.14). Figura 2.14 La matrice del tensore degli sforzi si riduce alla forma diagonale: ⎡σ I ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣ 0 0 σ II 0 0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ σ ⎥ III ⎦ 21
“Elementi di meccanica dei materiali e metallurgia” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com PARTE III: criteri di snervamento Criterio del massimo sforzo di taglio (criterio di Tresca) Il criterio di Tresca (Henri Edouard Tresca 1814-1885) si basa sull’osservazione in cui lo snervamento dei materiali duttili è provocato da slittamenti del materiale lungo superfici oblique (scorrimento plastico) ed è dovuto principalmente a sforzi tangenziali. Per cui, secondo questo criterio, un dato elemento strutturale è sicuro fino a che il massimo valore τ dello sforzo tangenziale, in quel componente, rimane minore del corrispondente valore max dello sforzo tangenziale in un provino dello stesso materiale, sottoposto a trazione, quando il provino stesso comincia a snervarsi. Ricordando che il massimo valore dello sforzo tangenziale sotto carico assiale centrato è pari alla metà del valore del corrispondente sforzo assiale normale, si conclude che il massimo sforzo tangenziale in un provino sottoposto a trazione vale: 1 τ max = ⋅ σ Y 2 quando il provino comincia a snervarsi. Per uno stato di sforzo piano, il massimo valore τ max dello sforzo tangenziale, con σ max = σ1 e σ min = σ 2 , è pari a: 1 τmax = ⋅ σmax 2 se gli sforzi principali sono entrambi positivi o entrambi negativi, mentre, assume il valore: 1 τmax = ⋅( σmax − σmin ) = Kost 2 se lo sforzo massimo è positivo e quello minimo è negativo. Così, se gli sforzi principali σ 1 e σ 2 hanno lo stesso segno, il criterio del massimo sforzo tangenziale porta a: σ1 < σY e σ 2 < σY Se gli sforzi principali σ 1 e σ 2 hanno segno opposto, il criterio del massimo sforzo tangenziale richiede σ1− σ2 < σY Le relazioni ottenute sono rappresentate graficamente in figura 3.1. Ogni stato di sforzo assegnato è rappresentato in tale figura da un punto di coordinate σ 1 e σ 2 , dove σ 1 e σ 2 sono i due sforzi principali. Se questo punto cade all’interno dell’area mostrata, il componente strutturale è sicuro. Se cade al di fuori di quest’area, il componente cederà per snervamento del materiale. L’esagono associato all’inizio dello snervamento nel materiale è noto come esagono di Tresca, la cui area è uguale a: 2 Λ = 3⋅ σ T Y Figura 3.1 22
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