Curricolo di Matematica _AA.VV._ - sito in costruzione - Cidi

Dal dossier di “Insegnare” (2008)
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L’oca logica 1
Paola Concetta Mei
Lo scopo del presente lavoro è far sperimentare ai bambini in modo giocoso i concetti di vero e
falso riferiti a proprietà di oggetti o immagini. L’attività è stata portata avanti a livelli diversi di
difficoltà con i bambini di 3 anni, della scuola dell’infanzia di San Niccolò, Agliana, con i quali è
stato prodotto il gioco “IL DADO LOGICO”, e con i bambini di 5 anni, della scuola dell’infanzia
“Fucini” di Pistoia, con i quali è stata realizzata “L’OCA LOGICA”.
Il contesto motivazionale è lo stesso. E’ stata proposto ai bambini di cantare la “Canzone bugiarda”.
I bambini si divertono molto a cantare questa “strana“ canzone, ridono ad ascoltarne le parole. E’
lo spunto giocoso e condiviso per un laboratorio di logica.
I bambini di 5 anni ne afferrano immediatamente il “non sense”, tanto da voler costruire loro una
canzone simile. E’ il punto di partenza per sollecitare nei bambini l’osservazione, la riflessione,
avviarli alla discussione e quindi al senso critico.
Il dado logico
Organizzazione del lavoro
Viene proposta la canzone bugiarda e successivamente una conversazione su di essa per chiarire
meglio i significati delle espressioni, individuare quelle che possiamo dire vere e quelle che invece
sono false e raccogliere le osservazioni dei bambini.
Riuniti in grande gruppo i bambini discutono per scegliere i simboli, i disegni che rappresentano
VERO e FALSO, che andranno riprodotti sul dado.
Scelgono anche i disegni che saranno riprodotti su un secondo dado e sui quali i bambini dovranno
formulare frasi vere o false a seconda del comando impartito dal primo dado.
I dadi sono stati realizzati a cura dell’insegnante.
Per un periodo limitato di tempo, finché rimane vivo l’interesse, i bambini si ritrovano, nell’angolo
predisposto nella classe, e giocano con i due dadi: prima tirano il dado delle figure, poi il dado dei
comandi VERO e FALSO, quindi dicono una frase vera o falsa relativa alla figura.
Documentazione del lavoro
LA CANZONE BUGIARDA
Io vi racconterò (2 volte)
La canzone più bugiarda, lariccuccù gna gna gna gna qua qua qua qua
Andai sotto un pero (2 volte)
Mi venne giù una zucca, lariccuccù…
Andavo in bicicletta (2 volte)
Per attraversare il mare, lariccuccù…
Trovai una bulletta “ZZZ” (2 volte)
Mi toccò atterrare, lariccuccù…
Il cane ha fatto le uova (2 volte)
Sulla cima di un gran monte, lariccuccù…
Suonate campane di burro (2 volte)
Con la fune di salsicciotti, lariccuccù…
La canzone è finita (2 vole)
Se volete ve la ri-racconto, lariccuccù
1 L’intero percorso si trova in Scuolinfanzia n. 9, dicembre 2005

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Osservazione dell’insegnante
Per i bambini di 3 anni la scelta dell’immagine-simbolo di vero e falso non è stata banale. I simboli
alla fine sono stati proposti dall’insegnante che ha recuperato osservazioni emerse durante la
discussione sulla canzone bugiarda. L’insegnante deve spiegare dettagliatamente i simboli proposti:
Pinocchio, bocca, poiché solo alcuni bambini conoscono il significato del naso lungo di Pinocchio e
la sua storia. Non è immediata la relazione immagine/simbolo.
L’insegnante presenta i disegni, riferiti alla canzone: un albero con le pere e sotto la zucca, un cane
con le uova accanto. Alla domanda se sono vere o false queste situazioni, alcuni rispondono che
sono vere, infatti i bambini di tre anni, in genere, rimangono legati a ciò che vedono, in questo caso
all’immagine proposta dove effettivamente si vede la zucca sotto il pero e un cane con le uova
accanto.
Per costruire il secondo dado con le figure, l’insegnante propone le immagini degli animaletti che
identificano i bambini nella sezione, per distaccarsi dalla canzone e creare per loro una situazione
più familiare.
Poiché occorre scegliere gli animaletti che devono essere inseriti nel dado, l’insegnante chiede ai
bambini di dare una preferenza all’animaletto che vorrebbero nel gioco, ma si accorge che ogni
bambino dà la preferenza all’animaletto scelto all’inizio dell’anno e che lo identifica, per cui decide
di selezionare lei stessa gli animaletti più adatti, inserendo tuttavia un elemento di novità: il fiore.
Infine, al momento del gioco, i bambini di 3 anni sono entusiasti di poter finalmente toccare e tirare
i dadi, nessuno si rifiuta di farlo.
Tuttavia, nel momento in cui i bambini devono esprimersi, alcuni si rifiutano.
L’oca logica
Obiettivi
- Familiarizzare con il significato dei termini “vero” “falso”
- Familiarizzare con l’uso dei connettivi: non, e, o.
- Favorire l’apprendimento di concetti matematici attraverso un’attività piacevole e gradita
Organizzazione del lavoro
Proposta di giochi e attività di tipo logico-matematico
- Il postino
- La battaglia dei bottoni
- La scatola dei numeri
- La linea dei numeri
Elaborazione di una nuova “Canzone bugiarda”
Proposta di costruzione dell’OCA LOGICA
Riuniti in grande gruppo i bambini discutono per scegliere i simboli, i disegni che rappresentano
VERO e FALSO, che andranno riprodotti sul dado.
I bambini scelgono gli animaletti che devono comparire nell’Oca-logica e li posizionano sul
cartellone secondo l’ordine che va dall’animale più lento all’animale più veloce, cioè che alla fine
“può arrivare prima al traguardo”.
Realizzazione del tabellone del gioco dell’oca da parte dell’insegnante
I bambini giocano al gioco dell’oca- logica con due dadi: quello classico che serve per avanzare e il
dado dei comandi con i simboli di VERO e FALSO. Giocano in più di uno e utilizzano i
segnaposto.
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IL NUMERO IN PRIMA ELEMENTARE 2
Ivan Casaglia, Giulietta Cioncolini, Monica Falleri,
Antonella Martinucci, Rossana Nencini, Sandra Taccetti
2 Il percorso è documentato in: M. Piscitelli, I. Casaglia, B. Piochi, Proposte per il curricolo verticale. Progettare
percorsi in … Lingua italiana e Matematica, Tecnodid, Napoli, 2007.
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Il percorso didattico che presentiamo è destinato alla prima classe della scuola elementare e
abbraccia le attività intorno al numero che si svolgono in tutto l’arco dell’anno. Si tratta dunque di
un percorso lungo e impegnativo, che si propone di porre le basi di conoscenze e competenze che
rivestono un ruolo centrale non solo nei percorsi educativi della matematica e delle scienze, ma più
in generale nella formazione della cittadinanza. Negli ultimi decenni la didattica del numero ha
rappresentato il terreno di convergenza di riflessioni prodotte, in ambito matematico, dalle ricerche
sui fondamenti dell’aritmetica e sulla individuazione di uno statuto per i numeri, in ambito psicopedagogico,
dagli studi sull’apprendimento che hanno spesso trovato nei numeri un oggetto
privilegiato di osservazione. La scuola ha utilizzato molte delle indicazioni emerse da questo campo
di ricerche, e dai numerosi e importanti progetti sull’insegnamento della matematica che quelle
ricerche hanno prodotto, talvolta cogliendone l’autentico significato innovativo, talaltra, come
spesso accade, ereditando metodi e strumenti di quelle proposte innovative, ma inserendoli in un
insegnamento di tipo tradizionale.
Guardando alle proposte sull’insegnamento aritmetico che sono più diffuse nella scuola, a partire
da quelle suggerite dall’editoria scolastica di maggiore diffusione, ci sembra che si possano
individuare, in modo schematico, i seguenti limiti :
1) molto spesso le attività didattiche sul numero, dopo i primi passi, sono svolte in ambiti poco
significativi per i bambini, con un taglio definitorio e normativo;
2) non c’è continuità nel passaggio dalla manipolazione e dalle attività concrete al livello
formalizzato, di modo che l’insegnamento matematico si identifica subito come una imposizione
di astrazione piuttosto che come una educazione all’astrazione;
3) le attività didattiche si concentrano su un repertorio limitato di contesti, privilegiando in modo
quasi esclusivo l’aspetto della cardinalità;
4) alcune delle proposte di percorsi educativi che invece tengono conto della complessità
concettuale del numero, sono però caratterizzati, talvolta in modo dichiarato, da una
impostazione eclettica, nella quale le diverse tipologie di attività, legate ai diversi aspetti del
numero, si affiancano senza una chiara identificazione di un percorso di costruzione progressiva
dei concetti.
Nel pensare questo percorso siamo partiti dalla convinzione che la ricchezza del concetto di numero
debba essere impiegata fino in fondo nell’insegnamento, e in particolare che le attività sull’aspetto
cardinale non possano assorbire tutto il lavoro didattico su questo argomento. Non è in discussione
l’importanza della cardinalità, perché è evidente che una piena consapevolezza concettuale sui
numeri si raggiunge con la padronanza di questo aspetto. Ciò che appare poco convincente è che si
trascurino altri importanti significati del numero, con i quali il bambino ha familiarità (anche se non
ne ha ancora consapevolezza), che questi diversi aspetti non vengano coordinati tra loro, e infine
che la cardinalità venga proposta come il punto di partenza, non come una conquista, peraltro
faticosa e difficile, di un processo.
Gli aspetti che concorrono alla costruzione del concetto di numero, almeno nella fase iniziale 3 , sono
identificabili oltre che nella cardinalità, nella ordinalità e nella ricorsività. Che i numeri abbiano un
aspetto ordinale e un aspetto cardinale, è generalmente riconosciuto, anche per l’uso che si fa di
questi termini per distinguere gli aggettivi numerali. Si utilizzano i numeri per ordinare gli oggetti
di un insieme così come per contarli. Di più: quando noi contiamo direttamente un insieme di
oggetti non possiamo fare a meno di ordinarli, e il numero che ci è servito per etichettare l’ultimo
elemento della sequenza ordinata di oggetti rappresenta la quantità degli oggetti stessi, cioè la
cardinalità dell’insieme. Molti autori hanno sottolineato che il concetto di numero naturale trova
una sintesi in questa corrispondenza 4 . Ma i diversi tentativi di dare uno statuto ai numeri naturali,
3 Solo più tardi si potrà guardare anche al numero come misura e al numero come codice.
4 Fra questi, in ambito matematico, Federigo Enriques, Questioni riguardanti le matematiche elementari, parte prima,
p.238-252.
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condotti tra ottocento e novecento, hanno consentito di acquisire consapevolezza di un ulteriore
aspetto che si è rivelato centrale, non solo in matematica, ma anche nella moderna scienza dei
calcolatori: l’aspetto ricorsivo. In sostanza, per poter costruire il sistema dei numeri naturali si ha
bisogno di un punto di partenza, lo zero, e di un procedimento, che può essere ripetuto
indefinitamente, il passaggio al successivo, che deve soddisfare alcune regole 5 . Lo schema della
ricorsività può essere facilmente rappresentato, nell’ambito dell’informatica teorica, come una
procedura iterativa, nella quale si ripete una istruzione, o una sequenza di istruzioni, e si dispone di
una variabile (contatore) che inizialmente ha il valore zero e che dopo lo svolgimento di ogni ciclo
della procedura, viene incrementato di una unità.
Se insistiamo sui diversi significati del numero non è tanto per la loro importanza epistemologica,
quanto per le loro ricadute didattiche. Il bambino familiarizza molto presto con l’elemento ordinale
(ordinare è una pratica già presente nel gioco, ed è utilizzata in molti percorsi educativi della scuola
dell’infanzia), e con quello ricorsivo (in tutti quei giochi e quelle attività che prevedano la
ripetizione di un singolo atto motorio), in modo indipendente e parallelo all’incontro con i numeri.
Questi due aspetti costituiscono dunque una via d’accesso privilegiata alla costruzione del concetto
di numero, che ci sembra possa essere utilmente percorsa 6 .
Per realizzare un percorso di introduzione ai numeri naturali non è però sufficiente riconoscere la
ricchezza e la complessità del concetto di numero, e proporre attività che ne esplorino i diversi
significati. Occorre coordinare i diversi aspetti tra di loro, individuando come e quando
intervengono nel processo di costruzione dei concetti, e organizzare un itinerario coerente con
l’evoluzione di questi significati, facendo emergere, attraverso esperienze graduali, il loro reciproco
legame. La struttura che abbiamo dato a questo percorso risponde quindi all’esigenza di individuare
una direzione per costruire le conoscenze e le competenze in ambito numerico. Ciò non significa
che il percorso debba essere interpretato in modo lineare, come sequenza ordinata. Il passaggio da
una tappa ad un’altra non significa infatti l’abbandono delle attività proposte nei segmenti
precedenti, che al contrario possono e devono essere riproposte in parallelo alle esperienze che
fanno progredire il processo di apprendimento. Purché sia chiara l’evoluzione dei concetti,
l’approfondimento e l’ampliamento dei punti di vista, insomma il fatto che ritornare su certe attività
debba sempre essere accompagnato da una crescita del livello di consapevolezza.
In ciascuna tappa del percorso abbiamo cercato di proporre quelle esperienze che in contesti
significativi per i bambini, consentissero una costruzione consapevole delle conoscenze, cercando
di colmare quel divario che ci sembra molto spesso di riscontare nella didattica del numero, tra
l’agire nel concreto e la successiva rivelazione delle definizioni e delle regole. La collocazione di
questo percorso al primo anno della scuola elementare richiede però qualche osservazione specifica.
Nei segmenti iniziali del percorso i bambini non hanno ancora acquisito quelle competenze nella
scrittura che consentano di fare ricorso in modo sistematico alla verbalizzazione individuale.
Occorre allora una maggiore attenzione nel procedere, prevedendo, se possibile, dei momenti di
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Nella assiomatica proposta da Giuseppe Peano, la costruzione dei numeri naturali si basa sulle seguenti cinque
proposizioni fondamentali:
1) zero è un numero;
2) il successivo di un numero è ancora un numero;
3) due numeri seguiti da due numeri uguali, sono uguali;
4) il successivo di un numero non è mai uguale a zero;
5) se zero gode di una certa proprietà, e se ogni volta che un numero gode di quella proprietà lo stesso accade anche
per il successivo, allora ogni numero gode di quella proprietà (principio di induzione matematica).
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In una prospettiva più generale, l’aspetto ricorsivo offre una ulteriore opportunità: quella di incontrare per la prima
volta l’infinito. Se infatti le attività di ordinare e di contare si rivolgono sempre, nelle esperienze concrete, ad insiemi
finiti di oggetti, la regola di ricorrenza non ha limiti nel produrre “nuovi” numeri. Anche nella semplice recitazione
della sequenza dei nomi dei numeri si avverte che il passaggio al successivo può essere ripetuto senza un termine
prefissato
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intervento individuale che permettano di comprendere ciò che il bambino pensa e di stimolare la sua
riflessione intorno alle esperienze che gli abbiamo proposto. In secondo luogo occorre una
maggiore attenzione per gli aspetti del linguaggio e della simbolizzazione. Da questo punto di vista
è importante che l’acquisizione dei termini e dei simboli dell’aritmetica, sia maturato in modo
progressivo dai bambini, anche attraverso l’utilizzo di rappresentazioni e di vocaboli che forniscano
un ponte tra il loro linguaggio e quello della matematica. A questo proposito merita una
precisazione sull’uso delle rappresentazione dei numeri con le cifre che facciamo nel percorso.
Quando i bambini fanno il loro ingresso nella prima elementare, essi hanno già acquisito una certa
familiarità con le cifre e una certa competenza nell’associare le cifre ai nomi dei numeri. Siamo in
generale convinti che i percorsi didattici debbano partire dalle concezioni e dalle conoscenze più o
meno spontanee dei bambini, anche per poterle correggere e completare. La conoscenza delle cifre
da parte dei bambini non deve essere negata, anzi siamo convinti che essa vada, fin dall’inizio
potenziata e allargata, sia attraverso la recitazione della sequenza dei nomi dei numeri e il suo
prolungamento, sia attraverso la contestuale proposta dei simboli dei numeri. Dobbiamo però
riconoscere che quella rappresentazione simbolica è molto lontana da ciò che essa indica. Affinché
le operazioni sui numeri non si riducano, anche solo per una parte dei bambini, ad un puro gioco di
segni, privo di significato, proponiamo quindi di utilizzare una rappresentazione simbolica che
affianchi temporaneamente quella con le cifre e che consenta un controllo, anche di tipo percettivo,
sullo svolgimento delle operazioni. Il lavoro sul significato posizionale delle cifre che consente di
acquisire la consapevolezza della rappresentazione simbolica che utilizziamo per i numeri,
interviene dopo, per essere approfondito e ampliato negli anni successivi.
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IL TIRO AL BERSAGLIO 7
Cristina Fattori
Lo scopo del presente lavoro è far apprezzare ai bambini situazioni di incertezza, aiutarli a viverle
senza ansia, abituarli a cercare nella casualità dei dati, elementi costanti, eventi che si ripetono,
cercare quindi nel caos apparente una regola.
Tutto questo per bambini di seconda classe della scuola primaria può essere proposto sotto forma di
gioco. Il gioco va giocato secondo regole definite, queste regole possono essere cambiate una alla
volta e ogni volta registrare i risultati. Importante è il momento della riflessione sui risultati, la
discussione che si crea fra i bambini e i discorsi che emergono. In questa fase attiva e partecipativa
vengono introdotte dall’insegnante le parole della probabilità: poco probabile, molto probabile,
possibile, impossibile.
Le variabili messe in gioco sono state:
- Tempo di esecuzione del gioco: un intervallo di tre mesi dalla prima parte alla seconda parte del
gioco
- Distanza dal bersaglio: aumentata nella terza parte del gioco.
- Grandezza delle regioni del bersaglio: una regione è stata rimpicciolita
- Modificazione delle forma del bersaglio: divisione del bersaglio quadrato in quarti.
Alla fine si è trattato di individuare le costanti all’interno di tutti i cambiamenti avvenuti. Il
momento del gioco è stato molto motivante riguardo al successivo lavoro di riflessione che è stato
affrontato dai bambini come una sfida per fare previsioni.
Ritengo che il valore dell’attività proposta risieda nel momento della verbalizzazione e nello sforzo
compiuto per descrivere in modo corretto l’esperienza. Inoltre è stata l’occasione per introdurre e
far utilizzare la terminologia propria di situazioni di incertezza.
7 La versione completa del lavoro è stato pubblicato nel n. 12 di Insegnare, 2006
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Obiettivi
- Individuare e descrivere regolarità in semplici contesti concreti.
- Avvicinarsi in situazioni concrete all’idea di variabile e sperimentare gli effetti del cambiamento
di una variabile.
- Produrre semplici ipotesi.
- Verificare le ipotesi prodotte per mezzo di semplici esperimenti o osservazioni.
- Attribuire un valore di verità a enunciati che si riferiscono all’esperienza
Attività
- Gioco del tiro al bersaglio alla lavagna: scoprire le zone in ordine di difficoltà ad essere colpite.
Vengono stabilite le regole del gioco, i tiri che deve fare ogni bambino, la distanza dalla
lavagna. I bambini a turno tirano con una gomma, contemporaneamente vengono registrate sul
quaderno le zone colpite. Si ripete il gioco per tre volte in giorni consecutivi e dopo tre mesi di
tempo. Si valutano i risultati e si stabilisce il punteggio di ogni zona. Si descrive il gioco ai
compagni della II B.
- Viene modificata la distanza di tiro. Discussione dei risultati
- Viene modificata la grandezza di una regione. Discussione dei risultati
- Gioco del tiro al bersaglio ma col bersaglio quadrato diviso in quarti. Si gioca secondo le regole
stabilite in precedenza e si valutano i risultati
Verifiche
Attribuire il valore di verità a enunciati che si riferiscono a situazioni di gioco
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COSTRUZIONE DEL CONCETTO DI AREA E...DIVAGAZIONI! 8
Clara Bisso
Scopo del progetto didattico:
rilevato il loro“conflitto”, avviare precocemente alla costruzione dei concetti di area/perimetro
attraverso molte esperienze concrete che precedano la formalizzazione.
Metodologia:
partendo dal presupposto che i saperi si costruiscano insieme formulando ipotesi e discutendo su
queste, il lavoro è stato impostato con metodo laboratoriale (l’insegnante è mediatore dei processi
di apprendimento con interventi neutri rispetto al sapere in fase di costruzione) seguito da situazioni
didattiche finalizzate alla puntualizzazione/consolidamento di quanto emerso durante l’attività
precedente.
Avvio al concetto di area:
- L’area in quanto grandezza deve essere identificata prima di passare alla sua misura.
- Secondo Douady- Perrin-Glorian (1989), è necessaria la distinzione fra:
- il polo geometrico con le superfici considerate come parti del piano
- il polo “grandezza” con le aree
- il polo numerico con le misure.
- Il concetto di area in quanto grandezza, costituisce un legame tra le superfici e i numeri.
In classe prima:
- Uso del “3 pezzi” (un tangram semplificato,individuale, di cartoncino differente per colore e
spessore) per la costruzione di figure concave e convesse da confrontare (somiglianze/differenze
fra la propria terna e quelle dei compagni).
8 La versione completa del percorso si trova in: Clara Bisso, Geometria e dintorni, in L'Educazione matematica, n. 3,
2004.
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Difficoltà incontrate:
Conservazione dell’idea di equiestensione di figure, anche molto diverse fra loro, ma costruite
con gli stessi pezzi. Sono state svolte attività simili durante il corso dell’anno.
In classe seconda :
Ripresa dell’attività di confronto. Molti bambini (in prima classe solo 1/20) hanno rilevato che le
figure avevano la medesima grandezza in quanto costruite con gli stessi pezzi, mentre altri
dimostravano la difficoltà emersa in precedenza.
Prosecuzione del lavoro: introduzione di figure convesse, che inizialmente seguivano la
quadrettatura del foglio, delle quali considerare l’estensione; quindi introduzione di altre che la
“tagliavano”. Ciò ha condotto, nella misurazione dell’area attraverso i quadretti, alla necessità di
approssimare il risultato.
In classe terza:
Introduzione di figure curvilinee dove è più difficile contare “i pezzetti di quadretto”necessari a
comporre il quadretto-unità.
Ricorso a quadrettature via via più fini sovrapponibili alle figure da misurare (fogli acetato)
Sempre più evidente la necessità di approssimare.
Si è discusso molto su casi di approssimazione nella vita reale per contrastare lo stereotipo,
proveniente dal linguaggio naturale, che connota negativamente il termine.
In classe quarta:
prosecuzione del lavoro attraverso altri problemi del rally e per non ammalarsi di” quadratite”
somministrazione del seguente problema:
Biscotti (CAT. 4, 5, 6)
Ecco i biscotti che il pasticciere ha preparato per cinque bambini e che ha disposto con molta
precisione su un vassoio.
I biscotti sono tutti dello stesso spessore, ma alcuni dei bambini sono insoddisfatti e dicono che il
loro biscotto è più piccolo di quello degli altri.
Jeff
Zoe
Leo
Anna
Bob
Pensate che tutti i bambini avranno la stessa quantità di biscotto da mangiare?
Se no, mettete i biscotti in ordine dal più piccolo al più grande.
Spiegate la vostra risposta.
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Rispetto al concetto di area, il problema, ricco di potenzialità, può essere utilizzato durante una fase
già avanzata del processo in quanto rappresenta una sintesi fra polo geometrico, polo grandezza
e polo numerico, inoltre presenta anche l’aspetto dell’approssimazione.
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ESPERIENZE NELLA QUINTA ELEMENTARE:
MOLTO SIGNIFICATIVE NEL CURRICOLO DI 8 ANNI 9
Stefania Cotoneschi
Il terzo Biennio di Scuola-Città Pestalozzi rappresenta certamente un osservatorio privilegiato del
passaggio primaria-secondaria perché si può dire che questa scuola sia stata il Primo Istituto
comprensivo; infatti dal 1945 la scuola accoglie alunni per otto anni e da sempre la modalità di
intervento degli insegnanti è quella del lavoro in equipe con abitudine allo scambio di idee e risorse,
alla cooperazione, all’osservazione tra colleghi.
La cooperazione tra colleghi di scuola primaria e secondaria mette in evidenza questioni di metodo
e di approccio alle discipline e focalizza le necessarie discontinuità in relazione alle specifiche
modalità di apprendimento nelle diverse fasce di età e rispetto a diversi bisogni formativi.
Nella scuola primaria, il maestro o la maestra si pone con i bambini in una modalità a tutto campo;
tutto viene esplicitato e controllato, c’è un forte uso della gestualità, di rappresentazioni grafiche o
immagini, continuamente si fa riferimento all’uso di materiali concreti da manipolare; le richieste
vengono spesso esemplificate, la motivazione è spesso insita nel lavoro stesso, c’è molto aiuto da
parte dell’insegnate.
Nella scuola secondaria, la modalità di stare a scuola si dà per acquisita (la famosa scolarizzazione),
molte delle richieste che si fanno non sono più così esplicite, l’uso dei materiali è dato per scontato,
si richiede una maggiore autonomia nel lavoro e non è più possibile il controllo continuo degli
elaborati. Il linguaggio che viene usato è più accurato nelle specificità della disciplina, ma spesso ci
si accorge che la comunicazione non è sempre efficace. La motivazione dei ragazzi è molto più
difficile.
C’è forte bisogno nella scuola di porre attenzione sulle continuità necessarie ma anche sulle
opportune e inevitabili discontinuità. Abbiamo riscontrato più volte che i progetti in compresenza in
quinta, tra maestri e docenti della secondaria, sono una buona base per passaggio di competenze,
metodologia e organizzazione a livello di professionalità docente.
Il guadagno formativo dal punto di vista professionale è indubbiamente alto: si possono veicolare
competenze psicopedagogiche soprattutto nella direzione docenti elementari-docenti medie e
competenze disciplinari nella direzione opposta. È importante questo momento di scambio e
compresenza tra insegnanti di ordine diverso perché consente di iniziare la conoscenza degli alunni
nel contesto di apprendimento che per loro è familiare; è importante la conoscenza
dell’impostazione didattica, non per sentito dire ma per esperienza diretta (programmare insieme
una attività è il modo migliore di raccontare).
A scuola Città Pestalozzi da anni lavoriamo sull’intreccio e la relazione, assai stretta, fra le
competenze disciplinari e quelle trasversali, l’esperienza raccontata di seguito, è fortemente legata
anche all’acquisizione di competenze trasversali, sia per la forte valenza sul piano della manualità
sia per il legame con l’arte e con l’immaginazione. La rielaborazione di un’opera d’arte offre
l’opportunità di portare a scuola ciò che viene dal mondo esterno della cultura in senso lato.
In quinta si fanno alcune attività relative alla geometria che variano a seconda delle classi ma hanno
alcuni tratti caratteristici.
9 Il lavoro è stato presentato al seminario di Firenze sul curricolo verticale del 6-5-07.
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9
Sono legate alla realizzazione di un prodotto: artistico o tecnico o multimediale e fanno riferimento
al concetto di trasformazione geometrica. Si può quindi dire che esperienze analoghe a questa si
sono ripetute ogni anno dal 2000. Si tratta di progetti che hanno una durata flessibile, che comunque
varia da due a tre mesi, che coinvolgono due o tre insegnanti di cui almeno uno di scuola
secondaria. In particolare per l’esperienza “Il violinista di Chagal” il tempo necessario è di almeno
8-10 incontri di un’ora e mezzo con gli alunni e 4 ore di progettazione. Le Discipline coinvolte sono
matematica, arte, tecnica (falegnameria).
Sono necessarie alcune ore di compresenza che in un Istituto comprensivo possono essere ricavate
ad esempio, dai residui che nell’anno scolastico, è possibile ricavare dal fatto che si fanno unità
orarie di 55 minuti ( in certi casi anche 50 minuti). Nell’esperienza descritta sono state necessarie 6
ore di compresenza col collega di matematica della scuola secondaria e 8 ore con quello di tecnica.
(Nel caso di Scuola Città anziché collaborare con l’insegnante di tecnica della scuola media, il
progetto si è svolto con il supporto dell’insegnante di scuola primaria che si occupa del laboratorio
di falegnameria).
Frequentemente nel campo matematico scientifico si segue il percorso: prima la teoria poi, quando
si può, la pratica. In questo modo il fattore “gioco”, il gusto della scoperta, vengono quasi del tutto
eliminati, forse perché non se ne comprende l’importanza per l’apprendimento.
La nostra ipotesi, invece, è che la maturazione delle capacità di discorso geometrico e non solo,
dipendano più dallo sviluppo del linguaggio verbale in contesti di modellizzazione del reale e
dall'individuazione di fatti nella realtà, piuttosto che dallo studio di elementi teorici.
Occorre quindi creare situazioni, campi di esperienza complessi con molte possibilità di lettura:
estetica, logica, matematica, creativa.
La visione della geometria è strettamente legata ad esperienze di vita quotidiana; i bambini si
rendono conto con questo percorso di apprendimento, ad esempio, che la simmetria è un concetto
fondamentale nel campo della conoscenza della realtà (artistica, musicale, naturale, matematica e
fisica,..)
Questo è ciò che ci ha spinto a progettare la rielaborazione attraverso le simmetrie di un’opera
d’arte: “Il violinista di Chagal”. La scelta di questo quadro è stata dettata dalla resa che abbiamo
riscontrato provando noi adulti a farci scorrere sopra una coppia di specchi ortogonali fra loro e al
piano del quadro.
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“NUMERANDO”: UN PERCORSO “ACCIDENTATO”
TRA NUMERI, OPERAZIONI E STRUMENTI DI CALCOLO 10
Lucia Stelli
Il gioco
Il numerando è un gioco ispirato ad una versione televisiva del celebre “scarabeo” ed è stato
elaborato nel laboratorio di sperimentazione del curricolo verticale di matematica attivato
nell’Istituto Comprensivo “G. Gamerra” di Pisa nell’anno 2003 su proposta del CRED locale. E’
stato proposto dal Prof. Brunetto Piochi dell’Università di Firenze che ha coordinato il laboratorio
ed è stato messo a punto da un gruppo di 13 insegnanti di vari ordini scolastici. E’ stato
sperimentato nelle classi di 4 a e 5 a elementare e prima media dell’Istituto.
Questo gioco è stato visto inizialmente come un mezzo per costruire apprendimento significativo e
un buon rapporto con la matematica, un modo per veicolare scoperte e riflessioni collegate a
concetti e competenze relative al numero, ma è divenuto nel tempo qualcosa di più, il filo rosso di
un viaggio di formazione, un percorso accidentato, pieno d’insidie, ostacoli, imprevisti, tra numeri,
operazioni e strumenti di calcolo che trova alla fine la ricompensa di tanta fatica nella meraviglia
della scoperta e nella soddisfazione della conquista.
10 Lucia Stelli,"Numerando": un percorso "accidentato" tra numeri, operazioni e strumenti di calcolo, in
http://www.progettotrio.it/eduscienze/html
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Alla base di tutto sta la ferma convinzione che la conoscenza, per diventare apprendimento utile,
non deve rimanere inerte, ma deve essere attivamente vissuta, rappresentata, collegata, criticata,
trasferita in altri contesti. Per questo è necessaria una partecipazione attiva fatta di pensiero e azioni
indirizzate verso uno scopo chiaro e condiviso e con questi presupposti il gioco è quanto di meglio
possa esistere per produrre apprendimento significativo.
Come si gioca
Il numerando può essere proposto a partire dalla terza classe della scuola elementare e deve essere
eseguito alternativamente a mano e con la calcolatrice da alunni raggruppati secondo un criterio di
eterogeneità, meglio se in gruppi di tre, ma il numero di componenti può variare a seconda del
contesto classe. (Successivamente, quando tutti hanno preso familiarità con il gioco, i gruppi misti
possono essere alternati con gruppi omogenei per livello di competenze).
L’insegnante prepara una serie di cartellini contenenti le cifre da 0 a 9 e i segni delle 4 operazioni
(nella scuola media possono essere aggiunte l’elevazione a potenza e l’estrazione di radice).
Viene estratto un numero-bersaglio di 3 cifre, estraendo per tre volte un cartellino-cifra e rimettendo
ogni volta nel mazzo il cartellino estratto; poi si estrarranno, ancora casualmente, ma questa volta
senza rimettere il cartellino nel mazzo, tre cifre e due operazioni (possono diventare tre nella scuola
media).
Le cifre possono essere associate per comporre numeri e utilizzate più volte come anche le
operazioni.
Scopo del gioco è quello di arrivare nel tempo stabilito di 5 minuti più vicino possibile al numero
bersaglio.
Tutti i gruppi lavorano alternativamente con e senza la calcolatrice (in ogni gruppo devono esserci
almeno due calcolatrici) e alla fine viene assegnato un punteggio secondo le seguenti regole:
- Per ogni sequenza corretta (il calcolo deve essere corretto) 1 punto
- Per ogni sequenza sbagliata –1 ( 0 nella scuola elementare)
- Per il mancato svolgimento –2
- La risposta più vicina al numero-bersaglio, in mancanza del centro, vale 3 punti
- Al gruppo che centra il bersaglio vengono assegnati 5 punti
- Viene assegnato un bonus di 2 punti a chi usa tutte le cifre estratte e tutti i simboli di operazione
- Viene assegnato un bonus di 2 punti a chi individua la strada più breve
- Il punteggio massimo che può essere conseguito è di 10 punti.
Nella scuola media gli alunni possono costruire espressioni, mentre nella elementare si eseguiranno
le operazioni una di seguito all’altra utilizzando il risultato di ognuna come un mattoncino per
costruire l’operazione successiva.
Devono essere utilizzati solo numeri naturali e pertanto l’operazione di divisione deve risultare
esatta.
Al termine di ogni partita un alunno di ogni gruppo (meglio se è quello meno pronto nel calcolo)
detta il conto che il gruppo ha fatto facendo attenzione a riferirlo correttamente perché conta ciò che
viene dettato e non vengono accettate correzioni.
Conviene preparare una tabella da consegnare a ogni gruppo per registrare calcoli e punteggi in
modo da coinvolgere tutta la classe e allo stesso tempo costituire una memoria dell’attività svolta.
E’ bene dedicare al gioco un’ora alla settimana per un paio di mesi, effettuando ogni volta 4
manche: due con la calcolatrice e due senza. Le modalità di assegnazione del punteggio possono
subire aggiustamenti con la sperimentazione del gioco nelle classi (quelle descritte non sono quelle
stabilite all’inizio dell’attività, ma sono state cambiate dietro proposta degli alunni); anche il tempo
di durata delle manche può variare in base l’età degli allievi e può essere ridotto man mano che il
gioco diventa più familiare.
Se si verificano situazioni che fanno perdere attrattiva al gioco, ad esempio vince sempre lo stesso
gruppo o emergono difficoltà relazionali, i gruppi possono essere cambiati.
10

11
Un esempio può chiarire il gioco:
Numero bersaglio: 543 Simboli di operazione: - e x Cifre: 2, 6, 9
Sequenza operativa che centra il bersaglio
6 x 2 = 12
12 x 6 = 72
72 x 9 = 648
648 – 96 = 552
552 – 9 = 543
L’esperienza inizia con una prova d’ingresso per saggiare le competenze di calcolo e si conclude
con una prova finale che dovrebbe far rilevare una migliore padronanza del calcolo mentale
attraverso la consapevolezza delle strategie adottate.
.
7
CLASSIFICAZIONE DI POLIGONI 11
Giuliano Spirito
………
Immergiamoci, per avviare il nostro ragionamento, nel mondo dei triangoli e esaminiamo le più
consuete classificazioni che si effettuano in questo ambito:
classificazione A: acutangoli, rettangoli, ottusangoli
classificazione B: scaleni, isosceli, equilateri
Quali sono le differenze tra le due classificazioni? In primo luogo, salta agli occhi che la A ha a che
fare con gli angoli e la B con i lati. Questo è vero, ma non è tutto: infatti la classificazione A ha a
che fare con le proprietà dei singoli componenti (per attribuire un triangolo a una delle tre classi
devo esaminare singolarmente ciascuno dei suoi angoli); mentre la B attiene alla relazione tra i
componenti (per attribuire un triangolo a una delle tre classi devo confrontare tra loro i tre lati).
Infine: la classificazione A costituisce una partizione (suddivisione dell’insieme universo in classi
che coprono l’intero universo e che sono tra loro disgiunte), mentre la B è quanto meno ambigua,
dal momento che non è chiaro se un triangolo equilatero sia da considerare come un caso particolare
di triangolo isoscele (classificazione B1) o no (classificazione B2). La scelta tra le due possibili
accezioni B1 e B2 della B non riguarda solo il privilegio di una o un’altra convenzione linguistica,
ma anche lo schema logico sottostante all’azione definitoria.
classificazione A classificazione B1 classificazione B2
3 angoli acuti 3 lati diversi 3 lati diversi
2 acuti e 1 retto almeno 2 uguali esattamente 2 uguali
2 acuti e 1 ottuso 3 uguali 3 uguali
Le partizioni (A e B2) sono certamente le classificazioni più lineari, quelle più facili da capire e da
ritenere. Questo non significa rinunciare a forme di classificazione più sofisticate (B1); una volta
che si sia preso coscienza della loro maggiore complessità – e dunque si siano adottate tutte le
11 Il lavoro completo si trova sul sito del cidi: www.cidi.it
11

12
“precauzioni” del caso – esse offrono l’opportunità di stabilire relazioni tra figure in modo più
profondo e significativo.
………………….
Le attività di classificazione e le relative problematiche acquistano rilievo nel caso dei quadrilateri.
La classificazione più ovvia e tradizionale è basata su proprietà dei lati e degli angoli della figura;
ma anch’essa, a meno di forzature, sconta il fatto di non essere una partizione. E' anche possibile
effettuare una classificazione (in larga misura coincidente con quella abituale) a partire da un
criterio completamente diverso: invece di basarsi sulle caratteristiche dei lati (lunghezza e
parallelismo) e degli angoli (ampiezza) è possibile basarsi sulle caratteristiche delle diagonali
(lunghezza e posizione reciproca).
Consideriamo ora un’altra modalità di classificazione dei quadrilateri, che presenta alcune
caratteristiche interessanti e che è molto “consonante” con un’impostazione laboratoriale dei
problemi di classificazione. L’idea di partenza è che tutti i quadrilateri “notevoli” hanno almeno due
lati paralleli; e dunque da lì – da due rette parallele tagliate da due trasversali - prendiamo le mosse.
Possiamo pensare di distinguere secondo una serie successiva di criteri che danno luogo, ogni volta,
a una biforcazione:
parallelismo
delle trasversali:
perpendicolarità
delle trasversali
(rispetto alle due rette base)
uguaglianza
dei segmenti di trasversale
TRAPEZIO TRAPEZIO
qualunque ISOSCELE
uguaglianza
dei segmenti di trasversale
con le sezioni delle rette di base
TRAPEZIO PARALLELOGRAMMA
TRAPEZIO TRAPEZIO PARALLEL. RETTANGOLO
qualunque RETTANGOLO qualunque
PARALLEL. ROMBO RETTANGOLO QUADRATO
qualunque qualunque
12

13
La classificazione appena proposta presenta tre aspetti su cui riflettere:
a) tutti i parametri di classificazione sono “relazionali”
b) è una classificazione di tipo partitorio
c) è il frutto di una vera e propria attività di ricerca di elementi di regolarità e di elementi di
distinzione (e dunque rappresenta un ottimo esercizio di classificazione, al di là del suo interesse
geometrico)
Vogliamo sottolineare che il carattere laboratoriale di attività di questo tipo (a proposito di
classificazioni!) non deriva soltanto e forse neanche principalmente dalla presenza di un aspetto
manipolativo nella stessa, quanto dal fatto di procedere in modo esaustivo all’esame di una casistica
e alla ordinata e meditata trascrizione dei risultati che si registrano di volta in volta. Laboratorio,
d'altra parte, non è necessariamente e esclusivamente manipolazione e sperimentazione concreta;
laboratorio è, prima di tutto, seguire un percorso i cui esiti non siano noti in partenza e che dunque
coinvolga e sviluppi un'attitudine osservativa e riflessiva.
8
UN PERCORSO STORICO-NARRATIVO DI GEOMETRIA EUCLIDEA 12
Maurizio Berni
Se sfogliamo le prime pagine di un qualsiasi libro di geometria, troviamo che essa trae la sua
origine dall’esigenza pratica di ristabilire i confini dei campi dei contadini dopo le periodiche
inondanzioni del Nilo; è quanto ci tramanda lo storico Erodoto.
L’informazione si limita ad un semplice aneddoto; dopo di che si gira pagina e si inizia con
uno pseudoformalismo (spacciato per formalismo, grazie alla presenza di termini tecnici spesso non
definiti o definiti in modo illusorio o circolare) che recide i legami con questa motivazione iniziale e
costringe il cervello di chi apprende ad una sottomissione completa ai criteri di validazione del
libro di testo e dell’insegnante (non sempre coincidenti) su che cosa è formale e cosa no, quali
oggetti richiedano una definizione e quali no, quali ragionamenti siano accettabili e quali no.
Più che una palestra di ragionamento, è una palestra di conformismo e di sottomissione ad
un’autorità, o peggio a più autorità non sempre in accordo tra loro (quella dell'insegnante e quella
del libro di testo), indipendentemente dalla coerenza interna delle richieste: sono entrambe
caratteristiche nocive per lo sviluppo del pensiero critico, e matematico in particolare.
Se abbiamo deciso che l’atto del ragionare correttamente è un bisogno essenziale dell’essere
umano, e riteniamo la medicina denominata “geometria euclidea” adatta almeno per iniziare la
terapia (forse anche perché non ne conosciamo al momento di migliori), prima di tutto non bisogna
confondere il fatto che il ‘paziente’ ritenga pregiudizialmente la medicina ‘amara’ come
l’espressione di un rifiuto talmente profondo da dover sospendere immediatamente la cura; né
cadere nell’illusione pedagogica di un approccio esclusivamente ludico e privo di fatica 13 : se
l’uomo desidera opporsi all’entropia (e l’uso della sua intelligenza è un’opposizione all’entropia, è
come il risalire della corrente da parte del salmone), è naturale che senta la fatica, una fatica che
bisogna motivare ad attivare nell’ottica del raggiungimento (quasi mai immediato) di un risultato
desiderato, senza lasciarsi demotivare dalla frustrazione per l’attesa (Pellerey 1993).
Naturalmente, il contenuto è solo il “principio attivo” della medicina; occorre poi una
posologia, da adattare ai singoli pazienti, ossia, nel nostro linguaggio, una metodologia appropriata.
Nessuno può pretendere di avere una ricetta infallibile, tuttavia possiamo individuare nelle
difficoltà dei nostri studenti molti errori della didattica tradizonale: il più grande di tutti, come
abbiamo visto, è presentare problemi che non sono problemi.
12
L’esperienza, ancora in corso, è stata condotta in una classe prima di un istituto tecnico agrario. L’intero percorso è
disponibile sul sito www.cidi.it.
13
Come disse Euclide al sovrano Tolomeo I: “Non esiste una via regale che porti alla geometria”
13

14
Proviamo allora, in un contesto storico verosimile, a identificarci in qualcuno dei personaggi
coinvolti nella ridefinizione dei confini dei campi inondati dal Nilo; in particolare in un gruppo di
contadini coi campi confinanti e in uno scriba, o notaio, che deve convincere con certezza e
autorevolezza della bontà dei suoi metodi per mettere d’accordo gli interessi contrapposti dei
contadini, e, in più mettere d'accordo gli interessi dei contadini coi campi erosi dalle inondazioni del
Nilo, con quelli del Faraone, che imponeva una tassa proporzionale all'area coltivabile.
In questo contesto, e non su un foglio quadrettato, ha senso il problema di ‘costruire’, per
esempio, un quadrato sul terreno. Come ha senso individuare un campo quadrato somma di due
campi quadrati (magari perché ricevuti in eredità).
Costruire un quadrato sul terreno limaccioso, ma come e con che cosa? Intanto dobbiamo
avere un dato di partenza, una dimensione, per esempio la lunghezza del lato. Ma la dimensione è
espressa in che modo? Tutti noi, anche adulti esperti, tendiamo a ragionare implicitamente con una
sovrastruttura sulle figure geometriche, quella della ‘misura’, riferendoci ad unità codificate, come
il metro: questo atteggiamento costituisce un ostacolo alla comprensione della struttura razionale
della geometria euclidea; leggendo le fonti scopriamo infatti che in tale costruzione la teoria della
misura compare ad uno stadio piuttosto avanzato, grazie alla sensibilità logica e didattica di Euclide,
che giunge alla dimostrazione del teorema di Pitagora senza parlare di misure, ma solo di somme e
confronti di grandezze omogenee. Avendo alle spalle anni di attività geometriche basati su calcoli
(pur necessari!) di aree e volumi, gli allievi che giungono al biennio superiore, coi loro quaderni a
quadretti, e con le loro teste piene di formule e di convinzioni su che cosa è la geometria, non
possiedono la disposizione mentale per giungere spontaneamente alla progressiva spoliazione di cui
necessitano i fondamenti della geometria euclidea. Occorre dunque simulare una situazione di
confronto tra le prime grandezze individuate nella geometria: i segmenti. Il discorso si intreccia con
quello degli strumenti: le corde. ……..
Dunque, supponiamo che il nostro contadino abbia conservato una corda della lunghezza del
lato del suo campo, oppure più lunga, ma con dei nodi che segnano questa lunghezza, oppure più
corta, potendola disporre su tratti consecutivi ed allineati grazie anche all'uso di opportuni picchetti.
Il problema allora diventa:
Come costruire un quadrato sul terreno, avendo a disposizione unicamente delle corde, con un lato
di lunghezza uguale a quella di una corda data?
La riga e il compasso non sono dunque frutto di un capriccio, ma strumenti per la soluzione
di un problema pratico: l’estrema difficoltà di usare delle vere corde.
…………..
La necessità di ‘raccontare’ come si è giunti ad un risultato potenzia il ruolo del linguaggio
come strumento per risolvere un problema espositivo; il linguaggio assume un ruolo totalmente
diverso, e spesso più gratificante, di quello che si gioca nel dialogo asimmetrico tra insegnante e
alunno; la definizione non è una richiesta 'con secondi fini' dell’insegnante, che già la conosce; ma
una necessità dell’alunno per eliminare ‘giri di parole’ nell’esposizione ai compagni che devono
essere convinti; per questo motivo è naturale che tenda ad essere essenziale e non ridondante.
Quando si lascia un compito aperto, e questo è stato ben compreso ed è stato assunto da
parte dei ragazzi come un ‘loro’ problema, vengono fuori diverse soluzioni; alcune errate, alcune
corrette e fantasiose, altre corrette e un po’ complicate, e, con una certa frequenza, vengono fuori le
soluzioni che ci si aspetta.
La soluzione che abbiamo sintetizzato e adottato è la seguente (pur ammettendo che non è l’unica
possibile):
FASI COMMENTI
Si traccia il segmento AB della lunghezza fissata - Dare un nome ai punti è parso molto vantaggioso;
indicare col dito e dire “questo” non è sembrato
un buon modo per comunicare;
- si prende atto che i segmenti possono essere
‘trasportati’
14

Si prolunga AB da una parte (p.es. B) di un segmento
qualsiasi BC
Si costruisce una circonferenza di centro B e raggio BC,
che incontra il segmento AB in un punto D
Con apertura CD, puntando alternativamente su C e su D,
si tracciano due circonferenze, che si incontrano in due
punti E ed F: la retta EF è perpendicolare ad AB nel punto
B
15
- i segmenti possono essere prolungati a piacere da
entrambe le parti [questo risulterà essere il
postulato II di Euclide]
- Dati un punto e un segmento, è possibile tracciare
la circonferenza che quel punto come centro e
quel segmento come raggio [questo risulterà
essere il postulato III di Euclide]
Il punto finale della costruzione, ormai convincente per
tutti, è punto di partenza per molte domande a cui gli
studenti non sanno dare risposta:
- Perché il punto B è allineato con E ed F?
- ...ma perché EF è proprio perpen-dicolare?
- Si potevano prendere aperture diverse del
compasso o l’apertura CD è obbligata?
- .......
9
PENSARE E MISURARE L’INCERTEZZA
UN APPROCCIO NARRATIVO A DEFINIZIONI E PUNTI DI VISTA SULLA PROBABILITÀ 14
Ivan Casaglia
La riflessione epistemologica degli ultimi decenni ha messo in luce la dimensione narrativa della
scienza. Jerome Bruner (1997, p.140) scrive:
“Il processo del fare scienza è narrativo. Consiste nel produrre ipotesi sulla natura, nel verificarle,
correggerle e rimettere ordine nelle idee. Nel corso della produzione di ipotesi verificabili giochiamo
con le idee, cerchiamo di creare anomalie, cerchiamo di trovare belle formulazioni da applicare alle
contrarietà più intrattabili in modo da poterle trasformare in problemi solubili, inventiamo trucchi per
aggirare le situazioni intricate”.
Cogliendo anche le importanti ricadute che la dimensione narrativa può avere sull’insegnamento
scientifico:
“Non sto proponendo di sostituire alla scienza la storia della scienza. Sostengo invece che la nostra
istruzione scientifica dovrebbe tener conto in ogni sua parte dei processi vivi del fare scienza, e non
limitarsi a essere un resoconto della “scienza finita” quale viene presentato nel libro di testo, nel
manuale e nel comune e spesso noiosissimo “esperimento di dimostrazione (..)”.
Queste considerazioni hanno una validità generale, ma la probabilità si presta in modo particolare a
tentare una esperienza didattica che voglia tener conto dei processi vivi del fare scienza di cui parla
Bruner.
L’insegnamento della probabilità nella scuola, quando c'è 15 , non si sottrae invece, almeno nelle
pratiche più diffuse, al destino di essere un resoconto della “scienza finita”. Basta uno sguardo alle
proposte editoriali di maggiore successo, per affermare che il modo più diffuso di trattare la
probabilità è quello di una presentazione in forma assiomatico-deduttiva, più o meno esplicita, più
o meno rigorosa e chiara. In questa impostazione lo spazio dedicato al confronto tra le diverse
definizioni di probabilità è molto limitato. L’argomento viene svolto in modo sbrigativo, fornendo
una soluzione che mette al riparo da ogni perplessità interpretativa: le diverse definizioni non sono
altro che valutazioni di probabilità utili in diversi contesti applicativi.
Il nostro percorso, ispirandosi alle considerazioni di Bruner, non sostituisce l’insegnamento del
calcolo delle probabilità con l’insegnamento della sua storia ma, considerando alcuni momenti
14
Il percorso completo si trova in Ivan Casaglia, Pensare e misurare l'incertezza. Un approccio narrativo a definizioni e
punti di vista sulla probabilità, nel volume "Complessità e narrazione", a cura di in F. Cambi, M. Piscitelli , edito da
Irre-Toscana e Armando editore nel 2005.
15
La probabilità ha tardato ad affermarsi nella scuola e resta per molti aspetti ancora marginale, nonostante che a questo
tema siano dedicate precise indicazioni nei programmi ministeriali, fin dal 1979 per la scuola media, dal 1985 per la
scuola elementare e a partire dalla fine degli anni ottanta, con le cosiddette sperimentazioni assistite, nella scuola
superiore.
15

16
fondamentali del dibattito scientifico ed epistemologico intorno al significato di probabilità, cerca di
ripercorrere, seppure in una forma semplificata, il processo di costruzione della teoria delle
probabilità. Ed è proprio questo processo che impone di adottare un punto di vista non
esclusivamente interno alla matematica.
Nel costruire il percorso didattico abbiamo cercato di articolare i passaggi più importanti nella
esplorazione intorno ad un campo di problemi, nella formulazione di un’ipotesi sul significato della
probabilità, nella scoperta delle proprietà che la riflessione intorno a quei problemi e a quella ipotesi
suggerisce. Ma ogni ipotesi finisce, prima o poi, per incontrare fenomeni che non è in grado di
descrivere, problemi che non è in grado di risolvere, e che impongono una sua correzione o il suo
superamento.
Solo in questa prospettiva trova la sua corretta collocazione anche la definizione assiomatica che a
partire dagli anni trenta del Novecento si è affermata in ambito matematico, consentendo l’enorme
successo del calcolo delle probabilità nell’ultimo mezzo secolo. Per cogliere il significato culturale
della svolta assiomatica, occorre infatti considerarla come punto di approdo di un faticoso percorso
storico, e ciò è possibile solo a condizione di aver prima esplorato i tentativi fatti nel corso del
tempo per precisare il concetto di probabilità.
Quella svolta non deve poi essere presentata come qualcosa di definitivo, che mette a tacere ogni
questione interpretativa, come se le cose davvero importanti fossero solo quelle in cui si rinuncia al
significato. Le differenze interpretative intorno alla probabilità riemergono in ogni contesto
applicativo, e la costruzione di una teoria assiomatico-deduttiva deve essere interpretata come un
passaggio della storia del pensiero scientifico che ha consentito di riflettere intorno alla probabilità
ad un livello più avanzato.
Se questo spiega perché la scelta sia caduta sulla probabilità e perché i contenuti del percorso siano
stati sviluppati in un certo modo, è necessario fare qualche considerazione di tipo metodologico.
Nel progettare e sperimentare le attività ci siamo proposti di far partecipare gli studenti al processo
di costruzione di quel concetto articolato di probabilità di cui abbiamo sopra parlato. L’intero
percorso è quindi concepito come una sorta di narrazione corale, fatta delle riflessioni individuali
degli studenti, dei loro contributi ai dibattiti in classe, delle sintesi scaturite dalle discussioni. Ogni
tappa del percorso, perciò, parte dall’esplorazione di uno o più problemi significativi (suggeriti da
una lettura o proposti dall’insegnante) e attraverso la formulazione di precise domande, impegna
ciascuno studente nella scrittura delle proprie riflessioni, nel confronto argomentato con il punto di
vista degli altri, per approdare, se possibile, alla formulazione di una sintesi comune.
Un insegnamento scientifico che si proponga di realizzare apprendimenti duraturi e consapevoli non
può prescindere dalla consapevolezza delle concezioni spontanee. Ma il ricorso al confronto tra i
comportamenti spontanei di fronte all’incertezza e ciò che suggerisce lo studio della probabilità, si è
rivelato anche uno strumento utile dal punto di vista didattico. L’esame dei dilemmi e dei paradossi
che scaturiscono da quel confronto hanno permesso infatti agli studenti, di scoprire che la
probabilità coinvolge qualcosa di personale, qualcosa che ha a che fare col proprio modo di vedere
e di comportarsi di fronte all’incertezza.
Il percorso è stato svolto in ambito prevalentemente matematico, ma ciò non ha impedito di
coinvolgere altri insegnanti e altri insegnamenti, nella riflessione sul significato della probabilità e
sulla sua portata concettuale. Quelle che abbiamo indicato nel percorso come finestre hanno
costituito dei momenti di arricchimento e di approfondimento sui temi trattati, per acquisire la
consapevolezza del ruolo che la probabilità ha assunto in altri contesti conoscitivi 16 .
16
Le finestre del percorso coinvolgono la Filosofia e la Fisica. Ciò dipende dall’indirizzo di studi in cui è stata
effettuata l’esperienza, ma anche dalla disponibilità o meno degli altri insegnanti, non solo per ragioni personali.
Sarebbe molto interessante coinvolgere in una esperienza sulla probabilità, altre discipline come le Scienze naturali (si
pensi al ruolo del caso nella genetica), o laddove ne sia previsto l’insegnamento, l’Economia e le discipline
tecnologiche.
16

17
Il percorso didattico è stato sperimentato in una quarta classe del liceo scientifico P.N.I. 17 che non
aveva mai affrontato prima il tema della probabilità. Trattandosi di un lavoro intorno alle
definizioni, questa omissione ha potuto rappresentare un pregio: lo svolgimento del percorso non è
stato condizionato da nozioni precedenti intorno alla probabilità. L’acquisizione di enunciati non
accompagnata da una comprensione adeguata del loro significato, può infatti costituire un ostacolo
più che un aiuto per un lavoro di questo tipo. D’altra parte, per rimediare al ritardo, si è reso
necessario affiancare lo svolgimento dell’esperienza con lo studio di tutti quei contenuti di
probabilità e di calcolo combinatorio che sono generalmente previsti per il biennio della scuola
superiore. Ciò ha comportato un impegno di due mesi abbondanti di lavoro, nell’ambito dei quali il
tempo effettivamente destinato allo svolgimento del percorso è stato di circa 25 ore.
L’illustrazione del percorso si riferisce soltanto allo svolgimento delle attività previste nel suo
ambito. Naturalmente a questo svolgimento si sono accompagnate quelle attività di consolidamento
e di approfondimento che appartenendo alla parte più consolidata della didattica, non hanno bisogno
di essere precisate. Nella probabilità, per fortuna, è disponibile un vasto repertorio di problemi
significativi che consentono di evitare la noiosa ripetizione di esercizi sull’estrazione di biglie da
un’urna che ne hanno, per troppo tempo, contraddistinto l’insegnamento.
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http://www.progettotrio.it/eduscienze/html
17 Piano Nazionale Informatica, sperimentazione di matematica e fisica.
17