Algebra lineare - Dipartimento di Matematica e Informatica

LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA
Esame di profitto di Geometria 2 - gennaio 2012
”Modulo di Algebra lineare”
1. Nello spazio vettoriale V delle matrici 2 × 2 a coefficienti in Q si denoti con J
il ”vettore”
0 1
1 0
di V e si consideri l’endomorfismo θJ ∈ EndQV definito ponendo θJ(X) =
XJ − JX ∀X ∈ V . Individuare l’affermazione falsa:
(a) θ 4 J = 4θ2 J ;
(b) θJ è diagonalizzabile;
(c) la struttura di Q[T]-modulo determinata dalla coppia (V, θJ) è ciclica;
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione: Si ha θ 2 J (X) = 2(X −JXJ) e θ3 J (X) = 4(XJ −XJ) = 4θJ(X), ove
si tenga conto che J 2 è la matrice identica: pertanto θ 3 j −4θJ è l’endomorfismo
nullo di V e vediamo che θJ ha autovalori 0, 2 e −2. Deduciamo che il polinomio
minimo di θJ ha grado < dimQ V e, conseguentemente, la struttura di Q[T]modulo
determinata dalla coppia (V, θJ) non può essere ciclica. La validità
delle rimanenti affermazioni è a questo punto evidente.
2. Si consideri il prodotto diretto G := G1 × G2 dove G1 e G2 sono i seguenti
sottogruppi del gruppo GL(2, C) delle matrici 2 × 2 invertibili a coefficienti in
C:
0 1
• G1 :=
1 0
0 −1
• G2 :=
1 1
ξ 0
,
.
0 ξ
Indicare l’affermazione corretta:
con ξ radice cubica primitiva di 1;
(a) non esiste alcuna matrice che può presentare G;
⎛
6 0
(b) G si presenta sia mediante la matrice ⎝ 5 3
0
2
⎞
⎠ , che mediante la
⎛
2 0 0
⎞
2 0 2
matrice ⎝ 0 3 0 ⎠ ;
0 0 6
(c) G si presenta sia mediante la matrice
⎛
2
⎝ 0
0
3
0
0
⎞
⎠ che mediante la
2
matrice
0
0
3
;
0 0 6
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false.
1

Soluzione: Gli elementi che generano G1 hanno periodo 2 e 3, per cui G1
Z2⊕Z3, mentre il generatore di G2 ha periodo 6 cosicché G2 Z6. Ne consegue
che G si presenta mediante la matrice
⎛
⎝
2 0 0
0 3 0
0 0 6
⎞
⎠ (1)
che è la matrice che si può ottenere diagonalizzando opportunamente
⎛
6
⎝ 5
0
3
⎞
0
2 ⎠ .
2 0 2
D’altronde le righe della (1) sono linearmente indipendenti ed i suoi coefficienti
non sono invertibili, per cui la (1) non può essere ridotta ad una matrice 2 × 2.
3. Sia V il sottospazio di C[x] dei polinomi di grado al più 6. Tra i seguenti
endomorfismi di V
(a) ϕa : 6
r=0 arx r ↦→ 5
r=0 ar+1x r ; (b) ϕb : 6
r=0 arx r ↦→ 6
r=0 iarx r ;
(c) ϕc : 6
r=0 arx r ↦→ 4
r=0 arx r ; (d) ϕd : 6
r=0 arx r ↦→ 6
r=0 a6−rx r ;
individuare l’unico che induce su V una struttura di C[T]-modulo ciclico.
Soluzione: ϕa è nilpotente di indice 7, ϕb ha periodo 4, ϕc è idempotente e
ϕd ha periodo 2: l’unico ad avere polinomio minimo di grado 7 è dunque ϕa.
4. Siano V il sottospazio di R[x] dei polinomi di grado al più 3 nell’indeterminata
x e ϕ ∈ EndRV l’endomorfismo
ϕ : a0+a1x+a2x 2 +a3x 3 ↦→ (αa0+βa2)+(αa1+βa3)x+(γa0+δa2)x 2 +(γa1+δa3)x 3 ,
con (α, β, γ, δ) ∈ R 4 , (α, β, γ, δ) = (0, 0, 0, 0). Tra i seguenti R[T]-moduli:
(a) R[T]/(T 4 );
(b) R[T]/(T 2 − 1) ⊕ R[T]/(T 2 − 2);
(c) R[T]/(T 2 ) ⊕ R[T]/(T 2 );
(d) R[T]/(T 3 − 1) ⊕ R[T]/(T − 1);
individuare l’unico che può dare la struttura di R[T]-modulo di V definita dalla
posizione Tv = ϕ(v) ∀v ∈ V .
Soluzione: La matrice che rappresenta ϕ rispetto al riferimento {1, x 2 , x, x 3 }
è A 0
0 A
dove si è posto
A :=
α β
γ δ
Ne consegue che i divisori elementari di ϕ sono quelli di A con molteplicità
doppia.
2
,
.

5. Sia n il numero delle classi di similitudine delle matrici 6 × 6 a coefficienti in
Q aventi come rappresentante una matrice A tale che A 6 = I6 con polinomio
minimo di grado 4. Individuare l’affermazione corretta:
(a) n = 8; (b) n = 10; (c) n = 12; (d) n = 14.
Soluzione: I dati garantiscono che il polinomio µA(T) è un polinomio di
grado 4 che divide T 6 − 1 = (T − 1)(T + 1)(T 2 − T + 1)(T 2 + T + 1): dunque
µA(T) è o (T − 1)(T + 1)(T 2 − T + 1), o (T − 1)(T + 1)(T 2 + T + 1), oppure
(T 2 − T + 1)(T 2 + T + 1). Posto
L :=
0 −1
1 1
e M :=
0 −1
1 −1
possiamo allora concludere che A è simile esattamente ad una tra
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎛
⎛
⎝ −1
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎝
⎝ −I2
⎛
⎝ −I3
−1
⎛
⎝ −1
⎛
⎝ −I2
⎛
⎝ −I3
−1
L
⎛
⎝ L
L
1
1
M
I3
I2
1
I3
L
I2
1
M
M
M
L
L
L
L
M
M
M
⎞
⎠ ,
⎞
⎠
⎞
⎠ ,
⎞
⎠ ,
⎞
⎠ ,
M
⎞
⎟
⎠ ,
⎞
⎠ ,
⎞
⎠ ,
⎞
⎠ ,
⎞
⎟
⎠ ,
,
se µA(T) = (T − 1)(T + 1)(T 2 − T + 1);
se µA(T) = (T − 1)(T + 1)(T 2 + T + 1);
se µA(T) = (T 2 − T + 1)(T 2 + T + 1).
3

6. Siano dati uno spazio vettoriale V di dimensione n > 3 sul campo dei numeri
reali ed un suo endomorfismo ϕ tale che ϕ + ϕ 2 − ϕ 3 = idV . Individuare
l’affermazione corretta:
(a) ϕ ha nucleo non banale;
(b) la struttura di R[T]-modulo definita dalla coppia (V, ϕ) è ciclica;
(c) esiste un vettore non nullo di v ∈ V tale che ϕ(v) = 2v;
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false.
Soluzione: La condizione posta su ϕ ci dice che il polinomio minimo µϕ(T)
di ϕ divide T 3 − T 2 − T + 1 = (T − 1) 2 (T + 1) per cui si ha:
• ϕ è invertibile in quanto 0 non può essere radice di µϕ;
• la struttura di R[T]-modulo definita dalla coppia (V, ϕ) non è ciclica in
quanto µϕ ha grado ≤ 3 < dimR V ;
• non esiste in V alcun vettore non nullo v tale che ϕ(v) = 2v in quanto 2
non può essere radice di µϕ.
4