2 - InfoCom
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La dispersione cromatica,<br />
Caratterizzazione e cause
Velocità e ritardo di gruppo<br />
La velocità di propagazione in fibra degli impulsi che portano i<br />
“bit” è detta velocità di gruppo.<br />
Il tempo di propagazione degli impulsi dipende dalla velocità di<br />
gruppo e si chiama ritardo di gruppo<br />
τ<br />
g<br />
L<br />
=<br />
ν<br />
g
Cosa è la dispersione?<br />
La dispersione cromatica consiste nel manifestarsi di differenti<br />
velocità di gruppo per le differenti componenti spettrali<br />
degli impulsi. Un impulso trasmesso in fibra ha uno spettro in<br />
frequenza G (f ):<br />
Le diverse componenti in frequenza hanno velocità e ritardi di<br />
propagazione diversi.
Conseguenze<br />
Pertanto, per un impulso trasmesso in fibra:<br />
le sue componenti in frequenza viaggeranno a velocità differenti;<br />
invece di arrivare al ricevitore allo stesso momento, vi arriveranno<br />
in momenti diversi;<br />
di conseguenza, l’impulso si dilaterà nel tempo e si distorcerà;<br />
a causa dell’allargamento, interferirà con gli impulsi adiacenti ed il<br />
diagramma ad occhio si chiuderà.
Esempio<br />
Parametri:<br />
Trasmissione NRZ, 10 Gbit/s<br />
Modulatore ideale<br />
Fibra singolo-modo standard
Differenza di ritardo di gruppo<br />
Ciò che conta per la distorsione dell’impulso non è il valore assoluto<br />
dei ritardi, ma la loro differenza:<br />
Δ τ = τ ( f ) −τ<br />
( f )<br />
g g 1 g 2
Linearità della differenza di ritardo di gruppo<br />
La differenza di ritardo di gruppo fra due componenti spettrali è, in<br />
prima approssimazione:<br />
lineare con la distanza in frequenza<br />
Δτ g ∝ f − f<br />
1 2<br />
lineare con la distanza percorsa nella fibra<br />
Δτ ∝<br />
g<br />
L
Linearità rispetto ad L<br />
La linearità rispetto alla lunghezza della fibra si<br />
spiega così: alla base del fenomeno vi è una differenza di<br />
velocità di gruppo, visto che:<br />
la differenza di due ritardi di gruppo risulta dunque<br />
chiaramente lineare in L:<br />
τ<br />
g<br />
L<br />
=<br />
ν<br />
L L ⎛ 1 1 ⎞<br />
Δ τ g = − = L⎜<br />
−<br />
νg( f1) νg( f2) ⎜<br />
⎟<br />
νg( f1) νg(<br />
f2)<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
g
Calcolo della differenza di ritardo di gruppo<br />
Tenendo conto della linearità rispetto alla<br />
lunghezza L e rispetto alla differenza di<br />
frequenze, ci si aspetta dunque che Δτ g<br />
abbia un’espressione del tipo:<br />
Δ τ = costΔfL g
Come si determina la costante?<br />
È chiaro che il ruolo fondamentale è svolto dalla costante di<br />
proporzionalità “cost”<br />
Questa costante viene solitamente ricavata effettuando uno<br />
sviluppo in serie di τ g rispetto ad f<br />
∂τ<br />
τ ( f ) τ ( f ) + ( f − f )<br />
g g<br />
Introducendo poi un parametro β 2<br />
β<br />
2<br />
=<br />
g<br />
0<br />
∂f<br />
f<br />
0<br />
1 ∂τ<br />
g<br />
2π<br />
L ∂f<br />
0<br />
f<br />
0
Sviluppo in serie<br />
Sostituendo, si ottiene:<br />
L<br />
τg( f ) + 2 πβ2(<br />
f − f0) L<br />
ν ( f )<br />
Ma essendo interessati alla variazione e cioè a<br />
g<br />
0<br />
Δ τ = τ ( f ) −τ<br />
( f )<br />
g g 1 g 2
dimostrazione<br />
Sostituendo, si ottiene:<br />
L L<br />
Δ τg+ 2 πβ ( f − f ) L− −2 πβ ( f − f ) L=<br />
ν ν<br />
= 2πβ<br />
ΔfL<br />
2<br />
2 1 2 2<br />
g( f0) g(<br />
f0)
Il parametro β 2<br />
Dunque, la costante “cost” equivale a 2πβ 2 Il parametro chiave è<br />
pertanto β 2 , che si misura in ps/(THz·km) oppure ps 2 /km<br />
Nell’ottica si usa però indifferentemente frequenza o lunghezza<br />
d’onda β 2 è ricavato rispetto a Δf , mentre spesso si vuol ragionare<br />
usando Δλ
Il parametro D<br />
Esiste pertanto una formula analoga per Δτ g in funzione di Δλ<br />
invece che di Δf<br />
D si misura in ps/(nmkm).<br />
Δ τ = DΔλL Analogamente al caso precedente, il parametro D è definito in<br />
relazione allo sviluppo in serie di τ g , questa volta in funzione di λ<br />
invece che di f:<br />
L<br />
τg( f ) + D( λ−λ0) L<br />
ν ( λ )<br />
<br />
g<br />
0<br />
g<br />
1 ∂τ<br />
g<br />
D =<br />
L ∂λ<br />
λ<br />
0
Relazione tra D e β 2<br />
Nel campo della ricerca il parametro β 2 è molto usato<br />
Nel campo industriale e delle applicazioni, è il parametro D che<br />
prevale.<br />
I due parametri esprimono la stessa cosa, sebbene con convenzioni<br />
diverse. Sono legati dalla semplice relazione:<br />
[ ]<br />
[ nm]<br />
2<br />
⎡ ps ⎤ ⎡ps ⎤⎛<br />
2π<br />
c ⎞ [] c = km/ s<br />
D<br />
⎢<br />
= β2<br />
2<br />
nm km<br />
⎢<br />
km<br />
⎥⎜−<br />
⎟<br />
⎣ i<br />
⎥<br />
⎦ ⎣ ⎦⎝<br />
λ ⎠ [ λ]<br />
=
Relazione tra D e β 2<br />
Al centro della terza finestra, a 1550 nm, si ha:<br />
D = −0.785β<br />
Per una fibra singolo -modo standard, a 1550 nm:<br />
2<br />
[ ]<br />
D≈16 ps/ nmikm β =−<br />
2<br />
2 20[ ps / km]
Relazione tra D e β 2<br />
Il parametro D (come β 2) ha un segno<br />
D > 0:<br />
Lunghezze d’onda più corte viaggiano più<br />
velocemente di<br />
λ più lunghe Questo è il caso delle fibre “singolo<br />
modo standard”<br />
D < 0:<br />
Lunghezze d’onda più lunghe viaggiano più<br />
velocemente di λ più corte
Esempio numerico (1/2)<br />
Supponiamo di trasmettere su 200 km di fibra singolo modo standard, a<br />
1550 nm, dove D vale circa 16 ps/nm/km<br />
Assumiamo di stare trasmettendo con formato NRZ a 10 Gbit/s.<br />
Prendiamo le “zone” spettrali del segnale indicate<br />
in figura:
Esempio numerico (2/2)<br />
Calcoliamo il ritardo accumulato fra le due componenti dello spettro<br />
indicate:<br />
⎡ ps ⎤<br />
Δ τg= DLΔ λ = 16<br />
⎢<br />
200[ km]0.08[ nm] = 256 ps<br />
⎣nmikm ⎥<br />
⎦<br />
A 10 Gbit/s la slot temporale di un bit è di 100 ps Un ritardo di arrivo fra<br />
componenti spettrali dell’impulso pari a 2.56 volte il tempo di bit significa<br />
che l’impulso sarà inaccettabilmente allargato!
Cause fisiche della dispersione
Cause fisiche della dispersione<br />
Il valore dei parametri di dispersione D e β 2 è<br />
determinato dai seguenti effetti fisici:<br />
- Dispersione di materiale<br />
L’indice di rifrazione n nel vetro drogato, così come la velocità di<br />
propagazione che vi è legata, dipende dalla frequenza<br />
-Dispersione di guida d’onda<br />
La soluzione dell’equazione di propagazione per il modo fondamentale<br />
genera una dipendenza della velocità di gruppo dalla frequenza<br />
Tale dipendenza dipende dai parametri di progetto<br />
della fibra e può essere in qualche modo controllata<br />
La dispersione cromatica totale deriva (approssimativamente) dalla somma<br />
della dispersione di materiale e di guida d’onda.
Indice di rifrazione nel vetro<br />
L’effetto arcobaleno che si ottiene con prismi di vetro è dovuto alla<br />
variazione di indice di rifrazione n con la frequenza. Se n fosse costante<br />
in frequenza, la velocità di gruppo sarebbe costante in frequenza e non vi<br />
sarebbe dispersione.
Indice di rifrazione nel vetro<br />
Il parametro di dispersione D ha il seguente legame con n :<br />
d ⎛ 1 ⎞ λ ∂<br />
D= ⎜ ≈− n 2<br />
dλ⎜ ⎟<br />
ν ⎟<br />
⎝ g ⎠<br />
c ∂λ<br />
Il materiale vetroso ha uno “zero” di dispersione attorno a 1250-1300 nm<br />
2<br />
( λ)
Dispersione totale<br />
La dispersione di guida d’onda è difficile da discutere e deriva dalla<br />
soluzione dell’equazione di Maxwell nella guida ottica per il modo guidato<br />
La dispersione totale è approssimativamente la somma dei due effetti.