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La dispersione cromatica,<br />

Caratterizzazione e cause


Velocità e ritardo di gruppo<br />

La velocità di propagazione in fibra degli impulsi che portano i<br />

“bit” è detta velocità di gruppo.<br />

Il tempo di propagazione degli impulsi dipende dalla velocità di<br />

gruppo e si chiama ritardo di gruppo<br />

τ<br />

g<br />

L<br />

=<br />

ν<br />

g


Cosa è la dispersione?<br />

La dispersione cromatica consiste nel manifestarsi di differenti<br />

velocità di gruppo per le differenti componenti spettrali<br />

degli impulsi. Un impulso trasmesso in fibra ha uno spettro in<br />

frequenza G (f ):<br />

Le diverse componenti in frequenza hanno velocità e ritardi di<br />

propagazione diversi.


Conseguenze<br />

Pertanto, per un impulso trasmesso in fibra:<br />

le sue componenti in frequenza viaggeranno a velocità differenti;<br />

invece di arrivare al ricevitore allo stesso momento, vi arriveranno<br />

in momenti diversi;<br />

di conseguenza, l’impulso si dilaterà nel tempo e si distorcerà;<br />

a causa dell’allargamento, interferirà con gli impulsi adiacenti ed il<br />

diagramma ad occhio si chiuderà.


Esempio<br />

Parametri:<br />

Trasmissione NRZ, 10 Gbit/s<br />

Modulatore ideale<br />

Fibra singolo-modo standard


Differenza di ritardo di gruppo<br />

Ciò che conta per la distorsione dell’impulso non è il valore assoluto<br />

dei ritardi, ma la loro differenza:<br />

Δ τ = τ ( f ) −τ<br />

( f )<br />

g g 1 g 2


Linearità della differenza di ritardo di gruppo<br />

La differenza di ritardo di gruppo fra due componenti spettrali è, in<br />

prima approssimazione:<br />

lineare con la distanza in frequenza<br />

Δτ g ∝ f − f<br />

1 2<br />

lineare con la distanza percorsa nella fibra<br />

Δτ ∝<br />

g<br />

L


Linearità rispetto ad L<br />

La linearità rispetto alla lunghezza della fibra si<br />

spiega così: alla base del fenomeno vi è una differenza di<br />

velocità di gruppo, visto che:<br />

la differenza di due ritardi di gruppo risulta dunque<br />

chiaramente lineare in L:<br />

τ<br />

g<br />

L<br />

=<br />

ν<br />

L L ⎛ 1 1 ⎞<br />

Δ τ g = − = L⎜<br />

−<br />

νg( f1) νg( f2) ⎜<br />

⎟<br />

νg( f1) νg(<br />

f2)<br />

⎟<br />

⎝ ⎠<br />

g


Calcolo della differenza di ritardo di gruppo<br />

Tenendo conto della linearità rispetto alla<br />

lunghezza L e rispetto alla differenza di<br />

frequenze, ci si aspetta dunque che Δτ g<br />

abbia un’espressione del tipo:<br />

Δ τ = costΔfL g


Come si determina la costante?<br />

È chiaro che il ruolo fondamentale è svolto dalla costante di<br />

proporzionalità “cost”<br />

Questa costante viene solitamente ricavata effettuando uno<br />

sviluppo in serie di τ g rispetto ad f<br />

∂τ<br />

τ ( f ) τ ( f ) + ( f − f )<br />

g g<br />

Introducendo poi un parametro β 2<br />

β<br />

2<br />

=<br />

g<br />

0<br />

∂f<br />

f<br />

0<br />

1 ∂τ<br />

g<br />

2π<br />

L ∂f<br />

0<br />

f<br />

0


Sviluppo in serie<br />

Sostituendo, si ottiene:<br />

L<br />

τg( f ) + 2 πβ2(<br />

f − f0) L<br />

ν ( f )<br />

Ma essendo interessati alla variazione e cioè a<br />

g<br />

0<br />

Δ τ = τ ( f ) −τ<br />

( f )<br />

g g 1 g 2


dimostrazione<br />

Sostituendo, si ottiene:<br />

L L<br />

Δ τg+ 2 πβ ( f − f ) L− −2 πβ ( f − f ) L=<br />

ν ν<br />

= 2πβ<br />

ΔfL<br />

2<br />

2 1 2 2<br />

g( f0) g(<br />

f0)


Il parametro β 2<br />

Dunque, la costante “cost” equivale a 2πβ 2 Il parametro chiave è<br />

pertanto β 2 , che si misura in ps/(THz·km) oppure ps 2 /km<br />

Nell’ottica si usa però indifferentemente frequenza o lunghezza<br />

d’onda β 2 è ricavato rispetto a Δf , mentre spesso si vuol ragionare<br />

usando Δλ


Il parametro D<br />

Esiste pertanto una formula analoga per Δτ g in funzione di Δλ<br />

invece che di Δf<br />

D si misura in ps/(nmkm).<br />

Δ τ = DΔλL Analogamente al caso precedente, il parametro D è definito in<br />

relazione allo sviluppo in serie di τ g , questa volta in funzione di λ<br />

invece che di f:<br />

L<br />

τg( f ) + D( λ−λ0) L<br />

ν ( λ )<br />

<br />

g<br />

0<br />

g<br />

1 ∂τ<br />

g<br />

D =<br />

L ∂λ<br />

λ<br />

0


Relazione tra D e β 2<br />

Nel campo della ricerca il parametro β 2 è molto usato<br />

Nel campo industriale e delle applicazioni, è il parametro D che<br />

prevale.<br />

I due parametri esprimono la stessa cosa, sebbene con convenzioni<br />

diverse. Sono legati dalla semplice relazione:<br />

[ ]<br />

[ nm]<br />

2<br />

⎡ ps ⎤ ⎡ps ⎤⎛<br />

2π<br />

c ⎞ [] c = km/ s<br />

D<br />

⎢<br />

= β2<br />

2<br />

nm km<br />

⎢<br />

km<br />

⎥⎜−<br />

⎟<br />

⎣ i<br />

⎥<br />

⎦ ⎣ ⎦⎝<br />

λ ⎠ [ λ]<br />

=


Relazione tra D e β 2<br />

Al centro della terza finestra, a 1550 nm, si ha:<br />

D = −0.785β<br />

Per una fibra singolo -modo standard, a 1550 nm:<br />

2<br />

[ ]<br />

D≈16 ps/ nmikm β =−<br />

2<br />

2 20[ ps / km]


Relazione tra D e β 2<br />

Il parametro D (come β 2) ha un segno<br />

D > 0:<br />

Lunghezze d’onda più corte viaggiano più<br />

velocemente di<br />

λ più lunghe Questo è il caso delle fibre “singolo<br />

modo standard”<br />

D < 0:<br />

Lunghezze d’onda più lunghe viaggiano più<br />

velocemente di λ più corte


Esempio numerico (1/2)<br />

Supponiamo di trasmettere su 200 km di fibra singolo modo standard, a<br />

1550 nm, dove D vale circa 16 ps/nm/km<br />

Assumiamo di stare trasmettendo con formato NRZ a 10 Gbit/s.<br />

Prendiamo le “zone” spettrali del segnale indicate<br />

in figura:


Esempio numerico (2/2)<br />

Calcoliamo il ritardo accumulato fra le due componenti dello spettro<br />

indicate:<br />

⎡ ps ⎤<br />

Δ τg= DLΔ λ = 16<br />

⎢<br />

200[ km]0.08[ nm] = 256 ps<br />

⎣nmikm ⎥<br />

⎦<br />

A 10 Gbit/s la slot temporale di un bit è di 100 ps Un ritardo di arrivo fra<br />

componenti spettrali dell’impulso pari a 2.56 volte il tempo di bit significa<br />

che l’impulso sarà inaccettabilmente allargato!


Cause fisiche della dispersione


Cause fisiche della dispersione<br />

Il valore dei parametri di dispersione D e β 2 è<br />

determinato dai seguenti effetti fisici:<br />

- Dispersione di materiale<br />

L’indice di rifrazione n nel vetro drogato, così come la velocità di<br />

propagazione che vi è legata, dipende dalla frequenza<br />

-Dispersione di guida d’onda<br />

La soluzione dell’equazione di propagazione per il modo fondamentale<br />

genera una dipendenza della velocità di gruppo dalla frequenza<br />

Tale dipendenza dipende dai parametri di progetto<br />

della fibra e può essere in qualche modo controllata<br />

La dispersione cromatica totale deriva (approssimativamente) dalla somma<br />

della dispersione di materiale e di guida d’onda.


Indice di rifrazione nel vetro<br />

L’effetto arcobaleno che si ottiene con prismi di vetro è dovuto alla<br />

variazione di indice di rifrazione n con la frequenza. Se n fosse costante<br />

in frequenza, la velocità di gruppo sarebbe costante in frequenza e non vi<br />

sarebbe dispersione.


Indice di rifrazione nel vetro<br />

Il parametro di dispersione D ha il seguente legame con n :<br />

d ⎛ 1 ⎞ λ ∂<br />

D= ⎜ ≈− n 2<br />

dλ⎜ ⎟<br />

ν ⎟<br />

⎝ g ⎠<br />

c ∂λ<br />

Il materiale vetroso ha uno “zero” di dispersione attorno a 1250-1300 nm<br />

2<br />

( λ)


Dispersione totale<br />

La dispersione di guida d’onda è difficile da discutere e deriva dalla<br />

soluzione dell’equazione di Maxwell nella guida ottica per il modo guidato<br />

La dispersione totale è approssimativamente la somma dei due effetti.

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