programma 06-07

Capitolo 1
introduzione
Sistemi dinamici
Le teorie fisiche consistono di due elementi essenziali , una struttura cinematica , che
descrive ad un dato istante gli stati e le osservabili di un sistema, e una legge dinamica che
descrive il cambiamento di questi stati e delle osservabili con il tempo.In meccanica classica
(particelle puntiformi) uno stato é rappresentato da un punto su una varietá differenziabile
e le osservabili da funzioni sulla varietá.In meccanica quantistica (di sistemi con un numero
finito di gradi di libertá) gli stati sono dati da raggi in uno spazio di Hilbert e le osservabili
da operatori che agiscono sullo spazio stesso.In ciascuno di questi esempi la descrizione
dinamica del sistema é data da un flusso , un gruppo ad un parametro di automorfismi
della struttura cinematica sottostante, che rappresenta il moto del sistema al variare del
tempo. In meccanica classica si tratta di un gruppo ad un parametro di diffeomorfismi ,
in meccanica quantistica un gruppo di operatori unitari sullo spazio di Hilbert (per sis-
temi con un numero infinito di gradi di libertá un gruppo di automorfismi dell’agebra
delle osservabili).La descrizione naturale del moto é in termini di cambiamenti infinitesimi
del sistema . Il moto infinitesimo del sistema é descritto direttamente da una qualche
forma di formalismo hamiltoniano: in meccanica classica dal campo vettoriale hamiltoni-
ano, in meccanica quantistica da un operatore hamiltoniano autoaggiunto.Il problema di
base consiste nell’integrare queste ”prescrizione infinitesime” in modo da ottenere il flusso
dinamico. Pertanto il problema generale é studiare l’equazione differenziale :
dAt
dt
= SAt
in opportune ipotesi. Ad ogni istante A corrisponde ad una osservabile , o uno stato, del
sistema . La funzione
tɛR → At
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Sistemi dinamici
descrive il moto di A e S é un opportuno operatore, che genera il cambiamento infinitesimo
di A. Le ” dinamiche” sono date dalle soluzioni dell’equazione differenziale , con oppor-
tune condizioni di crescita e continuitá.Lo sviluppo temporale del sistema é equivalente
all’esistenza delle soluzioni globali dell’equazione del moto , soddisfacenti opportune con-
dizioni al bordo. Ci sono tre questioni fondamentali che riguadano le soluzioni : esistenza
, unicitá, e stabilitá sotto piccole perturbazioni. Formalmente la soluzione dell’equazione
differenziale é At = UtA, dove Ut = exp(tS), il problema consiste nel dare significato
all’esponenziale (a lezione ad esempio abbiamo considerato lo sviluppo dell’esponenziale
di una matrice nxn, mentre in m.q. possiamo pensare al teorema di risoluzione spet-
trale per operatori autoaggiunti). Indipendentemente dal modo in cui diamo significato
all’esponenziale ci aspettiamo alcune proprietá essenziali :
U0 = 1
UtUs = Ut+s.
Comunque esistono modi differenti di caratterizzare la continuitá dell’applicazione :
(forte,debole e uniforme).
1.1 Sistemi classici
t→Ut
L’evoluzione di un sistema dinamico pu essere rappresentato da un insieme di trafor-
mazioni, parametrizzate dal tempo, nello spazio degli stati del sistema in sè stesso :
Dt : S → S.
Queste trasformazioni rappresentano la semiretta come un semigruppo ad un parametro
(R0 + , +),poichè soddisfano una legge di composizione per ogni valore positivo del parametro
t:
D0 = 1
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Se inoltre è verificata la relazione:
Dt+s = Dt · Ds = Ds · Dt.
Dt −1 ≡ D−t
e l’evoluzione temporale vista come un gruppo a un parametro di trasformazioni di S in
sè (R, +). In meccanica classica l’insieme degli stati puri è formalizzato come una varietà
L e le osservabili sono rappresentate da funzioni reali su questa varietà.L’evoluzione di un
sistema dinamico classico pu essere vista come un gruppo ad un parametro di diffeomorfismi
di L , il cui generatore infinitesimale é un campo vettoriale (completo).Le curve integrali di
questo campo vettoriale rapprentano l’evoluzione di stati puri , mentre l’evoluzione delle
osservabili puó essere scritta come :
ft = f ◦ Φt
oppure , da un punto di vista infinitesimo come :
df
dx
= LXf
(dove f è la funzione che rappresenta l’osservabile ,X è il campo vettoriale che genera la
dinamica , e LXf la derivata di Lie di f lungo X, ossia la derivata direzionale di f lungo
le curve integrali di X. ) Data la varietà L , una parentesi di Poisson é una applicazione
associativa che ad ogni coppia di funzioni su L, associa un’altra funzione su L:
F (L) × F (L) → F (L)
tale che sia una applicazione bilineare, antisimmetrica e che soddisfi :
1)l’identitá di Jacobi, per ogni terna di funzioni:
{f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = 0
2)la regola di Leibnitz, per ogni terna di funzioni:
{fg, h} = f{g, h} + {f, h}g
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Sistemi dinamici
rispetto al prodotto standard di funzioni (prodotto puntuale )tra elementi di F (L).
Inoltre la parentesi di Poisson viene definita regolare se dalla condizione {f, g} = 0 ∀fɛF (L)
segue che g è costante. Una applicazione Φ : L → L è definita canonica se preserva la
parentesi di Poisson :
{f, g} ◦ Φ = {f ◦ Φ, g ◦ Φ}
∀f, gɛF (L). Una dinamica classica ha una formulazione canonica se l’evoluzione temporale
è rappresentata da un gruppo ad un parametro di trasformazioni canoniche (rispetto a una
data struttura di Poisson).Questa formulazione può essere espressa in forma infinitesima.
Siccome la parentesi di Poisson verifica la regola di Leibnitz , per una fissata funzione
HɛF (L) l’applicazione :
{·, H} : F (L) → F (L)
rappresenta una derivazione nell’algebra abeliana delle funzioni F(L). Nella teoria delle
varietà differenziabili , èpossibile dimostrare che ad ogni derivazione reglare su F (L)
èpossibile associare un campo vettoriale.Pertanto alla derivata poissoniana definita da H
corrisponde un campo vettoriale XH, tale che :
{f, H} = LXH f
, e XH èchiamato campo vettoriale Hamiltoniano di funzione Hamiltoniana H (rispetto
alla data parentesi di Poisson).Le componenti di questo campo vettoriale Hamiltoniano,
sono espresse da (in una opportuna carta locale {ξ a }):
˙ξ = dξa
dt
= {ξ, H}
; pertanto la parentesi di Poisson di due funzioni può essere scritta come :
{f, g} = Xg · f = {f, ξ b } ∂g ∂g
=
∂ξb ∂ξa {ξa , ξ b } ∂g
∂ξb .La parentesi di Poisson è definita dalle componenti :
Λab = {ξ a , ξ b }
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Sistemi dinamici
del tensore antisimmetrico due volte controvariante:
in modo tale che :
ab ∂ ∂
Λ ≡ Λ ⊗
∂ξa ∂ξb {f, g} = Λ(df, dg).
Un gruppo ad un parametro di trasformazioni canoniche su L (Φs) ègenerato da un campo
vettoriale X:
LXΛ = 0 ⇔ LX{f, g} = {LXf, g} + {f, LXg}.
Un campo vettoriale Hamiltoniano un campo vettoriale canonico, pertanto l’evoluzione
temporale generata da una Hamiltoniana preserva il tensore di Poisson. La forma in-
finitesima delle equazioni di evoluzione per un sistema dinamico nel formalismo di Poisson
è:
df
dt
= {f, H}.
Se il tensore di Poisson è regolare , allora è invertibile globalmente , pertanto è possibile
introdurre un tensore antisimmetrico due volte covariante su L. In coordinate locale si
scrive:
dove
ω = ωabdξ a ⊗ dξ b
λ ab ωbc ≡ −δ a c.
Questo tensore non è degenere . La coppia (L,ω), con L varietà differenzialbile e ω una
forma chiusa (dω=0), non degenere antisimmetrica due volte covariante è chiamata varietà
simplettica. Un campo vettoriale X è chiamato localmente Hamiltoniano se è il generatore
infinitesimo di trasformazioni simplettiche, che preservano il tensore simplettico:
LXω = 0.
I campi vettoriali simplettici sono canonici rispetto al tensore di Poisson associato ad ω:
LXω = 0 ⇔ LXΛ = 0
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Inoltre in base alla identità di Cartan :
Sistemi dinamici
LXω = 0 ⇒ iXdω + diXω = 0 ⇒ diXω = 0.
Pertanto i campi vettoriali globalmente Hamiltoniani sono quei campi per cui la 1-
forma non èsolo chiusa ma anche esatta:
iXω = dH.
Ad esempio se Q rappresenta lo spazio delle configurazioni per l’evoluzione di un sistema
Newtoniano , le cui equazioni del moto sono scritte come (q a sono le coordinate di posizione
v a sono le coordinate di velocitá, mentre l’evoluzione avviene sul fibrato cotangente TQ ):
˙
v a = F a (q i , v j )
˙
q a = v a ;
per cui , sulla varietà L = T ∗ Q (dove le q a sono ancora coordinate su Q , la base del
fibato , ossia le osservabili di posizione, mentre le pa sono coordinate locali sulle fibre , ed
indicano i momenti)questa evoluzione diventa simplettica se definiamo :
Λ a b = {q a , pb} = δ a b
Λ = ∂ ∂
∧
∂qa ∂pa
ω = dq a ∧ dpb
poichè le equazioni del moto possono essere riscritte nella forma
q˙a = p a = {q a , H} = ∂H
∂pa
pa ˙ = − ∂H
∂qa = {pa, H} = ∂H
∂pa
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Sistemi dinamici
dove H = 1
2 pa pa + U(q a ), mentre U indica l’energia potenziale il cui gradiente è il campo
di forze F:
Fa = − ∂U
.
∂qa E’ possibile considerare una vatietá simplettica (L,ω), come uno spazio omogeneo per
l’azione , libera e transitiva, del gruppo delle traslazioni. Se il sistema di coordinate (q a , pa)
è globale , allora le funzioni coordinate possono essere viste come funzioni Hamiltoniane che
generano campi vettoriali hamiltoniani, che rappresentano proprio i generatori del gruppo
delle traslazioni:
1.3 Operatori canonici :
q a ∂
→ Xqa = −
∂pa
pa → Xpa
∂
= .
∂qa La formulazione dei sistemi dinamici quantistici è profondamente differente .Gli stati
puri sono rappresentati da raggi di uno spazio di Hilbert separabile , le osservabili sono rap-
presentate da operatori autoaggiunti su questo spazio.L’evoluzione temporale è rappresen-
tata da trasformazioni unitarie nell’insieme degli stati.In base al principio di corrispondenza
possiamo postulare che ,in meccanica quantistica, il gruppo generato dalle coordinate carte-
siane posizione e momento (per un sistema di particelle) sia lo stesso di quello classico (le co-
ordinate posizione e momento ,x e p, generano , rispettivamente, le traslazioni nei momenti
e nelle posizioni) .La nozione di sistema di Weyl permette di confermare questa ipotesi.La
meccanica quantistica di sistemi con un numero finito di gradi di libertá è espresso in ter-
mini di un insieme finito di coppie canoniche Q1, P1; Q2, P2; ...Qn, Pn. Dunque si inizierá
dalle relazioni di commutazione per gli operatori posizione e momento(Q,P).
Dalla meccanica ondulatorio é noto che nella rappresentazione delle coordinate
l’operatore posizione agisce come operatore di moltiplicazione su funzioni quadrato in-
tegrabile :
(ˆxf)(x) = xf(x)
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Sistemi dinamici
mentre l’operatore momento é un operatore differenziale del primo ordine su tali funzioni:
(ˆpf)(x) = −i¯hgradf(x).
Allo stesso modo nella rappresentazione dei momenti l’azione delle ˆx,e delle ˆp 1’e scambi-
ato: ˆx agisce come un operatore differenziale del primo ordine sulle funzioni a quadrato
integrabile rispetto alle variabili p,ossia
(ˆxφ)(p) = i¯hgradφ(p)
mentre le ˆp agiscono come un operatore di moltiplicazione su tale classe di funzioni,
In entrambe le rappresentazioni si trova :
(ˆpφ)(p) = pφ(p).
ˆxˆp − ˆpˆx = i¯h1
(questa uguaglianza deve essere intesa in senso operatoriale ossia entrambi i membri agis-
cono su una opportuna classe di funzioni).
Pertanto possiamo pensare a una concreta realizzazione degli operatori posizione e
momento , dove ˆx, e ˆp agiscono su funzioni φ(x)ɛL 2 (R 3 ). Comunque possiamo assumere
un punto di vista più astratto dove eviteremo di considerare una particolate realizzazione
per entrambi ˆx, ˆp come operatori defferenziali , e supporremo che agiscono su elementi di
uno spazio di Hilbert astratto H. Comunque continueremo a richiedere , che il commutatore
definito da
[ˆx, ˆp] ≡ ˆxˆp − ˆpˆx
sia ancora uguale ad un multiplo dell’identitá.
osservazione: per dare significato a [ˆx, ˆp], dobbiamo sempre trovare un dominio D ⊂
D(x) ∩ D(p) tale che xD ⊂ D(p) e pD ⊂ D(x). Negli esempi di prima (rappresentazione
dei momenti o delle posizioni) una buona scelta dei domini consiste nel considerare gli spazi
di Sobolev (S∞ ossia spazi di funzione di classe C ∞ che decrescono all’infinito, insieme con
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Sistemi dinamici
tutte le derivate, piú rapidamente di qualunque potenza negativa di x ).In questo caso lo
spazio é uguale al suo trasformato secondo trasformata di Fourier,
A questo punto osserviamo che operatori soddisfacenti la relazione di commutazione
canonica non possono essere entrambi limitati , in virtú del teorema di Wintner. Infatti
si supponga per assurdo che due generici operatori  e ˆ B autoaggiunti e limitati abbiano
commutatore pari ad un multiplo dell’identitá [ Â, ˆ B] = c1.Dunque ripetendo l’applicazione
delle regole di commutazione si ottiene
[ Â, ˆ B n ] = cn ˆ B n−1
, da cui applicando la diseguaglianza triangolare ad entrambi i membri si ottiene :
e questo accade ∀nɛN ossia :
cn|| ˆ B|| n−1 = cn|| ˆ B n−1 || ≤ 2|| Â|||| ˆ B|| n
cn ≤ 2|| Â|||| ˆ B||
. Questo risultato é in palese contraddizione con l’ipotesi di operatori entrambi limi-
tati.Dunque possiamo concludere che mentre il membro di destra delle relazioni di com-
mutazione é definito sull’intero spazio di Hilbert, il membro di sinistra non lo é.Tale risul-
tato é imputabile al teorema di Hellinger e Toeplitz 1 ,il quale stabilisce che un operatore
chiuso 2 (A, DA) definito in uno spazio di Hilbert H e tale che DA = H, é limitato.Dunque
un operatore chiuso non limitato non puó avere come dominio di definizione l’intero spazio
di Hilbert.
Questo risultato si enuncia anche dicendo che dove il commutatore é definito é un
multiplo dell’identitá. In altre parole l’identificazione del momento e della posizione con
operatori differenziali che agiscono su funzioni a valori complessi ( ad esempio con dominio
le funzioni di classe C ∞ )
Dunque il problema che tecnicamente si pone é : come dare significato alle relazioni di
commutazione se gli operatori pur essendo autoaggiunti non sono limitati?La risposta fu
1 si veda biblio,n4
2 ∀fn ⊂ DA se fn → g allora fɛDA inoltre se Afn → ϕ allora Afn = ϕ
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Sistemi dinamici
suggerita da Weyl.Piuttosto che considerare operatori differenziali si possono considerare
operatori unitari (dunque limitati)ottenuti per esponenziazione degli operatori P,Q ossia :
U(s) = e isP , V (t) = e itQ
( gruppi a un parametro)tali che soddisfino la seguente relazione
.
U(s)V (t) = e ist V (t)U(s)
Il teorema di risoluzione spettrale per operatori autoaggiunti non limitati permette
di dare senso all’esponenziale di un operatore .Riportiamo il seguente risultato chiave :
sia A operatore autoaggiunto nello spazio di Hibert H, esiste una famiglia di operatori*
Eλ (λɛR) tali che E −(∞) = 0 e E (∞) = 1 i quali permettono di scrivere A = λdEλ.In
particolare se si considera la funzione f : R → C integrabile secondo Lebesgue allora
risulta f(A) = f(λ)dEλ.Nel caso in cui la f sia e ix otteniamo U=e iA = e iλ dEλ, ot-
teniamo l’esponenziale dell’operatore non limitato ma autoaggiunto di cui eravamo alla
ricerca.In proposito si enuncia il seguente teorema dovuto a Stone:dato H spazio di Hilbert
,l’operatore funzione U :R −→ U(H) il quale soddisfi le seguenti condizioni:
1)∀tεR, U(t)é un operatore unitario e U(t+s)=U(t)U(s),∀s, tɛR
2)∀ϕɛH set −→ t0 allora risulta U(t)ϕ −→ U(t0)ϕ; si definisce operatore unitario ad
un parametro fortemente continuo.Per i vettori ψ per i quali esiste il limite :
lim U(t)ψ − ψ
t → 0 t
≡ iAψ
si definisce A generatore infinitesimale .L’insieme delle ψ per cui il limite esiste é il dominio
di A. All’interno di questo dominio A risulta essere essenzialmente autoaggiunto.
2.1 Sistemi di Weyl:
Per ”quantizzazione ” intendiamo il passaggio da un sistema meccanico classico ad
uno quantistico.Il punto di partenza é uno spazio vettoriale simplettico che indicheremo
* si veda appendice decomposizione spettrale
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Sistemi dinamici
con (L, ω) dove L é uno spazio vettoriale finito dimensionale e ω una forma bilineare
antisimmetrica e non degenere .Per sistema di Weyl associato ad (L,ω) si intende una
applicazione nell’insieme degli operatori unitari su uno spazio di Hilbert separabile H:
tale che :
W : L ↦−→ U(H)
1)W é continuo nella topologia forte degli operatori;
2)Per ogni coppia di vettori z,z’ɛL :
W (z + z ′ ) = e iω(z,z′ )
2¯h W (z)W (z ′ )
(da questo momento in poi,salvo avviso contrario ,porremo ¯h = 1).
Tale condizione comporta:
W (z ′ )W (z) = e iω(z,z′ ) W (z)W (z ′ ) [1]
Ogni spazio vettoriale é un gruppo rispetto alla somma .Ebbene il sistema di Weyl
puó essere riguardato come una rappresentazione unitaria ,proiettiva del gruppo delle
traslazioni.Il fattore di fase di questa rappresentazione é connesso con la forma simplettica
su L. Nell’ipotesi in cui L sia decomponibile nella somma diretta di uno spazio vettoriale
e del suo duale :
L = S ⊕ S ∗
si puó esprimere la definizione dei sistemi di Weyl nel seguente modo .Consideriamo
e ancora
U : S −→ U(H)
V : S ∗ −→ U(H)
dove entrambi gli operatori U,V sono rappresentazioni unitarie continue di S,S ∗ . Ebbene
diremo che la coppia (U,V) definisce un sistema di Weyl se
V (f)U(x) = e if(x) U(x)V (f) ∀xɛS ∀fɛS
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e ancora
Infatti in questo caso essendo
Sistemi dinamici
U(x)U(x ′ ) = U(x ′ )U(x) , V (f)V (f ′ ) = V (f ′ )V (f)
L = S(spazio configurazioni) ⊕ S ∗ (spazio dei momenti)
una forma simplettica naturale é data da [(x, f), (x ′ , f ′ )] = 〈f, x ′ 〉 − 〈f ′ , x〉 dove 〈·, ·〉
stanno a indicare le parentesi di dualitá (in particolare 〈f, x〉=f(x)). Dunque definiamo
W (z) = e if(x)
2 U(x)V (f) da cui si puó dimostrare W (z + z ′ ) = e iω(z,z′ )
2 W (z)W (z ′ ). In
particolare prendendo in considerazione un vettore di L,e due scalari t,t’ :
W (tz)W (t ′ z) = W ((t + t ′ )z) , ∀t, t ′ ɛR ∀zɛL
ossia W(tz)é un omomorfismo tra R e U(H), ossia un gruppo ad un parametro di trasfor-
mazioni unitarie. W(tz) é un gruppo ad un parametro di operatori unitari fortemente
continui. Dunque appellandosi al teorema di Stone W si puó considerare l’esponenziale di
un operatore autoaggiunto:
W (z) = e iR(z)
. Dalle ipotesi fatte per il sistema di Weyl segue che R(z) é lineare
. Inoltre la relazione [1] stabilisce
R(tz) = tR(z) ∀tɛR ∀zɛL
W (tz)W (t ′ z ′ ) = e −iω(tz,t′ z ′ ) W (t ′ z ′ )W (tz)
e itR(z) e it′ R(z ′ ) = e −iω(tz,t ′ z ′ ) e it ′ R(z ′ ) e itR(z)
Dunque il sistema di Weyl per un sottospazio unidimensionale corrisponde a un gruppo
unitario ad un parametro di operatori unitari che soddisfano le regole di commutazione .
In particolare lo sviluppo in serie di entrambi i membri della [2](arrestato al primo ordine)
conduce alla formula
[R(z), R(z ′ )] = iω(z, z ′ )
14
[2]

.
2.2 Schrödinger picture:
Sistemi dinamici
Una volta definito il sistema di Weyl il passo successivo é darne una realizzazione.In
particolare consideriamo L = S ⊕ S ∗ , dove se con S intendiamo una varietá (spazio vet-
toriale reale di dimensione finita) L ∼ = T ∗ S (fibrato cotangente).Introdotto un sistema di
carte globali ad ogni vettore z restano associate le coordinate (q a , pa). Con M intender-
emo lo spazio di Hilbert H=L 2 (S, dx): spazio delle funzioni a quadrato integrabile rispetto
alla misura di Lebesgue (invariante per traslazione).Gli operatori U,V (di cui al paragrafo
precedente) sono cosí definiti:
(U(q)ψ)(x) = ψ(x + q) U : S −→ U(L 2 (S))
(V (p)ψ)(x) = e i〈p,x〉 ψ(x) V : S ∗ −→ U(L 2 (S))
dove 〈p, x〉 corrisponde all’azione del covettore p su x (parentesi di dualitá).
L’operatore
W (z)ψ = W (q, p)ψ = U†(q)V (p)e i〈p,x〉
2 ψ(x)
fornisce una realizzazzione del sistema di Weyl .
La sua azione su una funzione ψ in H é
W (q, p)ψ(x) = e −i〈p,q〉
2 e i〈p,x〉 ψ(x − q)
Essendo U(q) e V(p) gruppi ad un parametro di operatori unitari possono riscriversi
in termini di operatori autoaggiunti (generatori infinitesimali)
U(q) = e iqa ˆ Pa ( ˆ Paψ)(x) = −i dψ
dx a
V (p) = e ipb ˆ Qb ( ˆ Q b ψ)(x) = x b ψ(x)
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Sistemi dinamici
U(q) costituisce una rappresentazione fedele del guppo abeliano delle traslazioni (S,+).
Analogamente, visto che S ∗ é isomorfo a S ,V(p) puó considerarsi una rappresentazione di
(S ∗ ,+).I singoli operatori associati non commutano :
U(q)V (p) = e iω(q,0),(0,p) V (p)U(q)
La rappresentazione di Schrödinger oltre ad essere irriducibile (si dimostra) risulta
il ”prototipo” di realizzazione in meccanica quantistica .Questo risultato va sotto il nome
di teorema di Von Neumann.Il teorema stabilisce che :dati due gruppi a un parametro su
uno spazio di Hilbert H separabile ,e tali da soddisfare le relazioni qualificanti il sistema
di Weyl , allora esistono sottospazi chiusi ,Hl tali che :
1)H = ⊕l=1 N Hl , N > 0 N ≤ ∞
2)Ciascun Hl é invariante per azione di U(α) e V(β) ∀α, βɛR
3)Per ogni l, esiste un operatore unitario Tl : Hl −→ L 2 (R) tale che TlU(α)Tl −1 é una
traslazione di α e TlV (β)Tl −1 é una moltiplicazione per un fattore di fase e iβx .
In altri termini le realizzazioni irriducibili delle relazioni di commutazione alla Weyl
sono equivalenti tra di loro;dunque possono essere ricondotte alla rappresentazione di
Schödinger attraverso un operatore (isometria)Tl che agisce per coniugazione:
(Tl(U(α))Tl −1 ψ)(x) = ψ(x)
(Tl(V (β))Tl −1 ψ)(x) = e i〈β,x〉 ψ(x)
2.3 Applicazioni lineari simplettiche e operatori unitari
Il sistema di Weyl si basa su uno spazio vettoriale simplettico;le strutture geometriche
che abbiamo a disposizione sono dunque:struttura di spazio vettoriale, e una forma simplet-
tica invariante per traslazioni.Le trasformazioni T dello spazio di partenza (T : L −→ L)
che conservano entrambe le strutture sono le trasformazioni lineari e simplettiche.Ci pro-
poniamo , dunque, di esaminare le proprietá di covarianza del sistema di Weyl per trasfor-
mazioni di questo tipo .
W (T (z + z ′ )) = e iω(z,z′ )
2 W (T (z))W (T (z ′ ))
16

Sistemi dinamici
(linearitá di T) mentre in base alla simpletticitá
.
ω(T (z), T (z ′ )) = ω(z, z ′ )
Questo risultato suggerisce di considerare un nuovo sistema di Weyl WT : S −→
U(H) tale che z −→ W (T z)
WT (z + z ′ ) = WT (z)WT (z ′ )e iω(z,z′ )
2
. Dunque essendo WT unitariamente equivalente a W é possibile definire un automorfismo
(associato alla specifica trasformazione T)
per cui
υT : U(H) −→ U(H)
W (T z) = WT (z) = υT (W (Z))
Siccome ogni automorfismo del gruppo degli operatori unitari si puó scrivere come
una coniugazione per un operatore unitario
υT (W (z)) = UT −1 W (z)UT
, ogni trasformazione simplettica puó essere rappresentata come operatore unitario sullo
spazio di Hilbert risolvendo l’equazione:
o per quanto riguarda i generatori R(z):
UT −1 W (z)UT = W (T z)
UT −1 R(z)UT = RT (z) = pa ˆ Q a T − q a ˆ PT a
In base al teorema di Von Neumann i calcoli possono essere svolti nella rappresen-
tazione di Schrödinger.Prima di procedere é necessario motivare la presenza degli indici,
rispettivamente in alto e in basso, per gli operatori ˆ (P ) e ˆ Q. Si consideri la trasformazione
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Sistemi dinamici
T (di cui sopra) che agisce sulle componenti q ,q ′ a ≡ T a bq b e per le componenti duali
p ′
a ≡ T −1b a(pb) in base a quanto precedentemente osservato
da cui
UT −1 e iqa ˆ Pa UT UT −1 e −ipa ˆ Q a
(si trascura il fattore di fase ) da cui
UT −1 W (z)UT = UT −1 e i(qa ˆ Pa−pa ˆ Q a ) UT
UT = e i(T a bq b ˆ Pa) e i(T −1b a(pb) ˆ Qa) ≡ W (z)
ˆPT a = T b a( ˆ Pb)
mentre nel caso degli operatori ˆ Q otteniamo :
ˆQ a T = Tb −1a ( ˆ Q b )
(le ˆ P si trasformano con legge di controvarianza rispetto alle ˆ Q).
Queste leggi di trasformazione dei sistemi di Weyl rispetto al gruppo delle trasfor-
mazioni lineari simplettiche suggeriscono una riflessione : supponiamo di avere una dinam-
ica classica sullo spazio vettoriale di partenza L , e che questa dinamica possa esprimersi in
forma canonica attraverso una hamiltoniana quadratica .L’evoluzione temporale dunque
potrá scriversi come un gruppo ad un parametro di trasformazioni lineari simplettiche su
L (lungo il moto si conserva la forma simplettica ,le equazioni di Hamilton sono del primo
ordine ).
Dunque una volta ottenuta l’evoluzione temporale si puó pensare ,tramite quanto
detto in precedenza , di ottenere il corrispondente gruppo ad un parametro di operatori
unitari ,ossia l’evoluzione quantistica.
2.4 Oscillatore armonico
A volte risulta conveniente , in particolare in teoria dei campi , introdurre variabili
canoniche complesse. Per arrivare alla formulazione di uno spazio delle fasi come una
18

Sistemi dinamici
varietá lineare complessa anziché reale , consideriamo lo spazio delle configurazioni L dotato
, non solo della struttura di spazio vettoriale reale , ma anche di una struttura metrica
(ossia lo spazio delle configurazioni é uno spazio euclideo). Supponiamo, pertanto, che
su L sia definita una forma bilineare (reale) simmetrica definita positiva , (x, y), ∀x, yɛL.
In questo caso lo spazio vettoriale L ∗ duale di L può essere mappato canonicamente in L
(isomorfismo tra spazi); se f é in L ∗ , esiste un unico elemento u in L per cui
f(u) = (x, u)
(al variare di x il L). Pertanto f = u ∗ e u = f ∗ , da cui é chiaro che u ∗∗ = u. Un elemento
generico z di M = L ⊕ L ∗ ha la forma :
z = u ⊕ v ∗
con u, vɛL. A questo punto definiamo l’operatore j su M come segue :
jz = −v ⊕ u ∗ .
E’ facile dimostrare che j é una trasformazione reale (j(az) = aj(z), ∀aɛR e j(z + z ′ ) =
jz + jz ′ , ∀z, z ′ ɛM ) e che j 2 = −1,dove 1 indica la trasformazione identica . Pertanto j
si comporta come il prodotto per l’unitá immaginaria i, dunque possiamo introdurre una
struttura complessa su M (come un fatto di pura algebra) definendo l’azione di un generico
numero complesso a + ib come :
(a + ib)z = az + bjz.
Non é difficile dimostrare che con questa definizione M diventa uno spazio vettoriale sul
campo dei numeri complessi. A questo punto definiamo per z in M un operatore :
a † (z) =
a(z) =
[R(z) − iR(jz)]
√ 2
[R(z) + iR(jz)]
√ .
2
19

Sistemi dinamici
E’ possibile dimostrare che a e a † (operatori di creazione e distruzione) sono funzioni lineari
complesse di z (a(cz) = ca(z) e a † (cz) = ca † (z) ∀cɛC) , a differenza del carattere lineare
reale di R(z).Inoltre le relazioni di commutazione per gli operatori di creazione e distruzione
hanno relazioni di commutazioni più convenienti rispetto a R(z).In primo luogo bisogna
osservare che M ,dotato della struttura complessa j, diventa uno spazio unitario. Definendo
S(z, z ′ ) = −ω(iz, z ′ ) é facile dimostare che
S(z, z ′ ) = (u ′ , u) + (v, v ′ )
, per cui S(z,z’) é una forma reale simmetrica definita positiva su M . Possiamo verificare
che :
< z, z ′ >= S(z, z ′ ) + iω(z, z ′ )
z = u ⊕ v z ′ = u ′ ⊕ v ′
< z, z ′ >= (u, u ′ ) + (v, v ′ ) + i[(v, u ′ ) − (v ′ , u)]
definisce un prodotto su M che lo rende uno spazio unitario. Pertanto le relazioni di
commutazione per gli operatori di distruzione e costruzione diventano:
[a(z), a † (z ′ )] = − < z, z ′ > .
Se lo spazio vettoriale simplettico é dotato di una base simplettica e1, e2, ...e ′ 1, e ′ 2..., per
cui:
ω(en, ep) = ω(e ′ n, e ′ p) = 0
ω(en, e ′ p) = δnp
, le precedenti relazioni di commutazione assumono la forma:
[aj, a † k ] = δjk.
Passiamo ad un esempio : l’oscillatore armonico . La varietá simplettica corrisponde
a M = R 2 = T ∗ R ( come vedremo, l’evoluzione temporale dell’oscillatore armonico non
20

Sistemi dinamici
preserva la suddivisione tra spazio delle configurazioni e spazio duale :L⊕L ∗ ). La struttura
simplettica naturale corrisponde a :
L’Hamiltoniana classica é data da :
a,b:
ω[(a, b); (a ′ , b ′ )] ≡ ba ′ − ab ′
R(a, b) ≡ aP + bQ.
H = b2 m
+
2m 2 ω2a 2
Risolvendo le equazioni di Hamilton associate otteniamo l’evoluzione dei parametri
at = acos (ωt) + b
mω sin(ωt)
bt = −amω sin (ωt) + bcos(ωt).
L’evoluzione temporale dei parametri a e b induce un gruppo ad un parametro di auto-
morfismi sulle osservabili Pt, Qt
Pt ≡ P cos (ωt)−Qmω sin(ωt)
Qt ≡ P
sin(ωt) + Q cos(ωt)
mω
. In particolare (secondo la notazione del paragrafo precedente)
νt(R(a, b)) = aPt + bQt = [acos (ωt) + b
sin(ωt)]P + [−amω sin (ωt) + bcos(ωt)]Q.
mω
In altre parole otteniamo
νt(R(a, b)) = aPt + bQt = atP + btQ = U −1
t R(a, b)Ut.
Le formule relative all’evoluzione degli operatori P e Q sono soluzioni delle equazioni del
moto di Heisenberg :
i¯h d
dt At = [At, H]
21

, con Hamiltoniana H =
e Tt preserva la struttura complessa
C ∗ − algebre
Sistemi dinamici
2
P m
2m + 2 ω2Q2 . L’automorfismo corrispondente :
νt(A) = At = e iHt Ae −iHt ,
0
−mω 0
1
mω
La teoria delle C ∗ algebre é una astrazione delle strutture di alcune algebre di operatori
limitati che agiscono su un certo spazio di Hilbert H, e contemporaneamente costituiscono
un particolare esempio di algebra di Banach. Sia A uno spazio vettoriale sul campo dei
numeri complessi C.Lo spazio A é chiamato algebra se é dotato di una legge di molti-
plicazione che permette di associare il prodotto AB a ogni coppia A, BɛA.Il prodotto é
assunto associativo e distributivo. In particolare si assume :
.
A(BC) = (AB)C
A(B + C) = AB + AC,
ab(AB) = (aA)(bB), ∀a, bɛC.
Un sottospazio B di A che é un’algebra rispetto alle operazioni di A é chiamata sottoal-
gebra. L’algebra A é commutativa , o abeliana, se il prodotto é commutativo,i.e.
AB = BA.
Una applicazione AɛA→ A ∗ ɛA é chiamata involuzione , o aggiunto, dell’algebra A se
accade che :
A ∗∗ = A
(AB) ∗ = B ∗ A ∗
22

Sistemi dinamici
(aA + bB) ∗ = aA ∗ + bB ∗
(a =complesso coniugato di a). Un’algebra con involuzione é chiamata *-algebra, e un
sottoinsieme B di A é chiamato autoaggiunto se AɛB implica che A ∗ ɛB.
L’algebra B é normata se ad ogni elemento A ’e associato un numero reale | |A| |, la
norma di A, con le proprietá:
| |A| | ≥ 0 , | |A| | = 0 → A = 0
a| |A| | = | a || |A| |
| |A + B| | ≤ | |A| |+| |B| |
| |AB| | ≤ | |A| || |B| |.
La terza di queste condizioni é la disuguaglianza triangolare . La norma definisce una
topologia metrica su A ,definita topologia uniforme.Gli aperti di un elemento A in A in
questa topologia sono dati da :
U(A; ɛ) = {B; BɛA, | |B − A| | < ɛ}.
Se A é completa rispetto alla topologia uniforme allora é chiamata algebra di Banach.Un’algebra
normata completa e con involuzione e con la proprietá | |A| | = | |A ∗ | | é chiamata *-algebra
di Banach.
definizione una C ∗ algebra é un’algebra di Banach A con la proprietá:
per ogni AɛA.
| |A ∗ A| | = | |A| | 2
Si osservi che questa proprietá combinata con la disuguaglianza relativa al prodotto,
determina :
da cui segue
| |A| | 2 = | |A ∗ A| | ≤ | |A ∗ | || |A| |
| |A ∗ | | = | |A| |
23

Sistemi dinamici
per ogni AɛA. Una identitá 1 di una C ∗ -algebra A é un elemento di A tale che
A = 1A = A1
∀AɛA. Risulta anche che 1 ∗ é un’identitá. L’identitá in A se esiste é unica. Infatti non
necessariamente un’algebra é dotata di identitá. Una volta introdotta la struttura di C ∗
algebra in astratto , siamo interessati ad introdurre la teoria delle rappresentazioni .I due
concetti chiave sono quello di rappresentazione e di stato.Gli stati su A sono una classe di
funzionali lineari definiti su A a valori positivi.Per *-morfismo tra due *-algebre A,B si
intende una apllicazione π:
π(aA + bB) = aπ(A) + bπ(B),
π(AB) = π(A)π(B),
π(A ∗ ) = π(A) ∗
per ogni coppia A,B in A,B e a,b in C. Risulta: Sia A una *-algebra di Banach con
identitá,e B una C ∗ algebra ,e π uno *-morfismo da A in B. Allora π é continuo e :
| |πA| | ≤ | |A| |
per ogni AɛA.Inoltre , se A é una C ∗ algebra allora il range di π,Bπ = {π(A) ; AɛA}, é
una C ∗ -algebra di B. Ora introduciamo il kernell di π come :
ker(π) = AɛA; π(A) = 0
dove ker π é uno *-ideale bilatero. Dunque possiamo considerare l’algebra quoziente Aπ =
A\kerπ.Gli elementi di Aπ sono le classi
 = (A + I, Iɛkerπ) e il morfismo π induce
un morfismo ˆπ definito come ˆπ( Â) = π(A).Il kernell di ˆπ é nullo per costruzione . A
questo punto definiamo il concetto di uno *-isomorfismo tra C ∗ algebre. Uno *-morfismo
π di A in B é uno *-isomorfismo se é iniettivo e suriettivo.Pertanto uno *-morfismo é uno
*-isomorfismo , se e solo se kerπ = 0.
Rappresentazioni
24

Sistemi dinamici
Una rappresentazione di una C ∗ algebra A é definita come la coppia (H, π), dove
H é uno spazio di Hilbert complesso e π é uno *-morfismo di A nello spazio di Banach
degli operatori limitati L(H). La rappresentazione ’e detta fedele se e solo se π é uno
*-isomorfismo tra A e π(A) . Dunque un criterio generale per comprendere se una rap-
presentazione é fedele consiste nel verificare che kerπ = 0. Uno *-automorfismo τ di una
C ∗ algebra corrisponde a uno *-isomorfismo di A in sé stesso.
norma ,
In particolare risulta che ogni *-automorfismo τ di una C ∗ algebra A conserva la
| |τ(A)| | = | |A| | ∀AɛA.
Per comprendere i vari tipi di rappresentazione é necessario introdurre il concetto
di sottorappresentazione .Se (H, π) é una rappresentazione di una C ∗ algebra e H1 é
un sottospazio di H allora H1 é detto un sottospazio invariante , o stabile sotto π se
π(H1) ⊆ H1 per ogni AɛA.Se H1é un sottospazio chiuso di H e PH1
proiettore ortogonale con range H1 allora l’invarianza di H1 sotto π implica che
per ogni AɛA. Dunque
per ogni AɛA(in altre parole PH1
PH1π(A)PH1 = π(A)PH1
π(A)PH1 = (PH1π(A ∗ )PH1) ∗
= π(A ∗ ∗
)PH1
= PH1π(A),
deduce che H1 é invariante sotto π se e solo se
corrisponde al
commuta con ogni rappresentativo π(A).) Viceversa si
π(A)PH1
= PH1 π(A)
per ogni AɛA. Pertanto possiamo concludere che seH1 é invariante per π e π1 é definito
come
π1 = (PH1π(A)PH1)
25

Sistemi dinamici
allora la coppia (H1, π1) é una rappresentazione di A,per esempio
π1(A)π1(B) = (PH1π(A))(π(B)PH1 )
= PH1π(AB)PH1 = π1(AB).
Una rappresentazione costruita in questo modo é chiamata sottorappresentazione di (H, π).
Si osservi inoltre che questo metodo fornisce una decomposizione di π nel seguente senso.Se
H1 é invariante sotto π allora il suo complemento ortogonale H1 ⊥ é anch’esso invariante
.Ponendo H1 ⊥ = H2 possiamo definire una seconda sottorappresentazione (H2, π2), dove
π2(A) = PH2π(A)PH2 .Ma , essendo H uno spazio di Hilbert, ammette una decomposizione
in somma diretta H = H ⊕ H, e ogni operatore risula decomposto nella somma diretta
π(A) = π1(A) ⊕ π2(A).Pertanto possiamo porre π = π1 ⊕ π2, e (H, π) = (H1π) ⊕ (H1π).
La rappresentazione triviale é data da π = 0 , ossia π(A) = 0 ∀A. Una rappresentazione
, anche se non triviale, puó ammettere una componente triviale .Dunque se H0 é definito
come
H0 = {ψ; ψɛH, π(A)ψ = 0 ∀AɛA}
allora H0 é invariante sotto π e la corrispondente sottorappresentazione π0(A) = PH0 π(A)PH0
é nulla . Una importante categoria di rappresentazioni non degenere é data dalle rappre-
sentazioni cicliche.Prima di introdurre questo concetto é necessario introdurre il concetto
di vettore ciclico(Ω) in uno spazio di Hilbert H rispetto a un insieme di operatori limitati
M.Un vettore (Ω) é ciclico se la varietá lineare generata da {AΩ; AɛM} é densa in H.
Allora possiamo definire :
Una rappresentazione ciclica di una C ∗ algebra A é definita dalla terna (H, π, Ω),
dove (H, π) é una rappresentazione di A e Ω é un vettore ciclico in (H) (ciclico per π,
in H).Esiste in realtá un concetto piú generale di vettore ciclico .Se R é un sottospazio
chiuso di H allora R é chiamato un sottospazio ciclico per H ogni volta che :
{Σiπ(Ai)ψi; AiɛA, ψiɛR}
é denso in H. I proiettori ortogonali PR, il cui range é in R é chiamato un proiettore
ciclico. E’ evidente da queste definizioni che ogni rappresentazione ciclica é non degenere,
26

Sistemi dinamici
ma esiste anche la proposizione inversa.Per descrivere questa proposizione inversa abbiamo
bisogno del concetto di somma diretta di rappresentazioni. Sia (Hi, πi)iɛI una famiglia di
rappresentazioni di una C ∗ algebra A (l’insieme degli indici puó essere sia numerabile che
non). La somma diretta
H =
iɛI Hi
di spazi Hi, é definita al solito modo e la somma diretta dei rappresentativi
π =
ponendo π(A) uguale all’operatore πi(A) sul sottospazio relativo Hi. Risulta (teorema
senza dimostrazione) : sia(A, π) una rappresentazione non degenere di una C ∗ -algebra
A;allora π é la somma diretta di una famiglia di sottorappresentazioni cicliche. In base a
questa proposizione il problema generale delle rappresentazioni si riduce al problema delle
rappresentazioni cicliche.Questo risultato é molto utile siccome esiste un modo canonico
di costruire le rappresentazioni cicliche. Un concetto chiave nella teoria é il concetto di
rappresentazione irriducibile :
iɛI πi
Un insieme M di operatori limitati sullo spazio di Hilbert H é definito irriducibile se i
sottospazi di H che sono invarianti sotto l’azione di M, sono solo i sottospazi triviali {0} e
H.Una rappresentazione (H, π) di una C ∗ -algebra A é definita irriducibile se l’insieme π(A)
é irriducibile su H . Esistono due criteri standard per l’irriducibilitá. Sia M un insieme di
operatori autoaggiunti e limitati su uno spazio di Hilbert H.Le seguenti proposizioni sono
equivalenti:
1)M é irriducibile;
2)L’isieme degli operatori M’ limitati su H che commutano con ogni A ɛM, consiste
dei soli multipli dell’operatore identitá
3)ogni vettore non nullo ψɛH é ciclico per M in H.
Concludiamo questa breve sintesi delle proprietá delle rappresentazioni osservando
che se é nota una rappresentazione di una C ∗ -algebra allora é facile costruirne altre. Per
esempio se U é una rappresentazione unitaria su H e noi introduciamo πU come πU (A) =
Uπ(A)U ∗ , allora (H, πU ) é una seconda rappresentazione
27

Stati
Sistemi dinamici
Abbiamo elencato alcune proprietá delle rappresentazioni di una C ∗ -algebra A,ma
non abbiamo ancora dimostrato la loro esistenza.I funzionali lineari definiti positivi su
A giocano un ruolo importante per dimostrare l’esistenza delle rappresentazioni e per
costruirne alcune. Indichiamo il duale di A con A ∗ (lo spazio dei funzionali lineari continui
su A), e definiamo la norma di un funzionale f su A come
| |f | | = sup{| f |, | |A| | = 1}.
I funzionali di particolare interesse sono : un funzionale lineare ω su una *-algebra A
é definito positiva se
ω(A ∗ A) ≥ 0
per ogni AɛA.Un funzionale positivo su una C ∗ -algebra A con | | ω | | = 1 é definito
stato. Supponiamo di avere a disposizione una rappresentazione (H, π) di una C ∗ -algebra
.Supponiamo che ΩɛH sia un vettore non nullo e definiamo
ωΩ(A) = (Ω, π(A)Ω)
per ogni AɛA. Dunque ωΩ é un funzionale lineare su A ma é anche definito positivo
ωΩ(A ∗ A) = | |π(A)Ω| | 2 ≥ 0.
Stati di questo tipo sono solitamente chiamati vettori di stato della rappresentazione
(H, π).Ogni stato su una C ∗ algebra é un vettore di stato in una opportuna rappresen-
tazione.Per comprendere il legame tra stati e rappresentazioni é necessario enunciare la
seguente proposizione sulla didusuaglianza di Schwarz
sia ω un funzionale lineare positivo su una *-algebra A , risulta
ω(A ∗ B) = ω(B ∗ A),
| ω(A ∗ B) | 2 ≤ ω(A ∗ A)ω(B ∗ B).
28

Sistemi dinamici
Siamo interessati a dimostare la proposizione inversa.Ogni stato é un vettore di stato
per qualche rappresentazione non degenere.Pertanto partendo da uno stato ω vogliamo
costruire una rappresentazione (Hω, πω) di A e un vettore ΩωɛHω tale che
ω(A) = (Ωω, πω(A)Ωω)
per ogni A in A. L’idea che c’é dietro la costruzione della rappresentazione é semplice.L’algebra
A é uno spazio di Banach e con l’aiuto di ω puó essere convertito in uno spazio pre-
Hilbert.Introduciamo il prodotto scalare (semidefinito positivo):
Adesso definiamo Iω in questo modo
L’insieme Iω é un ideale sinistro di A,
< A, B >= ω(A ∗ B).
Iω = {A; AɛA, ω(A ∗ A) = 0}.
0 ≤ ω((AI) ∗ AI) ≤ | |A| |ω(I ∗ I) = 0.
Ora definiamo la classe di equivalenza ψA, ψB come
ψA = { Â; Â = A + I, IɛIω}
e inoltre queste classi di equivalenza formano uno spazio vettoriale complesso quando sono
dotati delle operazioni di A;ψA + ψB = ψA+B,aψA = ψaA. Definiamo il prodotto scalare
come
(ψA, ψB) =< A, B >= ω(A ∗ B)
ed é indipendente dal particolare rappresentativo della classe siccome :
(ψA, ψB) =< A, B >= ω((A + I1) ∗ (B + I2)) =
ω(A ∗ B) + ω(B ∗ I1) + ω(A ∗ I2) + ω(I ∗ 1I2)
= ω(A ∗ B)
29

Sistemi dinamici
Lo spazio vettoriale cosí ottenuto non é completo ,pertanto deve essere completato
considerando una sua immersione (come spazio denso) in uno spazio di Hilbert.In questo
modo otteniamo lo spazio della rappresentazione Hω.Passiamo ai rappresentativi πω(A).
La loro azione su Hω é data da
πω(A)ψB = ψAB
con B in A. Ancora una volta questa definizione é indipendente dal particolare rappresen-
tativo considerato per la classe di equivalenza
πω(A)ψB+I = ψAB+AI = ψAB = πω(A)ψB
per I in Iω. Inoltre, ogni πω(A) é un operatore lineare
πω(A)(λψB + ψC) = πω(A)ψλB+C
= ψλAB+AC
= λψABψAC
= λπω(A)ψB + πω(A)ψC
Le proprietá algebriche di πω(A) seguono facilmente dalla definizione
Ci rimane da definire il vettore Ωω.
per cui
πω(A1)πω(A2)ψB = ψA1A2B = πω(A1A2)ψB.
Se A contiene l’identitá definiamo Ωω come
Ωω = ψ1
(Ωω, πω(A)Ωω) = (ψ1, ψA) = ω(A).
Siamo nelle condizione per enunciare il seguente teorema (bisogna dimostare solo
l’unicitá):
Sia ω uno stato su una C ∗ -algebra A.
30

Sistemi dinamici
Allora esiste una rappresentazione ciclica (Hω, πω, Ωω) di A tale che
ω(A) = (Ωω, πω(A)Ωω)
Un importante corollario a questo teorema é il seguente : sia ω uno stato su una C ∗
algebra A e τ uno *-automorfismo di A che lascia ω invariato,ossia
ω(τ(A)) = ω(A),
per ogni A in A.Segue che deve esistere un unico operatore Uω , sullo spazio della rappre-
sentazioni ciclica (Hω, πω, Ωω) costruito a partire da ω , tale che
per ogni A in A, e UωΩω = Ωω.
UωπωUω −1 = πω(τ(A))
La rappresentazione ciclica (Hω, πω, Ωω), costruita a partire dallo stato ω su una
C ∗ -algebra A, é definita una rappresentazione ciclica canonica di A associata con ω.
A questo punto siamo nelle condizioni per formalizzare meglio il concetto di sistema
dinamico quantistico in termini di algebra di operatori. Un C ∗ -sistema dinamico é la
tripla (A, G, α), dove Aé una C ∗ -algebra , G é un gruppo localmente compatto , e α é una
rappresentazione fortemente continua di G nel gruppo degli automorfismi di A, ossia per
ogni gɛG,αg é un automorfismo di A e
αe = 1,
αg1αg2 = αg1g2
l’applicazione g → αg(A) é continua in norma per ogni AɛA (e rappresenta l’identitá
in G mentre 1 é la mappa identica in A).Una rappresentazione covariante di un sistema
dinamico é la tripla (H, π, U), dove Hé uno spazio di Hilbert , π é una rappresentazione
non degenere dell’algebra su H, e U é una rappresentazione unitaria fortemente continua
di G su H, tale che :
π(αg(A)) = Ugπ(A)Ug ∗ ,
31

AɛA,gɛG.
Appendice sui gruppi
Sistemi dinamici
Un gruppo di Lie é un gruppo topologico ossia un gruppo algebrico che é anche uno
spazio topologoco dotato di una mappa ψ : (g, h) −→ gh −1 (continua) . In particolare
G deve avere la struttura di varietá differenziabile e le applicazioni Φ : (g, h) −→ gh
τ : g −→ g −1 devono essere differenziabili. Se G é un gruppo con queste proprietá ,
l’operazione di traslazione a sinistra Lg : G −→ G definita da Lgh = gh é un diffeomorfismo
di G in sé .(Anche l’operazione di traslazione a destra lo é).Una traslazione a sinistra
induce una mappa tra i campi vettoriali (Lg∗X)a = Lg∗X g −1 a (X campo vettoriale ,
a destra Lg∗ é la mappa tangente in g −1 a ).Dato un vettore tangente ,A, nell’identitá,
Aɛ(TeG) consideriamo il campo vettoriale X su G dato da Xg = (Lg∗A). Questo campo
é invariante a sinistra Lg∗Xh = (Lg∗) ◦ (Lh∗A)=(Lg ◦ Lh) ∗ A = (Lgh∗A) = Xgh. ( É
possibile dimostrare che X é l’unico campo vettoriale differenziabile invariante a sinistra
ovunque su G tale che Xe = A). I campi invarianti a sinistra su G sono pertanto in
corrispondenza uno a uno con i vettori tangenti nell’unitá, i quali formano uno spazio
vettoriale di dimensione n ( ˜ G). Data un’applicazione ϕ : M −→ N tra due varietá ,
diremo che i campi sono ϕ−related se (ϕ∗Xp) = X ′ ϕ(p)
∀pɛM. In generale non esiste
un campo vettoriale ϕ−related ad un generico campo vettoriale X su M a meno che ϕ
non é un diffeomorfismo.In proposito si enuncia il seguente risultato : se ϕ : M −→ N
é un’applicazione (C ∞ ) e X,Y sono campi ϕ−related su M rispettivamente a X’,Y’ su N
la loro parentesi di Lie [X, Y ] e [X ′ , Y ′ ] sono ϕ−related, ossia [X ′ , Y ′ ] ϕ(p)f=ϕ∗[X, Y ] (p)f,
dove f : N −→ R. Se X,Y sono invarianti a sinistra su un gruppo di Lie allora dal risultato
precedente segue Lg∗[X, Y ] = [X, Y ].Lo spazio vettoriale ˜ G perció forma un’algebra n-
dimensionale chiamata algebra di Lie del gruppo .Poiché esiste una corrispondenza
uno a uno tra ˜ G e (TeG) si puó pensare di scrivere [A, B] ∀Aɛ(TeG),ossia si puó pensare
32

Sistemi dinamici
che la struttura di algebra di Lie viva sullo spazio tangente all’identitá.Un omomorfismo
tra gruppi di Lie G e M é un’applicazione differenziale ϕ : G −→ M che é un omomorfismo
di gruppo ,ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h),∀(g, h)ɛ(G).Nel caso in cui ϕ é un diffeomorfismo, ϕ é detto
isomorfismo tra gruppi.Un risultato notevole é il seguente :un omomorfismo di gruppo,
ϕ : G −→ M, ne induce una di algebre, ϕ∗ : G∗ −→ M∗.Se ϕ é un isomorfismo , allora
ϕ∗ é un isomorfismo di algebre. In particolare un sottogruppo ad un parametro é
un omomorfismo γ : R −→ G tale che γ(t + s) −→ γ(s)γ(t). L’applicazione esponenziale
exp: ˆ G −→ G é definita dalla relazione exp(X) = γ(1) (dove γ : R −→ G ,sottogruppo ad
un parametro generato dai campi vettoriali invarianti a sinistra). Allora γ(s) = exp(sX). Il
nome mappa esponenziale deriva dalla proprietá exp(sX)exp(tX) = γ(s)γ(t) = γ(s + t) =
exp(s + t)X. Un sottogruppo di Lie H di un gruppo di Lie G é un sottogruppo algebrico
tale che l’immersione i : H −→ G i(g)=g dia una sottovarietá regolare.Un gruppo é chiuso
se é un sottoinsieme chiuso di G. Sia M una varietá differenziabile e G un gruppo di Lie
,per azione di G su M intendiamo Φ : G × M −→ M spesso indicata con Φ(g, x) = gx tale
che :
i) ex=x ∀xɛM dove e é l’identitá.
ii)(gh)x=g(hx)
, in questo caso G é detto gruppo di trasformazione per M.L’azione di G su M é
detta effettiva ae e lascia tutti i punti xɛM fissi (gx = x =⇒ g = e).Per orbita di un punto
xɛM intendiamo l’insieme Gx = {gx|gɛG} e l’azione di G su M é transitiva se l’intera
varietá M é orbita di alcuni punti di M.In questo caso M é detta varietá omogenea di G. Un
sottogruppo é chiamato normale se gNg −1 = N ∀gɛG, da cui risulta gN = gNg −1 g = Ng.
Se G é un gruppo topologico e V uno spazio vettoriale topologico ,una rappresen-
tazione T di G in V:
T : G −→ Aut(V ) : a −→ T (a)
ossia che associa ad ogni elemento del gruppo un operatore continuo e lineare T(a) su V,
e tale che :
T (ab) = T (a)T (b)
T (a) = 1
33

Sistemi dinamici
∀a, bɛG. In particolare se lo spazio V é uno spazio di Hilbert, e T(a) operatore unitario
∀aɛG ,la rappresentazione sará presa fortemente continua.Date due rappresentazioni T,T’
di G in H,H’ si diranno unitariamente equivalenti se esiste una mappa U da H in H’
tale che ,∀aɛG,:
UT (a) = T ′ (a)U
. Una rappresentazione unitaria e continua é detta irriducibile se non esiste alcuno spazio
vuoto di H che rimane invariato sotto l’azione dell’intero insieme di trasformazioni T(a).
Appendice :decomposizione spettrale
Per ogni operatore autoaggiunto esiste una decomposizione spettrale del tipo : A =
xdÊx dove gli operatori Êx costituiscono una famiglia spettrale e cioé soddisfano alle
seguenti proprietá :
a)per ogni x reale Êx é un operatore di proiezione ortogonale su un sottospazio lineare
dello spazio di Hilbert;
b)limx→−∞ Êx = 0;
c)limx→∞ Êx = 1;
d)limɛ→0|| Êx+ɛ − Êx|ψ〉|| = 0;
Abbiamo utilizzato le notazioni seguenti: || · || indica la norma del vettore ,0 é
l’operatore nullo e 1 é l’operatore unitá e infine il limite ɛ → 0 si intende per valori stret-
tamente positivi di ɛ.Dalla definizione segue facilmente che : Êx Êy = Êy Êx = Êx , x < y.
Si ha allora che ogni funzione f(A) puó essere definita attraverso l’integrale:f(A) :=
∞
−∞ f(x)dÊx.
:
L’integrale rispetto alla famiglia spettrale deve intendersi secondo la seguente costruzione
sia f(x) continua in un intervallo (a,b). Suddividiamo l’intervallo in n parti a =
x0, x1, x2, ...xn = b.
Formiamo poi le somme parzialiSn = n k=1 f(xk)( Êxk − Êxk−1 ) e mandiamo n →
∞ in modo che tutti gli intervalli parziali tendano uniformente a zero.Il limite definisce
l’integrale b
a f(x)dÊx.Per quello che ci interessa non attribuiremo a d Êx un significato
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Sistemi dinamici
particolare , ha solo un valore simbolico nella definizione di prima. La famiglia spettrale
caratterizza interamente l’operatore autoaggiunto,in particolare il suo spettro.L’asse reale
é suddiviso in tre sottoinsiemi :R(A),P σ(A) e Cσ(A):
a)R(a) é detto insieme risolvente é costituito dai punti x tali che Êx é costante in un
intorno di x;i punti di R(A) non contribuiscono alla decomposizione spettrale ;
b)P σ(A)(lo spettro discreto ) é costituito dai punti di discontinuitá di Êx:e cioé
P σ(A) = {x|limy→x Êy = Êx}
c)Cσ(A) (lo spettro continuo) é costituito dai punti x in cui Êy ćontinuo anche a sinis-
tra in x , ma non é costante in alcun suo intorno. Si verifica facilmente che i punti dello spet-
tro discreto corrispondono agli autovalori di A nel senso che per ogni xɛP esiste almeno un
vettore 〈x tale che :A〈x = x〈x. Si ha infatti :AÊx − Êx−ɛ|ψ〉 = ∞
−∞ ydÊy( Êx − Êx−ɛ)|ψ〉 =
∞
−∞ ydÊyÊx|ψ〉 − ∞
−∞ yÊx−ɛ|ψ〉=
x
−∞
yd Êy|ψ〉 −
x−ɛ
−∞
yd Êy|ψ〉 =
x
x−ɛ
yd Êy|ψ〉 ∼ x( Êx − Êx−ɛ)|ψ〉
L’operatore Px = limɛ→0 Êx − Êx−ɛ proietta perció nel sottospazio delle soluzioni
dell’equazione agli autovalori A|ψ〉 = x|ψ〉
Appendice :Rappresentazione di Heisenberg per l’evoluzione temporale
É noto che l’equazione di Schrödinger per i vettori di stato é un’equazione differen-
ziale su uno spazio di Hilbert a infinite dimensioni.Inoltre sappiamo che le sue soluzioni
possono essere espresse nella forma ψ(t) = U(t, t0)ψ(t0), dove l’operatore U(t, t0) soddisfa
l’equazione del primo ordine :
con le condizioni iniziali :
i¯h d
dt U(t, t0) = HU(t, t0) (1)
U(t0, t0) = 1.
Questa equazione é leggermente differente dalla rappresentazione ”spazio-tempo” asso-
ciata all’equazione di Schrödinger per la funzione d’onda ,che é invece una equazione
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Sistemi dinamici
differenziale alle derivate parziali ,la cui soluzione é definita su tutto lo spazio tempo (di
Minkowski). Il valor medio dell’osservabile A sullo stato ψ é : 〈A〉ψ ≡ (ψ,Aψ)
(ψ,ψ)
ma se si considera un nuovo vettore di stato (dove V(t) é un operatore scelto oppor-
tunamente ):
definire :
Φ(t) ≡ V (t)ψ(t) il suo valor medio diventa: 〈A〉ψ ≡ (Φ,V AV −1 Ψ)
(Ψ,Ψ) . Questo permette di
A(t, t0) = V AV −1
e nella rappresentazione di Heisenberg si sceglie:
che implica :
A(t, t0) = U −1 (t, t0)AU(t, t0)
V (t) ≡ U −1 (t, t0)
Φ(t) = U −1 (t, t0)U(t, t0)ψ(t0) = ψ(t0).
Questo significa che nella rappresentazione di Heisenberg gli operatori evolvono nel tempo
mentre i vettori di stato restano fissi.Inoltre ,in base all’equazione (1) otteniamo :
da cui:
i¯h d
dt U† (t, t0) = −U −1 (t, t0)H
i¯h d
dt A(t, t0) = −U −1 (t, t0)(AH − HA)U(t, t0) = [A(t, t0, H)].
Questo implica che l’operatore A(t, t0) é una costante del moto se e solo se commuta con
H.
.
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