Lezione 3 Luminosità - Fisica

Lezione 3 Acceleratori 

•Lezione 3. ….. riassunto 

– Anelli di collisione 

• Generalità e definizione della luminosità (R=s L) 

– Oscillazioni e stabilità dei fasci 

• Oscillazioni longitudinali o di fase o di 

sincrotrone dovute alla radiofrequenza 

• Oscillazioni trasversali o di betatrone. Sono 

causate dai campi magnetici. 

• Piano di fase trasverso : Emittanza ed accettanza 

Rivelatori di Particelle 1

Lezione 3 Anelli di collisione 

Anelli di accumulazione ( generalità ) 

In un Collider tutto funziona come in un sincrotrone, ma le particelle non 

vengono estratte alla fine del ciclo, ma mantenute nell’anello (e + e - , p-antip) o 

negli anelli ( pp ) e mandate a collidere l’una contro l’altra. 

In un anello di collisione si guadagna moltissimo in energia ( siamo nel c.m.) 

anche se si perde in rate. [ luminosità minore] 


Energia 

Lezione 3 Anelli di collisione 

a 

Acceleratore 

p b=0 

s=m a 2 +mb 2 +2Eam b 

~2E am b 

b 

s ½ (GeV) 

pp 10 

100 

1000 

e + e - 1 

10 

100 

E fascio (GeV) 

Acceleratore 

52 

5200 

5.4x10 5 

10 3 

10 5 

10 7 

a b 

Anelli di collisione 

|p a|=|p b| 

s=(E a+E b) 2 

E fascio (GeV) 

Collider 

Rivelatori di Particelle 3 

5 

50 

500 

0.5 

5 

50

Lezione 3 Luminosità 

Un anello di collisione non è altro che un sincrotrone fasci in bunch. 

Un bunch colpisce un altro bunch che si muove in senso opposto. 

In questo caso più che di intensità del fascio (fasci) si parla di 

luminosità della macchina. La luminosità dipende anche dalla 

geometria dei fasci e dalla loro densità. 

La luminosità non è altro che il rate di interazioni per sezione d’urto 

unitaria. 

Per chiarire il concetto consideriamo: 

1) un fascio estratto da un acceleratore che colpisce una targhetta. 

2) due fasci di un collider che collidono l’uno contro l’altro. 


1) Fascio su targhetta 


Consideriamo un fascio di intensità n 1 particelle che colpisce una 

targhetta di lunghezza l e di densità di particelle n 2 

per ogni singola particella il numero di interazioni nella targhetta sarà 

N=s intx n 2xl 

essendo s int la sezione d’ urto di interazione. Le dimensioni trasverse del 

fascio e della targhetta non entrano in gioco (targhetta > dimensioni 

fascio). 

Il rate è 

R=(dN/dt)=s intxn 1xn 2xl 

e combinando le caratteristiche della targhetta e del fascio: 

R=s intxL 

L = luminosità ed ha le dimensioni [cm -2 s -1 ] 

La luminosità non è altro che il rate di interazioni per sezione d’ urto 

unitaria. 


2) Collider 

Nel caso di un collider invece: 


Importano le dimensioni ed allineamento dei fasci. 

Possiamo non essere nel c.m. (Hera, PEP2). 

Le particelle (bunch) possono incrociarsi ad angoli ≠ 0. 

Quale semplice esempio consideriamo un collider ad e+e- oppure protone 

antiprotone. In questo caso i due fasci viaggiano nello stesso anello, in direzioni 

opposte, ma collidono in pochi punti, poiché sono tenuti separati al di fuori di questi 

punti. 

Nel caso protone-antiprotone si possono tenere separati i due fasci con dei 

quadrupoli. Nel caso e=e- (LEP) i due fasci sono tenuti separati 

elettrostaticamente. 

4 metri 

+ 

- V max=± 150 KV 



Consideriamo 2 pacchetti in cui la densità di particelle per unità di area nel 

piano trasverso è dato da: 

dn 

ds 

1 

dn 

ds 

2 

 

 

n1 

2s 

s 

x 

n2 

2s 

s 

x 

y 

y 

e 

e 

 

 

x 

 

 

 

 

x 

 

 

Cioè 2 distribuzioni gaussiane identiche e normalizzate ad un totale di n 1 ed n 2 

particelle rispettivamente. 

2 

2 

2 

x 

2 

x 

2 

 

y 

2s 

2 

 

y 

2s 

 

 

2 

2s 

 

y 

 

 

2 

2s 

 

y 



Il numero di interazioni per ogni incrocio dei fasci si ottiene integrando 

su tutte le particelle del fascio 1 moltiplicato per la loro probabilità di 

interazione. 

● Il numero di particelle del fascio 1 in un elemento di area dxdy è: 

dn 

1 

n 

2s 

s 

2 2 

x y 

 

2 

2 

1 

2s 

x 2s 

y 

x, y 

e dxdy 

x 

● la probabilità di interazione di una particella del fascio 1 che si trova 

in x,y è: 

 

 

n 

p( 

x, 

y) 

dn2 

s 

2s 

s 

= al numero di particelle del fascio 2 che si trovano in un’area pari alla 

s int 

y 

 

x 

2 2 

2 

2s 

2s 

 

x y 

x, y 

e int 

x 

y 

2 

y 

2 

 



Il numero totale di interazioni per bunch e per incrocio sarà: 

Infatti: 

N 

int 

s 

 

int 

 

dn 

1 

n1n 

2 

4 

s s 

 

 

 

x, ypx, 

y 

2 

2 

x 

2 

x 

 

2 

s 

dxe x 

2 

y 

 

 

 

dx e 

s 

x 

2 

s 

2 

x 

int 

 

 

 

n1n 

2 

4 

s s 

dy e 

1 

s 

s dxe 

2 

2 

2 

2 

x 

 

y 

2 

2 

s 

2 

y 

2 

y 

x 

 

2 

s 

 

 

2 

2 

 

e 

s 

 

2 2 

x y 

 

 

2 2 

s x s 

y 

int 

s 

dxdy 

n1n2 

4s 

s 


x 

y


Se abbiamo k pacchetti in ogni fascio ( 2k punti di incrocio ) e se f è la 

frequenza di rivoluzione il rate per incrocio, essendo n 1,2 il numero 

totale di particelle per anello è: 

Oppure usando le correnti i 1=n 1ef ed i 2=n 2ef 

R 

 

s 

int 

n1n2 

L fs 

4s 

s k 

L 

x 

y 

n1n2 

f 

 

4s 

s k 

i1i2 

L 

4kfs xs ye 

x 

2 

y 

int 



• Esempio: paragone acceleratore-collider (stessa energia nel c.m. e 

stessa sezione d’urto di interazione (e.g. e.m. ~ 1mb) 

• Acceleratore 

n (s -1 ) 

< l > 

n= densità del fascio incidente =10 12 particelle s -1 

r= densità della targhetta = 1gr/cm 3 

l= spessore della targhetta =1cm 

s int= s em = 1mb 

A= numero di Avogadro = 6x10 23 

R s 

5 1 

n 

r 

l 

A 

int 610 

s 


• Collider 

n 1 

n 2 


n 1=n 2= particelle per bunch 

i 1= i 2=i=50 mA n 1=n 2=n=i/(ef)= 3.3x10 11 particelle 

F= sezione trasversa dei fasci= 0.1x0.01 cm 2 

B= numero di bunch = 1 

f= frequenza di rotazione = 10 6 s -1 

n n 

f i i 

R s 

s 

s 

F f e 

F 

1 2 

1 2 

1 

int 2 int 100 



Osserviamo L ~ 10 32 cm -2 s -1 . 

Luminosità tipiche di collider e + e - sono 10 31 ÷10 32 

LHC (pp) ha una luminosità di progetto di 10 34 


Lezione 3 Oscillazioni e stabilità dei fasci 

La presenza della radiofrequenza fa sί che le particelle si raggruppano 

in pacchetti (bunch). 

In un acceleratore circolare si innestano inoltre, ogniqualvolta la 

particella passa nella cavità a RF con la fase F non giusta (ma 

comunque molto vicina a F S ) delle oscillazioni di sincrotrone o 

oscillazioni longitudinali ( oscillazioni di fase o di energia). 

Nel caso di piccoli movimenti si innescano delle oscillazioni identiche a 

quelle dell’oscillatore armonico e con frequenza proporzionale ( in 

genere minore) alla frequenza di rivoluzione. 



Per avere stabilità (ovvero soluzione dell’equazione 

dell’oscillatore armonico (sin e cos)) la particella deve 

passare nella RF quando questa ha una fase F S

Lezione 3 Stabilità dei fasci 

La frequenza angolare di una particella che gira in un sincrotrone è data da: 

Con t periodo di rivoluzione e L circonferenza dell’orbita. 

Differenziando ln(w) otteniamo: 

Ricorda p=gbc 

2 

2bc 

w 

t L 

d d d dL 

p 

L 

w t b 1 

a 

2 

w t b g 

Dove a p è chiamato fattore di compressione dell’impulso, ed è definito come a p=(dL/L)/(dp/p) 

L’espressione fra parentesi è normalmente scritta come: 

1 1 1 

htr 

a 

2 p 2 

g g g 

Si osserva che h tr0 per sincrotroni 

all’iniezione (bassa energia) o sempre per acceleratori lineari. 

È questo il momento in cui bisogna cambiare la fase del campo elettrico. 

2 

tr 

dp 

p 


Lezione 3 Oscillazioni di sincrotrone 

Le quantità fisiche della particella generica sono connesse a quelle della particella sincrona ( indicata 

con l’indice s) tramite le seguenti relazioni: 

Energia totale U = U s+dU 

Impulso p = p s+dp 

Frequenza angolare w = w s+dw 

Periodo di rivoluzione t = t s+dt 

( dw e dt hanno segno opposto). Siccome la particella sincrona deve arrivare alla RF in fase possiamo 

scrivere: 

w rf = hw s 

Con h intero. h è chiamato numero armonico e rappresenta il numero di cicli che fa la RF durante un 

giro della particella sincrona. Se indichiamo con f s la fase del voltaggio della RF quando la particella 

sincrona arriva alla cavità RF e con f quella della particella generica avremo: 

= df f – f s 



Il guadagno di energia per giro della particella generica e di quella sincrona sarà (si assume che il voltaggio non cambi 

quando la particella attraversa la cavità a RF): 

DU = qV sinf 

DU s = qV sinf s 

Se all’ inizio del giro n la differenza in energia della particella generica rispetto alla particella sincrona è (dU) n=U-U s alla 

fine del giro n sarà: 

Dopo un giro avremo che dU cambia di 

Nell’ipotesi di oscillazioni lente possiamo scrivere: 

Che diventa definendo W=-dU/w rf=-(U-U s)/w rf 

(dU) n+1=(U+DU)-(U s+D U s) 

D(dU)=DU- DU s=qV(sinf-sinf s) 

 

d dU 

dt 

D dU 

 

t 

dW 

dt 

s 

qV 

ws 

sinf 

sin 

fs 

2 

qV 

s 

2h 

 

sin f sin 

f 



Sempre nell’ ipotesi di oscillazioni lente dopo un giro abbiamo: 

Dd/dt)t s=w rfdt 

Dove dt è la differenza nei tempi di arrivo della particella generica e di quella sincrona alla RF. 

Dopo un giro dt cambia di: 

2 

d 

wrfhtr 

2 

dt b U 

s 

D(dt)=t-t s=dt=-h trt(dp/p) 

W 

 

Dove 

dp 

1 

dU 

2 

p b U 

Derivando rispetto al tempo e sostituendo la dW/dt nella d 2 /dt 2 otteniamo per le 

oscillazioni di fase della particella generica: 

.. 2 

hwshtrqV 

 

2 

s 

2b 

U 

s 

sin f sin 

f 0 



.. 2 

hwshtrqV 

 

2 

s 

2b 

U 

sin f sin 

f 0 

Per piccole variazioni della fase possiamo scrivere: 

ed otteniamo così l’equazione di un oscillatore armonico: 

W s è la frequenza delle oscillazioni di sincrotrone. 

.. 

 

W 0 

W 

s 

2 

s 

w 

s 

s 

hhtr cos s 

2 

sinf sin( f ) 

cosf 

sin 

f 

Osserviamo che h trcosf s deve essere positivo per avere frequenze di oscillazione reali e 

per assicurare la stabilità di fase. 

con 

f qV 

2b 

g mc 

Ricordando che per ogni giro si guadagnano pochi MeV nella RF avremo che 

W s/w s

Lezione 3 Oscillazioni di Betatrone 

Abbiamo visto che le particelle vengono mantenute sull’orbita circolare 

con dei magneti bipolari ed il fascio viene focalizzato tramite l’uso di 

quadrupoli (e sestupoli per abolire le aberrazioni cromatiche) che 

funzionano quali lenti convergenti (divergenti). 

Oscillazioni anche nel piano trasverso chiamate oscillazioni di 

betatrone 


Oscillazioni di btrone. 


Consideriamo un acceleratore circolare con solamente magneti bipolari. 

P1 P2 P1 P2 Sul piano orizzontale ho una focalizzazione geometrica (se B è uniforme e 

verticale in direzione). 

P 1 dista da P 2 ½ circonferenza e la particella fa quindi un’oscillazione completa 

per giro. (numero di oscillazioni = n x=Q=1). 

Attenzione: un angolo di deviazione a=1 mrad (rispetto alla particella di riferimento) dà 

una deviazione =ar (r raggio dell’acceleratore), ma se r=1 km ar=1m tubo a vuoto 

enorme ed apertura del magnete enorme. 


s


Se la deflessione è nel piano // a B, la particella spiralizza e se ne va. 

Inserzione di quadrupoli ( focheggiamento forte) 

Anche con l’inserzione di quadrupoli, le particelle con posizione 

trasversa o direzione leggermente diverse da quella della particella di 

riferimento (quella sul piano mediano) fanno un moto oscillatorio 

attorno alla particella di riferimento (nel piano trasverso xy) 

Oscillazioni di betatrone 



Nel caso di un acceleratore circolare a focalizzazione forte le 

oscillazioni di betatrone sono di frequenza molto maggiore di quelle di 

sincrotrone ( SPS(CERN) T sinc 100000 T btrone (radiali) ). 

Inoltre le oscillazioni di betatrone radiali (x) sono disaccoppiate da 

quelle verticali (y) e da quelle di sincrotrone (longitudinali). 

Normalmente le oscillazioni di betatrone radiali (x) sono di ampiezza > 

di quelle verticali, in quanto su quelle radiali influisce anche la 

dispersione in impulso. 

Tubo a vuoto ellittico 



Consideriamo il sistema di coordinate: 

x 

y 

s 

Si puo’ mostrare che: 

Discorso del tutto analogo per le x. 

y’=dy/ds 

x’=dx/ds 

2 

2 

R( s) 

gy 

2ayy'by' 

R0 

ellisse 

1 

a 

b ', 

2 

2 

1 b' 

 

g 

1 

 

b 

4 

costante 


L’equazione: 


2 

2 

R( s) 

gy 

2ayy'by' 

R0 

ellisse 

è l’equazione di un’ ellisse di area R 2 =ss’ con s e s’ = semiassi 

dell’ellisse. 

L’ area dell’ellisse è una costante, ma la forma puo’ cambiare al variare 

di s, in quanto a, b, g dipendono da s. 

b (funzione di ampiezza) dipende dall’ottica della macchina e 

bs/s’ 

costante 



bs/s’ 

In un anello di collisione conviene avere b basso, ovvero 

focalizzare nel punto d’interazione. 

arc=80 m b I.P.=0.5 m 

LHC 


Lezione 3 Emittanza ed accettanza 

Emittanza: se i punti rappresentativi y ed y’ del 90% delle particelle del 

fascio sono contenuti in R 0 (area ellisse), R 0 è per definizione 

l’emittanza del fascio. 

Abbiamo quindi un’emittanza verticale e radiale che restano costanti. 

Per definire l’ellisse di area costante abbiamo assunto che l’impulso 

delle particelle non varia (in modulo) durante il movimento nel piano 

trasverso. Questo è quasi vero, comunque se varia adiabaticamente 

(ovvero molto lentamente), l’invariante diventa: 

R( 

s) 

cost 

 

p 

R( 

s) 

bgm 



Inviluppo delle traiettorie (x o y, x’ o y’) 

y’ 

y’ B 

B 

y B 

y 

L’inviluppo delle traiettorie delle 

particelle del fascio non è altro 

che l’ascissa del punto B (quello 

con la y maggiore) in funzione di 

s 

Fondamentale conoscere y B in quanto determina le dimensioni sia 

del tubo a vuoto che l’apertura dei magneti, necessarie a far passare il 

fascio di accettanza nota. 


Accettanza. 


L’accettanza è per definizione l’emittanza massima accettata dalla 

camera a vuoto all’iniezione. 

Accettanze ed emittanze si esprimono in (mmxmrad) 

Accettanza tipica di un sincrotrone è: 

~ 30 (mmxmrad)

Lezione 3 Luminosità - Fisica

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