lucidi (PDF) - INFN Sezione di Ferrara

L’elettrodinamica dei
corpi in movimento:
appunti di relatività speciale
Giulio Stancari
Istituto Nazionale di Fisica Nucleare
Sezione di Ferrara
ITIS da Vinci, Carpi (MO), 1 marzo 2005

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Basi sperimentali ed evoluzione delle idee
Gli articoli di Einstein del 1905
Commenti su relatività ed elettromagnetismo
Esempi dalla fisica nucleare
Note sulla didattica

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Le Nazioni Unite, attraverso l’UNESCO, hanno proclamato il 2005
Anno Mondiale della Fisica
Celebriamo il centenario dell’anno mirabile di Einstein (1905),
durante il quale vengono pubblicati alcuni articoli fondamentali:
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moto browniano
quanti di luce
relatività speciale
Approfondiamo contenuti e conseguenze degli articoli sulla
relatività speciale

Nel 1905 Einstein pubblica due articoli sulla relatività speciale
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Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Ann. Phys. (Leipzig) 17, 891
(giugno 1905).
L’elettrodinamica dei corpi in movimento, nel quale vengono gettate
le basi della teoria e ricavate le principali conseguenze
Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?,
Ann. Phys. (Leipzig) 18, 639 (settembre 1905).
Dipende l’inerzia dei corpi dal loro contenuto energetico? Viene
mostrato che se un corpo cede energia E sotto forma di
radiazione, la sua massa m decresce di E / c 2
Come si giunse a questa teoria?

Basi sperimentali ed
evoluzione delle idee

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Contesto
Galileo aveva mostrato che le leggi della meccanica sono le stesse
per osservatori in moto relativo rettilineo uniforme (principio di
relatività). Estensione naturale a tutte le leggi fisiche.
Le radici della relatività einsteniana provengono dallo studio della
natura corpuscolare (Newton) o ondulatoria (Huygens) della luce
e dall’introduzione dell’etere
Una questione fondamentale nasce nel XIX secolo: si può estendere
il principio di relatività a tutti i fenomeni fisici, comprendendo ottica,
elettricità e magnetismo?

Il principio di relatività può essere formulato matematicamente
dicendo che le leggi fisiche devono mantenere la stessa forma (essere
covarianti o invarianti in forma) nel passaggio tra due
osservatori inerziali. Esempio:
F = ma F ′ = ma ′
seconda legge
seconda legge
della dinamica
trasformazioni
galileiane*
della dinamica
x ′ =x − vt
y ′ =y
z ′ =z
t ′ =t
*battezzate da Philipp Frank nel 1909

Bradley, 1729
Alla ricerca della parallasse come prova del sistema eliocentrico,
Bradley osserva il fenomeno dell’aberrazione: l’angolo tra stelle
lontane varia nel corso dell’anno di circa 20” = 1 E-4 rad in maniera
incompatibile con la parallasse.
Nel 1729 attribuisce il fenomeno alla velocità finita della luce.
Esiste una velocità della luce universale anche nella teoria
corpuscolare?

R
Parallasse
φ
tanϕ = R
D
D
< 10−6
non osservata
da Bradley
α
indistinguibili
sperimentalmente
Aberrazione
tanα = VTerra
c 10−4 (class.)
sinα = VTerra
c
(rel.)

•
•
•
Rifrazione della
luce stellare a ore
diverse e in differenti
periodi dell’anno.
Nessun effetto.
Fallimento della teoria
corpuscolare o
limitazione dell’occhio?
Chiede a Fresnel se il
risultato sia spiegabile
con la teoria
ondulatoria...
Arago, 1810
Arago (1810): the first experimental result against the ether
α Hydra
β Leo
δ Virgo
0:00
Arcturus
Castor
21:00
3:00
Antares
α Orion
18:00
EARTH
6:00
SUN
6:00
EARTH
Rigel
Aldebaran
18:00
MARCH OCTOBER
3:00
0:00
21:00
α Aquila
α Cetus
α Aquarius
Figure 1. This diagram shows the light from different stars and the Earth’s orbit
Arago’s measurements were made on 27 March and 8 October 1810. Wavy
light from stars (projected on Earth’s orbital plane), and the open arrows correspo

•
•
•
Fresnel, 1818
In risposta ai risultati di Arago, Fresnel ipotizza che, in un mezzo
trasparente (indice di rifrazione n) in moto rispetto all’etere con
velocità v, la luce venga parzialmente trascinata e la sua
velocità sia
c ′ = c
n
+ v ·
1 − 1
n2 coefficiente
di Fresnel
L’ipotesi spiega i risultati nulli sulla rifrazione di Arago (1810) e
viene confermata da Fizeau (liquidi in movimento, 1851) e Airy
(aberrazione con telescopio pieno d’acqua, 1871)
Meccanismo microscopico misterioso

esumed immobile ether, thus nullifying the effect. There is one important exception to
1851, shortly after he and Jean Foucault (1819–1868) had shown that it is possible to
e velocity of light in the laboratory Fizeau, (rather than 1851 as previously from astronomical obse
zeau devised a method for putting Fresnel’s predicted value for the velocity of light
edia directly to the test. The experiment is illustrated in Fig. 7.
Studia con un interferometro la propagazione della luce in liquidi in
movimento
Verifica l’ipotesi di Fresnel.
Figure 7: The Fizeau Experiment
Verifica ripetuta da Michelson e Morley nel 1886 con maggior
Fizeau precisione.
examined the effect of a water flow ! ABB!A! " on the interference pattern pr
ht travelling with the flow (AB) and counter to the flow ! A!B! ". He observed a s
terference pattern of roughly the size one would expect on the basis of the Fresnel coef

•
•
Maxwell, 1864
Completa la teoria elettromagnetica, riassunta nelle
equazioni di Maxwell. In forma moderna:
legge di Gauss
legge di Faraday
Z
Z
S
γ
E · ndS = Q
ε0
E · tds = − dΦB
dt
legge di Gauss
magnetica
legge di
Ampère
La luce viene interpretata come un’onda elettromagnetica
che si propaga nell’etere con velocità
c = (µ0 ε0) −1/2 = 3 × 10 8 m/s
Z
γ
Z
S
B · tds = µ0
B · ndS = 0
dΦE
i + ε0
dt

Ispirato da una pubblicazione di
Maxwell (1879), Michelson
mette alla prova le teorie
sull’etere col suo
interferometro a raggi
perpendicolari basato su
specchio semiriflettente
Viene confrontata la velocità
della luce in direzioni
mutuamente perpendicolari in
diversi periodi dell’anno
Michelson, 1881

When they published their results in 1886, with the same boldness as Michelson in 1881,
Michelson and Morley drew the exact opposite conclusion from the one drawn in 1881: “the result
of this work is therefore that the result announced by Fizeau is essentially correct: and that the
luminiferous ether is entirely unaffected by the motion of the matter which it permeates” (Michelson
L’esperimento viene ripetuto con maggior precisione nel 1887
and Morley 1886, p. 386; emphasis in the original).
assieme a Morley
Risultato:
la velocità della Terra rispetto all’etere
è sempre minore di 5 km/s
Figure 11: The Michelson interferometer of 1887
The next task was to repeat Michelson’s experiment of 1881 to see whether a more accurate
version of that experiment would after all reveal the ether drift to be expected on the basis of the
hypothesis of an immobile ether. Further motivation for this undertaking was provided by the
appearance of a lengthy article by Lorentz in 1886, in which he reviewed both experimental and
theoretical work on the question of whether or not the ether is dragged along by the earth. Lorentz

•
•
•
???
Le teorie sull’etere di Stokes, Fresnel e Lorentz non sono
soddisfacenti. Come spiegare i risultati sperimentali?
La teoria di Maxwell ha successo. Ma come conciliare
l’elettromagnetismo col principio di relatività?
Negli anni 1887-1905 vi è grande attività su questi problemi. Di
particolare importanza sono i contributi di Lorentz e Poincaré.

Nello studio dell’effetto Doppler, scopre che l’equazione delle onde
mantiene la stessa forma con un particolare cambio di variabili
∂2φ ∂x2 + ∂2φ ∂y2 + ∂2φ ∂z
Significato fisico?
V 2
2 = 1
∂ 2 φ
∂t 2
Voigt, 1887
equazione delle onde equazione delle onde
trasformazione
di Voigt
x ′ =x − vt
y ′ =y/γ
z ′ =z/γ
t ′ =t − vx/V 2
γ ≡
∂2φ ∂x ′2 + ∂2φ ∂y ′2 + ∂2φ ∂z
1 − v2
V 2
−1/2
V 2
′2 = 1
∂ 2 φ
∂t ′2

FitzGerald, 1889
Per spiegare il risultato nullo dell’esperimento di Michelson e Morley,
ipotizza qualitativamente una contrazione “reale” delle molecole
nella direzione del moto rispetto all’etere. Pubblica su Science.

Lorentz, 1892
Indipendentemente da Fitzgerald, spiega l’esperimento di Michelson e
Morley ipotizzando una contrazione delle lunghezze dei corpi
rigidi parallelamente al moto rispetto all’etere.
L ′
= L · 1 − v2
2c2
Lorentz viene a sapere in seguito dell’ipotesi di FitzGerald.

Pubblica il teorema degli stati corrispondenti: in assenza di
materiali magnetici, esistono trasformazioni che mantengono invariata
la forma dei campi elettromagnetici al prim’ordine in v/c
tempo
locale
Lorentz, 1895
x ′ =x − vt
t ′ =t − v · x/c 2
E ′ =E + v ∧ B
B ′ =B − v ∧ E/c 2
Ipotizza che la forza agente su una carica q in moto con velocità v sia
F = q(E + v ∧ B)
tempo
generale
forza di Lorentz

•
Poincaré, 1898
Osserva che i concetti di simultaneità a distanza e di
misura del tempo non sono intuitivi. Sono necessarie
definizioni operative.

Larmor, 1898 (1900)
Nel saggio Aether and Matter, scrive per primo le
trasformazioni di Lorentz in forma finale e ne deduce la
contrazione delle lunghezze, indipendentemente da Lorentz.

Lorentz, 1899
Scrive le trasformazioni a meno di un fattore di scala ε indeterminato.
Da queste trasformazioni si ricava la contrazione delle
lunghezze di FitzGerald-Lorentz e quindi una spiegazione
dell’esperimento di Michelson e Morley
x ′ =εγ(x − vt)
y ′ =εy
z ′ =εz
t ′ =εγ(t − vx/c 2 )

•
Poincaré, 1900
Osserva che la spiegazione dell’indipendenza dei fenomeni ottici
dal moto terrestre è insoddisfacente dal punto di vista
concettuale:
•
rifrazione della luce stellare (Arago, Bradley/Airy), di ordine v/c,
con coefficiente di trascinamento di Fresnel
• esperimento di Michelson e Morley, di ordine (v/c)2 , tramite
contrazione delle lunghezze di Lorentz-FitzGerald

•
•
•
Lorentz, 1904
Scrive le trasformazioni in forma finale
trasformazioni
di Larmor-Lorentz
x ′ =γ(x − vt)
y ′ =y
z ′ =z
t ′ =γ(t − vx/c 2 )
γ ≡
Dimostra la covarianza delle equazioni di Maxwell solo
all’ordine v/c a causa di un errore di calcolo
Hanno queste trasformazioni un significato fisico?
1 − v2
c2 −1/2

•
•
•
•
•
•
Poincaré, 1904
Critica della velocità assoluta
Utilizzo della luce per sincronizzare orologi in moto relativo
Il tempo locale di Lorentz è un concetto fisico
Osservatore misura fenomeni ritardati rispetto a osservatore
in moto e viceversa. Impossibilità di determinare moto assoluto
Sono necessarie ulteriori ipotesi. Contrazione delle lunghezze?
Necessario sviluppare una nuova meccanica nella quale la
velocità della luce è una velocità limite

Poincaré, giugno 1905
Primo articolo Sur la Dynamique de l’Électron
•
•
•
Impossibilità di determinare il moto assoluto sembra
verificata sperimentalmente
Deduce che il fattore di scala ε deve essere uguale a 1
confrontando trasformazioni di Lorentz e rotazioni
Tutte le forze devono trasformarsi allo stesso modo. Le leggi di
Newton della gravitazione devono essere modificate
all’ordine (v/c) 2 . Possono esistere onde gravitazionali che si
propagano con velocità c

Poincaré, luglio 1905
Secondo articolo Sur la Dynamique de l’Électron, poche settimane dopo
il primo articolo di Einstein (simultaneità?). Conseguenze delle
trasformazioni di Lorentz
•
Completa covarianza delle equazioni di Maxwell
(corregge Lorentz)
• Invarianza dell’intervallo (ct’)2 - (x’) 2 = (ct) 2 - (x) 2
•
Addizione delle velocità
v = v1 + v2
1 + v1v2/c 2
C’è quasi tutto, ma non è ancora la teoria della relatività...

L’articolo di Einstein
del giugno 1905

L’articolo è un esempio di semplicità, rigore logico, profondità
concettuale. Vale la pena di essere studiato.
È diviso in tre sezioni:
• introduzione
•
•
parte cinematica
parte elettrodinamica

Motivazioni del lavoro
•
•
Introduzione
Asimmetrie nell’interpretazione dei fenomeni
elettromagnetici visti da osservatori diversi
Risultati nulli degli esperimenti sul moto rispetto
all’etere (non citati esplicitamente)

I due postulati:
•
•
Il principio di relatività deve valere per tutti i fenomeni, sia
meccanici che elettromagnetici
La velocità delle onde elettromagnetiche nel vuoto è
la stessa per tutti gli osservatori inerziali
Einstein deduce dai postulati profonde conseguenze

•
•
•
•
•
Definizione di simultaneità
Parte cinematica
Considerazioni su relatività di lunghezze,
tempi, simultaneità
Deduzione delle trasformazioni di
Lorentz
Trasformazioni di Lorentz ⇒
contrazione delle lunghezze e dilatazione
dei tempi
Addizione delle velocità

•
•
•
Parte elettrodinamica
Covarianza delle eq. di Maxwell nel vuoto ⇒ trasformazione
dei campi
Effetto Doppler longitudinale e trasverso. Aberrazione
Trasformazione dell’energia dei raggi di luce. Pressione di
radiazione

•
•
Covarianza delle eq. di Maxwell in presenza di sorgenti ⇒
trasformazione della densità di carica e di corrente
Dinamica dell’elettrone lentamente accelerato. Forza di
Lorentz. Energia cinetica relativistica:
lavoro
{
energia cinetica
{

•
•
•
Cosa non c’è?
Manca una bibliografia. Vengono
nominati Maxwell, Hertz,
Lorentz e l’amico Besso
Non viene dedotto il fattore di
trascinamento di Fresnel (von
Laue, 1907)
Non c’è collegamento esplicito
con l’articolo del marzo 1905
sul quanto di luce E = hν. Si
osserva soltanto che ‘energia e
frequenza della luce variano con
la stessa legge.’

L’articolo di Einstein
del settembre 1905

In un breve articolo, Einstein mostra che, emettendo radiazione di
energia E, la massa m di un corpo diminuisce di E / c 2
Einstein propone la verifica con sali radioattivi di radio
Idea sviluppata nei successivi articoli
del 1906 (conservazione della massa ⊆ conservazione
dell’energia)
del 1907 (equivalenza massa energia)

Planck (1907) calcola che l’energia di legame di una mole d’acqua
dovrebbe ridurne la massa di 10 -8 g rispetto ai costituenti (non
rivelabile) ⇒ collegamento con la chimica
Pauli (1921) afferma che la verifica sperimentale della relazione
E = m c 2 potrà avvenire in futuro dall’osservazione della stabilità
dei nuclei...
In chimica (forza elettromagnetica):
energia di legame ≪ massa del sistema
In fisica nucleare (forza nucleare forte):
energia di legame ≲ massa del sistema

Osservazioni su
relatività ed elettromagnetismo

•
•
•
Terminologia:
invariante e covariante
Una grandezza fisica (massa, carica, intervallo, ecc.) si dice
invariante se il suo valore numerico è lo stesso in tutti i sistemi
di riferimento inerziali. Esempi: m’ = m (ct’) 2 - (x’) 2 = (ct) 2 - (x) 2
Una legge fisica (seconda legge della dinamica, equazioni di
Maxwell, ecc.) si dice covariante o invariante in forma se la
relazione che lega le grandezze fisiche non cambia, anche quando
cambia il loro valore numerico. Espressione matematica del
principio di relatività. Esempio: F = dp/dt F’ = dp’/dt’
Le coordinate x,t di un evento (in generale, le componenti di
un quadrivettore) si dicono covarianti perché la trasformazione
da un sistema all’altro (trasformazione di Lorentz) è la stessa per
tutti gli eventi: x’ = (γ) x - (γ v) t t’ = (γ) t - (γ v / c 2 ) x

•
Cariche elettriche in moto
Definizione di carica in moto dalla legge di Gauss. Coincide
con la legge di Coulomb per cariche stazionarie.
Q
q
Q ≡ F · r2 · 4πε0
q
F
Q ≡ ΦE · ε0
Q
q
E

•
•
La carica elettrica è invariante, cioè non dipende dalla
velocità delle particelle. Sperimentalmente:
•
•
•
neutralità dei corpi al variare della temperatura
neutralità di atomi e molecole
rapporto q / m in funzione della velocità
L’invarianza della carica implica che la sua quantizzazione in
multipli interi della carica dell’elettrone e = 1.60217653 E-19 C è
valida in tutti i sistemi di riferimento.

Dai postulati della relatività e dall’invarianza della carica,
si deducono conseguenze fondamentali:
•
•
•
Proprietà di trasformazione del campo elettromagnetico: campi
elettrici e magnetici inscindibili
Forza di Lorentz
Covarianza delle equazioni di Maxwell
(Nell’articolo del 1905, Einstein postula la covarianza delle equazioni
di Maxwell e l’invarianza della carica.)

La relatività in azione:
esempi dalla fisica nucleare

In fisica nucleare gli effetti relativistici sono evidenti
•
•
velocità delle particelle prossime a quelle della luce
energie di legame confrontabili con le masse dei sistemi

Una scelta ‘furba’ di riferimento:
In fisica delle particelle elementari si vogliono collisioni ad alta energia
per due motivi principali
•
•
acceleratori a fasci incrociati
ricercare nuove particelle
rivelare oggetti sempre più piccoli

Inviando un fascio su un bersaglio fisso, parte dell’energia del
proiettile viene ‘sprecata’ (conservazione dell’impulso). Esempio con
elettroni (m = 0.511 MeV):
M ∝ √ E
E = 1 GeV
M = 32 MeV
Facendo collidere frontalmente due fasci uno contro l’altro, il
sistema del laboratorio è un riferimento privilegiato (centro di massa,
impulso totale nullo) in cui tutta l’energia è disponibile
E = 1 GeV E = 1 GeV
M = 2E
M = 2 GeV
Problema: fasci poco densi ⇒ basso numero di collisioni

I maggiori acceleratori sono del tipo a fasci incrociati (collider):
ISR (CERN, 1971-1983) protone-protone 62 GeV
Tevatron (Fermilab, 1987-...) protone-antiprotone 1 TeV
LEP (CERN, 1989-2000) elettrone-positrone 100 GeV
RHIC (Brookhaven, 2000-...) oro-oro 100 GeV/u
LHC (CERN, 2007?) protone-protone 7 TeV

Conversione di energia in massa
elettrone
positrone
Materializzazione
del fotone
Immagine in camera a nebbia
ottenuta dai coniugi Joliot-Curie
a Parigi nel 1933

Dilatazione dei tempi:
la vita media dei mesoni µ
I mesoni µ sono presenti nei
raggi cosmici
Sono particelle instabili. La vita
media osservata varia con la
velocità secondo la relatività
speciale (ad es. Rossi e Hall,
1941)

Relazione tra velocità ed impulso
previsione relativistica
p = γmv
per elettroni
Esperimenti di
Kaufmann (1906),
Bucherer (1909) ed altri
Invarianza della carica elettrica
previsione classica
p = mv

Note sulla didattica

Per la formazione scientifica di un cittadino (enfasi sul metodo)
•
•
esempio di interazione tra ipotesi, teorie ed esperimenti (come si
fa la scienza)
necessaria per comprendere la visione relativistica della
cosmologia (come vediamo l’universo)
Per un futuro scienziato (enfasi sui contenuti)
•
Insegnare la relatività speciale?
indispensabile in molti rami della fisica moderna: particelle
elementari, nuclei, acceleratori, astrofisica...

Come introdurre la relatività?
1. Prima di confrontare diversi osservatori, approfondire le misure di
spazio e tempo in un singolo sistema di riferimento:
•
•
•
distanze con regoli rigidi (intuitiva)
intervalli di tempo tra eventi locali (intuitiva)
intervalli di tempo tra eventi distanti: simultaneità a distanza e
sincronizzazione degli orologi (NON intuitiva)

•
•
La simultaneità a distanza è questione di definizioni e
convenzioni, non una realtà preesistente
L’uso di onde elettromagnetiche (luce o segnali radio) per la
sincronizzazione viene scelto per l’alta precisione e per l’invarianza
della velocità della luce. Onde sonore o trasporto lento di
cronometri sono spesso ottime approssimazioni.

2. Chiarire le motivazioni per la ricerca del riferimento assoluto e
per l’introduzione dell’etere
Galileo crede ad un prinicipio di relatività universale
La teoria ondulatora della luce sembra richiedere un mezzo di
propagazione (etere)
La teoria di Maxwell unifica elettricità, magnetismo e ottica, ma
contiene una velocità universale delle onde e.m.
Teoria di Maxwell non valida? Esistenza di un riferimento assoluto?
Principio di relatività non applicabile ai fenomeni elettromagnetici?

3. Presentare le basi sperimentali dei due postulati
•
•
principio di relatività valido per la meccanica (da Galileo in poi)
invarianza della velocità della luce da Bradley, Arago, Fizeau,
Michelson e Morley
Einstein è il primo a considerarli compatibili e a trarne le conseguenze
I due postulati continuano ancor oggi ad essere messi alla prova

4. Conseguenza non intuitiva: eventi simultanei in un sistema di
riferimento non lo sono in generale in un altro.
Questo è un punto delicato: si confrontano osservatori in moto
relativo e si utilizza per la prima volta il concetto di evento
caratterizzato da coordinate spazio-temporali (x,t)

5. Definizione di lunghezza di un oggetto in movimento: si
misura la distanza tra le posizioni degli estremi valutate allo stesso
istante. La definizione è coerente con la definizione a riposo.

6. Vi sono diverse sequenze logiche per dimostrare le
conseguenze dei postulati:
invarianza dell’intervallo spazio-temporale
dilatazione dei tempi
contrazione delle lunghezze
addizione delle velocità
...
Queste sequenze sono di solito più comprensibili della derivazione
diretta di Einstein delle trasformazioni di Lorentz

7. La massa relativistica γm che aumenta con la velocità è ridondante.
Dare invece risalto a concetti più fondamentali:
•
•
massa a riposo m: invariante
impulso p = γmv:
a. si conserva in tutti i sistemi di riferimento
b. entra nella legge del moto relativistico F = dp/dt

8. Distinguere tra conservazione (constanza nel tempo in un
riferimento) ed invarianza (uguaglianza di misure in riferimenti
diversi). Ad esempio:
La carica elettrica di un sistema isolato si conserva ed è invariante.
L’energia e l’impulso di un sistema isolato si conservano, ma non
sono invarianti.

9. Sottolineare la connessione con l’elettromagnetismo
•
•
•
•
le equazioni di Maxwell sono covarianti
la carica elettrica è invariante (sperimentalmente)
postulati della relatività
+
invarianza della carica
trasformazioni del campo
forza di Lorentz
campi elettrici e magnetici come manifestazioni dello stesso
fenomeno in riferimenti diversi
{

Storia
•
•
Fisica
•
Conclusioni
Tempi maturi per la relatività nel 1905
Contributo di Einstein comunque rivoluzionario
Stretto legame tra relatività, meccanica ed elettromagnetismo
Didattica
•
•
Molti spunti per formazione scientifica di base
Applicazioni ed approfondimenti dalla fisica nucleare

Bibliografia
Taylor e Wheeler, Fisica dello spaziotempo (Zanichelli, 1996)
Pais, Sottile è il Signore (Bollati Boringhieri, 1991)
Purcell, Elettricità e magnetismo (Zanichelli, 1971)
Arons, Guida all’insegnamento della fisica (Zanichelli, 1992)
Grazie per l ’a!enzione!