E - Fisica

phys.uniroma1.it

E - Fisica

Alcuni processi di interazione radiazione materia

Corso di Fisica Nucleare e Subnucleare I

Prof. Daniele Prosperi

A.A. 2004-2005


Le radiazioni atomiche e nucleari trovano ampie aree di applicazione. La rivelazione di queste

radiazioni richiede l’utilizzazione di un mezzo capace di assorbire energia e convertirla in una

forma che possa essere amplificata e trasformata in un segnale rivelabile: 1 MeV = 1.6 10 -13 Joule!

La scelta del tipo di rivelatore piu’ adatto per una data applicazione richiede la conoscenza dei

meccanismi fondamentali tramite i quali la radiazione interagisce e perde energia nella materia.

Questi processi dipendono:

dalla particella incidente

α, β, γ, n, p …..

ze, M, v …..

dalla natura del mezzo attraversato

Ze, ρ, n r ……

Il trasferimento di energia dalle particelle al mezzo puo’ essere considerato da due punti di vista:

A) diminuzione di intensita’,

B) perdita di energia.


A)

• S

rivelatore

collimatore

Supponiamo di avere un fascio di particelle, ad es. fotoni, collimato. Definiamo intensita` I del fascio il

numero di particelle che attraversano l’unita` di area nell’unita` di tempo.

x

A distanza x in un mezzo finito la riduzione di intensita` e`:

" dI(x)

dx =µI(x)

Che porta ad una legge di attenuazione esponenziale della forma:

dove I 0 e’ l’intensita` del fascio incidente a x=0, I(x) e` l’intensita` a distanza x, µ e` il coefficiente

di attenuazione lineare.

!

!

I(x)= I 0

e "µx

µ(cm -1 ) non specifica il meccanismo di perdita di energia ed in generale varia con l’energia della

radiazione incidente


P 2

P 1

P

•S

Per una sorgente S isotropa e puntiforme, che irradia ugualmente in tutte le direzioni (4π), l’intensita` I(r)

nel vuoto in un punto P a distanza r segue la legge dell’inverso del quadrato della distanza:

dove S 0

e` l’attivita` della sorgente, cioe` il numero di eventi emessi per unita` di tempo.

x

I(r) = S 0

4"r 2

Es. In due punti P 1

e P 2

a distanze r 1

ed r 2

dalla sorgente S i rapporti di intensita` sono:

In un mezzo di attenuazione uniforme che circonda la sorgente S l’intensita` ad una qualsiasi distanza

r e`:

I(r) = S 0

4"r 2 e#µr

Es. Per due punti P 1

e P 2

sulla superficie incidente ed emergente di un materiale di spessore x in tale

campo divergente:

!

I 2

= I 1

e "µx r 1 2 #

(

r2 = I 1 e"µx r 2 " x 2&

% ) (

% (

2

% r

2

(

$ 2 '

!

!

I 1

I 2

=

S 0

4"r2

1

S 0

4"r2

2

= r 2 2

r 1

2


B)

Ragionare in termini di perdita di energia e` molto piu` problematico e dipende dai meccanismi di

trasferimento di energia.

In generale una particella che attraversa un mezzo materiale puo` dar luogo a diversi meccanismi

di interazione:

1) particelle cariche

pesanti: p,d, 3 H, α, X + …..

leggere: β + , β − , µ + , µ − …..

Il trasferimento di energia al mezzo puo` avvenire per interazione elettromagnetica con gli

elettroni orbitali(eccitazione e ionizzazione) o con il nucleo (diffusione Coulombiana multipla e

irragiamento).

2) radiazione e.m. γ o raggi X

Interagiscono primariamente attraverso l’accoppiamento dello spin con gli elettroni orbitali dei


ersagli irradiati (eccitazione, ionizzazione, diffusione Compton). L’interazione primaria con la materia

produce particelle cariche secondarie e + ,e - che con le loro successive interazioni permettono la

rivelazione del fotone iniziale.

3) particelle prive di carica: n, ν

I neutroni interagiscono con i nuclei dando luogo a processi di: diffusione elastica ed anelastica;

cattura

emissione pronta di un γ

Per i ν fino ad alcuni MeV σ ~ 10 -48 cm 2 (1 barn = 10 -24 cm 2 !)

emissione ritardata (n,n’), (n,2n), (n,p), (n, α),

(n,fissione)


PROCESSI DI ECCITAZIONE E IONIZZAZIONE DEGLI ATOMI

Una particella di carica ze, massa M e velocita v che attraversa uno spessore dx di materiale perdera’

in media una energia ΔE per eccitare e ionizzare gli atomi del mezzo di carica Ze. Si ha:

eccitazione -- quando l’atomo o la molecola passano dallo stato fondamentale ad un livello eccitato;

ionizzazione -- quando l’energia persa dalla particella incidente ΔE e` maggiore dell’energia di legame

di un elettrone E L , l’energia cinetica dell’elettrone finale e’: ΔE - E L = T e

Per calcolare ΔE bastano argomentazioni

semiclassiche (Bohr). Il processo di interazione tra la

particella incidente e gli elettroni di un atomo e`

schematizzato nella figura a lato. Se M » m la

deviazione della traiettoria puo’ essere trascurata.

Inoltre supporremo che prima dell’urto gli elettroni

siano liberi e che anche dopo l’urto v e « v

v

b

parametro

d’urto

F

forza elettrostatica

r

particella incidente(ze)

atomo del mezzo (Ze)

E

componente

trasversale del

campo elettrico

Nel seguito indicheremo con b il cosiddetto “parametro d’urto” e con la forza elettrostatica che si

esercita tra la particella e gli elettroni dell’atomo quando la loro distanza e` r=(b 2 +v 2 t 2 ) 1/2 (la scelta

dell’istante t=0 e`arbitraria).

F


La forza elettrostatica F cambia direzione durante il processo e per ragioni di simmetria la

sua componente longitudinale non contribuisce all’impulso ∆p trasferito agli elettroni:

dato che

F

= Ze E

L’integrale si calcola facilmente applicando il teorema di Gauss ad un cilindro di raggio b ed

avente per asse la traiettoria:

cioe`

L’energia persa nel singolo urto dalla particella incidente coincide (nell’ ipotesi fatte prima sull’energia

dell’elettrone prima e dopo l’urto) con l’energia cinetica classica acquisita in media da ogni elettrone:


Quindi l’unico parametro del mezzo che entra in modo importante nel calcolo del dE/dx e`

la densita` elettronica:

n e = densita`elettronica = =

= numero di elettroni per cm 3 ,

N e`il numero di Avogadro

dx = ρdl con dl(cm) e dx(g/cm 2 )

!

La perdita di impulso (-dp/dx) puo` essere espressa in termini di perdita di energia (-dE/dx):

e

Usare il (-dp/dx) puo`essere utile nel caso in cui la particella viene osservata in un campo magnetico noto

che consente di determinare la quantita` di moto dalla curvatura della traiettoria


OSSERVAZIONI:

a) L’espressione per ∆p vale anche nel caso relativistico: F F • γ t t • 1/ γ

∆p =∆F • ∆t resta invariato.

b) Il meccanismo di trasferimento di energia e` dominato dall’interazione Coulombiana con gli

elettroni :

(∆E) Ze /(∆E) NUCLEI ≈ A/Z • m p /m ≈ A/Z • 1840 ≈ 4000!

c) La minima energia che la particella puo` trasferire all’elettrone dipende dal potenziale di

ionizzazione dell’atomo a cui e` legato l’elettrone.

d) La massima energia trasferibile e`quella corrispondente all’urto centrale.

Comunque: collisioni con trasferimenti elevati di energia sono rare w(ε)dε∝ dε/ ε 2 .


max si ottiene imponendo che si possa trascurare il legame atomico dell’elettrone.

Questa condizione puo` tradursi nella richiesta che il “tempo di collisione“ τ = b/γv sia

inferiore alla frequenza tipica dell’elettrone: τ«1/ω cioe` b max = γv/ ω.

Infatti se τ > ω -1 non e` piu` verificata l’ipotesi iniziale che l’elettrone si possa

considerare libero (principio “adiabatico” della meccanica quantistica).

b min

si ottiene dal confronto con la λ del pacchetto d’onda che rappresenta quantisticamente

l’elettrone, cosi` come visto dalla particella incidente.

!

Sostituendo b min e b max nell’espressione del (-dE/dx) si ottiene:

(Bohr)

con β=v/c, r 0 = e 2 /mc 2 ≈ 2.8 10 -13 cm

C = 4πNr 0 2 mc 2 ≈ 0.307 MeV/(g cm -2 )


OSSERVAZIONI:

a) Formule piu` rigorose variano solo nel fattore logaritmico, ad es.:

se γ«M/m e β» Z/137

(Bohr) con Ī=Ī 0 Z=13.5Z eV = potenziale medio di ionizzazione

degli atomi del mezzo.

b) l’espressione data per (-dE/dx)e` semplificata in quanto non considera “l’effetto densita`”, la

diffusione sui nuclei e l’irraggiamento.

Nel caso di e + ,e - vanno considerati irraggiamento, diffusione sui nuclei e forze di scambio tra

particelle identiche. Di nuovo la differenza e` solo nel fattore logaritmico.

c) Quando riferite ad uno stesso spessore x(g/cm 2 )di materiale le perdite di energia di

ionizzazione sono lievemente maggiori in elementi leggeri (Z/A ~ 1/2) che in elementi

pesanti (Z/A ~ 1/2.5).

L’energia media persa per ionizzazione cresce con il quadrato della carica ze della particella e

dipende dalla sola velocita` βc .


A bassissime energie la v della particella diventa confrontabile con la velocita` orbitale degli

!

elettroni e le formule precedenti cadono in difetto ( parte iniziale della curva)

Nella regione di piu` comune interesse si usa l’equazione di Bethe-Bloch:

In regime ultrarelativistico la crescita logaritmica del (-dE/dx) ion ad alti γ si riduce per

l’effetto densita`δ. La polarizzazione del mezzo provoca, infatti, una soppressione del

parametro d’urto massimo effettivo all’aumentare di γ.

Ad energie piu` alte gli effetti radiativi cominciano ad essere importanti.


EFFETTO DENSITA`

L’ipotesi di considerare isolati gli atomi con cui interagisce la particella incidente e`

ragionevole solo a basse densita` o piccoli parametri d’urto. L’effetto di schermo degli

atomi del mezzo dipende dalle sue proprieta` dielettriche e da` una correzione δ=ϕ(β)

che e` funzione crescente di β:

c

o

n

d

i

z

i

o

n

i

c

i

n

e

m

a

t

i

c

h

e

per gli isolanti si ha una soglia ! definita dell’effetto densita`. Def. ε 0 la costante

dielettrica del mezzo, deve risultare β 2 > 1/ ε 0 (sempre vero nei conduttori dove

ε 0 » 1;

materiali di densita` elettroniche maggiori risultano polarizzati per γ piu` piccoli:

(n e = densita` elettronica

ω e = frequenze atomiche)


PERCORSO RESIDUO (“RANGE”)

I processi di collisione di natura puramente e.m. sono caratterizzati da piccole perdite di

energia in media per ogni urto e, quindi, da piccole fluttuazioni.

Per un dato materiale:

Stesso tipo stessa energia

~Stesso percorso

!

Percorso residuo

Cosi` definito e` l’effettiva lunghezza della traiettoria percorsa nel materiale


Le fluttuazioni statistiche sulle perdite di energia anche se piccole su lunghi percorsi e per

M»m sono comunque presenti e producono percorsi residui non esattamente uguali (straggling).

Dato che E = M γ, si puo` scrivere

dove f(β) e` una funzione

della velocita` che e` la stessa per qualunque particella (di E «M/m Mc 2 ). Con le opportune

sostituzioni (c.f.r. trasparenza precedente ed integrando nella variabile u= E/M) risulta:

_

!

Quindi z 2 R/M e` la stessa funzione del rapporto E/M per qualsiasi tipo di particella

(di E «M/m Mc 2 ).

Es. una particella α ( z=2z p e M ≈ 4m p ) di energia totale E α avra` percorso uguale

a quello di un protone di energia E p = E α /4 ).


Massimo percorso residuo di elettroni in

funzione dell’ energia in diversi materiali. Dal

Radiological Health Handbook, p. 122.


FLUTTUAZIONI NELLE PERDITE DI ENERGIA DI IONIZZAZIONE

Le espressioni ottenute per dE/dx rappresentano la perdita di energia media per unita` di

percorso di una particella carica che attraversa la materia. Se il numero di collisioni

e`sufficientemente elevato e la perdita di energia non troppo grande, l’energia finale della

particella sara` distribuita in modo Gaussiano attorno al valore medio.

Per una particella di energia iniziale E 0 che attraversa uno spessore t di assorbitore ed emerge

con energia media Ē, si puo’ mostrare con la statistica Poissoniana per il numero di collisioni

che producono un dato trasferimento di energia E, che la deviazione quadratica media in

energia e` Ω 2 =2π(NZ/A)z 2 e 4 (γ 2 +1)t. La distribuzione in energia sara` approssimativamente:

!

Questo risultato e` valido purche` Ω«Ē e Ω«(E 0 - Ē ) ed anche Ω »ΔE max

≅2γ 2 β 2 mc 2 . Quando

l’ultima condizione non e` soddisfatta la distribuzione di energie sara` descritta dalla curva di

Landau.


DIFFUSIONE COULOMBIANA MULTIPLA

Attraversando un mezzo una particella e` soggetta anche all’interazione con il campo Coulombiano

dei nuclei. Poiche` M nucl ≥M inc possono assumere importanza le piccole deflessioni nella traiettoria

legate al trasferimento di impulso ai nuclei. All’impulso trasferito Δp corrisponde, infatti, un angolo

di deflessione:

Per θ « 1

" # $p

p = 2zZe2

bvp

!

Per il mezzo:

Gli elettroni del mezzo contribuiscono quasi totalmente al (-dE/dx) ion ;

I nuclei sono responsabili della diffusione.

Per la particella:

Il (-dE/dx) ion e`importante per gli elettroni solo a basse energie e la

diffusione multipla e` un processo particolarmente vistoso


La sezione d’urto di diffusione da parte di un potenziale Coulombiano e` data dalla formula

di Rutheford, valida anche in Meccanica Quantistica per particelle a spin 0; la diffusione di

fermioni e` invece descritta dalla formula di Mott, che si riduce alla precedente nel caso di

diffusione a picccolo angolo:

con

R = raggio di collisione

Dalle formule si vede come le collisioni con piccole deviazioni angolari sono le piu` probabili.

!

La probabilita` Φ(θ)dxdΩ che la particella attraverso lo spessore dx (g/cm 2 ) subisca una

collisione ad un angolo θ entro l’angolo solido dΩ e`:

Nell’ipotesi di diffusione alla Rutheford, per piccoli angoli:


Sono state dedotte funzioni di distribuzione valide nei casi piu`generali, comunque questa

formula puo` essere ritenuta valida con buona approssimazione in quanto i fattori correttivi

dipendenti dallo spin possono essere omessi per piccole deflessioni.

Poiche` la deviazione della traiettoria di una particella che attraversa uno spessore di

materiale e` il risultato di tanti processi indipendenti, l’angolo medio sara`zero ed il

parametro dipendente dalle variabili cinematiche e` la larghezza di distribuzione degli angoli

di diffusione .

Calcoliamo in funzione di x=ρl (g/cm 2 ):

!

per piccoli θ

dΩ = 2πθdθ

con Φ(θ) = 0 fuori [θ m , θ M ]


I parametri che caratterizzano θ m e θ M sono la lunghezza ridotta di de Broglie della

particella ed i raggi atomico r a e nucleare r n . Si puo` assumere:

Assumendo:

θ m / θ M = r a /r n

Perche` a causa dell’effetto di schermo degli elettroni per

Φ(θ) si riduce notevolmente;

Perche` a causa delle dimensioni finite del nucleo per

Φ(θ) va rapidamente a zero

!


La distribuzione degli angoli di diffusione e` approssimativamente Gaussiana per piccoli

angoli e presenta una coda a grandi angoli dovuta a processi singoli di diffusione, che segue

la distribuzione di Rutheford (∝1/sen 4 θ).

Se definiamo θ 0 = θ rms piano =1/2 θrms spazio, allora nei casi piu` comuni sara` comoda

l’approssimazione Gaussiana con larghezza:

θ 0 e` in radianti, p in MeV/c, [x]=[X 0 ] (accuratezza ~11% per 10 -3 mc 2 /(Z) 1/3 ) si riduce del rapporto 1/e per effetto dei soli processi

radiativi.


Quando si deve valutare l’impulso di una particella carica misurandone la curvatura in un

campo magnetico, l’angolo di diffusione dovuto alla diffusione Coulombiana limita la

precisione della misura

pc(MeV) = 300 H (Tesla) L(m)/α con α= deviazione in campo magnetico

Δp/ p= Δα/α

Sostituendo a Δα l’angolo di diffusione dovuto alla diffusione Coulombiana, per una

!

particella a z=1 si ottiene:


EFFETTO ČERENKOV

Si ha quando una particella carica (β =v/c) attraversa un dielettrico trasparente con:

v > c/n β >1/n=β t

soglia

cioe` quando la sua velocita` e` maggiore della velocita` di fase locale della luce

B

ct/n

cosθ c =1/βn

θ c

A

βct

C

cos" c

= 1 #n

!

p=M#c$ >Mc 1 n

1

1-1/n 2 =

Mc

n 2 %1

!

Il processo e` analogo all’onda d’urto a V osservata in

acustica quando un proiettile o un aereo supersonico viaggia

ad una velocita` maggiore di quella del suono (βn analogo al

numero di Mach in aerodinamica)


Per effetto del campo e.m. della particella

β


OSSERVAZIONI:

a) Per un dato β la radiazione e` osservata solo sotto l’angolo θc per il quale le onde

elementari provenienti da P 1

, P 2

, P 3

della traiettoria sono in fase e formano con il loro

inviluppo il fronte BC di un’onda piana. La luce emessa si propaga lungo la superficie del

cono di apertura θ c che ha per asse la traiettoria.

b) Dalla “condizione Čerenkov” cos" c

= 1 e` evidente che:

#n

1) se β = β t θ = 0 0 ;

2) se β = 1 θ = θ max =cos -1 (1/n) ;

!

3) emssione nel visibile o zone limitrofe dello spettro, per le quali n>1 (impossibile

emissione X).

θ

E

H


Energia emessa:

In numero di fotoni:

Spettro, quindi, fortemente piccato a piccole λ. Il numero totale di fotoni per unita` di

percorso e`:

!

in pratica da u.v. al vicino i.r.

assumendo n cost. tra λ 1 e λ 2

Con λ 1 =300 nm e λ 2 =600 nm(F.M. con fotocatodo bialcalino e vetro normale)

dN/dx ≅760 sen 2 θ fotoni/cm


In termini di perdita di energia:

che corrisponde, ad es. integrando nel visibile, a qualche keV di energia persa per cm,

N x 10 volte minore dell’energia persa per ionizzazione del mezzo.

Es. particella con β ~ 1 in plexiglas:

n=1.49, θ=47.8 0 dN/dx ~ 400 γ/cm e dE/dx ~ 2 keV/cm

!

Mentre in uno scintillatore plastico:


RIVELATORI ČERENKOV

Scopi: identificazione di particelle, contatori veloci di particelle,rivelatori di tracce

con ricostruzione dell’evento, calorimetri, utilizzando le caratteristiche principali

dell’effetto ČERENKOV (emissione pronta di luce, effetto a soglia, dipendenza

dell’angolo θc e del numero di fotoni emessi dalla velocita` della particella).

Possono essere classificati come: rivelatori a imaging o a soglia in base all’uso o al

non uso dell’informazione sull’angolo θc.

Rivelatori a soglia: informazione si/no sul passaggio della particella con β >1/n=β t .

Rivelatori a imaging: possono essere usati per il tracciamento delle particelle e per

identificarle.Si misurano gli angoli di emissione correlati

dei fotoni Čerecov (gli angoli sono misurati ricostuendo

“l’immagine” dei singoli fotoni su un rivelatore.)

Bock,1998

More magazines by this user
Similar magazines