Approccio Computazionale alla Nanomineralogia

CAPITOLO 4. APPLICAZIONE ALLE STRUTTURE CRISTALLINE 47
di riflessione rispetto al piano, si ha ˆm|π〉 = −1|π〉) mentre gli orbitali σ sono simmetrici
( ˆm|σ〉 = 1|σ〉).
Orientiamo la molecola in modo tale che la direzione z sia parallela all’asse di rotazione
4, poniamo l’origine O nel baricentro e numeriamo gli atomi di carbonio come indicato nella
figura seguente (asse z normale al piano molecolare):
❅
4
1
❵ O
3
2
❅
Carbonio
Idrogeno
L’orbitale π di simmetria A si può ottenere applicando l’operatore di Wigner ˆP A sull’orbitale
(p z ) 1 centrato sull’atomo di carbonio 1:
π A = ˆP A (p z ) 1 = 1 ]
[1 ·
4 Î(p z) 1 + 1 · ˆ2(p z ) 1 + 1 · ˆ4(p z ) 1 + 1 · ˆ4 −1 (p z ) 1 =
1
4 [(p z) 1 + (p z ) 3 + (p z ) 2 + (p z ) 4 ] (4.17)
(si noti che la funzione così ottenuta non è normalizzata). Similmente, l’orbitale π di simmetria
B si ottiene applicando ˆP B su (p z ) 1 :
π B = ˆP B (p z ) 1 = 1 ]
[1 ·
4 Î(p z) 1 + 1 · ˆ2(p z ) 1 − 1 · ˆ4(p z ) 1 − 1 · ˆ4 −1 (p z ) 1 =
1
4 [(p z) 1 + (p z ) 3 − (p z ) 2 − (p z ) 4 ] (4.18)
I due orbitali di simmetria E sono degeneri (hanno la stessa energia); corrispondono alle
combinazioni lineari:
π1 E = ˆP 1 E (p z ) 1 = 1 ]
[1 ·
4 Î(p z) 1 − 1 · ˆ2(p z ) 1 + ı · ˆ4(p z ) 1 − ı · ˆ4 −1 (p z ) 1 =
1
4 [(p z) 1 − (p z ) 3 + ı(p z ) 2 − ı(p z ) 4 ] (4.19)
π2 E = ˆP 2 E (p z ) 1 = 1 ]
[1 ·
4 Î(p z) 1 − 1 · ˆ2(p z ) 1 − ı · ˆ4(p z ) 1 + ı · ˆ4 −1 (p z ) 1 =
1
4 [(p z) 1 − (p z ) 3 − ı(p z ) 2 + ı(p z ) 4 ] (4.20)
In luogo dei due orbitali π1 E e π2 E si possono usare le loro combinazioni lineari reali
{
π
E
a = π1 E + π2 E = 1[(p 2 z) 1 − (p z ) 3 ]
πb E = ı ( )
π2 E − π1
E =
1
[(p 2 z) 2 − (p z ) 4 ]
(4.21)