La Teoria della Verit`a come Revisione

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La Teoria della Verit`a come Revisione

Kripke e la verità

A. A. 2006-2007

La Teoria della Verità

come Revisione


1 L’idea intuitiva

Con la teoria della verità come revisione (nel seguito RTT), si intende dare forma

ad un’idea sulla genesi e la natura della nozione di verità che si contrappone

tanto a quella tarskiana (TT), dal momento che RTT si situa tra i tentativi di

risolvere i problemi aletici di linguaggi semanticamente chiusi (cioè, contenenti

il proprio predicato di verità), quanto a quella kripkeana (KT) relativamente a

ciò che è brevemente riassunto nello schema seguente:

1. il processo che sta dietro RTT è, come nel caso di KT, di tipo gerarchico;

2. a differenza di KT, RTT si basa non sull’idea di verità come approssimazione,

ma di verità come procedura revisione di ipotesi;

3. laddove KT in modo naturale richiama un contesto semantico di tipo

parziale, dietro RTT soggiace il classico schema bivalente. Come vedremo

in dettaglio nel seguito, ciò comporta l’abbandono del carattere monotono

dell’operatore di valutazione kripkeano, che è alla base dei risultati ad esso

relativi.

In sostanza, si assume che il binomio verità/falsità si predichi ‘ovunque’,

senza ‘lacune’, ma che la predicazione sia soggetta a cambiamento, o, meglio,

ad un raffinamento progressivo.

RTT richiama alla mente costruzioni già note (ad esempio, la costruzione

del modello per la teoria FS di Friedman–Sheard), ma basata su una loro

‘radicalizzazione’, ovvero su di una loro estensione all’intera collezione degli

ordinali.

Cominciamo a specificare i dettagli della costruzione partendo dal

Linguaggio: consideriamo un’estensione L + del linguaggio L di PA, ottenuta

aggiungendo un predicato unario T per la verità.

La definizione induttiva della nozione di formula, viene modificata aggiungendo,

tra le formule atomiche, formule della forma T(t), per t termine.

L’aritmetizzazione del linguaggio 1 , garantisce in particolare l’esistenza (in

L ∗ ) dei ‘rappresentanti’ di:

• un ‘nome’ ⌈ϕ⌉ per ogni formula ϕ di L + ;

• l’esistenza di una funzione neg(⌈ϕ⌉) = ⌈¬ϕ⌉;

• l’esistenza di una funzione sost(⌈ϕ⌉, t) = ⌈ϕ[x := t]⌉;

La procedura di valutazione è costituita da

Sequenze di Revisione: ovvero successioni 〈s α | α ∈ ON〉 (ON:= insieme

degli ordinali) che rispondano al seguente schema generale:

• per ogni ordinale α, s α è un sottoinsieme di numeri naturali.

1 Si vedano le dispense del corso per i dettagli.

1


• è dato un protocollo di revisione costituito da

– una ipotesi di partenza s 0 , ovvero una congettura primitiva relativa

all’estensione del predicato di verità;

– un passo successore derivante dall’applicazione di un operatore

∆ : P(N) → P(N);

– un passo limite Λ : P(N) Lim → P(N), definito sulle successioni

di insiemi di numeri naturali che abbiano un ordinale limite come

lunghezza, ovvero le successioni della forma 〈s β | β < λ〉 per λ

ordinale limite 2 .

Volendo limitarsi ad un ‘caso di studio’ che abbia valore rappresentativo,

consideriamo la seguente

DEFINIZIONE 1.1 (H-sequenze) Una successione h(X) := 〈h α | α ∈ ON〉

è una H-sequenza su X quando

h 0

:= X ⊂ N

h α+1 := j T (h α )

h λ

:= liminf h β (λ ord. limite)

β


Dal momento che lavoriamo sempre con la strattura standard dei numeri naturali

come modello di base, talvolta ometteremo di citarla nel seguito, scrivendo

X |= ϕ in luogo di 〈N, X〉 |= ϕ.

(ii) L’uso di tale relazione fa sì che l’operatore di jump sia non–monotono, fatto

che può essere facilmente verificato dimostrando che j T non possiede punto fisso,

ovvero che per nessun X ⊆ N si ha j T (X) = X.

[Dimostrazione: esercizio?]

(iii) come si è soliti fare in letteratura, data una sequenza di revisione 〈s α | α ∈

ON〉, scriviamo (in versione ‘locale’ o ‘globale’)

s +


DEFINIZIONE 1.3 (B–sequenze) Una B–sequenza su X è una successione

b(X) := 〈b α | α ∈ ON〉 definita da

b 0 := X ⊂ N

b α+1 := j T (b α )

b +


e

(ϕ ′ (x) :≡ T(x), ψ ′ :≡ ϕ ′ [x := t ϕ ′])

si ottengono, rispettivamente, gli usuali enunciati del ‘mentitore’ L che soddisfi

L ↔ ¬T(⌈L⌉), e del ‘portatore di verità’ V t.c. V ↔ T(⌈V ⌉) rispettivamente.

È facile vedere che il computo dei valori che essi acquisiscono (per brevità

scriviamo 1 per ⌈ϕ⌉ ∈ h α , risp. 1 per ⌈ϕ⌉ ∉ h α ), sulla base della definizione di

H–sequenza specificata rispondono a quanto indicato nella seguente tabella:

h 1 h 2 h 3 h ω h ω+1 h ω1

L 1 0 1 . . . 0 1 . . . 0 . . .

V 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 . . .

È chiaro che tra i due esempi vi è una fondamentale differenza che sancisce

l’importanza dell’ipotesi iniziale h 0 : L ne è infatti indipendente, nel senso che

il suo comportamento presenta lo stesso tipo di alternanza a prescindere dalla

scelta di h 0 , mentre V ne è condizionato, al punto che, ad esempio, h 0 = {⌈V⌉}

(o comunque t.c. ⌈V⌉ ∈ h 0 ) restituirebbe una tabella di valori del tutto diversa.

Il confronto è tuttavia sufficiente ad apprezzare il diverso ‘comportamento’ dei

due enunciati considerati: l’ ‘instabilità’ di L contrapposta alla ‘stabilità’, seppur

nella ‘falsità’, di V.

3 La struttura delle H–sequenze

Una nota iniziale sulla generalità delle nozioni e dei risultati presentati in questa

parte. Le nozioni introdotte in seguito possono essere riformulate per i raffinamenti

e le generalizzazioni di questa nozione. Quanto ai risultati, un’ispezione

delle dimostrazioni rende evidente come essi siano quasi del tutto indipendenti

dalla scelta di h 0 5 .

Quanto visto in precedenza, soprattutto grazie agli esempi, giustifica, o

meglio permette di comprendere, l’introduzione delle seguenti nozioni:

DEFINIZIONE 3.1 (i) Una formula ϕ di L ∗ è stabilmente vera in h(∅), sse

∃α∀β ≥ α(⌈ϕ⌉ ∈ h β )

5 Costituisce un’eccezione il risultato di stabilizzazione citato più avanti. Non però nel senso

che tale risultato non valga per qualche H–sequenza, bensì nel senso che l’ordinale a cui tale

risultato fa riferimento dipende essenzialmente da h 0 , e dalla ‘struttura’ del jump utilizzato.

A causa dell’impossibilità di ridurre e semplificare il tema oltre un certo, molti dei risultati

indicati qui di seguito non sono accompagnati dalle relative dimostrazioni o possiedono, a mò

di giustificazione, argomenti soltanto schizzati. Si consiglia a chi abbia interesse nel colmare

le lacune del presente paragrafo, la lettura di [Visser 1989] e [McGee 1991] indicati nella

bibliografia finale.

5


(ii) Una formula ϕ di L ∗ è stabilmente falsa in h(∅), sse

∃α∀β ≥ α(⌈ϕ⌉ ∉ h β )

(iii) Una formula è instabile, o paradossale, sse non è stabilmente vera e

non è stabilmente falsa.

Dunque, ϕ è stabilm. vera sse ⌈ϕ⌉ ∈ h +


Nonostante non sia possible dimostrare che le H–sequenze possiedono punti

fissi secondo le vie usualmente battute per le costruzioni induttive basate su

operatori monotoni, oppure per quelle basate su operatori non–monotoni ma

cumulative, è pur sempre possibile giungere a dimostrare significativi risultati

di chiusura: si dimostra infatti che ogni h(X) ammette un ordinale di stabilizzazione,

che la costruzione così indotta presenta ripetizioni, e che, da un certo

punto in poi tali ripetizioni divengono la norma secondo uno schema preciso.

I risultati in questione si basano su alcuni fatti basilari dell’aritmetica ordinale

(tipicamente, associatività della somma ordinale – motivo per cui lavoreremo

spesso, nel seguito, omettendo di indicare parentesi nelle somme tra ordinali – il

teorema della sottrazione e della divisione), e alcuni lemmi e nozioni preparatorie.

Tra questi ultimi, dato l’uso massiccio che ne faremo, almeno implicitamente

nel seguito, è dovuta la menzione almeno dei seguenti:

DEFINIZIONE 3.4 (H–sequenza relativizzata) Per ogni H–sequenza

h(X) := 〈h α | α ∈ ON〉, e per ogni β ∈ ON si pone:

h 0 (h β ) :=

h β

h γ+1 (h β ) := j T (h γ (h β ))

h λ (h β ) :=

liminf

µ


il ché implicherebbe che ON è un insieme, contrariamente al teorema di

Cantor–Burali-Forti.


Ciò garantisce l’esistenza di ripetizioni in un processo di revisione. Ma quanto

significative possono essere tali ripetizioni? È quanto spiega il risulato che

segue:

PROPOSIZIONE 3.3 Ogni H–sequenza h(X) ammette un ordinale di stabilizzazione.

Questo risultato risponde al quesito: è possibile generare tutte le formule

stabilmente vere/false di una H–sequenza di revisione? Un’applicazione immediata

del teorema di Löwenheim–Skolem, oppure del risultato [McGee 1991],

Lemma 6.2, inoltre, permetterebbe di dare una qualche risposta alla questione

ulteriore “Quanto occorre attendere affinché ciò accada?”, garantendo che tale

ordinale deve essere numerabile. Ciò offre quantomeno una prima, seppur non

esaustiva, giustificazione per la seguente definizione:

CICL(β) := ∀α∃γ ≥ α(h β = h γ )

rispetto alla quale vale la seguente:

PROPOSIZIONE 3.4 (i) C = {h α | CICL(α)} è chiuso verso l’alto, cioè:

h α ∈ C, α ≤ β ⇒ h β ∈ C

(ii) C − = {h α | ¬CICL(α)} è chiuso verso il basso:

[h β ] ∈ C − , α ≥ β ⇒ h α ∈ C −

(iii) C ≠ ∅

(iv) Esiste α ∈ C tale che h α = h α ∗, per h α ∗ = inf C, e h α = h +


Si noti come, in virtù della definizione di CICL(x), 3.4.(ii.1) possa essere

considerato un sensibile raffinamento di 3.2, e come, allo stesso tempo, veicoli

informazioni aggiuntive rispetto a 3.3.

Tali informazioni vengono ulteriormente raffinate mediante i risultati seguenti:

TEOREMA 3.1 (Periodocità) Esistono α 0 , β 0 ∈ ON tali che, per ogni γ ∈

ON

h α0 = h α0+β 0γ

DIM. Dato h ∗ α = inf C, si ponga:

α 0 = min z.h z = h ∗ α

β 0 = min z.h α0+z = h ∗ α & z ≠ 0

(dove la definizione di β 0 è giustificata dal fatto che CICL(α ∗ ) vale).

Si verifica l’enunciato del teorema per induzione transfinita su γ.

γ = 0 Banale.

γ = (δ + 1) Segue:

γ limite L’ipotesi di induzione è

h α0+β 0(δ+1) = h α0+(β 0δ+β 0)

= h (α0+β 0δ)+β 0

IH

3.1.(ii)

= h α0+β 0

= h α0

∀δ < γ(h α0+β 0δ = h α0 )

il teorema sfrutta allora un lemma 9 che consente di concludere da ciò

h α0+β 0γ = ⋂

µ


Il risultato garantisce l’esistenza di un elemento ciclico che si ripresenta con

una periodicità, una periodicità garantita da β 0 .

COROLLARIO 3.1.1 (Forma normale 1) Esistono α, β ∈ ON tali che per

ogni γ > α esiste µ < β t.c.

h γ = h α+µ

DIM. Siano α 0 , β 0 ∈ ON come dall’argomento precedente.

Da α 0 < γ segue che esiste un (unico) δ ≠ 0 t.c. α 0 + δ = γ (teor. della

sottrazione ordinale). Poiché β 0 ≠ 0 per costruzione, esistono (unici)

µη ∈ ON, µ < β 0 , t.c. δ = β 0 η + µ (teor. della divisione ordinale).

Vale quindi:

h δ = h α0+β 0η+µ

Assoc. +

3.1.(ii)

= h α0+µ

COROLLARIO 3.1.2 (Forma normale 2) Esistono α, β ∈ ON tali che per

ogni α ′ , β ′ ∈ ON, se per ogni γ ∈ ON vale h α ′ = h α′ +β ′ γ, esistono η, µ ∈ ON

t.c. α ′ = α + βη e β ′ = βµ.

DIM. Si dimostra, sfruttando alcune proprietà base degli ordinali, che per α ′ , β ′ ∈

ON come da ipotesi, segue:

h α ′ = h α ∗

per h α ∗ = inf C. Segue, per α 0 come da 3.1, α 0 ≤ α ′ . Da ciò, dato che

si può far vedere facilmente che esiste δ t.c. Lim(δ) e α ′ < α 0 + β 0 δ, si

conclude che esiste η (0 < η < δ) t.c. α ′ = α 0 + β 0 η.

Dato ciò, per β 0 come da 3.1, segue


h α0

= h α0+β 0η

= h α ′

= h α′ +β ′

= h α0+β 0η+β ′

= h α0+β ′

Dal teorema della divisione, segue che esistono (e sono unici) δ ′ , δ ′′ ∈ ON,

δ ′′ < β 0 t.c. β ′ = β 0 δ ′ + δ ′′ , da cui

h α0 = h α0+β ′

= h α0+β 0δ ′ +δ ′′

= h α0+δ ′′

da cui discende, per δ ′′ < β 0 e costruzione di β 0 , δ ′′ = 0.


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Quali conclusioni è possibile trarre da ciò? I risultati citati sono estremamente

informativi riguardo alla ‘struttura’ del processo sotteso dalle h–sequenze, che

risponderebbe alla figura 1. Ovvero: ogni H–sequenza risulta caratterizzata da

una prima parte in cui i componenti il processo (gli elementi di C − ), presentano

un comportamento non ripetitivo; poi, superato il nostro α 0 il processo diviene

ciclico, e gli elementi seguenti sono ognuno la ripetizione di componenti precedenti,

rispondendo, ‘aritmeticamente’ parlando, allo schema fissato dai risultati

precedenti.

C −

C

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h 0 h α0 h α0 +β 0 h α0 +β 0 γ

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Figura 1: La struttura delle H–sequenze

4 Miscellanea

Complessità Notoriamente, i processi di revisione sono estremamente complessi:

1. sono complessi in quanto teorie della verità: l’insieme s +


metamatematico verso la RTT:

Assiomatizzazione La logica della verità stabile sotto ogni sequenza di revisione

s := 〈s α | α ∈ ON〉 non è assiomatizzabile.

Tale conclusione non esclude peraltro la presenza di un interesse proof–

teoretico delle definizioni semi–induttive in quanto esemplificate dagli operatori

di revisione (formalizzare i risultati principali sunnominati significa

utilizzare, per citare i principi più forti necessari, forme predicativamente

ammissibili dell’assioma di rimpiazzamento).

La ‘logica’ di RTT Chiudiamo citando un risultato di Gupta e Belnap [Gupta

Belnap 1993] sulla ‘logica’ di T sotto RTT che, considerato quanto si è

appena detto, possono avere solo una valenza limitata. Tuttavia, ci permettono

di chiudere su un tema che si era in qualche modo implicitamente

introdotto nelle nostre considerazioni iniziali, relativamente a RTT come

basata su un recupero della bivalenza, diciamo così, ‘tarskiana’, a fronte

della parzialità insita nella costruzione di Kripke.

Questo potrebbe condurre a chiedersi fino a che punto, dato che comunque

RTT risponde ad un’intuizione contrapposta a quella di Tarski, questa

commistione con elementi riconducibili alla costruzione di quest’ultimo

sia effettiva o soltanto apparente. Un tema particolarmente appropriato

sul quale esercitare il quesito, potrebbe allora essere rappresentato dalla

celebre definizione tarskiana di verità in quanto racchiusa nel cosiddetto

T–schema

ϕ ↔ T(⌈ϕ⌉)

Dunque: quanto è ‘tarskiano’ il bicondizionale in RTT? Tipicamente, come

conseguenza dei paradossi dell’autoriferimento, una questione problematica

correlata riguarda l’impossibilità di equiparare negazione ‘interna’ ed

‘esterna’ in un contesto bivalente.

Il seguente risultato di Gupta e Belnap, oltre a rivestire interesse a tale

riguardo, potrebbe costituire un argomento a favore della verità quasi–

stabile su quella stabile, che non gode della medesima proprietà, a fronte

della sostanziale equivalenza dei due concetti dal punto di vista della

complessità.

PROPOSIZIONE 4.1 (i) Per ogni enunciato ϕ di L ∗10 ,

è quasi–stabilmente vero.

¬T(⌈ϕ⌉) ↔ T(⌈¬ϕ⌉)

10 In realtà il risultato vale, in generale, per ogni linguaggio che, come L ∗ , esteso con un

predicato T di verità, possegga ‘nomi’ per ogni enunciato di questa estensione.

12


5 Letteratura

Di seguito, riportiamo qualche indicazione bibliografica, ripartite per categorie:

Classici

[Gupta 1982] A. Gupta, Truth and Paradox, Journal of Philosophical

Logic, 11, 1–60, 1982.

[Gupta, Belnap 1993] A. Gupta, N. Belnap, The Revision Theory of Truth,

MIT Press, Cambridge Mass., 1993.

[Herzberger 1982a] H. Herzberger, Naive semantics and the liar paradox,

The Journal of Philosophy, 79, 479–497, 1982.

[Herzberger 1982b] H. Herzberger, Notes on naive semantics, Journal of

Philosophical Logic, 11, 61–102, 1982.

Companions

[Burgess 1986] J. P. Burgess, The truth is never simple, The Journal of

Symbolic Logic, 51, 663–681, 1986.

[McGee 1991] V. McGee, Truth, Vagueness and Paradox, Hackett, 1991.

[Visser 1989] A. Visser, Semantics and the liar paradox, in D. Gabbay, F.

Guenthner (eds.), Handbook of Philosophical Logic (prima edizione),

vol. IV, Reidel, Dordrecht, 617–706, 1989.

Ricerche recenti

[Field 2003] H. Field, A revenge–immune solution to the semantic paradoxes,

Journal of Philosophical Logic, 32, 139–177, 2003.

[Welch 2001] P. Welch, On Gupta–Belnap revision theories of truth, Kripkean

fixed–points and the next stable set, The Bulletin of Symbolic

Logic, 7, 345–360, 2001.

[Welch 2003] P. Welch, On Revision Operators, The Journal of Symbolic

Logic, 68, 689–711, 2003.

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