INTRODUZIONE ALL'ESPERIENZA 4: STUDIO DELLA ...

INTRODUZIONE ALL’ESPERIENZA 4: STUDIO DELLA
POLARIZZAZIONE MEDIANTE LAMINE DI RITARDO
Un’utile rappresentazione su come agiscono le lamine su fasci coerenti è ottenuta utilizzando i
vettori e le matrici di Jones.
Vettore di Jones e Matrici di Jones
Lo stato di polarizzazione di un fascio completamente polarizzato può essere descritto mediante il
vettore di Jones
r ⎡E
X
( t)
⎤
E = ⎢ ⎥
⎣ EY
( t)
⎦
In particolare si hanno le seguenti corrispondenze fra uno stato di polarizzazione e la sua
rappresentazione vettoriale:
⎡1⎤
⎡0⎤
1 ⎡1⎤
1 ⎡1⎤
orizzontal e → ⎢ ⎥;
verticale → ⎢ ⎥;
circolare destra → ⎢ ⎥;
lineare a 45°
→ ⎢ ⎥
⎣0⎦
⎣1⎦
2 ⎣i⎦
2 ⎣1⎦
L’azione di un dispositivo ottico viene generalmente descritta da una matrice M di dimensione 2 x 2
che trasforma uno stato di polarizzazione rappresentato da E IN in uno stato con polarizzazione
E OUT = M · E IN
Un polarizzatore che trasmette la polarizzazione orizzontale può essere descritto mediante la
matrice
⎡1
0⎤
P = ⎢ ⎥
⎣0
0⎦
La lamina λ/2 e la lamina λ/4 con asse ottico disposto verticalmente sono rappresentate dalle
seguenti matrici:
M
⎡1
= ⎢
⎣0
0 ⎤
−1
⎥
⎦
M
λ / 2
λ / 4
⎡1
= ⎢
⎣0
Ruotando di un angolo θ le lamine, le matrici vengono trasformate nel seguente modo
M
M
'
λ
/
λ
/ i
( θ ) = R(
θ ) • M
λ i
• R(
−θ
)
/ i
( θ ) = R(
−θ
) • M '
λ / i
• R(
θ )
⎡ cosθ
sinθ
⎤
dove R ( θ ) = ⎢
⎥ (vedi nota in fondo: Trasformazioni di coordinate con matrici di
⎣−
sinθ
cosθ
⎦
Jones).
0⎤
i
⎥
⎦

Questo vale per qualsiasi dispositivo che trasforma lo stato di polarizzazione della radiazione e può
essere dimostrato nella maniera seguente:
Il generico stato di polarizzazione rappresentato dal vettore di Stokes J nella base x – y viene
espresso in una nuova base x’ – y’, con x’ che forma un angolo θ con x, come
J’ = R(θ)J
La trasformazione introdotta dalla matrice M generica su J 1 sarà: J 2 = MJ 1 .
Nella base x’-y’ si ha J’ 2 = R(θ)J 2 = R(θ)MJ 1 .
Dal momento che J 1 = R(-θ)J’ 1 ⇒ J’ 2 = R(θ)MR(-θ)J’ 1 ⇒ J’ 2 = M’J’ 1 .
Vediamo alcuni casi particolari.
⎡cosθ
− senθ
⎤
- Rotatore di polarizzazione: M R
= ⎢
⎥
⎣senθ
cosθ
⎦
- Polarizzatore orientato secondo il generico angolo θ. Avremo:
P
cosθ
⎢
⎣−
senθ
senθ
1
cosθ
⎥⎢
⎦⎣0
0 cosθ
0
⎥⎢
⎦⎣senθ
− senθ
cosθ
⎥
⎦
2
⎡
⎤⎡
⎤⎡
⎤ ⎡ cos θ − cosθsenθ
⎤
( ) =
=
⎥
⎦
θ
2
⎢
⎣−
cosθsenθ
sen θ
- Lamina λ/2 ruotata di un angolo θ rispetto alla direzione di una polarizzazione lineare in ingresso.
Applicando la relazione M ( θ ) = R(
θ ) • M • R(
− )
'
λ / 2
λ / 2
θ
si ottiene facilmente:
⎡ cos 2θ
− sen2θ
⎤
M '
λ / 2
( θ ) = ⎢
⎥ .
⎣−
sen2θ
− cos 2θ
⎦
L’effetto è quindi quello di una rotazione della polarizzazione di un angolo 2θ
- Due lamine λ/4 identiche, disposte in sequenza e ruotate dello stesso angolo θ. E’ facile verificare
che si ottiene la matrice corrispondente a una lamina λ/2 complessiva ruotata di un angolo θ.
Questo risultato è ovvio dal momento che i due sfasamenti π/2 delle due lamine λ/4 si sommano
dando luogo a π.
- Con lo stesso ragionamento si ottiene che due lamine λ/4 identiche, disposte in sequenza e ruotate
di due angoli θ uguali in modulo ma con segno opposto, danno luogo alla matrice identità I.
- Studiare anche come si trasforma una polarizzazione lineare a ± 45° e una polarizzazione circolare
destra o sinistra che entrano in una lamina λ/4 o λ/2 orientata con l’asse ottico lungo x (o lungo y).

Vettore di Stokes
Figura 2: Sfera di Poincaré e sistema di
coordinate Stokes, che mostra la posizione della
polarizzazione orizzontale (Linear at 0°),
verticale (Linear at 90°), circolare destra/sinistra
(RCP/LCP), e lineare a ±45°. Gli stati con
polarizzazione pura si trovano sulla superficie
(V=1) mentre gli stati misti si trovano all’interno
della sfera (V

ESPERIENZA N. 4: STUDIO DELLA POLARIZZAZIONE
MEDIANTE LAMINE DI RITARDO
L’obiettivo di questa esperienza consiste nelo studiare il
funzionamento di lamine di ritardo a ½ e ¼ di lunghezza
d’onda e nella caratterizzazione dello stato di
polarizzazione della luce utilizzando i parametri di Stokes.
PBS 1
Funzionamento delle lamine di ritardo
Ogni gruppo ha a sua disposizione una lamina λ/2 e una
lamina λ/4.
D
WP 1
WP 2
PBS 2
Una lamina di ritardo è data da un materiale birifrangente
che presenta un asse ottico caratteristico. Essa introduce
uno sfasamento ottico pari a λ/i (i =1,2) fra la componente
del campo elettromagnetico parallela all’asse ottico e quella
ortogonale ad esso.
Nelle prime misure verrà caratterizzato il funzionamento di
entrambe le lamine.
Esperimento:
In assenza delle lamine WP 1 e WP 2 il beam splitter polarizzatore PBS 2 viene allineato
ortogonalmente al raggio incidente e in modo che la componente riflessa si mantenga all’altezza di
riferimento di 14 cm a cui viaggia il fascio laser. Allineare allo stesso modo anche PBS 1 , in modo
da massimizzare l’intensità rivelata dal detector D. In questa condizione i due PBS trasmettono
entrambi la polarizzazione orizzontale (H).
Lamina λ/2:
Il primo passo è la taratura della lamina: bisogna determinare la direzione dell’asse ottico. Si
inserisce la lamina λ/2 (WP 2 ) sul cammino del fascio laser. Effettuate una serie di misure
dell’intensità al variare dell’angolo di orientazione θ della lamina. Effettuate un fit con una
funzione del tipo cos 2 (Aθ + Β). Determinate quindi la posizione angolare θ 0 nella quale l’asse ottico
della lamina è verticale: in questa posizione l’intensità letta dal detector è massima. Questa
posizione è unica? Quale è la polarizzazione del fascio laser all’ ingresso di PBS 2 se la lamina viene
posizionata all’angolo θ 0 + 45°?
Lamina λ/4:
a) Anche in questo caso il primo passo è la taratura della lamina. Con la lamina λ/2 (WP 2 ) orientata
nella posizione angolare θ 0 inserire la lamina λ/4 (WP 1 ). Effettuate una serie di misure dell’intensità
al variare dell’angolo di posizionamento ζ della lamina. Effettuate un fit con una funzione del tipo
cos 2 (Aθ + Β). Determinate quindi la posizione angolare ζ 0 nella quale l’asse ottico della lamina è
verticale: in questa posizione l’intensità letta dal detector è massima. In condizioni ideali l’intensità
1

letta dal detector quando la lamina è posizionata all’angolo ζ 0 + 45° dovrebbe essere la metà del
massimo. Se questo non avviene, quale può essere la ragione?
b) Si posizioni adesso la lamina λ/4 (WP 1 ) all’angolo ζ 0 + 45° ed effettuare una serie di misure
dell’intensità al variare della posizione angolare θ della lamina λ/2 (WP 2 ). Spiegare il risultato
ottenuto.
La determinazione degli angoli θ 0 e ζ 0 serviranno da riferimento nell’esperimento successivo.
La misura con una lamina λ/4 può essere più delicata che con una lamina λ/2 a causa della sua
maggiore criticità di allineamento. Si consiglia eventualmente di provare a ruotare in orizzontale
la lamina WP 1 uscendo dalla condizione di non ortogonalità rispetto al fascio laser
Misura dei parametri di Stokes di un fascio LASER
Figura 2: La sfera di Poincaré ed il sistema di
coordinate Stokes, che mostra la posizione della
polarizzazione orizzontale (H), verticale (V),
circolare destra e sinistra (R, L), e lineare a ±45°.
Gli stati con polarizzazione pura si trovano sulla
superficie (V=1) mentre gli stati misti si trovano
all’interno della sfera (V