Questionario - Matematica - Università Bocconi

Esame di Stato 19 giugno 2008
Questionario ORDINAMENTO
1. L'aermazione è falsa. Basta pensare al seguente contro-esempio: tra due piani paralleli
α e β, inseriamo un prisma avente le basi sui piani e una piramide avente base su α e
vertice su β. Siano i due solidi equivalenti. Le sezioni parallele ai piani α e β sul prisma
sono poligoni costanti, mentre sulla piramide sono poligoni di area variabile.
La proposizione inversa, invece, è il noto Principio di Cavalieri.
2. Sia OAB il triangolo individuato dal lato AB del decagono regolare inscritto e dal centro
della circonferenza circoscritta al decagono stesso.
dunque AB = r √ 5−1
2
.
AB è la sezione aurea del raggio;
Tracciando l'altezza del triangolo isoscele, l'angolo HOB è π/10 il cui seno HB/OB =
√
5−1
4
.
3. Il volume della casseruola è: πr 2 h. La supercie S è 2πrh + πr 2 da cui h = S−πr2
2πr .
Sostituendo nell'espressione del volume, otteniamo V (r) = 1 2 (Sr − πr3 ).
Deriviamo la funzione V per trovarne il massimo: V ′ (r) = 1(S − 2 3πr2 ). V ′ (r) = 0 per
√
r = . Se si sostituisce tale valore nell'espressione del volume (anche in quella di h),
S
3π
si ottiene V = S 9
√
3S
π .
4. Sotto determinate ipotesi (generalmente soddisfatte e rinvenibili in qualunque manuale)
f(x)
dai teoremi di De L'Hõpital si deduce la regola per cui lim x→P (con P nito o inni-
g(x)
to), qualora presenti la forma d'indecisione 0/0 oppure ∞/∞, può essere calcolato come
f
lim ′ (x)
x→P g ′ . Abbiamo allora:
(x)
x 2008
lim = ∞
x→+∞ 2 x ∞ = lim 2008 · x 2007
x→+∞ 2 x ln 2
Iterando il procedimento (bisognerebbe farlo 2008 volte . . . !), otteniamo il valore indicato.
5. In generale, abbiamo P (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d. Da P (0) = d = 0 e P ′ (0) = c = 0,
ricaviamo c = d = 0. Da P (1) = a + b = 0, ricaviamo b = −a.
Si tratta ora di determinare il valore di a ∫ a
in modo che risulti
0 (ax3 −ax 2 )dx = 1
12 . Poiché
il valore dell'integrale è − a , abbiamo a = −1.
12
In conclusione, è P (x) = −x 3 + x 2 .
(
2)
=
n
)
1 + a, ricaviamo a =
n(n−1)
− n.
( 2
(
n
Da
3)
=
n
) n(n − 1)(n − 2)
2 +a ricaviamo =
6
n(n − 2) ovvero n = 7.
6. Da ( n
n(n − 1) n(n − 1) n(n − 1)(n − 2)
+ −n ovvero
2 2
6
=
7. L'equazione data è equivalente a k = 3x 2 −x 3 . Per disegnare il graco di f(x) = 3x 2 −x 3 ,
troviamo:

• segno 3x 2 − x 3 ≥ 0 per x ≤ 3
• f(0) = 0
• lim x→−∞ f(x) = +∞, lim x→+∞ f(x) = −∞
• f ′ (x) = 6x − 3x 2 > 0 per 0 < x < 2 : x = 0 punto di minimo, x = 2 punto di
massimo.
• f ′′ (x) = 6 − 6x > 0 per x < 1: x = 1 punto di esso.
Da f(2) = 4, si ricava che per :
• k < 0: una soluzione;
• k = 0: due soluzioni (di cui una doppia);
• 0 < k < 4: tre soluzioni;
• k = 4: due soluzioni (di cui una doppia);
• k > 4: una soluzione;
8. La funzione è denita per ogni x non negativo.
Da f ′ (x) = π x ln π − πx π−1 e f ′′ (x) = π x ln 2 π − π(π − 1)x π−2
si deduce f ′ (π) = π π ln π − ππ π−1 = π π (ln π − 1) > 0
f ′′ (π) = π π ln 2 π − π(π − 1)π π−2 = π π (ln 2 π − 1) + π π−1 > 0
9.
− 1
lim f(x) = lim −x2
x→1− x→1 − x − 1 = lim −(x + 1) = −2
x→1− − 1
lim f(x) = lim −x2
x→1 + x→1 + x − 1 = lim
x→1 +(x
+ 1) = 2
Essendo lim x→1 − f(x) ≠ lim x→1 + f(x), il limite indicato non esiste.
10. Il rapporto tra il dislivello e il percorso è 85/1200 = 0, 0708 = sin α; allora α = 4 ◦ 3 ′ 43 ′′ .
La percentuale (approssimata) da riportare sul segnale è 7%
A cura del Centro PRISTEM dell'Università Bocconi