L'arte del costruire tra conoscenza e scienza - Sede di Architettura ...

L’arte del costruire
tra conoscenza e scienza
Da:
“L’arte del costruire, Tra conoscenza e scienza”
di Salvatore di Pasquale
e
“Struttura e geometria nell’architettura storica”
di Antonio Michetti

Contenuti
• Strumenti teorici di calcolo nell’antichità
• Statica dei sistemi rigidi semplici
• Il sistema trilitico
• La teoria delle proporzioni come scienza del
costruire
• Conoscenze senza fondamenti teorici
• La teoria galileiana
• Stabilità e resistenza
2/134

Contenuti
• Strumenti teorici di calcolo nell’antichità
• Statica dei sistemi rigidi semplici
• Il sistema trilitico
• La teoria delle proporzioni come scienza del
costruire
• Conoscenze senza fondamenti teorici
• La teoria galileiana
• Stabilità e resistenza
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Strumenti teorici di calcolo
nell’antichità
• I grandi geometri greci erano riusciti a
risolvere i problemi della moderna
scienza delle costruzioni
• Archimede di Siracusa aveva sviluppato
in termini logici tutti i problemi inerenti
al calcolo delle costruzioni.
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Euclide – Libro I, Proposizione 43
Il Teorema dello Gnomone
“in ogni parallelogramma i complementi dei
parallelogrammi posti intorno alla diagonale sono
uguali tra loro”
E
A
I
G
F
B
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Euclide – Libro I, Proposizione 43
Il Teorema dello Gnomone
• Preso un punto I sulla diagonale e
tracciate le parallele ai lati passanti per I
• i parallelogrammi intorno alla diagonale
sono EIHC e GBFI, mentre i loro
complementi sono AGIE e IFDH.
A
G
B
E
I
F
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Euclide – Libro I, Proposizione 43
Il Teorema dello Gnomone
• Dall’uguaglianza dei triangoli 1, 2 e 3
• Deriva l’uguaglianza dei parallelogrammi
AGIE e IFHD.
E
2
A
1
I
3
G
F3
B
2
1
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Contenuti
• Strumenti teorici di calcolo nell’antichità
• Statica dei sistemi rigidi semplici
• Il sistema trilitico
• La teoria delle proporzioni come scienza del
costruire
• Conoscenze senza fondamenti teorici
• La teoria galileiana
• Stabilità e resistenza
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Aristotele e il principio della leva
(IV sec a.C.)
• Nei “Problemi Meccanici” Aristotele per
primo affronta il problema della leva 1
• La leva è lo strumento mediante il quale
si possono muovere grandi pesi
P
R
F
1 Non è certo che l’opera sia stata scritta da Aristotele, ma è molto probabile che appartenga alla sua scuola e che sia stata 9/134
scritta verso la fine del IV sec. a.C.

Aristotele e il principio della leva
(IV sec a.C.)
• Aristotele fa riferimento alla bilancia:
• Perché le pesate fatte con bilance più gradi
sono più precise di quelle fatte con bilance
più piccole?
P
R
F
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Aristotele e il principio della leva
(IV sec a.C.)
• Perché “il braccio più lungo descrive un
cerchio più grande nello stesso tempo…”
• Spostamenti maggiori sono più
facilmente percepibili dall’occhio.
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Aristotele e il principio della leva
(IV sec a.C.)
• Il problema della leva è così formulato da Aristotele:
• “perché un piccolo peso può sollevare un peso più
grande cui si aggiunge anche il peso della leva?
• … la leva richiede tre elementi, cioè il fulcro –
corrispondente alla corda di sospensione della bilancia e
coincidente con il suo centro – e due pesi …
• … il peso che deve essere mosso sta al peso movente come
inversamente stanno il braccio che sopporta il peso col
braccio su cui agisce la potenza.
• Più lontana è questa dal fulcro più agevolmente si solleva il
peso.
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Potenza e resistenza
• Una leva è caratterizzata da:
• Un fulcro
• Le posizioni delle due forze definite come:
• Potenza
• Resistenza
P
R
F
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Leva di primo genere
• Il fulcro è posizionato tra potenza e resistenza
P
R
p
F
r
• L’equilibrio si ha quando è verificata la
condizione: R p
P
= Vantaggio della leva
r
• Se il vantaggio è > 1 con la potenza P si può vincere una resistenza > di P
• Se il vantaggio è < 1 con la potenza P non si può vincere una resistenza > di P
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Leva di secondo genere
• Il fulcro è posizionato ad un estremo e la
distanza della potenza dal fulcro è maggiore
della distanza della resistenza
P
R
p
r
F
• Il vantaggio è sempre > 1
R p
= > 1 Vantaggio della leva
P r
Con la potenza P si può vincere una resistenza > di P
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Leva di terzo genere
• Il fulcro è posizionato ad un estremo e la
distanza della potenza dal fulcro è minore
della distanza della resistenza
P
R
p
F
r
• Il vantaggio è sempre < 1
R p
= < 1 Vantaggio della leva
P r
Con la potenza P non si può vincere una resistenza > di P
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Il Principio dei Lavori Virtuali
• Aristotele risolve il problema dell’equilibrio della leva
mediante quello che oggi viene definito come il
Principio dei Lavori Virtuali:
• Detti δA e δB, rispettivamente, gli spostamenti dei punti di
applicazione della potenza P e della resistenza R
• L’equilibrio si ha quando è nullo il lavoro che le due forze
compiono nei rispettivi spostamenti:
P ⋅ δA–R ⋅δB= 0
δA
P
δf
δf
R
δB
a
b
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Il Principio dei Lavori Virtuali
• Esprimendo δA e δB in funzione dell’angolo di
rotazione δf della leva (supposta rigida):
δA= a ⋅ δf ; δB= b ⋅ δf
• si ottiene la relazione di equilibrio:
P ⋅ a – R ⋅ b = 0
δA
P
δf
δf
R
δB
a
b
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Il Principio dei Lavori Virtuali
• ovvero alla proporzione:
R : P = a : b
• A questa stessa proporzione giunse più tardi
Archimede partendo dalla teoria dei baricentri.
δA
P
δf
δf
R
δB
a
b
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Archimede e il principio della leva
(III sec a.C.)
• Trattato “Sull’Equilibrio dei Piani”:
• Assioma I: “Pesi uguali posti a distanze uguali si fanno
equilibrio; pesi uguali posti a distanze diverse non si fanno
equilibrio ma producono pendenza dalla parte del peso che si
trova a distanza maggiore”
a
a
a
b
Archimede fa riferimento ad una bilancia a bracci rigidi con fulcro posto
nel punto di connessione e vincolato con l’esterno.
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Archimede e il principio della leva
(III sec a.C.)
• La leva è, dal punto di vista meccanico, un sistema a vincoli
incompleti che può compiere rotazioni intorno al fulcro
• Il sistema è in equilibrio quando il baricentro delle due forze
peso passa per il fulcro:
“ Se due grandezze uguali non hanno lo stesso centro di gravità, il
centro di gravità della figura composta dall’insieme delle due figure
sarà il punto di mezzo della retta congiungente i centri di gravità delle
grandezze componenti”
P=Kp
a=lp
b=lp
K = unità di misura dei pesi
l = unità di misura delle lunghezze
P=Kp
Nella simmetria della
configurazione (pesi e
distanze) si trova la
condizione necessaria e
sufficiente per l’equilibrio
A
l l x p
C
G
E
B
l l x p
D
a = l l x p
b = l l x p
Utilizzando il teorema dello gnomone di Euclide si può determinare la
posizione del baricentro
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Archimede e il principio della leva
(III sec a.C.)
• Il sistema composto da pesi diversi è in equilibrio se
le rispettive distanze dal baricentro sono in
proporzione inversa ai valori dei pesi:
R : P = a : b
H
I
l x p
l x r
L
P=Kp
R=Kr
A
G
B
l x r
a=lr
b=lp
l x p
D
K = unità di misura dei pesi
l = unità di misura delle lunghezze
C
E
F
a = l x r
b = l x p
Archimede giunge alla stessa soluzione cui oggi condurrebbe
l’equazione di equilibrio dei momenti intorno al fulcro:
P x a = R x b ⇒ R : P = a : b
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Teoria delle strutture piane
• Si può definire come struttura un insieme di
elementi collegati reciprocamente tra loro che
siano in grado di trasportare un insieme di
forze dai loro punti di applicazione in punti
particolari.
h
A
A'
P
C
B
B'
la
lb
l
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Teoria delle strutture piane
• Supponiamo di avere un carico P applicato ad
una certa altezza h dal suolo.
• Supponiamo di voler liberare la porzione
sottostante di spazio per una lunghezza l.
P
h
A
A'
C
B
B'
la
lb
l
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Teoria delle strutture piane
• Nei punti A’ e B’ dovrà svilupparsi un sistema
di forze tale da equilibrare la forza P.
h
A
A'
P
C
B
B'
la
lb
l
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Teoria delle strutture piane
• Un sistema strutturale in grado di
assolvere tale compito è quello costituito
da una trave appoggiata su due pilastri
(sistema trilitico).
h
A
A'
P
C
B
B'
la
lb
26/134

Teoria delle strutture piane
• Si può immaginare di suddividere la forza P in
due parti P A e P B tali che:
• P A + P B = P eq. traslazione
• e tali che il loro baricentro coincida con la
retta di applicazione di P, cioè sia rispettata la
condizione:
• P A : P B = l b : l a
eq. rotazione
h
A
A'
P
C
B
B'
la
lb
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Teoria delle strutture piane
• Le due forze P A e P B rappresentano le azioni
che la trave esercita sui pilastri e questi
trasmettono al suolo
P
C
B
h
A
A'
P A
P B
B'
la
lb
l
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Teoria delle strutture piane
• Per calcolare le forze P A e P B si può applicare il
principio della leva di Archimede alla trave.
P
A
C
B
P A
P B
h
A
A'
P A
P B
B
B'
P A
P B
P A
P B
Schema strutturale
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Teoria delle strutture piane
Vailati, Del concetto di centro di gravità nella statica di Archimede, 1897
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Equilibrio di una trave appoggiata
soggetta ad un carico concentrato
• Il sistema composto da una trave appoggiata
soggetta ad un carico concentrato è
assimilabile ad una leva di primo genere
con fulcro posizionato tra i punti di
applicazione delle due forze
A
la
P
C
lb
B
B''
A
A''
C'
P
C
R b
B
B'
P
A'
R a
C''
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Equilibrio di una trave appoggiata
soggetta ad un carico concentrato
• Costruzione grafica:
• Si traccia a partire dal punto C una retta con inclinazione
qualsiasi
• Si tracciano dai punti A e B due rette parallele alla prima
• Se il segmento C’C’’ è proporzionale a P, i segmenti A’A’ e B’B’’
sono, rispettivamente, proporzionali a Ra e Rb.
P
A
B
C
la
lb
B''
A
A''
C'
P
C
R b
B
B'
P
A'
R a
C''
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Equilibrio di una trave appoggiata
soggetta ad un carico concentrato
• L’equilibrio si ha quando è verificata le condizione:
R a : R b = l b : l a (eq. alla rotazione)
• Essendo:
R a + R b = P (eq. alla traslazione)
A
la
P
C
lb
B
B''
A
A''
C'
P
C
R b
B
B'
P
A'
R a
C''
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Equilibrio di una trave appoggiata con
sbalzo soggetta ad un carico concentrato
• Il sistema composto è assimilabile ad una
leva di primo genere con fulcro posizionato
in B e potenza e resistenza applicate nelle
sezioni C ed A.
A
l1
B
l2
P
C
R b
P
R a
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Equilibrio di una trave appoggiata con
sbalzo soggetta ad un carico concentrato
• L’equilibrio si ha quando è verificata le
condizione:
R a : R b = l 2 : (l 1 + l 2 )
• Essendo:
A
l1
R a + R b = P
B
l2
P
C
R b
P
R a
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Equilibrio di una trave qualsiasi
soggetta a più carichi concentrati
• Le reazioni vincolari R B
ed R C si determinano
trovando il baricentro
dei carichi
A
P1
B
P2
C
P3
D
• Il baricentro dei carichi
si trova operando con
le singole coppie
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Equilibrio di una trave qualsiasi
soggetta a più carichi concentrati
• Le reazioni vincolari R B
ed R C si determinano
trovando il baricentro
dei carichi
• Il baricentro dei carichi
si trova operando con
le singole coppie
A
P1
B
R1-2
P2
P2
C
P3
D
P1
37/134

Equilibrio di una trave qualsiasi
soggetta a più carichi concentrati
• Le reazioni vincolari R B
ed R C si determinano
trovando il baricentro
dei carichi
A
R1-2
B
C
P3
D
P3
• Il baricentro dei carichi
si trova operando con
le singole coppie
R1-2-3
R1-2
38/134

Equilibrio di una trave qualsiasi
soggetta a più carichi concentrati
• Le reazioni vincolari R B
ed R C si determinano
trovando il baricentro
dei carichi
A
R1-2
B
C
P3
D
P3
• Il baricentro dei carichi
si trova operando con
le singole coppie
R1-2-3
R1-2
39/134

Equilibrio di una trave qualsiasi
soggetta a più carichi concentrati
• Le reazioni vincolari R B
ed R C si determinano
trovando il baricentro
dei carichi
A
B
R1-2-3
C
D
• Il baricentro dei carichi
si trova operando con
le singole coppie
R1-2-3
RC
RB
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Contenuti
• Strumenti teorici di calcolo nell’antichità
• Statica dei sistemi rigidi semplici
• Il sistema trilitico
• La teoria delle proporzioni come scienza del
costruire
• Conoscenze senza fondamenti teorici
• La teoria galileiana
• Stabilità e resistenza
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Descrizione
• Il sistema trilitico è formato da tre elementi:
• due alzati in verticale (pilastri)
• uno posto in orizzontale sui precedenti (trave)
• Il peso dell’elemento orizzontale si divide in
due carichi equivalenti che si scaricano sui
due piedritti
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Descrizione
Stonehenge
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Comportamento degli elementi
• L’elemento orizzontale (trave) è soggetto a
flessione:
• le fibre superiori sono compresse
• le fibre inferiori sono tese
• Gli elementi verticali (pilastri) sono compressi
dalla forza peso trasmessa dalla trave.
Compressione
Trazione
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Il limite del sistema
• Il limite di questo sistema è nella resistenza
dell’elemento orizzontale.
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Contenuti
• Strumenti teorici di calcolo nell’antichità
• Statica dei sistemi rigidi semplici
• Il sistema trilitico
• La teoria delle proporzioni come scienza del
costruire
• Conoscenze senza fondamenti teorici
• La teoria galileiana
• Stabilità e resistenza
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Gli ordini architettonici
• Adottando il sistema costruttivo trilitico i greci
perfezionarono misure, proporzioni e forme
delle colonne e della sovrastante trabeazione
• Questo insieme di elementi prese il nome di
ordine architettonico.
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Composizione di un ordine
• Un ordine è costituito da una colonna con
base, da un capitello e dalla trabeazione
sovrastante
• E’ un sistema modulare che permette di
dimensionare la costruzione di un edificio
partendo dal solo diametro della colonna
• L’altezza della colonna è fissata da un numero
che ne da il rapporto con il diametro
• Mediante rapporti numerici sono fissate le
dimensione degli altri elementi:
• plinto di base, capitello, altezza della trabeazione,
distanza tra le colonne (intercolumnio).
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Composizione di un ordine
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L’ordine dorico
• Il dorico trovò le prime applicazioni nell’area
occidentale della Grecia intorno al VIII sec.
a.C.
Tempio di Era II, Paestum, V sec. a.C.
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L’ordine dorico
Tempio di Aphaia, Egina, V sec. a.C.
51/134

L’ordine ionico
• Lo ionico sorse nell’area orientale della
Grecia e in Asia minore intorno al VI sec. a.C.
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L’ordine ionico
Tempio di Atena Nike, Atene, V sec. a.C.
53/134

L’ordine corinzio
• Il corinzio si sviluppò intorno all’area di
Corinto verso il IV sec. a.C.
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Statica ed estetica
• Il complesso di regole che fissava questo
sistema di modularità rispondeva a due
esigenze principali:
• Statica: permetteva di rispettare i limiti di
resistenza delle strutture e dei materiali impiegati
• Estetica: consentiva di ottenere edifici ben
proporzionati ed armoniosi
• Questo strumento progettuale garantiva la
validità della costruzione sia sul piano statico
sia su quello estetico.
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L’origine degli ordini
architettonici
• Il tempio è probabilmente derivato da una struttura
analoga in legno:
• il fusto delle colonne deriva probabilmente dal tronco
d'albero
• il capitello era l'elemento di trasmissione dei carichi
• l'architrave erano i travi in legno che univano i tronchi
• la tenia era un'asse aggettante rispetto all'architrave su cui
venivano poste alte travi perpendicolari che poi sono
diventate i triglifi.
• Altri vedono nei triglifi delle colonne piccolissime e nelle
metope delle aperture per la luce.
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L’origine degli ordini
architettonici
• La nascita degli ordini architettonici coincide
l’introduzione dei materiali lapidei nella
realizzazione del tempio
• All’inizio le colonne erano di legno
(eventualmente con basi di pietra per isolarle
dal suolo)
• I muri erano di argilla o mattoni crudi legati
assieme con fango.
Heraion di Samo (prima metà dell'VIII sec. a.C.)
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L’origine degli ordini
architettonici
• La prima fase dell'arcaismo è quella del
tempio a pianta rettangolare – absidata.
• Il mattone è un elemento modulare che
veniva abbinato ad un telaio in legno
composto da montanti verticali ed orizzontali
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L’origine degli ordini
architettonici
• Grazie alle nuove acquisizioni tecniche i templi
greci vengono a complicarsi con l'introduzione
della peristasi, cioè il portico usato per il
culto che circonda l'edificio templare
• Il primo esempio noto è quello del megaron B
di Thermos.
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L’origine degli ordini
architettonici
• Nella seconda fase dell’Heraion di Samo si ritrova la
regolarizzazione della peristasi
• La peristasi aveva la funzione di protezione delle
murature e di dilatazione dello spazio coperto
• E’ da questi spunti che nasce l'esigenza di
regolarizzare la struttura impiegando gli ordini
architettonici.
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L’origine degli ordini
architettonici
• L’introduzione della pietra richiede la
conoscenza di principi meccanici abbastanza
avanzati per cavare, trasportare, lavorare e
posare in opera il materiale lapideo
• Si affrontano due aspetti scientifici:
• la definizione geometrica del modello e la
conoscenza dei materiali
• il problema della scala
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Contenuti
• Strumenti teorici di calcolo nell’antichità
• Statica dei sistemi rigidi semplici
• Il sistema trilitico
• La teoria delle proporzioni come scienza del
costruire
• Conoscenze senza fondamenti teorici
• La teoria galileiana
• Stabilità e resistenza
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Vitruvio e Il Trattato
sull’Architettura
• Secondo Vitruvio l'architettura si compone di
sei parti:
• Ordinatio: giusta proporzione e misura dei singoli membri architettonici
rispetto a un modulo o unità di misura;
• Dispositio: corretta messa in opera di ciascun elemento;
• Eurythmia: cura la bellezza della figura e le dimensioni e proporzioni dei
singoli elementi.
• Symmetria: "collegamento armonico dei singoli membri dell'edificio“:
corrispondenza proporzionale fra una parte e il tutto di un'opera, misurata a
moduli o frazioni di modulo;
• Decor: "bell'aspetto" di un'opera, composta da elementi e forme le cui
misure e proporzioni sono determinate con gusto, sapienza, consonanza e
uniformità
• Distributio: uso sapiente di materiali e superfici: "oculata parsimonia di
spesa nel costruire".
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I campi di attività dell’architetto
• L’architetto ha 3 campi di attività:
• Machinatio: costruzione di macchine
• Gnomonica: costruzione di orologi solari
• Aedificatio: costruzione di edifici pubblici e privati
• Ogni costruzione deve avere 3 requisiti:
• Firmitas : solidità
• Utilitas : funzionalità
• Venustas: bellezza
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La firmitas
• La firmitas è rispettata se:
• Le fondamenta poggiano in profondità su
strati solidi
• La scelta dei materiali è accurata
• E’ rispettata la simmetria
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La simmetria
• La simmetria come armonia di rapporti
ha origine nel corpo umano:
“Come nel corpo umano la caratteristica
euritmica sta nel rapporto simmetrico dato dal
piede, dalla mano, da un dito e dalle altre
membra così deve essere nella realizzazione
dell’opera architettonica.
E specialmente negli edifici sacri il calcolo
delle proporzioni è fatto in base al diametro
delle colonne o dalla larghezza del triglifo …”.
Rispettando tali proporzioni le misure delle
parti di un tempio dovranno avere una stretta
corrispondenza e concordanza con il tutto.
Vitruvio, I dieci libri di architettura commentati da D. Barbaro. Milano 1987, Il Polifilo.
66/134

La simmetria
• Il tempio è la massima espressione
architettonica del sistema trilitico e la
sua composizione si basa sulla
simmetria:
•“… nessun tempio può avere un equilibrio
compositivo senza rispettare simmetria e
proporzione, come è per la perfetta armonia
delle membra di un corpo ben formato”.
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La simmetria e la statica degli
edifici
• La statica degli edifici deve seguire le
regole di armonia che governano il
corpo umano e tutte le sue creazioni
• Assicurata la stabilità delle fondazioni, il
rispetto della simmetria è garanzia della
stabilità della costruzione.
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Le proporzioni del tempio
• Vitruvio descrive le proporzioni
del tempio con riferimento
all’ordine ionico:
• L’unità di misura è il diametro della
colonna presa alla sua base.
• La classificazione in alzato è fatta su 5 tipi che si
distinguono per l’ampiezza dell’intercolumnio:
• Picnostylos: ic = 1.5 M
• Sistylos: ic = 2 M
• Eustylos: ic = 2 M + 1/4M
• Diastylos: ic = 3 M
• Araeostylos: ic > 3
69/134

Le proporzioni del tempio
• Le proporzioni del tempio eustylos
rispondono ai criteri di:
• Firmitas
• Utilitas
• Venustas
• La firmitas in questo caso è
rappresentata dalla resistenza
dell’architrave.
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Dimensione massima
• Vitruvio fissa in 3 moduli la misura limite
oltre la quale l’architrave si spezza.
• Per moduli maggiori “non è possibile
usare travi di pietra o di marmo ma solo
solide travi di legno”.
• Non è possibile realizzare architravi più
alti perché non rispettano le proporzioni.
71/134

L’abbinamento con il legno
• La trave diventa composta:
• Trave di legno per
sopportare la trazione
• Conci di pietra per la
compressione
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Un meccanismo spingente
• L’architrave in blocco unico si spezza per:
• Cedimenti differenziati degli appoggi
• Insufficiente resistenza della pietra
Il sistema trilitico si trasforma in un meccanismo
spingente
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Soluzioni possibili
• Vitruvio indica come possibili soluzioni
per evitare la rottura dell’architrave
anche:
• la realizzazione di archi di scarico
• la realizzazione dell’architrave a conci
separati (arco-trave).
74/134

L’architrave prefratturato
• Le fratture vengono create ad arte mediante
sconnessioni interne al pezzo unico secondo
un disegno prestabilito con intenzioni
estetiche:
• l’ architrave diventa arco-trave
• La trave monolitica che si frattura diventa un meccanismo spingente
• L’architrave pre-fratturato è composto di parti che possono subire
piccoli movimenti l’una rispetto all’altra.
75/134

L’architrave prefratturato
• Le fratture vengono create ad arte mediante
sconnessioni interne al pezzo unico secondo
un disegno prestabilito con intenzioni
estetiche:
Tindari, basilica – architrave prefratturato
La trave monolitica che si frattura diventa un meccanismo spingente
L’architrave pre-fratturato è composto di parti che possono subire piccoli
movimenti l’una rispetto all’altra.
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Soluzioni
• Pompei – Il Foro
A Pompei coesistono 2 Fori in cui si trovano
entrambe le soluzioni indicate da Vitruvio
Foro più antico: soluzione con travi principali in legno sormontate da
conci di pietra di piccole dimensioni che costituivano il fregio e la
sovrastante cornice.
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Soluzioni
• Pompei – Il Foro
A Pompei coesistono 2 Fori in cui si trovano
entrambe le soluzioni indicate da Vitruvio
soluzione con architrave pre-fratturato; l’architrave è composto da
blocchi sagomati a concio, con 2 facce parallele e 2 simmetricamente
inclinate, disposti alternativamente.
78/134

Soluzioni
• Pompei – Il Foro
A Pompei coesistono 2 Fori in cui si trovano
entrambe le soluzioni indicate da Vitruvio
la trave principale ingloba l’architrave, il fregio e la cornice per una
altezza complessiva di 80 cm.
79/134

Soluzioni
• Pompei – Il Foro
A Pompei coesistono 2 Fori in cui si trovano
entrambe le soluzioni indicate da Vitruvio
il sistema formato da due colonne e dai 3 corrispondenti blocchi
dell’architrave è, esso solo, stabile e consente l’avanzamento
successivo della costruzione da una colonna all’altra.
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Soluzioni
• Pompei – Il Foro
A Pompei coesistono 2 Fori in cui si trovano
entrambe le soluzioni indicate da Vitruvio
in corrispondenza dell’intercolumnio d’angolo la trave deve essere
monolitica per poter rispettare l’equilibrio. La trave va da una colonna
all’altra uscendo a sbalzo sulla seconda. Questa soluzione riduce le
sollecitazioni sul primo intercolumnio.
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Soluzioni
• Agrigento – Tempio di Zeus Olimpio
E un tempio a pianta rettangolare lati 112.70 m e 56.30 m ed è
delimitato da un muro spesso 1.7 m al quale si addossano
semicolonne esterne e semipilastri interni con interasse di 8.1 m
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Soluzioni
• Agrigento – Tempio di Zeus Olimpio
L’architrave è costituito da 3 filari di pietre sovrapposte a giunti
sfalsati per una altezza complessiva di 3.35m
Telamoni poggianti su una risega esterna del muro costituiscono
un appoggio intermedio.
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Soluzioni
• Prato – Il Duomo
J.Ruskin. The Seven Lamps of Architecture.
Disegno del taglio delle pietre per
l’architrave del Duomo di Prato
L’architrave è costituito da cunei alternativamente dritti e rovesci.
L’apparente assurdità statica nasconde le parti sagomate a T dei
conci che risultano saldamente incastrati gli uni con gli altri.
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Contenuti
• Strumenti teorici di calcolo nell’antichità
• Statica dei sistemi rigidi semplici
• Il sistema trilitico
• La teoria delle proporzioni come scienza del
costruire
• Conoscenze senza fondamenti teorici
• La teoria galileiana
• Stabilità e resistenza
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Galilei contro la teoria delle
proporzioni
• Galilei nei suoi “Discorsi e dimostrazioni
matematiche intono a due nuove
scienze 2 ” dimostra la fallacia della
teoria delle proporzioni applicata
alla resistenza dei materiali,
stabilendo le corrette dimensioni di una
trave affinché essa possa sopportare
determinati carichi.
2
Pubblicato a Leyden nel 1638
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Galilei contro la teoria delle
proporzioni
• “… astraendo tutte le imperfezioni della materia e
supponendola perfettissima ed inalterabile e da ogni
accidental mutazione esente,
• con tutto ciò il solo esser materiale fa si che la
macchina maggiore, fabbricata dell’istessa
materia e con l’istesse proporzioni che la
minore, in tutte le altre condizioni risponderà con
giusta simmetria alla minore, fuor che nella
robustezza e resistenza contro alle violente invasioni;
• ma quanto sarà più grande, tanto a proporzione
sarà più debole 3 ”.
3
Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze. Torino 1990, Einaudi, ed. a cura di E.Giusti.
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Galilei contro la teoria delle
proporzioni
• “ Or vegghino come … si
raccoglie l’impossibilità del
poter non solamente l’arte ma
la natura stessa, crescer le
sue macchine a vastità
immensa;
• ... Dal che è manifesto, che chi
volesse mantener in un
vastissimo gigante le
proporzioni che hanno le
membra di un uomo ordinario,
bisognerebbe o trovar materia
molto più dura e resistente,
per formare le ossa, o vero
ammettere che la robustezza
sua fusse a proporzione
assai più fiacca che negli
uomini di statura mediocre”.
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La resistenza assoluta dei
materiali
• Galilei analizza un “solido tridimensionale
colonnare ligneo” composto da fibre,
attaccato alla base superiore e a cui è appeso
un grave:
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La resistenza assoluta dei
materiali
“ … è manifesto che qualunque sia
la tenacità e la coerenza tra di
loro delle parti di esso solido,
pur che non sia infinita, potrà
essere superata dal traente peso
C, la cui gravità pongo che
possa accrescersi quanto ne
piace, e esso solido finalmente si
strapperà, a guisa di una corda.
E sì come nella corda noi
intendiamo […] così nel legno si
scorgono le sue fibre e filamenti
distesi per lungo.”
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La resistenza assoluta dei
materiali
• La resistenza dei materiali per Galilei ha
due origini:
• “ è quella decretata repugnanza che ha la
natura ad ammettere il vacuo”
• “ in qualche glutine, visco o colla, che
tenacemente colleghi le particole delle quali
esso corpo è composto”.
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La resistenza assoluta dei
materiali
• Galilei considera solo la rottura per
trazione e non quella di compressione in
quanto per lui i solidi sono
incomprimibili
• All’interno di un corpo sollecitato da
forze esterne si generano forze interne
dovute ai “vacui” e al “glutine” che si
oppongono alla rottura.
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La resistenza assoluta dei
materiali
• Le forze interne si sommano ed
equivalgono ad un’unica forza applicata
nel baricentro
• L’intensità massima di questa forza è
quella necessaria a rompere la trave per
trazione pura ed è chiamata resistenza
assoluta
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Il problema fondamentale della
trave
• Galilei affronta il problema della resistenza di
una trave, non pesante, di legno, incastrata in
un muro con un grave appeso al suo estremo
libero
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Il problema fondamentale della
trave
• Utilizza il principio della leva angolare con
fulcro nello spigolo passante per il punto B (in
figura), “ dove il taglio del muro serve per
sostegno”.
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Il problema fondamentale
della trave
• Galilei lavora nell’ipotesi di materiale rigido
con resistenza infinita a compressione e finita
a trazione
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Il problema fondamentale
della trave
• La rottura può avvenire quando in tutte le
fibre si raggiunge la resistenza assoluta
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Il problema fondamentale
della trave
• Raggiunta la resistenza assoluta delle fibre la
trave comincia a ruotare intorno al fulcro B
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Il problema fondamentale
della trave
• Il primo braccio della leva è costituito dalla
lunghezza della trave (dal fulcro B all’estremo
C)
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Il problema fondamentale
della trave
• L’altezza h della trave (segmento AB) è la grossezza ovvero
“l’altra parte della leva nella quale è posta la resistenza, che
consiste nello staccamento che s’ha da fare della parte del solido
BD, che è fuor del muro, da quella che è dentro”
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Galilei
Il problema fondamentale della trave
• L’equazione di equilibrio limite è posta da Galilei nei
seguenti termini:
• “il momento della forza posta in C al momento della
resistenza, che sta nella grossezza del prisma […] ha la
medesima proporzione che la lunghezza CB alla metà della
BA; e però l’assoluta resistenza all’esser rotto […] con l’aiuto
della leva BC, ha la medesima proporzione che la lunghezza
BC alla metà di AB nel prisma”
F
h
R
B
l
C
R=F x
L
0.5h
F h/2
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Resistenza relativa e
resistenza assoluta
• Resistenza assoluta e resistenza relativa sono
diversificate per le modalità di applicazione
della forza rispetto alla trave:
• Se la forza agisce secondo l’asse della trave si ha
la resistenza assoluta
• Se la forza agisce secondo una direzione
ortogonale all’asse della trave si ha la resistenza
relativa
• La resistenza assoluta di una trave è
determinabile una volta per tutte
• La resistenza relativa dipende dalla condizione
in cui l’elemento strutturale viene impiegato.
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La teoria delle proporzioni e la
resistenza dei materiali
• Ipotizziamo di voler costruire un tempio
utilizzando le proporzioni fornite da Vitruvio.
• Prendiamo a riferimento il tempio di tipo
araeostylos:
Modulo, M = diametro della colonna
Intercolumnio, IC > 3 M
Lunghezza dell’architrave, LA > 4M
Altezza colonna, H = 8M
8M
M
6M
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La teoria delle proporzioni e la
resistenza dei materiali
• Assumiamo:
• Modulo, M = 1m
• Intercolumnio, IC = 5M = 5m
• Lunghezza dell’architrave, lA = 6M = 6m
• Altezza colonna, H = 8M = 8m
• Altezza architrave = H/12 = 0.67m
8M
M
6M
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La teoria delle proporzioni e la
resistenza dei materiali
• Calcoliamo il carico sull’architrave:
• Dati:
• Peso per unità di volume della pietra: w = 27 kN/m 3
• Area sez. trasv. dell’architrave: A a =0,67 × 0.6 = 0.4m 2
• Carico dovuto al peso proprio dell’architrave:
• p A = 0.4 × 27 = 10.8 kN/m
• Carico dovuto al peso delle strutture sovrastanti,
ipotizzate pari a 2 × p A :
• p S = 2 × 10.8 = 21.6 kN/m
• Carico complessivo a metro lineare sull’architrave:
• p tot = 32.4 kN/m
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La teoria delle proporzioni e la
resistenza dei materiali
• Calcoliamo il valore momento flettente in
mezzeria dell’architrave (corrispondente al
valore massimo)
Diagramma del Momento Flettente, M
A
l a
B
M max = 1 8 pl2 a
M max = (p tot × 6 2 )/8 = 145.8 kNm
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La teoria delle proporzioni e la
resistenza dei materiali
• Verifichiamo la sezione trasversale dati i
seguenti valori di resistenza della pietra:
• Resistenza a compressione: 110000 kN/m 2
• Resistenza a trazione: 4000 kN/m 2
Compressione
σ z max
ε z max
asse neutro
Trazione
asse neutro
σ z
ε z
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La teoria delle proporzioni e la
resistenza dei materiali
• La verifica si esegue calcolando la tensione
σ max e controllando che essa risulti minore
della resistenza del materiale:
Mh 145.8 0.67
σ max = = = 3248 kN / m < 4000 kN / m
J 2 0.015 2
3
bh
J =
Compressione 12
σ z max
2 2
ε z max
SEZIONE VERIFICATA
momento d’inerzia della
sezione trasversale, con
b ed h sue dimensioni
asse neutro
Trazione
asse neutro
σ z
ε z
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La teoria delle proporzioni e la
resistenza dei materiali
• Assumiamo ora un diverso valore per il
modulo M:
• Modulo, M = 1.5m
• Intercolumnio, IC = 5M = 7.5m
• Lunghezza dell’architrave, lA = 6M = 9m
• Altezza colonna, H = 8M = 12m
• Altezza architrave = H/10 = 1.2m
8M
M
6M
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La teoria delle proporzioni e la
resistenza dei materiali
• Calcoliamo il carico sull’architrave:
• Dati:
• Peso per unità di volume della pietra: w = 27 kN/m 3
• Area sez. trasv. dell’architrave: A a =1,2 × 1.0 = 1.2m 2
• Carico dovuto al peso proprio dell’architrave:
• p A = 1.2 × 27 = 32.4 kN/m
• Carico dovuto al peso delle strutture sovrastanti
ipotizzare pari a 2 × p A :
• p S = 2 × 10.8 = 64.8 kN/m
• Carico complessivo a metro lineare sull’architrave:
• p tot = 97.2 kN/m
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La teoria delle proporzioni e la
resistenza dei materiali
• Calcoliamo il valore momento flettente in
mezzeria dell’architrave (corrispondente al
valore massimo)
Diagramma del Momento Flettente, M
A
l a
B
M max = 1 8 pl2 a
M max = (p tot × 9 2 )/8 = 984.2 kNm
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La teoria delle proporzioni e la
resistenza dei materiali
• Calcoliamo la σ max :
Mh 984.15 1.2
σ max = = = 4542 kN / m > 4000 kN / m
J 2 0.13 2
2 2
SEZIONE NON VERIFICATA
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Ricapitolando
• Assumendo un modulo M = 1m si trova:
• σ max = 3248 kN/m 2
• Assumendo un modulo M = 1.5m si
trova:
• σ max = 4542 kN/m 2 ⇒ l’architrave si
spezza
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Galileo
• Galileo fu il primo ad occuparsi della
resistenza meccanica in termini di rottura
dei materiali sottoposti all’applicazione di un
carico
• Intuì il concetto di sforzo inteso come forza
per unità di superficie:
σ=
lim
dA→0
dP
dA
• Si limitò ad esaminare solo il carico, cioè la
forza F.
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Newton
• Nella sua terza legge della dinamica,
(principio di azione e reazione) il
britannico Newton (1642-1727) afferma
che:
• quando esiste un’interazione tra due corpi
la forza esercitata dal primo sul secondo è
ad ogni istante eguale ed opposta alla forza
esercitata dal secondo sul primo.
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Hooke
Ut tensio sic vis
(tanta la deformazione, tanta la forza )
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Hooke
• Hooke si accorse che se a due molle di lunghezza l 0 ,
sono applicati due pesi, l’uno doppio dell’altro, anche
l’allungamento è l’uno il doppio dell’altro
• L’allungamento significativo non è,però, quello
assoluto (l – l 0 = ∆l), ma quello relativo alla lunghezza
iniziale (l 0 ):
ε=
∆l
l
0
l 0
∆l
l
2∆l l 0
P
2P
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Hooke
• Applicando lo stesso carico a due provini dello stesso
materiale con lunghezza originale diversa: l e 2l
• A parità di sforzo e di materiale l’allungamento
assoluto è diverso ma l’allungamento relativo (ε) è lo
stesso, indipendentemente dalla lunghezza originale.
∆l
2l 0
l 0
P
2∆l
ε=
∆l
l
0
P
2∆l
ε= =
2l
∆l
l
0 0
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Cauchy
• Augustin Cauchy (1789-1857) dimostrò che la
deformazione relativa (ε) (non quella assoluta, ∆l ,
misurata da Hooke) era funzione dello sforzo σ =F/A
e non della forza F:
σ = Eε
• E è la costante di proporzionalità tra sforzo e deformazione
unitaria che varia con il materiale, detta modulo di elasticità
o modulo di Young (Thomas Young, 1773-1829).
σ
E
ε
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Cauchy
• Le ragioni che non permisero ad Hooke
di cogliere l’importanza della
deformazione unitaria (ε) rispetto a
quella della deformazione assoluta (∆l )
risiedono nella difficoltà di misurare le
deformazioni unitarie su strutture reali.
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Comportamento del materiale nella
successione storica delle ipotesi
formulate
F
F
F
F
F
∆l
∆l
∆l
∆l
∆l
a b c d e
a) Modello rigido (Vitruvio e i trattatisti del Rinascimento)
b) Modello galileiano
c) Modello elastico (Hooke)
d) Modello rigido – plastico
e) Modello elasto – plastico.
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Contenuti
• Strumenti teorici di calcolo nell’antichità
• Statica dei sistemi rigidi semplici
• Il sistema trilitico
• La teoria delle proporzioni come scienza del
costruire
• Conoscenze senza fondamenti teorici
• La teoria galileiana
• Stabilità e resistenza
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Stabilità e resistenza
• Si consideri un solido costituito da un prisma non pesante
poggiato su un piano π
• Solido e piano si intendono rigidi ed indeformabili
• Sulla base libera del prisma è applicata una forza P agente
secondo l’asse del prisma
• Tra il prisma ed il piano è inserito uno strato di creta.
P
π
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Stabilità e resistenza
• Si definisce tensione normale:
σ=
lim
dA→0
dP
dA
• essendo A l’area della sezione retta del
P
prisma.
π
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Stabilità e resistenza
• Facendo crescere la forza P a partire dal
valore 0, il valore:
P
c
= σ
• èla resistenza assoluta del materiale che
costituisce lo strato intermedio.
P
c
A
π
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Stabilità e resistenza
• Si consideri lo stesso prisma con applicata una
forza orizzontale F
• Si ponga un risalto lungo lo spigolo AB del
prisma per impedirgli di scivolare lungo π
• Tra prisma e piano si interponga uno strato di
materiale che impedisca lo svilupparsi di una
forza di attrito.
F
B
A
π
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Stabilità e resistenza
• Facendo crescere la forza F a partire dal
valore 0
• Esiste un valore F c di F per il quale il prisma
ruota intorno allo spigolo AB innescando un
fenomeno di instabilità.
F
B
A
π
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Stabilità e resistenza
• Si consideri lo stesso prisma con applicata la
forza verticale P pari al peso del pilastro e la
forza orizzontale F
• Si faccia crescere lentamente la forza F a
partire dal valore iniziale nullo
P
F
h
B
b
A
π
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Stabilità e resistenza
• Si consideri l’equilibrio alla rotazione intorno
allo spigolo AB:
P ⋅ b/2 = F* ⋅ h
• F* individua il valore della forza F per la quale
si ha l’equilibrio.
P
F
h
B
b
A
π
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Stabilità e resistenza
• Se F < F* si ha la condizione:
P ⋅ b/2 > F ⋅ h
• l’equilibrio è stabile.
P
F
B
A
π
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Stabilità e resistenza
• Se F < F* si ha la condizione:
• P ⋅ b/2 > F ⋅ h
• l’equilibrio è stabile.
P
F
B
A
π
131/134

Stabilità e resistenza
• Se F > F* si ha la condizione:
P ⋅ b/2 < F ⋅ h
• l’equilibrio è instabile
• Il prisma inizia a ruotare intorno allo spigolo
AB e non si ferma.
P
F
B
A
π
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Stabilità e resistenza
• Anche in questo caso la soluzione si può
ottenere applicando il principio della leva
angolare, ritrovando la relazione:
P: F*= h : b/2
P
F
B
A
π
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Stabilità e resistenza
• Alcuni problemi di perdita di stabilità o di
resistenza erano già noti ai tempi di Vitruvio
• Per i sistemi strutturali di stabilità la teoria
delle proporzioni può ancora essere applicata
e la costruzione può essere studiata facendo
ricorso ad un modello in scala
• Per i sistemi strutturali in cui prevalgono i
problemi legati alla resistenza dei materiali la
teoria delle proporzioni non ha più valore e il
ricorso ai modelli produce risultati sbagliati.
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