Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

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110 Capitolo - 14 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici dei rami del trellis che emergono dallo stato iniziale, con la metrica ad essi associata, calcolata mediante la prima o la seconda delle (14.2.1), a seconda che la decodifica sia di tipo hard o soft rispettivamente. Il decodificatore provvederà anche ad etichettare gli stati raggiunti con le metriche dei percorsi che vi pervengono. Le metriche di percorso in questo caso coincidono banalmente con quelle del singolo ramo che compone i percorsi cui si riferiscono. Agli stati raggiunti verrà associata anche la sequenza informativa associata al relativo percorso. Al secondo passo da ciascuno dei stati raggiunti emergeranno rami, a ciascuno di essi si può associare una metrica di ramo come al passo precedente. Ad ogni stato in cui termina un ramo assoceremo: - una metrica di percorso ottenuta sommando alla metrica del ramo che termina nello stato in parola quella di percorso associata allo stato da cui il ramo emergeva; - una sequenza informativa di percorso ottenuta giustapponendo a quella associata allo stato di partenza quella del ramo. Potremo continuare ad addentrarci nel trellis seguendo questa logica fino al passo , in quanto fino a tale passo ogni stato viene raggiunto al più da un percorso. Al - esimo passo potremo ancora associare ad ogni ramo la sua metrica, ma per associare le metriche di percorso agli stati sorgerà un problema. Esistono infatti percorsi distinti che terminano in ciascuno stato. Se consideriamo un cammino nel trellis di lunghezza che abbia origine in uno stato in cui confluiscano percorsi di lunghezza , giustapponendo il cammino a ciascun percorso di lunghezza otterremmo percorsi ammissibili di lunghezza . La metrica di ciasuno di essi sarà data dalla somma della metrica di uno dei percorsi di lunghezza più la metrica del cammino. Tra i percorsi così ottenuti quello che avrà la metrica minore sarà evidentemente ottenuto a partire dal percorso di lunghezza che aveva la metrica minore. Ne segue che se più percorsi confluiscono in uno stesso stato ha senso memorizzare solo quello che ha la metrica minore. Osserviamo che nel caso in cui la metrica fosse quella di Hamming (decodifica hard) potrebbe darsi che più di un percorso abbia minima metrica, il decodificatore in questa eventualità dovrebbe scegliere a caso. Dal - esimo passo in poi il decodificatore memorizzerà per ogni stato solo la metrica e la sequenza informativa associata al “miglior” percorso che vi confluisce. Fa eccezione solo l’ultimo passo, in questo caso il decodificatore conoscendo lo stato di arrivo si limiterà a considerare solo i percorsi che vi confluiscono scegliendo il migliore tra essi (quello che ha accumulato la metrica minore).
L’Algoritmo di Viterbi 111 Abbiamo appena descritto l’algoritmo di Viterbi. 14.3 - Efficienza dell’algoritmo di Viterbi Appare evidente la riduzione di complessità di questo algoritmo rispetto alla ricerca esaustiva teorizzata nel paragrafo precedente. Ad ogni passo di decodifica, a parte il transitorio iniziale, dovremo infatti calcolare metriche di ramo per ciascuno ( ) dei stati iniziali della sezione di trellis ed utilizzarle per calcolare le metriche di ( ) percorsi. Di questi ultimi solo verranno memorizzati per utilizzarli al passo successivo. Ne segue che la complessità dell’algoritmo cresce solo linearmente con la lunghezza della sequenza informativa, a differenza della ricerca esaustiva che invece crescerebbe esponenzialmente. Va comunque sottolineato che la complessità dell’algoritmo di Viterbi cresce esponenzialmente con la lunghezza di vincolo del codificatore. Un altro vantaggio nell’utilizzo dell’algoritmo di Viterbi consiste nel fatto che dopo un certo numero di passi di decodifica che dipende dalla lunghezza di vincolo (tipicamente una decina di lunghezze di vincolo) tutti i percorsi “sopravvissuti” finiscono con l’avere una parte iniziale in comune. Ciò limita sia la latenza sia il fabbisogno di memoria del decodificatore.
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