Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

116 Capitolo - 15
15.2 - Bound sulla probabilità di primo evento d’errore.
Per analizzare le prestazioni di un codice convoluzionale si fa riferimento, oltre
che alla probabilità d’errore sul bit informativo anche alla cosiddetta probabilità di
primo evento d’errore, o anche probabilità d’errore di nodo. Essa esprime la probabilità
che in un certo istante la sequenza stimata si discosti da quella effettivamente trasmessa
per poi ricongiungersi con essa.
Possiamo assumere ai fini del calcolo che la sequenza trasmessa
quella identicamente nulla, indicheremo con
sia
. tale sequenza che corrisponde al
percorso semiinfinito sul trellis che non si discosta mai dallo stato . Possiamo fare tale
ipotesi in virtù della linearità del codificatore e del fatto che la decodifica è a massima
verosimiglianza.
binaria
Sappiamo che il decodificatore opera le sue scelte basandosi sulla sequenza
sequenza reale
prodotta dal rivelatore a soglia nel caso di decodifica hard, ovvero sulla
dei campioni in uscita al filtro adattato per decodifica soft.
Ammettiamo che fino alla profondità
attribuito al percorso
( ) ( )
cammino ˜
di trellis. Alla profondità
nel trellis il decodificatore abbia
la metrica minore e che al passo successivo abbia inizio un
che si discosta dallo stato per ritornarvi dopo sezioni
il decodificatore lascerà sopravvivere un solo percorso
tra quelli che pervengono allo stato se il percorso , coincidente con fino alla
profondità nel trellis e con da fino alla sezione , avrà accumulato la
metrica minore di , quest’ultimo verrà scartato. è un possibile primo evento
d’errore. Va da sé che vi è un’infinità numerabile di possibili primi eventi d’errore, cioè
tutti i cammini che si discostano dallo stato zero per poi ricongiungersi ad esso.
Purtroppo il calcolo esatto della probabilità di primo evento d’errore è impraticabile,
possiamo tuttavia maggiorare la probabilità cercata, basandoci sull’union bound.
Detto il cammino coincidente con tra le sezioni e
Osserviamo che la scelta del decodificatore sarà determinata soltanto dalle metrica
accumulata dai cammini e , in quanto fino al passo i due percorsi coincidevano
quindi condividevano la stessa metrica.
Per applicare l’union bound dobbiamo valutare in corrispondenza a ciascun
primo evento d’errore la probabilità che esso si manifesti nell’ipotesi che il
decodificatore possa scegliere solo tra il percorso corretto e quello relativo all’evento
d’errore in parola.