Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

Capitolo - 18
IDEALI DI UN ANELLO DI POLINOMI
18.1 - Premessa
Torniamo adesso a parlare di campi finiti, abbiamo visto come si possono
costruire campi finiti con un numero primo d’elementi; è anche possibile, come
mostreremo più avanti, definire campi che hanno un numero di elementi che è una
potenza (ad esponente intero) di un numero primo. Il generico elemento di un tale
campo si può quindi mettere in corrispondenza biunivoca con l’insieme
ha la stessa cardinalità.
( )
, che
Sorge quindi spontaneo indagare sulla possibilità di individuare in
( )
due
opportune leggi di composizione tra suoi elementi che consentano di pensare a
( )
come ad un campo di
elementi. Sarebbe a questo punto possibile definire
degli isomorfismi tra
( )
e
. Parliamo di isomorfismi perché potrebbero
esistere più leggi di composizione interna che soddisfano le condizioni necessarie per
interpretare
( )
come campo.
Abbiamo già visto che
( )
è un gruppo commutativo rispetto all’addizione
tra polinomi, purtroppo non possiamo dire lo stesso della moltiplicazione tra polinomi
non foss’altro perché
( )
non è chiuso rispetto ad essa.
È quindi necessario definire una legge di composizione interna per
( )
abbia tutte le proprietà di cui deve godere la moltiplicazione tra elementi di un campo.
A tal fine è necessaria una piccola digressione di carattere generale.
che
18.2 - Ideali di un anello con identità.
Consideriamo un anello commutativo con identità
sottogruppo è un ideale se:
diciamo che un suo
⊗ (18.2.1)
Qualora l’anello non fosse commutativo dovremmo distinguere tra ideale sinistro e
ideale destro, che potrebbero anche coincidere, nel qual caso si tratterebbe di un ideale
bilaterale.