Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

150 Capitolo - 21 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici
[
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
] (21.1.3)
che si può scrivere come segue:
[
( ) ( ) ( )
] [ ] (21.1.4)
osserviamo che la prima matrice a secondo membro è una matrice di Vandermonde il
suo determinante vale pertanto:
∏( ) (21.1.5)
è quindi non singolare, poiché, per ipotesi, è un elemento primitivo di quindi
il suo ordine è maggiore di , ne discende che tutti i binomi della produttoria
(21.1.5) sono diversi da , inoltre il determinante della seconda matrice è certamente
diverso da zero in quanto essa è diagonale e gli elementi della diagonale sono tutti
diversi da .
Possiamo quindi concludere che il sistema (21.1.2) è di Cramer ed essendo anche
omogeneo esso ammette solo la soluzione banale. Non esistono pertanto parole di
codice, ad eccezione di quella con simboli tutti nulli, che abbiano meno di simboli
diversi da .
Quanto appena mostrato permette di costruire un’importante classe di codici detti
BCH, dalle iniziali dei loro scopritori: Bose (1959), Chaundhuri e Hocquenghem
(1960). Alla classe dei codici BCH appartengono anche i codici di Hamming che
abbiamo già visto, nonché i codici di Reed Solomon (RS).
Osserviamo che i codici BCH sono ciclici in quanto il loro polinomio generatore
ha tra le sue radici un sottoinsieme di quelle di pensato come polinomio a
coefficienti in , esso ne è pertanto un fattore.
Osserviamo anche che il grado del polinomio generatore non è assegnato a priori,
ma dipende dalla scelta dell’elemento primitivo di . ne segue che anche il numero
di simboli che costituiscono la parola informativa non può essere prefissato. Inoltre la
distanza minima del codice potrebbe anche risultare maggiore di quella di progetto.
Tipicamente i simboli che costituiscono la parola di codice appartengono ad un campo
, cioè ad un campo con un numero di elementi che sia una potenza di .
Esempio 21.1